Aula 6: Função do 2º grau

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Disciplina: Bases matemáticas aplicadas à
saúde
Aula 6: Função do 2º grau
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Apresentação
As equações do segundo grau são abordadas na história da matemática desde a época dos egípcios, babilônios, gregos,
hindus e chineses. O primeiro registro das equações polinomiais do 2º grau foi feito pelos babilônios. Eles tinham uma
álgebra bem desenvolvida e resolviam equações de segundo grau por métodos semelhantes aos atuais ou pelo método de
completar quadrados.
Nesta aula, estudaremos as equações do segundo grau, sua solução e analisaremos a representação grá�ca dessa função
que é uma curva aberta chamada parábola. Estudaremos também as funções do 2º grau que possuem diversas aplicações
no cotidiano, principalmente em situações relacionadas à Física, como movimento uniformemente variado, lançamento
oblíquo etc.
Objetivos
Desenvolver equações algébricas em situações problema contextualizadas com funções do 2º grau;
Identi�car a lógica da construção de um grá�co, a partir da correlação entre “X” e “Y” atrelada em uma função do 2º
grau;
Interpretar as informações contidas em um grá�co do 2º grau – parábola.
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Equação do segundo grau
Toda equação representada na forma ax + bx + c = 0 com a ≠ 0 é chamada de equação de 2º grau.
Veja alguns exemplos:
2
2x + 3x + 6 = 0
Comparando a
equação 2x + 3x + 6
= 0 com ax + bx + c
= 0
Temos:
a = 2
b = 3
c = 6
2
2
2
x + 5 = 0 ou x
+ 0x + 5 = 0
Temos:
a = 1
b = 0
c = 5
2 2
x + Kx + t = 0
Temos:
a = 1
b = k
c = t
2
-2x2 + 9x -
1
3
= 0
 Atenção! Para
visualização
completa da
tabela utilize a
rolagem
horizontal
Processing math: 9%
Temos:
a = -2
b = 9
c = -
1
3
Resolução de equações do segundo grau
Temos que lembrar que resolver uma equação na variável x signi�ca determinar o valor de x que satisfaça a equação dada. No
caso de uma equação de 2º grau do tipo ax + bx + c = 0 os valores de x que satisfazem esta equação são chamados de raízes da
equação e são obtidos pela Fórmula de Bhaskara.
Veja a equação a seguir:
2
x =
- b±√b2 - 4ac
2a
Podemos optar por calcular os valores que estão dentro da raiz quadrada separadamente. Dessa forma, dizemos que b – 4ac =
Δ (lê-se, Delta ou Discriminante).
A fórmula �cará:
2
x = -b± ∆
Uma equação de 2º grau pode ter duas soluções, uma solução ou nenhuma.
Se Δ > 0
Teremos duas raízes reais e diferentes.
Se Δ = 0
Teremos duas raízes reais e iguais.
Se Δ < 0
Não teremos raízes reais.
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A solução da equação x – 4x + 3 = 0 é x = 3 e x = 1
Equações completas
A equação é denominada equação completa do segundo grau quando a equação apresentar todos os coe�cientes a, b e c, (com b
e c diferentes de zero). Neste caso, o melhor método para a determinação das raízes da equação é com a utilização da fórmula de
Bhaskara.
Toda equação de 2º grau pode ser resolvida com a utilização desta fórmula. Devemos começar a resolver uma equação de 2º
grau identi�cando os coe�cientes a, b e c.
Veja como calcular as raízes da equação x – 4x + 3 = 0.2
1° Passo
Determinar os coe�cientes: a = 1, b = - 4 e c = 3, substituindo esses valores na fórmula Δ = b – 4ac, temos:2
Δ = (-4) – 4.(1).(3)2
2° Passo
Calcular Δ = b – 4ac:
Δ = (-4) – 4.(1).(3) = 16 – 12 = 4 . > 0 (serão duas raízes reais diferentes)
2
2
3° Passo
Calcular as raízes:
� =
−�± ∆√
��
=
−�−��± �√
�·�
= �
+�
�
�� =
�+�
�
= �
�
= 3
�� =
�−�
�
= �
�
= 1
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
2
1 2
Equações incompletas
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Quando uma equação do segundo grau apresentar o coe�ciente b = 0, ou o coe�ciente c = 0 ou os dois coe�cientes iguais a zero,
dizemos que a equação é incompleta.
Exemplo
3x – 9 = 0; b = 0
5x – x = 0; c = 0
3x – 9x =0; c=0
4x + 8 = 0; b=0
9x = 0; b = c = 0
2
2
2
2
2
Embora as soluções de equações incompletas também possam ser feitas pela fórmula, existem métodos mais simples de
solução. Vejamos:
Caso: c = 0
A equação é do tipo ax + bx = 0.
A variável x é um fator comum. Portanto, podemos colocá-la em evidência:
2
x(ax + b) = 0
Neste caso, as raízes da equação são: �� = 0 e �� =
−�
�
Saiba mais
Veja alguns exemplos resolvidos <galeria/aula6/anexo/a6_doc1.pdf> .
Assista ao vídeo Como usar a fórmula de Bhaskara: número de soluções <https://pt.khanacademy.org/math/algebra/quadratics
/solving-quadratics-using-the-quadratic-formula/v/quadratic-formula-3 > .
Assista, também, ao vídeo Exemplo resolvido: fórmula de Bhaskara (coe�cientes negativos) <https://pt.khanacademy.org
/math/algebra/quadratics/solving-quadratics-using-the-quadratic-formula/v/applying-the-quadratic-formula > .
Atividade
1. Calcule as raízes da equação 4x = 02
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2. Calcule as raízes das seguintes equações do segundo grau:
a) x + 3x - 28 = 0
b) 5x – x = 0
c) 3x – 9 = 0
d) �−
��
�
= 3
e) 
��
�
− �
�
= �
�
+ �
�
2
2
2
Função do segundo grau
As funções do 2º grau possuem diversas aplicações no cotidiano, principalmente em situações relacionadas à:
Física
Movimento uniformemente variado, lançamento oblíquo etc.
Biologia
Estudo do processo de fotossíntese das plantas.
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Administração e Contabilidade
Cálculos de custo, receita e lucro.
Engenharia Civil
Cálculo de diversas construções.
Dados os números reais a, b e c, com a ≠ 0, a função f: IR → IR de�nida por f(x) = ax +
bx + c é chamada de função do 2º grau ou função quadrática.
2
Exemplo
f(x) = 2x - x - 3
f(x) = x – 7x + 12
f(x) = -x – 2x + 1
f(x) = 2x –3x + 5
f(x) = -2x – 5x
f(x) = x
2
2
2
2
2
2
Valor numérico de uma função do segundo grau
Para se calcular o valor numérico de uma função f(x) = a.x + bx + c para x é dado por f(x ) = a.(x ) + b.x + c ou seja, basta
substituir x em f(x) por x .
Veja, a seguir, como calcular o valor numérico da função f(x) = 2x – 4x, para f(3).
2
n n n
2
n
n
2
f(x)= 2x – 4x → f(3) = 2.3 – 4.3 = 2.9 – 12 = 6 → f(3) = 62 2
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Atividade
3. Dada a função quadrática, f(x) = – x – x – 6 , determine: f(1) , f(9) e f(-2)2
Grá�co da função do segundo grau
O grá�co da função de�nida de IR em IR por: f(x) = ax + bx + c, com a ≠ 0 é uma curva chamada parábola. Ao construir o grá�co
de uma função quadrática, notaremos algumas propriedades importantes:
Concavidade
2
Se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima.
Se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo.
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Vértice
A parábola possui um eixo de simetria que a intercepta num ponto chamado vértice. Toda parábola tem um ponto de ordenada
máxima (a < 0) ou um ponto de ordenada mínima (a> 0). A este ponto V (x, y), chamamos de vértice da parábola.
O vértice é o ponto mais alto ou mais baixo do grá�co.
Para calcular as coordenadas do vértice, usamos:
Valor da abscissa x
�� =
−�
��
Valor da ordenada y
�� =
−∆
��
Portanto:
� =
−�
��
,
−∆
��
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Podemos calcular o valor da ordenada y do vértice, substituindo, na função, o valor da abscissa x encontrado anteriormente e
calcular seu valor numérico.
A fórmula �� =
−∆
��
 só é interessante quando você já calculou o valor do delta ou quando o valor do x é na forma de fração.
Exemplo
Para calcular as coordenadas do vértice da função:
y = x + 40x – 100
Para calcular o valor da abscissa:
�� =
−�
��
=
−��
�
= − 20
Para calcular o valor da ordenada:
y = x + 40x – 100
y = (–20) + 40(–20) - 100
y = 400 – 800 – 100
y = – 500
O vértice da parábola y = x + 40x – 100 é V = ( –20, –500).
2
2
2
2
Pontos notáveis do grá�co
Para construir o grá�co da função de 2º grau devemos seguir o mesmo procedimento utilizado para função do primeiro grau. É
importante que você determine alguns pontos da parábola que facilitam a construção do grá�co:
Determinamos as raízes da função (pontos nos quais y = 0).
Determinamos as coordenadas do vértice.
Atribuímos a x dois valores menores e dois maiores que o x dovértice e calculamos os correspondentes valores de y.
Construímos uma tabela com os valores encontrados.
Marcamos os pontos obtidos no plano cartesiano.
Traçamos o grá�co.
A seguir, veremos na prática como construir um grá�co. Como exemplo utilizaremos a função y = x – 4x + 3.
Para determinar as raízes da função (pontos nos quais y = 0) devemos seguir três passos:
2
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Clique nos botões para ver as informações.
Determinar os coe�cientes: a = 1, b = - 4 e c = 3.
Primeiro passo 
Calcular Δ = b – 4ac.
Δ = (-4) – 4 .(1).(3) = 16 – 12 = 4 . > 0 (serão duas raízes reais diferentes).
Segundo passo 
2
2
Calcular as raízes.
�� =
�+�
�
= �
�
= 3
� =
−�± ∆√
��
=
−�−��± �√
�·�
= �±�
�
�� =
�−�
�
= �
�
= 1
As raízes são x = 3 e x = 1, ou seja, temos os pares (3, 0) e (1, 0). Em seguida, determinamos as coordenadas do vértice.
�� =
−�
��
=
−�−��
�·�
=
+�
�
= 2
�� =
−∆
��
=
−�
�·�
= − 1
Portanto:
V = (2, - 1)
Atribuímos a x dois valores menores e dois maiores que o x do vértice e calculamos os correspondentes valores de y.
x = 2
Então escolheremos x= 0, x = 1, x = 3 e x = 4.
f(0) = 0 – 4.0 + 3 = 3 ----------- par (0, 3)
f(1) = 1 – 4.1 + 3 = 0 ----------- par(1, 0) por coincidência esse ponto é uma raiz
f(3) = 3 – 4.3 + 3= 0 ----------- par (3,0) por coincidência esse ponto é uma raiz
f(4) = 4 – 4.4 + 3=3 ----------- par (4, 3)
Terceiro passo 
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
1 2
v
2
2
2
2
Resumindo as informações obtidas no terceiro passo, teremos o seguinte grá�co.
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 Parábola da função y = x – 4x + 3, com concavidade virada para cima, pois a > 0.2
Agora, veremos outro exemplo prático de construção de grá�co. Neste exemplo, utilizaremos a função y = - x + 2x + 3.
Novamente, iremos determinar as raízes da função (pontos nos quais y = 0).
2
Clique nos botões para ver as informações.
Determinar os coe�cientes: a = -1, b = + 2 e c = 3.
Primeiro passo 
Calcular Δ = b – 4ac.
Δ = (2) – 4 .(-1).(3) = 4 + 12 = 16 . > 0 (serão duas raízes reais diferentes).
Segundo passo 
2
2
Calcular as raízes.
� =
−�± ∆√
��
=
−���± ��√
�·�−��
=
−�±�
−�
�� =
−�+�
−�
= �
−�
= − 1
�� =
−�−�
−�
=
−�
−�
= 3
Terceiro passo 
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As raízes são x = -1 e x = 3, ou seja, temos os pares (-1, 0) e (3, 0).
Determinamos as coordenadas do vértice.
�� =
−�
��
=
−���
�·�−��
=
−�
−�
= 1
�� =
−∆
��
=
−��
�·�−��
=
−��
−�
= + 4
Portanto:
V = (1, 4)
Atribuímos a x dois valores menores e dois maiores que o x do vértice e calculamos os correspondentes valores de y.
x = 2
Então, escolheremos x = -1, x = 0, x = 2 e x = 3.
f(-1) = - (-1) + 2(-1) + 3 = 0 -------- par (-1, 0) Por coincidência, o ponto é uma raiz.
f(0) = - (0) + 2(0) + 3 = 3 -------- par (0, 3)
f(2) = - (2) + 2(2) + 3 = 3 -------- par (2,3)
f(3) = - (3) + 2(3) + 3 = 0 -------- par (3,0) Por coincidência, o ponto é uma raiz.
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
1 2
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
v
2
2
2
2
Resumindo as informações obtidas no terceiro passo, teremos o grá�co a seguir. Note que desta vez a concavidade está voltada
para baixo.
 Gráfico da função y = - x + 2x + 3 com concavidade voltada para baixo, pois a < 0.2
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Saiba mais
Chegou a sua vez de colocar em prática o conhecimento adquirido, faça o exercício de parábolas <https://pt.khanacademy.org
/math/algebra/quadratics/parabolas-intro-alg1/e/parabolas-intro > .
Máximos e mínimos de uma função do 2º grau
A seguinte regra vale para encontrar o ponto de máximo ou mínimo de uma função do 2º grau:
Mínimo da função

Se a > 0, ou seja, se a concavidade da parábola for virada para cima, o ponto do vértice é o mínimo da função.

Máximo da função

Se a < 0, ou seja, se a concavidade da parábola for virada para baixo, o ponto do vértice é o ponto máximo da função.
Atividade
4. O valor máximo da função f(x) = - x + 240x + 2.000 é:2
5. A função f(x)= x - 2x + 1 tem valor mínimo no ponto igual a:2
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6. A temperatura, em graus centígrados, no interior de uma câmara é dada por f(t) = t – 7t + A.
Onde:
• t é medido em minutos;
• A é constante.
Se no instante t = 0 a temperatura é de 10°C, qual será o tempo gasto para que a temperatura seja mínima?
2
7. Um psicólogo constatou que a capacidade de aprendizagem depende da idade e pode ser medida por pela equação �(�) = −
��
�
�
+ 60�− 24 onde t se refere à idade da pessoa em anos.
A capacidade de aprendizagem começa a decrescer a partir de qual idade?
Notas
Referências
RATTAN, Kuldip; KLINGBEIL, Nathan. Matemática básica para aplicações de engenharia. Rio de Janeiro: Grupo Editorial Nacional,
2017.
GUIMARÃES, L.G.S., et al. Bases matemáticas para Engenharia. Rio de Janeiro: SESES, 2015.
Próxima aula
Funções exponenciais em diferentes bases;
Propriedades e dos grá�cos das funções exponenciais.
Explore mais
Leia o texto Pontos notáveis da parábola; <https://www.resumoescolar.com.br/matematica/pontos-notaveis-da-parabola>
Assista ao vídeo Interpretação de 7 problemas com equação do 2º grau. <https://www.youtube.com
/watch?v=nS5uV9DaTmU>
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