Lista 43 - Grandezas proporcionais e Regra de três

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Lista 43 
Grandezas proporcionais e Regra 
de três 
 
Grandezas proporcionais 
Texto retirado de GALDONNE, Linos. Projeto Apoema Matemática 7. 2ª edição. São Paulo: Editora do Brasil, 2015. Pág 217. Adaptado. 
 
 O que é uma grandeza? 
 Podemos entender como grandeza tudo aquilo que pode ser medido, 
contado. Como vimos em unidades anteriores, as grandezas podem ter suas 
medidas aumentadas ou diminuídas, e é comum em nosso dia a dia 
encontrarmos situações em que duas ou mais grandezas estejam relacionadas. 
Por exemplo, você já ouviu falar na expressão “Preciso correr contra o tempo”? 
Então, neste caso, as grandezas velocidade e tempo estão de alguma maneira 
relacionadas. Em uma máquina de costura, por exemplo, podemos relacionar 
as grandezas tempo de uso e produção: quanto mais tempo estiver em 
funcionamento, maior será a produção. 
 Para entendermos um pouco mais como as grandezas fazem parte de 
nossa vida vamos imaginar a rotina de um trabalhador. 
 
 Eu acordo e tomo 200 mL de leite com 50 mL de café, como 2 pães de 
aproximadamente 50 g cada. Vou para o trabalho e gasto 15 min no trânsito, 
subo 9 m de escadas para chegar a minha sala. Saio do trabalho às 12 horas 
e 50 minutos e dirijo 12 km por 1 hora para o local onde estudo. Antes de iniciar 
os estudos, almoço em um restaurante por quilo, onde como, em média, 650 g 
de comida e tomo um copinho de café. 
 Ao sair do meu local de estudo, às 16 h 30 min, retorno para minha casa, 
dirigindo por 40 minutos. Ao chegar em casa tomo um banho de 7 minutos, 
com uma vazão de água de 2 litros por minuto. 
 
 Veja só, todos esses valores destacados são grandezas que fazem parte 
da rotina e é claro que, se mapearmos tudo o que fazemos durante o dia, 
obteremos muito mais grandezas – por exemplo, observar a capacidade em 
Gb de um computador, o consumo de energia elétrica, as distâncias 
percorridas a pé, de ônibus ou de carro, entre muitas outras. 
 Nesta lista, veremos que, em algumas grandezas, as relações envolvem 
proporções. 
São as chamadas grandezas diretamente proporcionais. Há também 
aquelas inversamente proporcionais. 
 
 
 
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Grandezas diretamente proporcionais 
MORI, Iracema; ONAGA, Dulce Satiko. Matemáticas: ideias e desafios, 7º ano. 18ª edição. São Paulo: Saraiva, 2015. Págs 242 e 243. 
Adaptado. 
 
 
 
 Muitas vezes, a variação de uma grandeza provoca a variação de outra, 
na mesma razão. 
Dizemos, então, que essas grandezas são proporcionais e que essa variação 
pode se dar em uma proporcionalidade direta. 
 Para a situação acima, vamos relacionar as distâncias percorridas e os 
correspondentes volumes de combustível consumidos para percorrê-las. 
 
 Distância 
percorrida (km) Volume (L) 
 
x3 ⤹ 90	 10 ⤾x3 270 30 
 
90
270
 = 10
30
 → Variam proporcionalmente 
 
 Observe que, se a distância percorrida triplicar em relação à anterior, por 
exemplo, o volume de combustível consumido também triplicará em relação ao 
anterior. Se a distância percorrida for a metade da anterior, o volume de 
combustível consumido também será a metade do anterior. 
 As grandezas distância percorrida e volume, nessa situação, são 
grandezas diretamente proporcionais. 
 
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando as razões entre 
os valores de uma delas e os valores correspondentes de outra são 
iguais. Ou, em outras palavras, duas grandezas são diretamente 
proporcionais quando o crescimento de uma gera um crescimento 
proporcional da outra e o decrescimento de uma gera um decrescimento 
proporcional da outra. 
 
 Veja outros exemplos: 
 
Exemplo 01: Dois bolos são feitos com 600 g de farinha e 5 bolos, com 1,5 kg. A quantidade 
de farinha e o número de bolos são grandezas diretamente proporcionais? 
 
A quantidade de farinha aumenta na razão 600
1500
 e o número de bolos aumenta na razão 2
5
. As 
razões 600
1500
 e 2
5
 são iguais. Portanto, as grandezas envolvidas nessa situação são diretamente 
proporcionais. 
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Exemplo 02: Pedro está repondo o estoque de calças jeans de sua loja e consulta um amigo: 
 
 
 
 Essa situação envolve proporcionalidade: se 5 calças custaram R$ 400,00, cada calça 
custou R$ 80,00. Então, para saber quanto custam 18 calças, basta multiplicar 18 por 
R$ 80,00. 
 
Calças Preço (R$) 
5	 x 80 → 400 
18 x 80 → 1440 
 
ou 
 
 
 
 
5
18
 = 400
1440
 
 
 
 
 Note que, em lugar de observar como varia a grandeza quantidade de calças, 
relacionamos essa grandeza com o preço. O preço de certa quantidade de calças é sempre 
igual ao número de calças multiplicado por 80. Ou seja, as grandezas quantidade de calças 
e o preço são diretamente proporcionais e o fator de proporcionalidade é 80. 
 
Grandezas inversamente proporcionais 
MORI, Iracema; ONAGA, Dulce Satiko. Matemáticas: ideias e desafios, 7º ano. 18ª edição. São Paulo: Saraiva, 2015. Págs 244 e 245. 
Adaptado. 
 
 Um avião a jato voa de São Paulo a Recife em 3 horas. Ele se desloca 
a uma velocidade média de 880 quilômetros por hora. Outro avião, a uma 
velocidade média de 440 quilômetros por hora, leva 6 horas. 
 
 As grandezas velocidade e tempo estão envolvidas nessa situação. 
 Vamos relacionar as velocidades médias desenvolvidas e os tempos 
gastos para ir de São Paulo a Recife: 
 
 Velocidade 
(km/h) Tempo (h) 
 
Diminui. É a metade. ⤹ 880	 3 ⤾Aumenta. É o dobro. 440 6 
 
880
440
 = 6
3
 ou 880 . 3 = 440 . 6 = 2640. 
 
2640 é o fator de proporcionalidade. 
x 80 
x 80 
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 Isso significa que, se em certo tempo percorrermos determinada 
distância com certa velocidade média, e essa velocidade média for reduzida à 
metade, então o tempo dobrará em relação ao anterior. 
 Dizemos que as grandezas velocidade e tempo, envolvidas na situação 
apresentada, são grandezas inversamente proporcionais. 
 
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando os produtos 
dos valores de uma delas pelos valores correspondentes da outra são 
iguais. Ou, em outras palavras, duas grandezas são inversamente 
proporcionais quando o crescimento de uma gera um decrescimento 
proporcional da outra e o decrescimento de uma gera um crescimento 
proporcional da outra. 
 
 Veja um exemplo a seguir. 
 
Exemplo 03: Lúcia fez uma tabela de suas leituras e verificou que, quanto mais páginas lia 
por dia, no mesmo ritmo, menos dias levava para ler um livro. Veja como ficou a tabela que 
ela fez: 
 
Nº de páginas 
lidas (por dia) 5 10 16	 20 160 
Tempo (dias) 32 16 10 8 1 
 
 A quantidade e páginas lida por dia e o tempo gasto para ler essas páginas são 
grandezas inversamente proporcionais. 
 
5 . 32 = 160 → Fator de proporcionalidade 
 
 
 
 
10 160 → Tempo: 160 : 10 = 16 → 16 dias 
 
 
Divisão em partes diretamente proporcionais 
MORI, Iracema; ONAGA, Dulce Satiko. Matemáticas: ideias e desafios, 7º ano. 18ª edição. São Paulo: Saraiva, 2015. Págs 253 e 254. 
Adaptado. 
 
 Rubens e Sônia investiram R$ 240 000,00 na montagem de uma 
lanchonete. 
 
 
 
 Eles decidiram que o investimento seria diretamente proporcional aos 
números 3 e 5, nessa ordem, para Rubens e Sônia. 
 Que quantia investiu cada um nessa sociedade? 
 
x tempo 
÷ 
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 Fazer uma divisão proporcional, como o próprio nome indica, é repartir 
algo mantendo uma proporcionalidade direta ou inversa entre as partes. O tipo 
de proporcionalidade é definido pela situação-problema que foi proposta. 
 Na situação acima, por exemplo, as grandezas envolvidas são 
diretamente proporcionais. 
 Para resolvê-la, vamos indicar a quantia que cada um deles investiu por 
uma letra e utilizar um sistema de equações. 
 
r → quantia investida por Rubens 
s → quantia investidapor Sônia 
A soma é 240 000 → r + s = 240 000 
 
 As quantias r e s são diretamente proporcionais a 3 e 5: r
3
 = s
5
. 
 
r
3 = 
s
5
r + s = 240 000
 
 
 Vamos resolver o sistema pelo método da comparação. 
 
r
3
 = s
5
 → 5r = 3s → r = 3s
5
 
 
r + s = 240 000 → r = 240 000 – s 
 
 Igualando as duas expressões obtidas para r, temos: 
3s
5
 = 240 000 – s → 3s
5
 = 240 000 - s
1
 → 3s = 5(240 000 – s) 
 
3s = 1 200 000 – 5s 
 
3s + 5s = 1 200 000 
 
8s = 1 200 000 
 
s = 1 200 000
8
 → s = 150 000 
 
 Substituindo s por 150 000: 
 
r + s = 240 000 → r + 150 000 = 240 000 → r = 90 000 
 
 Rubens investiu R$ 90 000,00 e Sônia, R$ 150 000,00. 
 
 Outro exemplo: 
 
Exemplo 04: Vovô Carlos distribuiu R$ 720,00 aos três netos. As quantias eram diretamente 
proporcionais a idade de cada um. 
 
 
 Qual foi a quantia que cada um recebeu? 
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 Podemos resolver o problema indicando a quantia que cada um recebeu com uma 
letra e usando um sistema de equações. Observe: 
 
x → quantia do neto mais velho 
y → quantia da neta 
z → quantia do neto mais novo 
 
 As quantias x, y e z são diretamente proporcionais a 10, 8 e 6: x
10
 = y
8
 = z
6
. 
 
x
10 = 
y
8 = 
z
6
x + y + z = 720
 
 
 Vamos escrever expressões para y e z em função de x: 
 
x
10
 = y
8
 → 10y = 8x → y = 8x
10
 → y = 4x
5
 
 
 x
10
 = z
6
 → 10z = 6x → z = 6x
10
 → y = 3x
5
 
 
 Substituímos y e z pelas expressões acima na equação x + y + z = 720: 
 
x + y + z = 720 → x + 4x
5
 + 3x
5
 = 720 → 5x
5
 + 4x
5
 + 4x
5
 = 5 . 720
5
 
 
5x + 4x + 3x = 3 600 → 12x = 3 600 → x = 3 600
12
 → x = 300 
 
 Calculamos os valores de y e z para x = 300: 
 
y = 4x
5
 → y = 4 . 300
5
 → y = 1200
5
 → y = 240 
 
z = 3x
5
 → z = 3 . 300
5
 → z = 900
5
 → z = 180 
 
 Portanto, o neto mais velho recebeu R$ 300,00; o mais novo, R$ 180,00; e a neta 
R$ 240,00. 
 
Divisão em partes inversamente proporcionais 
MORI, Iracema; ONAGA, Dulce Satiko. Matemáticas: ideias e desafios, 7º ano. 18ª edição. São Paulo: Saraiva, 2015. Págs 255. 
 
 Em uma escolinha de futebol, o técnico distribuiu 28 camisetas aos três 
alunos que menos faltaram às aulas. 
 Elas foram distribuídas em quantidades inversamente proporcionais ao 
número de faltas de cada aluno. Pedro, com 5 faltas, Juca, com 6, e Beto, com 
10, foram os premiados. 
 Quantas camisetas cada um ganhou? 
 
 Vamos indicar a quantidade de camisetas que cada um ganhou com uma 
letra e resolver o problema por meio de um sistema de equações: 
 
p → quantia de camisetas de Pedro 
j → quantidade de camisetas de Juca 
b → quantidade de camisetas de Beto 
A soma é 28 → p + j + b = 28 
 
 p, j e b são inversamente proporcionais a 5, 6 e 10. Ou seja, 
5p = 6j = 10b. 
 
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p + j + b = 28
5p = 6j = 10b 
 
 Vamos relacionar p e j, separadamente, com b: 
 
5p = 10b → p = 10b
5
 → p = 2b 
 
6j = 10b → j = 10b
6
 → j = 5b
3
 
 
 Substituímos p por 2b e j por 5b
3
 em p + j + b = 28: 
 
2b + 5b
3
 + b = 28 → 3 . 2b
3
 + 5b
3
 + 3b
3
 = 3 . 28
3
 
 
6b + 5b + 3b = 84 → 14b = 84 → b = 84
14
 → b = 6 
 
 Substituímos b = 6 em p = 2b e j = 5b
3
: 
 
p = 2b → p = 2 . 6 → p = 12 
 
j = 5b
3
 → j = 5 . 6
3
 → j = 30
3
 → j = 10 
 
 Portanto, Pedro ganhou 12 camisetas, Juca, 10 e Beto, 6. 
 
Regra de três 
Texto retirado de GALDONNE, Linos. Projeto Apoema Matemática 7. 2ª edição. São Paulo: Editora do Brasil, 2015. Pág 223 
 
 Ao relacionar duas grandezas que são diretamente proporcionais ou 
inversamente proporcionais nos deparamos com situações diversas, 
conhecidas como “problemas de regra de três”. Essa denominação é dada pelo 
fato de ser necessário conhecer três informações para determinar a quarta que 
está faltando. 
 
Aplicação da regra de três simples 
MORI, Iracema; ONAGA, Dulce Satiko. Matemáticas: ideias e desafios, 7º ano. 18ª edição. São Paulo: Saraiva, 2015. Págs 246 e 247. 
 
 Mantendo aberta uma torneira, ela despeja, em 3 minutos, 4 L de água 
de um tanque. Mantendo a vazão constante, o tanque ficará cheio em 5 horas. 
 
 
 
 
Qual é a capacidade desse tanque? 
 Podemos resolver problemas que envolvem proporcionalidade entre 
duas grandezas de várias maneiras e uma delas é uma regra prática, que 
chamamos regra de três simples. 
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 Veja dois modos de responder à questão proposta acima. 
 
1º modo: As grandezas envolvidas são diretamente proporcionais. 
 
Tempo Capacidade (L) 
3 min	 4 
5 h ? 
 
 
 
 
 
 Tempo 
(min) 
Capacidade 
(L) 
 
x100 
⤹ 
3	 4 
⤾x100 300 400 
 
A capacidade do tanque é de 400 litros. 
 
2º modo: Usando a regra de três simples, utilizamos um esquema em que o 
valor procurado é indicado por uma letra, por exemplo, x. 
 
 Tempo 
(min) 
Capacidade 
(L) 
 
Aumenta ⤹ 3	 4 ⤾Aumenta 
 Mais tempo: mais litros 
para a mesma vazão.	
300 x 
 
 
 
 Tempo e capacidade, nessa situação, são grandezas diretamente 
proporcionais. 
 
3
4
 e 300
x
 são razões iguais → 3
4
 = 300
x
 → É uma proporção. 
 
3x = 4 . 300 → 3x = 1200 → x = 1200
3
 → x = 400 L 
 
	 Veja outro exemplo: 
 
Exemplo 05: Um motociclista levou 3 horas para ir de Tamarindo a Dourada, viajando a 
uma velocidade média de 80 quilômetros por hora. Se ele quiser fazer o mesmo percurso 
em 4 horas, que velocidade medida deverá desenvolver? 
 
 Vamos também resolver o problema proposto de dois modos: 
 
1º modo: 
 
 Tempo 
(h) 
Velocidade 
média (km/h) 
 
: 3 ⤹ 3	 80 ⤾x 3 3 : 3 = 1 80 . 3 = 240 
x 4 ⤹ 4 . 1 = 4 240 : 4 = 60 ⤾: 4 
 
 O mesmo percurso poderá ser realizado em 4 horas, a uma velocidade média de 
60 km/h. 
1h = 60 min 
5h = 5 x 60 min = 300 min 
	
Mais tempo, menor 
velocidade média para a 
mesma distânica. 
	
Mais tempo, mais volume 
de água despejada. 
	
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	 9 
2º modo: Usando a regra de três simples, e representando a velocidade média a ser 
calculada por v. 
 
 Tempo 
(h) 
Velocidade 
média (km/h) 
 
Aumenta ⤹ 
3	 80 
⤾Diminui 
 Mais tempo: menor 
velocidade média para 
percorrer o mesmo espaço. 	
4 v 
 
 
 
 Tempo e velocidade média, nessa situação, são grandezas inversamente 
proporcionais. 
 
3
4
		 = 80
v
 → 3 . 80 e 4v são iguais → 4v = 3 . 80 → 4v = 240 → v = 240
4
 → v = 60 km/h 
					
 A velocidade média deverá ser de 60 km/h. 
 
Aplicação da regra de três Composta 
MORI, Iracema; ONAGA, Dulce Satiko. Matemáticas: ideias e desafios, 7º ano. 18ª edição. São Paulo: Saraiva, 2015. Págs 248 - 251. 
 
 Uma viagem de navio oferece dois roteiros. Escolhendo o roteiro mais 
curto, um grupo de 5 pessoas pagou R$ 10 500,00 por 6 dias de viagem. 
Quanto pagou um grupo de 8 pessoas que escolheu o roteiro de 11 dias, 
sabendo que o preço da viagem por dia é o mesmo para os dois roteiros? 
 
 Algumas situações relacionam a variação entre três ou mais grandezas. 
A análise e a resolução de problemas dessa natureza podem ser feitas também 
de várias maneiras e uma delas é por meio de uma regra, que chamamos regra 
de três composta. 
 Observe dois modos de resolver a situação proposta, em que estão 
envolvidas três grandezas: quantidade de pessoas, tempo de viagem e preço. 
 
1º modo: Aritmeticamente. 
 Primeiro, procuramos saber quanto pagará 1 pessoa por 1 dia de viagem. 
 
5 pessoas, por 6 dias, pagaram → 10 500 
 
1 pessoa, por 6 dias, pagou → 10 500 : 5 = 2 100 
 
1 pessoa, por 1 dia, pagou → 2 100 : 6 = 350 
 
8 pessoas, por 1 dia, pagaram → 350 . 8 = 2 800 
 
8 pessoas, por 11 dias, pagaram → 2 800 . 11 = 30 800 
 
 O grupo de 8 pessoas pagou R$ 30 800,00 por 11 dias de viagem. 
 
2º modo: Algebricamente. 
 
Pessoas 
(número) 
Tempo 
(dias) 
Preço 
(R$) 
5 6	 10 500 
8 11 xVivi te ajuda! @viviteajuda facebook.com/viviteajuda 
	
	 10 
 Supondo que o número de dias não varie: 
 
 Pessoas 
(número) 
Tempo 
(dias) 
Preço 
(R$) 
 
Aumenta 
⤹ 
5	 6 10 500 
⤾Aumenta 
 Mais pessoas, 
mais reais.	
8 11 x 
 
 
 
 Número de pessoas e preço são grandezas diretamente 
proporcionais. 
 
Supondo que o número de pessoas não varie. 
 
 Pessoas 
(número) 
Tempo 
(dias) 
Preço 
(R$) 
 
Aumenta ⤹ 5	 6 10 500 ⤾Aumenta 
 Mais dias, mais 
reais.	
8 11 x 
 
 
 
 Tempo e preço são grandezas diretamente proporcionais. 
 
 Nessa situação, o preço é diretamente proporcional à quantidade de 
pessoas e diretamente proporcional ao tempo de viagem. Portanto, a razão 
10 500
x
 é igual ao produto da razão 5
8
 pela razão 6
11
. 
 
10 500
x
 = 5
8
 . 6
11
 → x = 10 500 . 8 . 11
5 . 6
 → x = 924 000
30
 → x = R$ 30 800,00 
 
 Na resolução algébrica, utilizamos o que chamamos de regra de três 
composta. 
 Acompanhe a resolução de mais dois exemplos: 
 
Exemplo 06: Estima-se que 20 pintores, trabalhando 6 horas por dia, pintem um edifício em 
4 dias. Nas mesmas condições, quantos dias seriam necessários para que 6 pintores, 
trabalhando 8 horas por dia, pintassem o mesmo edifício? 
 
 Este problema envolve as grandezas: quantidade de pintores, tempo de trabalho por 
dia e tempo de duração da obra. A variação de uma dessas grandezas provoca a variação 
das demais. Vamos resolver este problema de dois modos. 
 
1º modo: Aritmeticamente. 
 Primeiro procuramos saber em quantos dias 1 pintor, trabalhando 1 hora por dia, faria 
o trabalho. 
 
20 pintores trabalhando 6h/dia pintam em 4 dias 
 
1 pintor trabalhando 6h/dia pinta em 4 . 2 = 80 dias 
 
1 pintor trabalhando 1h/dia pinta em 80 . 6 = 480 dias 
 
6 pintores trabalhando 1h/dia pintam em 480 : 6 = 80 dias 
 
6 pintores trabalhando 8h/dia pintam em 80 : 8 = 10 dias 
 
 Para 6 pintores pintarem o mesmo edifício, trabalhando 8 horas por dia, serão 
necessários 10 dias. 
 
 
 
 
 
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2º modo: Utilizando a regra de três composta. 
 
Pintores 
(número) 
Tempo 
(horas por dia) 
Tempo de duração 
da obra (dias) 
20 6	 4 
6 8 x 
 
 Supondo que o número de horas por dia não varie: 
 
 Pintores 
(número) 
Tempo 
(horas 
por dia) 
Tempo de 
duração da 
obra (dias) 
 
0Diminui 
⤹ 
20	 6 4 
⤾Aumenta 
 Menos pintores, 
mais tempo.	
6 8 x 
 
 
 
 Número de pintores e e tempo de duração da obra são grandezas inversamente 
proporcionais. 
 
 Supondo que a quantidade de pintores não varie: 
 
Pintores 
(número) 
 Tempo 
(horas 
por dia) 
Tempo de 
duração da 
obra (dias) 
 
20 Aumenta 
⤹ 
6 4 
⤾Diminui 
 Mais tempo, 
menos dias. 	
6 8 x 
 
 
 
 Tempo de trabalho por dia e tempo de duração da obra são grandezas inversamente 
proporcionais. 
 Nessa situação, o tempo de duração da obra é inversamente proporcional ao número 
de pintores e ao tempo de trabalho por dia. 
 O produto 20 . 6 . 4 é igual ao produto 6 . 8 . x. 
 Portanto, 20 . 6 . 4 = 6 . 8 . x → x = 20 . 6 . 4
6 . 8
 → x = 480
48
 → 10. 
 
Exemplo 07: Paulo é representante de uma loja de utilidades domésticas. Ele costuma 
percorrer 1 260 km em 5 dias, viajando 6 horas por dia. Em quantos dias ele percorrerá 
2 520 km, viajando 4 horas por dia? 
 
 Vamos também resolver o problema de dois modos: 
 
1º modo: Aritmeticamente. 
 Vamos primeiro descobrir quanto tempo (fração do dia) Paulo gasta para percorrer 
1 km, viajando 1h/dia. 
 
Distância (km) Tempo (horas por dia) Tempo (dias) 
1 260 6 5 
1 6 5 : 1 260 = 1
252
 do dia 
1 1 1
252
 . 6 = 1
42
 do dia 
← Tempo que Paulo 
gasta para percorrer 
1 km, viajando 1h/dia 
2 520 1 1
42
 . 2 520 = 60 dias 
2 520 4 60 : 4 = 15 dias 
 
 Paulo levará 15 dias para percorrer 2 520 km, viajando 4 horas por dia. 
 
 
 
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	 12 
2º modo: Utilizando a regra de três composta. 
 
Distância 
(km) 
Tempo 
(horas por dia) Tempo (dias) 
1 260 6	 5 
2 520 4 x 
 
 Supondo que o número de horas por dia não varie: 
 
 Distância 
(km) 
Tempo 
(horas por dia) 
Tempo 
(dias) 
 
0Aumenta 
⤹ 
1 260	 6 5 
⤾Aumenta 
 Mais 
quilômetros, 
mais tempo.	
2 520 4 x 
 
 
 
 
 Distância e tempo são grandezas diretamente proporcionais. 
 
 Supondo que a distância não varie: 
 
 
Distância 
(km) 
 Tempo 
(horas por dia) 
Tempo 
(dias) 
 
1 260 0Diminui 
⤹ 
6 5 
⤾Aumenta 
 Menos horas 
por dia, mais 
dias. 	
2 520 4 x 
 
 Horas de viagem por dia e dias de viagem são grandezas inversamente 
proporcionais. 
 
 Nessa situação, o tempo em dias é diretamente proporcional à distância e 
inversamente proporcional ao tempo de horas por dia; portanto, a razão 5
x
 é igual ao produto 
da razão 1 260
2 520
 pelo inverso da razão 6
4
, que é 4
6
. 
 Portanto, 5
x
 = 1 260
2 520
 . 4
6
 → x = 5 . 2 520 . 6
1 260 . 4
 → x = 75 600
1 040
 → x = 15 dias. 
 
#DICADAVIVI 
 
• Fique atento às unidades! As grandezas devem ter unidades compatíveis! 
Por exemplo, se em uma situação-problema temos a grandeza tempo expressa em horas, 
todos os tempos na questão devem estar na unidade horas. Caso não estejam, faça a 
conversão antes de iniciar a resolução. 
		
 
Exercícios 
 
1. Se os números 2, 3 e 5 são diretamente proporcionais aos números 6, 9 e 
15, nessa ordem, escreva: 
a. A proporção correspondente; 
b. A constante de proporcionalidade. 
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	 13 
2. Na tabela a seguir, os números que se encontram na linha representada por 
A são diretamente proporcionais aos números que se encontram na linha 
representada por B. Complete a tabela. 
 
A 2 10	 16 
B 7 28 70 
 
Depois responda: 
Qual é a constante de proporcionalidade de A para B, nessa ordem? 
 
3. Na tabela a seguir, os números que se encontram na linha representada por 
A são inversamente proporcionais aos números que se encontram na linha 
representada por B. Complete a tabela. 
 
A 1 6 2	 4 20 
B 60 10 
 
 
4. Na proporção a seguir, determine os valores dos termos desconhecidos. 
 
x
2
 = y
3
 = z
4
 = 12 
 
5. Os números x, y e z são inversamente proporcionais aos números 2, 3 e 4, 
nessa ordem, isto é: 2x = 3y = 4z = 120. 
Determine os valores dos termos desconhecidos. 
 
6. A tabela abaixo relaciona o número de livros, todos iguais, e o número de 
caixas em que eles estão embalados. 
 
Livros Caixas 
90	 10 
270 30 
 
a. Para 180 livros, qual é a razão entre o número de livros e o número de 
caixas? 
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	 14 
b. Quando o número de livros aumenta de 180 para 720, qual é a razão 
entre o número de livros e o número de caixas? 
c. As grandezas quantidade de livros e quantidade de caixas são 
grandezas diretamente proporcionais. Qual é o fator de 
proporcionalidade? 
 
7. Na tabela abaixo, a primeira linha indica volumes de etanol e a segunda, 
preços correspondentes a cada um desses volumes. 
 
Volume (L) 2,5 6,1 9,2	 10 
Preço (R$) 5,00 
 
Complete-a de modo que os volumes de etanol e os preços 
correspondentes a cada volume sejam grandezas diretamente 
proporcionais. 
 
8. O gerente de uma fábrica de sucos fez uma tabela como esta, relacionando 
o número de liquidificadores iguais utilizados para fazer suco de abacaxi e 
o tempo gasto para preparar a mesma quantidade desse suco. Observe a 
tabela e responda: 
 
Liquidificadores 
(número) 
Tempo 
(min) 
8	 12 
24 4 
 
a. Quando o número de liquidificadores triplica de 8 para 24, o que 
acontece com o tempo? 
b. A quantidade de liquidificadores e o tempo gasto para preparar o suco 
são grandezas direta ou inversamente proporcionais? 
c. Se forem utilizados 30 liquidificadores, quanto tempo será gasto para 
preparar a mesmaquantidade de suco? 
 
9. Uma casa lotérica vai dividir igualmente R$ 81 000,00 entre todos os 
acertadores de um sorteio. Complete a tabela abaixo de modo que a 
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	 15 
quantidade de acertadores e a quantia que cada um receberá sejam 
grandezas inversamente proporcionais. 
 
Nº de 
acertadores 1 2 3	 4 5 10 
Quantia 
(R$) 81 000 
 
10. Responda às questões: 
a. Em grandezas que são diretamente proporcionais, triplicando o valor de 
uma delas, o que ocorre com o valor da outra? 
b. Em grandezas que são inversamente proporcionais, triplicando o valor 
de uma delas, o que ocorre com o valor da outra? 
 
11. Os números 6, x e y são diretamente proporcionais aos números 4, 8 e 
20, nessa ordem. Determine os valores de x e y. 
 
12. Quais devem ser os valores dos números x e y para que os números 3, 
12 e x sejam inversamente proporcionais aos números y, 30 e 10, nessa 
ordem? 
 
13. Adriana e Márcio vão se casar e combinaram que o aluguel do 
apartamento onde vão morar será dividido em partes diretamente 
proporcionais ao salário de cada um. O valor do aluguel é R$ 1 400,00. Se 
o salário de Adriana corresponde a 5 salários mínimos e o de Márcio a 9 
salários mínimos, quanto cada um pagará? 
 
14. No Natal, Pedro deu um prêmio de R$ 8 400,00 para seus dois 
vendedores, dividindo-os em partes inversamente proporcionais ao número 
de faltas que cada um teve durante o ano. Se Antônio faltou três dias e 
Marcelo, quatro, quanto cada um recebeu? 
 
15. João quer repartir R$ 900,00 entre seus três netos em partes diretamente 
proporcionais à idade de cada um. Juca tem 7 anos, Marta tem 10 anos e 
Daniel tem 13 anos. Que quantia caberá a cada um? 
 
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	 16 
16. Em um terreno que possui, Manuel planeja formar um pomar com 
1 800 m2 e construir uma casa e uma piscina. O pomar ocupará a parte 
maior do terreno e a piscina, a menor. As áreas das partes planejadas são 
proporcionais a 2, 4 e 6. Qual é a área total do terreno de Manuel? 
 
17. Regina, Marcelo e Márcio são corretores. A comissão de R$ 8 600,00 
que ganharam na venda de um imóvel foi dividida em partes inversamente 
proporcionais ao tempo que estão na empresa. Regina está na empresa há 
14 anos, Marcelo, há 12 anos, e Márcio, há 20 anos. Quanto recebeu cada 
um? 
 
18. Numa loja especializada em venda de tecidos, cada 8 metros de tecido 
é vendido por R$ 50,00. 
a. Determine o valor do metro do tecido. 
b. Uma pessoa que compra 16 metros de tecido deverá pagar qual quantia? 
c. E quanto pagará uma pessoa que compra apenas 3,40 metros? 
d. As grandezas “metro de tecido” e “valor a pagar” são direta ou 
inversamente proporcionais? 
 
19. Numa viagem de motocicleta, Rubens observou que, a cada 18 
quilômetros percorridos, ela consumia 1 litro de gasolina. 
a. Qual é a distância que pode ser percorrida com 45 litros de gasolina? 
b. Quantos litros de gasolina a motocicleta gastará para percorrer 405 km? 
c. As grandezas “litro de gasolina” e “distância percorrida” são diretamente 
ou inversamente proporcionais? 
 
20. Rubens também notou que, com uma velocidade média de 100 km/h, a 
motocicleta levava 5 horas para percorrer certa distância. 
a. Se a velocidade for alterada para 50 km/h, quanto tempo a motocicleta 
levará para percorrer a mesma distância? 
b. As grandezas “velocidade” e “tempo” são direta ou inversamente 
proporcionais? 
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	 17 
21. Um chuveiro aberto por 36 segundos despeja cerca de 25 litros de água. 
Mantendo a mesma vazão, em quanto tempo esse chuveiro encheria uma 
banheira com capacidade de 2 400 litros? 
 
22. Um quintal pode ser revestido com 500 ladrilhos de 225 cm2 de área 
cada um. Quantos ladrilhos, caso não haja quebras, de 900 cm2, cada um, 
seriam necessários para recobrir esse quintal? 
 
23. Um tanque com capacidade de 15 000 litros de combustível está sendo 
abastecido por um caminhão-tanque com duas mangueiras iguais e com a 
mesma vazão. O tanque ficou bem cheio em 2 horas e 28 min. Se fossem 
5 mangueiras, com a mesma vazão que essa, em quanto tempo o tanque 
ficaria cheio? 
 
24. Um avião vai do Rio de Janeiro a Recife em 2 horas e 40 minutos, em 
um voo sem escalas. Em uma das viagens, ocorreu um pequeno defeito no 
motor e ele fez a viagem em 3 horas e 20 minutos, à velocidade média de 
540 quilômetros por hora. Qual é a velocidade média que ele realiza essa 
viagem em condições normais? 
 
25. Na construção de um muro com 5 metros de altura e 60 metros de 
comprimento, alguns pedreiros levaram 48 dias. 
a. Em quantos dias o mesmo número de pedreiros, em ritmo idêntico, 
construiria um muro de 4 metros de altura e 50 metros de comprimento? 
b. Mantendo-se constante a altura do muro, as grandezas “comprimento do 
muro” e “número de dias” são direta ou inversamente proporcionais? 
c. Mantendo-se constante o comprimento do muro, as grandezas “altura do 
muro” e “número de dias” são direta e inversamente proporcionais? 
 
26. Um automóvel, com velocidade média de 60 km/h, roda 8 horas por dia 
e leva 5 dias para percorrer a distância entre duas cidades. 
a. Se sua velocidade fosse 100 km/h e se ele rodasse diariamente 6 horas, 
em quanto tempo faria o mesmo percurso? 
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	 18 
b. Mantendo-se constante a velocidade, as grandezas “horas por dia” e 
“número de dias” são direta ou inversamente proporcionais? 
c. Mantendo-se constante a quantidade de horas diárias, as grandezas 
“velocidade” e “número de dias” são direta ou inversamente 
proporcionais? 
 
27. Quatro trabalhadores colhem, em média, 200 caixas de laranjas em 5 
dias, trabalhando em um certo ritmo. Quantas caixas de laranjas iguais a 
essas serão colhidas em 3 dias, por 6 trabalhadores, no mesmo ritmo de 
colheita? 
 
28. Uma viagem entre duas cidades foi feita de carro, em 4 dias, a uma 
velocidade média de 75 quilômetros por hora, viajando-se 9 horas por dia. 
Viajando a 90 quilômetros por hora, durante 5 horas por dia, em quantos 
dias seria feita a viagem entre essas duas cidades? 
 
29. Cláudia tem em uma confecção 36 funcionárias que produzem em média 
5 400 camisetas por dia, trabalhando 6 horas. O verão trouxe novidades e 
muitas encomendas, e a fábrica passou a ter 96 funcionárias, produzindo 
21 600 camisetas por dia. Quantas horas por dia elas passaram a trabalhar? 
 
30. A Pousada Primavera cobra R$ 2 400,00 para hospedar 4 pessoas por 
5 dias. Quanto cobrará de 3 pessoas para hospedá-las por uma semana? 
 
31. Três torneiras com vazões iguais enchem um tanque de 5 000 L de 
capacidade em 10 horas. Fechando uma das torneiras, em quanto tempo 
as outras despejarão 3 000 L nesse tanque? 
 
32. Uma fábrica produz 5 400 m de tecido de 90 cm de largura em 50 minutos, 
usando certa quantidade de fio. Quantos metros de tecido de 1 metro e 20 
centímetros de largura seriam produzidos em 25 minutos com o temos tipo 
de fio? 
 
 
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	 19 
Quer praticar um pouco mais? 
Exercícios extras 
 
33. Uma fábrica de roupas gasta 5 m de tecido para confeccionar 2 
uniformes iguais e 15 m de tecido para confeccionar 6 uniformes iguais. 
a. Quando a quantidade de tecido triplica, o que ocorre com o número de 
uniformes? 
b. A quantidade de tecido aumenta na razão 5
15
 e o número de uniformes 
aumenta em que razão? 
c. Nessa situação, a quantidade de tecido e a quantidade de uniformes 
confeccionados são grandezas diretamente proporcionais? Explique por 
quê. 
 
34. Em um passeio ciclístico, Fernando percorreu 36 km em 3 horas. 
Mantendo a mesma velocidade média, ele percorreu 6 km em meia hora. 
Responda às questões a seguir. 
a. Que tipo de proporcionalidade existe entre o espaçopercorrido e o tempo? 
b. Qual é o fator de proporcionalidade? 
 
35. Em uma empresa, um prémio em dinheiro será dividido entre os 
funcionários que tiverem melhor desempenho durante o ano. 
Complete a tabela abaixo de modo que o número de funcionários com 
melhor desempenho e a quantidade que cada um receberá sejam 
grandezas inversamente proporcionais. 
 
Funcionários 
(número) 
Quantia recebida por 
funcionário (em R$) 
2	 5 000,00 
4 
8 
10 
16 
 
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	 20 
36. Uma corda de 120 metros de comprimento é dividida em partes 
diretamente proporcionais aos números 3, 4 e 5. Determine o comprimento 
de cada parte. 
 
37. A quantia de R$ 62 000,00 será dividida entre três sócios, em partes 
inversamente proporcionais aos números 2, 3 e 5. Quais serão os valores 
recebidos pelos sócios? 
 
38. Leila e Jorge receberam R$ 2 800,00 por um trabalho extra e 
combinaram que o total seria dividido em partes inversamente proporcionais 
ao salário de cada um. Se Leila ganha 6 salários mínimos e Jorge 8 salários 
mínimos, quanto coube a cada um? 
 
39. Três pintores cobraram R$ 5 200,00 pela pintura de uma casa e 
combinaram que receberiam o valor em partes diretamente proporcionais 
ao número de dias trabalhados. O primeiro trabalhou 15 dias, o segundo, 
12 dias, e o terceiro, 25 dias. Quanto recebeu cada um? 
 
40. Numa imobiliária, os corretores recebem comissões diretamente 
proporcionais à quantidade de apartamentos que vendem. Se em um mês 
o gerente pagou um total de R$ 108 000,00 a três funcionários que 
venderam 1, 2 e 3 apartamentos, respectivamente, quanto ganhou o que 
vendeu mais apartamentos? 
 
41. Uma panificadora produz 800 pães com 20 kg de farinha de trigo. Para 
produzir 2 400 pães, serão necessários quantos quilogramas de farinha? 
 
42. Um relógio atrasa 5 minutos a cada dia. Em 30 dias, qual será o atraso 
desse relógio? 
 
43. Uma torneira fornece 48 litros de água por minuto e leva 90 minutos para 
encher determinado tanque. Duas torneiras iguais a essa levariam quantos 
minutos para encher o mesmo tanque? 
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	 21 
44. Um avião com velocidade média de 800 km/h leva 3,5 horas para fazer 
determinado trajeto. Quanto tempo levaria para percorrer a mesma 
distância se sua velocidade média fosse 700 km/h? 
 
45. Para revestir um piso de 6 metros de comprimento por 5 metros de 
largura, são necessárias 300 peças de determinada cerâmica. Quantas 
dessas peças seriam necessárias para revestir um piso de 10 metros de 
comprimento por 9 metros de largura? 
 
46. Rosângela lê um livro em 4 dias, lendo em média 60 páginas por dia. 
a. Se ela conseguisse ler 120 páginas todos os dias, quanto tempo ela 
levaria para ler o livro completamente? 
b. Se ela desejasse ler o livro em 8 dias, quantas páginas teria de ler, em 
média, por dia? 
c. As grandezas “ número de páginas por dia” e “tempo” são diretamente 
ou inversamente proporcionais? 
 
47. Uma montadora de automóveis opera diariamente durante 9 horas, 
produzindo 600 novos carros. Considerando as mesmas condições de 
produção, responda: 
a. No caso de se duplicar o número de horas de produção diária, qual seria 
o total de carros fabricados por dia? 
b. Para produzir diariamente 300 novos carros, a montadora deverá operar 
quanto tempo por dia? 
 
48. Uma gravura de forma retangular com 20 cm de largura por 35 cm de 
comprimento deve ser ampliada para 1,2 m de largura. Qual será o 
comprimento para que não haja distorção na imagem? 
 
49. Trabalhando 12 dias, 10 operários produzem 800 peças numa fábrica. 
a. Quantas peças desse mesmo tipo serão produzidas por 14 operários 
trabalhando 18 dias? 
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	 22 
b. Mantendo-se constante o número de dias, as grandezas “número de 
operários” e “quantidade de peças” são direta ou inversamente 
proporcionais? 
c. Mantendo-se constante o número de operários, as grandezas “número 
de dias” e “quantidade de peças” são direta ou inversamente 
proporcionais? 
 
50. Seis digitadores, com velocidades equivalentes, levaram 18 dias na 
produção de um livro de 720 páginas. Se desde o início do trabalho 
houvesse 2 digitadores a mais, em quanto tempo eles digitariam 800 
páginas? 
 
51. Um dos pneus do carro de Paulo está com problema de vazamento. Ele 
perde 2,7 p.s.i (no Brasil falamos “libras”) de pressão de ar a cada 36 horas. 
Quantas p.s.i de pressão de ar ele perderá em 5 dias? 
 
52. Para asfaltar 345 km de estrada, estima-se que uma equipe de 16 
operários leve 18 dias, trabalhando em um certo rimo. Se forem contratados 
mais 8 operários que trabalhem nesse mesmo ritmo, em quantos dias a 
nova equipe asfaltará o mesmo trecho de estrada? 
 
53. Mariana costuma digitar 24 linhas em 4 minutos. Ela digitou um relatório 
em 1 hora e 15 minutos e imprimiu o texto em páginas de 18 linhas cada 
um. Quantas páginas tem o relatório? 
 
54. Duas torneiras abertas, com a mesma vazão, enchem um barril de vinho 
em 2 horas e 15 minutos. Em quanto tempo esse barril de vinho ficará cheio 
se forem abertas 3 torneiras com a mesma vazão das anteriores? 
 
55. Rita tem um canil com 25 cães que consomem, em média, 50 
quilogramas de ração durante 16 dias. Depois de algum tempo, havia 80 
cães e 120 quilogramas de ração em seu canil. Mantendo o consumo médio 
de ração, quanto tempo ela poderá alimentar esses cães com a ração que 
tem? 
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	 23 
 
56. A Terra realiza sua órbita, ao redor do Sol, em 365 dias e 6 horas, o que 
corresponde a cerca de 1 ano. A esse movimento damos o nome de 
translação. 
a. A Terra realiza sua órbita a uma velocidade média de 30 quilômetros por 
segundo no seu movimento de translação. Quantos quilômetros tem, 
aproximadamente, a órbita terrestre? 
b. Se em certo dia, por alguma razão, ela passasse a uma velocidade 
média de 45 quilômetros por segundo, qual seria a duração do ano 
terrestre? (Observação: Suponha que 1 dia, que corresponde ao 
movimento de rotação, continue com 24 horas.) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lista 43 
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	 24 
Gabarito 
 
Exercícios 
 
1. 
a. 2
6
 = 3
9
 = 5
15
 b. 1
3
 
2. 
 
A 2 8 10	 16 20 
B 7 28 35 56 70 
 
A constante de proporcionalidade de A para B é 2
7
. 
3. 
 
A 1 6 2	 4 20 
B 60 10 30 15 3 
 
4. x = 24, y = 36 e z = 48. 
5. x = 60, y = 40 e z = 30. 
6. 
a. A razão entre o número de livros e o número de caixas é 180
12
 = 15. 
b. A razão entre o número de livros e o número de caixas é 720
48
 = 15. 
c. O fator de proporcionalidade é 15. 
7. 
 
Volume (L) 2,5 6,1 9,2	 10 
Preço (R$) 5,00 12,20 16,40 20,00 
 
8. 
a. Quando o número de liquidificadores triplica, o tempo divide-se por 3 e 
passa de 12 minutos para 4 minutos. 
b. Quantidade de liquidificadores e tempo para preparar o suco são 
grandezas inversamente proporcionais. 
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	 25 
c. Se forem utilizados 30 liquidificadores serão gastos 3,2 minutos (ou 3 
minutos e 12 segundos) para preparar a mesma quantidade de suco. 
9. 
 
Nº de 
acertadores 1 2 3	 4 5 10 
Quantia 
(R$) 81 000 40 500 27 000 20 250 16 200 8 100 
 
10. 
a. O valor da outra grandeza também triplica. 
b. O valor da outra grandeza é dividido por 3. 
11. x = 12 e y = 30. 
12. x = 36 e y = 120. 
13. Adriana pagará R$ 500,00 e Márcio pagará R$ 900,00. 
14. Antônio recebeu R$ 4 800,00 e Marcelo recebeu R$ 3 600,00. 
15. Juca receberá R$ 210,00, Marta receberá R$ 300,00 e Daniel receberá 
R$ 390,00. 
16. O terreno de Manuel tem 3 600 m2. 
17. Regina recebeu R$ 3 000,00, Marcelo recebeu R$ 3 500,00 e Márcio 
recebeu R$ 2 100,00. 
18. 
a. O metro do tecido custa R$ 6,25. 
b. Umapessoa que compra 16 metros de tecido deverá pagar R$ 100,00. 
c. Uma pessoa que compra 3,40 metros de tecido deverá pagar R$ 21,25. 
d. As grandezas “metro de tecido” e “valor a pagar” são diretamente 
proporcionais. 
19. 
a. Podem ser percorridos 810 km com 45 litros de gasolina. 
b. A motocicleta gastará 22,5 L para percorrer 405 km. 
c. As grandezas “litro de gasolina” e “distância percorrida” são diretamente 
proporcionais. 
 
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	 26 
20. 
a. A motocicleta gastará 10 horas para percorrer a mesma distância. 
b. As grandezas “velocidade” e “tempo” são inversamente proporcionais. 
21. Esse chuveiro encheria uma banheira com capacidade de 2 400 litros 
em 57 min e 36 s. 
22. Seriam necessários 125 ladrilhos de 900 cm2 para recobrir o quintal. 
23. O tanque ficaria cheio em 59 min e 12 s. 
24. Em condições normais, o avião realiza essa viagem em 675 km/h. 
25. 
a. Os pedreiros construiriam um muro de 4 m de altura e 50 m de 
comprimento em 32 dias. 
b. As grandezas “comprimento do muro” e “número de dias” são 
diretamente proporcionais. 
c. As grandezas “altura do muro” e “número de dias” são diretamente 
proporcionais. 
26. 
a. O automóvel faria o mesmo percurso em 4 dias. 
b. As grandezas “horas por dia” e “número de dias” são inversamente 
proporcionais. 
c. As grandezas “velocidade” e “número de dias” são inversamente 
proporcionais. 
27. Nesse mesmo ritmo de colheita, serão colhidas 180 caixas de laranjas. 
28. A viagem entre as duas cidades seria feita em 6 dias. 
29. As funcionárias passaram a trabalhar 9 horas por dia. 
30. A Pousada Primavera cobrou R$ 2 520,00 das 3 pessoas para hospedá-
las por uma semana. 
31. Fechando uma das torneiras, as outras despejarão 3 000 L no tanque 
em 9 horas. 
32. Seriam produzidos 2 025 m de tecido. 
 
 
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	 27 
Exercícios extras 
 
33. 
a. Quando a quantidade de tecido triplica, o número de uniforme também 
triplica. 
b. O número de uniformes aumenta na razão 2
6
 = 1
3
. 
c. Sim, porque a quantidade de tecido e a quantidade de uniformes 
aumenta na mesma razão: 5
15
 = 2
6
 = 1
3
. 
34. 
a. Entre o espaço percorrido e o tempo existe proporcionalidade direta. 
b. O fator de proporcionalidade é 12. 
35. 
 
Funcionários 
(número) 
Quantia recebida por 
funcionário (em R$) 
2	 5 000,00 
4 2 500,00 
8 1 250,00 
10 1 000,00 
16 625,00 
 
36. As partes da corda tem 30 m, 40 m e 50 m. 
37. O primeiro sócio receberá R$ 30 000,00, o segundo R$ 20 000,00 e o 
terceiro R$ 12 000,00. 
38. Leila recebeu R$ 1 600,00 e Jorge recebeu R$ 1 200,00. 
39. O primeiro pintor recebeu R$ 1 500,00, o segundo recebeu R$ 1 200,00 
e o terceiro recebeu R$ 2 500,00. 
40. O corretor que vendeu mais apartamentos recebeu R$ 54 000,00. 
41. Para produzir 2 400 pães serão necessários 60 kg de farinha. 
42. Em 30 dias esse relógio atrasará 150 min. 
43. Duas torneiras levariam 45 minutos para encher o mesmo tanque. 
44. O avião levaria 4 horas para percorrer a mesma distância se sua 
velocidade fosse 700 km/h. 
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45. Seriam necessárias 900 peças para revestir um piso de 10 metros de 
comprimento por 9 metros de largura. 
46. 
a. Se ela lesse 120 páginas por dia, ela levaria 2 dias para ler o livro 
completamente. 
b. Se ela desejasse ler o livro em 8 dias, ela teria de ler, em média, 30 
páginas por dia. 
c. As grandezas “número de páginas por dia” e “tempo” são inversamente 
proporcionais. 
47. 
a. Se as horas de produção diária fossem duplicadas, seriam fabricados 
1 200 carros por dia. 
b. Para produzir diariamente 300 carros novos a montadora deverá operar 
por 4,5 horas por dia. 
48. O comprimento da imagem ampliada, para que não haja distorção, deve 
ser 2,1 m. 
49. 
a. Serão produzidas 1 680 peças. 
b. As grandezas “número de operários” e “quantidade de peças” são 
diretamente proporcionais. 
c. As grandezas “número de dias” e “quantidade de peças” são diretamente 
proporcionais. 
50. Eles digitariam 800 páginas em 15 dias. 
51. O pneu perderá 9 p.s.i de pressão em 5 dias. 
52. A nova equipe asfaltaria a estrada em 12 dias. 
53. O relatório tem 25 páginas. 
54. O barril ficará cheio em 1h e 30 min. 
55. Com a ração que tem, Rita poderá alimentar os cães por 12 dias. 
56. 
a. A órbita terrestre em 946 728 000 km. 
b. O ano terrestre duraria 243 dias e 12 horas. 
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Lista 43 
Bibliografia 
 
• MORI, Iracema; ONAGA, Dulce Satiko. Matemáticas: ideias e desafios, 
7º ano. 18ª edição. São Paulo: Saraiva, 2015. 
• GALDONNE, Linos. Projeto Apoema Matemática 7. 2ª edição. São Paulo: 
Editora do Brasil, 2015.