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poderão ficar acesas ao 
mesmo tempo. 
Assertiva: Nessa situação, há exatamente 13 configurações distintas, incluindo todas as 
lâmpadas desligadas, que atendem à exigência de economia. 
Comentário 
O primeiro caso é quanto todas as lâmpadas estão desligadas. 
𝐿â𝑚𝑝𝑎𝑑𝑎𝑠	𝑑𝑒𝑠𝑙𝑖𝑔𝑎𝑑𝑎𝑠 → 𝟏	𝒎𝒂𝒏𝒆𝒊𝒓𝒂 
O segundo caso é quando temos 1 lâmpada acesa e 4 desligadas. Ora, nem precisamos do lema 
de Kaplansky para isso. Há 5 possibilidades: acender apenas a primeira, acender apenas a 
segunda, acender apenas a terceira, acender apenas a quarta ou acender apenas a quinta. 
Ah, Guilherme, mas como ficaria o raciocínio de Kaplansky? Ora, temos 4 letras N para as 
lâmpadas desligadas. 
__	𝑁__𝑁__	𝑁__𝑁__	 
Assim, temos 5 espaços vazios. Como teremos apenas uma lâmpada acesa, precisamos escolher 
1 lugar vazio dentre 5, o que pode ser feito de 𝐶IM = 5	𝑚𝑎𝑛𝑒𝑖𝑟𝑎𝑠. 
O terceiro caso é quando temos 2 lâmpadas acesas e 3 desligadas. Designando por N cada 
lâmpada desligada, temos a seguinte configuração. 
__	𝑁__𝑁__	𝑁__ 
Precisamos encaixar as 2 lâmpadas acesas nos espaços vazios. Há 4 espaços vazios e precisamos 
escolher 2 para colocar as lâmpadas acesas. Logo, podemos fazer essa escolha de 
𝐶XN =
4 ∙ 3
2 ∙ 1 = 𝟔	𝒎𝒂𝒏𝒆𝒊𝒓𝒂𝒔. 
Guilherme Neves
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O quarto caso é quando temos 3 lâmpadas acesas e 2 desligadas. Designando por N cada 
lâmpada desligada, temos a seguinte configuração. 
__	𝑁__𝑁__ 
Precisamos encaixar as 3 lâmpadas acesas nos espaços vazios. Há 3 espaços vazios e precisamos 
escolher 3 para colocar as lâmpadas acesas. Logo, podemos fazer essa escolha de 𝐶JJ =
𝟏	𝒎𝒂𝒏𝒆𝒊𝒓𝒂, que é SNSNS. 
O quinto caso seria termos 4 lâmpadas acesas e 1 desligada. Entretanto, esse caso não nos 
interessa porque certamente teríamos lâmpadas acesas adjacentes. 
O total de maneiras é 
1 + 5 + 6 + 1 = 13 
Gabarito: Certo 
 
 
12.2. Segundo Lema de Kaplansky 
 
Pois bem, até agora nunca vi uma questão envolvendo o segundo lema de Kaplansky, mas vai 
que... 
Vamos agora considerar que 1 e n são consecutivos no conjunto {1, 2, ..., n}. Isso é bem comum 
em questões envolvendo calendários. Por exemplo, o 31 de dezembro e 1 de janeiro são 
consecutivos, sábado e domingo são dias consecutivos, etc. 
O Segundo Lema de Kaplansky diz que o número de subconjuntos com p elementos do conjunto 
{1, 2, 3, ..., n}, em que 1 e n são considerados consecutivos, é igual a 
 
𝑔(𝑛, 𝑝) =
𝑛
𝑛 − 𝑝 ∙ 𝐶Kqj
j 
 
Guilherme Neves
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A fórmula acima é um pouco trabalhosa de ser demonstrada (a demonstração pode ser 
encontrada no livro Análise Combinatória e Probabilidade da Sociedade Brasileira de 
Matemática). Acho melhor torcer para isso não cair. Não vale a pena memorizar essa fórmula, 
pois a relação custo-benefício é péssima: nunca vi cair em prova (até agora). 
Por isso, vou ensinar o raciocínio da demonstração para que você não precise memorizar a 
fórmula. 
Exemplo: O professor Guilherme Neves decidiu estudar piano 3 vezes por semana. De quantas 
maneiras Guilherme pode escolher os dias de estudo, se ele não quer estudar piano em dias 
consecutivos? 
a) 5 
b) 6 
c) 7 
d) 8 
e) 9 
Comentário 
Situação típica do Segundo Lema de Kaplansky, pois, como a atividade será feita 
periodicamente, sábado e domingo (último dia e primeiro dia da semana) são consecutivos. 
Vamos considerar que Domingo = 1, Segunda-feira = 2, ..., Sábado = 7. Assim, temos o conjunto 
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. 
Na situação, 1 e 7 são consecutivos. Guilherme precisa escolher 3 números não consecutivos. 
Pelo Segundo Lema de Kaplansky, isso pode ser feito de: 
 
𝑔(7,3) =
7
7 − 3 ∙ 𝐶oqJ
J =
7
4 ∙ 𝐶X
J 
 
=
7
4 ∙
4 ∙ 3 ∙ 2
3 ∙ 2 ∙ 1 
 
= 7 
E como é o raciocínio sem decorar fórmula? 
Guilherme Neves
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Pois bem, o segundo lema de Kaplansky é, na verdade, o primeiro lema aplicado duas vezes. 
Vamos separar em dois casos: o elemento 1 foi escolhido e o elemento 1 não foi escolhido. 
• Subconjuntos nos quais figura o elemento 1. 
Se o elemento 1 foi escolhido, não podemos escolher os elementos 2 e 7, porque são elementos 
vizinhos ao número 1. Assim, devemos escolher 2 elementos não consecutivos no conjunto {3, 4, 
5, 6}. 
Vamos aplicar o primeiro lema de Kaplansky. 
Para escolher 2 elementos dentre os 4, devemos ter duas letras N e duas letras S. As letras S não 
podem ficar juntas porque os números não são consecutivos. Começamos fixando as letras N. 
__N__N__ 
Assim, temos 3 espaços vazios e devemos escolher 2 deles para colocar as letras S. Isso pode ser 
feito de 
𝐶JN =
3 ∙ 2
2 ∙ 1 = 3	𝑚𝑎𝑛𝑒𝑖𝑟𝑎𝑠 
 
• Subconjuntos nos quais não figura o elemento 1. 
 
Nesse caso, precisamos escolher 3 elementos não consecutivos no conjunto {2, 3, 4, 5, 6, 7}. 
Vamos aplicar novamente o primeiro lema de Kaplansky. 
Para escolher 3 elementos dentre os 6, devemos ter três letras N e três letras S. As letras S não 
podem ficar juntas porque os números não são consecutivos. Começamos fixando as letras N. 
__N__N__N__ 
Assim, temos 4 espaços vazios e devemos escolher 3 deles para colocar os sinais de “+”. Isso 
pode ser feito de 
𝐶XJ =
4 ∙ 3 ∙ 2
3 ∙ 2 ∙ 1 = 4	𝑚𝑎𝑛𝑒𝑖𝑟𝑎𝑠 
 
Guilherme Neves
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O total de maneiras é 3 + 4 = 7 maneiras. Como vocês podem ver, o Segundo Lema de 
Kaplansky é, na verdade, o primeiro lema aplicado duas vezes: uma vez escolhendo o número 1 e 
outra vez excluindo o número 1. 
Gabarito: C 
 
 
 
(Banca GNBPT – Guilherme Neves Botando pra Torar) 
Severino Kaplansky comprou um lustre circular com 6 lâmpadas. Por motivo de economia, 2 
lâmpadas adjacentes nunca poderão ficar acesas simultaneamente. De quantas maneiras 
Kaplansky pode escolher quais lâmpadas acender, incluindo todas as lâmpadas desligadas, que 
atendem à exigência de economia? 
 
a) 17 
b) 18 
c) 19 
d) 20 
e) 21 
 
Comentário 
 
Fiz uma adaptação da questão do CESPE que resolvi quando expliquei o primeiro lema de 
Kaplansky. A diferença é que agora as lâmpadas estão em uma disposição circular e, portanto, a 
sexta lâmpada é adjacente à primeira lâmpada. 
 
 
 
L1
L2
L3
L4
L5
L6
Guilherme Neves
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Temos um conjunto de 6 lâmpadas {𝐿M, 𝐿N, 𝐿J, 𝐿X, 𝐿I, 𝐿B} em que 𝐿M e 𝐿B são consecutivos. Nesse 
caso, 𝑛 = 6. Queremos escolher 0, 1, 2, 3,... lâmpadas não consecutivas. 
Quem consegue decorar a fórmula, faria assim: 
• Nenhuma lâmpada acesa = 1 maneiras, que corresponde a 
𝑔(6,0) =
6
6 − 0 ∙ 𝐶BqY
Y =
6
6 × 𝐶B
Y = 1 × 1 = 1 
• Uma lâmpada acesa = 6 casos (acender a primeira, ou a segunda, ou a terceira, ...), 
que correspondem a: 
𝑔(6,1) =
6
6 − 1 ∙ 𝐶BqM
M =
6
5 × 𝐶I
M =
6
5 × 5 = 6 
• Duas lâmpadas acesas 
𝑔(6,2) =
6
6 − 2 ∙ 𝐶BqN
N =
6
4 × 𝐶X
N =
6
4 × 6 = 9 
• Três lâmpadas acesas 
𝑔(6,3) =
6
6 − 3 ∙ 𝐶BqJ
J =
6
3 × 𝐶J
J =
6
3 × 1 = 2 
• Quatro lâmpadas acesas 
Veja que é impossível termos 4 lâmpadas acesas sem haver 2 adjacentes acesas 
simultaneamente. Veja que absurdo aconteceria com a fórmula de Kaplansky. 
𝑔(6,4) =
6
6 − 4 ∙ 𝐶BqX
X =
6
4 × 𝐶N
X = 𝑖𝑚𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑙 
Não temos como calcular 𝐶NX porque 2 < 4. 
Logo, o total de possibilidades é 1 + 6 + 9 + 2 = 18. 
Vamos agora resolver o problema sem o uso da fórmula. 
Eu, Guilherme, não sei essa fórmula decorada. Sei agora porque

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