CA-Aula-06

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Controle e Automação 1 
 Aula Teórica 06 
Professor: J.Ruben Sicchar, DSc. Data: 13/08/2020 
 
Modelagem de sistemas de tempo contínuo: Introdução a modelagem de sistemas de tempo continuo/ Definições e regras de modelagem/ 
Representação de sistemas dinâmicos no domínio do tempo contínuo: sistemas de 1, 2 e Ordem Superior/ Representação de sistemas 
dinâmicos no domínio da frequência: Transformada de Laplace e Função de Transferência / Transformada-inversa de Laplace e Resposta 
de sistemas/ Análise de estabilidade. 
 
Título: Representação de sistemas de controle no domínio da frequência: 
 Função de transferência de sistemas de controle 
 
Conteúdo: 
 
 
 
 
 
6.1. INTRODUÇÃO 
 
A determinação da função de transferência, de um sistema de controle de processo pode ser 
determinada está em função de dois parâmetros de referência: a calibração e a comparação 
de medição. 
Consideremos o sistema de controle de processos mostrado na Figura 6.1 onde se observa 
um sistema com representação geral de todos seus elementos que o conformam. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6.1 Diagrama de blocos geral: Sinais e Processos. 
 
 Introdução. 
 Classificação de função de transferência: malha aberta e malha fechada. 
 Exemplos de aplicação. 
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Várias relações intrínsecas podem ser adotadas, como aquelas mostradas pelas relações 
“(5.2)” e “(5.3)” da aula 05. Uma relação de muita importância é a relação referente à da 
saída do sistema. 
Podendo estar à saída associada a uma amplificação direta do sinal de entrada (regulação 
direta), ou estar associada a uma medição para comparação e detecção de erro de 
desempenho. 
 
6.2. CLASSIFICAÇÃO DE FUNÇÕES DE TRANSFERÊNCIA 
A modelagem de sistemas de controle pode ser classificada em: função de transferência de 
malha aberta e função de transferência de malha fechada. 
 
6.2.1 Função de Transferência de Malha Aberta: FTMA 
 
A saída do sistema pode estar relacionada em função da calibração e da medição. Quando o 
parâmetro de referencia for, a calibração então a relação de entrada R(s) e de saída C(s) é 
proporcional, relacionada apenas pelo bloco de medição H(s) que neste caso, o mesmo se 
torna apenas um bloco de amplificação de comando, ou seja, o sinal de entrada R(s) é a 
referência que se deseja aplicar no processo G(s) via a ordem O(s) que por sua vez, repassa 
o valor da referência R(s) ao valor de amplificação H(s), causando então a saída C(s) do 
sistema. 
 
Desta forma o bloco de “medição” se torna na verdade um bloco de “amplificação” do sinal 
de entrada em cima do processo G(s), para ser um sinal de saída. Quando esta relação 
acontece, se diz que a saída do sistema é obtida por malha aberta, ou seja, apenas com 
regulação direta do sinal de entrada. 
 
Assim a partir da Figura 6.1 podemos obter: A saída C(s) em função da ordem O(s) e do 
processo G(s) como mostrado particularmente na Figura 6.2. 
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Figura 6.2 Diagrama de blocos de um processo em malha aberta. 
 
 
 
)()()( sGsOsC 
 (6.1) 
 
Mas a ordem O(s) pode ser escrito como uma relação de amplificação do sinal de entrada 
amplificado pela constante de regulação H(s). Logo: 
 
)()()( sHsRsO 
 (6.2) 
 
Se substituirmos “(6.2)” em “(6.1)” teremos: 
 
)()()()( sHsGsRsC  (6.3) 
 
 
Tendo-se então: 
 
 
 )()()(
)(
sHsG
sR
sC
 (6.4) 
 
 
A “expressão (6.4)” é chamada de função de transferência de malha aberta ou apenas 
FTMA. Algumas observações podem ser consideradas para sistemas modelados sobre 
malha aberta: 
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A exatidão do controle de processos, em relação ao erro, depende da calibração, isto é, para 
o “erro” ser tratado como um regulador do sinal de entrada, em cima do processo, não há 
lugar para detecção de diferença entre o sinal de entrada e o sinal de saída, ou seja, não há 
medição, e sim regulação de posição de valores entre a saída e o sinal de entrada. 
 
Todavia no caso de acontecer alguma perturbação no processo G(s), o sistema de controle 
de processos, não corrige seu efeito, por causa de depender apenas de uma regulação direta 
de desempenho da saída em função de um valor determinado para a entrada, e porque não é 
possível detectar a diferença de desempenho entre a referência e a saída (não há medição). 
Em função da exatidão, que depende de uma aferição e calibração confiável, o sistema não 
apresenta problemas de estabilidade, sempre e quando não haja sobrecarga de desempenho, 
isto é presença de perturbações inesperadas. 
 
Exemplos de aplicações de modelagem de sistemas de controle de processos, em malha 
aberta são: fogões elétricos ou a gás, máquinas de lavar roupa, semáforos (controle do 
tráfego em função do tempo), ventiladores, entre outros. 
 
 
6.2.2 Função de Transferência de Malha Fechada: FTMF 
 
No caso da saída do sistema estar relacionada em função da medição, então a relação de 
entrada R(s) e de saída C(s) não é proporcional, e o erro E(s) não é mais considerado como 
sendo uma relação de “amplificação” do sinal de entrada, mas sim um sinal a ser detectado 
para atenuação. Ver Figura 6.3. 
 
 
 
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Figura 6.3 Diagrama de blocos de um processo em malha fechada. 
 
Assim a saída C(s) pode ser escrita como na “expressão (6.5)”. 
 
)()()( sGsEsC  (6.5) 
 
O erro é detectado pelo comparador do controle de sistema como mostra “(6.6)”. 
 
 
 )()()()( sCsHsRsE  (6.6) 
 
 
 
Na “expressão (6.6)” o erro é o resultado de comparação entre o valor de referencia R(s) 
para desempenho (aplicado no sistema) e o valor medido H(s) do desempenho da resposta 
C(s). 
 
 
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Logo é possível substituir “(6.6)” em “(6.5)” onde teremos: 
 
)()]()()([)( sGsCsHsRsC  (6.7) 
 
Então: 
 
 
)()()()()()( sGsCsHsGsRsC (6.8) 
 
 
Arrumando “(6.8)” teremos: 
 
 
)()()()()()( sGsRsGsCsHsC  (6.9) 
 
 
fatorando o primeiro membro de “(6.9)” fica: 
 
 
)()()]()()[( sGsRsHsGsC 1 (6.10) 
 
 
 
Fazendo a relação de saída sobre entrada finalmente teremos: 
 
 
)()(
)(
)(
)(
sHsG
sG
sR
sC


1 (6.11) 
 
 
A “expressão (6.11)” é chamada de função de transferência de malha fechada ou FTMF. 
Algumas observações podem ser consideradas para sistemas modelados sobre malha 
fechada: 
A exatidão depende das características do processo, da ação do controle e do tipo de 
perturbação, ou seja, há medição, como procedimento necessário para verificação de 
exatidão do desempenho do sistema. 
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Utiliza-se em processos que podem apresentar perturbações, haja vista que o sistema de 
controle de processos apresenta maior robustez de operação, ou seja, tolerância de 
desempenho com determinada “carga de operação adicional” no sistema de processos, já 
que não depende exclusivamente do valor especificado em calibração de regulação para 
desempenhos de processos. 
 
O tratamento de instabilidade de sistemas, em sistemas modelados por malha fechada, está 
relacionado com o desempenho da saída do sistema. De tal forma que se o sistema estiver 
operando dentro da região de estabilidade, o desempenho do sistema terá uma etapa 
transitória, até atingir seu regime permanente, estabilização da resposta. Caso contrário se 
terá uma resposta com oscilações trepidantes permanentes (sistema instável). 
 
Exemplo 6.1. Dado o sistema de controle de processos mostrado na Figura 6.4. Determine: 
a) FTMA 
b) FTMF 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6.4 Sistema de Nível. 
 
 
 
 
 
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Solução. 
 
Primeiramente desenhamos o diagrama de blocos do sistema real. A Figura 6.5 mostra esse 
diagrama de blocos, com a identificação dos processos dinâmicos e o processo de medição. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6.5. Sistema de Nível: Diagrama de blocos-identificação de processos. 
 
 
 
Logo identificamos a relação equivalente dos processos dinâmicos G(s). Sendo 
determinada pela expressão: 
 
 )()()()( sGtsGvsGcsG  (6.12) 
 
 
 
e o processo de medição H(s): 
 
 
 
Hm(s)H(s)  (6.13) 
 
 
Logo determinamos os itens solicitados 
 
a) FTMA 
 
 
Substituindo “(6.12)” e “(6.13)” em “(6.4)” teremos: 
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)()()()()()(
)(
)(
sHmsGtsGvsGcsHsG
sR
sC
 (6.14) 
 
Sendo a “expressão (6.14)” a FTMA do sistema. 
 
 
b) FTMF 
 
Substituindo “(6.12) e “(6.13)” em “(6.11)” teremos: 
 
 
)()()()(
)()()(
)()(
)(
)(
)(
sHmsGtsGvsGc
sGtsGvsGc
sHsG
sG
sR
sC




11 (6.15) 
 
 
Sendo a “expressão (6.15)” a FTMF do sistema. 
 
 
 
Exemplo 6.2. Suponha agora que o sistema de nível do exemplo anterior tenha o diagrama 
de blocos mostrado na Figura 6.6. Considerando K=1. Determine: 
a) FTMA 
b) FTMF 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6.6. Sistema de Nível: Diagrama de blocos com processos modelados. 
 
 
 
 
 
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Solução: 
 
Primeiramente identificamos a relação equivalente dos processos dinâmicos G(s). Sendo 
determinada pela “expressão (6.16)”. 
 
)()(
..)()()()(
1
1
1
11
1




ssss
sGtsGvsGcsG (6.16) 
 
 
e o processo de medição H(s): 
 
 
1 Hm(s)H(s) (6.17) 
 
 
 
Logo determinamos os itens solicitados 
 
a) FTMA 
 
Substituindo “(6.16)” e “(6.17)” em “(6.4)” teremos: 
 
 
)(
)()()()()()(
)(
)(
1
1


ss
sHmsGtsGvsGcsHsG
sR
sC
 (6.18) 
 
 
Sendo a expressão (6.18) a FTMA do sistema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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b) FTMF 
 
Substituindo “(6.16)” e “(6.17)” em “(6.11)” teremos: 
 
 
 
)(
)(
)(
.
)(
)(
)()(
)(
)(
)(
1
11
1
1
1
1
1
1
1
1
1










ss
ss
ss
ss
ss
sHsG
sG
sR
sC
 (6.19) 
 
 
Ficando: 
 
 
1
1
2 

sssR
sC
)(
)(
 (6.20) 
 
 
 
Sendo a expressão (6.20) a FTMF do sistema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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6.5. EXEMPLOS DE APLICAÇÃO 
 
Determine a FTMA e FTMF dos seguintes sistemas de controle de processos. Considere 
em ambos os casos K=2. 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 6.7. Sistema de Nível com uma chave de fluxo. 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 6.8. Sistema de Nível com duas chaves de fluxo. 
 
R(s) C(s)