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PESQUISA OPERACIONAL PESQUISA OPERACIONAL Apresentação Seja bem-vindo(a) à disciplina Pesquisa Operacional! Esta é uma área que estuda, desenvolve e aplica métodos analíticos avançados, com o uso de uma metodologia administrativa multidisciplinar, que agrega quatro ciências fundamentais – Economia, Matemática, Estatística e Informática –, no processo de preparação, análise e tomada de decisão. Mediante esse embasamento, esta disciplina tem como objetivo preparar o profissional para a tomada de decisão, por meio da aplicabilidade gerencial, métodos estatísticos e matemáticos para solucionar problemas do dia a dia, e construção de modelos e simulações computacionais. PESQUISA OPERACIONAL Introdução Caro(a) estudante, seja bem-vindo(a) à primeira unidade desta disciplina. Nela, você aprenderá sobre como foi o início da utilização e da exploração da Pesquisa Operacional (PO) e sua evolução em diversas áreas de conhecimento. Também compreenderá como funciona o processo de modelagem e tomada de decisão nas áreas gerenciais. Como a PO tem flexibilidade de aplicações e interação multidisciplinar, é utilizada e reconhecida em diversas áreas de conhecimento, por exemplo: problemas de transporte aéreo, supply chains, esportes, governo, fábricas de manufatura e educação. Nesse contexto, o profissional de PO é preparado para assimilar problemas e resolvê- los com o uso dos métodos analíticos e foco no resultado final. PESQUISA OPERACIONAL Histórico e evolução da Pesquisa Operacional e o processo de modelagem A utilização da Pesquisa Operacional teve início durante a Segunda Guerra Mundial, quando uma equipe multidisciplinar de pesquisadores (matemáticos, físicos, engenheiros e cientistas sociais) decidiu se reunir para resolver problemas relacionados às operações militares (ANDRADE, 2009). Essa equipe de pesquisadores conseguiu alinhar detalhes de natureza complexa, como: logística, tática, balística, estratégia de ataque, entre outras, e aplicou o método científico aos problemas que lhes eram passados para solucionar. Conforme os tais problemas chegavam, a equipe os transformava em modelos matemáticos, ou seja, procurava maximizar os poucos recursos disponíveis para as operações militares, em que conseguiam visualizar os dados e fatos, simulando (sem softwares e aplicativos) uma estratégia real, com dados hipotéticos. Assim, os soldados eram enviados ao campo de batalha com algumas estratégias e decisões a serem seguidas. Com o sucesso da aplicação de Pesquisa Operacional na Segunda Guerra Mundial, após o seu término, os pesquisadores perceberam que as técnicas poderiam ser utilizadas tanto no mundo acadêmico como no mundo empresarial. PESQUISA OPERACIONAL Por volta do ano 2000, a PO teve seu impulsionamento com a popularização dos computadores, pois alguns cálculos, que eram difíceis e demorados de serem feitos à mão, foram resolvidos, tendo em vista que os problemas poderiam ser modelados e simulados computacionalmente. Perante a multidisciplinaridade, atualmente, a Pesquisa Operacional (PO) tem aplicabilidade em todos os ramos da atividade diária. Como exemplos de aplicações reais da PO temos: decisões do tipo fazer ou comprar, escolha de carteira de investimento, escala de funcionários, problema da mistura, problema de produção e estoque, fluxo de caixa multiperíodo, roteirização etc. De acordo com Andrade (2009), um trabalho de pesquisa operacional, em geral, deve seguir algumas fases. Conheça-as na figura a seguir. Porém, o autor afirma que essa sequência de passos não precisa ser engessada e indica quais seriam aqueles a seguir para a tomada de decisão e modelagem do problema. Acompanhe a breve descrição das fases, apresentada a seguir. Percepção ou demanda por solução Definição do problema Experiência Validação do modelo Implementação do modelo Avaliação Solução do modelo Construção do modelo PESQUISA OPERACIONAL Definição do problema Nesse passo, é preciso identificar claramente o objetivo do estudo em questão, determinar as alternativas de decisão preexistentes e inerentes ao problema, e reconhecer as restrições e limitações do problema propriamente dito. A identificação do objetivo será uma das atividades mais importantes dentro do estudo, pois, a partir da sua definição, o modelo será construído. Construção do modelo Trata-se de representação dos objetivos em modelos matemáticos. Essa fase exigirá mais criatividade do analista, pois, quanto mais próximo da realidade conseguir chegar, melhor será o resultado obtido. Para a construção, há alguns modelos pré-estabelecidos, que são seguidos e adaptados, de acordo com o esperado. Esses modelos serão representados mais adiante. Solução do modelo A solução será obtida a partir do modelo criado na fase anterior, mediante um algoritmo e a sua simulação. Nessa fase, agilidade e conhecimento das técnicas de PO são fundamentais. Validação do modelo O processo de validação é realizado, analisando-se a solução encontrada no sistema, ou seja, uma variável aderente ao sistema, e verificando se a solução é aceitável. É importante observar que, quando se trata de um sistema inexistente, precisa-se inicialmente fazer uma verificação de correspondência entre os resultados e o comportamento pretendido. Implementação da solução É importante que essa implementação seja feita por uma equipe devidamente treinada, para identificar possíveis falhas rapidamente, de modo que o sistema não seja muito afetado, caso o problema precise ser reformulado no todo ou em algumas partes. PESQUISA OPERACIONAL Avaliação final A avaliação precisa ser realizada em todas as fases do processo, porém, a certificação de que os resultados estão de acordo com o esperado e que o modelo poderá ser aplicado constitui a avaliação final. Experiência A experiência da equipe de tomada de decisão será primordial em todas as etapas do processo, pois não se pode esquecer de que o modelo é uma representação simplificada do processo e não absorve todas as características inerentes ao sistema. Portanto, a visão crítica e a experiência do profissional serão fundamentais para a aplicação e o alinhamento do modelo. Caro(a) estudante, você chegou ao fim desta aula, parabéns! Nela, foi apresentado o mundo da Pesquisa Operacional e você pôde aprender sobre seu histórico e evolução, no sentido de compreender como funciona o processo de modelagem. Para complementar seu aprendizado, não deixe de realizar as atividades que acompanham esta aula. Até a próxima! PESQUISA OPERACIONAL Introdução Caro(a) estudante, seja bem-vindo(a) a mais uma unidade. Nela, você aprenderá a analisar e entender a importância de tomar decisões durante o processo de modelagem. Compreenderá que a Pesquisa Operacional facilita muito o processo de decisão, pois podemos utilizar modelos mediante a abordagem inerente à área de conhecimento. Assim, após a modelagem definida, pode-se fazer uma experimentação: avaliar e testar antes de a implementação ser realizada. Saiba que, com o uso de softwares de simulação, a Pesquisa Operacional desenvolve modelos versáteis, rápidos e interativos, permitindo, assim, melhor participação do homem na modelagem dos problemas e na tomada de decisão. PESQUISA OPERACIONAL A tomada de decisão e o processo de modelagem Quando os gestores se veem no meio de uma situação em que precisam tomar uma decisão entre uma série de alternativas, podem fazê-lo apenas por intuição ou realizar uma análise, por meio de uma modelagem. Com a crescente quantidade de informações disponíveis nos últimos anos, ficou impossível montar modelos com todas essas informações, portanto, antes da modelagem, é necessário separar as informações relevantes das irrelevantes. Além disso, mesmo com a infinidade de informações e modelos, a intuição dos tomadores de decisão ainda é muito importante, pois alguma variável pode estar sendo esquecida. Sendo assim, tanto a modelagem como a intuiçãosão importantes no momento da tomada de decisão, conforme é possível observar na figura a seguir. Para entender melhor o processo de tomada de decisão, podemos defini-lo como sendo um processo de identificação do problema ou de uma oportunidade, assim como a seleção de uma ação a fim de resolvê-la. Mundo Real Gênero Modelo DecisãoResultado Intuição Mundo para modelar Fonte: Adaptada de Lachtermacher (2007). PESQUISA OPERACIONAL Perceba que um problema acontece quando uma situação não está de acordo com o esperado; já a oportunidade surge quando existe a chance e a percepção de modificação no sistema, sendo possível alcançar objetivos melhores do que se espera. Segundo Lachtermacher (2007), alguns fatores que podem afetar a tomada de decisão são: • tempo para a tomada de decisão: algumas decisões precisam ser tomadas imediatamente, porém, outras demandam um tempo maior, dependendo muito do ambiente e do tipo de processo sobre o qual se deve tomar a decisão; • importância da decisão: a tomada de decisão precisa ser feita de forma acertiva, pois o mínimo erro pode levar uma empresa à falência, então, o grau de importância vai depender do custo ou do prejuízo ocasionado por essa resolução; • ambiente: precisa-se respeitar os aspectos relacionados ao local onde será tomada a decisão, por exemplo, aspectos étnicos da região, clima ou economia; • certeza (incerteza) de risco: ter certeza de que o momento é ideal para a tomada de decisão, por exemplo, no caso de um país em crise financeira; • decisores: quanto maior for o grupo de pessoas envolvidas na tomada de decisão, melhor será o resultado obtido. Isso porque a tomada de decisão individual nem sempre será a ótima, pois, quanto mais cabeças pensantes envolvidas, melhor será o raciocínio para a deliberação; • conflito de interesses: a tomada de decisão não pode ser afetada por conflitos de interesses, visto que, quando ocorre um caso de divergência, pode ocorrer perda ou prejuízo. Portanto, o decisor final não pode se deixar afetar. PESQUISA OPERACIONAL Além disso, a tomada de decisão pode ser classificada de três formas: nível hierárquico, tipo de informação disponível e número de decisores. Nível hierárquico da empresa: diferentes tipos de cargos por níveis operacionais em uma empresa. • Estratégico: composto pelo nível mais alto da empresa (diretores, acionistas, presidente, CEO etc.), é o nível em que são tomadas as decisões de grande impacto para a organização. Por exemplo: investimento para os próximos anos. • Gerencial: composto pelo nível intermediário da empresa (tomadores de decisão, coordenadores etc.), é o nível em que são tomadas as decisões de médio impacto para a organização. Por exemplo: estabelecimento financeiro para manter relacionamento comercial. • Operacional: composto pelo nível operacional da empresa (supervisores, funcionários etc.), é o nível em que são tomadas as decisões de baixo impacto para a empresa. Por exemplo: escala de funcionários. Tipo de informação disponível: formas de definir as informações referentes ao processo, pois o sucesso no resultado dependerá das informações fornecidas de forma adequada. • Estruturada: todas as variáveis relevantes ao processo são conhecidas. • Semiestruturada: algumas variáveis relevantes ao processo são conhecidas. • Não estruturada: nenhuma das variáveis relevantes ao processo é conhecida. • Número de decisores: quantidade de pessoas que fazem parte dos grupos multidisciplinares para a tomada de decisão (LACHTERMACHER, 2007). • Individual: a tomada de decisão é feita por apenas um agente. Não é uma opção ideal, pois será o ponto de vista de apenas uma pessoa. • Grupo: a tomada de decisão é feita por vários agentes. Aqui, teremos a visão de várias pessoas com pensamentes e formações diferentes e, nesse caso, a tomada de decisão abrangerá variáveis com visões diferentes. As vantagens de quando o(s) agente(s) toma(m) a decisão pelo uso de modelagem são: PESQUISA OPERACIONAL • os modelos precisam de uma boa definição dos objetivos, ou seja, isso força que os objetivos sejam explícitos; • os modelos identificam e armazenam as diferentes decisões, de acordo com os objetivos; • os modelos armazenam as diferentes decisões e as suas relações; • os modelos necessitam da identificação das variáveis que serão inclusas ao processo, além disso, precisa-se saber a qual termo elas serão quantificáveis; • os modelos necessitam das restrições, pois precisam saber até que ponto podem chegar, visto que os recursos nunca são infinitos. Portanto, precisam explicitar quais serão as restrições inerentes ao processo; • os modelos permitem adequações e entendimentos para a adaptação do processo e facilitação do trabalho. Sendo assim, os modelos ou modelagem são excelentes ferramentas para a tomada de decisão, pois resultados consistentes podem ser avaliados e analisados, evitando-se ao máximo o erro em uma decisão intuitiva. Caro(a) estudante, você chegou ao fim desta aula, parabéns! Nela, aprendeu a importância de tomar decisões durante o processo de modelagem e analisar a tomada de decisão. Para complementar seu aprendizado, não deixe de realizar as atividades que acompanham esta aula. Até a próxima! PESQUISA OPERACIONAL Introdução Caro(a) estudante, seja bem-vindo(a) a mais uma unidade. Nela, você identificará, no processo de tomada de decisão da empresa, quais são as questões que podem ser levantadas no procedimento de modelagem, simulação e análise dos resultados. Além disso, para o processo de modelagem, conhecerá os diferentes tipos de modelos, assim como as técnicas de resolução de um problema. Nesta unidade, também será abordada a construção dos modelos matemáticos para a geração de informações com vistas a um cenário futuro, ou seja, à construção de modelos de avaliação das possíveis consequências futuras em uma tomada de decisão. Destaca-se que, com esse conhecimento, você terá mais chances de decidir acertadamente. PESQUISA OPERACIONAL Diferentes tipos de modelos e o processo de resolução de um problema No mundo real, deparamo-nos com diversos tipos de situações, as quais precisamos analisar para tomar uma decisão. No processo de modelagem, são comuns essas mesmas ocorrências, e o analista precisa ter consciência delas para poder modelar, de acordo com o objetivo empresarial. Para saber mais, vejamos os diferentes tipos de modelos definidos por Andrade (2012): • modelos conceituais: relacionam, de maneira sequencial e lógica, as informações e as fases do processo de decisão, de modo a permitir o desenvolvimento controlado e consistente com os objetivos; • modelos simbólicos ou matemáticos: baseiam-se na definição de todas as informações e variáveis relevantes do problema de tomada de decisão, que podem ser quantificadas. Para representar o modelo, utilizaremos funções matemáticas e símbolos para descrever as ligações entre as restrições e suas limitações; • modelos heurísticos: são construídos quando a complexidade do problema é de tal ordem que a utilização de relações matemáticas se torna impraticável ou totalmente dispendiosa. São considerados modelos com grau de complexidade avançado. A seguir, estudaremos detalhadamente os modelos matemáticos, pois são primordiais para os objetivos da Pesquisa Operacional. Os demais modelos serão abordados em momento oportuno. Modelos matemáticos A Pesquisa Operacional consiste em uma metodologia que é mais bem desenvolvida quando é possível formular o problema em modelos matemáticos. Esses problemas dependem de vários fatores, como: relação matemática entre as variáveis, objetivos do encarregado da decisão, extensão do controle sobre as variáveis de decisão e nível de incerteza associado à variável de decisão. Por meio desses fatores, precisa-se definir qual é o tipo de modelagem que será utilizado, pois os modelos matemáticos podem ser divididos em modelos de simulação e modelos de otimização.Modelo de simulação: os modelos de simulação buscam informar o máximo possível de variáveis necessárias para que o sistema represente o mundo real; sendo assim, há PESQUISA OPERACIONAL algumas soluções para que o analista consiga definir qual seria a melhor opção. Destaca- se que, nesse modelo, há uma flexibilidade na escolha e na tomada de decisão. Observe o formato do modelo de simulação na figura seguinte: Modelo de otimização: esse modelo não permite flexibilidade, pois tem uma estruturação que possibilita chegar somente a uma única solução ótima, de acordo com critérios predefinidos pelo analista. Construção dos modelos de simulação Os modelos de simulação procuram oferecer uma representação do mundo real, com o objetivo de permitir a geração e a análise de alternativas, antes da implementação de qualquer uma delas. Nesse modelo, o analista tem total flexibilidade nas escolhas das alternativas e ações a serem tomadas, conforme a conveniência do ambiente. • Definição do problema: é preciso definir os objetivos a serem alcançados, fazer um fluxograma do problema para ter ideia do processo e do problema a ser solucionado. • Identificação das variáveis: com a etapa anterior definida, fica mais clara a definição das variáveis que serão relevantes ao processo. Destaca-se que o estabelecimento das variáveis é de extrema importância para a qualidade do modelo. Hipóteses Soluções Solução EscolhidaProcesso de escolha da melhor solução Modelo de Simulação Dados de Entradas no Sistema Decisão Solução ótima - Formulação do sistema - Critério de seleção da alternativa Modelo de Otimização PESQUISA OPERACIONAL • Formulação das equações do modelo: defi nidas as variáveis, é preciso organizá-las em formulações matemáticas, as quais podem ser defi nidas por meio da lógica do problema, de técnicas de estimação ou derivadas de outras variáveis por meio de relações algébricas. • Implementação do modelo: essa fase deve ser realizada por especialistas, pois, geralmente, os modelos são complexos. Nos últimos anos, as planilhas eletrônicas estão sendo muito utilizadas nessa etapa. • Teste do modelo: nessa fase, todo cuidado é necessário, pois serão realizados testes para ajustar o modelo, sendo preciso, inclusive, criar alguns cases para testar o modelo. • Aplicação do modelo: após a validação do modelo, já é possível utilizá-lo para gerar respostas. Exemplo: vejamos um exemplo muito simples, com o objetivo de exemplifi car cada uma das etapas. Suponha que uma empresa está iniciando no mercado com apenas um produto e deseja simular o lucro máximo que pode obter, de acordo com os diversos preços para o produto. a. Defi nindo o problema: para esse problema, precisamos relacionar preço com a receita, sabendo que preço e demanda têm uma relação inversamente proporcional e, como consequência, a receita também varia em função do preço. b. Defi nindo as variáveis: inicialmente, são defi nidas quatro variáveis: preço, quantidade, receita e lucro, em que: • preço: é o preço praticado na venda; • quantidade: é a quantidade vendida; • receita: é a receita total obtida com as vendas; • lucro: é o lucro líquido obtido pela venda, ou seja: lucro = receita – custo. c. Construindo o modelo: para a construção do modelo, precisa-se saber qual é a relação entre preço e demanda para poder simular o lucro em função do preço. Nesse momento, transformam-se os dados do problema em formulação matemática. Por exemplo: PESQUISA OPERACIONAL d. Aplicação do modelo: com a validação do modelo, o analista pode escolher o preço dentro dos valores obtidos com a solução. Construção dos modelos de otimização Os modelos de otimização procuram oferecer uma representação do mundo real, porém, com o objetivo de encontrar a sua utilização em problemas nos quais as variáveis podem assumir muitos valores ou variar em um grande intervalo. Nesse modelo, o analista não tem flexibilidade nas escolhas das alternativas, já que é estruturado para selecionar uma única alternativa, que será considerada a alternativa ótima. • Definição do problema: reconhecer o problema, para o qual será feita a otimização da melhor solução. • Identificação das variáveis: a definição das variáveis é muito importante, pois, quanto mais variáveis que demonstrem a realidade, melhor será o modelo de otimização. • Formulação da função-objetivo: determina o critério de otimização das variáveis de decisão, escrita em formulação matemática. • Formulação das restrições: restringe as variáveis a determinadas situações, as quais devem ser escritas em formulação matemática. • Definição do método matemático: escolha do método matemático adequado para a solução do problema. • Aplicação do método de solução: resolução das formulações matemáticas com o método para conhecer a solução. • Avaliação da solução: após a solução, esta deve ser avaliada por meio da experiência do administrador. Portanto, é necessária uma análise de sensibilidade pós-otimização. Exemplo: vamos supor que a empresa do exemplo de simulação queira estudar sua forma de estocagem de modo a otimizar sua operação, reduzindo o custo. a. Definição do problema (etapa 1): o gerente da empresa observou que o preço para armazenar um produto por um ano no estoque é de R$ 50. Esse custo foi levantado verificando-se a proporção em relação às variáveis para manter o produto no estoque. Consideraremos que o número de produtos no estoque será de 1.000 unidades. b. Identificação das variáveis (etapa 2): definem-se as seguintes variáveis: • A: quantidade anual de produto comercializado; PESQUISA OPERACIONAL • S: custo de manutenção do estoque, por unidade, por ano; • P: custo fi xo de colocação da encomenda, por pedido; • Q: quantidade ordenada ao atacadista para suprimento. c. Construindo o modelo (etapas 3, 4 e 5): nesse exemplo, teremos um modelo de minimização, pois a empresa deseja reduzir os custos de estocagem, assim, a função- objetivo poderia ser modelada da seguinte forma: em que: Sendo assim, o modelo será: Derivando a equção CT em relação a Q, igualando a zero, teremos o ponto mínimo, ou seja, o mínimo de encomendas necessário para o custo anual total (etapa 6). No entanto, como no modelo de otimização não é preciso fazer as contas manuais, o problema chegará à solução do ponto mínimo. PESQUISA OPERACIONAL Vejamos como seria calculado: Resolvendo: Sendo assim, o modelo identifi cou que a encomenda que minimizaria o custo total da operação do estoque seria de 200 unidades por vez. Perceba, portanto, que, se defi nirmos a restrição de que o fornecedor poderá entregar no máximo 180 unidades, a encomenda mais econômica será a de 180 unidades. Observe, na próxima fi gura, o processo de minimização sobre as restrições defi nidas anteriormente (etapa 7): Custo total Custo de manutenção Custo de colocação Quantidade Q • = 200 Q ≤ 180 $ PESQUISA OPERACIONAL Os modelos computacionais simulam todas as operações, tanto no estágio atual quanto sua possível evolução futura, correlacionando seu desenvolvimento com os diversos fatores ambientais a que a empresa está submetida, produzindo relatórios de lucros, perdas, fluxo de caixa e balanços completos que serão analisados para avaliar hipóteses. A integração desses modelos com o processo de planejamento de uma empresa é um dos fatores mais importantes para a sua eficácia como instrumento de análise e simulação dos resultados. (ANDRADE, 2012, p. 20). Caro(a) estudante, você chegou ao fim desta aula, parabéns! Nela, você aprendeu os métodos de tomada de decisão e como definir os passos para a modelagem. Para complementar seu aprendizado, não deixe de realizar as atividades que acompanham esta aula. Até a próxima! PESQUISA OPERACIONAL Introdução Nesta unidade, você aprenderá que, ao nos depararmos com situações em que é necessária a tomada de decisão e temos uma série de opções, um dos caminhos possíveis a ser escolhido para a modelagem matemáticaé utilizar planilhas eletrônicas. Isto porque essas planilhas nos fornecem condições de realizar simulações de forma fácil e prática, alterando as variáveis do problema com o objetivo de encontrar a solução ótima. Você entenderá também que o processo de criação de um modelo matemático ajuda no entendimento do problema e resulta em uma melhor tomada de decisão. O objetivo desta unidade é, portanto, evidenciar a utilização de planilhas eletrônicas no processo de tomada de decisão. PESQUISA OPERACIONAL Modelagem com planilhas eletrônicas De acordo com Lachtermacher (2007, p. 4), “[...] uma má definição do problema nos levará certamente a nada, além de perda de tempo e esforço”. Sobre esse assunto, saiba que há várias formas de modelagem para a resolução de problemas em uma planilha eletrônica, e as mais utilizadas são: Modelo Caixa Preta e Diagrama de Blocos. Modelo Caixa Preta: todas as informações listadas ao lado esquerdo serão as variáveis e parâmetros de entrada e, ao lado direto, será listado o resultado final, ou seja, a saída do modelo. Diagrama de Bloco: destaca a existência de relações entre as diversas variáveis do modelo e mostra como, a partir das variáveis externas e dos parâmetros destacados, chegamos às variáveis de medida de performance. PerformanceVariáveis de Decisão Parâmetros Consequências MODELO Identificação do problema Formulação do modelo Interpretação dos resultados Implementação e monitoramento Análise dos cenários Fonte: Lachtermacher (2007, p. 5). Fonte: Lachtermacher (2007, p. 4). PESQUISA OPERACIONAL Os modelos apresentados são úteis na organização do problema e auxiliam na etapa inicial do levantamento das premissas do modelo a ser utilizado. Equações matemáticas As equações matemáticas definem as relações existentes entre as variáveis do problema a ser resolvido. Por exemplo: suponha uma indústria que tem como objetivo desenvolver um modelo de previsão do lucro operacional mensal. Inicialmente, deve deduzir as equações que regem o lucro da empresa, transformando as relações entre todas as variáveis em equações matemáticas. Assim, a demanda de produtos se comportará de acordo com a equação: Quantidade Demandada de Produto = 15.000 - (5.000 X Preço do Produto) + (5.000 X Preço Médio do Produto Praticado pela Concorrência). Representação de equações no Excel A modelagem na planilha eletrônica nos auxilia no comparativo gráfico dos resultados que o modelo apresenta utilizando os dados reais que foram inseridos como dados de entrada na planilha. Dessa forma, podemos avaliar a eficácia do modelo adotado e se há ou não a necessidade de substituí-lo por outro. PESQUISA OPERACIONAL Observe o exemplo: uma auditoria realizada em determinada indústria identifi cou, por meio de dados contábeis, que o custo unitário do processo varia de acordo com a produção de determinado produto, ou seja, comporta-se de forma diferente da que o modelo havia previsto. Essa informação mostra uma falha no modelo inicial, pois um dos parâmetros do problema não está sendo representado adequadamente. Então, para tornar o nosso modelo de lucros mensais adequado, é necessário criar uma equação que representa, da melhor forma possível, o comportamento do custo unitário de processo em relação ao número de materiais produzidos. Podemos descobrir essa equação, pelo Excel, criando uma tabela e inserindo todos os dados contábeis coletados pela auditoria para, assim, poder compará-los. A etapa seguinte é a criação de um gráfi co de dispersão no Excel a fi m de comparar os resultados obtidos. Dessa forma, podemos visualizar o erro do modelo para a previsão dos custos de processo. y = 7,8682x – 63727 Custo de Processo Real Linear (Custo de Processo Real) Custo de Processo Modelo Custo de Processo (Real x Modelo) 400.000 200.000 0 5.000 10.000 15.000 20.000 25.000 30.000 35.000 fabricados Fonte: Elaborada pelo autor (2019) Fonte: Elaborada pelo autor (2019) PESQUISA OPERACIONAL Verificamos, primeiramente, o ajuste de um traço de tendência linear (gráfico de dispersão). Nesse sentido, substituindo a fórmula anterior (custo de processo = produtos produzidos X R$ 40,00) pela equação do traço de tendência linear (custo de processo = 0,7682 x número de produtos produzidos - 63727), temos um modelo final de lucros mensais mais real. Modelos de programação matemática De acordo com Goldbarg e Luna (2005, p. 11), “[a] Programação Matemática, na prática, é fortemente direcionada ao apoio da tomada de decisão no gerenciamento de sistemas de grande porte, especialmente no que diz respeito ao tratamento de variáveis quantificadas”. Andrade (2009, p. 22) complementa postulando que: “[...] em geral os recursos disponíveis não são suficientes para que todas as atividades sejam executadas no nível mais elevado que se possa desejar”. Assim sendo, o que se procura, nesses casos, é encontrar a melhor distribuição possível dos recursos entre as diversas tarefas ou atividades, de modo a atingir um valor ótimo do objetivo estabelecido. Essa relação entre as variáveis é descrita como equações e/ou inequações matemáticas. Destaca-se também que os modelos de programação matemática são os mais utilizados em questões gerenciais. Nessas questões, as grandezas representam as variáveis de decisão, e suas relações são definidas em expressões matemáticas, portanto, necessitando de informações quantificáveis a fim de atingir um objetivo. Esses modelos matemáticos podem ser classificados quanto ao nível de incerteza existente entre as relações das variáveis. Nesse contexto, uma interpretação feita de forma errônea, certamente, levará a uma perda de tempo e de esforço na resolução de determinado problema. Nesta unidade, você aprendeu sobre a importância da utilização de planilhas eletrônicas na modelagem de situações cotidianas. Entendeu que, para utilizar tal ferramenta, é necessário conhecer as variáveis de entrada do problema a ser solucionado para que a resposta seja rápida e acertiva na tomada de decisão. Para complementar seu aprendizado, não deixe de realizar as atividades que acompanham esta aula. PESQUISA OPERACIONAL Introdução Nesta unidade, você estudará sobre como encontrar graficamente uma solução para o problema de otimização com duas variáveis de decisão. Também vai entender que, para a resolução de tais problemas, devem ser identificados os objetivos, condições e restrições sob as quais se deve operar. Saberá como empregar métodos matemáticos para otimizar sistemas numéricos resultantes de dados inseridos na modelagem da decisão (ANDRADE, 2009). PESQUISA OPERACIONAL Problemas de programação linear com resolução gráfi ca e analítica A estrutura relacional dos sistemas modelados pode ser representada por desenhos ou símbolos. Nesse contexto, o comportamento funcional pode ser representado por funções de desempenho em que as possíveis entradas nos subsistemas são associadas às saídas geradas por ele (GOLDBARG; LUNA, 2005, p. 5). Dessa forma, quando temos um problema que envolve apenas duas variáveis de decisão, a respectiva solução ótima de programação linear pode ser encontrada grafi camente. Observe o seguinte problema de programação linear: No modelo apresentado, há duas variáveis básicas: X1 e X2. Vamos representá-las agora em um gráfi co bidirecional, tanto as restrições como a função-objetivo. Consideremos, inicialmente, a restrição da inequação X1 + 2 X2 ≤ 40. Além disso, temos a equação correspondente: X1 + 2 X2 = 40, em cujo gráfi co mostramos apenas o primeiro diedro, pois as variáveis somente podem receber valores positivos. Equação: X1+2X2=40 X1+2X2=40 10 20 30 5040 Equação: X1+2X2 ≤ 40 X1 X2 5 0 0 15 10 20 25 X1+2X2 ≤ 40 10 20 30 5040 X1 X2 5 0 0 15 10 20 25 Fonte: Elaborada pelo autor (2019) PESQUISA OPERACIONAL Considerando o conceito utilizado em Geometria Analítica, vamos representar um ponto de gráfico por (X, Y), sendo que cada pontodo segmento de reta traçado representa um par de variavéis (X1, X2), cujo produto será 40. Como a inequação prevê que podemos utilizar até 40 pontos, concluímos que os pontos, ou as variáveis (X1, X2), estão na região positiva, abaixo do segmento de reta que foi traçado e que atendem à inequação. Perceba que, nos gráficos apresentados, está o resultado dessa conclusão, incluindo-se também o gráfico utilizado para as restrições. Utilizando o mesmo raciocínio, mostramos os gráficos a seguir para as restrições X1 ≤ 24 e X2 ≤ 16. A região de soluções possíveis Adicionando as restrições em um único gráfico, teremos o formato apresentado a seguir, em que a interseção entre todas essas restrições produzirá a região Simplex. Ademais, seus pontos representam as variavéis (X1, X2), que atenderão todas as restrições, porém, qualquer ponto que esteja fora dessa regão não atenderá todas essas restrições. Sendo assim, nosso problema se baseia em como encontrar o ponto da região que será o maior valor para Z. A Restrição X1 < 24 X1 < 24 X1 = 24 05 10 15 3025 A Restrição X2 < 16 X1 X2 5 0 0 15 10 20 25 X2 < 16 X2 = 16 10 20 30 5040 X1 X2 5 0 0 15 10 20 25 Região Simplex 05 10 15 3025 X1 X2 5 0 0 15 10 20 25 Fonte: Elaborada pelo autor (2019) Fonte: Elaborada pelo autor (2019) PESQUISA OPERACIONAL Plotando a função-objetivo A função-objetivo Z=30X1+40X2 será transformada em: No diedro formado (X1, X2), a equação representa uma série de retas com parâmetro Z/40, ou seja, para cada valor atribuído a Z, teremos uma reta diferente. Destaca-se que todas as retas são paralelas entre si, por possuírem o mesmo coefi ciente angular (-3/4). Cada uma das retas do gráfi co seguinte foi criada a partir de um valor atribuído a Z, e qualquer ponto de uma mesma reta possui pontos ou pares de variáveis (X1, X2) que fornecem o mesmo valor atribuído à variável Z. Esse conjunto de retas é conhecido como iso-lucro. Podemos observar que, quanto mais distante a reta está da origem, maior será o valor de Z correspondente. Analisando a equação: 05 10 15 3025 X1 Z = 1.200 Z = 1.040 Z = 800 X2 5 0 0 15 10 20 25 Solução Ótima X1 = 24 X2 = 8 Z = 1.040 Fonte: Elaborada pelo autor (2019) PESQUISA OPERACIONAL percebemos que é semelhante à equação da reta y = ax + b, em que: a = -3/4 (coeficiente angular) e b = Z/40 (coeficiente linear). O termo b representará o ponto de interseção da reta com o eixo y. Estando as retas paralelas entre si, quanto mais distante da origem a interseção está, maior o valor de Z e mais distante estará a reta da origem. PESQUISA OPERACIONAL Tabulação e teoremas na programação linear Ao resolvermos uma programação linear manualmente, utilizamos a forma tubular do Método Simplex. Para tanto, devemos usar o quadro Simplex para fazer o registro apenas das informações básicas, que são: coefi cientes das variáveis, constantes das restrições e variáveis básicas e não básicas. Dado o problema a seguir, incluindo a introdução das variáveis, temos: as variáveis originais do problema são as não básicas; as variáveis de folga são as básicas (lado esquerdo das equações). Para a obtenção do quadro inicial, é necessário modifi cá-lo, de modo que obtenhamos o quadro Simplex. Assim, temos o dicionário inicial modifi cado a partir do problema proposto anteriormente. X1 + X3 = 3 X2 + X4 = 4 X1 + 2X2 + X5 = 9 Z – 5X1 – 2X2 = 0 Dessa forma, substituímos de lado as variáveis da equação que representam a função- objetivo, ou seja, para que o valor de Z seja aumentado, devemos encontrar as variáveis Forma-padrão Dicionário Inicial Fonte: Elaborada pelo autor (2019) PESQUISA OPERACIONAL de coefi ciente positivo da equação. Então, como as variáveis agora estão com os lados trocados, devemos encontrar as que possuem sinal negativo. A parada ocorrerá, portanto, quando todos os coefi cientes possuírem sinal positivo ou zero. Observe o quadro do problema: Perceba que as variáveis básicas são apresentadas na primeira coluna e seu respectivo valor está na mesma linha, na coluna fi nal. Por sua vez, as variáveis que não estão na primeira coluna possuem valor igual a zero. Observe que a solução encontrada foi idêntica ao método do dicionário, mas sem a necessidade de escrever qualquer equação. Então, temos como solução viável básica inicial (0,0,3,4,9) e Z = 0. Com a solução encontrada, podemos identifi car a solução ótima, conforme os sinais dos coefi cientes das variáveis X1 a X5, na linha Z. Como há coefi cientes negativos, podemos afi rmar que não atingimos a solução ótima. Isso porque a linha zero representa a função-objetivo, sendo assim, precisamos encontrar todas as variáveis que estão fora da base e que contêm o coefi ciente mais negativo, o que pode ser uma opção para encontrar a solução ótima. Nesta unidade, você aprendeu que a correta formulação do problema permite a visualização entre as relações que são importantes entre as variáveis de decisão, indicando a relevância que esses dados apresentam. Dessa forma, pôde avaliar quais são as variáveis de maior relevância, possibilitando realizar diversas tentativas sem que o sistema estudado seja interrompido. Você pôde entender também que, devido à complexidade dos problemas, a compreensão pode criar distorções quando da realização do modelo. Esse fato acarretará soluções diferentes da realidade, por isso, é necessário defi nir uma sistemática para testar o modelo e, consequentemente, a sua solução. Fonte: Elaborada pelo autor (2019) PESQUISA OPERACIONAL Introdução Nesta unidade, você aprenderá a identificar os diferentes tipos de restrições para problemas de forma não padrão, pois nem todos eles se encontram na forma-padrão (maximização com restrições ≤). Quando esse formato foge do padrão, precisamos empregar alguns métodos antes da utilização do Simplex. Assim, faremos a utilização do Solver do Excel para implementação de alguns casos. Aplicaremos também a programação linear ao mundo real, explorando uma série de exemplos com o uso do Solver do Excel, afinal, como sabemos, problemas do mundo real são definidos a partir de diversas variáveis, fato que tornaria inviável resolvê-los no formato gráfico. PESQUISA OPERACIONAL Diferentes restrições de problemas de forma não padrão (restrições de maior ou igual; restrições de igualdade e outros tipos) Conforme afirmamos na introdução, nem todos os problemas de programação linear seguem a forma-padrão. Portanto, no decorrer desta unidade, veremos como é o processo de resolução desse problema da forma não padrão. Antes, porém, vamos entender como seria utilizar essa mudança em um Problema de Maximização Simples. Primeiramente, vamos lembrar de que Min (Z)=Max (-Z), quando tivermos uma solução ótima. Considere o exemplo a seguir para melhor ilustrar a ideia de Maximização Simples. Para resolver esse problema, inicialmente, teríamos que introduzir a variável de folga. Neste caso, vamos inserir a variável nas duas primeiras equações. Se aplicarmos a variável de folga na terceira equação (cuja equação se encontra com o ≥), a diferença seria negativa. Considerando que para o método Simplex funcionar todas as variáveis precisam ser maiores ou iguais a zero, essa aplicação não seria resolvida, e a equação ficaria da seguinte forma: PESQUISA OPERACIONAL Contudo, quando organizamos todas as variáveis como uma formulação, temos a seguinte situação: Perceba que o valor de X5 não condiz com a restrição do problema, a qual precisa ser maior ou igual a zero, portanto, esse problema não seria viável (LACHTERMACHER, 2009). Vejamos alguns casos de restrições de maior ou igual, restrições com igualdade e problemas com todos os tipos de restrições e como devemos utilizar os métodos para tornar o problema viável. Para iniciar o estudo dos métodos, vamos reorganizar a equação apresentada como ponto de partida. Problemas com restrições de maior ou igual (≥) Nesse tipo de problema,utiliza-se o procedimento para a função-objetivo artificial, ou seja, é preciso introduzir uma variável de excesso (-1) e uma variável artificial (+1), ao lado esquerdo da restrição. Observe o exemplo: PESQUISA OPERACIONAL Após a inserção da variável artificial, deve-se resolver o problema, a fim de verificar se existe uma solução ótima. Por meio da resolução do problema exposto, explicaremos o processo utilizando o método Simplex para resolução. Saiba que, para montarmos o quadro apresentado a seguir, precisaremos modificar a função-objetivo. Nesse caso, teremos apenas uma variável artificial, então, nosso objetivo será o de minimizar o valor dessa variável. Assim, teremos: Min W=A1⟷Max-W=A1⟶- W+A 1 =0. Se a solução ótima tiver o valor de W=0, atingiremos o objetivo de encontrar uma solução viável; caso contrário, chegaremos à conclusão de que o problema não tem uma solução viável. Ao observar o quadro, notamos que existe uma inconsistência na função-objetivo (equação 1), pois, nas variáveis A1 e -W, o número 1 aparece nas duas colunas, sendo que o correto é aparecer apenas uma vez. Para eliminar essa inconsistência, devemos efetuar uma transformação linear, na equação 1. Para isso, faremos: PESQUISA OPERACIONAL Como o X5 não é variável para resposta, não teremos problema com a nova linha 1. A partir de agora, podemos utilizar o método Simplex para a solução. No próximo quadro, definiremos a sua menor coluna analisando a função-objetivo (linha 1) e decidiremos a linha com o menor coeficiente (Constante (Coluna definida)): O resultado é o apresentado no seguinte quadro: PESQUISA OPERACIONAL Ele se transforma, por sua vez, em: Como na linha 1 não temos mais qualquer número negativo, significa que atingimos a solução ótima para o problema. Podemos observar também que, tanto a função-objetivo como a variável artificial, assumiram o valor 0. Portanto, a partir deste último quadro, podemos chegar à solução do sistema, ou seja, encontrar a solução ótima para o problema. Para iniciar os cálculos, precisamos apenas substituir a linha 1 na equação Z-3X 1 +5X 2 =0. Também retiraremos a coluna da variável artificial. Ao substituir a função-objetivo, obteremos inconsistências no quadro, pois as variáveis X1 e X2 estão com valores diferentes de zero. Para iniciarmos o Simplex, precisamos retirar essa inconsistência. PESQUISA OPERACIONAL Após essa alteração, poderemos utilizar o método Simplex para encontrar a solução ótima. Problemas com restrições de igualdade (=) O método da função artificial deve ser utilizado quando temos restrições de igualdade. A metodologia é a mesma para o caso de quando temos restrições do tipo maior ou igual. Precisa-se introduzir uma variável artificial para cada restrição de igualdade e, em seguida, substituir a função-objetivo pela função do somatório das variáveis artificiais. Vejamos um exemplo. Inicialmente, deve-se introduzir a variável de folga na primeira restrição, e as variáveis artificiais na segunda e terceira restrições de igualdade. Em seguida, altera-se a função-objetivo: Min W=A 1 +A 2 ↔Max-W=-A 1 -A 2 ⟶-W+A 1 +A 2 =0 PESQUISA OPERACIONAL O próximo passo será montar o quadro inicial para resolver o problema e encontrar W=0, tornando-a uma solução viável. O problema, a partir desse passo, segue de forma semelhante ao anterior. Sendo assim, chegaremos ao seguinte quadro final: Como não existem mais variáveis negativas, significa que atingimos a solução ótima para o problema que foi alterado. Agora, deve-se gerar um novo quadro para encontrar a solução ótima, ou seja, inserir a função-objetivo. O problema, a partir desse passo, segue de forma semelhante ao anterior. Sendo assim, chegaremos ao seguinte quadro final: PESQUISA OPERACIONAL Como não existem mais variáveis negativas, significa que atingimos a solução ótima para o problema que foi alterado. Agora, deve-se gerar um novo quadro para encontrar a solução ótima, ou seja, inserir a função-objetivo. A partir deste ponto, o problema segue de forma similar ao anterior. Então, chegaremos ao seguinte quadro final, com o resultado da solução ótima: Problemas com todos os tipos de restrições Os problemas do cotidiano, geralmente, apresentam todos os tipos de restrições. Para solucioná-los, devemos utilizar o método da função artificial e as variáveis de folga, de excesso e artificiais. Observe, a seguir, um resumo para esses casos. PESQUISA OPERACIONAL Resumo das operações por restrição Tipo de problema Operação necessária Função-objetivo para minimização Transformar a minimização em maximização. Restrições de menor ou igual Inserir a variável de folga. Restrições de maior ou igual Inserir uma variável de excesso e outra artificial. Restrição de igualdade Inserir uma variável artificial. Constante negativa Multiplicar por (-1) a restrição. PESQUISA OPERACIONAL Aplicação de programação linear A programação linear é aplicada no dia a dia das empresas, pois facilita o resultado das soluções ótimas, mediante planilhas eletrônicas, tornando possível chegar a uma tomada de decisão mais rapidamente. Nesta seção, mostraremos quais seriam as possíveis aplicações. • Aplicações nas decisões do tipo “fazer ou comprar”: são utilizadas nos casos em que a empresa decidirá se deve, ela mesma, fazer o serviço ou terceirizar. • Aplicações na escolha de carteira de investimentos: dizem respeito a decidir qual o percentual do total investido que deve ser aplicado em cada tipo de título. • Escala de funcionários: relaciona-se à definição de quantas pessoas devem trabalhar em cada dia; quantas pessoas devem ser contratadas ou quantas precisam ser demitidas. • Problema da mistura: determina qual é a proporção ideal para um produto que será produzido a partir de várias matérias-primas. • Problema de produção e estoque: tem a ver com a definição de quantos produtos a empresa precisa comprar e vender em cada mês, trimestre, semestre etc. • Fluxo de caixa multiperíodo: determina qual é o montante que deve ser aplicado em cada investimento disponível. Esses são alguns exemplos de aplicação da programação linear. Todos devem ser resolvidos pelo Solver do Excel, sobre o qual iremos estudar na próxima seção. PESQUISA OPERACIONAL Solução ótima, utilizando o Solver do Excel Como os casos reais admitem muitas variáveis, fica inviável fazer as análises manualmente, portanto, a partir de agora, mostraremos uma ferramenta importantíssima e aliada da gerência na tomada de decisão: o Solver do Excel. Essa ferramenta é utilizada para que seja possível encontrar a solução ótima e analisar os resultados. Para iniciar, tomaremos como ponto de partida o exemplo de maximização com o modelo já predefinido: • na célula A1, digite X1 • na célula B1, digite 0 • na célula A2, digite X2 • na célula B2, digite 0 As células A2 e B2 guardarão os resultados das variáveis X1 e X2. Em seguida, deve-se definir a função-objetivo: • na célula A4, digite função-objetivo • na célula B4, digite =11*B1+12*B2 Lembre-se de que, na célula B4, será calculado o valor da função-objetivo, automaticamente, a partir da definição da função. Qualquer modificação nas células B1 ou B2 fará com que o valor da função-objetivo seja modificado. Agora, definiremos, então, as restrições do problema: • na célula A6, digite Restrições • na célula B6, digite = B1+4*B2 PESQUISA OPERACIONAL • na célula C6, digite <= • na célula D6, digite 10000 • na célula B7, digite = 5*B1+2*B2 • na célula C7, digite <= • na célula D7, digite 30000 • na célula B8, digite = B1 • na célula C8, digite >= • na célula D8, digite 0 • na célula B9, digite = B2 • na célula C9, digite >= • na célula D9, digite 0 A planilha final ficará conforme está demonstrado na imagem apresentada a seguir. PESQUISA OPERACIONAL Com a planilha formulada, iniciaremos a utilização do Solver do Excel. Na aba “Dados”, clicaremos no aplicativo Solver, conformea imagem seguinte. A partir desse momento, podemos definir os valores relacionados aos que estão formulados na tabela. Estabeleceremos, então, onde está cada uma das formulações na planilha. Na caixa “Definir Objetivo”, informaremos em qual célula está a formulação da função-objetivo, ou seja, em B4. Também será definido que teremos uma maximização, clicando em “Max”. Na caixa “Alterando Células Variáveis”, devem ser inseridas as células que serão ajustadas, ou seja, B1 e B2, lembrando que essas células apresentarão o resultado para X1 e X2. PESQUISA OPERACIONAL Na caixa “Sujeito às Restrições”, devem ser informadas as restrições do problema. Para adicionar esses dados, devemos clicar no botão “Adicionar” e estabelecer qual é a posição na planilha para cada restrição. Também precisamos definir se teremos restrições com ≥, ≤ ou =, sendo que esses passos devem ser repetidos até que as restrições acabem. PESQUISA OPERACIONAL Na etapa de definir um método de solução, selecione “Simplex”; depois, é só clicar no botão “Resolver”. Se tudo estiver correto, aparecerá a seguinte imagem: Se você clicar em “OK”, a imagem será fechada e aparecerá a planilha do Excel com os resultados encontrados para o problema. PESQUISA OPERACIONAL Veja que, para esse problema, a resposta foi X1 = 5555,55, X2 = 1111,11 e Z = 74444,44. A utilização de planilhas eletrônicas facilita significativamente os cálculos para encontrar a solução ótima de um problema. Faça sempre uso dessas ferramentas! Nesta unidade, você aprendeu como lidar com problemas de ≥ e = nas restrições e utilizar o Solver do Excel, que é uma ferramenta de extrema importância para a otimização. Para complementar seu aprendizado, não deixe de realizar as atividades que acompanham esta aula. PESQUISA OPERACIONAL Introdução Nesta unidade, você aprenderá a ler um relatório de resposta do software Solver, do Excel; saberá verificar onde está definida cada variável e a função-objetivo, assim como relacionar uma variável de folga ou de excesso.; também entenderá como utilizar o Solver para a implementação de alguns casos. Ainda nesta unidade, você aprenderá a aplicar a programação linear ao mundo real, na tomada de decisão em organizações financeiras; conhecerá problemas dos tipos decisões de comprar ou vender, carteira de investimentos, escala de funcionários e problemas da mistura. Por fim, estudará sobre problemas de controle de produção, estoque e fluxo de caixa multiperíodo. PESQUISA OPERACIONAL Relatórios do Solver e suas aplicações O Solver do Excel é um simulador que nos auxilia a encontrar o resultado da solução ótima mais rapidamente. Juntamente com a solução, há a opção de gerar o relatório de resposta, sensibilidade e limites. Nesta unidade, estudaremos somente o relatório de resposta, e, para melhor entender e interpretar esses relatórios, vamos utilizar o modelo apresentado a seguir. Vamos, inicialmente, interpretar o relatório de respostas para o problema defi nido. PESQUISA OPERACIONAL Saiba que, no início do relatório, devemos inserir algumas informações a respeito da simulação. Por exemplo, podemos ver que o Solver utilizou a metodologia Simplex para a resolução e que chegou à solução após quatro iterações, levando um tempo de 0,141 segundos. Essa informação pode ser observada nas linhas quatro e cinco do relatório. Além disso, o relatório mostra três planilhas: a primeira planilha tem relação com a função- objetivo; a segunda, com as variáveis de decisão; e a terceira, com as restrições. Na primeira coluna de cada tabela, inserimos o nome da célula que representa essa informação, ou seja, a função-objetivo está na célula B4. Já a segunda coluna apresenta o nome que foi definido para essa variável ou função. Na terceira coluna, para a tabela de função-objetivo e variáveis, inserimos o valor inicial de cada uma das variáveis e função-objetivo (nesse caso, todas elas iniciam sendo zero). Na quarta coluna, temos o valor para cada uma das variáveis e função-objetivo. É importante mencionar que, na terceira planilha, relativa às restrições, cada linha se refere a uma restrição. A primeira coluna, como as demais, mostra qual célula está alocada à restrição. Na terceira coluna, temos a limitação da restrição, ou seja, o valor que está ao lado direito da equação. Na quarta coluna, temos a fórmula da restrição. Na quinta coluna, podemos ter duas respostas: “associação” ou “não associação”. Associação significa que a restrição está restringindo a variável e definindo a solução, e a não associação não restringe a variável; neste caso, é a condição de não negatividade. A sexta coluna, por fim, representa as variáveis de folga ou excesso para tornar a desigualdade uma igualdade. Essas variáveis medem a diferença entre o lado esquerdo e o direito das restrições. Se a diferença for positiva, devemos introduzir uma folga; se a diferença for negativa, devemos introduzir um excesso (ANDRADE, 2009). PESQUISA OPERACIONAL Decisões para organização financeira, incluindo compras, investimentos, escala de funcionários e problemas de mistura Neste tópico, veremos alguns modelos utilizados na tomada de decisão em organizações financeiras. Vale ressaltar que cada gestor organiza seus dados de acordo com o seu conhecimento, portanto, temos diversas formas de organização no Solver (LACHTERMACHER, 2014). Vejamos o primeiro caso. Decisões do tipo fazer ou comprar Uma fábrica de móveis de madeira maciça recebeu recentemente R$ 1.000.000,00 em pedidos de três tipos de móveis (mesa, aparador e cristaleira). Cada móvel precisa de determinado número de horas de trabalho no setor de montagem e de acabamento. A tabela apresentada na sequência resume esses dados. Móveis Modelo Mesa Aparador Cristaleira Total Demanda 200 unid. 250 unid. 150 unid. 600 unid. Montagem 3 h/unid. 2,5 h/unid. 1,5 h/unid. 480 h Acabamento 4 h/unid. 2 h/unid. 3 h/unid. 480 h Custo de produção R$ 150,00 R$ 120,00 R$ 220,00 Terceirizado R$ 165,00 R$ 152,00 R$ 270,00 PESQUISA OPERACIONAL A fábrica deseja determinar quantos móveis deve produzir internamente, e quantos devem ser fabricados de forma terceirizada para atender a demanda dos pedidos. Resolução: o gestor precisa decidir qual é a melhor maneira de fazer as suas entregas, ou seja, maximizar o lucro de forma que consiga entregar seus produtos em tempo ótimo. Como estamos falando de receita, podemos usar tanto a função de maximização como a de minimização. Por exemplo, se utilizarmos a maximização: E se for minimização: O modelo será: PESQUISA OPERACIONAL A estrutura do Excel será detalhada conforme está demonstrado na fi gura a seguir. O Solver será defi nido conforme a fi gura apresentada na sequência. PESQUISA OPERACIONAL Chegando à seguinte solução: Isso signifi ca que a empresa precisará produzir 15 aparadores e 150 cristaleiras, além de terceirizar 200 mesas e 235 aparadores, gerando uma receita de R$ 896.480,00. Escolha de carteira de investimento Uma fi nanceira investe no mercado de ações para seus clientes e tem como regra os seguintes dados: não se deve investir mais do que 30% do total aplicado em um único investimento; acima de 45% da aplicação total deverá ser investido em títulos defi nidos como de maturidade (maiores do que oito anos). Somente podem ser feitas aplicações de alto risco de, no máximo, 45% do total investido. Os dados relacionados à porcentagem de retorno e riscos são apresentados na tabela seguinte. PESQUISA OPERACIONAL Retorno anual Anos para vencimento Risco Título 1 6,7% 12 1 – Muito baixo Título 2 8,2% 15 3 – Regular Título 3 10,3% 9 4 – Alto Título 4 8,1% 5 2 – Baixo Título 5 11,0% 9 4 – Alto Título 6 17,7% 6 5 – Muito alto Resolução: para esse problema, devemos determinar qual é o percentual do total investido que deve ser aplicado em cada um dos títulos. Além disso, o ideal é que o cliente tenha o melhor retorno possível. O modelo será: PESQUISA OPERACIONALO Solver será defi nido conforme é apresentado a seguir. Chegando à seguinte solução: Ou seja, a fi nanceira deverá investir: 30% no título 2; 25% no título 4; 15% no título 5; 30% no título 6. Esse investimento trará um retorno de 11,445%. PESQUISA OPERACIONAL Escala de funcionários Uma confecção de jeans deseja determinar o número de funcionários que deverá contratar para o início das atividades. O gestor que está auxiliando nesse processo definiu um número ideal para cada dia da semana. Observe na tabela. Dia da semana N° de funcionários Domingo 7 Segunda-feira 18 Terça-feira 15 Quarta-feira 14 Quinta-feira 20 Sexta-feira 17 Sábado 9 Por lei, os empregados precisam ter dois dias de folga após cinco dias consecutivos de trabalho. Então, vamos formular o problema para determinar o número de funcionários que a confecção deve contratar. Resolução: para esse problema, devemos determinar qual é o número total de funcionários que deve ser contratado. PESQUISA OPERACIONAL O modelo será: O Solver será defi nido conforme está apresentado. PESQUISA OPERACIONAL Chegando à seguinte solução: Esse resultado indica que a confecção deverá contratar 21 funcionários, no total. Problema de mistura Uma empresa de cosméticos produz dois tipos de alisamento: alisa muito (AM) e liso extremo (LE). Os produtos são produzidos a partir de óleo de coco e óleo de copaíba. Para o produto fi nal ser entregue, são necessários dois insumos: Mistura A e Mistura B, que são vendidas separadamente ou com a mistura dos dois insumos: Mistura A com 70% de óleo de coco e 30% de óleo de copaíba, e mistura B, que contém 20% de óleo de coco e 80% de óleo de copaíba. O preço de venda da Mistura A é de R$ 0,80 litro, e o do tipo B é de R$ 0,95 o litro, enquanto o óleo de coco e o óleo de copaíba, isoladamente, custam R$ 1,20 e R$ 1,75 o litro. Cada litro de AM requer, no mínimo, 30% de óleo de coco e 60% de óleo de copaíba, e cada litro de LE requer, no mínimo, 40% de óleo de coco e, no máximo, 40% de óleo de copaíba. Com base nesses dados, vamos formular o problema de programação linear para determinar a quantidade de litros ideal que deverá ser comprada para produzir exatamente 150 litros de alisa muito (AM) e 350 litros de liso extremo (LE). Resolução: para esse problema, devemos determinar a quantidade de cada um dos produtos que serão utilizados na obtenção dos produtos fi nais AM e LE, de modo a ser alcançado um custo mínimo. PESQUISA OPERACIONAL O modelo será: O Solver será defi nido conforme está apresentado na fi gura seguinte. PESQUISA OPERACIONAL Chegando à seguinte solução: Signifi ca que a empresa de cosméticos deverá fabricar o produto Alisa Mais com 60 litros da solução A e 90 litros da solução B; e o produto Liso Extremo com 350 litros da solução A, tendo um custo de R$ 413,50. PESQUISA OPERACIONAL A produção e o estoque de fluxo do caixa multiperíodo O fluxo de caixa multiperíodo deseja minimizar o total a ser alocado na data zero para o pagamento de um investimento, analisando as opções de aplicações e retornos para, por exemplo, realizar o pagamento de um imóvel. Uma empresa está comprando uma nova sede, no valor de R$ 700.000,00, a ser pago à construtora em duas parcelas de R$ 200.000,00, ao fim do segundo e do quinto mês; e uma parcela de R$ 300.000,00, ao término da construção, no fim do sétimo mês. A empresa precisa gerar caixa para pagar essa compra, sendo assim, fez uma pesquisa de quais tipos de investimento deveria realizar para poder gerar esse caixa. O resultado da pesquisa está demonstrado na tabela seguinte. Então, vamos modelar o problema de programação linear e determinar quanto e quais investimentos deverão ser feitos a fim de minimizar o total de recursos alocados no íníco da construção. Investimento Aplicação disponível no início dos meses Meses de duração da aplicação Retorno ao fim do investimento Tipo A 1,2,3,4,5,6,7 1 2,5% Tipo B 1,3,5 2 3,5% Tipo C 1,4 3 4,1% Tipo D 1 7 8,0% Resolução: para esse problema, vamos determinar qual investimento devemos fazer, de modo a gerar recursos para o pagamento da nova sede, e qual é o total de recursos que devem ser investidos para que a empresa consiga pagar os R$ 700.000,00. PESQUISA OPERACIONAL O modelo será: O Solver será defi nido conforme a fi gura a seguir. PESQUISA OPERACIONAL Chegando à seguinte solução: Ou seja, a empresa precisará investir R$ 639.370,00 para pagar a compra de R$ 700.000,00. Deverá ainda investir nos títulos A5, A7, B1, B3 e B5. Nesta aula, você aprendeu a utilizar o Solver para construir modelos reais na tomada de decisão em organizações fi nanceiras, bem como entendeu como ler um relatório de respostas do Solver do Excel. Para complementar seu aprendizado, não deixe de realizar as atividades que acompanham esta unidade. PESQUISA OPERACIONAL O problema dual Introdução Que tal aprender a identificar o problema dual e transformá-lo para encontrar a solução ótima? Por meio do problema dual e sua solução ótima, você analisará a sensibilidade dos problemas de programação linear e entenderá quais são as implicações econômicas das variáveis duais. Nestes estudos, serão utilizados o Solver do Excel para análise de resultados e tomada de decisão, bem como será analisado o relatório de sensibilidade gerado pelo Solver. Assim, será possível constatar que existem diversos softwares de otimização de programação linear no mercado e mostraremos os mais utilizados. Bons estudos! PESQUISA OPERACIONAL Problema dual e análise de sensibilidade (problemas da administração, alterações de variáveis, alterações de lucros e análise de relatórios) O problema de programação linear, que é chamado de primal, traz consigo um segundo problema, chamado dual. Ambos estão completamente inter-relacionados, de tal maneira que a solução ótima de um fornece informações completas sobre o outro (ANDRADE, 2009). Assim, montando o problema dual, é possível observar o seguinte problema de programação linear, na forma algébrica. O dual desse problema poderá ser: Para problemas em que há as restrições de menor ou igual (≤), o problema primal é construído a partir dos seguintes passos: • cada restrição do problema corresponde a uma variável no outro; • os elementos do lado direito das restrições são os coeficientes da função-objetivo do outro; • se a função-objetivo de um é maximizar, a do outro será minimizar; PESQUISA OPERACIONAL • o problema de maximização tem restrições (≤), já o problema de minimização tem restrições (≥); • as variáveis de ambos os problemas precisam seguir a regra de não negatividade. Dessa forma, analise um exemplo em que o problema dual tem o seguinte modelo: A cada restrição, será associada uma variável dual, e não será necessário utilizar a restrição de não negatividade. Portanto, o problema dual seria: Para problemas nos quais há as restrições de igualdade (=), o problema primal é construído, transformando a restrição de igualdade em duas restrições com (≥) e (≤). Nesse sentido, analise o seguinte problema de programação linear na forma algébrica. A restrição com igualdade seria equivalente a outras duas restrições, como segue: PESQUISA OPERACIONAL Assim, o modelo ficaria: Reescrevendo o modelo na forma dual, é possível encontrar: Como existe uma repetição do termo Y1 - Y’1, em todas as restrições e na função-objetivo, é possível chamá-lo apenas de Y1, simplificando o problema dual para: Sendo assim, sempre que o modelo apresentar uma restrição de igualdade, a variável dual será irrestrita (Y1) (GOLDBARG; LUNA, 2005). Após definido o modelo dual, é necessário avaliar a interpretação econômica que conduz ao cálculo marginal de recursos. Para melhor compreensão, será utilizado um exemplo como base de estudos e explicações. Observe o enunciado do problema a seguir. Uma indústria dispõe de três recursos (A, B, C), em quantidades limitadas. Com esses recursos, aindústria pretende fabricar dois produtos, que chamaremos de Prod1 e Prod2. A tabela seguinte apresenta a utilização unitária de cada recurso em cada um dos produtos, assim como a disponibilidade dos recursos. PESQUISA OPERACIONAL Utilização unitária e disponibilidade dos recursos Recurso Disponibilidade Recursos gastos para fazer uma unidade de Prod1 Prod2 A 14 1 2 B 9 1 1 C 56 7 4 A indústria sabe que, para cada unidade produzida do Prod1, terá uma margem de lucro unitária de $ 5; e para cada unidade produzida do Prod2, terá uma margem de lucro de $ 6. O problema de programação da produção da empresa é determinar a quantidade a ser produzida do Prod1 e do Prod2, de modo a maximizar a margem de lucro total (ANDRADE, 2009). Portanto, montando o problema inicial: Partindo do exposto, suponha que a indústria possa vender os recursos A, B e C, em vez de utilizá-los na produção dos produtos Prod1 e Prod2. Sendo assim, haverá um outro problema, que será o de encontar o valor de cada unidade dos recursos. Dessa forma, será encontrada, então, uma nova variável, a qual será chamada de Y. • Y1 - valor do recurso A por unidade. • Y2 -valor do recurso B por unidade. • Y3 - valor do recurso C por unidade. PESQUISA OPERACIONAL Assim, você encontrará o segundo problema de minimização: O problema inicial (maximização) será chamado de problema primal, e o segundo (minimização), de dual. Nesse sentido, é possível interpretar, portanto, as variáveis do problema dual como sendo as avaliações unitárias dos recursos, relativas a quanto cada uma contribuiria para a obtenção de lucro total. Isso significa que, ao resolver o problema, as variáveis duais indicam qual variação será encontrada na função-objetivo do primal para cada variação unitária nos recursos. Para resolver os dois problemas, vale ressaltar a relação entre a função-objetivo do problema primal e a do problema dual. Sendo Z o valor da função-objetivo do problema primal e z do problema dual, duas propriedades ocorrem durante a solução: a. para quaisquer duas soluções viáveis do primal e do dual, é possível afirmar que Z ≤ z; b. as soluções ótimas de ambos os problemas guardam entre si a relação Max Z = min z. Resolução do problema primal: serão colocados os valores dos coeficientes em uma tabela inicial que será a primeira iteração do problema. 1ª iteração X1 X2 X3 X4 X5 b 1 2 1 0 0 14 1 1 0 1 0 9 7 4 0 0 1 56 -5 -6 0 0 0 0 Utiliza-se o método de resolução do simplex para as iterações com tabelas. PESQUISA OPERACIONAL 2ª iteração X1 X2 X3 X4 X5 b ½ 1 ½ 0 0 7 ½ 0 -½ 1 0 92 5 0 -2 0 1 28 -2 0 3 0 0 42 3ª iteração X1 X2 X3 X4 X5 b 0 1 1 -1 0 5 1 0 -1 2 0 4 0 0 3 -10 1 8 0 0 1 4 0 50 A solução ótima é Z = 50, X1 = 4, X2 = 5, X3 = 0, X4 = 0, X5 = 8 Resolução do problema dual: serão colocados os valores dos coeficientes em uma tabela inicial que será a primeira iteração do problema. Nesse caso, tornam-se necessárias duas fases para resolução e, após a primeira fase, encontra-se a tabela: PESQUISA OPERACIONAL 1ª iteração Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 b 0 1/10 1 -2/10 1/10 4/10 1 3/10 0 4/10 -7/10 22/10 0 -8/10 0 56/10 42/10 532/10 2ª iteração Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 b 0 1 10 -2 1 4 1 0 -3 1 -1 1 0 0 8 4 5 50 A solução ótima é z = 50, Y1 = 1, Y2 = 4, Y3 = 0, Y4 = 0, Y5 = 0. Conclui-se, com a resolução, que Z = z = 50. Os valores das variáveis duais podem ser obtidos pela solução do problema primal, tomando-se os negativos dos coeficientes da última linha do quadro de variáveis básicas iniciais: Y1 = 1, Y2 = 4, Y3 = 0. Propriedades primal-dual Nos problemas do tipo primal-dual, pode-se utilizar as propriedades que podem nos auxiliar de alguma forma para construir o problema mais rapidamente ou até para poder simplificar etapas. Veja, a seguir, as principais propriedades. Propriedade 1: em qualquer iteração do Método Simplex, no problema primal ou no dual, a matriz que aparece sob as variáveis básicas utilizadas na solução inicial (folga ou artificial) pode ser usada para gerar as contribuições unitárias no valor da função- objetivo das variáveis da solução inicial. A operacionalização dessas propriedades pode ser realizada em três passos: PESQUISA OPERACIONAL 1. identificar os coeficientes originais da função-objetivo, correspondentes às variáveis básicas na atual iteração, e escrevê-los em um vetor linha, na mesma ordem das respectivas linhas do quadro Simplex; 2. multiplicar o vetor resultante pela matriz que aparece sob as variáveis iniciais, na sua respectiva iteração; 3. subtrair os coeficientes originais da função-objetivo, correspondentes às variáveis básicas da solução inicial, dos respectivos coeficientes obtidos no passo 2. Propriedade 2: em qualquer iteração do primal ou do dual, os valores das variáveis na base podem ser obtidos pela multiplicação da matriz, definida na Propriedade 1, pelo vetor coluna contendo os valores originais dos recusos (vetor dos termos independentes). Propriedade 3: em qualquer iteração do primal ou do dual, os coeficientes de qualquer variável nas restrições podem ser obtidos pela multiplicação da matriz, definida na Propriedade 1, pelo vetor coluna contendo os coeficientes originais da mesma variável nas restrições. Propriedade 4: em qualquer iteração do Método Simplex, a substituição das variáveis duais pelos seus respectivos multiplicadores do Simplex, relativos às variáveis básicas da solução inicial, permite a obtenção dos coeficientes da equação Z transformada pela diferença entre os lados esquerdo e direito das restrições correspondentes do dual (ANDRADE, 2009). Análise de sensibilidade A análise de sensibilidade tem por objetivo verificar a validade da solução mesmo com as variações inseridas nos coeficientes. Para verificar os tipos de casos, será utilizado o problema anterior como exemplo (GOLDBARG; LUNA, 2005). 1. Variações nas quantidades de recursos Considere a mudança da matriz bi de para e, em seguida, analise como afetaria os valores da solução ótima, conforme definido na propriedade 2. PESQUISA OPERACIONAL Como todas as variáveis continuam positivas, a atual solução permanece viável, com nova solução Z = 52, X1 = 2, X2 = 7, X5 = 14. Considere a mudança da matriz bi de para e, em seguida, analise como afetaria os valores da solução ótima, conforme definido na propriedade 2. Como a variável X1 se tornou negativa, a atual solução não é viável e, por isso, uma nova solução ótima deve ser procurada. 2. Variações nos coeficientes da função-objetivo Essas variações afetam os valores da função-objetivo (Z). Além disso, tais coeficientes não afetam os multiplicadores do Simplex, e os multiplicadores podem ser usados para conferir a otimização ao problema. 3. Variações nos coeficientes das atividades Essas variações afetam os valores da função-objetivo (Z). Esses coeficientes afetam os multiplicadores do Simplex, que devem ser alterados antes de se conferir a otimização do problema de forma imediata. 4. Acréscimo de uma nova variável Esse caso pode ser tomado como variações simultâneas nos coeficientes da função-objetivo e nos coeficientes do vetor atividade correspondentes à nova variação, e que não é básica. Tudo se passa como se uma nova atividade tivesse, anteriormente, coeficientes nulos. 5. Acréscimo de uma nova restrição Uma nova restrição pode alterar a viabilidade da solução, se não for reduntante. O procedimento para essa análise é o seguinte: • testar se a nova restrição é satisfeira para a atual solução ótima. Em caso afirmativo, a nova restrição é reduntante; • se não for satisfeita, deve ser introduzida no sistema, e novos cálculos são necessários. Para consolidar suas aprendizagens, resolva os exercícios propostos. Bons estudos! PESQUISA OPERACIONAL Análise de sensibilidade (aplicação do Solver) O Solver realiza um tipo de análise de sensibilidade que considera apenas na alteração do coeficiente das variáveis da função-objetivo ou da constante de umarestrição de cada vez. Dessa forma, considere o seguinte problema: Após criar a planilha do Excel e adicionar o problema no Solver, você terá a seguinte tabela dos resultados: Clique em “Relatório de sensibilidade” e, depois, clique em “OK”. Você constatará que o relatório aparecerá automaticamente em uma aba da planilha. PESQUISA OPERACIONAL A figura apresenta o relatório de sensibilidade. A primeira tabela (Células Variáveis) está relacionado com as mudanças que podem ocorrer nos coeficientes das variáveis de decisão da função-objetivo. A segunda tabela (Restrições) mostra as possíveis alterações que as constantes das restrições podem sofrer. Na coluna B, são apresentadas as células que revelam as variáveis de decisão e o lado direito das restrições, enquanto na coluna D são apresentados os valores após o resultado da otimização. A coluna E representa os valores das variáveis de decisão e de folga/excesso do problema dual. Para consolidar suas aprendizagens, resolva os exercícios propostos. Bons estudos! PESQUISA OPERACIONAL Principais softwares de programação matemática Você estudará os principais softwares utilizados para a programação linear. O momento atual é considerado um tempo em que a tecnologia se faz cada vez mais presente em nossas vidas e na vida das empresas, por isso, investir em sistemas de otimizações torna o trabalho mais eficiente (LACHTERMACHER, 2007). Cada software citado tem suas particularidades e facilidades, sendo que todos eles têm uma linguagem fácil e intuitiva. Para utilizá-los, pesquise mais detalhes na página do fabricante, que geralmente disponibiliza tutoriais gratuitos. • LINDO (Linear, Interactive and Discrete Optimizer) utiliza solvers lineares, não lineares, inteiros, estocásticos e globais. É uma poderosa ferramenta e tem sido utilizada por milhares de empresas ao redor do mundo para maximizar lucro e minimizar custos em decisões, envolvendo planejamento de produção, transporte, finanças, alocação de portfólio, orçamento de capital, combinação, programação, inventário de alocação e muito mais. É utilizada para resolver problemas de programação linear, inteira e quadrátiva. • GAMS (General Algebraic Modeling System) é um sistema de modelagem de alto nível para programação e otimização matemática. Consiste em um compilador de linguagem em tabelas de integração de alto desempenho. Além disso, é personalizado para aplicações complexas de modelagem em grande escala e permite a construção de grandes modelos de manutenção, que podem ser adaptados rapidamente a novas situações. É projetado especificamente para modelar problemas de otimização de inteiros lineares, não lineares e mistos. • LINGO (Language for Intective General Optimizer) é um software de modelagem e resolução de problemas lineares, não lineares, quadrático, quadraticamente restrito e estocástico. O LINGO fornece um pacote completamente integrado, que inclui uma linguagem poderosa para expressar modelos de otimização, um ambiente completo para problemas de construção e edição e um conjunto de solucionadores rápidos integrados. • SOLVER é um suplemento do Microsoft Excel que você pode usar para teste de hipóteses. Portanto, o Solver pode ser utilizado para encontrar um valor ideal (máximo ou mínimo) para uma fórmula em uma célula – conforme restrições, ou limites, sobre os valores de outras células de fórmula em uma planilha. O Solver trabalha com um grupo de células, que são chamadas variáveis de decisão ou simplesmente de células variáveis, usadas no cálculo das fórmulas nas células de objetivo e de restrição. O Solver ajusta os valores nas células variáveis de decisão para satisfazer os limites sobre células de restrição e produzir o resultado que você deseja para a célula objetiva. Em PESQUISA OPERACIONAL resumo, você pode usar o Solver para determinar o valor máximo ou mínimo de uma célula alterando outras células. Por exemplo, pode alterar a quantia do seu orçamento publicitário projetado e analisar o efeito sobre a quantia de lucro projetado. • What’sBest! é um suplemento do Excel que permite criar modelos de otimização em grande escala em um layout de formulário livre em uma planilha. What’sBest! combina o poder comprovado da otimização linear, não linear (convexo e não convexo/Global), quadrático, quadraticamente restrito, estocástico e integral com o Microsoft Excel – o ambiente de modelagem de negócios mais popular e flexível em uso atualmente. Você estudou sobre como lidar com problemas do tipo primal (maximização) e dual (minimização), bem como a analisar o relatório de sensibilidade do Solver do Excel, que o auxiliará a dar uma margem para a tomada de decisão. Para complementar seu aprendizado, não deixe de resolver os exerc´cios propostos. Bons estudos! PESQUISA OPERACIONAL Problemas de redes, soluções e Teoria das Filas Introdução Nesta unidade, você aprenderá a resolver problemas que apresentam múltiplas soluções e soluções degeneradas, por meio dos relatórios do Solver. Além disso, você estudará sobre problemas de redes, ou seja, de logística e transportes, utilizando a metologia de grafos; terá uma breve introdução sobre a Teoria de Filas, uma área muito importante para o desenvolvimento da empresa, de modo que os processos tenham um custo menor. PESQUISA OPERACIONAL Soluções ótimas múltiplas e soluções degeneradas Alguns problemas de programação linear apresentam múltiplas soluções, ou seja, se houver uma solução degenerada, esse fato gerará uma solução múltipla. Como o Solver somente encontra uma solução por vez, seguiremos alguns passos para resolver um problema de soluções múltiplas (ANDRADE, 2009): I. adicionar uma restrição ao problema que mantenha a função-objetivo no valor máximo; II. trocar a função-objetivo para a maximização ou minimização de uma das variáveis que apresentem o acréscimo permissível e/ou o decréscimo permissível do coefi ciente igual a zero. Vamos supor um exemplo, após alterarmos o coefi ciente da variável X1 da função-objetivo de 5 para 8. A fi gura a seguir mostra, no relatório de respostas, a solução ótima para os dois problemas (problema original e problema modifi cado). Solução ótima original Solução ótima modificada Célula do objetivo (máx.) Célula Nome Valor Original Valor Final $4$B F.O 20 20 Célula do objetivo (máx.) Célula Nome Valor Original Valor Final $4$B F.O 0 15,28571429 Conting. Células variáveis Célula Nome Valor Original Valor Final Numero Inteiro $B$1 X1 1,571428571 2,5 Conting.$B$2 X2 3,714285714 0 Restrições Célula Nome Valor da Célula Fórmula Status Margem de Atraso $B$6 R1 10 0Associação$B$6<=$D$6 $B$7 R2 2,5 0Não-Associação$B$7<=$D$7 Conting. Células variáveis Célula Nome Valor Original Valor Final Numero Inteiro $B$1 X1 0 2,5 Conting.$B$2 X2 0 0 Restrições Célula Nome Valor da Célula Fórmula Status Margem de Atraso $B$6 R1 10 0Associação$B$6<=$D$6 $B$7 R2 9 0Associação$B$7<=$D$7 PESQUISA OPERACIONAL Podemos observar nos relatórios de respostas que, ao mudar a variável X1, a resposta é alterada. Precisamos verificar por que isso aconteceu, pois não ultrapassamos os limites. Para isso, o relatório de sensibilidade, apresentado na figura seguinte, mostra o problema alterado, no qual podemos notar que a margem de atraso no relatório original é 0, pois essa característica nos informa que o problema pode ter múltiplas soluções. Como podemos observar, no relatório de sensibilidade, a variável X1 tem um decréscimo (permitido reduzir) igual a zero, resultado que nos indica várias soluções. Agora, vamos percorrer os passos seguintes para encontrar uma solução alternativa. Para isso, devemos incluir uma restrição adicional, sendo que a função-objetivo ficará da mesma forma; porém, a variável que apresenta o limite de variação igual a zero deve ser minimizada ou maximizada. Como, nesse caso, a variável X2 apresenta acréscimo permissível zero, vamos maximizar essa variável. Vejamos essas
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