MECÂNICA APLICADA - Centroide e Momento de Inércia - Aplicações

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Lista 13 
Centroide e Momento de Inércia - Aplicações 
 
* Tensão normal de flexão: σ = – (M * y) / I 
 M = valor do momento fletor em um determinado ponto ao longo do 
comprimento da viga em que se quer determinar a tensão normal de flexão; 
 y = distância de uma determinada fibra da seção transversal em relação ao 
centroide; 
 I = momento de inércia em relação ao eixo x baricêntrico. 
OBS: Tensões normais de tração são positivas ; tensões de compressão são negativas. 
 
* Tensão de cisalhamento: τ = (V * Qx_barra) / (I * t) 
 V = valor do esforço cortante em um determinado ponto ao longo do 
comprimento da viga em que se quer determinar a tensão cisalhante; 
 Qx_barra = momento de primeira ordem da área restante acima do ponto 
considerado para o cálculo da tensão em relação ao eixo x baricêntrico; 
 I = momento de inércia da seção transversal inteira em relação ao eixo x 
baricêntrico. 
 t = largura da seção transversal da peça, medida no ponto onde a tensão 
cisalhante deve ser determinada. 
 
OBS: A unidade de tensão muitas vezes é dada em MPa, que corresponde a 106 N/m² 
Aluno(a): 
Engenharia Civil – 3º período Disciplina: Mecânica Aplicada 
Prof. Aurélio Augusto Cunha 
1. Uma peça de máquina feita de ferro fundido está submetida a um momento fletor de 
3 kN.m. Sabendo que E = 165 GPa, determine as tensões de tração e compressão 
máximas na seção transversal da peça fundida. 
 
 
2. Determine a tensão normal de flexão no ponto A e no ponto B para as seguintes vigas: 
 
a) 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
3. A viga mostrada na figura tem área de seção transversal em forma de um canal. 
Determine a tensão de flexão máxima de tração e compressão que ocorre na viga na 
seção a – a. Sabe-se que a equação do momento fletor é dada por M(x) = VA * x – MA, 
sendo x a distância determinada a partir do engaste, e VA e MA as reações de apoio. 
 
4. O elemento com seção transversal retangular (figura a) foi projetado para resistir a 
um momento de 40 N.m. Para aumentar sua resistência e rigidez, foi proposta a adição 
de duas pequenas nervuras em sua parte inferior (figura b). Determine a tensão normal 
máxima no elemento para ambos os casos. 
 
 
5. A peça de mármore, que podemos considerar como um material linear elástico frágil, 
tem peso específico de 24 kN/m³ e espessura de 20 mm. Calcule a tensão de flexão 
máxima na peça, no ponto de momento fletor máximo, se ela estiver apoiada: 
 
a) Em seu lado; 
b) Em suas bordas. 
Se a tensão de ruptura for σrup = 1,5 MPa, explique as consequências de apoiar a peça 
em cada uma das posições. 
Obs: O momento fletor é dado por M(x) = VA * x – 0,5 q * x², sendo x a distância em 
relação a qualquer um dos apoios, VA a reação no apoio A (apoio da esquerda) e q, a 
carga distribuída uniformemente. 
 
 
6. Uma ginasta de 60 kg está em pé no centro da trave de equilíbrio simplesmente 
apoiada. Se a trave for feita de madeira e tiver seção transversal mostrada na figura, 
determine a deflexão máxima. Considere o módulo de elasticidade da madeira sendo 
E = 12 GPa. 
Deflexão em viga biapoiada com carga concentrada no meio do vão: 
v = – (P * L³) / (48 * E * I) 
 
7. A viga mostrada na figura é feita de madeira e está sujeita a uma força cortante 
vertical interna resultante de V = 3 kN. Determine a tensão de cisalhamento na viga no 
ponto P, localizado: 
a) Na fibra superior mais distante do eixo x baricêntrico; 
b) A 50 mm abaixo da fibra superior (conforme a figura); 
c) No eixo x baricêntrico. 
 
 
8. Se a viga de abas largas for submetida a um esforço cortante V = 30 kN, determine a 
tensão de cisalhamento em um ponto da seção transversal localizado no eixo 
x baricêntrico. Considere w = 100 mm. 
 
RESPOSTAS LISTA MECÂNICA APLICADA 
LISTA 13 
 
- Lista 13: Centroide e Momento de Inércia - Aplicações 
 
Obs: Para todas as questões, foi considerado um par de eixos coordenados envolvendo 
as superfícies no primeiro quadrante. 
 
1) 
x_barra = 45 mm ; y_barra = 38 mm 
Ix_barra = 868.000 mm4 
Tensão de tração = 131,336 MPa ; Tensão de compressão = - 76,036 MPa 
 
2) 
a) 
x_barra = 20 mm ; y_barra = 20 mm 
Ix_barra = 85.902,93 mm4 
Tensão ponto A = - 116,410 MPa ; Tensão ponto B = - 87,307 MPa 
 
b) 
x_barra = 75 mm ; y_barra = 69 mm 
Ix_barra = 11.407.566,66 mm4 
Tensão ponto A = - 16,936 MPa ; Tensão ponto B = - 4,663 MPa 
 
 
 
 
3) 
x_barra = 140 mm ; y_barra = 140,91 mm 
Ix_barra = 42.254.757,50 mm4 
VA = 2,4 kN (cima) ; MA = 7,20 kN.m (horário) 
Momento fletor: - 4,80 kN.m 
Tensão de tração = 6,712 MPa ; Tensão de compressão = - 16,006 MPa 
 
4) 
Caso 1: 
y_barra = 15 mm 
Ix_barra = 135.000 mm4 
Tensão de tração = 4,444 MPa ; Tensão de compressão = - 4,444 MPa 
 
Caso 2: 
x_barra = 30 mm ; y_barra = 19,08 mm 
Ix_barra = 164.145,17 mm4 
Tensão de tração = 4,64 MPa ; Tensão de compressão = - 3,879 MPa 
 
5) 
Carga distribuída = 240 N/m 
VA = 180 N (cima) ; VB = 180 N (cima) 
Momento máximo  x = 0,75 m ; Mmáx = 67,5 N.m 
 
a) 
y_barra = 0,25 m 
Ix_barra = 210x10-6 m4 
Tensão de tração = 0,080 MPa ; Tensão de compressão = - 0,080 MPa 
b) 
y_barra = 10x10-3 m 
Ix_barra = 330x10-9 m4 
Tensão de tração = 2,045 MPa ; Tensão de compressão = - 2,045 MPa  ocorrerá 
ruptura da peça 
 
6) 
x_barra = 62,50 mm ; y_barra = 81,25 mm 
Ix_barra = 27.539.062,50 mm4 
Deflexão = 5,84 mm para baixo 
 
7) 
y_barra = 62,5 mm 
Ix_barra = 16.276.041,66 mm4 
 
a) 
Área acima do ponto de corte  A’ = 0 ; Qx_barra = 0 
Tensão de cisalhamento = 0 
 
b) 
Área acima do ponto de corte  y’ = 37,5 mm ; A’ = 5.000 mm² 
t = 100 mm 
Tensão de cisalhamento = 0,345 MPa 
 
 
 
 
c) 
Área acima do ponto de corte  y’ = 31,25 mm ; A’ = 6.250 mm² 
t = 100 mm 
Tensão de cisalhamento = 0,360 MPa 
 
8) 
Propriedades da seção inteira: 
x_barra = 100 mm ; y_barra = 182,54 mm 
Ix_barra = 200.821.596,3 mm4 
 
Seção cisalhante: 
x_barra = 100 mm ; y_barra = 94,05 mm 
Área acima do ponto de corte  y’ = 94,05 mm ; A’ = 8.436,50 mm² 
t = 25 mm 
Tensão de cisalhamento = 4,74 MPa