6_Metodo_de_Newton_Sistemas_Nao_Lineares_(atividade)

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ICT - UNIFESP - São José dos Campos
Cálculo Numérico Segundo Semestre de 2020
Turmas IA e IB Prof. Thadeu Senne
Atividade 6 - Entrega no dia 15/01/2021
Atenção: Faça seus cálculos utilizando 4 casas decimais.
1. Seja a função F : R3 → R3 ,
F(x) = F(x1, x2, x3) =
 4x1 + 5x2 − x1x3−x2(x3 + 1)
x21 + x
2
2 − 1
 ,
e considere o sistema não-linear
F(x) = 0 .
(a) Encontre a matriz Jacobiana da função F .
(b) Podemos escolher o ponto x(0) =
 00
1
 como ponto inicial para o Método de Newton?
Justifique sua resposta.
(c) Faça 1 iteração do Método de Newton, partindo do ponto inicial x(0) =
 10
1
 . Calcule os
valores de ‖F(x(1))‖∞ e de ||s(1)‖∞ .
2. Seja uma função f : R2 → R . Dizemos que (x∗1, x∗2) é um ponto cŕıtico (ou um ponto estacionário)
de f se
∂f
∂x1
(x∗1, x
∗
2) = 0 e
∂f
∂x2
(x∗1, x
∗
2) = 0 , (?)
ou se pelo menos uma dessas derivadas parciais não existir no ponto (x∗1, x
∗
2). Um ponto cŕıtico
da função f pode ser um ponto de mı́nimo local, ou um ponto de máximo local, ou um ponto de
sela (ou seja, um ponto que não é nem mı́nimo local nem máximo local).
Observando as equações (?) , notamos que, quando existem as derivadas parciais de primeira
ordem de f , a obtenção de um ponto cŕıtico de f envolve a resolução de um sistema não-linear,
que pode ser expresso como
∇f(x) = ∇f(x1, x2) = 0 ,
em que ∇f(x1, x2) é o vetor gradiente de f calculado em um ponto (x1, x2) .
Faça 2 iterações do Método de Newton para encontrar um ponto estacionário aproximado da
função
f(x1, x2) = 0.5(x
2
1 − x2)2 + 0.5(1− x1)2 ,
partindo do ponto inicial x(0) =
[
1.5
1.5
]
. Em cada iteração k, calcule os valores de ‖∇f(x(k))‖∞
e de ||s(k)‖∞ .