Aula-05

etapas: escolher a primeira letra e permutar as letras 
restantes. Para a primeira letra, há duas possibilidades: O ou E. Assim, pelo princípio fundamental 
da contagem, o total de anagramas que começam por vogal é 
2 ∙ (5!) = 2 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 240 
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Gabarito: A 
 
82. (FGV 2013/SUDENE) 
Observe a tabela a seguir: 
 
Começando pela letra S na primeira linha e caminhando consecutivamente sempre para a linha 
de baixo em diagonal para a coluna imediatamente à esquerda ou para a coluna imediatamente 
à direita até chegar na última linha, forma-se sempre a sigla SUDENE. 
A quantidade de caminhos possíveis é 
(A) 20. 
(B) 21. 
(C) 32. 
(D) 64. 
(E) 720. 
Comentário 
São 5 etapas: escolher a letra U, a letra D, a letra E, a letra N e, finalmente, a letra E. 
Primeira etapa: estamos começando pela letra S. Quando vamos escolher a letra U, temos 2 
possibilidades. 
Segunda etapa: já escolhemos a letra U. Com a letra U já escolhida, temos 2 possibilidades para 
escolher a letra D. 
Terceira etapa: já escolhemos a letra D. Com a letra D já escolhida, temos 2 possibilidades para 
escolher a letra E. 
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Quarta etapa: já escolhemos a letra E. Com a letra E já escolhida, temos 2 possibilidades para 
escolher a letra N. 
Quinta etapa: já escolhemos a letra N. Com a letra N já escolhida, temos 2 possibilidades para 
escolher a letra E. 
Pelo princípio fundamental da contagem, o total de caminhos é 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 32. 
Gabarito: C 
 
83. (VUNESP 2017/CM de Cotia) 
Em uma festa, estavam presentes homens e mulheres, sendo que havia 5 homens a mais do que 
mulheres. Cada homem conversou com cada outro homem, cada mulher conversou com cada 
outra mulher e cada homem conversou com cada mulher, num total de 253 conversas. O 
número total de pessoas nessa festa era, incluindo homens e mulheres, 
(A) 23. 
(B) 29. 
(C) 31. 
(D) 37. 
(E) 41. 
Comentário 
Todos os homens conversam entre si, todas as mulheres conversam entre si e, ademais, todos os 
homens conversam com todas as mulheres. O texto só tentou complicar a situação. Em suma, 
cada pessoa conversa com todas as outras pessoas da festa. 
Assim, é totalmente irrelevante saber que há 5 homens a mais do que mulheres. Vamos 
considerar que são n pessoas. 
Quando a pessoa X conversa com a pessoa Y, pessoa Y também conversa com a pessoa X. 
Assim, a ordem das pessoas não é relevante. 
Como são n pessoas, o número de conversas é igual a 𝐶KN. 
𝐶KN = 253 
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𝑛(𝑛 − 1)
2 ∙ 1 = 253 
 
𝑛N − 𝑛 = 506 
 
𝑛N − 𝑛 − 506 = 0 
𝛥 = 𝑏N − 4𝑎𝑐 = (−1)N − 4 ∙ 1 ∙ (−506) = 2.025 
 
𝑛 =
1 ± 45
2 , 𝑛 > 0 
 
𝑛 =
1 + 45
2 = 23 
Gabarito: A 
 
84. (FGV 2012/PC-MA) 
Entre vinte policiais civis há doze homens e oito mulheres. Deseja-se escolher, entre eles, quatro 
policiais civis sendo dois homens e duas mulheres. O número total de conjuntos distintos de 
quatro policias civis que se pode escolher nas condições dadas é: 
(A) 7392. 
(B) 1848. 
(C) 384. 
(D) 188. 
(E) 94. 
Comentário 
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Como o problema não especificou funções específicas para os policiais, a ordem deles não é 
relevante. Assim, podemos usar combinações. Temos 12 homens dos quais 2 serão escolhidos, e 
8 mulheres das quais 2 serão escolhidas. O total de possibilidades é igual a: 
𝐶MNN ∙ 𝐶AN =
12 ∙ 11
2 ∙ 1 ∙
8 ∙ 7
2 ∙ 1 = 1.848 
Outra dica importante para notar que o problema deve ser resolvido usando combinações é que 
o enunciado pediu o número total de CONJUNTOS. Lembre-se que não existe ordem entre os 
elementos de um conjunto. 
Gabarito: B 
 
85. (FGV 2010/DOCAS) 
Há seis contêineres diferentes que deverão ser empilhados, três mais pesados embaixo e três 
mais leves em cima, conforme sugere a figura. 
 
 
O número de maneiras de se fazer essa arrumação, mantendo os três mais pesados embaixo e 
os três mais leves em cima é 
a) 18 
b) 6 
c) 9 
d) 36 
e) 72 
Comentário 
Devemos permutar os três contêineres que estão na primeira linha e permutar os três contêineres 
que estão na segunda linha. A resposta é 
𝑃J ∙ 𝑃J = 3! ∙ 3! = 3 ∙ 2 ∙ 1 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 36 
Gabarito: D 
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86. (FGV 2010/DOCAS) 
Marcelo tem 6 camisas diferentes, sendo duas delas camisas sociais. Marcelo tem ainda 5 calças 
compridas, sendo 3 delas calças jeans. De quantas formas diferentes Marcelo pode usar, ao 
mesmo tempo, uma das camisas e uma das calças de forma que camisas sociais nunca sejam 
usadas com calças jeans? 
a) 30 
b) 16 
c) 12 
d) 8 
e) 24 
Comentário 
Marcelo tem três opções, a saber: 
i) Vestir uma camisa social e uma calça não-jeans. 
Ele possui 2 camisas sociais e 2 calças não-jeans. Ele pode se vestir assim de 2 × 2 = 4 maneiras 
diferentes. 
ii) Vestir uma camisa não-social e uma calça jeans. 
Ele possui 4 camisas não-sociais e 3 calças jeans. Ele pode se vestir assim de 4 × 3 = 12 maneiras 
diferentes. 
iii) Vestir uma camisa não-social e uma calça não-jeans. 
Ele possui 4 camisas não-sociais e 2 calças não-jeans. Ele pode se vestir assim de 4 × 2 = 8 
maneiras diferentes. 
O total de casos é igual a 4 +12 +8 = 24. 
Comentário 2 
Vamos desconsiderar a restrição do problema: Marcelo possui 6 camisas e 5 calças. Ele pode se 
vestir de 6 × 5 = 30 maneiras diferentes. 
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Vamos excluir os casos em que Marcelo usa camisa social e camisa jeans simultaneamente. Ele 
possui 2 camisas sociais e 3 calças jeans. Ele pode se vestir assim de 2 × 3 = 6 maneiras 
diferentes. 
Vamos, do total de casos, subtrair essas 6 maneiras. A resposta é 30 – 6 = 24. 
Gabarito: E 
 
87. (FGV 2010/CAERN) 
De quantas maneiras diferentes podemos colocar 5 pessoas em fila sendo que Maria, uma 
dessas 5 pessoas, jamais seja a primeira da fila? 
a) 120 
b) 112 
c) 96 
d) 75 
e) 88 
Comentário 
Vamos utilizar o mesmo raciocínio da segunda resolução da questão anterior. 
Vamos desconsiderar a restrição do problema: devemos permutar 5 pessoas em fila. O total de 
possibilidade SERIA igual a: 
𝑃I = 5! = 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 120 
Destas 120 possibilidades, devemos excluir aquelas em que Maria é a primeira da fila. 
De quantas maneiras podemos arrumar a fila, de modo que Maria seja a primeira? 
Maria 
Neste caso, Maria está fixa e devemos permutar os 4 elementos restantes. 
𝑃X = 4! = 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24 
O total de casos que nos interessa é igual a 120 – 24 = 96. 
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Gabarito: C 
 
88. (FGV 2010/CAERN) 
Deseja-se criar senhas bancárias de 4 algarismos. Quantas senhas diferentes podem ser criadas 
de modo que o último dígito seja ímpar e todos os algarismos da senha sejam diferentes? 
a) 3.600 
b) 3.645 
c) 2.520 
d) 2.240 
e) 2.016 
Comentário 
Vamos esquecer, a priori, a restrição de que o último dígito deve ser ímpar. 
A senha deve ser formada por 4 algarismos distintos. Assim, há 10 possibilidades para o quarto 
dígito, 9 possibilidades para o