sistemas estruturais parte 1

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SISTEMAS 
ESTRUTURAIS I 
Mario Guidoux Gonzaga
Esforços normais 
e cortantes
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
  Conceituar esforços normais e cortantes.
  Calcular os esforços normais em pontos da estrutura, nas aplicações 
de vigas e pórticos.
  Calcular os esforços cortantes em pontos da estrutura, nas aplicações 
de vigas e pórticos.
Introdução
Esforços normais e cortantes são dois tipos de esforços que atuam sobre os 
elementos estruturais. Os normais são aqueles que atuam paralelamente 
ao eixo do elemento, ao passo que os cortantes atuam perpendicular-
mente a estes. Ambos os esforços são importantíssimos para que se 
entenda o comportamento das estruturas.
Neste capítulo, você conhecerá esses conceitos e aprenderá a calcular 
os esforços em cada ponto da estrutura a partir de diagramas.
Esforços normais e cortantes: conceitos
Esforços normais, ou axiais, são aquelas forças que atuam ao longo do eixo 
— ou linha central — do elemento que está sendo analisado. Um exemplo é um 
pilar, que recebe uma carga vertical de cima para baixo que atua paralelamente 
ao seu eixo, desde o topo até a base desse elemento.
Os esforços normais se dividem em dois grupos, de acordo com a direção 
relativa do esforço: tração, quando um elemento é esticado; e compressão, 
quando um elemento é comprimido. Na Figura 1, você pode observar um 
exemplo de deformação causada por tração e compressão em um elemento 
metálico.
Figura 1. Deformação de elemento metálico por (a) tração e (b) compressão.
Fonte: Garrison (2018, p. 180).
Esforços normais e cortantes2
Os esforços cortantes, ou de cisalhamento, ocorrem quando um elemento 
é cortado pela ação de dois outros elementos. Por exemplo, na Figura 2, você 
pode observar um parafuso sendo cortado pela ação das duas placas que esse 
elemento segurava.
Figura 2. Parafuso sendo cortado.
Fonte: Garrison (2018, p. 15).
A seguir, você conhecerá em mais detalhes cada um desses esforços.
Tração
Quando um elemento estrutural está sob tração, existe uma tendência de 
alongamento, ou até mesmo separação, da peça em dois. Para que haja equi-
líbrio estrutural, é necessário que a força externa — aquela que tenta separar 
o elemento — seja compensada por uma força interna oposta com a mesma 
intensidade. Ou seja, para que o elemento esteja em equilíbrio, é preciso que 
as forças de tração externas sejam compensadas por uma força oposta dentro 
do elemento, conforme mostra a Figura 3.
3Esforços normais e cortantes
Figura 3. Elementos sob tração.
Fonte: Garrison (2018, p. 12).
Na Figura 3, você pode observar um bloco metálico pendurado do teto por 
um cabo de aço. Como o cabo está evitando que a gravidade derrube o bloco 
no chão, pode-se afirmar que esse elemento está sob tração. Para que haja 
equilíbrio, é preciso que as forças exercidas pelo bloco e pelo teto (em verde) 
sejam equilibradas pelas forças internas ao cabo, em vermelho.
Compressão
Assim como na tração, nas peças em compressão, uma força atua paralelamente 
ao eixo do elemento. Nesses casos, no entanto, existe uma tendência contrária, 
de amassamento do elemento. Esta força é muito comum nos pilares de uma 
estrutura, conforme mostra a Figura 4.
Esforços normais e cortantes4
Figura 4. Pilar em compressão.
Fonte: Garrison (2018, p. 12).
Assim como na tração, para que exista equilíbrio, as forças externas (em 
verde, na Figura 4) precisam ser compensadas por uma força interna (em 
vermelho).
Cisalhamento
O esforço cortante pode ser caracterizado pelo deslizamento de um elemento 
que foi seccionado pela ação de uma força externa (GARRISON, 2018). Na 
Figura 5, você pode observar um elemento apoiado sobre uma estrutura de 
madeira. 
5Esforços normais e cortantes
Figura 5. Objeto pousado em estrutura de madeira.
Fonte: Garrison (2018, p. 15).
Uma vez que a estrutura não foi projetada para suportar o peso do objeto 
pousado, ocorrerá o cisalhamento, pois as paredes que apoiam a estrutura de 
madeira impedirão o movimento junto aos apoios, e a caixa “romperá” os 
elementos de madeira com seu peso.
Cálculo dos esforços normais em pontos da 
estrutura, nas aplicações de vigas e pórticos
Como você sabe, os esforços normais são aqueles esforços que atuam para-
lelamente ao eixo do elemento estrutural, causando reações de compressão 
e tração. Nas vigas, esses esforços correm paralelos ao eixo x. Na Figura 6, 
você pode observar uma viga isostática que sofre uma força F em um de seus 
apoios (em verde). A reação no apoio de segunda ordem induz uma compressão 
no interior do elemento estrutural.
Figura 6. Viga em compressão.
Nos pórticos, os esforços normais atuam tanto em x — na parte horizontal 
do pórtico — quanto em y — nas partes verticais. Na Figura 7, você pode 
observar uma carga distribuída atuando verticalmente em um pórtico e sua 
carga causando compressão (em vermelho) nos dois apoios.
Esforços normais e cortantes6
Figura 7. Pórtico em compressão.
É uma convenção da geometria utilizar o eixo x como o eixo horizontal e o eixo y como 
o eixo vertical quando trabalhamos com sistemas cartesianos bidimensionais (Figura 8). 
Em sistemas tridimensionais, utilizamos x e y para o plano horizontal e z para o eixo vertical, 
conforme as Figuras 8(a) e 8(b).
 Figura 8(a). Eixo xy. Figura 8(b). Eixo xyz.
Fonte: a) Yu_Peri/Shutterstock.com; b) UgaBuga/Shutterstock.com.
Agora que você já sabe como atuam os esforços normais nas vigas e nos 
pórticos, veremos alguns exemplos de como calcular esses esforços. Mas, antes, 
7Esforços normais e cortantes
é importante que você se lembre sobre a convenção de sinais nos esforços 
normais. Conforme o Quadro 1, você pode confirmar que, para a tração, é 
convencionado o sinal positivo, ao passo que, para a compressão, utilizamos 
o sinal negativo para calcular o esforço (CASCÃO, 2009).
Fonte: Adaptado de Cascão (2009, p. 44).
ESI
Convenção 
de sinais
Tipo de 
solicitação
Deformação Diagrama
Normal ou 
linha de estado
N
(+) N(+) Tração Alongamento Eixo
+
N
N(–)N(–) Compressão Encurtamento Eixo–
Quadro 1. Categorias de ESI
Vigas
Para este exemplo, utilizaremos uma viga simples que sofre um carregamento 
horizontal de 10 KN em seu apoio simples, o que corresponde a uma reação de 
10 KN em seu apoio de segunda ordem, como você pode observar na Figura 9. 
Esse carregamento pode ser devido à dilatação térmica de outro elemento ou até 
mesmo ao movimento de cargas permanentes provenientes de outros elementos 
estruturais (GARRISON, 2018).
Figura 9. Vigas em compressão.
Na viga representada na Figura 9, existe apenas uma carga que atua sobre 
todo o elemento de maneira homogênea, portanto o esforço normal é constante 
por todo o elemento e igual à carga atuante sobre o elemento (10 KN) com 
sinal negativo, por se tratar de compressão. Confira, no Quadro 1, a convenção 
de sinais, conforme a Figura 10.
Esforços normais e cortantes8
Figura 10. Vigas em compressão com esforços normais representados.
Observe, no quadro a seguir, os tipos de apoio e as restrições de movimento que 
estes causam nas estruturas.
9Esforços normais e cortantes
Pórticos
Pórticos são sistemas estruturais compostos por diversas barras. Neste capí-
tulo, trataremos dos pórticos planos, aqueles nos quais todas as barras são 
coplanares, ou seja, estão no mesmo plano. Neste sistema, os movimentos e 
as solicitações são os mesmos das vigas. Os pórticos seguem a mesma lógica 
de cálculo das vigas, uma vez que decompomos este sistema estrutural em 
elementos menores, para facilitar nosso cálculo.
Analisaremos o pórtico representado na Figura 11, composto por duas barras 
verticais e uma horizontal, sobre a qual atua uma carga distribuída com 5 KN 
sobre o ponto C, e 0 KN, no ponto B. A distância entre os elementos verticais é de 
4 m. Ao fazer o cálculo das reações, chegamos em 7,5 KN atuando em compressão 
sobre a barra CD e 2,5 KN atuando também em compressão sobre a barra AB.
Figura 11. PórticoABCD.
Esforços normais e cortantes10
 Agora, observe, na Figura 12, como é feita a representação do esforço 
normal em cada um dos trechos do pórtico ABCD, considerando a convenção 
de sinais que você já conhece.
Figura 12. Esforços normais no Pórtico ABCD.
Cálculo dos esforços cortantes em pontos da 
estrutura, nas aplicações de vigas e pórticos
O esforço cortante, chamado também de cisalhamento, é um esforço que 
tende a produzir uma falha de cisalhamento — ou corte perpendicular ao 
eixo — em algum ponto do elemento estrutural. Como estamos trabalhando 
com elementos planos, consideramos que todas as forças atuando de baixo 
para cima são positivas, e todas as forças de cima para baixo, negativas 
(GARRISON, 2018).
Como você já conhece esses conceitos, veremos um exemplo. Na Figura 13, 
você pode observar uma viga isostática com 6 metros de comprimento, sobre a 
qual atua uma carga pontual de 18 KN sobre o ponto E. Os apoios, localizados 
nos pontos A e G, exercem uma reação de 6 e 12 KN, respectivamente, devido 
à excentricidade da carga pontual.
11Esforços normais e cortantes
Figura 13. Viga AG com carga pontual.
Fonte: Garrison (2018, p. 143).
A carga de 18 KN aplicada sobre o ponto E é perpendicular ao eixo da 
viga, certo? Portanto, é um ótimo exemplo de esforço cortante. A seguir, 
você verá um passo a passo de como calcular o esforço cortante nos pontos 
dessa viga. Para calcular o esforço cortante, adotaremos o método do lado 
esquerdo, no qual sempre olhamos para as forças atuando à esquerda do ponto 
que estamos analisando.
Iniciando pelo ponto A, você pode ver que não existe nada à esquerda, 
certo? Portanto, exatamente nele, o cortante é igual a 0. Se você avançar uma 
distância infinitesimalmente pequena para a direita — 1 mm, por exemplo 
—, já verá que existe uma força de 6 KN atuando de baixo para cima sobre o 
ponto A. Portanto, neste ponto muito próximo (mas não igual) ao ponto A, o 
esforço cortante é de 6 KN positivo.
Avançando nos pontos B, C e D, você pode ver que não existe nenhuma 
mudança nas forças atuando à esquerda, ou seja, ainda se mantém os 6 KN 
que atuam sobre o apoio A. 
Ao chegar no ponto E, existe uma força de 18 KN atuando de cima para 
baixo. Portanto, ocorrerá um corte abrupto no diagrama de esforço cortante. 
Neste ponto, você deve subtrair 18 — lembre-se de que forças de cima para 
baixo são negativas — dos 6 KN que vinham atuando de baixo para cima. O 
diagrama terá uma interrupção em linha reta que vai de +6 KN para −12 KN. 
Sobre o ponto F, não existe nenhuma força atuando, logo os 12 KN seguem 
em linha reta até o apoio G, onde atua uma força de baixo para cima de 12 KN, 
que leva o cortante até o 0.
Observe, na Figura 14, como fica este diagrama após todo esse caminho 
que você percorreu do ponto A até o G.
Esforços normais e cortantes12
Figura 14. Diagrama de esforço cortante da viga AG.
Fonte: Garrison (2018, p. 143).
Agora que você entendeu como fazer um diagrama de cortante com um 
exemplo simples, acrescentaremos um pouco de dificuldade com uma viga 
sobre a qual atua uma carga distribuída de 4 KN/m sobre toda a extensão, 
representada na Figura 15. A regra de sinais e a lógica de cálculo é a mesma.
Figura 15. Viga AG com carga distribuída.
Fonte: Garrison (2018, p. 147).
Da mesma maneira que você fez com a viga com carga pontual, inicia-
-se a análise pelo apoio A, onde o esforço cortante é igual a 0. Avançando 
uma pequena distância para a direita, já é possível ver, à esquerda, a carga 
de 12 KN que atua sobre o apoio A. Portanto, neste espaço, o diagrama 
é sobre 12 KN.
Como existe uma carga distribuída de 4 KN por metro atuando por 6 
metros do ponto A ao G, a solução lógica é que, a cada intervalo de 1 metro 
(representado pelos pontos B, C, D, E, F e G), o esforço cortante fosse 4 KN, 
certo? No Quadro 2, você pode verificar o cálculo para cada um desses pontos. 
13Esforços normais e cortantes
Fonte: Adaptado de Garrison (2018).
Ponto B:
Força para cima, à esquerda = 12 kN
Força para baixo, à esquerda = (4 kN/m × 1 m) = 4 kN
Portanto, esforço cortante no ponto B = 12 – 4 = 8 kN
Ponto C:
Força para cima, à esquerda = 12 kN
Força para baixo, à esquerda = (4 kN/m × 2 m) = 8 kN
Portanto, esforço cortante no ponto C = 12 – 8 = 4 kN
Ponto D:
Força para cima, à esquerda = 12 kN
Força para baixo, à esquerda = (4 kN/m × 3 m) = 12 kN
Portanto, esforço cortante no ponto D = 12 – 12 = 0 kN
Ponto D:
Força para cima, à esquerda = 12 kN
Força para baixo, à esquerda = (4 kN/m × 3 m) = 12 kN
Portanto, esforço cortante no ponto D = 12 – 12 = 0 kN
Ponto E:
Força para cima, à esquerda = 12 kN
Força para baixo, à esquerda = (4 kN/m × 4 m) = 16 kN
Portanto, esforço cortante no ponto E = 12 – 16 = –4 kN
Ponto F:
Força para cima, à esquerda = 12 kN
Força para baixo, à esquerda = (4 kN/m × 5 m) = 20 kN
Portanto, esforço cortante no ponto F = 12 – 20 = –8 kN
Imediatamente à esquerda do ponto G:
Força para cima, à esquerda = 12 kN
Força para baixo, à esquerda = (4 kN/m × 6 m) = 24 kN
Portanto, esforço cortante no ponto G = 12 – 24 = –12 kN No 
ponto G, há uma reação para cima de 12 kN. Então o esforço 
cortante líquido em G será de –12 + 12 = 0 kN.
Quadro 2. Esforço cortante nos pontos B, C, D, E, F e G
O diagrama de esforço cortante da viga AG com a carga distribuída de 4 
KN/m, então, inicia em 0 no ponto A, a partir desse ponto sobe +12KN e vai 
em linha diagonal até −12K,N logo antes do ponto G, onde uma força de +12 
KN leva o cortante de volta a 0, conforme a Figura 16.
Esforços normais e cortantes14
Figura 16. Diagrama de esforço cortante da viga AG.
Fonte: Garrison (2018, p. 147).
 Para os pórticos planos, aplica-se as mesmas regras do cálculo das vigas, uma 
vez que os pórticos devem ser decompostos em barras que atuam estruturalmente 
como vigas. Veja na Figura 17, a seguir, como pode ser feita essa decomposição.
Figura 17. Decomposição do pórtico.
15Esforços normais e cortantes
CASCÃO, M. Estruturas isostáticas. Rio de Janeiro: Oficina de Textos, 2009.
GARRISON, P. Fundamentos de estruturas. 3. ed. Porto Alegre: Bookman, 2018.
Esforços normais e cortantes16