Resp_L4_Espaços_Vetoriais_Parte1

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4a Lista de Exercícios de A. L. G. A. - Profa Vanessa Munhoz
Espaços vetoriais Euclidianos
Vetores bi, tri e n-dimensionais, norma, produto escalar e distância
RESPOSTAS
Exercício 1. Desenhe um sistema de coordenadas e marque, em cada item, o ponto cujas coor-
denadas são dadas.
(a) (3, 4, 5)
(b) (−3, 4, 5)
(c) (3,−4, 5)
(d) (3, 4,−5)
(e) (−3,−4, 5)
(f) (−3, 4,−5)
Exercício 2. Em cada item esboce o vetor dado com o ponto inicial na origem.
(a) v1 = (3, 6)
(b) v2 = (−4,−8)
(c) v3 = (−4,−3)
(d) v4 = (3, 4, 5)
(e) v5 = (3, 3, 0)
(f) v6 = (−1, 0, 2)
Exercício 3. Em cada item esboce o vetor v =
−−→
P1P2 com o ponto inicial na origem.
(a) P1 = (4, 8), P2 = (3, 7)
(b) P1 = (3,−5), P2 = (−4,−7)
(c) P1 = (3,−7, 2), P2 = (−2, 5,−4)
1
Exercício 4. Encontre o ponto �nal do vetor que é equivalente a u = (1, 2) e cujo ponto inicial
é A = (1, 1). O ponto �nal é B = (2, 3).
Exercício 5. Encontre o ponto inicial do vetor que é equivalente a u = (1, 1, 3) e cujo ponto �nal
é B = (−1,−1, 2). O ponto inicial é A = (−2,−2,−1).
Exercício 6. Encontre um ponto inicial P de um vetor não nulo u =
−→
PQ e com ponto �nal
Q = (3, 0,−5) tal que
(a) u tem a mesma direção e sentido de v = (4,−2,−1).
Uma resposta possível é P = (−1, 2,−4).
(b) u tem a mesma direção, mas sentido oposto de v = (4,−2,−1).
Uma resposta possível é P = (7−−2,−6).
Exercício 7. Sejam u = (−3, 2, 1, 0), v = (4, 7,−3, 2) e w = (5,−2, 8, 1), encontre os compo-
nentes de
(a) v −w = (−1, 9,−11, 1)
(b) −u+ (v − 4w) = (−13, 13,−36,−2)
(c) 6(u− 3v) = (−90,−114, 60,−36)
Exercício 8. Sejam u = (5,−1, 0, 3,−3), v = (−1,−1, 7, 2, 0) e w = (−4, 2,−3,−5, 2), encontre
os componentes de
(a) w − u = (−9, 3,−3,−8, 5)
(b) −w + 3(v − u) = (−14,−2, 24, 2, 7)
2
(c) 5(−v + 4u−w) = (125,−25,−20, 75,−70)
Exercício 9. Sejam u = (1,−1, 3, 5) e v = (2, 1, 0,−3), encontre escalares a e b tais que
au+ bv = (1,−4, 9, 18) a = 3, b = −1
Exercício 10. Encontre todos os escalares c1, c2 e c3 tais que
c1(1,−1, 0) + c2(3, 2, 1) + c3(0, 1, 4) = (−1, 1, 19)
c1 = 2, c2 = −1 e c3 = 5.
Exercício 11. Encontre a norma de v, um vetor unitário de mesma direção e sentido de v e um
vetor unitário de mesma direção e sentido oposto de v.
(a) v = (4,−3) ‖v‖ = 5, v
‖v‖
=
(
4
5
,−3
5
)
, − v
‖v‖
=
(
−4
5
,
3
5
)
(b) v = (2, 2, 2) ‖v‖ = 2
√
3,
v
‖v‖
=
(
1√
3
,
1√
3
,
1√
3
)
, − v
‖v‖
=
(
− 1√
3
,− 1√
3
,− 1√
3
)
(c) v = (1, 0, 2, 1, 3) ‖v‖ =
√
15,
v
‖v‖
=
1√
15
(1, 0, 2, 1, 3), − v
‖v‖
= − 1√
15
(1, 0, 2, 1, 3)
Exercício 12. Dados u = (2,−2, 3) e v = (1,−3, 4), calcule:
(a) ‖u+ v‖ =
√
83
(b) ‖u‖+ ‖v‖ =
√
17 +
√
26
(c) ‖ − 2u+ 2v‖ = 2
√
3
Exercício 13. Seja v = (−2, 3, 0, 6). Encontre todos os escalares k tais que ‖kv‖ = 5 k = ±5
7
Exercício 14. Determine u · v, u · u e v · v.
(a) u = (3, 1, 4), v = (2, 2,−4) u · v = −8, u · u = 26, v · v = 24
(b) u = (1, 1, 4, 6), v = (2,−2, 3,−2) u · v = 0, u · u = 54, v · v = 21
Exercício 15. Encontre a distância entre u e v.
(a) u = (3, 3, 3), v = (1, 0, 4) d(u,v) = ‖u− v‖ =
√
14
(b) u = (0,−2,−1, 1), v = (−3, 2, 4, 4) d(u,v) = ‖u− v‖ =
√
59
Exercício 16. Considere os vetores u, v e w arbitrários em Rn. Determine se a expressão faz
sentido matemático. Se não �zer explique.
(a) u · (v ·w) não faz sentido porque v ·w é um escalar.
3
(b) u · (v +w) faz sentido.
(c) ‖u · v‖ não faz sentido porque a quantidade dentro da norma é um escalar.
(d) (u · v)− ‖u‖ faz sentido pois ambas parcelas são escalares.
(e) ‖u‖ · ‖v‖ não faz sentido pois as duas normas resultam em escalares.
(f) u · v −w não faz sentido pois a primeira parcela é um escalar e a segunda é um vetor, ou
seja, não é possível somar escalar com vetor.
(g) u · v − k faz sentido pois ambas parcelas são escalares.
(h) k ·u não faz sentido visto que k é um escalar, pois o produto escalar deve ser calculado entre
dois vetores.
Exercício 17. Veri�que a validade da desigualdade de Cauchy-Schwarz.
(a) u = (3, 2), v = (4,−1) |u · v| = 10, ‖u‖‖v‖ =
√
13
√
17 ≈ 14, 866
(b) u = (3,−1, 0), v = (2,−1, 3) |u · v| = 7, 0, ‖u‖‖v‖ =
√
10
√
14 ≈ 11, 832
(c) u = (0, 2, 2, 1), v = (1, 1, 1, 1) |u · v| = 5, ‖u‖‖v‖ = (3)(2) = 6
4