matematica basica

Prévia do material em texto

Matemática Básica
SIRLEI ALVES CHAVES
1ª Edição
Brasília/DF - 2018
Autores
Sirlei Alves Chaves
Produção
Equipe Técnica de Avaliação, Revisão Linguística e 
Editoração
Sumário
Organização do Livro Didático........................................................................................................................................4
Introdução ..............................................................................................................................................................................6
Capítulo 1
Conjuntos Numéricos ...................................................................................................................................................9
Capítulo 2
Produtos Notáveis e Frações .................................................................................................................................. 20
Capítulo 3
Potenciação, Radiciação e Racionalização ......................................................................................................... 27
Capítulo 4
Razão, Proporção e Regra de três (simples e composta) .............................................................................. 36
Capítulo 5
Matemática Básica e suas aplicações nas finanças ........................................................................................ 47
Capítulo 6
Matemática básica e suas aplicações em Estatística ..................................................................................... 61
Referências .......................................................................................................................................................................... 68
4
Organização do Livro Didático
Para facilitar seu estudo, os conteúdos são organizados em capítulos, de forma didática, objetiva e 
coerente. Eles serão abordados por meio de textos básicos, com questões para reflexão, entre outros 
recursos editoriais que visam tornar sua leitura mais agradável. Ao final, serão indicadas, também, 
fontes de consulta para aprofundar seus estudos com leituras e pesquisas complementares.
A seguir, apresentamos uma breve descrição dos ícones utilizados na organização do Livro Didático.
Atenção
Chamadas para alertar detalhes/tópicos importantes que contribuam para a 
síntese/conclusão do assunto abordado.
Cuidado
Importante para diferenciar ideias e/ou conceitos, assim como ressaltar para o 
aluno noções que usualmente são objeto de dúvida ou entendimento equivocado.
Importante
Indicado para ressaltar trechos importantes do texto.
Observe a Lei
Conjunto de normas que dispõem sobre determinada matéria, ou seja, ela é origem, 
a fonte primária sobre um determinado assunto.
Para refletir
Questões inseridas no decorrer do estudo a fim de que o aluno faça uma pausa 
e reflita sobre o conteúdo estudado ou temas que o ajudem em seu raciocínio. 
É importante que ele verifique seus conhecimentos, suas experiências e seus 
sentimentos. As reflexões são o ponto de partida para a construção de suas 
conclusões.
5
ORgaNIzaçãO DO LIvRO DIDátICO
Provocação
Textos que buscam instigar o aluno a refletir sobre determinado assunto antes 
mesmo de iniciar sua leitura ou após algum trecho pertinente para o autor 
conteudista.
Saiba mais
Informações complementares para elucidar a construção das sínteses/conclusões 
sobre o assunto abordado.
Sintetizando
Trecho que busca resumir informações relevantes do conteúdo, facilitando o 
entendimento pelo aluno sobre trechos mais complexos.
Sugestão de estudo complementar
Sugestões de leituras adicionais, filmes e sites para aprofundamento do estudo, 
discussões em fóruns ou encontros presenciais quando for o caso.
Posicionamento do autor
Importante para diferenciar ideias e/ou conceitos, assim como ressaltar para o 
aluno noções que usualmente são objeto de dúvida ou entendimento equivocado.
6
Introdução
Este livro de estudo se destina aos alunos do curso de graduação a distância da 
Faculdade Unyleya. Dessa forma, são apresentados alguns conceitos e definições 
fundamentais da disciplina Matemática Básica, tendo como objetivo principal 
aplicá-los na resolução de problemas característicos. Acredita-se que, a partir dos 
temas apresentados, os futuros getores possam adquirir subsídios matemáticos para 
construir uma prática que atenda às novas demandas do mercado de trabalho, isto 
é, que vai além do nível descritivo. Sempre que possível, ao longo deste Livro de 
Estudos, são postas algumas questões relativas aos conceitos apresentados a fim de 
conectá-las a uma abordagem da Gestão. Assim, articulam-se teoria e prática para 
estabelecer conceitos e significar objetos matemáticos. A apresentação dos temas 
ocorre de forma simples, clara e objetiva e, sempre que possível, é associada a 
exemplos e a contextos relacionados à realidade de um gestor. Vale ressaltar que não 
há a preocupação de esgotar completamente os conceitos abordados, embora estejam 
incluídas referências bibliográficas para aqueles que desejam aprofundar e estudar 
mais detalhadamente as noções apresentadas.
Seja bem-vindo à disciplina de Matemática Básica. O objetivo central desta disciplina 
é apresentar ferramentas matemáticas que sirvam como instrumentos de análise, 
de crítica e de intervenção, a fim de ajudar os futuros gestores a analisar situações, 
a definir, explicitar e adotar opções para a resolução de problemas, considerando 
sempre múltiplas alternativas para a tomada de decisões acertivas diante do problema 
que se tem.
Sendo assim, nesta disciplina, os assuntos estudados assumem caráter formativo 
e aplicativo, no âmbito da própria matemática e também num âmbito mais geral. 
Num primeiro momento, será feita a apresentação de conjuntos numéricos, 
subconjuntos e intervalos.
Você perceberá, ao longo dos capítulos, uma ênfase na resolução de problemas, 
que utilizam estratégias de resolução diferenciadas e que visam à compreensão 
de conceitos, definições e regras pertinentes aos objetos matemáticos propostos 
em cada capítulo.
7
Objetivos
Este Livro Didático tem como objetivos:
 » Servir de instrumento de reflexão, discussão e problematização em torno de 
temas e questões fundamentais na prática dos Gestores.
 » Proporcionar aos futuros gestores oportunidades no manuseio de equações 
e fórmulas matemáticas para os interessados em ultrapassar o nível apenas 
descritivo das situações problema, ou seja, utilizar a matemática como uma 
ferramenta que apresenta alternativas e que contribui racionalmente para a 
tomada de decisões em diferentes momentos de um processo de gestão.
8
9
Introdução
Neste capítulo, trataremos de classificar os conjuntos numéricos. Os conjuntos 
numéricos são uma parte essencial da Matemática, notadamente no contexto de 
aplicação a outros campos de estudo. Atualmente tais conjuntos englobam os 
números naturais, inteiros, racionais, reais e complexos, denotados respectivamente 
por ℕ, ℤ, ℚ, , ℝ e .
Tenha uma bom capítulo!
Objetivos
 » Fazer operações com os números em todos os conjuntos numéricos. 
 » Aplicar as operações em conjuntos numéricos na resolução de problemas.
Números naturais
Os números naturais indicam uma contagem, uma ordem ou um 
código. A sequência dos números naturais é: 0 , 1 , 2 , 3 , . . . , e o 
conjunto que representa esta sequência de números é denotado 
pelo símbolo ℕ : 
Exemplo: ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11...}
Dados dois números naturais w e y podemos ter:
1CAPÍTULOCONJUNtOS NUMÉRICOS
10
CAPÍTULO 1 • CONJUNtOS NUMÉRICOS
w = y ou w > y (leia: w maior que y) ou w < y (leia: w menor que y), sendo que:
w > y ⇔ (w – y) ∈ *
w < y ⇔ (w – y) ∉ 
Exemplos:
a. 8 > 5 = 8 – 5 = 3 e 3 ∈ *
b. 6 < 11 = ((6 – 11 = 5)∉ 
c. {x ∈ | x > 4} = {5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}
d. {x ∈ | x > 4} = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}
e. {x ∈ | x < 7} = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
f. {x ∈ | x < 7} = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
g. {x ∈ | 10 < x < 15} = {11, 12, 13, 14}
Números inteiros
Com opassar dos tempos, os números naturais tornaram-se insuficientes 
para a resolução de todos os problemas matemáticos e, na busca de 
suprir essas necessidades, foi criado o conjunto dos números inteiros, 
que é composto pelos números naturais (inteiros positivos e o zero) 
e os números inteiros negativos. O conjunto dos números naturais é 
denotado pelo símbolo ℤ. 
Exemplo: ℤ = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, +5 ...}
São subconjuntos impontantes de ℤ:
ℤ – conjunto dos inteiros não nulos: {..., -5, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 5 ...}
ℤ+* – conjunto dos inteiros positivos: {1, 2, 3, 4, 5 ...}
ℤ -* – c cconjunto dos inteiros negativos: {..., -5, -4, -3, -2, -1}
ℤ+ – conjunto dos inteiros não negativos: {1, 2, 3, 4, 5 ...}
ℤ- – conjunto dos inteiros não positivos: {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0}
11
CONJUNtOS NUMÉRICOS • CAPÍTULO 1
Para dois números inteiros w e y, temos:
w > y ⇔ (w – y) ∈ ℤ+* 
w < y ⇔ (w – y) ∉ ℤ -* 
Observe que: 
w > 0 ⇔ w é positivo w ∈ ℤ+* 
w < 0 ⇔ w é negativo w ∉ ℤ -* 
Exemplos:
a. 5 > – 7 = (5 – (– 7) = 5 + 7 = 12 > 0)
b. – 3 > – 8 = (– 3 – (–8) = – 3 + 8 = 5 > 0)
c. {x ∈ ℤ | – 5 < x < 2} = {- 5, - 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2}
d. {x ∈ ℤ | – 5 < x < 2} = {- 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1}
e. {x ∈ ℤ | x < 2} = {...,- 5, - 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1}
f. {x ∈ ℤ | x > –3} = {- 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}
Pode-se observar que o conjunto dos números naturais é um subconjunto do 
conjunto dos números inteiros. Nesse caso, diz-se que ℕ está contido em ℤ, em 
símbolos, ℕ ⊂ ℤ.
Números racionais
Todo número racional é do tipo a
b
 , com a e b inteiros, sendo b ≠ 0. Fazem 
parte desse conjunto: os números naturais, inteiros positivos/negativos, 
decimais, as frações e as dízimas periódicas. 
Frações, dízimas periódicas e números decimais finitos são exemplos 
de números racionais. Todos esses números têm uma característica 
em comum, ou seja, podem ser escritos como uma razão entre dois 
números inteiros. Sendo assim, representando o conjunto dos números racionais 
pelo símbolo ℚ.
Exemplo: ℚ = { ..., -3, -2,5, -1, 0, + 1
2
, +1, +1,8, +2 ...}
12
CAPÍTULO 1 • CONJUNtOS NUMÉRICOS
Exemplos:
a. 
80,8 , pois 0,8 
10
∈ =
b. 
2612,61 , pois 2,61 
100
− ∈ − =
c. 
41,333 , pois1 ,333 
3
…∈ … =
Um número racional escrito na forma decimal pode apresentar finito de casas decimais 
(decimal exato) ou ainda infinito períodico (dízimas períodicas). Note que todo número 
inteiro é racional:
Figura 1. Notação de conjuntos.
Fonte: Criação o autor.
O número w
y
, racional também é chamado de razão w para y.
Para verificar se duas razões são iguais, basta aplicarmos a regra da “multiplicação em cruz”:
 w x wz yx
y z
= ⇔ =
Logo, a soma, subtração, multiplicação e divisão de dois números racionais será sempre 
um número racional, vejamos:
13
CONJUNtOS NUMÉRICOS • CAPÍTULO 1
 w x wz yx
y z yz
+
+ =
 w x wz yx
y z yz
−
− =
. w x wx
y z yz
=
: . w x w z wz
y z y x yx
= =
Exemplos:
a. 
6 20 180 6 . 9 . 20 6 180 30 
9 6
x x x x
x
= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =
b. 3 7 18 35 53 
5 6 30 30
+
+ = = 
c. 9 3 9 8 72: . 6 
 4 8 4 3 12
⇔ ⇔ =−
− − −
 
Números irracionais
Os números racionais podem ser obtidos por meio da razão entre dois 
números inteiros, isto é, pelas divisões indicadas por pq , sendo p e q inteiros 
e q diferente de zero. 
Porém, existem números que estão fora dos padrões descritos acima, ou seja, 
apresentam representação decimal infinita e não periódica. Nesse caso, tais 
representações não podem ser dadas por meio da divisão entre dois números inteiros. Logo, 
esse número não é racional.
Os números irracionais não podem ser representados por uma fração, pois possuem infinitas 
casas decimais e, por esse motivo, não apresentam período. Os números irracionais são 
considerados uma dízima não periódica. 
Exemplo: = { -2,345, ...., -1,452, ...., 1,679}
Números reais
O conjuntos dos números reais são formados por todos os números com 
representação decimal, ou seja, com casas decimais exatas ou periódicas 
(números racionais) e casas decimais não exatas e não periódicas (números 
irracionais). O símbolo do conjunto dos números reais é o ℝ.
Desse modo, o conjunto dos números reais (ℝ) é formado pela união do conjunto dos 
números racionais (ℚ) com o conjunto dos números irracionais ( ).
14
CAPÍTULO 1 • CONJUNtOS NUMÉRICOS
Soma, subtração, multiplicação e divisão, quando for possível a divisão, de dois números 
reais sempre terão como resultado um número real. A adição e a multiplicação em números 
reais seguem as seguintes propriedades:
1. Comutativa:
 , x e y x y y xe xy yx∀ ∈ ∀ ∈ + = + =  
2. Associativa:
( ) ( ) ( ) ( ), , x y e z x y z x y z e xy z x yz∀ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈ + + = + + =   
3. Elemento neutro:
, 0 .1 x x xe x x∀ ∈ + = = 
4. Inverso adtivo (oposto) e inverso multiplicativo (inverso):
( ) ( ), | 0x x x x∀ ∈ ∃ − ∈ + − = 
* *1 1, | . 1x x
a x
 ∀ ∈ ∃ ∈ = 
 
 
5. Distributiva:
( ), , x y e z x y z xy xz∀ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈ + = +   
Exemplos:
a. O oposto de 3 3 
5 5
é − . O inverso de 3 5 5 3
é − .
b. O oposto de 
2 2 
5 5
é− + . O inverso de 2 5 
5 2
é−
c. O oposto de 8 5 8 5é− − + . O inverso de 
18 5 
8 5
é−
−
Vejamos alguns subconjunto dos números reais.
ℝ+ – conjunto dos reais não negativos, isto é, somente os números positivos.
Exemplo: { | 0}x x+ = ∈ ≥ 
Importante
Nos exemplos b e c, obrigatoriamente temos que racionalizar, no entanto só veremos como fazê-lo no capítulo 3, 
racionalização.
15
CONJUNtOS NUMÉRICOS • CAPÍTULO 1
− – conjunto dos reais não positivos, isto é, somente os números negativos.
Exemplo: { | 0}x x− = ∈ ≤ 
ℝ* – conjunto dos reais não nulos, isto é, sem o zero.
Exemplo: * { | 0 0}x x e x= ∈ < > 
ℝ+* –conjunto dos reais positivos não nulos.
Exemplo:
 
* { | 0}x x+ = ∈ > 
ℝ-* – conjunto dos reais negativos não nulos.
Exemplo: * { | 0x x− = ∈ < 
Figura 2. Representação dos conjuntos numéricos.
Fonte: Elaborada pelo autor.
Em que temos: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ e ⊂ ℝ, com ℚ ∪ = ∅ 
Sintetizando
Resumo das notações utilizadas:
Conjunto dos números naturais: ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 , 7, 8, 9, 10, ...}
Conjunto dos números naturais, com execeção do zero: ℕ* = {1, 2, 3, 4, 5, 6 , 7, 8, 9, 10, ...}
Conjunto dos números inteiros: ℤ = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
Conjunto dos números inteiros não nulos: ℤ* = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 5, ...} = ℤ - {0}
Conjunto dos números inteiros não negativos: ℤ+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} 
Conjunto dos números inteiros positivos: ℤ+* = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
16
CAPÍTULO 1 • CONJUNtOS NUMÉRICOS
a reta real
Os números reais podem ser representados por pontos de uma reta.
Figura 3. Reta real.
Fonte: Elaborada pelo autor.
A reta acima que representa ℝ é chamada reta real, na qual os números estão ordenados. 
Um número a é menor que qualquer número x colocado à sua direita e é maior que qualquer 
número x à sua esquerda.
Intervalos reais
Alguns subconjuntos de ℝ podem ser representados de forma “simplificada”, isto é, são 
subconjuntos definidos por desigualdades. Para observarmos os diferentes tipos de 
intervalos reais, consideramos os números reais a e b, tal que a < b, define-se:
Conjunto dos números inteiros não positivos: ℤ- = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0}
Conjunto dos números inteiros positivos: ℤ -* = {..., -5, -4, -3, -2, -1}
Conjunto dos números racionais: ℚ = { a
b
 a ∈ ℤ e b ℤ*}
atenção
Representação de um conjunto
Um conjunto pode ser denotado por meio de letras maiúsculas, como A, B, C etc., e seus elementos por letras 
minúsculas, como a, b, c etc.
Existem três formas fundamentais de representação de um conjunto:
 » Representação tabular: nesse caso, os elementos são apresentados entre chaves e separados por vírgulas.
 » Representação por meio de diagrama de Venn: os elementos são simbolizados por pontos interiores a uma região 
plana, delimitada por uma linha fechada que não se entrelaça.» Representação por uma propriedade: nessa representação, os elementos de um conjunto A são descritos por meio 
de uma propriedade P que os determina.
Exemplos:
A = {a, e, i, o, u} (representação tabular) A = {x| x é vogal} (representação por meio de uma propriedade).
17
CONJUNtOS NUMÉRICOS • CAPÍTULO 1
Figura 4. Intervalos reais.
Fonte: Paiva (2010). 
Vejamos a seguir alguns exemplos de intervalos:
atenção
O símbolo ∞ significa “infinito”.
A “bolinha cheia” (•) em um extremo do intervalo indica que o número associado a esse extremo pertence ao 
intervalo.
A “bolinha vazia” (o) em um extremo do intervalo indica que o número associado a esse extremo não pertence ao 
intervalo.
O intervalo sempre será aberto nos extremos + ∞ e - ∞.
Os quatro primeiros exemplos de intervalos da tabela são chamados de intervalos limitados. 
18
CAPÍTULO 1 • CONJUNtOS NUMÉRICOS
Quadro 1. Exemplos de intervalos.
Representação da reta real Sentença matemática Noções simbólicas
Intervalo aberto
{ }|x a x b∈ < < ]a,b[ (a,b)
Intervalo fechado
{ }|x a x b∈ ≤ ≤ [a,b] [a,b]
Intervalo semiaberto à direita
{ }|x a x b∈ ≤ < [a,b[ [a,b)
Intervalo semiaberto à esquerda
{ }|x a x b∈ < ≤ ]a,b] (a,b]
Fonte: Elaborada pelo autor.
Dados dois intervalos, pode-se definir entre eles as operações de união, interseção e 
diferença. Observe os exemplos a seguir.
Dados os intervalos: A = ]5, 9], B = [7, 11], C = ] -2, + ∞ [ e D = ] - ∞, 8], segue que:
a. A ∪ B
Portanto: A ∪ B = ]5, 11]
b. A ∩ B
Portanto: A ∩ B = [7, 9]
c. C – D
Portanto: C – D = ]-8, + ∞[
19
CONJUNtOS NUMÉRICOS • CAPÍTULO 1
Sintetizando
Vimos até agora:
 » Classificação de um número como número natural, inteiro, racional, irracional ou real.
 » Relação dos conjuntos numéricos por meio da relação de inclusão.
20
Introdução
Neste capítulo, apresentaremos três tipos de produtos notáveis, conhecidos como 
quadrado da soma de dois termos, quadrado da diferença de dois termos e produto da 
soma pela diferença de dois termos. Também dedicaremos atenção às frações, ensinando-
lhe operações e praticando a simplificação de frações algébricas. Temas convergentes, 
os produtos notáveis são utilizados para simplificar frações.
Reserve um momento tranquilo para esta leitura e, principalmente, para a resolução dos 
problemas e das atividades de aprendizagem.
Sempre que sentir dificuldade, retorne aos conceitos e exemplos apresentados ou contate 
seu Professor.
Bons estudos!
Objetivos
 » Apresentar as propriedades de produtos notáveis.
 » Estudar frações: frações equivalentes; comparação de frações; operações com 
frações. 
Produtos notáveis 
Os produtos notáveis são as operações mais famosas da Matemática e seu uso simplifica 
cálculos, diminui o tempo de resolução dos problemas e otimiza aprendizados. Por isso, são 
realmente notáveis! 
Em muitas expressões matemáticas, é comum chegarmos a algo como (x + 5)2 e, então, 
precisarmos calcular o produto (x + 5)⋅(x + 5).
2CAPÍTULOPRODUtOS NOtávEIS E FRaçÕES
21
PRODUtOS NOtávEIS E FRaçÕES • CAPÍTULO 2
Esses produtos são denominados produtos notáveis. 
Primeiro produtos notável
Observe o produto notável (a + b)2. É chamado de produto notável do quadrado da 
soma de dois termos e, sempre que o vemos no meio de uma expressão, podemos 
substituí-lo por: a2 + 2ab + b2, ou seja, o quadrado da soma de dois termos é igual ao 
quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo, 
mais o quadrado do segundo termo.
Provavelmente você pode estar se perguntando: como chegamos a essa propriedade? 
É o que veremos a seguir!
Para calcular um número ao quadrado, multiplicamos esse número por ele mesmo, por 
exemplo: 32 = 3.3, que é igual a 9. Então, para calcular (a + b)2, multiplicamos (a + b) por 
(a + b), ou seja:
( ) ( ) ( )2 .a b a b a b+ = + +
. . . .a a a b b a b b+ + +
2 22 , a ab b pois ab ba+ + =
Portanto, é verdade que: ( )2 2 22a b a ab b+ = + + .
Vejamos alguns exemplos do primeiro produto notável:
 » ( )
2 2 2 24 2 . . 4 4 8 16x x x x x+ = + + ⇔ + +
 » ( ) ( ) ( )2 2 2 2 22 3 2 2 . 2 . 3 3 4 12 9x z x x z z x xz z+ = + + ⇔ + +
Conseguiu compreender a noção de produtos notáveis e o primeiro dos três tipos que 
vamos estudar nesta disciplina? Caso tenha restado alguma dúvida, não hesite em consultar 
seu Professor antes de seguir para o próximo tópico.
Segundo produto notável
O segundo produto notável é muito semelhante ao primeiro. Observe a expressão 
algébrica: ( )2 2 22a b a ab b− = − + . Logo:
( ) ( ) ( )2 .a b a b a b− = − −
( ) ( ) ( ) ( ). . . .a a a b b a b b+ − + − + − −
2 22a ab b− +
22
CAPÍTULO 2 • PRODUtOS NOtávEIS E FRaçÕES
Afinal, ( ) ( ) ( ) ( ) 2. . – . a b b a abe b b b− = − = − − = 
Percebeu a diferença entre os dois produtos notáveis apresentados? Muito bem! A única 
diferença é o sinal de menos. Então, o que foi apontado sobre o primeiro tipo de produto 
notável também é válido para o segundo, ou seja, o quadrado da diferença de dois termos é 
igual ao quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o produto do primeiro termo pelo 
segundo, mais o quadrado do segundo termo.
Vejamos alguns exemplos do segundo produto notável:
 » ( )2 2 2 24 2 . . 4 4 8 16x x x x x− = − + ⇔ − +
 » ( ) ( ) ( )2 2 2 2 22 3 2 2 . 2 . 3 3 4 12 9x z x x z z x xz z− = − + ⇔ − +
Entendeu? Se ainda tiver dúvidas, consulte seu professor antes de seguir para o tópico 
seguinte.
terceiro produto notável
O terceiro produto notável é conhecido como o produto da soma pela diferença de 
dois termos. Observe a expressão: ( ) ( ) 2 2.a b a b a b+ − = −
O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo 
(a) menos o quadrado do segundo termo (b).
Esse produto é muito fácil de ser calculado. Vejamos: 
( ) ( ) ( ) ( ). . . . .a b a b a a a b b a b a+ − = + − + + −
2 2a ab ba b− + +
2 2a b−
Vejamos alguns exemplos do terceiro produto notável:
 » ( ) ( ) 2 2 27 . 7 7 49x x x x+ − = − = −
 » ( ) ( ) 2 2 25 2 . 5 2 (5 ) 2 25 4x x x x− + = − = − 
23
PRODUtOS NOtávEIS E FRaçÕES • CAPÍTULO 2
Frações
Iniciamos este tópico com uma pergunta: o que é fração? Confira se seu entendimento 
está de acordo com o conceito a seguir.
Quando uma unidade, ou um todo, é dividido em partes iguais, uma dessas partes, ou a 
reunião de várias, forma o que chamamos de fração.
Para representar uma fração, são necessários dois números inteiros: o primeiro indica 
em quantas partes iguais foi dividida a unidade (ou o todo), dá nome a cada parte e é 
chamado denominador da fração; o segundo indica o número das partes que foram 
reunidas (ou tomadas da unidade) e é chamado numerador da fração. 
O numerador e o denominador constituem o que chamamos de termos da fração: ab 
indica a : b, sendo a (numerador) e b ( denominador) números inteiros e b diferente de 
zero (b ≠ 0).
Na fração 79 , o numerador é igual a 7, e o denominador é igual a 9, o que pode significar, 
por exemplo, que você cortou uma pizza em nove fatias iguais e serviu sete aos seus 
colegas.
Para numeradores a partir de 10, a leitura da fração terá a seguinte composição: 
devemos ler o numerador e o denominador acrescido da palavra “avos”. Por exemplo: 
1
12
 = um doze avos. Observe alguns exemplos de leitura no quadro abaixo:
Quadro 2. Leitura das frações.
Fração Leitura
1
2 Metade
9
10 Nove décimos
38
100 trinta e oito centésimos
Sintetizando
Vimos até agora as três propriedades dos produtos notáveis:
 » o quadrado da soma de dois termos: ( )
2 2 22a b a ab b+ = + + ;
 » o quadrado da diferença de dois termos: ( )2 2 22a b a ab b− = − + ;
 » o produto da soma pela diferença de dois termos: ( ) ( ) 2 2.a b a b a b+ − = − .
24
CAPÍTULO 2 • PRODUtOS NOtávEIS E FRaçÕES
Fração Leitura
9
7
Nove sétimos
5
20 Cinco vinte avos
Fonte: Elaborada pelo autor.
E aí, como está seu entendimento do conteúdo? O domínio do conteúdo é fundamental 
para a resolução dos exemplos práticos de frações que apresentamos a seguir.
Exemplo: Um livrode Contabilidade Gerencial tem 210 páginas. Uma aluna já leu 3
7
 
desse livro. Quantas páginas faltam para terminar a leitura?
Resolução: Esse é um típico exemplo de frações. Para resolvê-lo, prosseguimos assim:
3 3 210 630 210 90
7 7 7
xx = = =
Encontramos 3
7
 como sendo 90, ou seja, ela já leu 90 páginas do livro. Como o livro tem 
210 páginas, logo, 210 − 90 =120 é a resposta; portanto, ainda faltam 120 páginas para 
findar a leitura do livro.
Igualdade de frações 
Duas frações 
a ce
b d com b ≠ 0 e d ≠ 0 são iguais se e somente se a.d = b.c, ou seja, 
a c
b d
= 
↔ a.d = b.c, com b ≠ 0 e d ≠ 0.
O símbolo ↔ indica equivalência (leia “se e somente se”).
Nesses casos, dizemos que as frações a ce
b d
 são equivalentes. Vejamos alguns exemplos 
de igualdade de frações:
 »
5 10 
6 12
= , pois 5.12 = 6.10 = 60; logo, as frações 5 10 
6 12
e são equivalentes.
 »
3 9 
7 21
= , pois 3.21 = 7.9 = 63; logo, as frações 3 9 
7 21
e são equivalentes.
Operações com frações 
Nesta seção, serão apresentadas algumas operações com frações, como soma, diferença, 
produto e divisão de frações. Essas operações são importantes para simplificarmos as 
frações.
25
PRODUtOS NOtávEIS E FRaçÕES • CAPÍTULO 2
Soma e diferença de frações
Para fazer a soma ou a diferença entre frações, devemos primeiramente verificar se os 
denominadores são iguais. Se forem iguais, basta somar ou subtrair o numerador, pois 
estamos somando ou subtraindo partes iguais do inteiro. Dessa forma, o resultado será 
composto da seguinte maneira:
 » Numerador: somar os numeradores das frações.
 » Denominador: repetir o denominador, que é igual em todas elas.
Observe os exemplos:
 »
3 2 3 2 5 
8 8 8 8
+
+ = =
 » 5 3 5 3 2 
9 9 9 9
−
− = =
Quando os denominadores forem diferentes, devemos encontrar o mínimo múltiplo 
comum (MMC) e transformar em frações de mesmo denominador para, depois, efetuar 
as operações.
O MMC de dois ou mais números naturais, diferentes de zero, é dado pelo menor valor da 
intersecção dos conjuntos dos múltiplos desses números.
Por exemplo, obtenha MMC de 4, 6 e 8, ou seja, MMC (4, 6, 8). Inicialmente, escrevemos o 
conjunto dos múltiplos de 4, 6 e 8.
M4 = conjunto dos múltiplos de 4 = {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, ...}
M6 = conjunto dos múltiplos de 6 = {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, ...}
M8 = conjunto dos múltiplos de 8 = {8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, ...}
Agora, M4 ∩ M6 ∩ M8 = {24, 48, ...}. Portanto, MMC (4, 6, 8) = 24.
Exemplo: Simplifique a fração: 3 1 5 
4 6 8
+ + .
Resolução: aqui temos a soma de três frações; logo, o MMC de (4, 6, 8) é 24, ou seja, MMC 
(4, 6, 8) = 24. Então, a simplificação fica assim:
3 1 5 18 4 15 37 
4 6 8 24 24 24 24
+ + = + + =
Resposta: 3 1 5 37
4 6 8 24
+ + = 
26
CAPÍTULO 2 • PRODUtOS NOtávEIS E FRaçÕES
Produto de frações
O produto de frações implica a multiplicação do numerador com numerador e do 
denominador com denominador. Se necessário, simplifique o produto para facilitar o 
cálculo.
Para b e d diferentes de zero, temos: . a c ac
b d bd
= , em que o símbolo (.) indica o produto 
de . a cpor
b d
.
Por exemplo:
a. 5 4 5.4 20 . 
7 3 7.3 21
= =
b. 2 3 1 2.3.1 6 . . 
5 4 6 5.4.6 120
= =
Podemos simplicar a fração, exemplo b, da seguinte forma, 
6 6 1 
120 6 20
÷
=
÷ . Vale ressaltar 
que, ao simplificar uma fração, o mesmo número deve dividir tanto o numerador 
quanto o denominador.
Divisão de frações
Na divisão de frações, vamos multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda e, se 
necessário, vamos simplificá-las.
As frações a ce
b d
 , com b, c e d diferentes de zero, tem a divisão entre si dada por:
. . 
.
a
a d a db
c b c b c
d
= =
Vejamos alguns exemplos:
a. 
3
3 7 3.7 215 . 4 5 4 5.4 20
7
= = =
b. 
2
2 14 2.14 287 . 3 7 3 7.3 21
14
= = = , simplificando, temos: 
28 7 4 
21 7 3
÷
=
÷
Sintetizando
Vimos até agora:
 » Representação matemática das frações, fazendo uso das quatro operações matemáticas, soma, subtração, 
multiplicação e divisão.
27
Introdução
Neste capítulo, veremos o estudo da potenciação, radiciação e racionalização, 
dedicando-se a interpretar e a escrever seus t ipos e suas propriedades, com o 
propósito de realizar diferentes operações.
Lembre-se de que você está revendo e reconstruindo um saber matemático que o 
acompanhará sempre e o ajudará a solidificar sua vida profissional. Se o conteúdo-base 
não for plenamente compreendido, você terá mais dificuldades em sua jornada acadêmica, 
por isso não hesite em contatar colegas de turma e, principalmente, seu Professor.
Bons estudos!
Objetivos
 » Compreender os conceitos de potenciação, aplicação das propriedades. 
 » Identificar os elementos da radiação. Exemplos de resolução de expressões 
utilizando as propriedades da radiciação.
 » Racionalizar denominadores com radicais. 
Potenciação
A ideia de potência é muito antiga, e suas aplicações facilitam a vida do homem, 
auxiliando-o em diferentes tarefas e tornando possíveis muitas representações matemáticas 
com elevado grau de complexidade.
A potenciação, ou potência, é uma ferramenta útil para simplificar cálculos com números 
grandes e é assim entendida graças às suas propriedades. Os números envolvidos em uma 
multiplicação são chamados de fatores, e o resultado da multiplicação é o produto.
3
CAPÍTULO
POtENCIaçãO, RaDICIaçãO E 
RaCIONaLIzaçãO
28
CAPÍTULO 3 • POtENCIaçãO, RaDICIaçãO E RaCIONaLIzaçãO
Quando os fatores são todos iguais, a forma de fazer a representação dessa multiplicação é por 
meio da potenciação. . . .na a a a= … , ou seja, n vezes. 
Potência de grau n de um número a é o produto de n fatores iguais a a, ou seja: a é a base da 
potência; e n é o expoente da potência.
Por exemplo: 64 = 6.6.6.6 = 1.296 (leia-se: seis elevado à quarta potência).
Em que:
6 é a base (fator que se repete);
4 é o expoente (indica o número de fatores iguais); e
1.296 é a potência.
Vejamos outros exemplos:
a. 
32 2 . 2 . 2 8= =
b. ( ) ( ) ( )
27 7 . 7 49− = − − = 
c. 
23 3 . 3 9− = − − = −
d. 
24 4 4 16 . 
5 5 5 25
  = = 
 
Casos particulares
Vamos ver e/ou rever alguns tipos de pontenciação:
 » Potência com expoente inteiro positivo – Qualquer número a ≠ 0 elevado ao expoente 
1 é igual ao número a, ou seja, a1 = a. Por exemplo:
17 7=
( )14 4− = −
13 3
5 5
   =   
   
29
POtENCIaçãO, RaDICIaçãO E RaCIONaLIzaçãO • CAPÍTULO 3
 » Potência com expoente nulo – Qualquer número a ≠ 0 elevado ao expoente zero é 
igual a 1, ou seja, a0 = 1.
010 1=
( )0250 1 − =
05 1
3
  = 
 
 » Potência com expoente negativo – Qualquer número a ≠ 0 elevado ao expoente 
negativo n, em que n é um número inteiro e positivo, é igual 1
na
, ou seja, 1n
na a
− =
. Por exemplo:
2
2
1 13 
3 9
− = =
2
2
1 1( 4) 
( 4) 16
−− = =
−
 » Potência de um número racional com expoente inteiro positivo – Se a ≠ 0, b ≠ 0 e 
n é um número inteiro positivo, logo, 
n na b
b a
−
   =   
   
, vejamos:
3 3 3
3
2 3 3 27 
3 2 2 8
−
   = = =   
   
2 2 2
2
4 7 7 49 
7 4 4 16
−
   = = =   
   
 » Potência de base 10 – Toda potência de base 10 é igual a 1, seguida de tantos zeros 
quantas forem as unidades do expoente. Por exemplo:
110 10=
210 100=
310 1000=
As potências apresentam algumas aplicações em nosso dia a dia. Por exemplo, os cálculos que 
envolvem juros compostos são desenvolvidos baseados na potenciação das taxas de juros. 
Observe a resolução do exemplo a seguir.
Exemplo: um capital de R$ 1.500,00 foi aplicado a uma taxa de 1% ao mês, durante 
cinco meses, no regime de juros compostos. Determine o valor a ser recebido após o 
tempo da aplicação. Resolução: essa é uma situação que envolve juros compostos, por 
30
CAPÍTULO 3 • POtENCIaçãO, RaDICIaçãO E RaCIONaLIzaçãO
isso ocorre acumulação de capital (C), que deverá ser expressa por uma potenciação 
cujo número de meses (n) corresponderá ao expoente,e a base será representada pela 
taxa (i). A fórmula para calcular o montante (M) nos juros compostos é:
M = C x (1 + i)n, em que a base é (1 + i) e o exponte é n. Ao substituir o capital de 1.500,00, a 
taxa 1% e o tempo da aplicação (5 meses) na fórmula do montante, teremos:
M = C x (1 + i)n
M = 1500 x 
511 
100
 + 
 
M = 1500 x (1 + 0,01)5 
M = 1500 x (1,01)5 
M = 1500 x 1,0510
M = 1.576,52
Resposta: o valor a ser recebido após o tempo da aplicação é R$ 1.576,52.
Propriedades de potenciação
Veremos a seguir quatro propriedades de potenciação, utilizadas com bastante frequência 
em cálculos matemáticos, com as quais é possível resolver problemas que envolvem esse 
tipo de operação.
Potência de uma fração
Suponha a expressão 
32
5
 
 
 
, por definição temos: 
32 2 2 2 8 
5 5 5 5 125
x x  = = 
 
Assim, se b ≠ 0 é um número real, e n é um número inteiro positivo, então, 
n n
n
a a
b b
  = 
 
 , ou 
seja, calculamos a potência do numerador e do denominador. Por exemplo: 
3 3
3
5 5 125 
6 6 216
  = = 
 
2 2
2
2 2 4 
9 9 81
  = = 
 
4 4
4
3 3 81 
10 10 10000
  = = 
 
31
POtENCIaçãO, RaDICIaçãO E RaCIONaLIzaçãO • CAPÍTULO 3
Produto de potências de mesma base
Considere a expressão 42 x 45. Por definição de potência, temos: 4² x 45 = (4 x 4) x (4 x 4 x 
4 x 4 x 4) = 16.384.
Sendo assim, se a ≠ 0 é um número real, e m e n são números inteiros positivos, então am 
x an = am+n, ou seja, conservamos a base e somamos os expoentes. Vejamos:
2 5 2 5 72 2 2 2 128 x += = = 
2 3 2 3 5 5
5
3 3 3 3 3 243 
2 2 2 2 2 32
x
+
       = = = =       
       
Divisão de potência de mesma base
Considere a expressão 5
2
3
3
. Por definição de potências, temos:
 3
5
32 = 
3 𝑥𝑥 3 𝑥𝑥 3 𝑥𝑥 3 𝑥𝑥 3
3 𝑥𝑥 3 = 
3 𝑥𝑥 3 𝑥𝑥 3
1 = 3
3 = 27 
 Logo, se a ≠ 0 é um número real, e m e n são números inteiros positivos, então, 
m
m n
n
a a
a
−= , 
ou seja, conservamos a base e subtraímos do expoente do numerador o expoente do 
denominador. Por exemplo:
4
4 2 2
2
5 5 5 25
5
−== = =
6
6 5 1 1
5 1
5
5 5 5 54 
4 4 4 45
4
−
 
       = = = =   
    
 
 
Potência de outra potência
Considere a expressão (52)3. Pela definição de potência, temos: (52)3 = 52 x 52 x 52 = (5 x 5) 
x (5 x 5) x (5 x 5) = 56 = 15.625.
Portanto, se a ≠ 0 é um número real, m e n são números inteiros positivos, então, (am)n = am.n, 
ou seja, conservamos a base e multiplicamos os expoentes. Por exemplo:
( )22 2.2 43 3 3 81= = =
23 3.2 6 6
6
2 2 2 2 64 
5 5 5 5 15625
      = = = =             
32
CAPÍTULO 3 • POtENCIaçãO, RaDICIaçãO E RaCIONaLIzaçãO
Radiciação
Para que possamos dar continuidade ao estudo de radiciação, é necessário que você 
tenha compreendido plenamente o estudo de potenciação, pois a radiciação é uma 
operação inversa da potenciação. Sendo assim, caso ainda restem dúvidas, volte ao 
tópico anterior, faça uma leitura atenciosa e contate seu Professor.
Imagine um número (x) que, elevado ao cubo ou à terceira potência, seja igual a 8. 
Ou seja, (x)3 = 8. Logo, esse número é o 2, pois 23 = 8. Essa é a operação inversa da 
potenciação, chamada radiciação.
Denomina-se raiz de índice n (ou raiz enésima) de a o número ou a expressão que, elevado 
à potência n, reproduz a. A raiz é representada pelo símbolo √. Sendo assim, podemos dizer 
que um número b é chamado de raiz enésima de um número a, isto é, n a b= , se e somente 
se a = bn. Em que:
√ → é o radical
a → é o radicando
b → é o radicando
n → é o índice da raiz, n ∈ e n ≥ 1 (leia n é maior ou igual a 1)
Vejamos alguns exemplos:
4 16 = 2, pois 24 = 16
3 27− = 3, pois (-3)3 = -27
5
32 2 
243 3
  = 
 
, pois 
5 5
5
2 2 32 
3 3 243
  = = 
 
A radiciação é uma operação que tem por finalidade, se fornecida à potência de um 
número e seu expoente, determinar qual é esse número. É muito utilizada para se obter 
soluções de equações e simplificação de expressões aritméticas e algébricas.
33
POtENCIaçãO, RaDICIaçãO E RaCIONaLIzaçãO • CAPÍTULO 3
As potências com expoente fracionário podem ser escritas em forma de radical, e o radical 
pode ser escrito em forma de potenciação com expoente fracionário. Por exemplo:
1
553 3=
4
3 4 35 5=
( )
1 21
22 2225 25 5 5 5= = = =
Propriedades da radiciação
As propriedades da radiciação auxiliam nos cálculos de expressões numéricas e equações 
que possuam raízes.
Expoente inteiro par
Se b ≥ 0 e n > 1 (leia maior que 1), e um inteiro par, então: ( ) 1 
nn
n nb b b b= = = , vejamos:
( )
44 14 415 1 5 1 5 15= = =
( )
88 18 821 21 21 21= = =
Expoente ímpar
Se b é um número real qualquer e n > 1 um número ímpar, então: ( ) 1 
nn
n nb b b b= = = , 
vejamos:
( )
33 13 327 27 27 27= = =
( )
99 19 977 77 77 77= = =
Índices inteiros e positivos
Se m, n, p são inteiros e n > 1, p > 1 e m > 1, então temos:
 . n n nab a b=
 , 
n
n
n
a a b c
b b
= ≠
34
CAPÍTULO 3 • POtENCIaçãO, RaDICIaçãO E RaCIONaLIzaçãO
( ) m n mn a a=
 p pnn a a=
Vejamos os exemplos abaixo:
3 3 38 . 27 8 . 27=
5
5
5
13 13 
8 8
=
( )2 3 23 15 15=
3 5 3 . 5 1530 30 30= =
Racionalização
Ao ouvir a expressão “racionalizar um denominador”, o primeiro pensamento que surge 
é “eliminar ou remover” a raiz do denominador de uma fração. Pois bem, isso não está 
errado, mas por que será que o nome dessa operação não é simplesmente “Eliminar a 
raiz de um denominador”?
Em alguns casos, você pode encontrar raízes no denominador da fração, situação que a 
torna irracional. Para prosseguir com os cálculos, é conveniente que você elimine essas 
raízes do denominador, por meio de um processo chamado racionalização.
Denominamos fração irracional toda fração constituída por um radical em pelo menos um 
de seus termos: numerador ou denominador, por exemplo: 3
5
9 4 47 25, , , . 
15 4915 3
Racionalizar uma fração é reescrevê-la sem raízes no denominador, ou seja, transformar um 
denominador irracional em racional. Sendo assim, a dica é multiplicar tanto o numerador 
(parte de cima) quanto o denominador (parte de baixo) por um mesmo número diferente 
de zero.
Qualquer número a ≠ 0 multiplicado por 1 é igual ao número a, ou seja, a x 1 = a, por exemplo: 
9 x 1 = 9, 4
3
 x 1 = 4
3
. E toda fração ab com a ≠ 0, b ≠ 0 e a = b é igual a 1, por exemplo: 
23 81, 1
23 8
= = .
Vamos relembrar alguns conceitos de produtos notáveis estudados na Unidade 2. Dizemos 
que (x + y) é conjugado de (x – y) porque (x + y) . (x – y) = x2 – y2.
35
POtENCIaçãO, RaDICIaçãO E RaCIONaLIzaçãO • CAPÍTULO 3
Assim: 
 » O conjugado da soma (x + y) é a diferença (x – y). 
 » O conjugado da diferença (x – y) é a soma (x + y).
Observe minuciosamente os exemplos de racionalização abaixo:
Exemplo 1: Racionalize a fração 1
3
.
Resolução: Multiplicamos ambos os termos da fração 1
3
 por 3 . Simplificando, temos:
( ) ( )2 2
1 1 3 1 . 3 3 3 . 
33 3 3 33
= = = =
Resposta: 3
3
Exemplo 2: Racionalize a fração 6
5 3−
.
Resolução: Multiplicamos ambos os termos da fração pelo conjugado do denominador. Nesse 
exemplo, o conjugado de 5 3− é 5 3+ , logo:
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )2 2
6 . 5 3 6 5 36 6 5 3 . 
5 3 5 3 5 3 5 3 . 5 3 5 3
+ ++
= = = =
− − + − + −
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2
6 5 3 6 5 3 6 5 3 6 5 3
 3 5 3 
5 3 225 95 3
+ + + +
= = = = +
−−−
Resposta: ( )3 5 3+
Sintetizando
Vimos até agora:
 » A representação de números na forma de potência facilita a representação de quantidades pequenas ou muito 
grandes.
 » A radiciação é uma operação inversa da potenciação, sendo utilizada para obter a solução de equações e 
simplificação de expressões algébricas. 
 » A racionalização de denominadores, por meio de conceitos de frações equivalentes.
36
Introdução
O que você vai aprender neste capítulo tem grande importância para a Matemática e 
para o seu cotidiano pessoal, acadêmico e profissional.Os assuntos são relacionados 
à aplicação dos conceitos de razão, proporção e porcentagem, por meio de problemas 
simples e rápidos, como o desconto numa loja em liquidação, e de problemas mais 
complexos relacionados à inflação ou à taxa de juros, por exemplo.
Leia atentamente este capítulo, pesquise os temas em diferentes suportes didáticos, 
interaja no AVA, resolva os problemas e exemplos disponibilizados e realize as 
atividades de aprendizagem propostas.
Bons estudos!
Objetivos
 » Introduzir os conceitos de razão e proporção, suas aplicações e resoluções de 
problemas.
 » Resolução de problemas com grandezas direta e inversamente proporciais, regra 
de três simples e composta.
Razão 
Razão é um conceito antigo, essencial ao conhecimento matemático e de grande 
importância para a compreensão de situações diárias, como a divisão de duas quantidades 
ou duas grandezas, tornando possível compararmos vários dados de um problema.
Na sociedade moderna, o conceito de razão é utilizado nos jornais e nas revistas para 
comunicar a concentração de pessoas em uma determinada cidade ou o fluxo de carros em 
um pedágio, por exemplo, além de estar presente nas mais variadas áreas de conhecimento.
4
CAPÍTULO
RazãO, PROPORçãO E REgRa DE tRÊS 
(SIMPLES E COMPOSta)
37
RazãO, PROPORçãO E REgRa DE tRÊS (SIMPLES E COMPOSta) • CAPÍTULO 4
Sendo a e b dois números racionais, com b ≠ 0, denominamos razão entre a e b ou razão de a 
para b o quociente ab ou a : b.
Vamos desenvolver o conceito de razão em alguns exemplos? Acompanhe a seguir.
Exemplo 1: O salário de João Carlos é de R$ 8.000,00, e o de Antonio é R$ 4.000,00. Qual a razão 
de um salário para outro?
Resolução: salário de João Carlos ÷ salário de Antonio.
Assim: 8000 2
4000
= .
Resposta: a razão desse exemplo pode ser lida como a razão de 8.000 para 4.000, ou 8.000 
está para 4.000, e é igual a 2, o que equivale a dizer que o salário de João Carlos é o dobro 
do salário de Antonio. Por meio da razão, estamos fazendo uma comparação de grandezas 
que, nesse caso, são os salários de João Carlos e Antonio. Portanto, a razão de um salário 
para outro é igual a 2.
Em toda razão, o primeiro número, a, é denominado antecedente, e o segundo número, b, 
é denomidado consequente.
Vejamos: suponha que, em determinada, reunião haja 35 pessoas, sendo 28 homens. 
O cálculo da razão entre o número de homens e o total de pessoas na reunião será 28
35
.
Exemplo 2: Dos 200 alunos entrevistados, 70 preferem o professor A. Isto é, 70 7 
200 20
= . Ou seja, 
de cada 20 alunos entrevistados, 7 preferem o professor A. 
Exemplo 3: Dos 1.200 inscritos para uma vaga de emprego, foram selecionados 240 candidatos. 
Isto é, 1200 1 
240 5
= . Ou seja, de cada 5 candidatos inscritos, 1 foi selecionado.
Exemplo 4: Para um concurso público, candidataram-se 48.500 pessoas para concorrer a 50 
vagas disponíveis. A razão 48500 970 970
50 135
= = , logo, 970 representa o número de candidatos 
por vaga (cada vaga está sendo disputada por 970 candidatos).
Importante
A inversa de uma razão, a
b
, com a ≠ 0 e b ≠ 0, é obtida trocando-se a posição dos termos da razão considerada; 
assim, a inversa da razão a bé
b a
. Por exemplo: a inversa da razão 5 7 
7 5
é .
38
CAPÍTULO 4 • RazãO, PROPORçãO E REgRa DE tRÊS (SIMPLES E COMPOSta)
Razões especiais 
A seguir, serão apresentadas razões especiais entre grandezas diferentes, levando-se 
em consideração situações práticas, tais como: velocidade média, consumo médio e 
densidade.
velocidade média
A velocidade média é a razão entre a distância percorrida e o tempo gasto em percorrê-la. 
Por exemplo: imagine que um ônibus fez o percurso Rio de Janeiro/RJ-Itaparica/BA (1.150 
km) em 12 horas e 30 minutos (lembre-se de que 12 horas e 30 minutos correspondem 
a 12,5 horas).
Qual a razão entre as medidas dessas grandezas e o que significa essa razão? Vejamos:
Razão = 1150 92 / .
12,5 
km km h
h
=
Ao fazer uso da razão, descobre-se que a cada hora foram percorridos 92 km em média.
Consumo médio
Ao calcular o consumo médio, define-se a média de consumo para dada distância. 
Suponha que seu irmão foi de Portao Alegra a Bento Gonçalves (184 km) de carro e 
gastou 16 litros de combustível nesse percurso. 
Qual a razão entre a distância percorrida e o combustível consumido? O que significa 
essa razão?
Razão = 184 11,5 / .
16 
km km litro
litros
= 
Portanto, a cada litro consumido foram percorridos 11,5 km em média, ou seja, o cálculo 
do consumo médio corresponde à distância percorrida dividida pelo combustível gasto.
Densidade demográfica
Densidade demográfica é a razão entre o número de habitantes de uma região e a área dessa 
região. Por exemplo, um determinado Estado do Sudeste, com área de 301.388 km2, em um 
de seus censos, teve sua população estimada em 15.672.176 habitantes. Determine a razão 
entre o número de habitantes e a área desse Estado. 
O que significa essa razão? Razão = 2
2
15672176 52 / .
301388 
hab hab km
km
= 
Essa razão significa que, em cada km2, existem 52 habitantes em média.
39
RazãO, PROPORçãO E REgRa DE tRÊS (SIMPLES E COMPOSta) • CAPÍTULO 4
Proporção
O estudo da proporção é de muita importância, pois todos os tópicos a serem 
desenvolvidos têm seu alicerce nas proporções. Além disso, fazemos uso delas em 
nosso dia a dia mesmo sem empregar os símbolos matemáticos.
Dados quatro números racionais a, b, c e d, não nulos, nessa ordem, dizemos que eles 
formam uma proporção quando a razão do primeiro para o segundo for igual à razão do 
terceiro para o quarto. Logo, a c
b d
= ou a : b e c : d, (leia-se: a está para b assim como c 
está para d; e a e c são denominados extremos, enquanto b e d são denominados meios).
Eis alguns exemplos de proporção:
6 54 
8 72
= é uma porporção, pois 6 : 8 = 54 : 72 (leia-se: 6 está para 8 assim como 54 está para 72.
10 20 
12 24
= é uma proporção, pois 10 : 12 = 20 : 24 (leia-se: 10 está para 12 assim como 20 está para 24.
14 28 
18 36
= é uma proporção, pois 14 : 18 = 28 : 36 (leia-se: 14 está para 18 assim como 28 está para 36.
Propriedades
Vejamos algumas propriedades fundamentais da proporção.
 » Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos:
 . . a c a d b c
b d
= ⇔ = 
Observe os exemplos abaixo:
4 8 4 .1 0 5 . 8
5 10
= ⇔ =
6 9 6 .1 2 8 . 9
8 12
= ⇔ =
Exercitando. O valor de x na proporção 4 20 
7 x
= é obtido da seguinte forma:
2 10 70 2 . 7 .1 0 2 70 35
7 2
x x x
x
= ⇔ = ⇔ = ⇔ = =
 » A soma (diferença) dos antecedentes está para a soma (diferença) dos 
consequentes, assim como cada antecedente está para o seu consequente, 
ou seja, numa proporção a c
b d
= , temos:
40
CAPÍTULO 4 • RazãO, PROPORçãO E REgRa DE tRÊS (SIMPLES E COMPOSta)
 
 
a c a a c c a c a a c cou e ou
b d b b d d b d b b d d
+ + − −
= = = =
+ + − −
Exemplo: na proporção 12 9 ,
16 12x
= temos:
12 9 12 12 9 9 12 9 12 12 9 9 , , , 
16 12 16 16 12 12 16 12 16 16 12 12
ou ou ou+ + − −= = = =
+ + − −
Números proporcionais 
Entre os números racionais, existem dois tipos de proporcionalidade: diretamente e 
inversamente.
Diretamente proporcional
Os números racionais a, b e c são diretamente proporcionais aos números racionais x, y e z 
quando temos: a b c k
x y z
= = = , e k é uma constante.
Exemplo 1: Verifique se os números 8, 20 e 60 são diretamente proporcionais aos números 16, 
40 e 120.
Resolução: temos a = 8, b = 20 e c = 60; x = 16, y = 40 e z = 120. Assim, temos: 8 1 20 1 60 1 , , 
16 2 40 2 120 2
= = =
Como 
8 20 60 
16 40 120
= = , os números 8, 20 e 60 são diretamente proporcionais aos números 
16, 40 e 120, e k = 12 .
Exemplo 2: Dois amigos da Secretaria Municipal de Finanças da Cidade de Bom 
Despacho, MG, apostaram juntos na loteria esportiva. O primeiro entrou com R$ 
280,00, e o segundo com R$ 440,00. Se eles ganharam um prêmio de R$ 324.000,00, 
quanto cada um recebeu?
Resolução: sejam:
x = valor do prêmio que o primeiro amigo recebeu;e
y = valor do prêmio que o segundo amigo recebeu.
Pelo enunciado, x está para 280,00 assim como y está para 440,00, e x + y = 324.000, ou seja:
 
280,00 440,00
x y
=
41
RazãO, PROPORçãO E REgRa DE tRÊS (SIMPLES E COMPOSta) • CAPÍTULO 4
Assim;
 
280,00 440,00 280,00 440,00 280,00 440,00
x y x y x y+
= ⇔ = =
+
324.000,00 324.000,00 
720,00 280,00 720,00 440,00
x you= =
Logo,
324.000,00 720 324.000,00 . 280,00 720 90.720.000,00
720,00 280,00
x x x= ⇔ = ⇔ =
90.720.000,00 1 26.000,00
720
x x= ⇔ =
Ou seja, x = 126.000,00.
Para saber o valor de y, temos: 
324.000,00 720 324.000,00 . 440,00 720 1 42.560.000,00
720,00 440,00
y y y= ⇔ = ⇔ =
142.560.000,00 1 98.000,00 
720
y y= ⇔ =
Ou seja, y = 198.000,00
Resposta: O primeiro amigo (x) recebeu R$ 126.000,00, e o segundo amigo (y) recebeu 
R$ 198.000,00.
Inversamente proporcional
Dizemos que os números racionais a, b e c são inversamente proporcionais aos números 
racionais x, y, e z quando temos:
x . a = y . b = z . c = k, e k é uma constante.
Exemplo: Verifique se os números 120, 30 e 16 são inversamente proporcionais aos números 
2, 8 e 15.
Resolução: temos a = 120, b = 30 e c = 16; x = 2, y = 8 e z = 15.
Logo, 120 . 2 = 240, 30 . 8 = 240, 16 . 15 = 240.
Resposta: Como 120 . 2 = 30 . 8 = 16 . 15 = 240, os números são inversamente proporcionais, 
e k = 240.
42
CAPÍTULO 4 • RazãO, PROPORçãO E REgRa DE tRÊS (SIMPLES E COMPOSta)
Regra de três simples e regra de três composta
A regra de três simples é um processo para a resolução de problemas que contenham 
quatro valores, mas somente três sejam conhecidos. É um procedimento que nos permite 
descobrir um valor a partir dos três já conhecidos. Podemos dizer também que é um 
método para a resolução de problemas com grandezas proporcionais; 
Já regra de três composta é uma técnica para a resolução de problemas com mais de 
duas grandezas. 
Se duas grandezas variam sempre na mesma razão, dizemos que essas grandezas são 
diretamente proporcionais. Quando variam sempre uma na razão inversa da outra, 
dizemos que essas grandezas são inversamente proporcionais.
Exemplo: Um automóvel percorre um espaço de 480 km em 2 horas. Quantos quilômetros 
ele percorrerá em 10 horas?
Resolução:
Grandeza 1: distância percorrida / Grandeza 2: tempo necessário
Distância 1 = 120 km em 2 horas. / Distância 2 = ? km – 10 horas
120 km = 2 horas
x km = 10 horas
Lembre-se: O produto dos meios é igual ao produto dos extremos, logo:
1200120 .1 0 2. 2 1200 600
2
x x x x= ⇔ = ⇔ = ⇔ =
A distância que será percorrida em 10 horas é de 600 km.
Passos utilizados numa regra de três simples
Vejamos os três passos utilizados em uma regra de três simples:
1. Primeiro passo: construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma 
espécie em colunas e, na mesma linha, as grandezas de espécies diferentes em 
correspondência.
2. Segundo passo: identificar se as grandezas são direta ou inversamente 
proporcionais. 
3. Terceiro passo: montar a proporção para determinar o valor desconhecido.
43
RazãO, PROPORçãO E REgRa DE tRÊS (SIMPLES E COMPOSta) • CAPÍTULO 4
É indispensável o uso de uma seta para baixo na coluna que contém a grandeza procurada. 
Nas demais colunas, se as grandezas forem diretamente proporcionais, coloque a seta na 
mesma direção e, para as grandezas inversamente proporcionais, as setas devem estar na 
direção oposta.
Exemplo 1: Um trator faz 250 m de estrada em 30 dias. Trabalhando do mesmo modo, em 
quantos dias fará 450 m de estrada?
Resolução:
30
Ao aumentarmos o comprimento da estrada, o tempo também aumentará; sendo assim, 
as grandezas comprimento e tempo são diretamente proporcionais, ou seja, os números 
250 e 450 são diretamente proporcionais aos números 30 e x:
250 30 
450 x
=
Logo,
250 30 250 . 450 . 30 250 13500
450
x x
x
= ⇔ = ⇔ =
13500 54
250
x x= ⇔ =
Resposta: Trabalhando do mesmo modo, o trator fará 450 metros de estrada em 54 dias.
Exemplo 2: Com a velocidade de 75 km/h, um motociclista faz o percurso entre a sua casa 
e seu local de trabalho em 40 minutos. Devido a um pequeno congestionamento, esse 
motociclita fez o percurso de volta em 50 minutos. Qual a velocidade média no percurso 
de volta para casa?
Resolução:
 
44
CAPÍTULO 4 • RazãO, PROPORçãO E REgRa DE tRÊS (SIMPLES E COMPOSta)
As grandezas velocidade do motociclista e tempo para fazer o percurso são inversamente 
proporcionais. Assim, os números 40 e 50 são inversamente proporcionais aos números 
75 e x: 75 . 40 = x . 50
Logo,
300075 . 40 . 50 3000 50 60
50
x x x x= ⇔ = ⇔ = ⇔ =
Resposta: A velocidade média desse ônibus no percurso de volta é 60 km/h.
Vamos complicar um pouco. Agora o objetivo é resolver problemas com mais de duas 
grandezas, direta ou inversamente proporcionais. Para isso, devemos utilizar a regra de três 
composta. Veja alguns exemplos.
Exemplo 3: Trabalhando durante 24 dias, 20 operários produzem 1.600 peças da marca 
XYℤ. Quantas peças desse mesmo tipo serão produzidas por 28 operários trabalhando 
durante 36 dias?
Resolução:
 
Fixando a grandeza número de operários, ao relacioná-la às grandezas número de dias e 
número de peças:
 » Ao aumentar o número de dias, o número de peças também aumentará; assim, 
essas grandezas são diretamente proporcionais. 
Fixando a grandeza número de dias, ao relacioná-la as grandezas número de operários e número 
de peças:
 » Ao aumentar o número de operários, o número de peças também aumentará; 
assim, essas grandezas são diretamente proporcionais.
Sendo assim, as grandezas número de peças, número de operários e número de dias 
são diretamente proporcionais, consequentemente seus valores serão diretamente 
proporcionais aos produtos dos valores das grandezas número de operários e número 
de dias: 
20 24 1600. 
28 36 x
=
45
RazãO, PROPORçãO E REgRa DE tRÊS (SIMPLES E COMPOSta) • CAPÍTULO 4
Logo,
20 24 1600 480 1600. 480 . 1008 .1 600
28 36 1008
x
x x
= ⇔ = ⇔ =
1612800480 1612800 3360
480
x x x= ⇔ = ⇔ =
Resposta: Os 28 operários produzirão 3.360 peças em 36 dias.
Exemplo 4: Uma família resolve fazer uma viagem no final de semana, saem de carro 
e percorrem 250 km em 2 dias se rodar 5 horas por dia. Em quantos dias essa família 
percorrerá 750 km se rodar 6 horas por dia?
Resolução:
 
Fixando a grandeza número de km, ao relacioná-la às grandezas número de h/dia e número 
de dias:
 » Se a família aumentar o número de horas que roda por dia, o número de dias 
diminuirá; assim, as grandezas número de h/dia e número de dias são inversamente 
proporcionais.
Fixando a grandeza número de horas por dia, ao relacioná-la às grandezas número de 
km e número de dias:
 » Se a família aumentar o número de km percorridos, o número de dias 
também aumentará; assim, as grandezas número de km e número de dias 
são diretamente proporcionais.
Logo, a grandeza número de dias é diretamente proporcional à grandeza número de 
km e inversamente proporcional à grandeza número de horas por dia. Sendo assim, 
a grandeza número de horas por dias deve ser escrita na razão inversa dos valores 
que representam.
46
CAPÍTULO 4 • RazãO, PROPORçãO E REgRa DE tRÊS (SIMPLES E COMPOSta)
Logo,
250 6 2 1500 2. 1500 . 3750 . 2
750 5 3750
x
x x
= ⇔ = ⇔ =
75001500 7500 5
1500
x x x= ⇔ = ⇔ =
Resposta: Para percorrer 750 km, a família levará 5 dias.
Sintetizando
Vimos até agora:
 » Conceitos básicos sobre razão e proporção, em que a proporção é a igualdade entre duas razões, suas aplicações e 
propriedades.
 » As diferenças entre as regras de três simples e composta, resolução de atividades com uso de razão inversa e sua 
utilização em situações envolvendo proporções entre grandezas.
47
Introdução
Neste capítulo, você estudará os juros simples e compostos. Então, o que significa “juros”? 
Diz-se que juros é o termo utilizado para designar o “preço do dinheiro no tempo”, ou 
melhor, é o “preço” que alguém paga por ficar com a posse do dinheiro de outra pessoa 
por algumtempo. Quando você pega certa quantia emprestada no banco, ele cobrará 
uma remuneração em cima do valor que ele te emprestou, pelo fato de deixar você ficar 
na posse desse dinheiro (que era dele) por certo tempo. Essa remuneração é expressa 
pela taxa de juros. Existem duas formas principais, ou regimes, de cobrança de juros: 
juros simples e juros compostos.
O regime de juros simples tem um viés mais teórico, sua utilização é voltada mais para 
fins didáticos do que para fins práticos. No cotidiano, a maioria das operações é realizada 
segundo o regime de juros compostos (ex.: poupança, empréstimos e financiamentos de 
automóveis e casa própria etc.). As operações de curto prazo, tais como os cálculos de 
multas por atraso no pagamento de conta telefônica etc., fazem uso de juros simples, 
pois se trata de um valor fixo por dia de atraso. 
Objetivos
 » Calcular porcentagens, descontos e acréscimos sucessivos.
 » Compreender uma transação no regime de juro simples por meio dos termos que a 
compõe e realizar operações financeiras no regime de juro simples.
 » Compreender uma transação no regime de juro compostos por meio dos termos que a 
compõe e realizar operações financeiras no regime de juro compostos.
Porcentagem 
Vamos exercitar um pouco. Observe os exemplos abaixo:
5
CAPÍTULO
MatEMátICa BáSICa E SUaS 
aPLICaçÕES NaS FINaNçaS
48
CAPÍTULO 5 • MatEMátICa BáSICa E SUaS aPLICaçÕES NaS FINaNçaS
Exemplo 1: Em uma sala de aula do curso de Licenciatura em Matemática, há 25 alunos, 
sendo que, desses, 16 são do sexo feminino. Podemos determinar de diferentes maneiras a 
taxa percentual (porcentagem) de alunos do sexo feminino da sala:
1o Como 16 em cada 25 alunos são do sexo feminino, temos como fração 16
25
.
Escrevendo em fração equivalente a 16
25
 com denominador igual a 100, temos:
16 16 . 4 64 64% 
25 25 . 4 100
= = =
2o Utilizando número decimal:
16 640,64 64%
25 100
= = =
3o Fazendo uso da regra de três:
16 1600 25 1600 64 
25 100 25
x x x= ⇔ = ⇔ = =
Resposta: A taxa percentual (porcentagem) de alunos do sexo feminino corresponde a 64%.
Exemplo 2: O tanque de combustível de um ônibus, com capacidade de 90 litros de óleo 
diesel, estava cheio. Desse total, foram consumidos 36 litros. Qual foi a taxa percentual de 
óleo diesel consumido?
Podemos determinar a taxa percentual do combustível consumido da seguinte forma:
Como 36 litros de 90 foram consumidos, temos como fração 3690 , logo:
36 40,4 4%
90 100
= = =
Sendo assim, a taxa percentual de óleo diesel consumido foi de 40%.
Exemplo 3: A mensalidade do curso de Libras (Língua Brasileira de Sinais) do mês de janeiro 
era de R$ 360,00. Para o mês seguinte, o valor da mensalidade sofrerá um acréscimo de 9% 
na mensalidade. Qual será o valor da mensalidade após o acréscimo?
O novo valor da mensalidade pode ser calculado de duas maneiras, observe:
1ª Calcula-se o valor correspondente a 9% da mensalidade antes do acréscimo. Em 
seguinda, basta adicionar o valor obtido ao da mensalidade de janeiro.
49
MatEMátICa BáSICa E SUaS aPLICaçÕES NaS FINaNçaS • CAPÍTULO 5
99% 360 . 360 0,9 . 360 32,4 360 32,4 392,40
100
de ⇔ ⇔ = ∴ + =
2ª Considera-se o valor da mensalidade antes do acréscimo como 100%. Após o acréscimo, 
passou a ser 100% + 9% = 109%, então:
109109% 360 . 360 1,09 . 360 392,4
100
de ⇔ ⇔ =
Portanto, a partir do mês seguinte, devido ao acréscimo, a mensalidade será R$ 392,40.
Os cálculos de porcentagens são muito usados na indústria, nas finanças e nas ciências 
para avaliar resultados. É comum pessoas e empresas usarem expressões de acréscimo ou 
de redução nos preços de produtos ou serviços, números ou quantidades, sempre tomando 
por base 100 unidades. 
Confira alguns exemplos:
 » O arroz teve aumento de 15%. Isso quer dizer que, em cada R$ 100,00, o arroz teve um 
acréscimo de R$ 15,00.
 » Um cliente ganhou desconto de 35% na compra de uma bermuda jeans. Isso quer dizer 
que, em cada R$ 100,00, a loja deu um desconto de R$ 35,00. 
 » Se, na empresa Jurujuba, a cada 100 funcionários 85 são dedicados ao trabalho; podemos 
dizer que, dos funcionários que trabalham na empresa Jurujuba, 85% são dedicados.
Também observamos exemplos de porcentagem em nosso dia a dia:
 » O desconto na grande liquidação de inverno é de até 35%. 
 » A gasolina teve um aumento de 15%. 
 » O rendimento da caderneta de poupança foi de 3,65% no trimestre.
 » 45% da população da cidade A prefere o candidato B na eleição para presidente da 
república.
Todas essas expressões envolvem uma razão especial, à qual damos o nome de 
porcentagem, ou percentagem.
Razão centesimal e taxa percentual
Suponha que, em um concurso para Escriturário da Petrobras, um aluno tenha 
acertado 12 das 15 questões de Matemática apresentadas no exame. A razão entre 
o número de questões acertadas e o número total de questões é 1215 . Sabemos que 
essa razão pode ser representada por uma infinidade de números racionais:
50
CAPÍTULO 5 • MatEMátICa BáSICa E SUaS aPLICaçÕES NaS FINaNçaS
12 4 20 80 
15 5 25 100
= = = = …
Portanto, denomina-se razão centesimal toda a razão que tem para consequente 
(denominador) o número 100; em nosso exemplo, 80
100
 é a razão centesimal. Veja outros 
exemplos:
8 12 24 77 80 90 , , , , , 
100 100 100 100 100 100
A razão centesimal pode ser representada de outra forma, observe:
( )8 0,08 8% : ;
100
leia se oito por cento= = −
( )12 0,12 12% : ;
100
leia se doze por cento= = −
( )21 0,21 21% : ;
100
leia se vinteeum por cento= = −
( )77 0,77 77% : ;
100
leia se setenta e sete por cento= = −
( )80 0,80 80% : ;
100
leia se oitenta por cento= = −
( )95 0,95 95% : ;
100
leia se noventaecinco por cento= = −
( )125 1,25 125% : .
100
leia se centoetrintaecinco por cento= = −
As expressões 8%, 12%, 21%, 77%, 80%, 95% e 125% são chamadas taxas percentuais.
Exemplo 1: Escreva a razão 68 em forma de taxa percentual.
Resolução:
6 8 . 6 .1 00 8 600
8 100
x x x= ⇔ = ⇔ =
600 75
8
x x= ⇔ =
51
MatEMátICa BáSICa E SUaS aPLICaçÕES NaS FINaNçaS • CAPÍTULO 5
Resposta: A razão 68 na forma de taxa percentual é 75%.
Exemplo 2: Escreva 2,5% em forma de razão irredutível.
Resolução: 2,5 12,5 
100 40
= =
Resposta: 2,5% na forma de razão é 140 .
Cálculo de porcentagem
Para calcular a porcentagem p% de certo valor V, multiplica-se a fração 
100
p por V, ou seja:
% . 
100
pp deV V=
Exemplo 1: Calcule 18% de 760.
Resolução: 15 15 . 750 1125015% 750 . 750 112,5
100 100 100
de = ⇔ ⇔ =
Resposta: 15% de 750 equivalem a 112,50.
A taxa é o valor que representa a quantidade de unidades tomadas em 100. Notação: i.
A percentagem é o valor que representa a quantidade tomada de outra, proporcionalmente a 
uma taxa. Notação: p (minúsculo). 
Já o principal é o valor da grandeza da qual se calcula a percentagem. Notação: P (maiúsculo).
Sendo assim, a percentagem e a taxa são os elementos do cálculo percentual. E, genericamente, 
temos que: 
100
p i
P
= .
Exemplo 1: Uma vendedora recebe 5% de comissão sobre cada venda que faz. Qual será sua 
comissão numa venda de R$ 5.750,00? 
Resolução: P = 5.750,00, i = 5 e p = ?.
Assim:
5 5750 . 5 28750 287,5
5750 100 100 100
p p p p= ⇔ = ⇔ = ⇔ =
Resposta: A comissão da vendedora é de R$ 287,50. Resolver o exemplo é o mesmo que 
calcular 5% de R$ 5.750,00, conforme estudado no cálculo de porcentagem, e você obtém o 
mesmo resultado. Observe:
52
CAPÍTULO 5 • MatEMátICa BáSICa E SUaS aPLICaçÕES NaS FINaNçaS
5 5 . 5750 28750 5% 5750 . 5750 287,5
100 100 100
de = = = =
Agora, aplicando os conhecimentos adquiridos até aqui e utilizando a regra de três simples, 
vamos resolver novamente o exemplo 1.
Resolução:
 
As grandezas valores (venda e comissão) e porcentagem são diretamente proporcionais, e 
os números 5750 e x são diretamente proporcionais aos números 5 e 100.
5750 100 28750 100 . 5750 . 5 100 28750 287,5 
5 100
x x x x
x
= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =
Exemplo 2: Em uma rede de hipermercado,o preço de um pacote de farinha de trigo com 5 
quilos, marca ℤKW, subiu de R$ 6,84 para R$ 7,25. Obtenha o percentual de aumento. 
Resolução: Para obter o aumento, calculamos 7,25 – 6,84 = 0,41, ou seja, o pacote de farinha de 
trigo subiu R$ 0,41; logo, R$ 0,41 está para R$ 6,84 assim como x está para 100, e x é o percentual 
de aumento. Aplicando a regra de três, temos:
0,41 
6,84 100
x
=
Logo;
0,41 41 0, 41 .1 00 6,84 . 41 6,84 5,99
6,84 100 6,84
x x x x x= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =
Resposta: O percentual de aumento do pacote de farinha de trigo foi de 5,99%.
Juro
Ao realizar um empréstimo no banco, paga-se, além do valor emprestado, uma quantia 
a mais, referente ao juro, ou seja, um tipo de “aluguel” pelo período em que o dinheiro 
permaneceu emprestado.
53
MatEMátICa BáSICa E SUaS aPLICaçÕES NaS FINaNçaS • CAPÍTULO 5
Quando se faz um aplicação, popupança ou outra aplicação, também ocorre juro, no 
entanto você o recebe de acordo com o período em que essa quantia permaneceu aplicada.
Se uma fatura for paga com atraso, será acrescido ao valor o juro correspondente ao tempo 
de atraso. 
Juros simples
O regime de capitalização é simples quando o juro incide apenas sobre o valor do capital 
inicial (C) ou valor presente (PV).
Vejamos um exemplo: 
Exemplo 1: Suponha que um adolescente resolve aplicar parte da sua mesada em uma 
instituição financeira sob o regime de juros simples, capital de R$ 1.000,00 a uma taxa de 2% 
ao mês, durante 3 meses. A evolução da aplicação, no regime de juros simples, seria a seguinte:
tabela 1. Cálculo de juros simples.
Mês Juro (2%) Montante ou Valor Futuro
0 - 1000
1 1000 . 0,02 = 20 1000 + 20 = 1020
2 1000 . 0,02 = 20 1020 + 20 = 1040
3 1000 . 0,02 = 20 1040 + 20 = 1060
Fonte: Elaborada pelo autor.
Nota-se que, no final do período, ou seja, 3 meses, no regime de juros simples, o adolescente 
terá um montante de R$ 1.060,00. Veja que, nesse caso, o juro incide sempre SOMENTE 
sobre o valor de R$ 1.000,00, Capital. 
Exemplo 2: Renata fez uma aplicação no valor de R$ 1.500,00 durante 7 meses, à taxa de 
juros de 0,65% a.m. (ao mês). Podemos calcular o montante alcançado por Renata ao final 
da aplicação da seguinte forma:
Capital (C) – valor da aplicação: R$ 1.500,00 → C = 1500
Tempo (t) – período de da aplicação: 7 meses → t = 7
Taxa de juro (i): 0,65% a.m. → i = 0,65% = 0,0065
Cálculo do juro simples:
0,650,65% 1 000 .1 000 0,0065 .1000 6,5 $ 6,50
100
de R⇔ ⇔ = =
54
CAPÍTULO 5 • MatEMátICa BáSICa E SUaS aPLICaçÕES NaS FINaNçaS
O capital foi aplicado por 7 meses. Logo, multiplicando-se o juro de um mês por 7, temos:
6,5 . 7 45,5 $ 45,50R= =
Observe que, para encontrar o valor do juro, multiplicamos o valor do investimento pela taxa 
de juro e pelo tempo de aplicação, portanto:
J = C. i . t
J = 1000 . 0,0065 . 7 = 45,5
Mas, como o nosso objetivo é encontrar o montante, somamos o capital e o juro.
M = C + J
M = 1000 + 45,5 = 1045,5
Portanto, o montante adquirido por Renata no período de 7 meses é R$ 1.045,50.
No demontração acima, calculamos o juro simples e o montante. Para a resolução, foram 
utilizadas duas fórmulas:
Juro simples → J = C . i . t
J = Juro
C = Capital
i = Taxa de juro simples
t = Perído de tempo
Montante → M = C + J → M = C + C . i . t → M = C(1 + i . t)
Ao usar as fórmulas apresentadas, é necessário verificar se as taxas, o juro e o período de 
tempo estão na mesma unidade de tempo. Por exemplo, quando a taxa de juro é oferecida 
ao ano, o período de tempo também deve ser oferecido em anos. Quando isso não ocorre, 
deve-se transformar o período ou a taxa na mesma unidade de tempo.
No juro simples, uma taxa de 3,1% a.m. é equivalente a 37,2% a.a, pois 0,031 . 12 = 0,372. 
Semelhantemente, uma taxa de 48% a.a. é equivante a 4% a.m., pois 0,48 : 12 = 0,04.
Importante
Duas taxas só são equivalentes quando, se aplicadas em um mesmo capital e durante um mesmo tempo, produzem 
montantes idênticos. 
55
MatEMátICa BáSICa E SUaS aPLICaçÕES NaS FINaNçaS • CAPÍTULO 5
Vamos exercitar mais um pouco. Observe os exemplos a seguir.
Exemplo 1: Determine o juro simples obtido com a aplicação de um capital de R$ 2.250,23 
durante 6 meses com a taxa de 6,5% ao mês.
Dados:
C = 2250,23
t = 5 meses
i = 6,5% a.m., 6,5100 = 0,0065
J = ?
As unidades de tempo são iguais.
Solução algébrica:
J = C . i . t
J = 2250, 23 . 0,0065 . 5 
J = 73,13
Exemplo 2: Jhenifer pagou ao Banco de automóveis S/A a importância de R$ 2,14 de juros 
simples por dia, por um atraso sobre uma prestação de R$ 537,17 do seu carro. Qual foi a 
taxa mensal de juros aplicada pelo banco?
Dados:
C = 537,17
t = 1 dia
i = ?
J = 2,14
As unidades de tempo precisam ser iguais.
Solução algébrica:
( )2,14 . . 0,00398 . 30 1 
 . 537,17 .1 
JJ C i t i i i mes
C t
= ⇔ = ⇔ = ⇔ = …
11,95% i aomês=
56
CAPÍTULO 5 • MatEMátICa BáSICa E SUaS aPLICaçÕES NaS FINaNçaS
Exemplo 3: Qual o valor do resgate de uma aplicação de R$ 109.975,00, aplicados em um 
CDB de 120 dias a uma taxa de 1,45% ao mês? 
Dados:
M = ?
C = 109.975,00
t = 120 dias, ou seja, 4 meses
i = 1,45% a.m 1,45, 
100
 = 0,0145
As unidades de tempo precisam ser iguais.
Solução algébrica:
( ) ( ) ( )1 . 109975 1 0,0145 . 4 109975 1 0,058M C i t M M= + ⇔ = + ⇔ = +
( )109975 1,058 1 16353,55M M= ⇔ =
Exemplo 4: Determine o valor da aplicação cujo valor de resgate foi de R$ 98.548,00 por 
um período de 6 meses, sabendo que a taxa de aplicação a juros simples foi de 1,77% ao 
mês.
Dados: 
M = 98548,00
C = ?
t = 6 meses
i = 1,77% a.m. 1,77100 = 0,0177
As unidades de tempo precisam ser iguais.
Solução algébrica:
( ) ( ) ( ) ( )
98548 985481 . 
1 . 1 0,0177 . 6 1,0177 . 6
MM C i t C C C
t i
= + ⇔ = ⇔ = ⇔ =
+ +
98548 1 6139,01
6,1062
C C= ⇔ =
57
MatEMátICa BáSICa E SUaS aPLICaçÕES NaS FINaNçaS • CAPÍTULO 5
Juros compostos
O financeiro utiliza o regime de juros compostos, pois oferece maior rendimento em 
comparação ao regime de juros simples, em que o valor dos rendimentos torna-se fixo. Os 
juros compostos são adicionados ao capital para o cálculo de novos juros posteriores, ou seja, 
prática do juro sobre juro. Os financiamentos de imóveis e automóveis, por exemplo, são 
calculados de acordo com esse modelo de investimento, pois oferece maior rentabilidade, 
logo, mais lucro.
Para o cálculo de juros compostos, é necessário o uso da seguinte expressão:
M = C . (1 + i)t , onde: 
M = montante 
C = capital 
i = taxa 
t = tempo
Observe os exemplos a seguir:
Exemplo 1: Bruno aplicou R$ 600,00 num banco que paga juros compostos de 3% ao mês. Qual 
será seu montante após o período de 6 meses?
tabela 2. Cálculo de juros compostos.
Mês Montante no início do mês Juros ao mês Montante no final do mês
1o 600 3% de 600 = 18 618
2o 618 3% de 618 = 18,54 636,54
3o 636,54 3% de 636,54 ≅ 19,10 655,64
4o 655,64 3% de 655,64 ≅ 19,67 675,31
5o 675,31 3% de 675,31 ≅ 20,26 695,57
6o 695,57 3% de 695,57 ≅ 20,88 716,45
Fonte: Elaborada pelo autor.
M = C . (1 + i)t
Dados:
M = ? 
C = 600 
i = 3% a.m, 3100 = 0,03 
t = 6
58
CAPÍTULO 5 • MatEMátICa BáSICa E SUaS aPLICaçÕES NaS FINaNçaS
M = 600 . (1 + 0,03)6 → M = 600 . (1,03)6 → M = 600 . 1,19 → M ≅ 716,45
O montante após 6 meses será de R$ 716,45.
Exemplo 2: Qual foi o capital que, aplicado a uma taxa de 2% ao mês, produziu em 10 meses 
um montante de R$ 15.237,43?
M = R$ 15.237,43
t = 10
i = 2% a.m., 2100 = 0,02
M = C * (1 + i)t
15237,43 = C . (1 + 0,02)10
15237,43 = C . (1,02)10
15237,43 = C . 1,218994
C = 15237,43
1,218994
C = 12.500,00
Exemplo 3: Qual será o montante de um investimento de R$ 12.000,00 aplicado ao período 
de 3 anos em um banco sobre o regime de juros compostos a uma taxa de 1,5% a.m.? 
M = ? 
C = 12.000 
i = 1,5% → 1,5
100
 = 0,015 
t = 3 anos = 36 meses (pois a taxa de juros é mensal) 
M = C . (1 + i)t
M = 12000 . (1 + 0,015)36
M = 12000 . 1,01536
M = 12000 . 1,70914
M = 20.509,68
O montante será de R$ 20.509,68.
59
MatEMátICa BáSICa E SUaSaPLICaçÕES NaS FINaNçaS • CAPÍTULO 5
acréscimos e descontos sucessivos 
Em porcentagem, vimos exemplos envolvendo acréscimos e descontos. Tanto os acréscimos 
quanto os descontos ocorriam sobre o valor inicial. Agora, veremos algumas situações 
que envolvem acréscimos e descontos suscessivos. Observe alguns exemplos:
Exemplo 1: Em uma loja de lubrificantes automotivo, 1 litro do óleo de freio da marca 
Macqueen custava R$ 3,80. Devido à grande procura, o produto teve, no período de três 
semanas, acréscimos de 5%, 2% e 3%, respectivamente.
Podemos calcular o preço do litro de óleo de freio após o acréscimo das seguintes maneiras:
1o acréscimo 5%: 105105% 3,8 . 3,8 1,05 . 3,8 3,99
100
de ⇔ ⇔ =
2o acréscimo 2%: 102102% 3,99 . 3,99 1,02 . 3,99 4,07
100
de ⇔ ⇔ ≅
3o acréscimo 3%: 103103% 4,07 . 4,07 1,03 . 4,07 4,19
100
de ⇔ ⇔ =
A segunda forma de conseguir o preço do l itro do óleo é obtendo uma única 
porcentagem equivalente aos três acréscimos. Assim, basta achar o produto dos 
fatores, isto é:
1,05 .1 ,02.1 ,03 1,10313 110,313%= =
Agora, basta efetuarmos o cálculo:
110,313110,313% 3,8 . 3,8 1,10313 . 3,8 4,19
100
de ⇔ ⇔ =
Portanto, o preço de 1 litro de óleo de freio nessa loja após os três acréscimos é R$ 4,19.
Exemplo 2: As Casas Bahia estão realizando uma mega liquidação. Uma TV LED 4K Ultra 
HD 42 polegadas, que inicialmente custava R$ 2.500,00, sofreu um desconto de 20%; se o 
cliente pagar à vista, há mais 10% de desconto sobre o valor de liquidação. Qual será o preço 
do televisor após os descontos?
Podemos calcular o preço da TV pago à vista de várias formas. Calculamos o preço após 
cada desconto, vejamos:
Importante
Observe que a porcentagem de acréscimo deve ser calculada sempre sobre o valor obtido anteriomente.
60
CAPÍTULO 5 • MatEMátICa BáSICa E SUaS aPLICaçÕES NaS FINaNçaS
1o desconto 20%, logo, 100% - 20% = 80%: 
8080% 2500 . 2500 0,8 . 2500 2000
100
de ⇔ ⇔ =
2o desconto 10%, logo, 100% - 10% = 90%: 
9090% 2000 . 2500 0,9 . 2000 1800
100
de ⇔ ⇔ =
Outra forma de calcular o preço da TV é obtendo uma única porcentagem 
equivalente aos dois descontos. Para isso, basta calcular o produto dos fatores, 
ou seja: 0,8 . 0,9 0,72 72%= =
Agora, basta efetuarmos o cálculo:
7272% 2500 . 2500 0,72 . 2500 1800
100
de ⇔ ⇔ =
Portanto, o preço da TV nas Casas Bahia após os dois descontos é R$ 1.800,00.
Sintetizando
Vimos até agora:
 » A porcentagem é uma razão entre dois números, em que o denominador sempre será 100.
 » A Matemática é importante no que tange a finanças, pois estabelece métodos para quantificar a variação de 
capitais.
 » É possível fazer um planejamento entre o que se recebe e o se pode gastar, fazendo aplicações com o objetivo de 
gerar lucros e evitar possíveis prejuízos.
61
Introdução
Os métodos estatísticos envolvem a análise e a interpretação de números, tais como 
renda anual, vendas mensais, quantidade de peças defeituosas, porcentagem de respostas 
favoráveis a um questionamento etc. Para analisar os dados corretamente, é preciso 
primeiramente organizá-los.
O processamento dos dados reduz a quantidade de detalhes e facilita a verificação de 
relações. A organização transforma os dados em informações; logo, elimina detalhes 
menores e enfatiza os aspectos mais relevantes dos dados.
Objetivos
 » Estudar as variáveis qualitativas e quantitativas. 
 » Conceituar população e amostra. 
 » Aplicar média aritmética, mediana e moda na resolução de problemas.
variáveis estatística 
Quando o IBGE realiza os censos, procurando obter dados da população brasileira de 
uma região específica do país ou de Estados, essas informações são denominadas de 
Variáveis Estatísticas. As variáveis são observadas para se tirar algum tipo de conclusão. 
Comumente, as variáveis para estudo são selecionadas por processos de amostragem, 
tais como: idade, cor dos olhos, quantidade de filhos, renda etc. 
Para decidirmos como organizar os dados, é necessário saber com que tipo de variáveis 
trabalharemos. Os tipos de variáveis são:
 » quantitativas, que podem ser discretas ou contínuas;
 » qualitativas, que podem ser ordinais ou nominais.
6
CAPÍTULO
MatEMátICa BáSICa E SUaS 
aPLICaçÕES EM EStatÍStICa
62
CAPÍTULO 6 • MatEMátICa BáSICa E SUaS aPLICaçÕES EM EStatÍStICa
Vejamos o esquema abaixo:
Figura 5. Diagrama das variáveis.
Fonte: Elaborada pelo autor.
Se a variável estiver relacionada a número, tais como altura de pessoas, número de 
espécie de aves em um zoológico, é denominada de variável quantitaiva. Quando estiver 
relacionada a qualidade ou uma característica, como grau de instrução ou sexo de um 
indivíduo, é denominada de variável qualitativa. 
As variáveis classificam-se da seguinte forma:
 » Variáveis Quantitativas: são representadas por medidas em uma escala 
quantitativa, ou seja, são resultados de uma mensuração ou contagem. Podem 
ser contínuas ou discretas.
 › Variáveis discretas: os valores são enumerados ou representam conjunto 
finito, somente fazem sentido valores inteiros. Em regra, são o resultado de 
contagens. Exemplos: número de filhos, número de copos de refrigerante 
tomados por dia.
 › Variáveis contínuas: mensuráveis e assumem valores em um intervalo real, 
cujos valores fracionados fazem sentido. Geralmente devem ser medidas 
por meio de algum instrumento. Exemplos: peso (balança), altura (régua), 
tempo (relógio), pressão arterial, etc.
 » Variáveis Qualitativas: caracterizam um atributo (qualidade), ou seja, 
representam uma classificação dos indivíduos e não possuem valores 
quantitativos. Essas variáveis podem ser ordinal e nominal.
 › Variáveis ordinais: categorizada, existe uma ordenação, mesmo em alguns 
casos não sendo numéricas entre as categorias. Exemplos: escolaridade (1o, 
2o, 3o graus), estágio da doença (inicial, intermediário, terminal), mês de 
observação (janeiro, fevereiro,…, dezembro).
 › Variáveis nominais: não existe ordenação subjetiva e não é numérica . Exemplos: 
cor dos automóveis vendidos na Fiat, sexo, esporte preferido de uma pessoa, cor dos 
olhos, fumante/não fumante, doente/sadio.
63
MatEMátICa BáSICa E SUaS aPLICaçÕES EM EStatÍStICa • CAPÍTULO 6
Observe o exemplo a seguir:
Suponha que você é um pesquisador e está interessado em estudar aspectos 
socioeconômicos dos atletas de um time de voleibol. Foram coletados dados do 
departamento de pessoal do clube, e o seguinte quadro foi construído:
Quadro 3.
Variável Valores Tipo de variável
Estado civil Solteiro, casado, separado... Qualitativa Nominal
grau de instrução Ensino fundamental, médio, superior Qualitativa Ordinal
Número de filhos 1, 2, 3, ... Quantitativa Discreta
Salário R$ 1100,32; R$ 5465,99 Quantitativa Contínua
Idade 14, 20, 34, ... Quantitativa Discreta
Classe social alta, média, baixa Qualitativa Ordinal
Observações: A variável idade, quando analisada por anos completos, é quantitativa 
(contínua), no entanto, ao ser avaliada por faixas etárias (10 a 18 anos, 69 anos etc.), é 
qualitativa (ordinal). Isso tudo depende da forma como os dados serão coletados.
População estatística
Em uma coleta de dados sobre determinado assunto, chama-se população estatística o 
conjunto formado por todos os elementos que oferecem dados relativos a um assunto 
específico. A População é o conjunto de todos os eventos que se pretende estudar. Observe 
os exemplos a seguir.
a. O IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística) divulga, frequentemente, 
um estudo sobre o salário médio dos trabalhadores brasileiros. A população, 
nesse caso, é o conjunto de todos os assalariados brasileiros.
b. Em uma pesquisa sobre a audiência das estações de rádios de uma cidade, o 
universo estatístico (população) é o conjunto de todos os ouvintes dessa cidade.
c. Deseja-se conhecer o consumo total de energia elétrica em MWH nos 
condomínios comerciais da cidade do Rio de Janeiro no ano de 2019. A 
população são todos os condomínios que estavam ligados à rede elétrica 
no Rio de Janeiro (dados obtidos