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Problemas de Taxas Relacionadas
Prof.: Jeferson L. G. Araújo
Cálculo I
1. Uma pedra lançada numa lagoa provoca uma série de
ondulações concêntricas. Se o raio r da onda exterior
cresce uniformemente à taxa de 1, 8m/s, determine a
taxa com que a área perturbada está crescendo: (a)
quando r = 3m/s; (b) quando r = 6m/s.
Resp.: a) 10, 8πm2/s; b) 21, 6πm2/s.
2. Despeja-se areia sobre um monte em forma de cone à
taxa constante de 1, 4m3/min. As forças de atrito na
areia são tais que a altura do monte é sempre igual
ao raio de sua base. Com que velocidade a altura do
monte aumenta quando ele tem 1, 5m de altura?
Resp.: 0, 62/πm/min.
3. Suponha que um tumor no corpo de uma pessoa tenha
forma esférica. Se, quando o raio do tumor for 0, 5 cm,
o raio estiver crescendo a uma taxa de 0, 001 cm por
dia, qual será a taxa de aumento do volume do tumor
naquele instante? Qual será a taxa de crescimento da
área da superf́ıcie externa do tumor nesse mesmo ins-
tante?
Resp.: 0, 001π cm3/dia e 0, 004π cm2/dia.
4. Um funil cônico tem diâmetro de 30 cm na parte supe-
rior e altura de 40 cm. Se o funil é alimentado à taxa
de 1, 5 l/s e tem uma vazão de 800 cm3/s, determine
quão rapidamente está subindo o ńıvel da água quando
esse ńıvel é de 25 cm.
Resp.: 1792/225π cm/s.
5. Um ponto se move ao longo da curva y2 = x3 de tal
forma que sua distância à origem aumenta à razão
constante de 2 unidades por segundo. Determinar dxdt
em (2, 2
√
2).
Resp.:
√
3/2 unidades/s.
6. Dois navios A e B partem de O ao mesmo tempo. O
navio A navega rumo a leste a 15 milhas por hora e o
navio B navega em linha reta segundo um ângulo de
60o com o rumo de A e a 20 milhas por hora. Com que
velocidade se afastam um do outro ao cabo de duas
horas?
Resp.: 18 milhas/h.
7. Um carro indo em direção norte, a 40 km/h, e um ca-
minhão indo em direção leste a 30 km/h, deixam um
cruzamento ao mesmo tempo. Qual é a taxa de va-
riação da distância entre eles 3 horas depois?
Resp.: 50 km/h.
8. Um automóvel se aproxima de um cruzamento a uma
velocidade de 30 m/s. Quando o automóvel está a 120
metros do cruzamento, um caminhão a uma velocidade
de 40 m/s atravessa o cruzamento. O automóvel e o
caminhão estão em ruas que se cruzam em ângulo reto.
Com que velocidade o automóvel e o caminhão estarão
se afastando um do outro 2 segundos após o caminhão
ter passado pelo cruzamento?
Resp.: 14 m/s.
9. Uma jovem com 1, 60m de altura está correndo a uma
velocidade de 3, 6m/s e passa debaixo de uma lâmpada
em um poste, situada 6m acima do solo. Encontrar a
velocidade com que o comprimento da sombra da jovem
aumenta.
Resp.: 1, 3m/s.
10. Um objeto de 6 cm de altura que está sobre uma mesa
se afasta de um ponto de luz também situado sobre
a mesa, a uma altura de 20 cm, com uma velocidade
de 7 cm/s. Qual é a velocidade da sombra da parte
superior do objeto?
Resp.: 1, 3m/s.
11. Uma lâmpada está no solo a 15m de um edif́ıcio. Um
homem de 1, 80m de altura anda a partir da luz em
direção ao edif́ıcio a 1, 2m/s. Ache a taxa de variação
do comprimento de sua sombra quando: (a) ele estiver
a 12m do edif́ıcio; (b) ele estiver a 9m do edif́ıcio.
Resp.: a) −3, 6m/s; b) −0, 9m/s.
12. Uma pedra é jogada de uma altura de 160m. Um
foco de luz está localizado no mesmo ńıvel, a 10m da
posição inicial da pedra. A altura da pedra após t
segundos será de A(t) = −16t2 +160 metros. Com que
velocidade a sombra da pedra se moverá sobre o chão
1 segundo após a pedra ser jogada.
Resp.: −200m/s.
13. Um avião está voando com velocidade constante a uma
altitude de 3 km sobre uma linha reta que irá passar di-
retamente acima de um observador no chão. Num dado
1
instante, o observador nota que o ângulo de elevação
do avião é de π/3 rad e está aumentando a uma taxa
de 1/60 rad/s. Ache a velocidade do avião.
Resp.: −200/3m/s.
14. Um menino mantém uma pipa empinada a uma altura
de 300m e o vento a afasta do menino, horizontal-
mente, à razão de 25m/s. Com que velocidade deve o
menino dar linha quando a pipa estiver a 500m dele?
Resp.: 20m/s.
15. Um bote está sendo puxado para o cais por meio de
uma corda com uma extremidade amarrada ao bote e
a outra passando por uma polia simples localizada na
beira do cais a 1, 5m acima do ńıvel do bote. Se se
puxa a corda a 0, 5m/s, com que velocidade o bote se
aproxima do cais no instante em que há ainda 3m de
corda para fora?
Resp.: −0, 577m/s.
16. De uma praia, um homem M observa um farol gigante
L. A luz gira a cada minuto e o foco de luz percorre
uma parede diretamente atrás do homem a uma ve-
locidade de 10m/s. A parede é perpendicular à reta
que une o homem ao farol. Qual a distândia do farol à
parede?
Resp.: 300/πm.
17. O topo de uma escada de 5m está deslizando por uma
parede. Quando a base da escada estiver situada a 3m
da parede, está deslizando com velocidade de 1m/s.
(a) Qual o ângulo entre a parede e a escada naquele
instante?
(b) Com que velocidade o ângulo está crescendo na-
quele momento?
Resp.: (a) arcsin(3/5); (b) 1/4 rad/s.
18. Um tanque com a forma de um cone invertido está
sendo esvaziado a uma taxa de 6m3/min. A altura
do cone é de 24m e o raio da base é de 12m. Achar
a velocidade com que o ńıvel de água está abaixando,
quando a água tiver profundidade de 10m.
Resp.: −6/25πm/s.
19. Ao ser inflado um balão esférico, seu raio r (em cm)
após t minutos é dado por r = 3 3
√
t para o intervalo
0 ≤ t ≤ 10. Acha a taxa de variação em relação a t
quando t = 8 minutos: a) do raio r; b) do volume V
do balão; c) da área da superf́ıcie S do balão.
Resp.: a) 1/4 cm/min; b) 36π cm3/min;
c) 12π cm2/min.
20. Dois lados paralelos de um retângulo aumentam a uma
velocidade de 4 cm/s, enquanto os outros dois lados di-
minuem, de tal modo que o retângulo resultante per-
manece com a sua área constante de 100 cm2. Qual é
a velocidade do peŕımetro, quando o comprimento do
lado que aumenta é de 20 cm? Quais são as dimensões
do retângulo quando o peŕımetro pára de diminuir?
Resp.: 6 cm/s; quadrado de área 100 cm2.
21. Estima-se que a receita anual de um jornal obtida com
os anúncios seja R(x) = 0, 5x2+3x+160 milhares de re-
ais, quando a circulação é de x milhares de exemplares.
A circulação atual do jornal é de 10.000 exemplares e
está crescendo numa taxa de 2.000 exemplares por ano.
Qual é a taxa de crescimento anual da receita obtida
com os anúncios?
Resp.: R$26.000, 00 por ano.
22. Um estudo do meio ambiente de uma comunidade su-
burbana conclui que a taxa média diária de monóxido
de carbono no ar é de c(p) =
√
0, 5p2 + 17 partes por
milhão, quando a população é de p milhares. Estima-se
que daqui a t anos a população será p(t) = 3, 1 + 0, 1t2
milhares. Qual será a taxa de variação, com relação
ao tempo, da taxa de monóxido de carbono daqui a 3
anos?
Resp.: 0, 245 partes por milhão/ano.
23. Uma piscina tem 10 metros de largura, 20 metros de
comprimento, 1 metro de profundidade nas extremi-
dades e 3 metros no meio, de modo que o fundo seja
formado por dois planos inclinados. Despeja-se água
na piscina a uma taxa de 0, 3m3/min. Seja h a al-
tura da água em relação à parte mais profunda. Com
que velocidade h estará variando no instante em que
h = 1m?
Resp.: 0, 003m/min.
24. O ponto P = (x, y) está fixo a uma roda de 1m de
raio, que rola, sem deslizar, sobre o eixo Ox. O ângulo
θ está variando a uma taxa constantes de 1 rad/s. Ex-
presse as velocidades da abscissa e da ordenada de P
em função de θ.
Resp.: dxdt = 1− cos θ,
dy
dt = sin θ.
25. Uma mulher de 1, 80m de altura corre em direção a
um muro à razão de 4m/s. Diretamente atrás dela,
a 40m do muro está um refletor 3m acima do ńıvel
do solo. Quão rapidamente o comprimento da sombra
da mulher estará variando no muro quando ela estiver
a meio caminho entre o refletor e o muro? A sombra
estará aumentando ou diminuindo?
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