calculo aplicado de varais variaveis unidade 2

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04/03/2021 Blackboard Learn
https://unifacs.blackboard.com/webapps/late-course_content_soap-BBLEARN/Controller?ACTION=OPEN_TEST_PLAYER&COURSE_ID=_670145_… 1/6
Pergunta 1
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário
da resposta:
Esboçar o gráfico de uma função de duas variáveis sem o auxílio de um software
pode ser trabalhoso às vezes. Para contornar esse problema, outro recurso que
podemos utilizar para visualizar geometricamente o comportamento da função é o
conceito de curva de nível. 
 
A respeito das curvas de nível, assinale a alternativa correta.
 
 
Uma curva de nível é um subconjunto do espaço .
Uma curva de nível é um subconjunto do espaço .
Resposta correta. A alternativa está correta. O gráfico de uma função de duas
variáveis é um conjunto de pontos do espaço , para poder visualizar uma
representação geométrica da função no plano recorremos ao uso das curvas de
nível, que são curvas planas do plano . Portanto, uma curva de nível é um
subconjunto do plano .
Pergunta 2
Resposta
Selecionada:
Resposta Correta:
Comentário da
resposta:
Toda função possui uma característica particular. No caso das funções de duas
variáveis temos que o domínio desse tipo de função pode ser dado como o
conjunto de pares ordenados pertencentes ao plano que satisfazem a lei
de formação da função . Assim, para determinar o domínio da função 
 precisamos verificar se não há restrições para os valores que e podem
assumir. 
 
 Com relação ao domínio de funções, assinale a alternativa correta.
 
 
O domínio da função é o conjunto
.
O domínio da função é o conjunto 
.
Resposta correta. A alternativa está correta. Temos as seguintes restrições para
os valores de e : 
(I) A expressão dentro da raiz deve ser não negativa, isto é,
 
 
(II) A expressão do denominador deve ser não nula, isto é,
 
 
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Portanto, a interseção dos conjuntos (I) e (II) resulta em . Logo,
.
Pergunta 3
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário
da resposta:
As derivadas parciais com relação a e a fornecem em cada uma delas a
inclinação da reta tangente a uma função de duas variáveis quando fixadas
as direções que correspondem a cada um desses eixos. No entanto, é possível,
também, determinar a derivada da função com relação a qualquer direção
diferente das direções paralelas aos eixos coordenados, desde que essa direção
seja fornecida por um vetor unitário. 
 
 Com base nisso, conceituamos a ideia de derivada direcional que pode ser
expressa por . Assinale a alternativa que corresponde à
derivada direcional da função no ponto na direção do vetor 
 .
 
 
 
Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função são:
 e , que implicam que o vetor gradiente seja
. Calculando o vetor gradiente no ponto P, temos que
. Para calcular a derivada direcional, necessitamos de um vetor
unitário, assim, tome . Logo, a derivada direcional
procurada é .
Pergunta 4
Considere a função de duas variáveis , tal que as variáveis e são
funções das variáveis e , isto é, e . A derivada da função
 com relação à variável é obtida por meio da regra da cadeia
expressa por . Já a derivada de com relação à variável é obtida
por meio da expressão . 
 
 
 A partir dessa informação, assinale a alternativa que representa a derivada da
função com relação às variáveis e , sabendo que e 
 . 
 
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Resposta Correta:
 
Comentário
da resposta:
 
 
 e 
 e 
Resposta correta. A alternativa está correta. Usando a regra da cadeia, temos que a
derivada parcial de com relação a é: . Já a
derivada parcial de com relação a é:
.
Pergunta 5
Resposta Selecionada:
 
Resposta Correta:
 
Comentário
da resposta:
A derivada direcional é máxima quando o vetor unitário tomado e o vetor gradiente
da função estiverem na mesma direção e sentido, isto é, quando o ângulo entre os
dois vetores é nulo. Essa afirmação nos leva a concluir que a derivada direcional é
máxima para o vetor unitário do vetor gradiente. 
 
A partir do exposto, assinale a alternativa que apresente a direção de máximo
crescimento da função no ponto P(-1,1). 
 
 
Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função e o vetor
gradiente são: , e
. Logo, . Como a direção de
máximo crescimento se dá no vetor unitário com mesma direção e sentido do vetor
gradiente, temos que o vetor procurado é
.
Pergunta 6
A lei dos gases ideais é uma função que relaciona as grandezas de temperatura
(T), pressão (P) e volume (V) de um gás ideal. Expressando essa lei como a função
 , onde é uma constante dada, considere um gás com o volume de 
 sob uma pressão de . O volume está aumentando a uma taxa de 
 e a pressão está decrescendo a uma taxa de por segundo.
 
 Assinale a alternativa que representa a taxa de variação da temperatura
considerando as informações anteriores. (Use ). 
 
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Resposta
Selecionada:
Resposta Correta:
Comentário
da resposta:
 
 
A temperatura está diminuindo a uma taxa de por segundo no instante
dado.
A temperatura está diminuindo a uma taxa de por segundo no
instante dado.
Resposta correta. A alternativa está correta. Pela lei dos gases ideais ,
onde , temos . Pelas informações do enunciado, temos
, , e . Derivando a função com
relação ao tempo , pela regra da cadeia, temos: , onde 
 e . Assim, 
. Portanto, a
temperatura está diminuindo a uma taxa de por segundo no instante dado.
Pergunta 7
Resposta Selecionada:
 
Resposta Correta:
 
Comentário
da resposta:
A derivada direcional é uma ferramenta muito útil quando se deseja determinar a
direção no plano no qual a função cresce mais rápido. No caso, essa direção de
maior crescimento corresponde à direção do vetor gradiente em sua forma unitária.
Já a direção oposta ao vetor gradiente irá denotar a direção de maior
decrescimento da função. 
 
Com base nessas informações, determine a direção de maior crescimento da
função no ponto P(1,2).
Resposta correta. A alternativa está correta. A direção de maior crescimento é
. Precisamos então determinar o vetor gradiente. O vetor gradiente é o
vetor formado pelas derivadas parciais da função , assim, 
Derivadas parciais e vetor gradiente no ponto P(1,2): 
 - 
 
- 
 
- 
 
 
 A norma do vetor gradiente no ponto P(1,2) é . 
 
Assim, a direção de maior crescimento é .
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Pergunta 8
Resposta
Selecionada:
Resposta
Correta:
Comentário
da resposta:
Chamamos de curva de nível da função o conjunto de todos os pares pertencentes ao
domínio de tais que , onde é uma constante real. Utilizamos as curvas de nível para
visualizar geometricamente o comportamento de uma função de duas variáveis. 
 
 Com relação às curvas de nível, assinale a alternativa correta. 
 
 
A equação é uma curva de nível para a função
 para .
A equação é uma curva de nível para a função 
 para .
Resposta correta. A alternativa está correta. Pela definição de curva de nível, temos
que . Assim, igualando a função ao valor de , temos que
. Portanto, a curva de nível da
função para é dada pela equação .
Pergunta 9
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário
da resposta:
Derivar funções compostasé um processo que requer muito cuidado em cada
etapa. Esse tipo de função é derivada fazendo o uso da chamada regra da cadeia.
No caso de funções de duas variáveis, temos que observar quais são as variáveis
independentes, as variáveis intermediárias e a variável dependente. Sabemos que
podemos escrever . Se e e .
 
 Com base no exposto, assinale a alternativa correta. 
 
 
As variáveis e são as variáveis independentes.
As variáveis e são as variáveis independentes.
Resposta correta. A alternativa está correta. Temos que a variável depende das
variáveis e , pois . No entanto, as variáveis e dependem das
variáveis e e essas últimas não possuem dependência de nenhuma outra variável.
Dessa forma, concluímos que as variáveis e são as variáveis independentes.
Pergunta 10
O domínio de uma função corresponde a todos os valores que, ao serem trocados
no lugar da variável (ou variáveis), produzem um resultado válido. Alguns
exemplos: em funções raízes, o domínio corresponde a todos os valores que não
geram um valor negativo dentro da raiz, já no caso de funções quocientes, o
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Resposta Correta: 
Comentário da
resposta:
domínio corresponde a todos os valores que não zeraram o denominador. 
 
Com base nessas informações, analise as afirmativas a seguir.
 
I - O domínio da função é o conjunto
 .
 
II - O domínio da função é o conjunto
 .
 
III - O domínio da função é o conjunto .
 
IV - O domínio da função é o conjunto 
 .
 
 
 
I, IV
I, IV
Resposta correta. A alternativa está correta. Avaliando as restrições de cada
função, concluímos que: 
Afirmativa I: Correta. O domínio da função é o conjunto 
. 
Afirmativa IV: Correta. O domínio da função é o conjunto
.