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Ministério da Educação
Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Campus Curitiba - DAMAT
MA71B - Geometria Analítica e Álgebra Linear - Profa. Dra. Diane Rizzotto Rossetto
LISTA 6 - Produto Interno
⇒ Desenvolvidas juntamente com os professores Adriano Verdério e Nara Bobko a partir das referências que
constam no plano de ensino.
Questão 1: Considere os vetores u = (1, 2, 4), v = (2,−3, 5) e w = (4, 2,−3) do R3 e o produto interno usual.
Encontre:
a) 〈u, v〉
b) 〈u,w〉
c) 〈v, w〉
d) 〈u+ v, w〉
e) ‖u‖
f) ‖v‖
Questão 2: Verifique que 〈u, v〉 = x1y1−x1y2−x2y1+3x2y2 onde u = (x1, x2) e v = (y1, y2) define um produto
interno no R2.
Questão 3: Considere os vetores u = (1, 5) e v = (3, 4) do R2. Encontre:
a) 〈u, v〉 com respeito ao produto interno usual do R2.
b) 〈u, v〉 com respeito ao produto interno definido no exercício 2.
c) ‖v‖ usando o produto interno usual do R2.
d) ‖v‖ usando o produto interno definido no exercício 2.
Questão 4: Sejam v1, v2 e v3 vetores de Rn tais que 〈v1, v2〉 = 0 e v2 ⊥ v3. O conjunto {v1, v2, v3} é L.I.?
Questão 5: Sejam u = (1, 1,−2) e v = (a,−1, 2) . Para quais valores de a, os vetores u e v são ortogonais?
Questão 6: Encontre o cos θ onde θ é o ângulo entre:
a) u = (1, 3,−5, 4) e v = (2,−43, 4, 1) no R4 em relação ao produto interno usual.
Questão 7: Verifique que:
a) ‖u+ v‖2 + ‖u− v‖2 = 2‖u‖2 + 2‖v‖2. (Regra do Paralelogramo)
b) 〈u, v〉 = 1
4
(
‖u+ v‖2 − ‖u− v‖2
)
.
Questão 8: Considere o conjunto B ⊂ R4 formado pelos seguintes vetores:
v1 = (1, 1, 0,−1), v2 = (1, 2, 1, 3), v3 = (1, 1,−9, 2), v4 = (16,−13, 1, 3).
a) Mostre que B é um conjunto de vetores ortogonais e uma base do R4.
b) Encontre as coordenadas de um vetor v = (x, y, z, w) ∈ R4 em relação à base B.
Questão 9: Seja B = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 2, 0)}. Usando o processo de Gram-Schmidt, ache uma base ortonor-
mal para R3.
Questão 10: Use o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt para encontrar uma base B1 ortogonal para o
subespaço de R4 que tem como base
B = {(1, 1,−1, 0), (0, 2, 0, 1), (−1, 0, 0, 1)}.
1
Questão 11: Encontre uma base ortonormal para o plano x+ y + z = 0.
Questão 12: Considere o subespaço U do R4 gerado pelos vetores:
v1 = (1, 1, 1, 1), v2 = (1, 1, 2, 4), v3 = (1, 2,−4,−3) e v4 = (3, 4,−1, 2).
Encontre:
a) uma base de U .
b) uma base ortogonal de U .
c) uma base ortonormal de U .
d) Encontre as coordenadas de v1 em relação à base encontrada no item anterior.
Respostas
1.
a) 16 b) −4 c) −13 d) −17 e)
√
21 f)
√
38
2. Lembre-se que x21 − 2x1x2 + 3x22 = (x1 − x2)2 + 2x22.
3.
a) 23 b) 44 c) 5 d)
√
33
4. Não necessariamente. Contra-exemplo v1 = (1, 0, 0),v2 = (0, 1, 0) e v3 = (2, 0, 0)
5. a = 5
6.
a)
−23
3
√
170
8.
b) [v]B =

x+ y − w
3
x+ 2y + z + 3w
15
x+ y − 9z + 2w
87
16x− 13y + z + 3w
435

9. {(1/
√
2, 1/
√
2, 0), (1/
√
6,−1/
√
6, 2/
√
6), (−1/
√
3, 1/
√
3, 1/
√
3)}
10. B1 = {(1, 1,−1, 0), (−
2
3
,
4
3
,
2
3
, 1), (− 4
11
,− 3
11
,− 7
11
,
6
11
)}.
11.
{√
2
2
(−1, 0, 1) ,
√
6
6
(−1, 2,−1)
}
12.
2
a) B = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 2, 4), (1, 1,−4,−3)}
b) B = {(1, 1, 1, 1), (−1,−1, 0, 2), (1, 3,−6, 2)}
c) B =
{(
1
2
,
1
2
,
1
2
,
1
2
)
,
(
− 1√
6
,− 1√
6
, 0,
2√
6
)
,
(
1
5
√
2
,
3
5
√
2
,− 6
5
√
2
,
2
5
√
2
)}
3