Exercícios-01-bases

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Curso de Engenharia de Controle e Automação 
Disciplina: Álgebra Linear 
Professor: Marcelo Cendron 
Exercícios – Bases 
	
1. Verificar	quais	dos	seguintes	conjuntos	de	vetores	forma	base	de	ℝ!	
a. 1, 2 , −1, 3 	é	base	
b. {(3, 6), (−4, 8)}	não	é	base 
c. {(0, 0), (2, 3)}	 
d. {(3,−1), (2, 3)}	 
2. Qual	o	valor	de	𝑘	de	forma	que	o	conjunto	𝛽 = 1, 𝑘 , 𝑘, 4 	seja	uma	base	de	ℝ!	
Para	ser	uma		base	o	valor	𝑘 ≠ ±2	
	
3. O	conjunto	𝛽 = 2,−1 , −3, 2 	é	uma	base	de	ℝ!.	Escrever	o	vetor	genérico	do	
ℝ! como	combinação	linear	de	𝛽	
𝑥,𝑦 = 2𝑥 + 3𝑦 2,−1 + (𝑥 + 2𝑦)(−3, 2)	
	
4. Quais	dos	seguintes	conjuntos	de	vetores	forma	uma	base	de	ℝ!?	
a. (1,	1,	-1),	(2,	-1,	0),	(3,	2,	0)	é	base	
b. (1,	0,	1),	(0,	-1,	2),	(-2,	1,	-4)	não	é	base	
c. (2,	1,	-1),	(-1,	0,	1),	(0,	0,	1)		
d. (1,	2,	3),	(4,	1,	2)		
e. (0,	-1,	2),	(2,	1,	3),	(-1,	0,	1),	(4,	-1,	-2)		
	
5. Quais	dos	seguintes	conjuntos	de	vetores	forma	base	de	𝑃!	
a. −4+ 𝑡 + 2𝑡!, 1− 3𝑡 + 𝑡!	não	é	base	
b. 1, 𝑡, 𝑡!	é	base	
c. 2, 1− 𝑥, 1+ 𝑥!		
d. 1+ 𝑥 + 𝑥!, 𝑥 + 𝑥!, 𝑥!		
e. 1+ 𝑥, 𝑥 − 𝑥!, 1+ 2𝑥 − 𝑥!		
	
6. Mostre	que	o	conjunto	é	uma	base	de	M(2,	2)	
2 3
−1 0 ,
1 −1
0 −2 ,
−3 −2
1 −1 ,
3 −7
−2 5 	
	
7. Determinar	o	vetor	coordenada	de	𝑣 = (6, 2)	em	relação	as	seguintes	bases:	
	
a. 𝑎 = {(3, 0), (0, 2)}	𝑉! = (2,1)	
b. 𝑏 = {(1, 2), (2, 1)} 𝑉! = (
!!
!
, !"
!
) 
c. 𝑐 = {(1, 0), (0, 1)} 
d. 𝑑 = {(0, 1), (1, 0)} 
e. 𝑒 = {(2, 2), (1, 4)} 
f. 𝑓 = {(−1, 0), (3,−1) 
	
8. Em	cada	parte,	explique	em	palavras	por	que	os	vetores	dados	não	são	uma	base	do	
espaço	vetorial	dado:	
a. 𝑢! = 1, 2 , 𝑢! = 0, 3 , 𝑢! = 2, 7 𝑝𝑎𝑟𝑎 ℝ! 	
b. 𝑢! = −1, 3, 2 , 𝑢! = 6, 1, 1 𝑝𝑎𝑟𝑎 ℝ! 		
c. 𝑝! = 1 + 𝑥 + 𝑥!, 𝑝! = 𝑥 − 1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑃!	
d. 𝐴 = 1 12 3 ,𝐵 = 
6 0
−1 4 ,𝐶 =
3 0
1 7 ,𝐷 = 
5 1
4 2 ,𝐸 = 
7 1
2 9 	
	
9. Quais	dos	conjuntos	de	vetores	dados	são	bases	de	ℝ!?	
a. {(2,	1),	(3,	0)}	
b. {(0,	0),	(1,	3)}	
c. {(4,	1),	(-7,	-8)}	
d. {(3,	9),	(-4,	-12)}	
	
10. Quais	dos	conjuntos	de	vetores	dados	são	bases	de	ℝ!?	
a. {(1,	0,	0),	(2,	2,	0),	{3,	3,	3)}	
b. {(3,	1,	-4),	(2,	5,	6),	{1,	4,	8)}	
c. {(2,	-3,	1),	(4,	1,	1),	{0,	-7,	1)}	
d. {(1,	6,	4),	(2,	4,	-1),	{-1,	2,	5)}	
	
11. Quais	dos	conjuntos	de	vetores	dados	são	bases	de	𝑃!	
a. 1 − 3𝑥 + 2𝑥!, 1 + 𝑥 + 4𝑥!, 1 − 7𝑥	
b. 4 + 6𝑥 + 𝑥!,−1 + 4𝑥 + 2𝑥!, 5 + 2𝑥 − 𝑥!	
c. 1 + 𝑥 + 𝑥!, 𝑥 + 𝑥!, 𝑥!	
	
12. Mostre	que	as	matrizes	dadas	formam	uma	base	de	𝑀!!.	
3 6
3 −6 ,
0 −1
−1 0 ,
0 −8
−12 −4 ,
1 0
−1 2