AULA 2 A 10

Prévia do material em texto

1.
		Dado que a matriz A abaixo é a inversa de uma matriz B, então o det(B) é:
	
	
	
	
	
	
	1/8
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Se B é a matriz inversa de A, então sobre o produto AxB é correto afirmar que
	
	
	
	
	
	
	gera uma matriz identidade de mesma ordem de A
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Explicação:
Se B é a matriz inversa de A, então sobre o produto AxB é correto afirmar que
A*B = B*A = In 
Onde In é a matriz identidade de ordem n.
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Se A é uma matriz cujo det(A) é não nulo e B é uma matriz tal que AxB = I, sendo I a matriz identidade de mesma ordem de A, então é correto afirmar que:
	
	
	
	B é a inversa de A
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Determine a matriz inversa da matriz quadrada A de ordem 2. 
 
[ 2111][ 2111]
 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	[ −1−2−1/2−1/2][ −1−2−1/2−1/2]
	
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Considere que o valor de um determinante é 24. Se dividirmos a 3ª linha por 6 e multiplicarmos a 3ª coluna por 4, o novo determinante valerá:
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	16
	
Explicação:
Quando se multiplica (ou se divide) uma fila de um determinante por um número, o novo determinante fica multiplicado (ou dividido) por esse número.
No caso temos:
(24 / 6) . 4 = 16
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Determine o volume do paralelepípedo que tem um vértice na origem e os vértices adjacentes nos pontos (1, 0, -2),  (1, 2, 4) e (7, 1, 0) 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	22
	
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Prove que a matriz A=[ 2111][ 2111]é inversível, através do seu determinante.
 
	
	
	
	
	
	
	1
	
	
	
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Se A é uma matriz (2x2) e det(A) = D, então o determinante da matriz 2A será
	
	
	
	4D
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Explicação:
Quando multiplicamos um número real K por uma matriz A do tipo m x n, encontramos para resultado uma matriz do tipo m x n, que representaremos por KA, obtida multiplicando K por cada elemento da matriz A.
Como k= 2 o det (A) passa a ser igual a 4D
AULA 3
		1.
		Um sistema linear está associado a uma equação matircial conforme a descrição na figura abaixo.
Com base na definição acima, assinale a afirmativa verdadeira.
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	O "A" é denominado de matriz dos coeficientes e o "b" o vetor dos termos independentes.
	
		2.
		Perguntado sobre a idade de seu filho Júnior, José respondeu o seguinte: "Minha idade quando somada à idade de Júnior é igual a 47 anos; e quando somada à idade de Maria é igual a 78 anos. As idades de Maria e Júnior somam 39 anos." Qual a idade de Júnior?
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	4 anos
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Durante um ano, Vicente economizou parte do seu salário, o que totaliza R$100.000,00. Sendo um jovem com boa visão para os negócios, resolve investir suas economias em um negócio relacionado à área alimentícia que deverá resultar em um rendimento de R$9400,00, sobre seus investimentos anuais. A aplicação oferece um retorno de 4% ao ano e o título, 10%. O valor para ser investido é decidido pelo investidor e um valor y, obrigatório, é decidido pelo acionista principal da empresa. Com base nessas informações, é possível calcular os valores de x e y, resolvendo-se um sistema de duas equações dado por :
                                                       
                                                   
 
É correto afirmar que os valores de x e y são respectivamente iguais a:
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	10.000 e 90.000
	
	
	
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Coma base na matriz ampliada a seguir indique a alternativa que representa as equações correspondentes?
⎡⎢⎣234112321343⎤⎥⎦[234112321343]
	
	
	
	2x + 3y + 4z = 1
x + 2y + 3z = 2
x + 3y + 4z = 3
	
	
	2x + y + z = 3
x + y + 3z = 4
x+ 3y + z = -5
	
	
	x + y + z = -5
2x + 2y + 3z = 6
3x + 3y + 4z = -5
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Durante um torneio de matemática, uma das questões propostas dizia que a soma das idades de duas pessoas totaliza 96 anos e que a diferença entre as idades dessas pessoas é igual a 20. Abaixo está representado o sistema referente a essa situação. É correto afirmar que a idade da pessoa mais velha corresponde a :
 
                                                       
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	58 anos
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Coma base na matriz ampliada a seguir indique a alternativa que representa as equações correspondentes?
⎡⎢⎣224−112321343⎤⎥⎦[224-112321343]
	
	
	
	x + y + z = -5
2x + 2y + 3z = 6
3x + 3y + 4z = -5
	
	
	x + 2y + z = 6
x + 2y + 3z = 3
2x + 3y + 4z = -2
	
	
	x + y + 4z = -5
3x + 2y + 3z = 6
x + 3y + 4z = -4
	
	
	2x + 2y + 4z = -1
x + 2y + 3z = 2
x + 3y + 4z = 3
	
	
	2x + y + z = 3
x + y + 3z = 4
x+ 3y + z = -5
	
Explicação:
Cabe observar que a matriz ampliada deve ser obtida com o acréscimo de uma coluna, com os termos independentes, à matriz dos coeficientes.
Dessa forma podemos estruturar as seguintes equações:
2x + 2y + 4z = -1
x + 2y + 3z = 2
x + 3y + 4z = 3
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Coma base na matriz ampliada abaixo, qual opção representa as suas equações ?
⎛⎜⎝2−13511−123250⎞⎟⎠(2−13511−123250)
	
	
	
	6x + 2y + 7z = 7
	
	
	2x + y + 3z = 5
-x + y + 2z = 2
3x -y + 5z = 0
	
	
	2x - y + 3z = 5
x + y - z = 2
3x + 2y + 5z = 0
 
	
	
	2x + y + 3z + 5 
-x + y + 2z + 2 
3x -y + 5z +0 
	
	
	A.A-1 = I
	
Explicação:
	A matriz ampliada é obtida quando você acrescenta a matriz dos coeficientes uma coluna com os termos independentes.
Assim, na mariz apresentada ⎛⎜⎝2−13511−123250⎞⎟⎠(2−13511−123250), os elementos 5, 2 e 0 da última coluna são os termos independentes.
Conclusão:
Com base na matriz ampliada acima, podemos montar as seguintes equações:
2x - y + 3z = 5
x + y - z = 2
3x + 2y + 5z = 0
 
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Em uma lanchonete, 2 sanduíches naturais mais 1 copo de suco custam R$ 10,00, e 1 sanduíche natural mais 2 copos de suco custam R$ 9,20. O preço de um sanduíche natural mais um copo de suco é
	
	
	
	R$ 6,40.
AULA 4
		1.
		Dada as equações:
x + y + z = 1
2x - y + z = 0
x + 2y - z = 0
Com base na regra de CRAMER, cálcule o Dx.
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	-1.
	
		2.
		Suponha que uma matriz A quadrada de ordem n tenha determinante igual a 2. Considere a matriz B tal que B = 2A. Encontre o determinante de B, ou seja, det(B).
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	2n + 1 
	
		3.
		Se A e B são matrizes quadradas tais que AxB seja possível, e que det(A) = 3 e det(B) = 5, então o det (AxB) será:
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	15
	
	
	
	 
	
	
		4.
		Uma das formas de resolver um sistema linear que foi abordado nas aulas é a regra de CRAMER.
Para resolução de um sistema linear baseado na regra de cramer, identifique nas afirmativas abaixo a única verdadeira.
	
	
	
	X = A-1b e det(A) ≠≠ 0.
	
	
	
	 
	
	
		5.
		Com base nas equações a seguir:
x + y = 5
x - y = -7
Qual alternativa abaixo representa a matriz ampliada e a matriz escalonada, respectivamente?
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	(1151−1−7 )(1151−1−7 )  e   (115016 )(115016 )
	
	
	
	
	
	
	
		6.
		Sejam A e B matrizes de ordem n tais que Det A = 3 e Det B = 5 , podemos afirmar que o Det (AB) é igual a :
	
	
	
	
	
	
	15
	
	
	
	
		7.
		Suponha uma matriz quadrada A4x4 tal que seu determinante valha 3, ou seja, det (A) = 3. Qual o determinante de 2A, ou seja det(2A).
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	48
	
	
	
	
	 
	
	
		8.
		Qual é o valor do determinante 3x3 a seguir:
2  3  5
4 -2  3
1 0  0
	
	
	
	10
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
AULA 5
		1.
		Considere os vetores u = (1, -2, 3, -4, 5) e v = (6, 7, -8, 9, -10) de R5. Então o vetor u + v vale:
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	(7, 5, -5, 5, -5)
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Determine o valorde a para que o vetor u = (-1,a,-7) seja combinação linear dos vetores de S = {(1,-3,2),(2,4,-1)}.
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	a = 13
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Considere os vetores u = (-1, -2, 3, -4, -5) e v = (6, 7, -8, 9, -10) de R5. Então o vetor u + v vale:
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	(5, 5, -5, 5, -15)
	
	
	
	
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Qual dos vetores abaixo não é uma combinação linear do vetor v=(2,4,8)?
	
	
	
	
	
	
	(20,40,90)
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Com base nos conceitos de espaços vetoriais podemos definir que:
Se definirmos o vetor u = ( -2, 5, 11, -3) e o vetor v = (4, -3, -4, 6),qual o resultado da operação do vetores u -  2v ? 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	(-10, 11, 19, -15).
	
	
	
	
	 
	
	
		6.
		Considere os vetores u = (1, 2, 3, 4, 5) e v = (-6, -7, 8, 9, 10) de R5. Então o vetor u + v vale:
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	(-5, -5, 11, 13, 15)
	
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Considere os vetores u = (1, 2, 3, 4, 5) e v = (6, 7, -8, 9, -10) de R5. Então o vetor u + v vale:
	
	
	
	(7, 9, -5, 13, -5)
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Com base nos conceitos de espaços vetoriais podemos definir que:
Se definirmos o vetor u = ( -2, 5, 11, -3) e o vetor v = (4, -3, -4, 6),qual o resultado da operação do vetores  3v - 2u? 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	(16, -19, -34, 24)
AULA 6
		1.
		Se os vetores u = (1, 2, -1) e v = (3, k, -3) são Linearmente Independentes, então:
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	K é diferente de 6
	
	
	
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Após dispor os vetores como linhas de uma matriz A e seguindo a forma prática de descobrir se um vetor é Linearmente Independente(LI) ou Linearmente Dependente(LD), qual afirmativa abaixo indica que um vetor é LD?
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	Se a matriz A dos vetores for quadrada e o det(A) =0.
	
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Resolva o sistema linear, utilizando a técnica de escalonamento.
  x  +  y  -   z =  0
  x - 2y + 5z = 21
4x +  y + 4z = 31
 
	
	
	
	S = { (2, 3, 5) }
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Com base na vetor M = {[10],[01],[11][10],[01],[11]} , qual alternativa abaixo é verdadeira?
	
	
	
	
	
	
	A vetor M é LD(Linearmente Dependente).
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Determine o valor de K para que os vetores u = (3, 2) e v = (9, k) sejam linearmente dependentes:
	
	
	
	
	
	
	k = 6
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Qual dos vetores abaixo não é uma combinação linear do vetor v=(10,100,10)?
	
	
	
	(1000,10000,100)
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Sejam as matrizes a seguir A = (aij)4x3 , aij = ij B = (bij)3x4 , bij = ji Se C = A. B, então c22 vale:
	
	
	
	84
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Após dispor os vetores como linhas de uma matriz A e seguindo a forma prática de descobrir se um vetor é Linearmente Independente(LI) ou Linearmente Dependente(LD), qual afirmativa abaixo indica que um vetor é LD?
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	Se a matriz A dos vetores não for quadrada e o posto de A < números de vetorers envolvidos.
AULA 7
		1.
		Uma matriz A = (aij)3x3 é definida conforme descrito abaixo. A soma de todos os seus termos será:
 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	21
	
	
	
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Determine a imagem do vetor v = (1, -2) pela Transformação Linear T(x,y) = (8x + 3y, x - y).
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	(2,3)
	
	
	
	 
		
	
		3.
		
Qual opção a seguir é verdadeira em relação a afirmativa acima?
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	O vetor V é LI(Linearmente Independente) e V gera V.
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Determine a imagem do vetor v = (2, 7) pela Transformação Linear T(x,y) = (2x - 2y, 4x - y).
	
	
	
	(-10,1)
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Determine a imagem do vetor v = (2, -5) pela Transformação Linear T(x,y) = (x + 3y, x - 5y).
	
	
	(-13,27)
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Com base no conceito de dimensão do Espaço Vetorial, define-se que qualquer base de um espaço vetorial tem sempre o mesmo número de vetores. Podemos representar a dimensão de V por dim V = n.
Dentro desse conceito, assinale nas opções abaixo a dimensão de V = R3 / {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} ?
	
	
	
	3
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Com base no conceito de dimensão do Espaço Vetorial, define-se que qualquer base de um espaço vetorial tem sempre o mesmo número de vetores. Podemos representar a dimensão de V por dim V = n.
Dentro desse conceito, assinale nas opções abaixo a dimensão de V = R2 / {(1,0), (0,1), (1,1), (0,1)} ?
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	2
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Com base no conceito de geometria espacial, assinale a opção que identifica um vetor  que representa, na geometria espacial do conjunto  ,  todos os vetores no espaço.
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	→v=a→i+b→j+c→k
AULA 8
		1.
		Determine a imagem do vetor v = (-2, 1, -1) pela Transformação Linear T(x,y,z) = (2x, y+z, x - y - z).
	
	
	
	(-4, 0, -2)
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Determine a imagem do vetor v = (-2, 1, 2) pela Transformação Linear T(x,y,z) = (x+y, y+z, z+ x).
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	(-1, 3, 0)
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Determine a imagem do vetor v = (-1, 2) pela Transformação Linear T(x,y) = (-2y, 0).
	
	
	
	(2,0)
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Determine a imagem do vetor v = (1, -2, 1) pela Transformação Linear T(x,y, z) = (x+y+2z, 2x - y, 0).
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	(1, 4, 0)
	
	
	
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Determine a imagem do vetor v = (-1, 2, 0) pela Transformação Linear T(x,y,z) = (z, 0, x).
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	(0, 0, -1)
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Determine a imagem do vetor v = (2, -3) pela Transformação Linear T(x,y) = (x - 2y, 2x).
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	(8,4)
AULA 9
		1.
		Se duas linhas (colunas) de A são iguais, então det(A) = ?
	
	
	
	
	
	
	0
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Considere no espaço vetorial R3 os vetores u = (1, 2, 1), v = (3, 1, -2) e w = (4, 1, 0). Marque a alternativa que indica a solução da equação 3u + 2x = v + w.
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	x = (2, -2, -5/2)
	
	
	
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Sabe-se que uma matriz A3x3 é formada por elementos aij, tais que aij=i2/j.
Em relação ao determinantes da matriz A é correto afirmar que:
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	det(A)=0
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Considere no espaço vetorial R3 os vetores u = (1, 2, 1), v = (3, 1, -2) e w = (4, 1, 0). Marque a alternativa que indica a solução da equação 3u + 2x = v + w.
	
	
	
	
	
	
	x = (2, -2, -5/2)
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Calcule os valores de x, y e z nos sistemas e responda qual o valor de x + y + z?
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	11
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Qual é o valor do determinante 3x3 a seguir:
2  3   5
4 -2  0
1 0  0
	
	
	
	
	
	
	10
AULA 10 
		1
          Questão
	
	
	Encontre o polinômio característico da matriz 2X2 abaixo:
1 3
2 4
		
	
	
	
	
	 
	λ²-5λ-2
	
	
	
	
	
	
	
	 
		2
          Questão
	
	
	Determine a imagem do vetor v = (3, 4) pela Transformação Linear T(x, y) = (x - y, 3x + y).
		
	 
	(-1, 13)
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	 
		3
          Questão
	
	
	Encontre o polinômio característico da matriz 2X2 abaixo:
4 3
2 1
	
	
	
	 
	λ²-5λ-2
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	 
		4
          Questão
	
	
	Seja T (x, y) = (5x, -2y - 3x) uma transformação linear T:R2→R2. Determine a imagemdo vetor v = (5, 1).
		
	 
	(25, -17)
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	 
		5
          Questão
	
	
	Seja T (x, y) = (5x, -2y-3x) uma transformação linear T:R2→R2. Determine a imagem do vetor v = (3, 4).
		
	 
	(15, -17)
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	 
		6
          Questão
	
	
	Seja T (x, y) = (5x, -2y - 3x) uma transformação linear T:R2→R2. Determine a imagem do vetor v = (4, 1).
		
	
	
	
	
	
	
	 
	(20, -14)
	
	(-12, -14)
	
	
	
	
	 
		7
          Questão
	
	
	Encontre o polinômio característico da matriz 2X2 abaixo:
2 3
5 1
	
	
	
	
	
	 
	λ²-3λ-13
	
	
	
	
	
	
	
	 
		8
          Questão
	
	
	Considere a matriz A abaixo:
A = ⎡⎢
⎢
⎢
⎢⎣50 0 005 0 014−3 0−1−2 0−3⎤⎥
⎥
⎥
⎥⎦[50 0 005 0 014-3 0-1-2 0-3]
		
	
	a) Os autovalores são 5 e -3, cada um com multiplicidade 2, tendo associado a matriz A à matriz diagonal D =  ⎡⎢
⎢
⎢
⎢⎣50 0 005 0 000−3 0−10 0−3⎤⎥
⎥
⎥
⎥⎦[50 0 005 0 000-3 0-10 0-3]
	 
	b) Os autovalores são 5 e -3, cada um com multiplicidade 2, tendo associado a matriz A à matriz diagonal D =  ⎡⎢
⎢
⎢
⎢⎣50 0 005 0 000−3 000 0−3⎤⎥
⎥
⎥
⎥⎦