E-Book - Controle e automação

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CONTROLE E AUTOMAÇÃO
PROF. DR. LEANDRO DE SANTANA COSTA
Reitor: 
Prof. Me. Ricardo Benedito de 
Oliveira
Pró-Reitoria Acadêmica
Maria Albertina Ferreira do 
Nascimento
Diretoria EAD:
Prof.a Dra. Gisele Caroline
Novakowski
PRODUÇÃO DE MATERIAIS
Diagramação:
Alan Michel Bariani
Thiago Bruno Peraro
Revisão Textual:
Fernando Sachetti Bomfim
Marta Yumi Ando
Produção Audiovisual:
Adriano Vieira Marques
Márcio Alexandre Júnior Lara
Osmar da Conceição Calisto
Gestão de Produção: 
Aliana de Araújo Camolez
© Direitos reservados à UNINGÁ - Reprodução Proibida. - Rodovia PR 317 (Av. Morangueira), n° 6114
 Prezado (a) Acadêmico (a), bem-vindo 
(a) à UNINGÁ – Centro Universitário Ingá.
 Primeiramente, deixo uma frase de 
Sócrates para reflexão: “a vida sem desafios 
não vale a pena ser vivida.”
 Cada um de nós tem uma grande re-
sponsabilidade sobre as escolhas que fazemos, 
e essas nos guiarão por toda a vida acadêmica 
e profissional, refletindo diretamente em nossa 
vida pessoal e em nossas relações com a socie-
dade. Hoje em dia, essa sociedade é exigente 
e busca por tecnologia, informação e conhec-
imento advindos de profissionais que possuam 
novas habilidades para liderança e sobrevivên-
cia no mercado de trabalho.
 De fato, a tecnologia e a comunicação 
têm nos aproximado cada vez mais de pessoas, 
diminuindo distâncias, rompendo fronteiras e 
nos proporcionando momentos inesquecíveis. 
Assim, a UNINGÁ se dispõe, através do Ensino 
a Distância, a proporcionar um ensino de quali-
dade, capaz de formar cidadãos integrantes de 
uma sociedade justa, preparados para o mer-
cado de trabalho, como planejadores e líderes 
atuantes.
 Que esta nova caminhada lhes traga 
muita experiência, conhecimento e sucesso. 
Prof. Me. Ricardo Benedito de Oliveira
REITOR
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U N I D A D E
01
SUMÁRIO DA UNIDADE
INTRODUÇÃO ...............................................................................................................................................................5
1. DEFINIÇÕES .............................................................................................................................................................6
1.1 SISTEMA ..................................................................................................................................................................6
1.1.1 CONTROLE.............................................................................................................................................................6
1.1.2 CONTROLADOR ....................................................................................................................................................6
1.1.3 SISTEMA DE CONTROLE ....................................................................................................................................6
1.2 HISTÓRICO DOS SISTEMAS DE CONTROLE E CONFIGURAÇÕES DE SISTEMAS ..........................................6
1.2.1 RESUMO DA HISTÓRIA DO CONTROLE AUTOMÁTICO ...................................................................................8
1.3 DIAGRAMA DE BLOCOS EM MALHA ABERTA E MALHA FECHADA ..........................................................................8
1.3.1 ELEMENTOS DE UM DIAGRAMA DE BLOCOS..................................................................................................8
INTRODUÇÃO AOS SISTEMAS DE CONTROLE
PROF. DR. LEANDRO DE SANTANA COSTA
ENSINO A DISTÂNCIA
DISCIPLINA:
CONTROLE E AUTOMAÇÃO
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1.3.2 SISTEMA DE MALHA ABERTA .......................................................................................................................... 10
1.3.3 SISTEMA DE MALHA FECHADA ........................................................................................................................ 10
1.4 TRANSFORMADA DE LAPLACE ............................................................................................................................. 11
1.4.1 DEFINIÇÃO E PROPRIEDADES ........................................................................................................................... 11
1.4.2 ALGUMAS TRANSFORMADAS........................................................................................................................... 13
1.5 TABELA COM ALGUMAS TRANSFORMADAS ..................................................................................................... 15
1.5.1 APLICAÇÃO A CIRCUITOS .................................................................................................................................. 15
1.5.3 RAÍZES REAIS E DIFERENTES .......................................................................................................................... 17
1.5.4. RAÍZES REAIS DUPLAS ....................................................................................................................................20
1.5.5 RAÍZES COMPLEXAS CONJUGADAS ................................................................................................................ 21
1.5.6 IMPEDÂNCIAS OPERACIONAIS .......................................................................................................................22
1.5.7 CIRCUITO RLC SÉRIE ........................................................................................................................................23
1.5.8 RLC PARALELO ...................................................................................................................................................24
1.5.9 CIRCUITO COM UM AMPLIFICADOR ...............................................................................................................25
1.5.10 TRANSFERÊNCIA OPERACIONAL ...................................................................................................................26
1.5.11 DIVISOR DE TENSÃO .........................................................................................................................................26
1.5.12 MODELAGEM MATEMÁTICA DE SISTEMAS FÍSICOS ...................................................................................27
1.6 MODELAGEM MATEMÁTICA DE UM SISTEMA MECÂNICO .............................................................................29
1.7 MODELAGEM MATEMÁTICA DE UM SISTEMA ELÉTRICO ................................................................................ 31
CONSIDERAÇÕES FINAIS ...........................................................................................................................................34
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INTRODUÇÃO
Diariamente os sinais elétricos e magnéticos nos são apresentados, seja por um celular ou 
mesmo pela transmissão de informação entre satélites no espaço. Na área médica, os diversificados 
tipos de exames, como ressonância magnética e eletrocardiograma, são essencialmente realizados 
por meio de sinais. A seguir, é ilustrado o sinal de amplitude de um evento sísmico (terremoto) 
em um gráfico chamado de sismograma. Aqui o sistema consiste em um sensor de vibração que 
converte as pequenas oscilações do solo em um sinal que é apresentado no gráfico.
Figura 1 - Sismograma. Fonte: O nosso observatório (2020).
Neste material de estudo, trataremos da manipulação de sinais e sistemas e do controle 
de suas quantidades, de forma analógica e digital. O tipo de processamento que pode ser 
executado depende muito do tipo do sinal. Por exemplo, para uma análise do aquecimento global, 
se faz necessário o acúmulo de uma grande base de dados sobre temperatura, pressão atmosférica, 
velocidade das correntes de ar, correntes marítimas, dados estes que são adquiridos ao longo dos 
anos. Outra questão sobre tal sistema é se existe periodicidade, ou seja, se os dados apresentam 
algum tipo de padrão que se repete no tempo.
Essa questão e outras de cunho estatístico são fundamentais para a análisedos sinais, 
por exemplo, podem os sinais ser ajustados por retas ou polinômios? Podem ser estabelecidas 
previsões futuras com certo grau de confiança? É possível prever medidas de controle de forma a 
alterar a sua variação temporal de alguma forma? O intervalo de confiança das medidas e análises 
faz com que a interpretação do fenômeno de aquecimento global se torne sólida. Essa análise 
matemática dos sinais por meio de funções especiais fará parte de nosso estudo.
Neste texto, pretende-se fornecer as ferramentas para que o leitor possa iniciar os primeiros 
estudos nas áreas de processamento de sinais, assim como em instrumentação eletrônica, 
telecomunicações, dentre outras disciplinas que são abordadas no curso de engenharia elétrica. 
Nesta unidade, iremos tratar da classificação e análise dos sinais associados a diferentes tipos 
de sistemas eletromagnéticos e mecânicos. Tal estudo nos permitirá avançar na compreensão de 
como esses conjuntos de sistemas podem se relacionar por meio de dispositivos como capacitores, 
indutores, resistores, motores, e toda sorte de equipamentos que tenham seu funcionamento com 
base no processamento de sinais. Faremos uma revisão sobre a transformada de Laplace e como 
aplicá-la a diferentes sistemas. Também vamos estudar os diagramas de blocos e como formar 
malhas com eles.
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1. DEFINIÇÕES
1.1 Sistema
É uma disposição, conjunto ou coleção de partes conectadas ou relacionadas de maneira a 
formarem um todo, podendo o sistema ser físico, biológico, econômico etc. Esses sistemas são, em 
suma, o objeto de nosso estudo.
Podemos perceber, pela figura a seguir, que um sistema monovariável apresenta apenas 
uma entrada (sinal de entrada u) e uma saída (sinal de saída y), enquanto o sistema multivariável 
pode apresentar mais de um par de entrada-saída. Veremos que o sistema S será o modificador que 
permite a transformação . 
Figura 2 - Exemplo de sistemas monovariáveis e multivariáveis. Fonte: O autor.
1.1.1 Controle
Estuda como agir sobre um dado sistema de modo a obter um resultado arbitrariamente 
especificado. Ou seja, o controle permite definir como os diferentes sistemas irão interagir para 
obter um determinado resultado.
1.1.2 Controlador
Dispositivo utilizado para a obtenção do controle de um sistema. Podemos usar diversos 
controladores, como o capacitor, que atenua a variação da voltagem, ou o indutor, que impede as 
flutuações indesejadas de corrente em um determinado circuito.
1.1.3 Sistema de controle
Conjunto formado pelo sistema a ser controlado e o controlador. Um exemplo típico é o 
computador conectado a um equipamento, notebook e impressora 3D para desenvolver peças e 
protótipos feitos de diferentes tipos de plásticos.
1.2 Histórico dos Sistemas de Controle e Configurações de 
Sistemas
A revolução dos diferentes tipos de equipamentos de instrumentação nas últimas décadas 
fez com que muitos equipamentos mecânicos e pneumáticos se tornassem eletromagnéticos, 
permitindo maior precisão nas medidas e também dimensões menores com maior eficiência. Em 
vez de tubos e estruturas custosas, hoje temos microprocessadores controlando muitas malhas 
simultaneamente.
Marcia
Realce
Marcia
Comentário do texto
De modo aleatório: 1 aleatoriamente, por acaso, casualmente, acidentalmente, eventualmente, fortuitamente, ocasionalmente, inesperadamente, contingentemente. De modo facultativo: 2 facultativamente, opcionalmente, voluntariamente.
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A despeito dessas mudanças, os conceitos básicos de sistemas de controle e algoritmos 
de controle permanecem essencialmente os mesmos. Agora é mais fácil implementar estruturas 
de controle, pois basta reprogramar um computador. A tarefa dos engenheiros de controle é a 
mesma: projetar um sistema de controle que atenda às especificações, seja estável, robusto e seguro 
(OGATA, 2005).
Figura 3 - Principais elementos de um sistema de controle, típico de um processo industrial. Fonte: Sistemas de 
Controle I (2003).
A Figura 3 representa um sistema de malha fechada, que é constituída por um sensor que 
faz a análise da variável do processo (detecção), uma transmissão que converte o sinal de forma 
conveniente, por exemplo, um sinal do tipo ar pressurizado em sistemas pneumáticos ou um 
sinal elétrico em sistemas eletrônicos. O transmissor conduz o sinal para um controlador, que 
faz a comparação entre PV e o valor do SP desejado, que gera um sinal de controle, segundo a 
configuração pré-estabelecida, e um determinado elemento final de controle, chamado de válvula 
de controle, que opera por ar e que abre e fecha, permitindo a razão de fluxo.
Enquanto o sensor, o transmissor e a válvula de controle estão posicionados na planta 
da indústria onde ocorre o processo, o controlador, que representa o computador ou painel 
de controle, fica alojado em um centro de comando a uma distância segura em relação ao 
processo. A ligação entre o painel e o campo é feita através de sinais elétricos que são enviados 
do transmissor para o controlador e do controlador para o elemento final de controle. Ainda, o 
ganho do controlador pode ser negativo ou positivo, selecionando-se entre ação direta e reversa 
do controlador. 
Um ganho positivo resulta em uma saída do controlador decrescendo à medida 
que a variável do processo cresce (ação reversa). Já um ganho negativo resulta em uma saída 
do controlador crescendo à medida que a variável do processo cresce (ação direta). A ideia 
fundamental a ser seguida para a escolha correta da ação do controlador é que a ação tomada 
pelo controlador deve levar a variável de processo (PV) a se aproximar do Set Point (SP).
Em seguida, descreve-se a sequência que um controlador industrial deve possuir:
• Atribuir Variável de Processo (PV): o sinal que chega do transmissor.
• Designar o valor do sinal enviado para a válvula: a saída do controlador (usualmente 
nominada MV).
Marcia
Comentário do texto
Variável de processo
Marcia
Comentário do texto
Set Point
Marcia
Comentário do texto
Variável Manipulada
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• Atribuir o Set Point (SP).
• Configurar uma chave para selecionar entre modo manual ou automático.
• Tornar variável o valor do Set Point quando o controlador está em automático.
• Tornar variável o sinal para a válvula quando o controlador está em manual.
• Critério de seleção entre as ações direta e reversa do controlador.
1.2.1 Resumo da história do controle automático
A seguir, são apresentadas algumas datas importantes na história do controle automático:
• 1769: máquina a vapor de James Watt.
• 1868: J. C. Maxwell desenvolve o modelo matemático para o controle de uma máquina a 
vapor.
• 1913: Henry Ford desenvolve uma máquina de montagem utilizada na produção de 
automóveis.
• 1927: H. W. Bode analisa amplificadores realimentados.
• 1932: H. Nyquist desenvolve um método para analisar a estabilidade de sistemas.
• 1952: controle numérico desenvolvido pelo MIT.
• 1954: George Devol desenvolve o primeiro projeto industrial robotizado. 
• 1970: teoria de variáveis de estado e controle ótimo é desenvolvida.
• 1980: projeto de sistemas de controle robusto é desenvolvido. 
• 1990: automação da manufatura é difundida.
• 1994: controle automático é largamente utilizado em automóveis; sistemas robustos são 
utilizados na manufatura.
1.3 Diagrama de Blocos em Malha Aberta e Malha Fechada
1.3.1 Elementos de um diagrama de blocos
Sinal 
A seguir, temos a representação de um sinal no diagrama de blocos na representação da 
frequência s; logo, a direção da seta representa a direção em que o sistema flui.
Figura 4 - Representação do sinal do sistema X(s) no espaço das frequências. Fonte: Adaptado de Ogata (2005).
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Bloco operacional: função transferência
A figura a seguir representa a função transferência G(s) no espaço da frequência, que é 
obtida como:
Dessa forma, na representação da frequência, obtemos a função transferência dividindo 
o sinal saída Y(s) pelo sinal de entrada X(s).
A seguir, temos as operações de soma e ramificação no diagrama de blocos.
Figura 5 - Ilustração de elemento de soma no diagrama de blocos. Fonte: Adaptado de Ogata (2005).
Somador
Figura 6 - Somador no diagrama de blocos: (a) primeiro tipo de representação, (b) segundo tipo de representação. 
Fonte: Adaptado de Ogata (2005).
Na operação de soma, como ilustrado acima (a), podemos concluir que
 X(s) = X1(s)+ X2(s) — X3(s), (1.2)
As setas indicam a direção em que o sistema flui, e os sinais de X1, X2 e X3 representam as 
operações por meio das quais esses sinais irão atuar no sistema.
Marcia
Texto digitado
Continuar daqui.....
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Ramificação
A ramificação é representada no diagrama de blocos, como mostrado na figura a seguir. 
Note que o sinal de entrada X é dividido em outros três sinais a partir do ponto de ramificação; 
logo,
 X(s) = X1(s)+ X2(s)+ X3(s). (1.3)
Figura 7 - Exemplo de ramificação em um diagrama de blocos. Fonte: Adaptado de Ogata (2005).
1.3.2 Sistema de malha aberta
É aquele em que a saída ou resposta não possui nenhuma influência sobre a entrada.
Resposta
Figura 8 - Diagrama de bloco, malha aberta. Fonte: O autor.
A malha aberta possui a característica de não apresentar nenhum elemento de 
realimentação. Ou seja, pode ser considerado apenas um sistema de leitura ou conversão de 
unidades de medida, por exemplo, um conversor de pressão, atm para Pascal.
1.3.3 Sistema de malha fechada
É aquele em que a saída ou resposta influencia a entrada do sistema. Nesse caso, há 
realimentação do sistema por meio de uma conexão apropriada, como mostrado na figura a seguir.
Figura 9 - Representação de um sistema de malha fechada por um diagrama de blocos. Fonte: Sistemas de Controle 
I (2003).
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Exemplos
Controle de temperatura de uma sala
A seguir, temos a ilustração de um sistema de controle onde se deseja monitorar e manter 
uma determinada temperatura em uma sala; nesse caso, o termostato faz a leitura em tempo real 
enquanto o ar condicionado está ligado dentro da sala. A temperatura atual da sala irá ser detectada 
pelo sensor de temperatura e, enquanto o sistema não estiver na temperatura desejada, o sistema 
de controle irá manter o ar condicionado ligado fornecendo uma determinada quantidade de 
energia térmica ao ambiente. Porém, atingida a condição pré-estabelecida de temperatura, o 
sistema entra em equilíbrio, mantendo esse estado continuamente.
Figura 10 - Representação de um sistema de malha fechada por um diagrama de blocos (controle de temperatura). 
Fonte: Sistemas de Controle I (2003).
Controle do nível de um reservatório
Figura 11 - Representação de um sistema de malha fechada por um diagrama de blocos (reservatório). Fonte: Sistemas 
de Controle I (2003).
1.4 Transformada de Laplace
Vamos fazer uma revisão dos conceitos da transformada de Laplace. Aplicar a transformada 
de Laplace nas equações em um circuito ou sistema mecânico nos permite analisar facilmente a 
resposta do sistema no espaço das frequências.
1.4.1 Definição e propriedades
A transformada de Laplace F(s) na função f(t) é dada pela equação 1.4:
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Por sua vez, na transformada inversa de Laplace (1.5), tem-se:
Linearidade
Deslocamento no tempo
Deslocamento na frequência
Escala
Derivação
A transformada de Laplace nos permite trabalhar com derivadas de forma algébrica. 
Então, tem-se a dedução para a transformação da primeira derivada.
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A dedução para a segunda derivada é equivalente.
Integração
Assim como nas derivadas, a transformada de Laplace nos permite trabalhar com as 
integrais algebricamente.
Teorema do valor inicial
Teorema do valor final
Transformada da convolução
1.4.2 Algumas transformadas
Degrau unitário
Impulso unitário
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Exponencial
onde a pode ser qualquer número complexo da forma a = k + jω. Ou diretamente a = jω.
De fato, a transformada de e a transformada de , podem 
resultar em equações úteis para resolver circuitos de primeira e segunda ordem.
Funções senoidais
As transformadas do seno e do cosseno podem ser obtidas a partir da transformada da 
função exponencial, utilizando a fórmula de Euler.
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1.5 Tabela com Algumas Transformadas
1.5.1 Aplicação a circuitos
Figura 12 - Circuito RL em série. Fonte: O autor.
Em um circuito RL de primeira ordem, como na figura anterior, a equação da malha é dada 
por:
Aplicando a transformação de Laplace a ambos os membros da equação:
Se a entrada é v(t) = u(t), podemos obter a expressão para corrente:
Para cada um dos termos de I(s), podemos aplicar a transformada inversa para obter a 
expressão para i(t).
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Para o primeiro termo:
Por sua vez, para o segundo termo:
De maneira que a expressão geral para i(t) será:
1.5.2 Frações parciais
A transformada de Laplace resulta em uma operação mais fácil de ser resolvida quando 
usamos as expressões na forma:
Isto é, um quociente de polinômios em s.
Em princípio, uma vez que uma função é obtida dessa maneira, é necessário que a ordem do 
numerador seja menor que a ordem do denominador. Dessa forma, ela pode ser transformada 
usando as propriedades.
Se N ≥ M, será necessário deduzir a ordem do polinômio, efetuando a divisão de 
polinômios, de tal maneira que:
onde K1 é o resultado do primeiro quociente, K2 o resultado do segundo, e K é o restante.
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Dessa forma, a antitransformação de F(s) será:
No caso em que N = M, também é necessário dividir os polinômios, mas no resultado 
haverá um único : 
Exemplo:
Dividindo o numerador pelo denominador, dá um quociente de 2s — 3 e um restante de 
12s + 5. Então F(s) será:
Finalmente, quando N < M, é necessário procurar as raízes do denominador, que serão os 
polos da transferência. A função terá o formato:
onde N(s) é um numerador, um polinômio de ordem N.
1.5.3 Raízes reais e diferentes
No caso em que as raízes s0 .. . sM sejam todas reais e diferentes, a função pode ser separada 
pelo método de frações simples, de tal forma que:
Os coeficientes, para três raízes, podem ser encontrados da seguinte forma:
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onde N(s) é o numerador, e A, B e C são números que não dependem de s.
Exemplo numérico
Tabela com as principais transformadas de Laplace
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Exemplo de um circuito
Um circuito capacitivo, como o da figura a seguir, será caracterizado pelas seguintes 
equações:
onde VA é a tensão entre os terminais do capacitor C1.
Figura 13 - Circuito com raízes reais. Fonte: O autor.
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Fazendo a transformada de Laplace em ambas as equações e operando para obter um 
quociente de polinômios:
1.5.4. Raízes reais duplas
Se uma ou mais raízes são repetidas, elas são raízes duplas, em vez de raízessimples. Para 
fazer a separação em frações, será necessário levar em conta esta situação. Por exemplo, para um 
caso com uma raiz dupla s1 e uma raiz simples s2:
Nesse caso, os coeficientes podem ser encontrados da seguinte forma:
onde N(s) é o numerador, e A, B e C são números que não dependem de s. 
Para o coeficiente B, é necessário fazer a derivada da função. Dessa forma, a ordem do 
polinômio é reduzida. No caso em que há uma raiz tripla, o procedimento seria semelhante, 
tendo uma fração com o denominador (s— s1)
3, outra com o denominador (s— s1)
2 e outra com o 
denominador (s — s1).
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Exemplo numérico
1.5.5 Raízes complexas conjugadas
Para os circuitos que são estudados nesta matéria, sempre que um polo complexo aparece 
em uma função, seu conjugado também aparecerá. Por exemplo, para um caso com dois polos s1 
e seu conjugado :
Neste caso, o coeficiente A é conjugado de B, isto é, B=A*. Além disso, e 
. Dessa forma, as seguintes expressões podem ser obtidas:
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Dessa forma, a função f(t) será dada por:
1.5.6 Impedâncias operacionais
É chamada de impedância operacional a impedância que é dada a um determinado 
elemento do circuito quando se trabalha com a transformada de Laplace. Essa impedância é obtida 
da aplicação da transformada de Laplace à equação que liga a corrente e a tensão no elemento.
As condições iniciais não são levadas em conta, uma vez que a impedância operacional só 
se aplica ao regime permanente.
Resistores
Capacitores
Indutores
Ao comparar essas impedâncias com aquelas usadas no regime de onda senoidal 
permanente, fica claro que . Isto é, se é um regime sinusoidal 
permanente. No caso em que s tem parte real, pode ser qualquer regime; isto é, a análise por 
fatores é um caso particular da análise usando a transformada de Laplace.
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1.5.7 Circuito RLC série
A transformada de Laplace pode ser usada para resolver um circuito, como o da figura 
abaixo. Para fazer isso, primeiro propomos o circuito e depois o transformamos.
Figura 14 - Circuito RLC em série. Fonte: O autor.
A partir da equação (1.14), você pode ver que os polos para o I(s) atual terão um 
 e um .
Tomando zero as condições iniciais, você pode procurar o valor da tensão VR dada por:
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Para o caso em que v(t) = u(t), temos V (s) = 1/s e:
Os polos da equação são . Além disso, 
 e .
1.5.8 RLC paralelo
Figura 15 - Circuito RLC em paralelo. Fonte: O autor.
Para resolver um circuito RLC paralelo, como o da figura acima, é proposta a equação da 
soma das correntes.
Agora é possível encontrar uma expressão para a tensão de saída V (s):
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Se a fonte atual for i(t) = u(t), I(s) = 1/s, e as condições iniciais nulas forem tomadas, 
V (s) será:
.
Os polos dessa expressão serão tais que e .
1.5.9 Circuito com um amplificador
Da mesma forma, a transformada de Laplace pode ser aplicada para resolver circuitos 
mais complexos, como o da Figura 16.
Figura 16 - Circuito com amplificador. Fonte: O autor.
As equações para cada um dos nós do circuito são apresentadas.
Você pode procurar por uma expressão para VA(s):
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E procurar a expressão para VO(s) em função de VI(s):
1.5.10 Transferência operacional
A transferência é dada por:
Onde V (s) é a tensão de entrada e VS (s) é a tensão de saída. Quando se fala de transferência, 
as condições iniciais não são levadas em consideração, já que apenas o regime permanente é 
levado em conta.
Se V (s) = 1 (um impulso), a resposta dependerá apenas do circuito, uma transferência 
não pode ser estabelecida.
As transferências serão sempre uma razão de dois polinômios com a variável s.
Pelo teorema da convolução, se você tem a transferência T (s) de um circuito, você pode 
obter a transferência T (t) do circuito e convoluir com a função de entrada para obter a saída.
1.5.11 Divisor de tensão
Se você tiver um divisor de tensão, como o da figura abaixo, onde as impedâncias são 
Z1(s) e Z2(s) (isto é, elas podem ser capacitivas, indutivas e (ou) resistivas), a transferência acima de 
Z2 será dada por:
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Figura 17 - Circuito divisor de tensão. Fonte: O autor.
1.5.12 Modelagem matemática de sistemas físicos
A modelagem de tais sistemas envolve a solução de equações diferenciais por meio das 
transformadas de Laplace. Essas equações descrevem o comportamento dinâmico de sistemas físicos 
que são regidos pelas três leis de conservação da Física: a lei de conservação da energia, que estabelece 
a invariância da energia em função do tempo; a lei de conservação da quantidade de movimento; e a 
lei de conservação do momento angular.
Para determinar a modelagem de sistemas para os casos generalizados, vamos definir um par 
de variáveis (e, f ), que chamamos de variáveis generalizadas, que são aquelas cujo produto é igual 
(ou proporcional) à potência (energia no tempo) entrando ou saindo do sistema. Tais variáveis se 
apresentam em um sistema de controle sob duas formas distintas: as variáveis através (corrente, 
força) e as variáveis entre (tensão, velocidade). Note que a designação também está relacionada ao 
tipo de instrumento requerido para medir cada variável em um sistema físico: medidores de força 
e corrente são usados em série para medir o que atravessa o elemento, e medidores de velocidade 
e tensão são conectados em paralelo para medir a diferença entre o elemento (DORF; BISHOP, 
2011).
O quadro a seguir mostra as variáveis generalizadas para diferentes sistemas físicos.
Outras definições também são úteis na modelagem de sistemas físicos. O par de variáveis 
também é conhecido como variáveis Esforço (entre) e Fluxo (através).
Utilizando os conceitos anteriores, podemos classificar os elementos de um sistema de 
controle em três segmentos:
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Fontes de energia: fontes de variáveis entre (Esforço) e fontes de variáveis através (Fluxo).
Figura 18 - Quadro com as classes de dispositivos, variáveis através e variáveis entre. Fonte: O autor.
Armazenadores de energia: armazenadores de variáveis entre (Esforço) e armazenadores de 
variáveis através (Fluxo).
Dissipadores de energia
Figura 19 – Quadro com os três tipos de classificações para sistemas de controle: armazenamento de fluxo, 
armazenamento de esforço e dissipador. Fonte: Morse, Robertson e Tucker (1941).
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1.6 Modelagem Matemática de um Sistema Mecânico
Discutiremos alguns sistemas que podem ser modelados por meio de equações diferenciais 
de primeira e segunda ordem em suas derivadas (NISE, 2012).
Exemplo 1: sistema mola-amortecedor em paralelo
Figura 20 - (a) Ilustração de um sistema mecânico massa mola com amortecimento, (b) Diagrama de forças. Fonte: O 
autor.
A figura acima mostra o diagrama do corpo livre do sistema, onde a força é exercida como 
força exterior, ou seja, uma excitação f(t), uma força da mola kx(t) e uma força do amortecedor 
viscoso cx˙(t). Note que esse sistema possui um grau de liberdade (GDL) (pode se mover na 
direção x).
Aplicando a segunda lei de Newton, obtemos:
 
A partir da equação acima, equação diferencial ordinária (EDO) de primeira ordem, 
podemos escrever o modelo matemático para o sistema mecânico da Figura 19, conhecendo a 
função de excitação f(t). Para tal,deve-se resolver a equação diferencial acima.
Exemplo 2: sistema mola-amortecedor em série
Temos, agora, um sistema com dois GDL, pois são duas coordenadas para descrever o 
movimento do sistema: x1 para o ponto de arrancamento entre o amortecedor e uma mola
Figura 21 - Ilustração de um sistema mecânico massa mola com amortecimento. Fonte: O autor.
 
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e x2 para o ponto de aplicação da força f(t). A figura a seguir ilustra diagramas de corpo 
livre das forças que atuam em pontos onde foi considerado que x2 > x1:
Figura 22 - Diagrama de forças. Fonte: O autor. 
Aplicando a segunda lei de Newton ao ponto 1, temos:
Aplicando a segunda lei de Newton ao ponto 2, temos:
O modelo composto de EDOs fica escrito como:
Podemos escrever esse sistema de equações na representação de matrizes:
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1.7 Modelagem Matemática de um Sistema Elétrico
Exemplo 1: Circuito RLC em série
Figura 23 - Circuito RLC em série. Fonte: O autor.
Utilizando as leis das malhas, a soma do potencial no circuito é:
Usando as equações das voltagens, chegamos a:
Aplicando a transformada de Laplace, considerando as condições iniciais nulas, obtemos:
Considerando a tensão no capacitor VC como a tensão de entrada no sistema e V, a tensão de 
saída, ou seja,
com a substituição I(s) = VcCs, podemos obter a seguinte função de transferência:
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Note que podemos reescrever a equação acima como:
com VC = eo (sinal de entrada) e V = ei (sinal de saída). As expressões ėo e ë o se referem à 
primeira e segunda derivadas no tempo, respectivamente.
Uma representação por matrizes pode ser feita tomando x1 = eo, x2 = _ eo e u = ei:
Esse é o conjunto de equações que representa o sistema elétrico de um circuito RLC.
Além do conteúdo abordado nesta unidade, o aspecto associado à construção de 
sistemas de controle é o desenvolvimento e a aplicação de inteligência artificial 
(IA). Notavelmente os sistemas de controle munidos de IA são autoajustáveis, 
onde o processo funciona em paralelo com sensores que mantêm o sistema 
operacional mediante correções pontuais, afastando-o de uma pane generalizada.
Mais informações sobre os assuntos abordados nesta unidade podem ser obtidas 
nos livros: 
NASCIMENTO JR., C. L.; YONEYAMA, T. Inteligência artificial em controle e 
automação. São Paulo: Blucher, 2000.
SPIEGEL, M. R. Transformadas de Laplace. México: Mcgraw Hill, 1975.
Para mais informações sobre o tópico discutido nesta unidade, 
veja os vídeos disponíveis em: https://youtu.be/bNiw3CMGsK4 
(Transformada de Laplace) e https://youtu.be/0jM-XSOfoA4 
(Introdução a sistemas de controle).
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As equações diferenciais apresentadas nesta unidade foram resolvidas (no espaço 
das frequências) por meio das transformadas de Laplace. Essa transformada é 
uma classe generalizada das transformadas de Fourier, principalmente para se 
trabalhar com sinais senoidais por meio de exponenciais complexas. Com base 
nessa informação, como podemos expressar um sinal com uma função seno ou 
cosseno, através de séries aritméticas?
Note que podemos escrever uma função em termos de uma série numérica. 
Investigue a série da função seno e a série da função cosseno; por meio delas, 
você poderá constatar a relação delas com a função exponencial complexa.
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CONSIDERAÇÕES FINAIS
Nesta unidade, introduzimos o contexto histórico associado a sistemas de controle, seus 
elementos básicos e como ocorre seu funcionamento. Inicialmente, estudamos como representar 
tais sistemas por meio do diagrama de blocos em uma malha aberta ou fechada. Para manipular 
algebricamente esses sistemas, fizemos uma revisão sobre a transformada de Laplace, que 
estabelece uma equação integral para mudança do espaço do tempo para o espaço das frequências, 
o que facilita o traquejo matemático da modelagem de sistemas mecânicos e elétricos.
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02
SUMÁRIO DA UNIDADE
INTRODUÇÃO .............................................................................................................................................................. 36
1. OBTER FUNÇÕES DE TRANSFERÊNCIA NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA (S) A PARTIR DE EQUAÇÕES 
DIFERENCIAIS ............................................................................................................................................................ 37
2. FUNÇÕES DE TRANSFERÊNCIA A PARTIR DA REDUÇÃO DO DIAGRAMA DE BLOCOS .................................. 41
3. DIAGRAMA DE FLUXO DE SINAIS (REGRA DE MASON) .................................................................................... 45
4. TÉCNICAS DE LINEARIZAÇÃO: SISTEMAS LINEARES E NÃO LINEARES .............................................................. 48
4.1 SISTEMAS LINEARES ........................................................................................................................................... 48
4.2 SISTEMAS NÃO LINEARES ................................................................................................................................. 50
4.3 LINEARIZAÇÃO DE SISTEMAS NÃO LINEARES ................................................................................................ 51
CONSIDERAÇÕES FINAIS .......................................................................................................................................... 54
FUNÇÃO TRANSFERÊNCIA
PROF. DR. LEANDRO DE SANTANA COSTA
ENSINO A DISTÂNCIA
DISCIPLINA:
CONTROLE E AUTOMAÇÃO
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INTRODUÇÃO
Com o conhecimento adquirido na unidade anterior sobre a manipulação do diagrama 
de blocos, podemos agora estudar as diversas equações que geram as funções de transferência de 
uma determinada malha. Também iremos estudar as regras de manipulação dos diferentes tipos 
de malhas para sistemas.
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1. OBTER FUNÇÕES DE TRANSFERÊNCIA NO DOMÍNIO 
DA FREQUÊNCIA (S) A PARTIR DE EQUAÇÕES 
DIFERENCIAIS
Para obtermos a função transferência no domínio da frequência, faremos uso da 
transformada de Laplace; para isso, considere um sistema linear, com parâmetros concentrados, 
descrito pela seguinte equação diferencial no domínio do tempo (t) (OGATA, 2005):
Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados da equação, assumindo as 
condições de contorno do sistema como nulas, ou seja, considerando as condições iniciais do sistema 
como nulas, obtemos:
Obtemos a função transformada fazendo Y (s) /X (s).
A função transferência G(s) é uma característica inerente ao sistema que independe da 
magnitude e da natureza do sinal de entrada ou função de excitação. G(s) inclui as unidades 
necessárias para relacionar a entrada com a saída, não fornecendo qualquer informação relativa à 
estrutura física do sistema. Se G(s) for conhecida, a saída pode ser estudada para várias formas de 
entrada.
Algebricamente, G(s) pode ser definida como a transformada de Laplace da resposta ao 
impulso do sistema.
A Função de Transferência pode ser escrita como:
Sendo z1, z2,. . . são chamados de zeros do sistema e p1, p2,. . . , pn são 
chamados de polos do sistema .
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A figura a seguir mostra o plano complexo s. Os zeros são representados por círculos 
abertos, enquanto os polos pelo símbolo (x).
Figura 1 - Gráfico do plano complexo com a representação dos polos e zeros. Fonte: O autor.
Os polos ezeros permitirão, logo adiante, analisar as propriedades da função transferência 
e também estudar o comportamento de sua respectiva fase (ASTROM, 1990).
Exemplos
Determine a função de transferência do sistema a partir da equação diferencial dada por:
Aplicando a transformada de Laplace, temos:
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2) Dada a função de transferência anterior, encontre a resposta do sistema para um degrau 
unitário. Considere as condições iniciais.
Aplicando a transformada inversa de Laplace, obtemos:
A equação y(t) é o sinal de saída no espaço do tempo. Note que o sinal de saída apresenta um 
comportamento assintótico para , ou seja, para valores de tempo muito grandes, 
se torna constante:
3) Determine a função de transferência da equação diferencial:
Aplicando a transformada de Laplace, temos:
Nesse caso, a função transferência é dada por:
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4) Determine a resposta a uma rampa r(t) = tu(t) para um sistema cuja função de 
transferência é:
Solução: 
A função rampa pode ser escrita no espaço das frequências por meio da transformada de 
Laplace como:
Tomando a função transferência e multiplicando pelo sinal de entrada, função rampa, 
temos:
Expandindo em frações parciais, podemos diretamente aplicar a transformada inversa de 
Laplace:
Assim,
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Com u (t) sendo a função unitária para t > 0:
y(t) representa a função de saída, dada uma entrada como a função rampa r(t) = tu(t). Essa 
função também apresenta um comportamento assintótico , . 
2. FUNÇÕES DE TRANSFERÊNCIA A PARTIR DA 
REDUÇÃO DO DIAGRAMA DE BLOCOS
A redução do diagrama de blocos nos permite tomar alguns atalhos quanto às soluções 
para se encontrar a função transferência de um dado sistema (CARVALHO, 2000).
A redução do diagrama de blocos em série consiste em multiplicar as funções de cada 
sistema representado pela função transferência G(s).
Figura 2 - (a) Diagrama de blocos em série, (b) Diagrama de blocos reduzido. Fonte: O autor.
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A redução do diagrama de bloco em paralelo consiste em somar as diferentes funções de 
transferência que fazem parte do diagrama.
Figura 3 - (a) Diagrama de blocos em paralelo, (b) Diagrama de blocos reduzido. Fonte: O autor.
As funções de saída relacionadas a diferentes processos, com blocos em série ou em 
paralelo, são o produto ou soma desses operadores (G(s)1, G(s)2, G(s)3,. . .). Essa redução possibilita 
a redução das equações diferenciais que regem o sistema e, por consequência, podemos isolar os 
sinais de entrada R(s) e saída C(s). Lembre-se: o nome dado à variável desses dois sinais é variável 
“muda”, ou seja, independentemente da letra associada ao sinal, do seu significado, guardada a sua 
representação no diagrama de blocos, esse nome sempre será a mesmo.
Com a possibilidade de isolar a função que representa esses sinais, a função de transferência 
(C(s)/R(s)) pode ser obtida por meio da redução do diagrama de blocos. Considere o seguinte 
sistema de realimentação H(s)1 e H(s)2 na imagem a seguir. 
Figura 4 - Diagrama de blocos em série e paralelo. Fonte: O autor.
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Podemos escrever as relações de entrada e saída usando a relação de transferência. 
Considerando a redução do diagrama de blocos e a direção por meio da qual o sistema é orientado, 
B(s) é o sinal de realimentação (adotado como negativo (-) nesse exemplo) e E(s) é o erro.
 
Figura 5 - Diagrama de blocos reduzido. Com G(s) = G1(s)G2(s) e H(s) = H1(s)H2(s) inerentes ao sistema. Fonte: O 
autor.
Podemos escrever as equações de transferência:
A equação 2.32 é a função de transferência obtida via redução do diagrama de blocos. Ou 
seja, o sistema pode ser reduzido a apenas um bloco. Resumindo esse procedimento de redução, 
se tivermos um sistema como mostrado na figura, teremos diagrama de blocos reduzido.
O sinal ± da equação:
se refere ao fato de a retroação ser somada ou subtraída na soma dos processos .
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Exemplos
1. Faça a redução do sistema de blocos abaixo.
Resposta:
2. Faça a redução do sistema de blocos abaixo.
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Resposta:
3. DIAGRAMA DE FLUXO DE SINAIS (REGRA DE 
MASON)
O diagrama de fluxo do sinal consiste em um método alternativo ao diagrama de blocos 
para representação gráfica da dinâmica de um sistema de controle. As duas técnicas são alternativas 
e possuem o mesmo resultado. Essa técnica consiste na definição de nós e ramos, com cada nó 
representando uma variável do sistema e cada ramo operando como o multiplicador do sinal. O 
fluxo de sinal possui uma única direção, que é indicada pela seta posicionada no ramo. O fator de 
multiplicação é indicado por meio do ramo.
Nó: é um ponto que representa uma variável ou sinal. Transmitância: é o ganho real ou 
complexo entre dois nós. Tais ganhos podem ser expressos em termos de funções de transferência 
entre dois nós. Ramo: é um segmento direcionado unindo dois nós. Nós de entrada ou fonte: 
é um nó que contém somente ramos de saída. Isso corresponde a uma variável independente. 
Nó de saída ou sorvedouro: é um nó que contém somente ramos que chegam. Isso corresponde a 
uma variável dependente. Nó misto: é aquele que possui tanto ramos de saída quanto de entrada 
(OGATA, 2005; BOLTRON, 1992).
A fórmula de Mason:
na qual Pk é o ganho do caminho ou transmitância do caminho direto de ordem k, o 
determinante do gráfico. 
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 é a soma dos ganhos individuais de todas as malhas, é a soma dos 
produtos dos ganhos de todas as combinações possíveis de duas malhas que não se tocam e 
 é a soma dos produtos dos ganhos de todas as combinações possíveis de três 
malhas que não se tocam. é o cofator do determinante do k-ésimo caminho do gráfico de onde 
foram removidas todas as malhas que tocam esse k-ésimo caminho direto, isto é, o cofator é 
obtido a partir de ∆ pela remoção das malhas que tocam o caminho . 
Exemplos
1) Obtenha o ganho de Mason (função transferência ) , por meio do seguinte.
diagrama de fluxo:
Podemos identificar três malhas, formadas pelos laços L1, L2 e L3. Todas as malhas se 
tocam; abaixo ilustramos as malhas que compõem esse sistema.
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O cofator do determinante ao longo do caminho direto, que conecta o nó de entrada e 
o nó de saída, é obtido a partir de pela remoção das malhas que tocam esse caminho. Como o 
caminho P1 toca todas as três malhas, podemos escrevê-lo como P1 = G1G2G3, e 1 = 1; logo, 
teremos a função transferência como:
2) Obtenha o ganho de Mason (função transferência P = C(s) ) , por meio do seguinte 
diagrama de fluxo:
Nesse caso, temos dois ramos:
Para determinar o valor de , considere o caminho determinado por , ou seja 
(1, 1/s, 1/s, 1). Se ao removermos o caminho P1 não houver nenhum laço fechado o 
mesmo para , o caminho P2, ou seja (1, 1/s, 5), se removermos esse caminho, também não 
haverá laços fechados, logo .
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2) Determine a função de transferência no diagrama de blocos 
usando a Regra de Mason:
4. TÉCNICAS DE LINEARIZAÇÃO: SISTEMAS LINEARES E 
NÃO LINEARES
4.1 Sistemas Lineares
Um sistema inicialmente em repouso é dito linear se, e somente se, apresenta as seguintes 
propriedades (CARVALHO, 2000; CHEN, 1999):
a. Aditividade(Princípio da superposição): essa propriedade permite a soma de diferentes 
sinais de entrada, que resultam na soma dos sinais de saída.
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Figura 5 - Representação da superposição de sistemas, por meio do diagrama de blocos. Fonte: O autor.
b. Homogeneidade: note que o fator de proporcionalidade do sinal de entrada é mantido 
no sinal de saída.
Figura 6 - Representação da homogeneidade de sistemas, por meio do diagrama de blocos. Fonte: O autor.
c. Combinação de e : esse procedimento é análogo à propriedade de aditividade. Note que a 
constante que multiplica o sinal de entrada é conservada no sinal de saída.
Figura 7 - Propriedade de combinação entre os sinais de entrada e saída. Fonte: O autor.
Exemplos
1) Sistema linear.
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Assim, o sistema pode ser considerado como linear.
2)
Como , o sistema é linear.
4.2 Sistemas Não Lineares
Como , o sistema não pode ser considerado como linear, ou seja, é um 
sistema não linear.
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4.3 Linearização de Sistemas Não Lineares
A função f (x) pode ser expandida em série de Taylor em torno do ponto (x0, y0):
Onde as derivadas , . . . são calculadas em . 
Para o caso em que seja proporcionalmente muito pequeno, ou seja, 
, logo pode ser desprezado.
Assim, 
Se estabelecermos a igualdade , temos:
A equação acima é a equação da reta, tangente à curva do gráfico anterior.
Trataremos de dois exemplos de linearização de sistemas não lineares. Essencialmente, 
essa técnica consiste em expandir a equação que rege o sistema em uma série de Taylor (REF).
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Exemplos
1. Pêndulo Simples
Condições de contorno ✓o = 0 e T (✓o) = 0. 
Expandindo T (✓) em uma série de Taylor, obtemos:
Logo, como resultado, temos uma função linear em .
2. Equação diferencial com uma função seno, com as seguintes condições de contorno:
Condições de contorno yo = 0, ẏo = 0, u = uo.
Expandindo a equação diferencial 2.60 em uma série de Taylor, obtemos:
Calculando as derivadas,
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Sobre a linearização de funções, embora a expansão em série de Taylor seja 
eficiente e largamente utilizada, é possível usar outros métodos que se adaptem 
às necessidades específicas de cada situação. Por exemplo: a linearização por 
espaço de estados, por diferenciais não lineares e mínimos quadrados. Para não 
estendermos este texto, seguem os links para uma análise mais aprofundada 
sobre esse tema:
https://youtu.be/ecTAF719TfQ.
https://youtu.be/kXs4zG4zqdg.
https://youtu.be/kcODZHnmoWM.
Para mais informações sobre o tópico discutido nesta unidade, principalmente 
sobre a função transferência, veja o vídeo disponível em: 
https://youtu.be/bF3Qsf2Ng8E (Função transferência).
Mais informações sobre o assunto abordado nesta unidade podem ser obtidas 
nos livros: LATHI, B. P. Sinais e sistemas lineares. Porto Alegre: Bookman, 2007.
ZILL, D. G. Equações diferenciais com aplicação em modelagem. São Paulo: 
Cengage Learning, 2012.
A função transferência será um dos temas mais abordados nas próximas unidades. 
Nesse sentido, como essa função pode afetar um sinal de saída, caso um fator 
de proporcionalidade, um número real seja multiplicado a ela? (G(s)→NG(s) com 
N um número real).
Lembre-se de como as regras de homogeneidade discutidas operam sobre os 
sinais de entrada e saída. Aqui é possível amplificar o sinal. Pense em como 
isso pode ser utilizado no cotidiano, como, por exemplo, com um volume de um 
aparelho de som.
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CONSIDERAÇÕES FINAIS
Nesta unidade, analisamos a forma de determinar as funções de transferência por meio de 
equações diferenciais usando o sinal de entrada e saída no espaço da frequência de um sistema 
representado por uma malha reduzida no diagrama de blocos. Para essa análise, estudamos a 
regra de Mason para manipular sistemas que contenham malhas elaboradas. Também estudamos 
as técnicas de linearização de sistemas não lineares com o objetivo de obter equações simplificadas 
que possam reproduzir um determinado sistema não linear.
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03
SUMÁRIO DA UNIDADE
INTRODUÇÃO ...............................................................................................................................................................56
1. RESPOSTA NO DOMÍNIO DO TEMPO, POLOS E ZEROS .........................................................................................57
1.1 POLOS E ZEROS .....................................................................................................................................................58
1.2 SISTEMA DE PRIMEIRA ORDEM .........................................................................................................................60
1.3 SISTEMA DE SEGUNDA ORDEM: GERAL E SUBAMORTECIDO ........................................................................62
1.3.1 SISTEMA SUBAMORTECIDO ..............................................................................................................................64
1.4 RESPOSTA TRANSITÓRIA E ESTABILIDADE .......................................................................................................64
1.4.1 ESTABILIDADE .....................................................................................................................................................66
1.5 CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH-HURWITZ .........................................................................................67
1.6 RESPOSTA E ERRO EM REGIME PERMANENTE (TEOREMA DO VALOR FINAL) ........................................... 71
1.6.1 TEOREMA DO VALOR FINAL (VF) ....................................................................................................................... 72
CONSIDERAÇÕES FINAIS...........................................................................................................................................76
PARÂMETROS DE DESEMPENHO E 
ESTABILIDADE
PROF. DR. LEANDRO DE SANTANA COSTA
ENSINO A DISTÂNCIA
DISCIPLINA:
CONTROLE E AUTOMAÇÃO
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INTRODUÇÃO
Nesta unidade, estudaremos as propriedades da função transferência e como ela afeta 
a função que representa o sinal de saída de uma malha fechada, usando as transformadas de 
Laplace para representação das funções no espaço da frequência e as transformadas inversas de 
Laplace para representação do sinal de saída no espaço do tempo. Iniciaremos com o estudo dos 
polos e zeros, aplicando a análise da resposta de estado zero.
Investigaremos as propriedades dos sistemas de primeira e segunda ordem no espaço das 
frequências em conjunto à análise da estabilidade do sistema por meio do critério de estabilidade 
de Routh-Hurwitz (D’azzo; Houpis, 1988). 
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1. RESPOSTA NO DOMÍNIO DO TEMPO, POLOS E ZEROS
A integral de convolução
é a ferramenta matemática para obter a resposta no domínio do tempo y (t) de um sistema
g (t), sendo u (t) o sinal de excitação sobre o sistema.
Com a transformada de Laplace, podemos realizar a conversão para o domínio da 
frequência:
Logo, para determinarmos y (t), podemos aplicar a transformada inversa de Laplace, sendo 
prático transformar Y (s) utilizando a técnica de expansão em frações parciais, evidenciando, 
dessa forma, os polos e zeros da função transferência.
Podemos classificar as diferentes funções de transferência por meio do grau dos 
polinômiosque as definem. Considere a seguinte função racional:
onde N(s) e D(s) são polinômios com coeficientes reais.
Tais funções de transferência são classificadas de acordo com o grau do polinômio 
do numerador deg N(s) e do grau do polinômio do denominador deg D(s). A figura a seguir 
exemplifica essa classificação.
Figura 1 - Tabela de classificação dos numeradores e denominadores da função transferência. Fonte: O autor.
Geralmente, trabalharemos com as funções próprias ou estritamente próprias, uma vez 
que as funções de transferência impróprias não representam sistemas sob condições de causa e 
efeito.
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EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
1.1 Polos e Zeros
Definição de polos e zeros:
Definição 1 (Polo): número real ou complexo finito tal que .
Definição 1 (Zero): número real ou complexo finito tal que .
Podemos concluir que nem todas as raízes do polinômio D(s) necessariamente são polos de 
T (s).
Considere a seguinte função de transferência:
Para obtemos:
Portanto, é um polo e também é uma raiz de T (s). De forma análoga, 
.
 
No caso para uma indeterminação do tipo limx→p f(p) g(p) = 0 0. Dado f(x) e g(x) 
funções diferenciáveis e g0(p) 6= 0 
 
o que torna o resultado indefinido. Porém, usando a regra de L’Hôspital, temos:
Dessa forma, não é um polo de T(s)..
Assim, as raízes de D(s) necessariamente não são polos de T (s).
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Resposta ao estado-zero
A resposta ao estado-zero é estabelecida pela seguinte equação:
Calcula-se inicialmente a transformada de Laplace de , e posteriormente 
podemos obter Y(s). Uma expansão em frações parciais de Y(s) pode facilmente levar a 
transformada de Laplace inversa para obtenção da resposta do sistema no domínio do tempo 
y(t). A seguir, são apresentados alguns exemplos.
Exemplos
1) Dado o sistema:
calcular a resposta para uma entrada a degrau unitário u(t) = 1 para t ≥ 0. Podemos 
escrever Y(s) como:
 
A expansão em frações parciais pode ser representada como:
Onde os coeficientes podem ser calculados como:
A resposta no tempo pode então ser calculada como:
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Podemos observar, através do Exemplo 1, que os termos relativos aos polos do sistema 
podem ser divididos em duas partes: uma relativa aos polos do sistema G(s) e uma relativa ao 
polo de U(s).
1.2 Sistema de Primeira Ordem
O sistema de primeira ordem é caracterizado por uma equação diferencial de primeira 
ordem, que apresenta apenas um polo:
Figura 2 - (a) sistema de primeira ordem com realimentação unitária negativa, (b) diagrama de bloco reduzido. 
Fonte: O autor.
Logo,
 
Note que a ordem do denominador em s é igual a 1, ou seja, Ts1 + 1, sendo T uma 
constante de tempo.
Exemplos
1) Considerando o sinal de entrada R(s) como uma entrada degrau R(s) = 1/s, temos:
Aplicando a transformada inversa de Laplace:
A partir da equação 3.23 em t = 0 c(0) = 0. Por outro lado, para , . Em 
t = T, obtemos:
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Observe que, se T for pequeno, mais rapidamente o sistema responde ao impulso. A curva 
exponencial da resposta possui uma inclinação da linha tangente em t = 0 e de 1/T, onde
Figura 3 - (a) sistema de primeira ordem com realimentação unitária negativa, (b) diagrama de bloco reduzido. Fonte: 
Adaptado de Ogata (2005).
Por meio do gráfico acima, podemos notar que as variações consideráveis no sistema 
ocorrem para intervalos de tempos até a ordem de t = 2T, enquanto para valores superiores de 
tempo, o regime assintótico tende a um valor constante y(t) = 1; nesse caso, o sistema atinge o 
regime estacionário.
2) Resposta de um sistema de primeira ordem a uma entrada impulso unitário 
.
Usando a relação
E aplicando a transformada inversa de Laplace em 3.26, obtemos:
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Figura 4 - Gráfico da resposta de sistema à entrada na forma de uma função 6(s) = 1. Fonte: Adaptado de Ogata 
(2005).
Esse sistema pode ser considerado como amortecido no tempo, devido ao decaimento 
exponencial de c(t). Logo, para um sistema de primeira ordem, com um sinal de entrada degrau, 
a função de saída será a de uma exponencial decrescente.
1.3 Sistema de Segunda Ordem: Geral e Subamortecido
O diagrama de blocos a seguir apresenta um sistema de segunda ordem. Note que a potência 
em s determina a ordem do sistema. Nesse caso, o denominador da função transferência é um 
polinômio de segunda ordem (OGATA, 2005; DISTEFANO, 1972).
Figura 5 - Diagrama de blocos para um sistema de segunda ordem. Fonte: O autor.
Nesse caso, K é o fator de ganho de sinal (amplificador do sinal). A função transferência da 
malha fechada é dada por:
Determinar as raízes do polinômio irá nos ajudar a compreender qual será a magnitude do 
efeito de oscilação e amortecimento. A forma generalizada para a resposta de um sistema de segunda 
ordem é escrita como: 
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A equação acima representa o caso amortecido, onde é a frequência natural de 
oscilação, e o coeficiente de amortecimento. A equação 3.29 possui polos que são encontrados 
por meio da equação Bhaskara.
A seguir, são representadas, no plano complexo, tais grandezas, onde podemos observar 
que o módulo (raio) é frequência natural 
Figura 6 - Gráfico no plano complexo, representando as constantes, frequência natural e o coeficiente de 
amortecimento . Fonte: O autor.
Exemplos
1) Determine o valor do coeficiente de amortecimento e frequência natural da seguinte 
função transferência:
Utilizando a comparação entre os termos, podemos determinar os termos referentes à 
equação 3.29.
O sistema regido pela equação 3.31 se refere a um sistema amortecido com frequência 
natural e coeficiente de amortecimento .
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1.3.1 Sistema subamortecido
Respostas subamortecidas
A função transferência, por apresentar um polinômio de segundo grau no denominador, 
apresenta dois polos complexos .
A função resposta no tempo, nesse caso, é regida por uma senoide envolvida por uma 
exponencial, sendo a constante de tempo associada à parte real do polo, enquanto a frequência é 
associada à parte imaginária complexa. Ou seja,
A figura a seguir exibe esse comportamento:
Figura 7 - Gráfico de um sistema com amortecimento. Fonte: O autor.
Note que a amplitude de oscilação varia com o tempo na forma de um decaimento 
exponencial.
1.4 Resposta Transitória e Estabilidade
O desempenho de um sistema de controle é baseado em respostas transitórias devido 
ao fato de não terem uma reação instantânea, ou seja, o sistema evolui de um estado em regime 
transitório até atingir o regime estável.
O sinal de entrada assume, nesse caso, o papel de uma perturbação ao sistema que está em 
um regime inerte (desligado). Ao ligar tal sistema, perturbamos o estado inerte, que agora passa 
para um regime transitório até atingir a estabilidade de funcionamento.
Por exemplo, a Figura 8 pode ser analisada como representativa do funcionamento de um 
ventilador. Ao ligarmos, sua velocidade de rotação c(t) não atinge o regime estável instantaneamente 
a partir do momento em que acionamos o interruptor, o sistema passa por um regime de resposta 
transitória até atingir o regime de estabilidade, que é a velocidade de rotação constante. Note que, 
após atingir o tempo de acomodação, ainda existe uma tênue oscilação que, nesse exemplo, é da 
velocidade de rotação, porém dentro do limite de tolerância aceitável.
As características de desempenho de um sistema de controle são especificadas em termos da 
resposta transitória; a seguir, enumeramosas principais (OGATA, 2005; FRANKLIN; POWELL, 
1997; KUO, 1994).
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As seguintes informações são usadas para especificar a resposta do tempo:
1) Tempo de atraso - td 
2) Tempo de subida - tr 
3) Instante de pico - tp
4) Sobressinal máximo - Mp 
5) Tempo de acomodação - ts
Figura 8 - Resposta de um sistema de segunda ordem. Fonte: Adaptado de Ogata (2005).
1. Tempo de atraso (td) - é o tempo necessário para a resposta atingir a metade do valor 
final pela primeira vez.
2. Tempo de subida (tr) - é o tempo necessário para a resposta passar de 10% a 90%, de 5% 
a 95% ou de 0 a 100%. Geralmente 10% a 90% é usado.
3. Momento de pico (tp) - é o tempo necessário para a resposta atingir o primeiro pico da 
projeção.
4. Sobressinal máximo (Mp em valor percentual) - é o valor máximo da curva de resposta 
medido a partir do valor unitário até a saída padronizada.
O valor máximo de Mp (porcentagem) dá indicações de relativa estabilidade do sistema.
5. Tempo de estabilização, ts, é o tempo necessário para a curva de alcance dentro de um 
intervalo em torno do valor final (geralmente ±1%, ±2% ou ± 5%). Essencialmente, 
o sistema deve passar pelo regime transitório para poder alcançar o regime de 
estabilidade.
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1.4.1 Estabilidade
Necessariamente, o sistema de malha fechada, após passar pelo regime transitório, atinge a 
estabilidade em torno de um ponto de equilíbrio. Esse regime pode ser analisado por meio dos 
polos associados à função transferência do sistema de malha fechada. Ou seja, o sistema apresenta 
um limite físico, logo não existem flutuações infinitas. Por exemplo, se um motor elétrico estiver 
acionando uma bomba com rotação constante, o sistema é estável. No entanto, se o mesmo motor 
estiver acionando, por exemplo, uma antena, e aumentar a sua posição angular continuamente 
(rotação descontrolada), o sistema é considerado instável. Duas abordagens podem ser realizadas 
no estudo da estabilidade em torno de um ponto de equilíbrio do sistema.
a. Caso de sistemas não forçados
Neste caso, analisa-se a resposta do sistema deslocando-o da sua posição de equilíbrio. Se 
a resposta do sistema estiver dentro de uma determinada faixa em torno do ponto de equilíbrio, 
é dito que o sistema é estável. Se a resposta do sistema se afastar indefinidamente, o ponto de 
equilíbrio é dito instável.
Um sistema é caracterizado como instável se, em um regime de estabilidade, o sistema 
for perturbado a ponto de sair do limite de tolerância aceitável e permanecer fora desse limite 
indefinidamente. Para ser considerado como estável, o sistema, após perturbado, deve se manter 
na faixa em torno do ponto de equilíbrio. Dentro desse conceito, considere, como exemplo, um 
pêndulo que possa girar em 360o no plano vertical com a base móvel. Admita que o sistema tem 
um certo amortecimento. Não é difícil perceber que esse sistema tem dois pontos de equilíbrio, que 
são os ângulos iguais a 0o e 180o. Também é intuitivo que, no caso do equilíbrio de 180o, qualquer 
perturbação em torno desse ponto fará com que o pêndulo não retorne à sua posição de equilíbrio. 
Esse ponto de equilíbrio é dito instável. Já para a posição de equilíbrio 0o havendo perturbação, o 
sistema volta ao ponto de equilíbrio. Esse ponto é dito estável.
b. Caso de sistemas forçados
Esse conceito é baseado na inerente capacidade do sistema de gerar uma saída limitada 
para uma entrada limitada. Uma função de tempo f(t) é limitada quando existe uma constante 
positiva M tal que para todo para todo t. Um sistema é estável se, e somente 
se, qualquer entrada limitada resultar em uma saída limitada.
A análise da estabilidade do sistema consiste em determinar se os polos da função 
transferência, expandida em uma série de frações parciais, apresentam:
• parte real negativa (sistema será estável): a função transferência apresenta um 
comportamento de uma exponencial decrescente.
• parte real positiva (sistema será instável): a função transferência apresenta um 
comportamento de uma exponencial crescente, ou qualquer outra função que não 
seja limitada.
• números imaginários puros não repetidos e nenhuma parte real positiva (sistema 
marginalmente estável): a função transferência apresenta um comportamento de uma 
senoide.
• partes reais nulas múltiplas (sistema permanentemente instável).
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Exemplos
Exemplo 1: Determine o valor da constante a para que o sistema seja estável ou instável. 
a)
Solução:
O polo dessa equação vale s1 = -a
Se a raiz s1 = —a for positiva (a < 0), o sistema será instável. Ou seja, teremos uma 
exponencial crescente, que é ilimitada . Assim, o sistema não pode 
ser descrito por tal função. Logo a > 0 para que a raiz seja negativa e o sistema seja 
estável. A exponencial será decrescente e limitada .
1.5 Critério de Estabilidade de Routh-Hurwitz
Podemos estudar a estabilidade de um sistema sem a necessidade de calcular as raízes 
dos polinômios associados à função transferência. Técnicas alternativas podem nos auxiliar na 
tarefa de investigar as condições da seção anterior, por meio do critério de estabilidade de Routh-
Hurwitz (R.H). Tal critério é utilizado para determinar a estabilidade do sistema por meio da 
análise dos coeficientes do polinômio do denominador da função transferência, sem a necessidade 
de conhecer todos os seus polos (OGATA, 2005; PHILLIPS, 1992). 
Por meio dessa técnica, podemos saber se os polos estão no semiplano esquerdo ou semiplano 
direito ou ainda sobre o eixo imaginário. O critério de estabilidade de Routh-Hurwitz consiste 
em escrever a tabela de Routh básica.
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Considere o polinômio:
 
Exemplos
Exemplo 1:
Figura 9 - Diagrama de blocos com uma função transferência. Fonte: Phillips (1992).
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Observando a primeira coluna da tabela acima, podemos constatar que o sinal da terceira 
linha muda em relação ao sinal da segunda linha; assim, podemos afirmar que essa equação 
apresenta um polo no lado direito do plano complexo, ou seja, uma raiz positiva. Logo, o sistema 
representado pelo diagrama de blocos acima é instável.
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Exemplo 2: Determine os valores de para que o sistema seja estável.
Figura 10 - (a) diagrama de blocos em série do sistema de malha fechada com realimentação unitária, (b) diagrama de 
blocos reduzido. Fonte: O autor.
Usando a simplificação do diagrama de blocos, obtemos:
Pelo critério R-W, a primeira coluna deve possuir todas as linhas positivas; logo, a linha 
3, , e a linha 4, 
Então, pela linha 3, e . Ou seja, o sistema será estável se .
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1.6 Resposta e Erro em Regime Permanente (Teorema do 
Valor Final)
O conhecimento dos componentes de um sistema nos auxilia na determinação de sua 
estabilidade. A característica a ser analisada é a resiliência do sistema a perturbações elétricas 
ou mecânicas, ou seja, caso haja alguma perturbação indesejada, o sistema ainda se mantém no 
limite da tolerância aceitável. Há também a estabilidade absoluta, na qual o sistema que está 
isolado de qualquer perturbação mantém seu comportamento dinâmico sem comprometer sua 
estabilidade. Na realidade física dos sistemas, o sinal de saída sempre apresenta um limite, que 
pode ser imposto por um componente mecânico ou o sistema pode se romper ou se tornar não 
linear. Após o sinal de saída ultrapassar determinada amplitude, as equações diferenciais do 
modelo não terão mais validade.
Alémda estabilidade permanente, o sistema também pode ser analisado quanto à 
estabilidade relativa e ao erro estacionário. Como um sistema físico de controle contém energia 
armazenada, o estado permanente não é atingido imediatamente, o sistema passa por uma resposta 
transitória antes de atingir a estabilidade.
Atingido o regime permanente, se o sinal de saída não coincidir com o sinal de entrada, 
dizemos que há um erro permanente no sistema.
Quanto à resposta em regime permanente, o sistema mantém um padrão à medida que 
o tempo aumenta ( ). Já discutimos esses sistemas quando analisamos os sistemas de 
primeira e segunda ordem.
Para análise do erro em regime permanente, vamos considerar o seguinte caso.
Resposta à rampa unitária de sistemas de primeira ordem
Como a transformada de Laplace da rampa unitária é 1/s2, obtemos a saída do sistema:
Usando a expansão em frações parciais, obtemos:
Aplicando a transformada inversa de Laplace, temos que:
O sinal erro e(t):
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Lembrando que r(t) = t é função rampa, conforme t tende ao infinito, e—t/T se aproxima de 
zero; logo, o sinal de erro e(t) se aproxima de T ou
A Figura 11 mostra a rampa unitária de entrada e a resposta do sistema. O erro do sistema 
para seguir a rampa unitária como sinal de entrada é igual a T para t suficientemente grande. Quanto 
menor a constante de tempo T, menor o erro estacionário ao seguir a entrada em rampa.
A linha fina representa a função rampa r(t) = t enquanto a linha grossa, a função c(t). É 
evidente que o comportamento das duas funções é linear para t 1. O erro de estado permanente 
pode ser analisado pela diferença na direção vertical.
1.6.1 Teorema do valor final (VF)
O limite de uma função no domínio do tempo, quando o tempo tende ao infinito, 
pode ser encontrado através do limite do produto da transformada de Laplace da função pela 
variável de Laplace quando esta tende a zero.
Figura 11 - Gráfico do erro estacionário. Fonte: Adaptado de Ogata (2005).
O erro do diagrama de realimentação negativa unitária é escrito como:
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O erro é a diferença entre sinal de entrada e saída.
Figura 12 - Diagrama de blocos, erro permanente. Fonte: O autor.
O erro estacionário pode ser calculado para qualquer entrada, por exemplo, para x(t) = 
r(t), podemos escrever:
Logo, o erro estacionário é o limite do erro quando o tempo tende ao infinito:
Seguem algumas definições importantes, chamadas de constantes de erro:
Exemplos
1) Vamos considerar a entrada de referência como o degrau unitário. 
R(s)1/s.
Assim, o erro estacionário é escrito como:
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2) Tomando a função entrada como a rampa unitária, o erro estacionário é: 
A Organização Internacional de Normalização (ISO) estabeleceu os critérios de 
qualidade de um sistema por meio da ISO/IEC 9126, que é a norma responsável 
por padronizar, com alta qualidade, os programas ou softwares de controle e 
automação, por meio de um conjunto de parâmetros e testes em campo. Essa 
ISO consiste em quatro partes: Modelo de qualidade, Métricas externas, Métricas 
internas e Métricas de qualidade em uso. A norma brasileira correspondente a 
essa ISO é a NBR 13596. A padronização desses sistemas é fundamental para 
aperfeiçoamento dos diversos programas de controle.
Mais informações sobre o assunto abordado nesta unidade podem ser obtidas no 
livro: ROUTH, E. J. A treatise on the stability of a given state of motion: particularly 
steady motion. [S. l.]: Macmillan, 1877.
Para mais informações sobre o tópico discutido nesta unidade, veja os vídeos: 
https://youtu.be/2cDSkzacs94 (ISO 9126).
https://youtu.be/RmFofgiCy9Y (Estabilidade do sistema). 
https://youtu.be/Vpxj4JQGdnM (Critério de Estabilidade de Routh-Hurwitz).
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Nesta unidade, discutimos os critérios que um determinado sistema deve 
satisfazer para alcançar a estabilidade. Entre os resultados, percebemos que se o 
sistema possuir um sinal de saída que não seja limitado, o sistema será instável, 
ou seja, não apresentará controlabilidade. Sabendo dessa condição, que sistema 
poderia se enquadrar nessa condição para instabilidade?
Note que o sistema deve apresentar um sinal ilimitado.
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CONSIDERAÇÕES FINAIS
Nesta unidade, analisamos a forma como os polos e zeros afetam a função transferência 
e, por consequência, o sinal de saída. Determinamos como a função resposta do sistema tem a 
forma funcional que pode ser separada pelos polos da função associada ao sinal de entrada e à 
função transferência. Também estudamos o esquema de malha fechada relacionado ao sistema 
de primeira ordem, e como sua função de transferência pode afetar o sinal de saída; da mesma 
forma, discutimos como o sistema de segunda ordem com o efeito de amortecimento pode 
influenciar o sistema.
Investigamos a resposta transitória e a estabilidade do sistema por meio da análise 
gráfica e do comportamento das funções de transferência. Também estudamos o critério de 
estabilidade de Routh-Hurwitz para determinar, por meio da análise do polinômio associado 
à função transferência, se o sistema apresenta ou não estabilidade. Uma análise introdutória foi 
realizada sobre o erro permanente em função da diferença entre o sinal de entrada e o sinal de saída. 
Finalizamos com o estudo do teorema do valor final e, através da função erro, pudemos determinar 
algumas quantidades, como o erro de posição, velocidade e aceleração.
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04
SUMÁRIO DA UNIDADE
INTRODUÇÃO ................................................................................................................................................................79
1. INTRODUÇÃO AO CONTROLE PROPORCIONAL, INTEGRAL E DERIVATIVO (PID)............................................ 80
2. MÉTODOS DE SINTONIA DE CONTROLADORES .................................................................................................. 82
2.1 REGRAS DE ZIEGLER-NICHOLS PARA SINTONIA DE CONTROLADORES PID ................................................. 82
2.2 REPRESENTAÇÃO GERAL NO ESPAÇO DE ESTADOS ......................................................................................... 87
2.2.1 SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE ESTADO ................................................................................................................ 89
2.2.2 CONTROLABILIDADE E OBSERVABILIDADE ................................................................................................... 92
2.3 RESPOSTA EM FREQUÊNCIA E DIAGRAMA DE BODE ...................................................................................... 94
2.3.1 DIAGRAMA DE BODE .......................................................................................................................................... 95
2.4 INTRODUÇÃO À AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL ..................................................................................................... 108
2.4.1 PRINCIPAIS ASPECTOS DA AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL ................................................................................ 108
CONTROLADORES PID E A RESPOSTA 
NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA
PROF. DR. LEANDRO DE SANTANA COSTA
ENSINO A DISTÂNCIA
DISCIPLINA:
CONTROLE E AUTOMAÇÃO
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2.4.2 OBJETIVOS DA AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL .....................................................................................................109
2.4.3 HISTÓRICO DA AUTOMAÇÃO ...........................................................................................................................109
2.4.4 PROCESSOS INDUSTRIAIS E VARIÁVEIS DE PROCESSO ...............................................................................110