Rubens Vilhena Fonseca - Teoria dos Números (UEPA)

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Marília Brasil Xavier 
 REITORA 
 
 
 
Prof. M. Sc. Rubens Vilhena Fonseca 
COORDENADOR GERAL DOS CURSOS DE MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATERIAL DIDÁTICO 
 
 
COLABORAÇÃO 
Maria da Glória Costa Lima 
Cleyton Isamu Muto 
 
 
EDITORAÇÃO ELETRONICA 
Odivaldo Teixeira Lopes 
 
 ARTE FINAL DA CAPA 
Odivaldo Teixeira Lopes 
 
 
 
REALIZAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
BELÉM – PARÁ – BRASIL 
- 2011 -
SUMÁRIO 
 
Capítulo 1:...............................................................................................................................................9 
NÚMEROS INTEIROS – NOÇÕES FUNDAMENTAIS ...................................................................................9 
1.1 – NÚMEROS INTEIROS ....................................................................................................................................... 10 
1.2 – PROPRIEDADES DOS INTEIROS ........................................................................................................................ 11 
1.3 – VALOR ABSOLUTO DE UM INTEIRO ................................................................................................................ 12 
1.4 – REPRESENTAÇÃO DOS INTEIROS EM OUTRAS BASES ...................................................................................... 14 
1.5 – FATORIAL E PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM .................................................................................. 15 
1.6 – PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM - PFC ............................................................................................ 16 
1.7 – NÚMERO BINOMIAL ........................................................................................................................................ 17 
1.8 – NÚMEROS BINOMIAIS COMPLEMENTARES ...................................................................................................... 18 
1.9 – NÚMEROS BINOMIAIS CONSECUTIVOS ............................................................................................................ 18 
1. 10 – PISO, TETO E NINT DE UM NÚMERO REAL. ................................................................................................ 20 
1.11 – O PRINCÍPIO DA CASA DOS POMBOS (PRINCÍPIO DAS GAVETAS DE DIRICHLET) .............................................. 24 
1.12 – CAOS FATORIAL: !N. ..................................................................................................................................... 25 
1.13 – LEFT FATORIAL: L!N ..................................................................................................................................... 26 
EXERCÍCIOS ............................................................................................................................................................ 27 
Capítulo 2:.............................................................................................................................................30 
INDUÇÃO MATEMÁTICA ........................................................................................................................30 
2.1 – ELEMENTO MÍNIMO DE UM CONJUNTO DE INTEIROS ...................................................................................... 30 
2.2 – PRINCÍPIO DA BOA ORDENAÇÃO .................................................................................................................... 31 
2.3 – PRINCÍPIO DE INDUÇÃO FINITA. ...................................................................................................................... 32 
2.4 – INDUÇÃO MATEMÁTICA ................................................................................................................................ 33 
2.5. EXEMPLOS DE DEMONSTRAÇÃO POR INDUÇÃO MATEMÁTICA .......................................................................... 35 
2.6 . OUTRAS FORMAS DA INDUÇÃO MATEMÁTICA ................................................................................................ 37 
EXERCÍCIOS ............................................................................................................................................................ 42 
Capítulo 3:.............................................................................................................................................43 
SOMATÓRIOS E PRODUTÓRIOS .............................................................................................................43 
3.1 . SOMATÓRIOS ................................................................................................................................................. 43 
3.2. PROPRIEDADES DOS SOMATÓRIOS ................................................................................................................... 44 
3.3. PRODUTÓRIOS ................................................................................................................................................. 45 
3.4. PROPRIEDADES DOS PRODUTÓRIOS ................................................................................................................. 46 
Capítulo 4 ..............................................................................................................................................48 
DIVISIBILIDADE .....................................................................................................................................48 
4.1. RELAÇÃO DE DIVISIBILIDADE EM Z ................................................................................................................. 48 
4.2. CONJUNTO DOS DIVISORES DE UM INTEIRO ..................................................................................................... 50 
4.3. DIVISORES COMUNS DE DOIS INTEIROS ........................................................................................................... 50 
4.4. TEOREMA DA DIVISÃO ................................................................................................................................... 51 
4.5. PARIDADE DE UM INTEIRO .............................................................................................................................. 54 
EXERCÍCIOS ............................................................................................................................................................ 56 
Capítulo 5 ..............................................................................................................................................58 
MÁXIMO DIVISOR COMUM ...................................................................................................................58 
5.1. MÁXIMO DIVISOR COMUM DE DOIS INTEIROS .................................................................................................. 58 
5.2. EXISTÊNCIA E UNICIDADE DO MDC. ................................................................................................................ 59 
5.3. INTEIROS RELATIVAMENTE PRIMOS (COPRIMOS OU PRIMOS ENTRE SI) ............................................................ 61 
5.4. CARACTERIZAÇÃO DO MDC DE DOIS INTEIROS ................................................................................................ 64 
5.5. MDC DE VÁRIOS INTEIROS .............................................................................................................................. 64 
EXERCÍCIOS ............................................................................................................................................................ 65 
Capítulo 6 .............................................................................................................................................67 
ALGORITMO DE EUCLIDES – MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM ................................................................. 67 
6.1. ALGORITMO DE EUCLIDES .............................................................................................................................. 67 
6.2 . MÚLTIPLOS COMUNS DE DOIS INTEIROS ......................................................................................................... 74 
6.3. MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM DE DOIS INTEIROS ................................................................................................ 75 
6.5. MMC DE VÁRIOS INTEIROS .............................................................................................................................. 76 
EXERCÍCIOS ............................................................................................................................................................ 78 
Capítulo 7 ............................................................................................................................................. 79 
NÚMEROS PRIMOS ................................................................................................................................ 79 
7.1. INTRODUÇÃO .................................................................................................................................................. 79 
7.2. NÚMEROS PRIMOS (DO LAT. PRIMUS, PRINCIPAL. PRIME EM INGLÊS) .............................................................. 81 
7. 3. TEOREMA FUNDAMENTAL DA ARITMÉTICA. ................................................................................................... 82 
7.4. A SEQÜÊNCIA DOS NÚMEROS PRIMOS .............................................................................................................. 84 
7.5. O CRIVO DE ERATÓSTENES. .............................................................................................................................. 86 
7.6. SEQÜÊNCIA DE INTEIROS CONSECUTIVOS COMPOSTOS .................................................................................... 94 
7.7 . CONJECTURAS ................................................................................................................................................ 96 
7.8. FÓRMULAS QUE GERAM ALGUNS NÚMEROS PRIMOS ........................................................................................ 98 
7.9. DECOMPOSIÇÃO DO FATORIAL EM FATORES PRIMOS ..................................................................................... 101 
7.10. MÉTODO DA FATORAÇÃO DE FERMAT .......................................................................................................... 105 
7. 11 – ALGORITMO DE FERMAT ............................................................................................................................ 105 
EXERCÍCIOS .......................................................................................................................................................... 107 
Capítulo 8: .......................................................................................................................................... 110 
EQUAÇÕES DIOFANTINAS LINEARES ................................................................................................. 110 
3.1. GENERALIDADES ........................................................................................................................................... 111 
3.2. CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA DE SOLUÇÃO ........................................................................................................ 112 
3.3. SOLUÇÕES DA EQUAÇÃO AX + BY = C. ........................................................................................................... 113 
EXERCÍCIOS .......................................................................................................................................................... 115 
Capítulo 9 ........................................................................................................................................... 117 
CONGRUÊNCIAS .................................................................................................................................. 117 
9.1. CONGRUÊNCIAS ............................................................................................................................................ 117 
9.2. CARACTERIZAÇÃO DE INTEIROS CONGRUENTES ............................................................................................ 117 
9.3. PROPRIEDADES DAS CONGRUÊNCIAS ............................................................................................................. 118 
9.4. SISTEMAS COMPLETOS DE RESTOS ................................................................................................................ 121 
9.5 – ARITMÉTICA MÓDULO M .............................................................................................................................. 122 
9.6. ADIÇÃO E MULTIPLICAÇÃO EM 
m
 .............................................................................................................. 124 
9.7. SUBTRAÇÃO EM 
m
...................................................................................................................................... 130 
9.8. DIVISÃO EM 
m
 ............................................................................................................................................ 131 
9.9. POTENCIAÇÃO EM 
m
 .................................................................................................................................. 135 
EXERCÍCIOS .......................................................................................................................................................... 139 
Capítulo 10 ......................................................................................................................................... 141 
TEOREMAS DE FERMAT, WILSON E EULER .......................................................................... 141 
10.1. PEQUENO TEOREMA DE FERMAT ....................................................................................................... 141 
EXERCÍCIOS .......................................................................................................................................................... 145 
10.2. TEOREMA DE WILSON .................................................................................................................................. 146 
EXERCÍCIOS ............................................................................................................................................................................. 149 
10.3. TEOREMA DE EULER .................................................................................................................................... 150 
10.4. FUNÇÃO TOTIENT (N) ................................................................................................................................. 151 
10.5 – CÁLCULO DE (N) ...................................................................................................................................... 152 
10.6. RESOLUÇÃO DE CONGRUÊNCIAS LINEARES PELO TEOREMA DE EULER ......................................................... 155 
10. 7. RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO (N). ................................................................................................................. 156 
10.8 – VALÊNCIA DA FUNÇÃO TOTIENTE: 
( )N m
. ............................................................................................ 159 
EXERCÍCIOS .......................................................................................................................................................... 160 
10.9. TEOREMA CHINÊS DO RESTO (TCR) ..............................................................................................................161 
10.10. POTENCIAÇÃO: UMA APLICAÇÃO DO TEOREMA DE EULER ......................................................................... 165 
10.11 – POTENCIAÇÃO: UMA APLICAÇÃO DO TEOREMA CHINÊS DO RESTO (TCR) .................................................. 165 
Capítulo 11 ..........................................................................................................................................171 
CIFRA DE CÉSAR ..................................................................................................................................171 
11.1. FUNÇÕES POLINOMIAIS DE CODIFICAÇÃO .................................................................................................... 174 
 
Capítulo 12 ..........................................................................................................................................179 
CIFRA DE VIGENÈRE ...........................................................................................................................179 
Capítulo 13 ..........................................................................................................................................182 
CIFRA DE HILL.....................................................................................................................................182 
Capítulo 14 ..........................................................................................................................................190 
RSA .......................................................................................................................................................190 
14. 1. PRÉ-CODIFICAÇÃO ...................................................................................................................................... 190 
14.2 – CODIFICANDO E DECODIFICANDO ............................................................................................................... 191 
14. 3. ASSINATURA DIGITAL UTILIZANDO A CRIPTOGRAFIA RSA .......................................................................... 195 
Capítulo 15 ..........................................................................................................................................201 
PARTILHA DE SENHAS .........................................................................................................................201 
 
 
 
 
 
 
 CAPÍTULO 1 
NÚMEROS INTEIROS – NOÇÕES FUNDAMENTAIS 
 9 
Capítulo 1: 
 
 
 
NÚMEROS INTEIROS – NOÇÕES 
FUNDAMENTAIS 
 
 
 
INTRODUÇÃO 
 
 
 Teoria dos Números nasceu cerca de 600 anos antes de Cristo quando Pitágoras e 
os seus discípulos começaram a estudar as propriedades dos números inteiros. Os 
pitagóricos rendiam verdadeiro culto místico ao conceito de número, 
considerando-o como essência das coisas. Acreditavam que tudo no universo estava 
relacionado com números inteiros ou razões de números inteiros (em linguagem atual, 
números racionais). Aliás, na antiguidade a designação número aplicava-se só aos inteiros 
maiores do que um. 
http://nonio.fc.ul.pt/analise1/cap1/hnum.htm 
O conceito de número tomou forma num longo desenvolvimento histórico. A origem e 
formulação deste conceito ocorreu simultaneamente com o despontar, entenda-se nascimento, 
e desenvolvimento da Matemática. As atividades práticas do homem, por um lado, e as 
exigências internas da Matemática por outro determinaram o desenvolvimento do conceito de 
número. A necessidade de contar objetos levou ao aparecimento do conceito de número 
Natural. 
Todas as nações que desenvolveram formas de escrita introduziram o conceito de 
número Natural e desenvolveram um sistema de contagem. O desenvolvimento subsequente 
do conceito de número prosseguiu principalmente devido ao próprio desenvolvimento da 
Matemática. Os números negativos aparecem pela primeira vez na China antiga. Os chineses 
estavam acostumados a calcular com duas coleções de barras - vermelha para os números 
positivos e preta para os números negativos.No entanto, não aceitavam a idéia de um número 
negativo poder ser solução de uma equação. Os Matemáticos indianos descobriram os 
números negativos quando tentavam formular um algoritmo para a resolução de equações 
quadráticas. São exemplo disso as contribuições de Bramaghupta, pois a aritmética 
sistematizada dos números negativos encontra-se pela primeira vez na sua obra. As regras 
sobre grandezas eram já conhecidas através dos teoremas gregos sobre subtração, como por 
exemplo (a - b)(c - d) = ac + bd - ad - bc, mas os hindus converteram-nas 
em regras numéricas sobre números negativos e positivos. 
Diofanto (Séc. III) operou facilmente com os números negativos. Eles apareciam 
constantemente em cálculos intermédios em muitos problemas do seu "Aritmetika", no 
entanto havia certos problemas para o qual as soluções eram valores inteiros negativos como 
por exemplo: 
4x + 20 = 4 ou 3x – 18 = 5x2 
 
Nestas situações Diofanto limitava-se a classificar o problema de absurdo. Nos séculos XVI e 
XVII, muitos matemáticos europeus não apreciavam os números negativos e, se esses 
 A 
 
CAPÍTULO 1 
NÚMEROS INTEIROS – NOÇÕES FUNDAMENTAIS 
 
 10 
números apareciam nos seus cálculos, eles consideravam-nos falsos ou impossíveis. Exemplo 
deste fato seria Michael Stifel (1487- 1567) que se recusou a admitir números negativos como 
raízes de uma equação, chamando-lhes de "numeri absurdi". Cardano usou os números 
negativos embora chamando-os de "numeri ficti". A situação mudou a partir do (Séc.XVIII) 
quando foi descoberta uma interpretação geométrica dos números positivos e negativos como 
sendo segmentos de direções opostas. 
http://www.somatematica.com.br/historia.php 
 
 
 
1.1 – Números Inteiros 
 
Os números inteiros ou apenas os inteiros são: 
 
 
 
cujo conjunto representa-se pela letra Z, isto é: 
 
 
 
Neste conjunto Z destacam-se os seguintes subconjuntos: 
1) Conjunto Z* dos inteiros não nulos (
0
): 
 
 
 
2) Conjunto 
Z
 dos inteiros não negativos (
0
): 
 
 
 
3) Conjunto 
Z
 dos inteiros não positivos (
0
): 
 
 
 
4) Conjunto 
*Z
 dos inteiros positivos (> 0): 
 
 
 
5) Conjunto 
*Z
 dos inteiros negativos (< 0): 
 
 
 
Os inteiros positivos são também denominados inteiros naturais e por isso o conjunto 
dos inteiros positivos é habitualmente designado pela letra N (N = 
*Z
). 
*Z {x Z| x 0}
 = {-1, -2, -3,...} 
 
 
 
 
*Z {x Z| x 0}
 = {1, 2, 3,...} 
 
 
 
Z {x Z| x 0}
 = {0, -1, -2, -3,...} 
 
 
 
Z {x Z| x 0}
 = {0, 1, 2, 3,...} 
 
 
Z* = 
{x Z| x 0} { 1, 2, 3,...}
 
 
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} 
 
..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,... 
 
 CAPÍTULO 1 
NÚMEROS INTEIROS – NOÇÕES FUNDAMENTAIS 
 11 
1.2 – Propriedades dos Inteiros 
 
 
O conjunto Z dos inteiros munido das operações de adição (+) e multiplicação ( . ) 
possui as propriedades fundamentais que a seguir enumeramos, onde a, b e c são inteiros 
quaisquer, isto é, elementos de Z: 
 
1) a + b = b + a e ab = ba; 
2) (a + b) + c = a + (b + c) e (ab) c = a (bc); 
3) 0 + a = a e 1.a = a; 
4) –a = (-1) a e a – a = a + (-a) = 0; 
5) a (b + c) = ab + ac; 
6) 0.a = 0, e se ab = 0, então a = 0 ou b = 0. 
 
Também existe uma “relação de ordem” entre os inteiros, representada pelo sinal “< 
(menor que)”, que possui as seguintes propriedades: 
 
7) Se 
a 0
, então a > 0 ou a < 0; 
8) Se a < b e b < c, então a < c; 
9) Se a < b, então a + c < b + c; 
10) Se a < b e 0 < c, então ac < bc; 
11) Se a < b e c < 0, então bc < ac. 
 
 Destas propriedadespodem ser deduzidas muitas outras propriedades dos inteiros. 
 
Exemplo 1.1: Demonstrar: -(a + b) = (-a) + (-b). 
 
 Com efeito, temos sucessivamente: 
 
-(a + b) = (-1) (a + b) = (Propriedade 4) 
 = (-1) a + (-1) b = (Propriedade 5) 
 = (-a) + (-b) (Propriedade 4) 
 
Exemplo 1.2: Demonstrar que , se 
0x
, então 
20 x
 . 
 
Com efeito: 
 
1) Se
0x
, então 
0x
 ou 
0 x
 (Propriedade 7) 
2) Se 
0x
, então 
0. .x x x
 (Propriedade 11) 
 
20 x
 (Propriedade 6) 
3) Se 
0 x
 , então 
0. .x x x
 (Propriedade 10) 
 
20 x
 (Propriedade 6) 
 
 
CAPÍTULO 1 
NÚMEROS INTEIROS – NOÇÕES FUNDAMENTAIS 
 
 12 
 
Nota: 
Com o mesmo significado de a < b, escreve-se b > a. Indica-se, de modo 
abreviado, que a < b ou a = b por 
a b
. Por exemplo, temos 
2 3
, porque 2 
< 3, e 
2 2
, porque 2 - 2. 
Com o mesmo significado de 
a b
, escreve-se 
b a
. Em lugar de 
a b
 e 
b c
 também se escreve 
a b c
. 
 
 
 
1.3 – Valor absoluto de um Inteiro 
 
 
Definição 1.1: Chama-se valor absoluto de um inteiro a, o inteiro que se indica por 
| a |
, e tal 
que: 
 
 
 
Assim, por exemplo: 
 
 
 
Consoante a definição de 
| a |
, para todo inteiro a, temos: 
 
 
 
O valor absoluto 
| a |
 de um inteiro a também pode ser definido pelas igualdades: 
 
 
 
onde 
a²
denota a raiz quadrada não negativa de a² e máx [-a, a] indica o maior dos dois 
inteiros –a e a. 
 
 
Assim, por exemplo: 
 
 
Teorema 1.1: Se a e b são dois inteiros, então: 
 
 
 
| ab | | a | . | b |
 
 
 
 
 
 
| 4 | ( 4)² 16 4
 
| 6 |
 = máx [-6, 6] = 6 
 
 
 
 
 
| a | a²
, 
| a |
 = máx [-a, a] 
 
 
 
 
| a | 0
, 
| a | ² a²
, 
| a | | a |
, 
a | a |
 
 
 
| 3| 3
 e 
| 5| ( 5) 5
 
 
a, se a 0
| a |
a, se a < 0
 
 CAPÍTULO 1 
NÚMEROS INTEIROS – NOÇÕES FUNDAMENTAIS 
 13 
Demonstração: 
 
Com efeito: 
 
 
 
Teorema 1.2: Se a e b são dois inteiros, então: 
 
 
 
Demonstração: 
 
Com efeito, pela definição de 
| a |
, temos: 
 
 
 
 
Somando ordenadamente estas desigualdades, obtemos: 
 
 
 
o que implica: 
 
 
* Usou –se o fato de que 
x a a x a
. 
 
Corolário 1.1: Se a e b são dois inteiros, então: 
 
 
Demonstração: 
 
Com efeito: 
 
 
 
 
 
 
| a b | | a ( b) | | a | | b | | a | | b |
 
 
 
 
 
 
 
 
 
| a b | | a | | b |
 
 
 
 
 
 
 
 
 
| a b | | a | | b |
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(| a | | b |) a b | a | | b |
 * 
 
 
 
 
 
 
 
 
| a | a | a |
, 
| b | b | b |
 
 
 
 
 
 
 
 
| a b | | a | | b |
 
 
 
 
 
 
 
| ab | (ab)² a²b² a². b² | a | . | b |
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 1 
NÚMEROS INTEIROS – NOÇÕES FUNDAMENTAIS 
 
 14 
1.4 – Representação dos Inteiros em outras Bases 
 
 
Teorema 1.3: Dado um inteiro qualquer b 2, todo inteiro positivo n admite uma única 
representação da forma: 
 
 
 
onde os ai são tais que 0 ai < b , i = 0, 1, ... , m 
 
 
Demonstração: 
 
Assim, dado um inteiro qualquer 
2b
, todo inteiro positivo n pode ser representado por um 
polinômio inteiro em b do grau m (porque 
0ma
), ordenado segundo as potencias 
decrescentes de b, e cujos coeficientes 
ia
 são inteiros que satisfaçam as condições: 
 
 
Este polinômio representa-se, de modo abreviado, pela notação: 
 
 
 
em que os coeficientes 
ia
 são indicados pela ordem respectiva, figurando o inteiro b como um 
índice. 
 
O inteiro b chama-se base e é costume dizer que n está escrito no sistema de base b. 
 
Exemplos: 
 
a) Escrever 105 no sistema binário 
 
105 = 1.2
6
 + 1.2
5
 + 0.2
4
 + 1.2
3
 + 0.2
2
 + 0.2 + 1 = (1101001)2 
 
Por outro lado, (100111)2 = 1.2
5
 + 0.2
4
 + 0.2
3
 + 1.2
2
 + 1.2 + 1 = 39 
 
b) Escrever 31415 no sistema de base 8 
Temos, sucessivamente: 
 31415 = 8.3926 + 7 
 3926 = 8.490 + 6 
 490 = 8.61 + 2 
 61 = 8.7 + 5 
 7 = 8.0 + 7 
Portanto 31415 = 7.8
4
 + 5.8
3
 + 2.8
2
 + 6.8 + 7 = (75267)8 
 
1 2 1 0( )m m bn a a a a a
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0 ( 0,1,2, , )ia b i m
, sendo 
0ma
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 2
1 2 1 0
m m
m mn a b a b a b a b a
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 CAPÍTULO 1 
NÚMEROS INTEIROS – NOÇÕES FUNDAMENTAIS 
 15 
c) Escrever (3531)6 no sistema de base 10 
Temos, (3531)6 = 3.6
3
 + 5.6
2
 + 3.6 + 1 = 847 
 
d) Escrever (6165)7 no sistema de base 12 
Temos, (6165)7 = 6.7
3
 + 1.7
2
 + 6.7 + 5 = 2154 
Vamos escrever 2154 (base 10) na base 12: 
 2154 = 12.179 + 6 
 179 = 12.14 + 11 
 14 = 12.1 + 2 
 1 = 12.0 + 1 
 
No sistema de base 12 é hábito designar 10 e 11 por a e b, respectivamente, de modo que os 
algarismos deste sistema são: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, a, b. Portanto, 
2154 = 1.12
3
 + 2.12
2
 + b.12 + 6 = (12b6)12 
 
Assim, no sistema de numeração decimal, dado um inteiro n, temos que, 
 
 
 
é a representação no sistema decimal do inteiro positivo n. 
Podemos também dizer que todo inteiro positivo n pode ser expresso sob a forma: 
 
 
 
 Onde a0 é o algarismo das unidades de n 
 
 
 
1.5 – Fatorial e Princípio Fundamental da Contagem 
 
 
Foi a necessidade de calcular o número de possibilidades existentes nos chamados jogos de 
azar que levou ao desenvolvimento da Análise Combinatória, parte da Matemática que estuda 
os métodos de contagem. Esses estudos foram iniciados já no século XVI, pelo matemático 
italiano Niccollo Fontana (1500-1557), conhecido como Tartaglia. Depois vieram os 
franceses Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal (1623-1662). 
A Análise Combinatória visa desenvolver métodos que permitam contar - de uma forma 
indireta - o número de elementos de um conjunto, estando esses elementos agrupados sob 
certas condições. 
 
Definição 1.2: Chama-se fatorial de um inteiro não negativo n (
n 0
), o inteiro que se indica 
por n!, e tal que: 
 
 
Assim, por exemplo: 
1, se n = 0 ou n = 1
n!
n(n 1)(n 2)...3.2.1 se n 2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
n = 10k + a0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
n = am. 10
m
 + am-1. 10
m-1
 + ... + a1. 10 + a0, 0 ≤ ak ≤ 10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 1 
NÚMEROS INTEIROS – NOÇÕES FUNDAMENTAIS 
 
 16 
 
7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5040 
 
Observe-se que n! = n.(n-1)!. 
 
 
Exemplo 1.4: Escrever, usando o símbolo de fatorial, o produto dos n primeiros inteiros 
positivos pares e o produto dos n primeiros inteiros positivos ímpares. 
 
Os n primeiros inteiros positivos pares são: 
 
2,4,6, ..., 2n – 2, 2n 
Isto é: 
2.1,2.2,2.3, ..., 2 . (n – 1), 2n 
Portanto: 
2,4,6, ..., 2n – 2, 2n = 2n (1.2.3... (n -1).n) = 2n . n! 
 
Os n primeiros inteiros positivos ímpares são: 
 
 
1,3,5, ..., 2n – 3, 2n - 1 
 
Portanto: 
 
 
Exemplo 1.5: Calcular a soma: 
 
1.1! + 2.2 ! + 3.3! + ... + n.n! 
 
Tomemos a igualdade: 
 
k.k! = (k + 1)! – k! 
 
e nela façamos sucessivamente k = 1, 2, 3,..., n, o que dá: 
 
 
 
Somando ordenadamente todas essas n igualdades esimplificando, obtemos: 
 
 
 
1.6 – Princípio fundamental da contagem - PFC 
1.1! + 2.2! + 3.3! +...+ n.n! = (n + 1)! – 1 
 
1.1! = 2! – 1 
2.2! = 3! – 2! 
3.3! = 4! – 3! 
 
n.n! = (n + 1)! – n! 
 
1.2.3.4...(2 2).(2 1).2 (2 )!
1.3.5...(2 3).(2 1)
2.4.6...(2 2).2 2 . !n
n n n n
n n
n n n
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 CAPÍTULO 1 
NÚMEROS INTEIROS – NOÇÕES FUNDAMENTAIS 
 17 
 
 
Se determinado acontecimento ocorre em n etapas diferentes, e se a primeira etapa pode 
ocorrer de k1 maneiras diferentes, a segunda de k2 maneiras diferentes, e assim 
sucessivamente , então o número total T de maneiras de ocorrer o acontecimento é dado por: 
T = k1. k2 . k3 . ... . kn 
 
 
 
1.7 – Número Binomial 
 
 
Definição 1.3: Sejam n > 0 e k dois inteiros tais que 
0 k n
. Chama-se número binomial 
de numerador n e classe k, o inteiro que se indica por n
k
, e tal que: 
 
 
 
Obviamente, também podemos escrever: 
 
 
 
Em particular, para k = 0 ou k = n, temos: 
 
 
 
Assim, por exemplo: 
 
 
 
 
8 8! 8.7.6.5.4.3.2.1 8.7.6
56
3 3!5! 3.2.1.5.4.3.2.1 3.2.1
 
7 7.6.5 7.6.5
35
4 (7 4)! 3.2.1
 
n n
1
0 n
 
n n(n 1)...(k 1) n(n 1)...(n k 1)
k (n k)! k!
 
n n!
k k!(n k)!
 
 
 
CAPÍTULO 1 
NÚMEROS INTEIROS – NOÇÕES FUNDAMENTAIS 
 
 18 
1.8 – Números Binomiais Complementares 
 
 
Definição 1.4: Chamam-se números binomiais complementares dois números binomiais que 
têm o mesmo numerador e cuja soma das suas classes respectivas é igual ao numerador 
comum. 
Assim, por exemplo, 20
7
 e 20
13
 são números binomiais complementares, pois, têm o 
mesmo numerador 20 e 7 + 13 = 20. 
 
Teorema 1.4: Dois números binomiais complementares são iguais. 
 
 
Demonstração: 
 
Sejam n
k
 e n
h
 dois números binomiais complementares. Então, k + h = n e k = n – h. 
Portanto: 
 
 
 
 
1.9 – Números Binomiais Consecutivos 
 
 
Definição 1.5: Chamam-se números binomiais consecutivos dois números binomiais que têm 
o mesmo numerador e cujas classes respectivas são inteiros consecutivos. 
Assim, por exemplo, 18
9
 e 18
10
 são números binomiais consecutivos, pois, têm o mesmo 
numerador 18 e as suas classes respectivas são os inteiros consecutivos 9 e 10. 
 
Teorema 1.5: Entre dois números binomiais consecutivos n
k 1
 e n
k
, com 
1 k n
, 
subsiste a relação de Stifel: 
 
 
 
 
 
 
n n n 1
k 1 k k
 
n n nn! n!
k n h h(n h)!(n (n h))! (n h)!h!
 
 CAPÍTULO 1 
NÚMEROS INTEIROS – NOÇÕES FUNDAMENTAIS 
 19 
Demonstração: Com efeito: 
 
 
 
Assim, por exemplo: 
 
 
Corolário 1.2: n n 1 n 2 k k 1
...
k k 1 k 1 k 1 k 1
 
 
 
 
 
Demonstração: 
 
Com efeito, mudando na relação de Stifel n sucessivamente por n – 1, n – 2, n – 3,..., k, 
obtemos: 
 
 
n n 1 n 1
k k 1 k
 
n 1 n 2 n 2
k k 1 k
 
n 2 n 3 n 3
k k 1 k
 
........................................... 
n 1 k k
k k 1 k
 
 
 
18 18 19
9 10 10
 
13 12 12
8 8 7
 
 
n n n! n!
k 1 k (k 1)!(n k 1)! k!(n k)!
 
n! n!
(k 1)!(n k 1)(n k)! k(k 1)!(n k)!
 
n! 1 1
(k 1)!(n k)! n k 1 k
 
n! n 1
(k 1)!(n k)! k(n k 1)
 
n 1(n 1)!
kk!(n 1 k)!
 
 
 
CAPÍTULO 1 
NÚMEROS INTEIROS – NOÇÕES FUNDAMENTAIS 
 
 20 
Além disso, é evidente: k k 1
k k 1
. 
Somando ordenadamente todas essas igualdades e suprimindo os termos comuns aos dois 
membros acha-se a relação desejada. 
Substituindo, nesta relação, cada número binomial pelo seu complementar, obtemos: 
 
 
Corolário 1.3: n n 1 n 2 n k n k 1
...
k k k 1 1 0
 
 
Demonstração: Consoante a relação de Stifel, temos: 
 
 
Além disso, temos: 
 
 
Somando ordenadamente todas essas igualdades e suprimindo os termos comuns aos dois 
membros acha-se a relação desejada. 
 
 
 
1. 10 – Piso, Teto e Nint de um número real. 
 
 
É fácil perceber que qualquer número real está entre dois números inteiros, um inteiro menor 
que o dado número real e um inteiro maior que esse número real. Por exemplo, o número real 
5
, está entre os inteiros 2 e 3 (
2 5 3
); o número real 
3
2
, está entre os inteiros -5 e -
4 (
3
5 4
2
), etc.. Veremos a seguir que o inteiro à esquerda será chamado de Piso 
(floor) e o inteiro à direita será chamado de Teto(ceiling). 
 
n k n k 1
0 0
 
n n 1 n 1
k k 1 k
n 1 n 2 n 2
k 1 k 2 k 1
n 2 n 3 n 3
k 2 k 3 k 2
...........................................
n k 1 n k n k
1 0 1
 
 
 
n n 1 n 2 k k 1
...
n k n k n k 1 1 0
 
 CAPÍTULO 1 
NÚMEROS INTEIROS – NOÇÕES FUNDAMENTAIS 
 21 
 
Definição 1.6: Chamam-se partes inteiras de um número real r, os inteiros n e n+1 que 
verificam às condições: 
 
 
 
A todo número real r podemos associar dois números inteiros chamados piso e teto. Keneth 
Iverson introduziu esses nomes, assim como a notação que será usada, no início da década de 
1960. 
 
Definição 1.7: Chama-se piso de um número real r, ao maior número inteiro menor ou igual a r. 
 
Definição 1.8: Chama-se teto de um número real r, ao menor número inteiro maior ou igual a r. 
 
Definição 1.9: Chama-se nint de um número real r, o valor inteiro mais próximo de r. Para 
evitar ambigüidades, no caso de valores de r iguais à metade de um inteiro, convenciona-se 
arredondar o valor de nint sempre para o inteiro par. 
 
Notação: Usaremos as seguintes notações: 
 
 
 
Assim, o piso e o teto de um número real r são os inteiros definidos pelas desigualdades: 
 
 
 
Em linguagem da Teoria dos Conjuntos: 
 
 
 
Observe que 
r r r
 se, e somente se, r é um número inteiro, e que todo número real r 
pode ser escrito sob a forma: 
 
 r r k
, onde 
0 1k r r
 
 
e 
 
 
1r r k
, onde 
0 1 1k r r
 
 
O número real k chama-se parte não-inteira de r. 
 
 
 
max{ | } e min{ | }r n n r r n n r  
 
1 1r r r r r
 
r
 = piso de r 
 
r
 = teto de r 
 
r
 = nint de r 
 
1n r n
 
 
CAPÍTULO 1 
NÚMEROS INTEIROS – NOÇÕES FUNDAMENTAIS 
 
 22 
Exemplos: piso e teto de r. 
 
a) 
2 1 e 2 2
 d) 
1 1
0 e 1
3 3
 
 
 
 
b) 
3 e 4
 e) 
1 1
1 e 0
2 2
 
 
 
 
c) 
3 3
2 e 1
2 2
 f) 
7 7 e 7 7
 
 
 
 
 
Exemplos: nint de r. 
 
 
a) [2,3] = 2 e [2,7] = 3 d) [3,5] = 4 e [4,5] = 4 
 
 
 
 
 
b) 
1 23
0 e 4
3 6
 e) 
1
0 e 1,5 2
2
 
 
 
 
 
c) [ ] = 3 e [e] = 3 f) [-3, 4] = -3 e [-3, 7] = -4 
 
 
 
 CAPÍTULO 1 
NÚMEROS INTEIROS – NOÇÕES FUNDAMENTAIS 
 23 
Abaixo, estão ilustrados os gráficos das funções piso, teto e nint, respectivamente. 
 
 
( )f x x
 
 
 
 
 
( )f x x
 
 
 
CAPÍTULO 1 
NÚMEROS INTEIROS – NOÇÕES FUNDAMENTAIS 
 
 24 
 
( )f x x
 
 
 
 
1.11 – O Princípio da Casa dos Pombos (Princípio das Gavetas de Dirichlet) 
 
 
O princípio da Casa dos Pombos é a afirmação de que se n pombos devem ser postos em m 
casas, sendo n > m então pelo menos uma casa irá conter mais de um pombo. 
É também conhecido como Princípio das Gavetas de Dirichlet, acredita-se que o primeiro 
relato deste principio foi feito pôr Dirichlet em 1834, com o nome de Schubfachprinzip 
("Princípio das Gavetas"). 
O princípio da casa do pombo é um exemplo de um argumento de calcular quepode ser 
aplicado em muitos problemas formais, incluíndo aqueles que envolvem um conjunto infinito. 
Exemplo: Quantas pessoas são necessárias para se ter certeza que haverá pelo menos duas 
delas façam aniversário no mesmo mês? 
Resposta: 13 pessoas. Pelo princípio da casa dos pombos se houver mais pessoas (13) do que 
meses (12) é certo que pelos menos duas pessoas terão nascido no mesmo mês. 
Embora o princípio da casa dos pombos seja uma observação trivial, pode ser usado para 
demonstrar resultados possivelmente inesperados . Por exemplo, em toda grande cidade, 
digamos com mais de 1 milhão de habitantes existem pessoas com o mesmo número de fios de 
cabelo. Demonstração: Tipicamente uma pessoa tem cerca de 150 mil fios de cabelo. É 
razoavel supor que ninguém tem mais de 1.000.000 de fios de cabelo em sua cabeça. Se há 
mais habitantes do que o número máximo de fios de cabelo, necessariamente pelo menos duas 
pessoas terão exatamente o mesmo número de fios de cabelo. 
 
 
 CAPÍTULO 1 
NÚMEROS INTEIROS – NOÇÕES FUNDAMENTAIS 
 25 
1.12 – Caos Fatorial: !n. 
 
 
Suponha que queremos calcular todos os anagramas da palavra ESCOLA, de modo que 
nenhuma letra ocupe o seu lugar original, ou primitivo. Um deles seria SEOCAL, uma vez 
que nenhuma letra ocupa seu lugar inicial. Esse tipo de permutação é chamada de caótica ou 
desordenada e o caos fatorial n ( também chamado de subfatorial ou derangements em 
Inglês), simbolizado por 
!n
, é usado para calcular o número dessas permutações caóticas. 
Lembre-se que o fatorial calcula o total de permutações de um conjunto. 
 
 
Definição 1.11.: Chama-se caos fatorial de um inteiro não negativo n (
n 0
), o inteiro que 
se indica por !n, e tal que: 
 
n nn
k 0
1 1 1 1 ( 1) ( 1)
!n n! ... n!
0! 1! 2! 3! n! k!
 
Para 
1n
, temos: 
n nn
k 2
1 1 ( 1) ( 1)
!n n! ... n!
2! 3! n! k!
 
Pode-se provar que 
n!
!n
e
. 
 
 M. Hassani deu outras formas para o caos fatorial: 
 
n! 1
!n , n 1
e
 
e 
 
1!n e e n! en! ,n 1 
 
Os 10 primeiros valores !n, são: 
n n! 
0 1 
1 0 
2 1 
3 2 
4 9 
5 44 
6 265 
7 1854 
8 14833 
9 133496 
10 1334961 
 
 
 
CAPÍTULO 1 
NÚMEROS INTEIROS – NOÇÕES FUNDAMENTAIS 
 
 26 
Voltando ao problema comentando no início, podemos afirmar que o número de permutações 
caóticas da palavra ESCOLA é !6 = 265. 
 
Exemplos: 
 
a) 
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
!6 6! 6!
2! 3! 4! 5! 6! 2 6 24 5! 6!
 
 
9 1 1 9 1 1
!6 6! 6!
24 5! 6! 4! 5! 6!
 
 
6.5.4!.9 6.5! 6!
!6 270 6 1
4! 5! 6!
 
 
!6 265
 
 
b) 6! 720
!6 264,87... 265
e 2,718...
 
 
c) 6! 1 721
!6 265,241... 265
e 2,718...
 
 
d) 1
!6 2,718... .720 2,718... .720 3,086... .720 2,718... .720
2,718...
 
 
!6 2221,92 1956,96 2221 1956 265
 
 
 
 
1.13 – Left Fatorial: L!n 
 
 
 
Dura Kurepa , em 1971 publicou a o conceito de L!n, o left factorial, definido como 
 
 
 
Um famoso problema em aberto na Teoria dos Números, é uma conjectura feita por Kurepa 
de que o MDC (n!, L!n) = 2 para todo n maior que 1. 
Abaixo colocamos os 10 primeiros valores do left fatorial. Por definição, L!0 = 0. 
 
n L!n 
0 0 
1 1 
2 2 
1
0
! 0! 1! 2! ... ( 1)! !
n
k
L n n k
 
 CAPÍTULO 1 
NÚMEROS INTEIROS – NOÇÕES FUNDAMENTAIS 
 27 
3 4 
4 10 
5 34 
6 154 
7 874 
8 5914 
9 46234 
10 409114 
 
O left fatorial é sempre par para qualquer inteiro maior que 1. Se dividirmos o left fatorial por 
2, obtemos alguns valores primos. Veja 
n
 
!
2
L n
 
3 2 
4 5 
5 17 
8 2957 
9 23117 
10 204557 
Uma questão em aberto é saber se existem infinitos primos da forma 
!
2
L n
. 
 
 EXERCÍCIOS 
 
1) Sem usar P.A., calcule a soma dos “n” 
primeiros inteiros positivos. 
 
2) Calcular o inteiro positivo n, sabendo que 
3
n+2 
. 2
n+3 
= 2592. 
 
3) Calcule o inteiro positivo n, sabendo-se que: 
3
n
 + 3
n+1 
+ 3
n+2 
+ 3
n+3 
= 1080. 
 
4) Com uma calculadora, achar os valores de n < 
10 para os quais n! + 1 é um quadrado perfeito. 
 
5) Sendo m e n inteiros positivos, dizer se é 
verdadeiro ou falso: 
 
a) (mn)! = m!. n! 
b) (m + n)! = m! + n! 
 
6) Demonstrar: (n – 1)! [(n + 1)! – n!] = (n!)2 
 
7) Sendo n > 2, demonstrar: (n2)! > (n!)2. 
 
8) Decompor o inteiro 565 numa soma de cinco 
inteiros ímpares consecutivos. 
9) Achar todas as soluções inteiras e positivas da 
equação (x + 1)(y + 2) = 2xy. 
 
10) Determinar todos os inteiros positivos de dois 
algarismos que sejam igual ao quádruplo da 
soma dos seus algarismos. 
 
11) Achar o menor e o maior inteiro positivo de n 
algarismos. 
 
12) Resolva a equação: (x + 2)! = 72.x! 
 
13) Resolver a equação: 
2
 7 7
2 2xx x
 
 
14) Demonstrar : 
n 1
k 1
nn k
kk
 
 
 
CAPÍTULO 1 
NÚMEROS INTEIROS – NOÇÕES FUNDAMENTAIS 
 
 28 
15) Achar todas as soluções inteiras e positivas da 
equação: x
2
 – y2 = 88.; 
 
16) Verificar se o quadrado de um inteiro pode 
terminar em 2, 3, 7 ou 8. 
17) Hilbert escreveu os inteiros de 1 até 1000 
(inclusive), em ordem decrescente. Sem usar 
P.A, determine qual foi o 
0333
 inteiro 
escrito? 
 
18) Calcular o número de algarismos necessários 
para ser escrever os números positivos de 1, 2. 
3, 4, ......, n algarismos. 
 
19) O produto de um inteiro positivo de três 
algarismos por 7 termina à direita por 638. 
Achar esse inteiro. 
 
20) Determinar quantos algarismos se emprega 
para numerar todas as páginas de um livro de 
2748 páginas. 
 
21) Dois homens estavam conversando num bar 
quando um virou para o outro e disse: 
 
- Tenho três filhas a soma de suas idades é 
igual ao número da casa em frente e o 
produto é 36. 
- Posso determinar as idades de suas filhas 
apenas com esses dados? 
- Não. Dar-lhe-ei um dado fundamental: 
minha filha mais velha toca piano. 
 
Determine as idades das filhas e o número da 
casa em frente. 
 
22) Calcular a soma dos três maiores números 
inteiros de, respectivamente, três, quatro e 
cinco algarismos. 
 
23) Determinar a diferença entre o maior número 
inteiro com seis algarismos diferentes e o 
maior inteiro com cinco algarismos também 
diferentes.s 
 
24) Um livro tem 1235 páginas. Determinar o 
número de vezes que o algarismo 1 aparece na 
numeração da páginas deste livro. 
 
25) Os números abaixo estão dispostos em linhas e 
colunas. 
1 2 
8 9 
15 16 
22 23 
29 30 

 

 
 
Determine a posição (linha e coluna) ocupada 
pelo número 107. 
 
26) Mostrar que o produto de quatro algarismos 
consecutivos, aumentado de 1, é um quadrado 
perfeito. 
 
27) A soma dos quadrados de dois inteiros é 3332 e 
um deles é o quádruplo do outro. Achar os dois 
inteiros. 
 
28) Escrever os inteiros de 1 a 1993, inclusive, 
quantas vezes o algarismo 1 é escrito? 
 
29) Determinar o inteiro n > 1 de modo que a soma 
1! + 2! + 3! + ... + n! seja um quadrado 
perfeito. 
 
30) A média aritmética de dois inteiros positivos é 
5 e a média geométrica é 4. Encontre esses 
números. 
 
31) Achar cinco inteiros positivos consecutivos 
cuja soma dos quadrados é igual a 2010. 
 
32) O resto por falta da raiz quadrada de um inteiro 
positivo é 135 e o resto por excesso é 38. 
Achar esse inteiro. 
 
33) Resolver a equação 
! 3( 2)! 31
! 3( 2)! 29x x
x x
 
 
34) Achar o inteiro que deve ser somado a cada um 
dos inteiros 2, 6 e 14 para que, nesta ordem, 
formem uma proporção contínua. 
 
35) Coloque em ordem crescente: 602 ; 403 ; 207
. 
 
36) Achar o valor mínimo de uma soma de 10 
inteiros positivos distintos, cada um dos quais 
se escreve com três algarismos. 
 
37) O menor número natural n, diferente de zero, 
que torna o produto de 3888 por n um cubo 
perfeito é: 
 
38) Um estudante ao efetuar a multiplicação de 
7432 por um certo inteiro achou o produto 
1731656, tendo trocado, por engano, o 
algarismo das dezenas do multiplicador, 
tomando 3 em vez de 8. Achar o verdadeiro 
produto. 
 
39) Achar o menor inteiro cujo produto por 21 é 
um inteiro formado apenas por 4 algarismo. 
 
 CAPÍTULO 1 
NÚMEROS INTEIROS – NOÇÕES FUNDAMENTAIS 
 29 
40) Escreve-se a seqüência natural dos inteiros 
positivos, sem separar os algarismos: 
 
123456789101112131415... 
Determinar: 
a) o 435º algarismo 
b) o 1756º algarismo. 
c) o 12387º algarismo. 
 
41) Escreve-se a seqüência natural dos inteiros 
positivos pares, sem separar os algarismos: 
 
24681012141618... 
 
Determinar o 2574º algarismo que se escreve. 
 
42) As representações decimais dos números 19992 
e 
19995
 são escritos lado a lado. O número de 
dígitos escritos é igual a: 
 
43) Mostrar que o produto de dois fatores entre 10 
e 20 é o décuplo da soma do primeiro com as 
unidades do segundo mais o produto das 
unidades dos dois. 
 
44) Achar o menor inteiro positivo que 
multiplicado por 33 dá um produto cujos 
algarismos são todos 7. 
 
45) Os inteiros a e b são tais que 4 < a < 7 e 3 < b 
< 4. Mostrar que 0 < a – b < 4. 
 
46) Os inteiros a e b são tais que –1 < a < 3 e –2 < 
b < 0. Mostrar que –1 < a – b < 5. 
 
47) Os inteiros a e b são tais que -2 < a < 2 e - 
2 < b < 2. Mostrar que –4 < a – b < 4. 
 
48) Em um quartel existem 100 soldados e, todas 
as noites, três deles são escolhidos para 
trabalhar de sentinela. É possível que após 
certo tempo um dos soldados tenha trabalhado 
com cada um dos outros exatamente uma vez? 
 
49) Um jogo consiste de 9 botões luminosos (de 
cor verde ou vermelha) dispostos da seguinte 
forma: 
1 2 3
4 5 6
7 8 9
 
Apertando um botão do bordo do retângulo, 
trocam de cor ele e seus vizinhos (do lado ou 
em diagonal). Apertando o botão do centro, 
trocam de cor todos os seus 8 vizinhos porém 
ele não. 
 
Exemplos: 
 
Apertando 1, trocam de cor 1, 2, 4 e 5. 
Apertando 2, trocam de cor 1, 2, 3, 4, 5 e 6. 
Apertando 5, trocam de cor 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8 e 9. 
 
Inicialmente todos os botões estão verdes. É 
possível, apertando sucessivamente alguns 
botões, torná-los todos vermelhos? 
 
50) Escrevemos abaixo os números naturais de 1 a 
10. 
 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10. 
 
Antes de cada um deles, coloque sinais “+” ou 
“–” de forma que a soma de todos seja zero. 
 
51) Escrevemos abaixo os números naturais de 1 a 
11. 
 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 
 
Antes de cada um deles, coloque sinais “+” ou 
“–” de forma que a soma de todos seja zero. 
 
52) Para numerar as páginas de um livro foram 
utilizados 663 algarismos. Quantas páginas 
tinha o livro? 
 
53) Seja Q = 1! + 2! + 3! + ... + n!. Para quantos 
valores de n tem-se Q quadrado perfeito? 
 
54) Quantos são os números naturais de 4 dígitos 
que possuem pelo menos dois dígitos iguais? 
 
55) Quantos são os números de 5 algarismos, na 
base 10: 
 
a) Nos quais o algarismo 2 figura? 
b) Nos quais o algarismo 2 não figura? 
 
56) Permutam-se de todos os modos possíveis os 
algarismos 1, 2, 4, 6, 7 e escrevem-se os 
números assim formados em ordem crescente. 
 
a) Que lugar ocupa o número 62417? 
b) Qual o número que ocupa o 66º lugar? 
c) Qual o 200º algarismo escrito? 
d) Qual a soma dos números assim 
formados? 
 
 
 
 
 30 
Capítulo 2: 
 
 
 
INDUÇÃO MATEMÁTICA 
 
 
 
INTRODUÇÃO 
 
 
 
s ciências naturais utilizam o método chamado indução empírica para formular leis 
que devem reger determinados fenômenos a partir de um grande número de 
observações particulares, selecionadas adequadamente. Esse tipo de procedimento, 
embora não seja uma demonstração de que um dado fato é logicamente verdadeiro, é 
frequentemente satisfatório. Por exemplo: ninguém duvidaria de que quando um corpo é 
liberado ao seu próprio peso, no vácuo, na superfície da terra, ele cai segundo a vertical do 
local. 
A validade de um teorema matemático se estabelece de forma totalmente diferente. Verificar 
que uma certa afirmação é verdadeira num grande número de casos particulares não nos 
permitirá concluir que ela é válida. 
Para demonstrar a verdade de uma sequência infinita de proposições, uma para cada inteiro 
positivo, introduziremos o chamado método de recorrência ou indução matemática. 
 
 
 
2.1 – Elemento mínimo de um conjunto de inteiros 
 
 
Definição 2.1: Seja A um conjunto de inteiros. Chama-se elemento mínimo de A um elemento 
a A
 tal que 
a x
 para todo 
x A
. 
 
Representa-se pela notação “minA”, que se lê: “mínimo de A”. Portanto, simbolicamente: 
 
 
 
Teorema 2.1: Se a é elemento mínimo de A, então esse elemento é único. 
 
Demonstração: 
 
Com efeito, se existisse um outro elemento mínimo b de A, teríamos: 
 
i) 
a b
, porque a = minA. 
 
ii) 
b a
, porque b = minA.. 
A 
minA = a (
a A
 e (
x A
) (
a x
)) 
 CAPÍTULO 2 
INDUÇÃO MATEMÁTICA 
 31 
Logo, pela propriedade anti-simétrica da relação de ordem natural “ ” em Z, temos a = b. 
O elemento mínimo de A, se existe, denomina-se também primeiro elemento de A ou menor 
elemento de A 
 
Exemplo 2.1: O conjunto N = {1, 2, 3,...} dos inteiros positivos tem o elemento mínimo, que 
é 1 (minN = 1), porque 
1 N
 e 
1 n
 para todo 
n N
. 
 
Exemplo 2.2: O conjunto 
A x |x 12
 tem o elemento mínimo, que é 13 (minA = 
13), porque 
13 A
 e 
13 x
 para todo 
x A
. 
 
Exemplo 2.3: O conjunto 
0, 1, 2, 3,...
 dos inteiros não positivos não tem o elemento 
mínimo, porque não existe 
-Za
 tal que 
a x
 para todo 
-Zx
. 
 
Exemplo 2.4: O conjunto 
2A x |3divide x
tem o elemento mínimo 3 (min A = 3), 
porque 3 A (3 divide 9) e 3 x para todo x A (1 A e 2 A). 
 
 
 
 2.2 – Princípio da boa ordenação 
 
 
Todo conjunto não vazio A de inteiros não negativos possui o elemento mínimo. 
Em outros termos, todo subconjunto não vazio A do conjunto 
 
 
 
dos inteiros não negativos (
+A Z
) possui o elemento mínimo, isto é, simbolicamente: 
 
 
 
 
Exemplo 2.5: O conjunto A = {1, 3, 5, 7,...} dos inteiros positivos ímpares é um subconjunto 
não vazio de 
 
 
Logo, pelo “Princípio da boa ordenação”, A possui o elemento mínimo (minA = 1). 
 
Exemplo 2.6: O conjunto P = {2,3,5,7,11, ...} dos inteiros primos é um subconjunto não vazio 
de Z+ ( P Z+). Logo, pelo “Principio da boa ordenação”, P possui o elemento mínimo 
(minP = 2). 
 
Teorema 2.2 (de Archimedes): Se a e b são dois inteiros positivos quaisquer, então existe um 
inteiro positivo n tal que 
na b
. 
 
Demonstração: 
+Z
 (
+A Z
). 
 
(
,A Z A
) 
min A
 
+Z ={0 ,1, 2, 3, ...}
 
 
CAPÍTULO 2 
INDUÇÃO MATEMÁTICA 
 
 32 
Suponhamos que a e b são dois inteiros positivos para os quais 
na b
 para todo inteiro 
positivo n. Então, todos os elementos doconjunto: 
 
 
 
são inteiros positivos e, pelo “Princípio da boa ordenação”, S possui o elemento mínimo, 
digamos minS = b – ka. 
 
E como b – (k + 1)a pertence a S, porque S contém todos os inteiros positivos desta forma, 
temos: 
 
 
 
isto é, b – ka não é o elemento mínimo de S, o que é uma contradição. Logo, a propriedade 
archimediana é verdadeira. 
 
Assim, por exemplo: 
 
i) se a = 2 e b = 11, então n = 6, porque 6.2 > 11; 
 
ii) se a = 9 e b = 5, então n =1, porque 1.9 > 5. 
 
 
 
2.3 – Princípio de Indução Finita. 
 
 
Quando uma proposição é enunciada em termos de números naturais, o Princípio de indução 
finita constitui um eficiente instrumento para demonstrar a proposição no caso geral. 
 
Na prática, o método pode ser entendido por um artifício muito simples. Vamos supor que 
temos uma série de dominós idênticos colocados em fila, que começa por um deles e 
prossegue indefinidamente. Nosso objetivo é - empurrando apenas um dominó - garantir que 
todos caiam. Como derrubar todos os dominós? Para isso, basta nos assegurarmos de que: 
 
1) O primeiro dominó cai; 
 
2) Os dominós estão dispostos de tal modo que qualquer um deles - toda vez que cai -, 
automaticamente, empurra o dominó seguinte e o faz cair também. 
 
Assim, mesmo que a fila se estenda indefinidamente, podemos afirmar que todos os 
dominós cairão. 
 
 
 
 
 
b – (k + 1) a = (b – ka) – a < b – ka 
 
 
S = {b – na | 
n N
} 
 
 
 CAPÍTULO 2 
INDUÇÃO MATEMÁTICA 
 33 
 Vamos estabelecer matematicamente esses procedimentos. 
 
Teorema 2.3 Seja S um subconjunto do conjunto N dos inteiros positivos (
S N
) que 
satisfaz as duas seguintes condições: 
 
i) 1 pertence a S (
1 S
); 
 
ii) para todo inteiro positivo k, se 
k S
, então 
( 1)k S
. 
 
Nestas condições, S é o conjunto N dos inteiros positivo: S = N. 
 
Demonstração: 
 
Suponhamos, por absurdo, que S não é o conjunto N dos inteiros positivos (
S N
) e seja X o 
conjunto de todos os inteiros positivos que não pertencem a S, isto é: 
 
 
 
Então, X é um subconjunto não vazio de N (
X N
) e, pelo “Princípio da boa 
ordenação”, existe o elemento mínimo 
0x
 de X (minX = 
0x
). 
Pela primeira condição, 
1 S
, de modo que 
0x
 > 1 e, portanto, 
0x
 - 1 é um inteiro positivo que 
não pertence a X. Logo, (x0 - 1) S e, pela segunda condição, segue-se que (
0x
 - 1) + 1 = 
0x
 
S
, o que é uma contradição, pois, 
0x X N S
, isto é, 
0x S
. Assim sendo, 
X
 e S 
= N. 
Consoante este “Princípio de indução finita”, o único subconjunto de N que satisfaz às duas 
condições é o próprio N. 
 
 
 
2.4 – Indução Matemática 
 
 
Em matemática, conclusões como as que se obtêm a seguir são inadmissíveis. Por quê? Em 
que pecam os raciocínios utilizados? Vamos examiná-los... 
 
1) Suponha que desejemos obter uma fórmula que dá o valor da soma Sn = 1 + 3 + 5 + 7 + ... 
+ (2n - 1), para qualquer inteiro positivo de n. 
 
É fácil ver que: 
 n = 1 S1 = 1 = 1
2
; 
 n = 2 S2 = 1 + 3 = 4 = 2
2
; 
 n = 3 S3 = 1 + 3 + 5 = 9 = 3
2
 
 n = 4 S4 = 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4
2 
X = {x | 
x N
 e 
x S
} = N – S 
 
 
 
 
CAPÍTULO 2 
INDUÇÃO MATEMÁTICA 
 
 34 
Por meio de um raciocínio indutivo, os resultados obtidos nos levam a afirmar que para 
todo inteiro positivo n tem-se Sn = n
2
. 
2) Consideremos o trinômio P(n) = n2 + n + 41. Considerando n = 0, obtemos P(0) = 41, que 
é um número primo. Substituindo n por 1, chegamos a outro número primo, o 43. 
Substituindo sucessivamente n por 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10, conseguimos como resultados 
outros números primos (47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131 e 151, respectivamente). Então, os 
resultados obtidos nos induzem a afirmar que, para todo n natural, o trinômio P(n) = n
2
 + n 
+ 41, sempre produz como resultado um número primo. 
Nos dois exemplos, propôs-se um resultado geral, supostamente válido para todo n, com 
base no fato de que ele é correto para alguns valores particulares de n: tal procedimento, 
entretanto, pode conduzir a conclusões falsas. 
Assim, ainda que em no primeiro caso a proposição geral enunciada resulte correta - por 
mero acaso! -, a proposição geral do segundo exemplo é falsa. De fato, P(n) gera números 
primos para n= 0, 1, 2, 3, ..., 39, mas para n = 40, ele vale 41
2
, que não é um número 
primo. Portanto, no exemplo 2), encontramos uma proposição que - apesar de válida em 
40 casos particulares - não é válida em geral. 
Note bem: Uma proposição pode ser válida em uma série de casos particulares, mas, 
mesmo assim, não o ser de maneira geral. 
Coloca-se, então, o seguinte problema: temos uma proposição que se mostrou correta em 
muitos casos particulares. No entanto, é impossível verificar todos os casos particulares. 
Assim sendo, como podemos saber se a proposição é correta de modo geral? O Teorema 
abaixo, esclarece essa questão. 
 
Teorema 2.4: Seja P(n) uma proposição associada a cada inteiro positivo n e que satisfaz às 
duas seguintes condições: 
 
i) P(1) é verdadeira; 
 
ii) para todo inteiro positivo k, se P(k) é verdadeira, então P(k + 1) também é verdadeira. 
 
 Nestas condições, a proposição P(n) é verdadeira para todo inteiro positivo n. 
 
 
Demonstração: 
 
Seja S o conjunto de todos os inteiros positivos n para os quais a proposição P(n) é 
verdadeira, isto é: 
 
 
Pela primeira condição, P(1) é verdadeira e, portanto, 
1 S
. Pela segunda condição, para todo 
inteiro positivo k, se 
k S
, então 
( 1)k S
. Logo, o conjunto S satisfaz às duas condições 
do “Princípio de indução finita” e, portanto, S = N, isto é, a proposição P(n) é verdadeira para 
todo inteiro positivo n. 
S = {
n N
 | P(n) é verdadeira} 
 
 
 
 
 CAPÍTULO 2 
INDUÇÃO MATEMÁTICA 
 35 
 
Nota: O teorema 2.4 é geralmente denominado “Teorema da indução matemática” ou 
“Princípio de indução matemática”, e a demonstração de uma proposição usando-se este 
teorema chama-se “demonstração por indução matemática” ou “demonstração por indução 
sobre n”. 
 
Na “demonstração por indução matemática” de uma dada proposição P(n) é obrigatório 
verificar que as condições i e ii são ambas satisfeitas. A verificação da condição i é 
geralmente muito fácil, mas a verificação da condição ii implica em demonstrar o teorema 
auxiliar cuja hipótese é: 
 
 
 
denominada “hipótese de indução”, e cuja tese ou conclusão é: 
 
 
 
 
 
2.5. Exemplos de demonstração por Indução Matemática 
 
 
Exemplo 2.7: Demonstrar a proposição: 
 
 
 
Demonstração: 
 
i) P(1) é verdadeira, visto que 1 = 1². 
 
ii) A hipótese de indução é que a proposição: 
 
 
 
é verdadeira. 
 
Adicionando (2k + 1) a ambos os membros desta igualdade, obtemos: 
 
 
 
e isto significa que a proposição P(k + 1) é verdadeira. 
 
Logo, pelo “Teorema da indução matemática”, a proposição P(n) é verdadeira para todo 
inteiro positivo n. 
 
1 + 3 + 5 + ... + (2k – 1) + (2k + 1) = k² + (2k + 1) = (k + 1)² 
 
 
P(k): 1 + 3 + 5 + ... + (2k – 1) = k², 
k N
 
 
 
P(n): 1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = n², 
n N
 
 
 
 
 
 
 
T: proposição P(k + 1) é verdadeira. 
 
 
 
 
 
H: proposição P(k) é verdadeira, 
k N
. 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 2 
INDUÇÃO MATEMÁTICA 
 
 36 
Exemplo 2.8: Demonstrar a proposição: 
 
 
 
Demonstração: 
1) P(1) é verdadeira, visto que 
1 1
1.2 1 1
 
2) A hipótese de indução é que a proposição: 
 
 
 
é verdadeira.Adicionando 
1
k 1 k 2
 a ambos os membros desta igualdade, obtemos: 
 
 
 
e isto significa que a proposição 
1P k
 é verdadeira. Logo, pelo “Teorema da indução 
matemática”, a proposição 
P n
 é verdadeira para todo inteiro positivo n. 
 
Exemplo 2.9: Demonstrar a proposição: 
 
 
 
Demonstração: 
 
1) P (1) é verdadeira, visto que 
23| 2 1
. 
2) A hipótese de indução é que a proposição: 
2kP k :3 | 2 1 ,k N
 é verdadeira. 
Portanto: 
 
2
2k
 – 1 = 3q, com q Z 
 
 
2( ) :3 | 2 1 ,nP n n N
 
 
2
1 1 1 1 1
...
1.2 2.3 3.4 k(k 1) k 1 k 2
k 1 k 2k 1 k 1
k 1 k 1 k 2 (k 1) k 2 k 2
 
 
1 1 1 1 k
P(k) : ... , k N
1.2 2.3 3.4 k(k 1) k 1
 
 
 
1 1 1 1 n
P(n) : ... , n N
1.2 2.3 3.4 n(n 1) n 1
 
 
 
 CAPÍTULO 2 
INDUÇÃO MATEMÁTICA 
 37 
o que implica: 
 
2 2 2k 2k
2k 2k
2 k 1 1 2 .2 1 4.2 1
4.2 4 4 1 4 2 1 3
4.3q 3 3(4q 1)
 
 
isto é, a proposição 
1P k
 é verdadeira. Logo, pelo “teorema da indução matemática”, a 
proposição 
P n
 é verdadeira para todo inteiro positivo n. 
 
Exemplo 2.10: Demonstrar a proposição: 
 
( ) : 2 ,nP n n n N
 
 
Demonstração: 
 
1) P(1) é verdadeira, visto que 2¹ = 2 > 1. 
 
2) A hipótese de indução é que a proposição: 
 
P(k): 
2k k
, 
k N
 
 
 
é verdadeira. Portanto: 
 
2.2
k
 > 2k ou 2
k+1
 > k + k k + 1 
 
o que implica: 
12 1k k
, isto é, a proposição P(k+1) é verdadeira. Logo, pelo “Teorema da 
indução matemática”, a proposição P(n) é verdadeira para todo inteiro positivo n. 
 
 
 
2.6 . Outras formas da indução matemática 
 
 
Teorema 2.5 Seja r um inteiro positivo fixo e seja P(n) uma proposição associada a cada 
inteiro n r e que satisfaz às duas seguintes condições: 
 
i) P(r) é verdadeira; 
ii) para todo inteiro k r, se P(k) é verdadeira, então P(k + 1) também é verdadeira. 
 
 Nestas condições, P(n) é verdadeira para todo inteiro n r.. 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 2 
INDUÇÃO MATEMÁTICA 
 
 38 
Demonstração: 
 
Seja S o conjunto de todos os inteiros positivos n para os quais a proposição P(r + n – 1) é 
verdadeira, isto é: 
 
S = {n N | P(r + n – 1) é verdadeira} 
 
Pela primeira condição, P(r) = P(r + 1 – 1) é verdadeira, isto é, 1 S. E, pela segunda 
condição, se P(r + k – 1) é verdadeira, então: 
 
P((r + k – 1) + 1) = P(r + (k + 1) – 1) 
 
também é verdadeira, isto é, se k S, então (k + 1) S. Logo, pelo “Princípio da indução 
finita”, S é o conjunto dos inteiros positivos: S = N, isto é, a proposição P(r + n – 1) é 
verdadeira para todo 
n N
, ou seja, o que é a mesma coisa, a proposição P(n) é verdadeira 
para todo inteiro 
n r
. 
 
Exemplo 2.11: Demonstrar a proposição: 
 
P(n): 
2 !n n
, 
4n
 
 
Demonstração: 
 
1) P(4) é verdadeira, visto que 
42 16 4! 24
. 
2) Suponhamos, agora, que é verdadeira a proposição: 
 
 
 
Então, por ser 
 
 
 
multiplicando termo a termo ( I ) e ( II ): 
 
 
 
isto é, a proposição P(k + 1) é verdadeira. Logo, pelo teorema 2.5, a proposição P(n) é 
verdadeira para todo inteiro 
4n
. 
 
 
Observe-se que a proposição P(n) é falsa para n = 1, 2, 3, pois, temos: 
 
 
Exemplo 2.12: Demonstrar a proposição: 
 
2¹ > 1! , 2² > 2! , 2³ > 3! 
 
 
 
12 !.( 1)k k k
 ou 
12 ( 1)!k k
 
 
 
 
2 < k + 1 para 
4k
 ( II ), 
 
 
 
P(k): 
2 !k k
, 
4k
 ( I ) 
 
 
 
 CAPÍTULO 2 
INDUÇÃO MATEMÁTICA 
 39 
P(n) : n
2
 > 2n + 1, n 3 
 
Demonstração: 
 
1) P (3) é verdadeira, visto que 32 = 9 > 2. 3 + 1= 7. 
2) Suponhamos, agora, que é verdadeira a proposição: 
 
P(k) : k
2
 > 2k + 1, k 3 
 
Então, temos: 
 
k
2
 + (2k+ 1) > (2k+1) + (2k+1) 
ou 
 
(k +1)
2
 > 2 (k + 1) + 2k > 2 (k + 1) + 2 > 2 (k +1) + 1, k 3 
 
e, portanto: 
 
(k +1)
2
 > 2 (k +1) + 1, k 3. 
 
Isto é, a proposição 
1P k
 é verdadeira. Logo, pelo teorema 2.5, a proposição 
P n
 é 
verdadeira para todo inteiro 
3n
. 
 
Observa-se que a proposição 
P n
 é falsa para n = 1 e n = 2, pois, temos: 
 
1
2
 < 2.1+1 e 2
2
 < 2.2 + 1 
 
Teorema 2.6 Seja P(n) uma proposição associada a cada inteiro positivo n e que satisfaz às 
duas seguintes condições: 
 
i) P(1) é verdadeira; 
 
ii) para todo inteiro positivo k, se 
 
 
 
são todas verdadeiras, então P(k + 1) também é verdadeira. 
Nestas condições, a proposição P(n) é verdadeira para todo inteiro positivo n. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P(1), P(2),..., P(k) 
 
 
 
CAPÍTULO 2 
INDUÇÃO MATEMÁTICA 
 
 40 
Demonstração: 
 
Seja S o conjunto de todos os inteiros positivos n para os quais a proposição P(n) é 
verdadeira, isto é: 
 
 
Suponhamos por absurdo, que 
S N
 e seja X o conjunto de todos os inteiros positivos que 
na pertencem a S, isto é: 
 
 
Então, X é um subconjunto não vazio de N e, pelo “Princípio da boa ordenação”, existe o 
elemento mínimo j de X (minX = j). 
 
Pela primeira condição, 
1 S
, de modo que j > 1, e como j é o menor inteiro positivo que não 
pertence a S, segue-se que as proposições P(1), P(2),..., P(j – 1) são todas verdadeiras. Então, 
pela segunda condição, a proposição P(j) é verdadeira e 
j S
, o que é uma contradição, pois 
j X
, isto é, 
j S
. Assim sendo, S = N e a proposição P(n) é verdadeira para todo inteiro 
positivo n. 
 
Teorema 2.7 Seja r um inteiro positivo fixo e seja P(n) uma proposição associada a cada 
inteiro 
n r
 e que satisfaz às duas seguintes condições: 
 
1) P(r) é verdadeira; 
 
2) para todo inteiro k > r, se P(m) é verdadeira para todo inteiro m tal que 
r m k
, então 
P(k) é verdadeira. 
 
 Nestas condições, a proposição P(n) é verdadeira para todo inteiro 
n r
. 
 
 
Demonstração: 
 
Seja S o conjunto de todos os inteiros 
n r
 para os quais a proposição P(n) é falsa, isto é: 
 
 
 
Suponhamos, por absurdo, que S não é vazio (
S
). Então, pelo “Princípio da boa 
ordenação”, existe o elemento mínimo j de S (minS = j). 
 
Pela primeira condição, 
r S
, de modo que j > r, e, por conseguinte P(m) é verdadeira para 
todo inteiro m tal que 
r m j
. Assim sendo, pela segunda condição, P(j) é verdadeira e 
j S
, o que é uma contradição, pois, 
j S
. Logo, o conjunto S é vazio (
S
), e a 
proposição P(n) é verdadeira para todo inteiro 
n r
. 
 
 
 
S = {
n N
 | 
n r
 e P(n) é falsa} 
 
 
 
X = {x | 
x N
 e 
x S
} = N – S 
 
 
S = {
n N
 | P(n) é verdadeira} 
 
 
 CAPÍTULO 2 
INDUÇÃO MATEMÁTICA 
 41 
Nota Histórica 
 
 
Era ideia assente na comunidade matemática do século XIX, que a indução era obra do 
matemático francês Blaise Pascal , tendo em conta diversas demonstrações que apresenta no 
seu Traité du Triangle Arithmétique. 
Essa situação seria integralmente modificada, vinte anos após a formulação moderna de 
indução matemática fixada por Giuseppe Peano , quando Giovanni Vacca , em 1909, num 
artigo de três páginas publicado no Bulletin of American Mathematical Society, vem defender 
que o italiano Francesco Maurolico , pelos trabalhos que desenvolveu no primeiro livro de 
aritmética incluído na sua Opuscula Mathematica, escrita em 1557 e publicado em Veneza no 
ano de 1575, como "the first discoverer of the principle of mathematical induction". 
O artigo de Vacca encontrou eco, ainda que eventualmente sem verificação posterior, em 
autoresimportantes como Moritz Cantor ou Siegmund Günther . M. Cantor, por exemplo, 
que atribuiu inicialmente a Pascal a principal origem do método de indução completa (em 
Vorlesungen uber Geschichte der Mathematik, vol. 2, p. 749), viria a transferir esse atributo 
para Maurolico (em Zeichrift fur Mathematischen und Naturwissenschaftlichen Unterricht, 
vol 33, 1902, p. 536), segundo conta devido a uma informação oral que lhe foi prestada pelo 
próprio Vacca. 
Passar-se-iam mais de quarenta anos sem que o artigo de Vacca fosse alvo de qualquer crítica. 
Até que Hans Freudenthal (em Zur Geschichte der vollständigen Induktion, Archive 
Internationale d'Histoire des Sciences 6 (1953) 17-37) depois de um exame detalhado dos 
trabalhos de Maurolico, vem sustentar que em apenas três pontos conseguiu reconhecer uma 
certa forma de indução matemática: uma forma arcaica, contudo, ao contrário do que 
observou em Pascal, onde a indução é formulada pela primeira vez de uma maneira abstrata. 
 
CAPÍTULO 2 
INDUÇÃO MATEMÁTICA 
 
 42 
 EXERCÍCIOS 
 
1) Demonstrar por "indução matemática": 
a) 12 + 22 + 32 + ... + n2 = 
6
)1n2)(1n(n
 
n N 
 
b) 13 + 23 + 33 + ... + n3 = 
4
)1n(n 22
 n 
 N 
 
c) 12 + 32 + 52 + ... + (2n – 1)2 = 
3
)1n4(n 2
 n N 
 
d) 13 + 33 + 53 + ... + (2n –1)3 = n2(2n2 – 1) 
 
e) 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n + 1) = 
3
)2n)(1n(n
 
f) 
1 1 1
1 1 1 1 ... 1 1
2 3
n
n
, n N 
 
g) a + aq + aq2 + ...+aqn =
1q
)1q(a 1n , q 1 
 
2) Demonstrar por "indução matemática" 
 
a) 2n < 2n+1 n N 
b) 2n > n2 n 5 
c) 4n > n4 n 5 
d) 2n > n3 n 10 
e) n ! > n2 n 4 
f) n! > n3 n 6 
g) 
2n
1
...
9
1
4
1
1
 2 – 
n
1
, n N 
 
3) Demonstrar por "indução matemática" 
 
a) 2 | (3n – 1) n N 
b) 6 | (n3 – n) n N 
c) 5 | (8n – 3n) n N 
d) 24 | (52n – 1) n 
e) 7 | (23n – 1) n N 
f) 8 | 32n + 7, n N. 
 
4) Demonstrar que 10n + 1 – 9n – 10 é um múltiplo 
de 81 para todo inteiro positivo n 
 
5) Demonstrar que 
15
n7
5
n
3
n 53
 é um inteiro 
positivo para todo n N 
 
 
6) Prove que, para todo inteiro 
1n
 , o número 
4 1
3
n
na
 é inteiro e ímpar. 
 
7) Para 
1n
, mostre que 
1
!
n
n
k
S k
 é um 
inteiro ímpar. 
 
 
8) Para 
0n
, mostre que 
2 2 111 12n nna
 
é um inteiro divisível por 133. 
 
 
9) Para 
3n
, mostre que 
a) 
n n 1n 1 n
 
b) 
2 nn! n .
. 
 
 
10) Mostre que é sempre possível pagar, sem 
receber troco, qualquer quantia inteira de $, 
maior que $7, com notas de $3 e $5. 
 
 
 
 
 
 
 
 43 
Capítulo 3: 
 
 
 
SOMATÓRIOS E PRODUTÓRIOS 
 
 
 
3.1 . Somatórios 
 
 
Sejam os n > 1 inteiros 
1 2 na ,a ,...,a
. Para indicar, de modo abreviado, a soma 
1 2 na a ... a
 
desses n inteiros usa-se a notação: 
 
 
 
que se lê: “somatório de 
ia
 de 1 a n”. 
 
Em particular, para n = 2, 3,..., temos: 
 
 
 
A letra i chama-se o índice do somatório e pode ser substituída por qualquer outra diferente de 
a e de n – é um índice mudo. E os inteiros 1 e n que figuram abaixo e acima da letra grega 
maiúscula (sigma) chamam-se respectivamente limite inferior e limite superior do índice i. 
O número de parcelas de um somatório é sempre igual à diferença entre os limites superior e 
inferior do seu índice mais uma unidade. 
Se m e n são dois inteiros, com 
m n
, então, por definição: 
 
 
 
Exemplo 3.1: Temos: 
 
7
1
5 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7
 5 10 15 20 25 30 35 140
i
i 
n
i m m 1 m 2 n
i m
a a a a ...a
 
2
i 1 2
i 1
a a a
, 
3
i 1 2 3
i 1
a a a a
, ... 
n
i
i 1
a
 
 
CAPÍTULO 3 
 SOMATÓRIOS E PRODUTÓRIOS 
 
 44 
4
1
8 3 8.1 3 8.2 3 8.3 3 8.4 3
 5 13 21 29 68
j
j 
8
3 4 5 6 7 8
3
.2 3.2 4.4 5.2 6.2 7.2 8.2
 24 64 160 384 896 2048 3576
k
k
k 
 
Exemplo 3.2: Temos: 
6
i
i 1
2 4 8 16 32 64 2
 
15
1
1 3 5 ... 29 2 1
j
j
 
 
 
 
3.2. Propriedades dos somatórios 
 
 
Teorema 3.1: 
n n n
i i i i
i 1 i 1 i 1
(a b ) a b
 
 
Demonstração: 
 
Com efeito, desenvolvendo-se o primeiro membro, temos: 
 
 
 
Teorema 3.2 
n
i 1
a na
 
 
Demonstração: 
 
Seja 
ia a
 para i = 1, 2,..., n. Então, temos: 
 
 
 
Teorema 3.3 
n n
i i
i 1 i 1
(a a) a na
 
Demonstração: 
n n
i 1 2 n
i 1 i 1
a a a a ... a a a ... a na
 
n
i i 1 1 2 2 n n
i 1
(a b ) (a b ) (a b ) ... (a b )
 
n n
1 2 n 1 2 n i i
i 1 i 1
(a a ... a ) (b b ... b ) a b
 
 CAPÍTULO 3 
SOMATÓRIOS E PRODUTÓRIOS 
 45 
Consoante os dois teoremas anteriores, temos: 
 
 
 
Teorema 3.4 
n n
i i
i 1 i 1
ka k a
 
 
Demonstração: 
 
Com efeito, desenvolvendo o primeiro membro, temos: 
 
 
 
Exemplo 3.3: Calcular 
20
i 1
(5i 2)
 
Consoante os teoremas anteriores temos, sucessivamente: 
 
 
 
 
 
3.3. Produtórios 
 
Sejam os n > 1 inteiros 
1 2 na ,a ,...,a
. Para indicar, de modo abreviado, o produto 
1 2 na a ...a
 
desses n inteiros usa-se a notação: 
 
 
 
que se lê: “produtório de 
ia
 de 1 a n”. 
Em particular, para n = 2, 3,..., temos: 
 
 
2
i 1 2
i 1
a a a
, 
3
i 1 2 3
i 1
a a a a
, ... 
 
 
n
i
i 1
a
 
 
20 20 20 20
i 1 i 1 i 1 i 1
(5i 2) 5i 2 5 i 20.2 5(1 2 ... 20) 40
 
1
5. (1 20)20 40 5.210 40 1090
2
 
n n
i 1 2 n 1 2 n i
i 1 i 1
ka ka ka ... ka k(a a ... a ) k a
 
n n n n
i i i
i 1 i 1 i 1 i 1
(a a) a a a na
 
 
CAPÍTULO 3 
 SOMATÓRIOS E PRODUTÓRIOS 
 
 46 
A letra i chama-se o índice do produtório e pode ser substituída por qualquer outra diferente 
de a e de n – é um índice mudo. E os inteiros 1 e n que figuram abaixo e acima da letra grega 
maiúscula (pi) chamam-se respectivamente limite inferior e limite superior do índice i. 
O número de fatores de um produtório é sempre igual à diferença entre os limites superior e 
inferior do seu índice mais uma unidade. 
Se m e n são dois inteiros, 
m n
, então, por definição: 
 
 
 
Exemplo 3.4: Temos: 
 
 
 
Exemplo 3.5: Temos: 
 
 
 
 
3.4. Propriedades dos Produtórios 
 
Teorema 3.5 
n n n
i i i i
i 1 i 1 i 1
a b a . b
 
Demonstração: 
 
Com efeito, desenvolvendo o primeiro membro, temos: 
 
 
 
n n n
i i 1 1 2 2 n n 1 2 n 1 2 n i i
i 1 i 1 i 1
a b (a b )(a b )...(a b ) (a a ...a )(b b ...b ) a . b
 
 
 
6
i
i 1
3.9.27.81.243.729 3
 
16
1
1.3.5.7....31 2 1
j
j
 
n
i=1
1.2.3... 1 !=n n n i
 
6
1
4
1
3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6
 =3.6.9.12.15.18=524880
5 3 5.1 3 5.2 3 5.3 3 5.4 3
 =2.7.12.17 2856
i
j
i
j
 
n
i m m 1 m 2 n
i m
a a .a .a ...a
 
 
 CAPÍTULO 3 
SOMATÓRIOS E PRODUTÓRIOS 
 47 
Teorema 3.6 
n
n
i 1
a a
 
 
Demonstração: 
 
Seja 
ia a
 para i = 1, 2,..., n. Então, temos: 
 
 
 
Teorema 3.7 
n n
n
i i
i 1 i 1
ka k a
 
 
Demonstração: 
 
Com efeito, desenvolvendo o primeiro membro, temos: 
 
 
 
Exemplo 3.6: Calcular 
4
i 1
(2i 1)²
 
 
Consoante o teorema 3.7, temos: 
 
 
 
Exemplo 3.7: Demonstrar n n n
ij ij
i, j 1 i 1 j 1
a a
 
Com efeito, desenvolvendoo primeiro membro, temos: 
 
 
n
ij 11 12 1n 21 22 2n n1 n2 nn
i, j 1
a (a a ...a )(a a ...a )...(a a ...a )
 
n n n n n
1j 2 j nj ij
j 1 j 1 j 1 i 1 j 1
a . a ... a a
 
 
 
 
 
4 4
i 1 i 1
(2i 1)² (2i 1) ² (3.5.7.9)² 945² 893025
 
 
 
 
n n
n n
i 1 2 n 1 2 n i
i 1 i 1
ka (ka )(ka )...(ka ) k (a a ...a ) k a
 
 
 
n n
n
i 1 2 n
i 1 i 1
a a a a ...a a.a...a a
 
 
 
 
 48 
Capítulo 4 
 
 
 
DIVISIBILIDADE 
 
 
 
Um conceito chave em Teoria dos Números é o conceito de divisibilidade. Existem muitos 
aspectos interessantes referentes à divisão de números inteiros. Antes que possam ser 
analisados, é necessário que conceitos básicos como divisor e divide estejam bem 
estabelecidos. 
 
 
 
4.1. RELAÇÃO DE DIVISIBILIDADE EM Z 
 
 
Definição 4.1: Sejam a e b dois inteiros, com a 0. Diz-se que a divide b se, e somente se, 
existe um inteiro q tal que b = aq 
 
Se a divide b também se diz que a é divisor de b, que b é múltiplo de a, que a é um fator de b 
ou que b é divisível por a. 
 
Notação: a | b ( a divide b) 
 
Observação: Se a | b , então –a | b 
 
Teorema 4.1: Quaisquer que sejam os inteiros a, b e c tem-se: 
 
1) a | 0 a 0 , 1 | a e a | a a 0 
2) Se a | 1 , então a = 1 
3) Se a | b e se c | d , então ac | bd 
4) Se a | b e se b | c , então a | c 
5) Se a | b e se b | a , então a = b 
6) Se a | b com b 0 , então | a | | b | 
7) Se a | b e se a | c , então a |(bx + cy) para todo x e y em Z 
 CAPÍTULO 4 
 DIVISIBILIDADE 
 
 49 
Demonstração: 
 
Em todas as demonstrações estaremos aplicando a Definição 1 e considerando aceitas todas 
as propriedades operatórias dentro do conjunto 

. 
 
1) De fato: 
 
 
2) De fato, se a|1, então 1 = a.q, o que implica a = 1 e q = 1 ou a = -1 e q = -1, ou seja: 
a = 1. 
 
3) De fato, 
 
 
Portanto: 
 
 
4) De fato: 
 
 
Logo, 
1.( . ) |c a q q a c
. 
 
5) De fato: 
 
 
Logo: 
 
 
 
6) De fato, nas condições da proprieade, temos: 
 
 
 
Como 
0q
, temos que 
| | 1q
, desse modo temos 
| | | |b a
. 
 
7) De fato: 
 
 
 
| .a b b a q
 
1| .a c c a q
 
 
 
 
| . , ou seja | | | | . | |a b b a q b a q
 
 
 
 
 
 
 
1 1 1 1( ) 1 |1 1a a qq qq q q a b
 
 
 
 
 
 
| .a b b a q
 
1| .b a a b q
 
 
 
 
| .a b b a q
 
1| .b c c b q
 
 
 
 
1.( . ) |bd ac q q ac bd
 
 
 
 
 
| .a b b a q
 
1| .c d d c q
 
 
 
 
 
0 = a.0; a = 1.a; a = a.1 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 4 
 DIVISIBILIDADE 
 
 50 
Logo, quaisquer que sejam os inteiros x e y: 
 
 
 
 
Esta propriedade (7) pode ser generalizada; ou seja, se 
 
 
 
então, quaisquer que sejam os inteiros 
 
 
temos: 
 
 
 
De acordo com as propriedades (1) e (4), a relação de divisibilidade em 

 é reflexiva e 
transitiva, mas não é simétrica. 
 
 
 
4.2. Conjunto dos divisores de um inteiro 
 
 
O conjunto de todos os divisores de um inteiro qualquer a indica-se por 
 
 
 
É imediato que, para todo inteiro a, se tem D(a) = D(-a). 
Qualquer que seja o inteiro 
0a
, se 
|x a
, então: 
 
 
significando que qualquer inteiro 
0a
 tem um número finito de divisores. 
 
 
 
4.3. Divisores comuns de dois inteiros 
 
 
Definição 4.2 Chama-se divisor comum de dois inteiros a e b todo inteiro d 0 tal que 
d | a e d | b. 
( ) [ | |,| |]a x a D a a a
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D(a) = {x Z
*
 | x | a } 
 
 
 
 
 
 
 
1 2| ( ... )na bx bx bx
 
 
 
 
 
 
 
1 2, ,..., nx x x
 
 
 
 
 
 
 
 
| , 1,2,3,...,ka b k n
 
 
 
 
 
 
 
1 1( ) | ( )bx cy aqx aq y a qx q y a bx cy

 
 
 
 
 
 
 
 
 CAPÍTULO 4 
 DIVISIBILIDADE 
 
 51 
Notação: D(a,b) = { x 

*
 | x | a e x | b} ou seja, D(a,b) = D(a) D(b) 
Obs.: D(a,b) ; D(0,0) = 

* 
 
 
Exemplo 4.1: Sejam os inteiros a = 12 e b = -15. temos: 
 
 
 
Portanto: 
 
 
 
 
4.4. Teorema da Divisão 
 
 
O Teorema da divisão, que veremos a seguir, usado por Euclides no seu livro Elementos, 
estabelece uma divisão com resto. É um teorema que foi "provado" uma vez através de um 
algoritmo que explica como se processa a divisão, por esse motivo ficou conhecido como 
Algoritmo de Euclides. 
 
Teorema 4.2 Se a e b são dois inteiros, com b > 0, então existem e são únicos os inteiros q e r 
que satisfazem às condições: a = bq + r e 0 r < b 
Demonstração: 
 
 
Existência 
 
Seja S o conjunto de todos os inteiros não-negativos que são da forma a – bx, com 
x 
, isto 
é: 
 
 
 
 
Este conjunto S não é vazio, porque, sendo b > 0, temos b 1 e, portanto, para x = - | a |, 
resulta: 
 
 
 
Assim sendo, pelo “Princípio da boa ordenação”, existe o elemento mínimo r de S tal que 
 
 
 
0 r e r = a – bq ou a = bq + r, com q

 
 
 
 
 
 
 
 
 
a – bx = a + b |a | a + | a | 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
S = {a – bx ; 
x 
, a – bx 0 } 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12, 15 12 15 1, 3D D D
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 1, 2, 3, 4, 6, 12
15 1, 3, 5, 15
D
D
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 4 
 DIVISIBILIDADE 
 
 52 
Além disso, temos r < b, pois, se fosse r b, teríamos: 
 
 
 
isto é, r não seria o elemento mínimo de S. 
 
Unicidade 
 
Para demonstrar a unicidade de q e r, suponhamos que existem dois outros inteiros q1 e r1 tais 
que 
 
 
 
Então, teremos: 
 
 
 
por outro lado, temos: 
 
o que implica: 
 
 isto é 
 
 
Assim, b | (r1 – r) e | r1 – r | < b e, portanto: r1 – r = 0, e como b 0, também temos 
 q – q1 0. Logo, r1 = r e q1 = q.  
 
 
 
Nota: Aqui cabe uma pergunta: Por que o resto deve ser positivo? A resposta é 
simples: Quando se divide a por b, o que se procura é o maior múltiplo de b que é 
menor do que a, de modo que se a =b q + r, então r = a – bq é positivo 
porque a.b é menor do que a. Mas, não poderíamos definir divisão de modo que o 
resto fosse negativo? Neste caso b.q seria o menor múltiplo de b maior do que a, e 
teríamos situações como a do seguinte exemplo: para dividir R$10,00 entre 3 
pessoas, cada uma delas receberia 4 reais e haveria um resto de -2(dívida de 2 
reais? Quem iria pagar?) O exemplo mostra que esta maneira de se fazer a 
divisão não teria muito valor prático. (RPM 8) 
 
Corolário 4.1 Se a e b são dois inteiros com b 0, existem e são únicos os inteiros q e r que 
satisfazem às condições: a = bq + r , 0 r < | b | 
 
 
| r1 – r | < b 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- b < r – r1 < b, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- b < - r 0 e 0 r1 < b 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
bq1 + r1 = bq + r r1 – r = b(q – q1) b | (r1 – r) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a = bq1 + r1 e 0 r1 < b 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0 r – b = a – bq – b = a – b( q+1 ) < r 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 CAPÍTULO 4 
 DIVISIBILIDADE 
 
 53 
Demonstração: 
 
Com efeito, se b > 0, nada há que demonstrar, e se b < 0, então | b | > 0, e por conseguinteexistem e são únicos os inteiros q1 e r tais que 
 
 
ou seja, por ser | b | = - b: 
 
 
Portanto, existem e são únicos os inteiros q = - q1 e r tais que 
 
 
 
Os inteiros a, b, q e r chamam-se respectivamente o dividendo, o divisor, o quociente e o 
resto na divisão de a por b. 
 
 
Nota: As demonstrações acima garantem a validade do Teorema de 
Eudoxius: 
Sejam a e b 0 inteiros, então, 
 I ) a é um múltiplo de b e, portanto, a= bq, 
q 
; 
 II ) a está situado entre dois múltiplos consecutivos de b, isto é, existe um 
inteiro q tal que, para b > 0, bq a < b(q+1) e, para b < 0, bq a < 
b(q-1). 
 
Exemplo 4.2: Achar o quociente q e o resto r na divisão de a = 59 por b = -14 que satisfazem 
as condições do algoritmo da divisão. 
Efetuamos a divisão usual dos valores absolutos de a e b, obtemos: 
 
 
o que implica: 
 
 
Logo, o quociente 
4q
 e o resto 
3r
. 
 
Exemplo 4.3: Achar o quociente q e o resto r na divisão de a = -79 por b = 11 que satisfazem 
as condições do algoritmo da divisão. 
Efetuamos a divisão usual dos valores absolutos de a e b, obtemos: 
 
 
o que implica: 
 
 
 
-79 = 11
7 2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
79 = 11.7 + 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
59 14 4 3
 e 
0 3 14
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
59 14.4 3
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a = bq + r e 0 r < | b |.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a = b(- q1 ) + r e 0 r < | b | 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a = | b |q1 + r e 0 r < | b | 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 4 
 DIVISIBILIDADE 
 
 54 
Como o termo r = 2 < 0 não satisfaz a condição 
0 11r
, somando e subtraindo o valor 11 
de b ao segundo membro da igualdade anterior, obtemos: 
 
 
 
com 
0 9 11
. Logo, o quociente q = -8 e o r = 9. 
 
Exemplo 4.4: Sejam os inteiros a = 1, -2, 61, -59 e b = -7. Temos: 
 
 
 
 
 
4.5. Paridade de um Inteiro 
 
 
Na divisão de um inteiro qualquer a por 2 os possíveis restos são r = 1 e r = 0. 
Se r = 0 , então o inteiro a = 2q é denominado par; e se r = 1, então o inteiro a = 2q + 1 é 
denominado ímpar, q

. 
Dois inteiros que são ambos pares ou ambos ímpares dizem-se de mesma paridade, a dois 
inteiros tais que um é par e o outro é ímpar, dizemos que tem paridades diferentes. 
De modo geral, dado um inteiro 
2a
, pode-se sempre escrever um inteiro qualquer n, de 
modo único, na forma 
n aq r
, onde 
,k r 
 e 
r a
. 
 
Teorema 4.3 
1) A soma ou a diferença de dois números pares é par. 
2) A soma ou a diferença de dois números ímpares é par. 
3) A soma ou a diferença de um número par com um número ímpar é ímpar. 
 
 
Demonstração: 
 
1) Sejam a = 2k1 e b = 2k2, então a b = 2k1 2k2 = 2(k1 k2). 
2) Sejam a = 2k1 +1 e b = 2k2 +1, então a b = (2k1 +1) (2k2 +1) = 2(k1 + k2 + 1) ou 2(k1-
k2). 
3) Sejam a = 2k1 e b = 2k2 +1, então a b = 2k1 (2k2 +1) = 2(k1 k2) +1. 
 
 
1 7 .0 1
 e 
0 1 7 0q
 e r =1 
2 7 .1 5
 e 
0 5 7 1q
 e r = 5 
61 7 8 5
 e 
0 5 7 8q
 e r = 5 
59 7 .9 4
 e 
0 4 7 9q
 e r = 4 
79 11 7 11 11 2 11 8 9
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 CAPÍTULO 4 
 DIVISIBILIDADE 
 
 55 
Exemplo 4.5: Mostrar que o quadrado de qualquer inteiro ímpar é da forma 8k+1. 
 
Com efeito, pelo algoritmo da divisão, qualquer inteiro é de uma das seguintes formas: 
 
 
 
Nesta classificação, somente os inteiros das formas 4q +1 e 4q +3 são ímpares e , portanto, os 
seus quadrados são da forma: 
 
 
 
Assim, por exemplo, 7 e 13 são inteiros ímpares, e temos: 
 
 
 
 
2
2
7 49 8.6 1
13 169 8.21 1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 2
2 2
4 1 8 2 1 8 1
4 3 8 2 3 1 1 8 1
q q q k
q q q k
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 ,4 1,4 2,4 3q q q q
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 4 
 DIVISIBILIDADE 
 
 56 
EXERCÍCIOS 
 
1) Mostrar que se a | b, então (-a) | b, a | (-b) e 
(-a) | (-b). 
 
2) Sejam a, b e c inteiros. Mostrar que: 
 
a ) se a | b, então a | bc. 
b ) se a | b e se a | c, então a
2
 | bc. 
c ) a | b se e somente se ac | bc (c 0). 
 
3) Verdadeiro ou falso: 
 
se a | (b + c), então a | b ou a | c. 
 
4) Mostrar que, se a é um número inteiro 
qualquer, então um dos inteiros a, a + 2, a + 4 é 
divisível por 3. 
 
5) Sendo a um inteiro qualquer, mostrar: 
 
a ) 2 | a(a + 1). 
b ) 3 | a(a + 1)(a + 2) . 
 
6) Mostrar que um inteiro qualquer da forma 6k + 
5 também é da forma 3t + 2. 
 
7) Mostrar que todo inteiro ímpar é da forma 4k + 
1 ou 4k + 3. 
 
8) Mostrar que o quadrado de um inteiro qualquer 
é da forma 3k ou 3k + 1. 
 
9) Mostrar que o cubo de um inteiro qualquer é de 
uma das formas 9k, 9k + 1 ou 9k + 8. 
 
10) Mostrar que: 
 
a) n(n + 1)(2n + 1)/6 é um inteiro, qualquer 
que seja o inteiro positivo n. 
 
b) Se “a “ é um inteiro ímpar, então 24 | a 
(a
2
 – 1). 
 
11) Mostrar que se a | (2x – 3y) e se a | (4x – 5y), 
então a | y. 
 
12) Sendo a e b dois inteiros quaisquer, mostrar 
que os inteiros a e a + 2b têm sempre a mesma 
paridade. 
 
13) Sendo m e n dois inteiros quaisquer, mostrar 
que os inteiros m + n e m – n têm sempre a 
mesma paridade. 
 
14) Demonstrar que: Se “a” e “b” são inteiros 
ímpares, então 8 | a
2
 – b2. 
 
15) Determinar os inteiros positivos que divididos 
por 17 deixam um resto igual ao quadrado do 
quociente. 
 
16) Verdadeiro ou falso: se a | c e se b | c, então a 
| b. 
 
17) Mostrar que a diferença entre os cubos de dois 
inteiros consecutivos nunca é divisível por 2. 
 
18) Na divisão do inteiro a = 427 por um inteiro 
positivo “b”, o quociente é 12 e o resto é r. 
Achar o divisor “b” e o resto “r”. 
 
19) Na divisão do inteiro 525 por um inteiro 
positivo o resto é 27. Achar os inteiros que 
podem ser o divisor e o quociente. 
 
20) Na divisão de dois inteiros positivos o 
quociente é 16 e o resto é o maior possível. 
Achar os dois inteiros, sabendo-se que sua 
soma é 341. 
 
21) Achar os inteiros positivos menores que 150 e 
que divididos por 39 deixam um resto igual ao 
quociente. 
 
22) Seja d um divisor de n (d | n). Mostrar que cd | 
n se e somente se c | (n/d). 
 
23) Sejam n, r e s inteiros tais que 0 < r < n e 0 < s 
< n. Mostrar que se n | (r – s) então r = s. 
 
24) Mostrar que o produto de dois inteiros ímpares 
é um inteiro ímpar. 
 
25) Demonstrar que se m e n são inteiros ímpares, 
então 8 | (m
4
 + n
4
 – 2). 
 
26) Demonstrar que 30 | (n5 – n) 
 
27) Mostrar que, para todo inteiro n, existem 
inteiros k e r tais que n = 3k + r e r = -1, 0, 1. 
 
 CAPÍTULO 4 
 DIVISIBILIDADE 
 
 57 
28) Mostrar que (1 + 2 + . . . + n) | 3(12 + 22 + . . . 
+ n
2
) para todo n > 1. 
 
29) Mostre que todo inteiro ímpar, quadrado 
perfeito, é da forma 4
n
 + 1. 
 
30) Na divisão de 392 por 45, determinar: 
 
a) o maior inteiro que se pode somar ao 
dividendo sem alterar o quociente. 
 
b) o maior inteiro que se pode subtrair ao 
dividendo sem alterar o quociente. 
 
31) Numa divisão de dois inteiros, o quociente é 16 
e o resto 167. Determinar o maior inteiro que 
se pode somar ao dividendo e ao divisor sem 
alterar o quociente. 
 
32) Achar o maior inteiro de quatro algarismos 
divisível por13 e o menor inteiro de cinco 
algarismos divisível por 15. 
 
33) Achar um inteiro de quatro algarismos, 
quadrado perfeito, divisível por 27 e terminado 
em 6. 
 
34) Mostre que se a, b e c são inteiros ímpares, a 
equação ax2 bx c 0 não tem raiz 
racional. 
 
35) Um tabuleiro 6 6 está coberto com dominós 
2 1. Mostre que existe uma reta que separa as 
peças do tabuleiro sem cortar nenhum dominó. 
 
36) Dividindo-se o número 245 por um número 
natural b, obtém-se quociente 5 e resto r. 
Determine o valor da soma dos valores 
possíveis para b. 
 
37) A divisão de um certo número inteiro N por 
1994 deixa resto 148. Calcule o resto da 
divisão de N + 2000 pelo mesmo número 1994. 
 
38) Considere quatro números inteiros a, b, c e d. 
Prove que o produto: (a-b) . (c-a) . (d-a) . (d-c). 
(d-b). (c-b) é divisível por 12. 
 
39) Prove que n na b é divisível por a+b se n é 
ímpar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 58 
 
Capítulo 5 
 
 
MÁXIMO DIVISOR COMUM 
 
 
 
5.1. Máximo Divisor Comum de Dois Inteiros 
 
Definição 5.1 Sejam a e b dois inteiros não conjuntamente nulos (a 0 ou b 0). Chama-se 
máximo divisor comum de a e b o inteiro positivo d (d 0) que satisfaz às condições: 
 
1) d | a e d | b; 
2) se c | a e se c | b, então c d. 
 
Observe-se que, pela condição (1), d é um divisor comum de a e b, e pela condição 
(2), d é o maior dentre todos os divisores comuns de a e b. 
 
O máximo divisor comum de a e b indica-se pela notação mdc(a,b). 
 
É imediato que o mdc(a,b) = mdc(b,a). Em particular: 
 
(i) o mdc(0,0) não existe. 
(ii) o mdc(a,1) = 1 
(iii) se a 0, então o mdc(a,0) = | a | 
(iv) se a | b, então o mdc(a,b) = | a | 
 
Assim, por exemplo: 
 
mdc(8,1) = 1 mdc(-3,0) = | -3 | = 3 mdc(-6,12) = | -6 | = 6. 
 
Exemplo 5.1 Sejam os inteiros a = 16 e b = 24. Os divisores comuns positivos de 16 e 24 são 
1, 2, 4 e 8, e como o maior é 8, segue-se que o mdc(16,24) = 8. 
 
 
Observa-se que 
 mdc(-16,24) = mdc(16,-24) = mdc(-16,-24) = 8. 
 
Exemplo 5.2 Sejam os inteiros a = -24 e b = 60. Os divisores comuns positivos de –24 e 60 
são 1, 2, 3, 4, 6 e 12, e como o maior deles é 12, segue-se que o mdc(-24,60) = 12. 
 CAPÍTULO 5 
 MÁXIMO DIVISOR COMUM 
 
 59 
5.2. Existência e unicidade do MDC. 
 
Teorema 5.1 (Identidade de Bézout ) Se a e b são dois inteiros não conjuntamente nulos ( a 
0 ou b 0), então existe e é único o mdc(a,b); além disso, existem inteiros x e y tais que 
 
 
 
Isto é, o mdc(a,b) é uma combinação linear de a e b. 
 
 
 
Nota: Algumas fontes creditam este teorema ao matemático francês Claude 
Gaspard Bachet de Méziriac e não ao também francês, Etienne Bézout. 
 
 
Demonstração: 
 
Seja S o conjunto de todos os inteiros positivos da forma au + bv, com u, v Z, isto é: 
 
 
 
Este conjunto S não vazio (S ), porque, por exemplo, se a 0, então um dos dois inteiros: 
 
 
 
é positivo e pertence a S. Logo, pelo “Princípio da boa ordenação”, existe e é único o 
elemento mínimo d de S: minS = d 0. E, consoante a definição de S, existem inteiros x e y 
tais que d = ax + by. 
 
Posto isto, vamos mostrar que d = mdc(a,b). Com efeito, pelo algoritmo da divisão, temos: 
 
a = dq + r, com 0 r d 
O que dá: 
r = a – dq = a – (ax + by)q = a(1 – qx) + d(-qy) 
 
Isto é, o resto r é uma combinação linear de a e b. Como 0 r d e d 0 é o elemento 
mínimo de S, segue-se que r = 0 e a = dq, isto é, d | a. 
Com raciocínio inteiramente análogo se conclui que também d | b. Logo, d é um divisor 
comum positivo de a e b. 
Finalmente, se c é um divisor comum positivo qualquer de a e b ( c | b, c 0), então: 
 
 
 
Isto é, d é o maior divisor comum positivo de a e b, ou seja: 
 
 
e o teorema fica demonstrado. 
mdc(a,b) = d = ax + by x, y Z 
 
c | (ax + by) c | d c d 
 
a = a.1 + b.0 e -a = a.(-1) + b.0 
 
 
S = { au + bv | au + bv 0 e u, v Z } 
 
mdc(a,b) = ax + by 
 
 
CAPÍTULO 5 
 MÁXIMO DIVISOR COMUM 
 
 60 
 
 
 
Nota: A demonstração do teorema 1 deixa ver que o mdc(a,b) é o menor 
inteiro positivo da forma ax + by, isto é, que pode ser expresso como 
combinação linear de a e b. Mas, esta representação do mdc(a,b) como 
combinação linear de a e b não pe punica, pois, temos: 
 
 
 
 
 
qualquer que seja o inteiro t. 
 
Importa ainda notar que, se 
 
 
 
Para algum par de inteiros r e s, então d não é necessariamente o mdc(a,b). Assim, por 
exemplo, se: 
 
mdc(a,b) = ax + by 
 
então 
 
t.mdc(a,b) = atx + bty 
 
Para todo inteiro t, isto é: 
 
 
 
onde d = t.mdc(a,b), r = tx e s = ty. 
 
Exemplo 5.3 Sejam os inteiros a = 6 e b = 27. Temos: 
 
 
 
qualquer que seja o inteiro t. 
 
Exemplo 5.4 Sejam os inteiros a = -8 e b = -36. Temos: 
 
 
 
Teorema 5.2 Se a e b são dois inteiros não conjuntamente nulos (a 0 ou b 0), então o 
conjunto de todos os múltiplos do mdc(a,b) = d é 
 
 
T = { ax + by | x,y Z } 
 
 
mdc(-8,-36) = 4 = (-8)4 + (-36)(-1) 
 
 
mdc(6,27) = 3 = 6(-4 + 27t) + 27(1 – 6t) 
 
d = ar + bd 
d = ar + bs. 
mdc(a,b) = d = a(x + bt) + b(y - at) 
 CAPÍTULO 5 
 MÁXIMO DIVISOR COMUM 
 
 61 
Demonstração: 
 
Como d | a e d | b, segue-se que d | (ax + by), quaisquer que sejam os inteiros x e y, e por 
conseguinte todo elemento do conjunto T e um múltiplo de d. 
Por outro lado, existem inteiros x0 e y0 tais que 
 
 
 
de modo que todo múltiplo kd de d é da forma: 
 
 
 
isto é, kd é uma combinação linear de a e b e, portanto, kd é elemento do conjunto T. 
 
 
 
5.3. Inteiros Relativamente Primos (coprimos ou primos entre si) 
 
 
Definição: Sejam a e b dois inteiros não conjuntamente nulos (a 0 e b 0). Diz-se que a e b 
são relativamente primos se, e somente se, o mdc(a,b) = 1. 
 
Assim, por exemplo, são relativamente primos os inteiros: 2 e 5, -9 e 16, -27 e –35, pois, 
temos: 
 
 
 
Dois inteiros a e b coprimos admitem como únicos divisores comuns 1 e –1. 
 
Teorema 5.3 Dois inteiros a e b, não conjuntamente nulos (a 0 e b 0), são primos entre si 
se, e somente se, existem inteiros x e y tais que ax + by = 1. 
 
Demonstração: 
 
( ) Se a e b são relativamente primos, então o mdc(a,b) = 1 e por conseguinte existem 
inteiros x e y tais que 
ax + by = 1 
 
( ) Reciprocamente, se existem inteiros x e y tais que ax + by = 1 e se o mdc(a,b) = d, então 
d | a e d | b. Logo, d | (ax + by) e d | 1, o que implica d = 1 ou mdc(a,b) =1, isto é, a e b são 
primos entre si. 
 
Corolário 5.1 Se o mdc(a,b) = d, então o mdc( a/d , b/d ) = 1. 
 
Demonstração: 
 
Preliminarmente, observa-se que a/d e b/d são inteiros, porque d é um divisor comum de a e b. 
Posto isso, se o mdc(a,b) = d, então existem inteiros x e y tais que ax + by = d, ou seja, 
dividindo ambos os membros desta igualdade por d: 
mdc(2,5) = mdc(-9,16) = mdc(-27,-35) = 1 
 
kd = k(ax0 + by0) = a(kz0) + b(ky0) 
 
d = ax0 + by0, 
 
 
 
CAPÍTULO 5 
 MÁXIMO DIVISOR COMUM 
 
 62 
 
 
Logo, pelo teorema anterior, os inteiros a/d e b/d são primos entre si, isto é, o mdc(a/d ,b/d) = 1. 
 
Assim, por exemplo: 
 
 
 
Corolário 5.2 Se a | b e se o mdc(b,c) = 1, então o 
 
 
 
Demonstração: 
Com efeito: 
 
 
Portanto: 
 
 
 
Corolário 5.3 Se a | c, se b | c e se o mdc(a,b) = 1, então ab | c. 
 
Demonstração: 
Com efeito: 
 
Portanto: 
 
 
 
 
Observe-se que somente as condições a | c e b | c não implicam ab | c. 
Assim, por exemplo, 6 | 24 e 8 | 24, mas 6.8 
|
 24 (o mdc(6,8) = 2 1). 
Corolário 5.4 Se mdc(a,b) = 1 = mdc(a,c), então o mdc(a,bc) = 1. 
 
 
c = a(nq2)x = b(aq1)y = ab(q2x + q1y) ab | c 
 
 
a | c c = aq1, com q1 Z 
b | c c = bq2, com q2 Z 
 
mdc(a,b) = 1 ax + by = 1, com x,y Z 
 acx + bcy = c 
 
a(qx) + cy = 1 mdc(a,c) = 1 
 
a | b b = aq, com q Z 
mdc(b,c) = 1 bx + cy = 1, com x, y Z. 
 
mdc (a,c) = 1. 
 
mdc(-12,30) = 6 e mdc(-12/6 , 30/6) = mdc(-2,5) = 1. 
 
(a/d)x + (b/d)y = 1 
 
 CAPÍTULO 5 
 MÁXIMO DIVISOR COMUM 
 
 63 
Demonstração: 
Com efeito: 
 
 
Portanto: 
 
 
o que implica mdc(a,bc) = 1. 
 
Corolário 5.5 Se o mdc(a,bc) = 1, então mdc(a,b) = 1 = mdc(a,c). 
 
Demonstração: 
 
Com efeito: 
 
 
 
Portanto: 
 
 
Note-se que esta proposição é a recíproca da anterior. 
 
Teorema 5.4 (de Euclides) Se a | bc e se o mdc(a,b) = 1, então a | c. 
 
Demonstração: 
 
Com efeito: 
 
Portanto: 
 
 
Note-se que somente a condição a | bc não implica que a | c. 
Assim, por exemplo, 12 | 9.8, mas 12 
|
9 e 12 
|
8 mdc(12,9) 1 e mdc(12,8) 1. 
 
 
 
 
 
 
 
c = acx + aqy = a(cx + qy) a | c 
 
 
a | bc bc = aq, com q Z 
mdc(a,b) = 1 ax + by = 1, com x, y Z 
 acx + bcy = c 
 
ax + b(cy) = 1 mdc(a,b) = 1 
ax + c(by) = 1 mdc(a,c) = 1 
 
 
mdc(a,bc) = 1 ax + (bc)y = 1, com x,y Z. 
 
 
1 = ax + by(az + ct) = a(x + byz) + bc(yt) 
 
 
mdc(a,b) = 1 ax + by = 1, com x,y Z 
mdc(a,b) = 1 az + ct = 1, com z,t Z 
 
 
 
CAPÍTULO 5 
 MÁXIMO DIVISOR COMUM 
 
 64 
 
5.4. Caracterização do MDC de Dois Inteiros 
 
 
Teorema 5.5 Sejam a e b dois inteiros não conjuntamente nulos (a 0 ou b 0). Um inteiro 
positivo d (d 0) é o mdc(a,b) se e somente se satisfaz às condições: 
(1) d | a e d | b 
(2) se c | a e se c | b, então c | d 
 
Demonstração: 
 
( ) Suponhamos que o mdc (a, b) = d. Então, d | a e d | b, isto é, a condição (1) é satisfeita. 
Por outra parte, existem inteiros x e y tais que ax + by = d e, portanto, se c | a e se c | b, então 
c | (ax + by) e c | d, isto é, a condição (2) também é satisfeita. 
 
( ) Reciprocamente, seja d um inteiro positivo qualquer que satisfaz às condições (1) e (2). 
Então, pela condição (2), todo divisor comum c de a e b também é divisor de d, isto é, c | d, e 
isto implica c d. Logo, d é o mdc(a,b). 
 
 
 
5.5. MDC de vários Inteiros 
 
 
O conceito de máximo divisor comum, definido para dois inteiros a e b, estende-se de maneira 
natural a mais de dois inteiros. No caso de três inteiros a, b e c, não todos nulos, o mdc(a,b,c) 
é o inteiro positivo d (d 0) que satisfaz às condições: 
 
(1) d | a, d | b e d | c 
(2) se e | a, se e | b e se e | c, então e d 
 
Assim, por exemplo: 
 
 
 
Importa notar que três inteiros a, b e c podem ser primos entre si, isto é, o mdc(a,b,c) = 1, sem 
que sejam primos entre si dois a dois, que é o caso, por exemplo, dos inteiros 6, 10 e 15. 
 
Teorema 5.6 O mdc(a,b,c) = mdc(mdc(a,b),c). 
 
Demonstração: 
 
Com efeito, seja mdc(a,b,c) = d e mdc(a,b) = e. Então, d | a, d | b e d | c, e como existem 
inteiros x e y tais que ax + by = e, segue-se que d | (ax + by) ou d | e, isto é, d é um divisor 
comum de e e c (d | e e d | c). 
mdc(39,42,54) = 3 e mdc(49,210,350) = 7 
 
 
 CAPÍTULO 5 
 MÁXIMO DIVISOR COMUM 
 
 65 
Por outro lado, se f é um divisor comum qualquer de e e c (f | e e f | c), então f | a, f | b e f | 
c, o que implica f d. 
Assim sendo, o mdc(e,c) = d, isto é, p mdc(mdc(a,b),c) = mdc(a,b,c). 
 
Exemplo 5.5 Determinar o mdc(570,810,495). 
 
Pelo teorema anterior, temos: 
 
 
 
e como o mdc(570,810) = 30, segue-se que o 
 
 
 EXERCÍCIOS 
 
1. Determinar: 
a) mdc(11, 99) 
b) mdc(-21,14) 
c) mdc(17, 18) 
 
1. Achar os elementos do conjunto A = {1, 2, 3, 
4, 5} que são relativamente primos com 8. 
 
2. Seja o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 
Enumerar os elementos do conjunto X = {x 
A | mdc(x, 6) = 1}. 
 
3. Sabendo que o mdc(a, 0) = 13, achar todos os 
valores do inteiro a. 
 
4. Achar o menor inteiro positivo c, da forma c = 
22x + 55y, onde x e y são dois inteiros. 
5. Sendo n um inteiro qualquer, calcular o mdc(n, 
n + 1). 
 
6. Calcular 
a) mdc(n, n + 2), sendo n um inteiro par. 
b) mdc(n, n + 2), sendo n um inteiro ímpar. 
 
7. Sendo n um inteiro qualquer, achar os 
possíveis valores do máximo divisor comum 
dos inteiros n e n + 10. 
 
8. Sendo n um inteiro qualquer, calcular o mdc(n 
– 1, n2 + n + 1). 
 
9. Sendo a e b dois inteiros não conjuntamente 
nulos (a 0 ou b 0), mostrar: mdc (a, b) = 
mdc (-a, b) = mdc (a, -b) = mdc (-a, -b). 
 
10. Sejam a, b e c inteiros. Demonstrar: 
 
a) existem inteiros x e y tais que c = ax + by 
se e somente se o mdc(a, b) | c. 
 
b) se existem inteiros x e y tais que ax + by = 
mdc(a, b) então mdc(x, y) = 1. 
 
11. Sejam a, b e c inteiros. Demonstrar: 
a) se o mdc(a, b) = 1 então o mdc (ac, b) = 
mdc (b, c) 
 
b) Se o mdc(a, b) = 1 e se c | (a + b), então o 
mdc(a, c) = 1 e o mdc(b, c) = 1. 
 
c) se b | c, então o mdc(a, b) = mdc (a + c, b). 
 
d) Se mdc (a, b) = 1, então mdc (am, bn) = 1. 
 
e) Se mdc (a, b)= 1, então mdc (a+b, a²-
ab+b²) =1 ou 3 
 
f) O mdc (a,b) = mdc (a, b + ac), com c 
positivo. 
 
12. Calcular o mdc (a + b, a – b) sabendo que a e b 
são inteiros primos entre si. 
 
13. Seja 10 120a e mdc ( a, 120 ) =10. 
Determine o valor de a. 
mdc(570,810,495) = mdc(30,495) = 15 
 
 
mdc(570,810,495) = mdc(mdc(570,810),495) 
 
 
 
CAPÍTULO 5 
 MÁXIMO DIVISOR COMUM 
 
 66 
 
14. Achar o maior inteiro positivo pelo qual se 
devem dividir os inteiros 160, 198 e 370 para 
que os restos sejam respectivamente 7, 11 e 13. 
 
15. Determinar os inteiros positivos a e b, sabendo-
se que: 
 
a) a + b = 63 e mdc(a, b) = 9 
 
b) ab = 756 e mdc(a, b) = 6. 
 
16. Os restos das divisões dos inteiros 4933 e 4435 
por um inteiro positivo n são respectivamente 
37 e 19. Achar o inteiro n. 
 
17. Demonstrar que se n = abc + 1, então o mdc(n, 
a) = mdc(n, b) = mdc(n, c) = 1. 
 
18. Demonstrar que mdc(mdc(a, b), b) = mdc(a, b) 
 
19. Demonstrar que o mdc(n + k, k) = 1 se e 
somente se o mdc(n, k) = 1. 
 
20. Demonstrar que, se a | bc e se mdc(a, b) = d, 
então a | cd. 
 
21. Demonstrar que, se a | c, se b | c e se o mdc(a, 
b) = d então ab | cd. 
 
22. Demonstrar que se mdc(a, b) = 1 e se mdc(a,c) 
= d,então mdc(a, bc) = d. 
 
23. O inteiro ímpar d é um divisor de a + b e de a – 
b. Demontrar que d também é um divisor do 
mdc(a, b). 
 
24. Os inteiros positivos a, b e c são tais que o 
mdc(a, b) = 1, a | c e c | b. Demonstrar que a = 
1. 
25. O mdc(n, n + k) = 1 para todo inteiro positivo 
n. Demonstrar que k = 1 ou k = -1. 
 
26. Demonstrarque mdc(a, b) = mdc(a + kb, b) 
para todo inteiro k. 
 
27. O mdc(a, 4) = 2 = mdc(b, 4). Demonstrar que o 
mdc(a + b, 4) = 4. 
 
28. Os inteiros positivos m e n são tais que o 
mdc(m, n) = d. Mostrar que o mdc (2
m
 – 1, 2n – 
1) = 2d – 1. 
 
29. Demonstrar que mdc(a, b) = mdc(a, b, a + b). 
 
30. Demonstrar que mdc(a, b) = mdc(a, b, ax + 
by), quaisquer que seja os inteiros x e y. 
 
31. O mdc(a, b) = p, sendo p um primo. Achar os 
possíveis valores do 
a) mdc (a2, b) 
 
b) mdc(a3, b) = p, mesma conclusão acima. 
 
c) mdc(a2, b3) = p2. Pois aparecem 2 fatores 
iguais a p em a
2
 e 3 fatores iguais a p em 
b
3
. 
 
32. Sabendo que o mdc(a, p2) = p e que o mdc(b, 
p
3
) = p
2
, onde p é um primo, calcular o mdc 
(ab, p
4
) e o mdc(a + b, p
4
). 
 
33. Demonstrar que se o mdc(a, b) = d então o mdc 
(a
2
, b
2
) = d
2
. 
34. Demonstrar que mdc(a, b) = mdc(a, c) implica 
mdc(a
2
, b
2
) = mdc(a
2
, c
2
). 
 
35. Sejam a e k inteiros não conjuntamente nulos. 
Demonstrar que mdc(a, a + k) | k. 
 
36. Demonstrar que mdc(a, b) = mdc(a, c) implica 
mdc(a, b) = mdc(a, b, c). 
 
37. Demonstrar que mdc(a, b, c) = mdc(mdc(a, b), 
mdc(a, c). 
 
38. Sejam a e b inteiros positivos tais que ab é um 
quadrado perfeito e o mdc(a, b) = 1. 
Demonstrar que a e b são quadrados perfeitos. 
 
39. Demonstrar que mdc( a + b, a – b) > mdc(a, b) 
 
40. Mostrar que o mdc (5n + 6, 5n + 8) = 1 onde n é 
um inteiro ímpar. 
 
41. Sejam a, b, c, d (b d) inteiros tais que mdc(a, 
b) = mdc(c, d) = 1. Mostrar que a soma a/b + 
c/d não é um inteiro. 
 
42. Determinar os inteiros positivos a e b, sabendo 
que a
2
 – b2 = 7344 e mdc(a, b) = 12. 
 
43. Dividindo-se dois inteiros positivos pelo seu 
mdc, a soma dos quocientes é 8. Determinar os 
dois inteiros, sabendo-se que sua soma é 384. 
 
44. Um enxadrista quer decorar uma parede 
retangular, dividindo-a em quadrados, como se 
fosse um tabuleiro de xadrez. A parede mede 
4,40 metros por 2,75 metros. Qual o menor 
número de quadrados que ele pode colocar na 
parede? 
 
 
 
 
 
 67 
Capítulo 6 
 
 
 
ALGORITMO DE EUCLIDES – 
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM 
 
 
 
ouco se sabe sobre a vida e a personalidade de Euclides e se desconhece a data de seu 
nascimento. É provável que sua formação matemática tenha se dado na escola platônica 
de Atenas. Ele foi professor do Museu em Alexandria. 
Euclides escreveu cerca de uma dúzia de tratados, cobrindo tópicos desde óptica, astronomia, 
música e mecânica até um livro sobre secções cônicas; porém, mais da metade do que ele 
escreveu se perdeu. Entre as obras que sobreviveram até hoje temos: Os elementos, Os dados, 
Divisão de figuras, Os fenômenos e Óptica. 
Os elementos de Euclides não tratam apenas de geometria, mas também de teoria dos 
números e álgebra elementar (geométrica). O livro se compõe de quatrocentos e sessenta e 
cinco proposições distribuídas em treze livros ou capítulos, dos quais os seis primeiros são 
sobre geometria plana elementar, os três seguintes sobre teoria dos números, o livro X sobre 
incomensuráveis e os três últimos tratam sobre geometria no espaço. 
 O livro VII começa com o processo, hoje conhecido como algoritmo euclidiano, para achar o 
máximo divisor comum de dois ou mais números inteiros e o usa para verificar se dois 
inteiros são primos entre si; encontramos também uma exposição da teoria das proporções 
numérica ou pitagórica. 
http://www.matematica.br/historia/euclides.html 
 
Comecemos com o seguinte Lema: 
 
Lema: Se a = bq + r, então o mdc(a,b) = mdc(b,r). 
 
Demonstração: 
 
Se o mdc(a,b) = d, então d | a e d | b, o que implica d | (a - bq) ou d | r, isto é, d é um divisor 
comum de b e r (d | b e d | r). 
 
Por outro lado, se c é um divisor comum qualquer de b e r (c | b e c | r), então c | (bq + r) ou 
c | a, isto é, c é um divisor comum de a e b, o que implica c d. Assim sendo, o mdc(b,r) = d. 
 
 
 
6.1. Algoritmo de Euclides 
 
 
Sejam a e b dois inteiros não conjuntamente nulos ( a 0 ou b 0 ) cujo máximo divisor 
comum se deseja determinar. 
P 
 
CAPÍTULO 6 
ALGORITMO DE EUCLIDES – MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM 
 
 68 
Sejam a e b dois inteiros não conjuntamente nulos ( a 0 ou b 0 ) cujo máximo divisor 
comum se deseja determinar. 
 
É imediato: 
(1) se a 0, então o mdc(a,0) = | a | 
(2) se a 0, então o mdc(a,a) = | a | 
(3) se b | a , então o mdc(a,b) = | b | 
 
Além disso, por ser mdc(a,b) = mdc( | a | , | b | ), a determinação do mdc(a,b) reduz-se ao caso 
em que a e b são inteiros positivos distintos, por exemplo, com a b, tais que b não divide a, 
isto é: a b 0 e b 
|
 a. nestas condições, a aplicação repetida do algoritmo da divisão dá-
nos as igualdades: 
 
 
 
Como os restos r1, r2, r3, r4, ... são todos inteiros positivos tais que 
 
 
 
e existem apenas b – 1 inteiros positivos menores que b, necessariamente se chega a uma 
divisão cujo resto rn+1 = 0, isto é, finalmente, teremos: 
 
 
 
O último resto rn 0 que aparece nesta sequência de divisões é o máximo divisor comum 
procurado de a e b, isto é, o mdc(a,b) = rn, visto que, pelo lema anterior, temos: 
 
 
 
este processo prático para o cálculo do máximo divisor comum de dois inteiros positivos a e b 
é denominado algoritmo de EUCLIDES ou processo das divisões sucessivas. 
 
É usual o seguinte dispositivo de cálculo no emprego do algoritmo de EUCLIDES: 
 
 q1 q2 q3 qn qn+1 
a b r1 r2 ... rn-1 rn 
r1 r2 r3 r4 0 
 
mdc(a,b) = mdc(b,r1) = mdc(r1,r2) = ... = 
= mdc(rn-2,rn-1) = mdc(rn-1,rn) = rn 
 
 
rn-2 = rn-1qn + rn, 0 rn rn-1 
rn-1 = rnqn+1 + rn+1, rn-1 = 0 
 
 
b r1 r2 r3 r4 ... 
 
a = bq1 + r1, 0 r1 b 
b = r1q2 + r2, 0 r2 r1 
r1 = r2q3 + r3, 0 r3 r2 
r2 = r3q4 + r4, 0 r4 r3 
.............................. ........................ 
 
 CAPÍTULO 6 
ALGORITMO DE EUCLIDES – MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM 
 
 69 
Que se traduz na seguinte REGRA: Para se “ achar” o mdc de dois inteiros positivos, dividi-se 
o maior pelo menor, este pelo primeiro resto obtido, o segundo resto pelo primeiro, e assim 
sucessivamente até encontrar um resto nulo. O último resto não nulo é o máximo divisor 
comum procurado. 
 
O algoritmo de EUCLIDES também pode ser usado para achar a expressão do mdc(a,b) = rn 
como combinação linear de a e b, para o que basta eliminar sucessivamente os restos rn-1, rn-2, 
..., r3, r2, r1 entre as n primeiras igualdades anteriores. 
 
Exemplo 6.1 Achar o mdc(963,657) pelo algoritmo de EUCLIDES e a sua expressão como 
combinação linear de 963 e 657, 
 
Temos, sucessivamente: 
 
963 = 657.1 + 306 
657 = 306.2 + 45 
306 = 45.6 + 36 
45 = 36.1 + 9 
36 = 9.4 + 0 
 1 2 6 1 4 
963 657 306 45 36 9 
 306 45 36 9 0 
 
Portanto, o mdc(963,657) = 9 e a sua expressão como combinação linear de 963 e 657 se 
obtém eliminando os restos 36, 45 e 306 entre as quatro primeiras igualdades anteriores do 
seguinte modo: 
 
9 = 45 – 36 = 45 – (306 – 45.6) = 
= - 306 + 7.45 = - 306 + 7(657 – 306.2) = 
= 7.657 – 15.306 = 7.657 – 15(963 – 657) = 
= 963(-15) + 657.2 
 
isto é: 
 
9 = mdc(963,657) = 963x + 657y 
 
onde x = -15 e y = 22. 
 
Esta respresentação do inteiro 9 = mdc(963,657) como combinação linear de 963 e 657 não é 
única. Assim, por exemplo, somando e subtraindo o produto 963.657 ao segundo mebro da 
igualdade: 
 
 
 
obtemos: 
 
 
 
 
 9 = 963(-15 + 657) + 657(22 - 963) = 
 = 963.642 + 657(-941) 
 
9 =963(-15) + 657.22 
 
 
 
CAPÍTULO 6 
ALGORITMO DE EUCLIDES – MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM 
 
 70 
que é uma outra representação do inteiro 9 = mdc(963,657) como combinação linear de 963 
e 657. 
 
Exemplo 6.2 Achar o mdc(252,-180) pelo algoritmo de EUCLIDES e a sua expressão como 
combinação linear de 252 e –180. 
 
Temos, sucessivamente: 
 
 
 
 
Portanto, o mdc(252,-180) = mdc(252,180) = 36 e como 
 
 
 
temos: 
 
 
 
onde x = -2 e y = -3, que é a expressão do mdc(252,-180) como combinação linear de 252 e –
180. 
 
Outra representação do inteiro 36 = mdc(252,-180) como combinação linear de 252 e –180 é 
a seguinte: 
 
 
 
Exemplo 6.3 O mdc de dois inteiros positivos a e b é 74 e na sua determinação pelo algoritmo 
de EUCLIDES os quocientes obtidos foram 1, 2, 2, 5, 1 e 3. Calcular a e b. 
 
 1 2 2 5 1 3 
a b r r1 r2 r3 74 
 r r1 r2 r3 74 0 
 
Temos, sucessivamente: 
 
 
 
 
 
a = b + r, b = 2r + r1, r = 2r1 + r2 
r1 = 5r2 + r3, r1 = r2 + 74, r3 = 74.3 = 222 
 
36 = 252(-2 + 180) + (-180)(-3 + 252) = 
 = 252.178 + (-180)249 
 
 
36 = mdc(252,-180) = 252x + (-180)y 
 
 
36 = 180 – 72.2 = 180 – (252 – 180)2 = 
= 252(-2) + (-180)(-3) 
 
 
252 = 180.1 + 72 
180 = 72.2 + 36 
 72 = 36.2 
 
 CAPÍTULO 6 
ALGORITMO DE EUCLIDES – MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM 
 
 71 
Portanto: 
 
 
 
 
 
Nota: Dispositivo prático para expressar o MDC...(José Paulo Q. Carneiro) 
Antes de deduzir o dispositivo prático, vamos vê-lo funcionando no exemplo 
citado. Forma-se uma matriz com duas colunas, intituladas “q” e “s, t”. 
Primeiramente, preenche-se a coluna “q” com os quocientes obtidos no 
algoritmo de Euclides (desprezando o último, correspondente ao resto zero), 
na ordem contrária ao de seu aparecimento no algoritmo, e deixando em 
branco a primeira linha. 
 
Na coluna “s, t”, coloca-se o número 1 na primeira linha (é sempre 1 
mesmo), e na segunda linha repete-se o valor do quociente que 
aparece ao seu lado na primeira coluna. No nosso exemplo, fica: 
 
 
A partir daí, cada valor seguinte da coluna “s, t” vai sendo obtido de acordo com o seguinte 
esquema auto-explicativo: 
 
Observa-se que os dois últimos valores obtidos na segunda 
coluna são, justamente, em valor absoluto, s = 85e t = 539. Isso 
não é coincidência. Na realidade, essa matriz resume as contas 
que precisam ser feitas com os números relevantes que figuram 
no processo. 
Há a questão dos sinais, isto é, o esquema só fornece os valores absolutos de s e t. Para 
decidir sobre os sinais, aplica-se a seguinte regra: se o número de quocientes aproveitados 
(ou seja, o número de linhas preenchidas na coluna “q”) for ímpar, então s é positivo e t 
negativo; se for par, ocorrerá justamente o contrário: s é negativo e t é positivo. Deve ser 
notado que se pode também, em vez de decorar mais uma regra, experimentar, comparando 
os valores de e . No exemplo, | s | a = 85 x 7248 = 616080 e | t | b = 539 x 1143 = 
616077, ficando claro que, para obter o mdc 3, é necessário fazer s = 85 e t = –539. 
Outro exemplo: a = 1741 e b = 85 
 20 2 13 1 2 
1741 85 41 3 2 1 
 41 3 2 1 0 
 
 
r2 = 222 + 74 = 296, r1 = 5.296 + 222 = 1702 
r = 2.1702 + 296 = 3700, b = 2.3700 + 1702 = 9102 
a = 9102 + 3700 = 12802 
 
 
CAPÍTULO 6 
ALGORITMO DE EUCLIDES – MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM 
 
 72 
Formando então a matriz: 
 
 
Como agora o número de quocientes aproveitados é par, toma-
se: s = 29 s = –29 e t = 549, de modo que 
( 29) x 1741 + (594) x 85 = 50 489 + 40 490 = 1 
 
 
Justificativa do dispositivo prático 
Vamos agora justificar o dispositivo prático, 
por meio da formulação literal do problema. 
Supondo > b > 0 inteiros, aplica-se o 
algoritmo de Euclides, encontrando: 
 
onde rn = m = mdc (a, b). Os quocientes já foram numerados de trás para frente, isto é, o 
último quociente (correspondente ao resto 0) é q0, o penúltimo é q1, etc., e o primeiro é qn, 
para manter coerência com o dispositivo prático. 
Desprezando, como se fez nos exemplos, o último quociente q0, vê-se, da primeira equação, 
que r1 pode ser escrito como uma combinação linear de a e b, ou seja, r1 = a – qnb. 
Substituindo esse valor na penúltima equação, vê-se que r2 também pode ser escrito como 
uma combinação linear de a e b, a saber, r2 = –qn-1a + (1 + qnqn–1)b. E assim por diante, 
para todos os r. Em particular, calcula-se m = n = sa+ tb. 
Repare que acabamos de demonstrar o Teorema Fundamental da Teoria dos Números. Se o 
leitor não estiver satisfeito com o “e assim por diante”, pode formalizar a demonstração por 
indução. É realmente fácil. Basta observar que uma combinação linear de combinações 
lineares de a e b é também uma combinação linear de a e b. 
 
n s t 
1 1 
2 
3 
4 
... ... ... 
 
A lei de formação é clara (e pode ser verificada por indução): 
 
 
com os valores iniciais: s1 = 1 e t1 = –q1. 
1
11
1:
t
k k
k kk k
s t
para n
t q S
 
 CAPÍTULO 6 
ALGORITMO DE EUCLIDES – MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM 
 
 73 
Observando que cada s repete o t anterior, basta trabalhar com os t e notar que, ao final do 
processo, o último valor é o t procurado, enquanto o penúltimo é o s. Foi por isso que 
introduzimos a coluna “s, t” na matriz da nossa regra prática. Além disso, levando em conta a 
alternância dos sinais, é suficiente lidar com os valores absolutos de t, tomando o cuidado 
de, no final, fazer a correção de sinal conveniente, conforme n seja par ou ímpar. Com essas 
providências, a lei de formação fica: 
 
que é justamente o que se fez na regra prática. 
Alguém pode ainda perguntar: quando se escreve o máximo divisor comum de dois inteiros 
como uma combinação linear deles, essa representação é única? A resposta é não (ver [4], 
para maiores detalhes). Uma vez encontrados s e t tais que , basta tomar um 
inteiro qualquer u, e também será verdade que m = s’ a + t’b, onde s’ = s + bu e t’ = t – au, 
como pode ser verificado diretamente por substituição. 
Em nosso primeiro exemplo, tomando , temos: 
 
 
Verificando: s'a + t'b= 1228 x 7 248 + ( 7 787) x 1 143 = 8900544 – 8900541 = 3 
 
Teorema 6.1 Se k 0, então o mdc(ka,kb) = k.mdc(a,b). 
 
Demonstração: 
 
Multiplicando ambos os membros de cada uma das n+1 igualdades que dão o mdc(a,b) = rn 
pelo algoritmo de EUCLIDES por k, obtemos: 
 
 
 
Obviamente, estas n+1 igualdades outra coisa não são que o algoritmo de EUCLIDES 
aplicado aos inteiros ak e bk, e por conseguinte o mdc(ak,bk) é o último resto rnk 0, isto é: 
 
 
 
 
 
 
 
mdc(ak,bk) = rnk = k.mdc(a,b) 
 
 
ak = (bk)q1 + r1k, 0 r1k bk 
bk = (r1k)q2 + r2k, 0 r2k r1k 
r1k = (r2k)q3 + r3k, 0 r3k r2k 
............................. ..................... 
rn-2k = (rn-1k)qn + rnk, 0 rnk rn-1k 
rn-1k = (rnk)qn+1 + 0 
 
s' = 85 + 1143 = 1228, enquanto t’ = – 539 – 7248 = – 7728 
 
 
| tx | = qx | tx -1 | + | tx-2 |, 
 
 
CAPÍTULO 6 
ALGORITMO DE EUCLIDES – MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM 
 
 74 
Assim, por exemplo: 
 
 
 
Corolário 6.1 Para todo k 0, o mdc(ka,kb) = | k |.mdc(a,b) 
 
Demonstração: 
 
Se k 0, nada há que demonstrar, e se k 0, então –k = | k | 0 e, pelo teorema anterior, 
temos: 
 
 
 
 
6.2 . Múltiplos comuns de dois inteiros 
 
 
O conjunto de todos os múltiplos de um inteiro qualquer a 0 indica-se por M(a), isto é: 
 
M(A) = {x Z | a | x } = {aq | q Z} 
 
Assim, por exemplo:M(-1) = M(1) = Z 
 M(5) = {5q | q Z} = {0, +5, +10, +15, +20, ...} 
 
É imediato que, para todo inteiro a 0, se tem M(a) = M(-a). 
 
Definição 6.1 Sejam a e b dois inteiros diferentes de zero (a 0 e b 0). Chama-se múltiplo 
comum de a e b todo inteiro x tal que a | x e b | x. 
 
Em outros termos, múltiplo comum de a e b é todo inteiro que pertence simultaneamente aos 
conjuntos M(a) e M(b). 
O conjunto de todos os múltiplos comuns de a e de b indica-se por M(a,b). Portanto, 
simbolicamente: 
 
M(a,b) = {x Z | a | x e b | x} 
 
Ou seja: 
 
M(a,b) = {x Z | x M(a) e x M(b)} 
 
E, portanto: 
M(a,b) = M(a) M(b) 
mdc(ak,bk) = mdc(-ak,-bk) = 
= mdc(a.| k |, b.| k |) = | k |.mdc(a,b) 
 
 
mdc(12,30) = mdc(2.6,5.6) = 6.mdc(2,5) = 6.1 = 6 
 
 
 CAPÍTULO 6 
ALGORITMO DE EUCLIDES – MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM 
 
 75 
A interseção ( ) é uma operação comutativa, de modo que M(a,b) não depende da ordem 
dos inteiros dados a e b, isto é: M(a,b) = M(b,a). 
 
Obviamente, 0 é um múltiplo comum de a e b: 0 M(a,b). E os produtos ab e –(ab) também 
são múltiplos comuns de a e b. 
 
Exemplo 6.4 Sejam os inteiros a = 12 e b = -18. Temos: 
 
M(12) = {12q | q Z} = {0, +12, +24, +36, +48, +60, +72, ...} 
 M(-18) = {-18q | q Z} = {0, +18, +36, +54, +72, +90, ...} 
 
Portanto: 
 
M(12,-18) = M(12) M(-18) = {0, +36, +72, ...} 
 
 
 
6.3. Mínimo Múltiplo comum de dois inteiros 
 
 
Definição 6.2 Sejam a e b dois inteiros diferentes de zero (a 0 e b 0). Chama-se mínimo 
múltiplo comum de a e b o inteiro positivo m (m 0) que satisfaz às condições: 
 
 
 
Observe-se que, pela condição (1), m é um múltiplo comum de a e b, e pela condição (2), m é 
o menor dentre todos os múltiplos comuns positivos de a e b. 
 
O mínimo múltiplo comum de a e b indica-se pela notação mmc(a,b). 
Pelo “Princípio da boa ordenação” , o conjunto dos múltiplos comuns positivos de a e b 
possui o elemento mínimo e, portanto, o mmc(a,b) existe sempre e é único. Além disso, por 
ser o prodtudo ab um múltiplo comum de a e b, segue-se que o mmc(a,b) |ab|. 
 
Em particular, se a | b, então o mmc(a,b) = | b |. 
 
Exemplo 6.5 Sejam os inteiros a = -12 e b = 30. Os múltiplos comuns positivos de –12 e 30 
são 60, 120, 180, ..., e como o menor deles é 60, segue-se que o mmc(-12,30) = 60. 
 
Relação entre mdc e o mmc 
 
Teorema 6.2 Para todo par de inteiros positivos a e b subsiste a relação: 
 
 
 
 
 
mdc(a,b).mmc(a,b) = |ab| 
 
 
 
(1) a | m e b | m 
(2) se a | c e se b | c, com c 0, então m c. 
 
 
 
CAPÍTULO 6 
ALGORITMO DE EUCLIDES – MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM 
 
 76 
Demonstração: 
Seja mdc(a,b) = d e mmc(a,b) = m. Como a | a(b/d) e b | b(a/d), segue-se que ab/d é um 
múltiplo comum de a e b. Portanto, existe um inteiro positivo k tal que 
 
ab/d = mk, k N 
 
o que implica: 
 
a/d = (m/b)k e b/d = (m/a)k 
 
isto é, k é um divisor comum dos inteiros a/d e b/d. Mas, a/d e b/d são primos entre si 
(corolário 1 desta apostila), de modo que k = 1. Assim sendo, temos: 
 
ab/d = m ou ab = dm 
isto é: 
 
ab = mdc(a,b).mmc(a,b) 
 
Esta importante relação permite determinar o mmc de dois inteiros quando se conhece o seu 
mdc, e vice-versa. 
 
Exemplo 6.6 Determinar o mmc(963,657). 
 
Pelo algoritmo de EUCLIDES, temos mdc(963,657) = 9. Portanto: 
 
 
Corolário 6.2 Para todo par de inteiros positivos a e b, o mmc(a,b) = ab se e somente se o 
mdc(a,b) = 1. 
 
Demonstração: 
 
( ) Se o mdc(a,b) = 1, então: 
 
( ) Reciprocamente, se o mmc(a,b) = ab, então: 
 
 
 
 
6.5. MMC de vários inteiros 
 
 
 
O conceito de mínimo múltiplo comum, definido para dois inteiros a e b, estende-se de 
maneira natural a mais de dois inteiros. No caso de três inteiros a, b e c, diferentes de zero, o 
mmc(a,b,c) é o inteiro positivo m (m 0) que satisfaz às condições: 
mdc(a,b).ab = ab mdc(a,b) = 1 
 
 
 
ab = 1.mmc(a,b) = mmc(a,b) 
 
 
 
mmc(963,657) = 
9
657.963
=70299 
 
 
 
 CAPÍTULO 6 
ALGORITMO DE EUCLIDES – MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM 
 
 77 
(1) a | m, b | m e c | m 
(2) se a | e, se b | e e se c | e, com e 0, então m e. 
 
Assim, por exemplo: mmc (39,102,75) = 33150. 
 
Exemplo 6.7 
 
Achar inteiros x, y e z que verifiquem a seguinte igualdade 11x + 19y + 3z = 1. 
Achando o mdc(11,19) 
 
 1 1 2 1 2 
 19 11 8 3 2 1 
 8 3 2 1 0 
 
Usando o algoritmo da divisão, podemos escrever: 
 
19 = 11 x 1 + 8 
11 = 8 x 1 + 3 
8 = 3 x 2 + 2 
3 = 2 x 1 + 1 
2 = 1 x 2 
 
Desprezando a última igualdade, eliminemos os restos a partir da penúltima igualdade: 
 
1 = 3 – 2 
1 = 3 – (8 – 3 x 2) 
1 = 3 x 3 – 8 
1 = (11 – 8) x 3 – 8 
1 = 11 x 3 – 8 x 4 
1 = 11 x 3 – (19 – 11) x 4 
 
 
 
Achemos agora o mdc(3,1) . Como mdc(3,1) = 1 , vamos escrever este mdc como 
combinação de 3 e 1: 
 
 
 
Agora substituamos o valor de 1, dado na igualdade ( I ) , na igualdade ( II ): 
 
1 = 3 x 1 + (11 x 7 – 19 x 4) (–2) 
 
1 = 3 x 1 + 11 (–14) + 19 x 8 
 ou 
1 = 11 (–14) + 19(8) + 3(1) . 
 
 Logo x = –14, y = 8 e z = 1 
 
1 = 3 x 1 + 1 x (-2) ( II ) 
 
 
 
1 = 11 x 7 – 19 x 4 ( I ) 
 
 
 
 
CAPÍTULO 6 
ALGORITMO DE EUCLIDES – MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM 
 
 78 
 EXERCÍCIOS 
 
1. Usando o algoritmo de Euclides, determinar: 
a) mdc(306, 657) 
b) mdc(272, 1479) 
c) mdc(884, 1292) 
d) mdc(-816, 7209) 
e) mdc(7469, 2387) 
f) mdc(-5376,-3402) 
 
2. Usando o algoritmo de Euclides, determinar: 
 
a) mdc(285, 675, 405) 
b) mdc(209, 299, 102) 
c) mdc(69, 398, 253) 
 
3. Usando o algoritmo de Euclides, achar os 
inteiros x e y que verifiquem cada uma das 
seguintes igualdades: 
 
a) mdc(56, 72) = 56x + 72y 
b) mdc(24, 138) = 24x + 138y 
c) mdc(119, 272) 
d) mdc(1769, 2378) = 1769x + 2378y 
 
4. Achar os inteiros x e y que verifiquem cada 
uma das seguintes igualdades: 
a) 78x + 32y = 2. 
b) 104x + 91y = 13 
c) 31x + 19y = 7 
d) 42x + 26y = 16. 
e) 288x + 51x = 3. 
f) 52x + 13y = 1 
g) 145x + 58y = 87 
h) 17x + 5y = -2 
 
5. Achar os inteiros x, y e z que verifiquem cada 
uma das seguintes igualdades. 
a) 11x + 19y +5z = 1. 
b) 56x + 6y + 32z = 2. 
c) 6x + 3y + 15z = 9. 
d) 14x + 7y + 21z = 4. 
 
6. Achar inteiros x, y e z que verifiquem a 
igualdade 198x + 288y + 512z = mdc(198, 
288, 512) 
 
7. Calcular 
As soluções de todos os itens podem ser 
obtidas a partir da propriedade mdc(a, 
b).mmc(a, b) = a . b. 
Calcula-se o mdc pelo algoritmo de Euclides e 
a seguir divide o produto ab pelo mdc(a, b) 
 
a) mmc( 45, 21). 
b) mmc(83, 68) 
c) mmc( 120, 110) 
d) mmc(86, 71) 
e) mmc(224, 192) 
f) mmc(1287, 507) 
g) mmc(143, 227) 
h) mmc(306, 657) 
 
8. O mdc de dois inteiros positivos a e b é 8 e na 
sua determinação pelo algoritmo de Euclides os 
quocientes sucessivamente obtidos foram 2, 1, 
1 e 4. Calcular a e b. 
 
9. Determinar os inteiros positivos a e b sabendo: 
 
a) ab = 4032 e mmc(a, b) = 336 
b) mdc(a, b) = 8 e mmc(a, b) = 560 
c) a + b = 589 e mmc(a, b)/mdc(a,b) = 84 
 
10. Demonstrar que se a e b são inteiros positivos 
tais que o mdc(a, b) = mmc(a, b) então a = b. 
 
11. Sabendo que o mdc(a,b) = 1 , demonstrar: 
 
a) mdc(2 a + b, a + 2 b) = 1 ou 3 
b) mdc(a + b, a2 + b2) = 1 ou 2 
c) mdc(a + b, a2 – ab + b2) = 1 ou 3 
 
12. Sendo a e b inteiros positivos, demonstrar que 
o mdc(a, b)sempre divide o mmc(a, b). 
 
13. Quantos pares de inteiros positivos A e B 
existem cujo mínimo múltiplo comum é 
126000? 
Considere o par (A,B) como sendo o mesmo 
que (B,A) 
 
14. Calcule a soma dos números entre 200 e 500 
que são múltiplos de 6 ou de 14, mas não 
simultaneamente múltiplos de ambos." 
 
15. O máximo divisor comum, o menor divisor 
comum e o mínimo múltiplo comum dos 
números 4, 8 e 12, são, respectivamente. 
 
 
 
 79 
Capítulo 7 
 
 
NÚMEROS PRIMOS 
 
 
7.1. Introdução 
 
 
A noção de número primo foi, muito provavelmente, introduzida por Pitágoras, 530 AC, 
sendo que a mesma desempenhou um papel central tanto na matemática como no misticismo 
pitagórico. 
A escola pitagórica dava grande importância ao número um, que era chamada de unidade (em 
grego: Monad). Os demais números inteiros naturais – o 2, 3, 4, etc – tinham caráter 
subalterno, sendo vistos como meras multiplicidades geradas pela unidade e por isso recebiam 
a denominação de número (em grego: Arithmós). 
Entre os pitagóricos a preocupação com a geração dos números não parava por aí. Já o próprio 
Pitágoras teria atinado que existem dois tipos de arithmós: 
• Os protoi arithmós (números primários ou primos), que são aqueles que não podem ser 
gerados – através da multiplicação – por outros arithmós, como é o caso de 2, 3, 5, 7... 
• Os deuterói arithmós (números secundários), podem ser gerados por outros arithmós, por 
exemplo, 4 = 2.2, 6 = 3.2, etc. 
Ainda por influência dos Pitagóricos , por muitos séculos houve polemica a respeito da 
primalidade do número dois. Os primeiros pitagóricos chamavam-lhe Dyad, atribuíam-lhe 
caráter especial – embora menos importante que a unidade Monad – e alguns deles não o 
incluíam entre os arithmós. Consequentemente, muitos pitagóricos não consideravam o dois 
como primo. É só pela época de Aristóteles, 350 AC, que passou a ser considerado como 
primo, sendo que este costume foi consagrado pelo livro Elementos de Euclides em cerca de 
300 AC. Cabe mencionar que entre os gregos, principalmente os pitagóricos de 
várias gerações após Pitágoras, surgiram outras denominações para os númerosprimos, 
como: retilíneos, lineares e eutimétricos. Contudo, esta nomenclatura teve uso muito restrito e 
caíram em desuso. 
 
CAPÍTULO 7 
NÚMEROS PRIMOS 
 
 80 
Registros de documentos gregos 
 
Foi supracitado que a noção de primo fora, muito provavelmente, introduzida por Pitágoras. 
Com efeito, é impossível ter completa segurança nessa atribuição, pois Pitágoras não deixou 
nenhum registro escrito de seus trabalhos e os documentos mais antigos que temos falando de 
suas idéias resumem-se a pequenos fragmentos de textos escritos várias gerações após ele. 
Entretanto, esses fragmentos, apesar de conterem informações muito escassas, são unânimes 
em afirmar que Pitágoras iniciou o estudo de números primos. 
O mais antigo livro de matemática que chegou completo aos nossos dias e que desenvolve 
sistematicamente o estudo de números primos é Os Elementos de Euclides. Como é sabido, 
Euclides seguiu muito de perto as orientações matemáticas dos pitagóricos. Assim não é 
surpreendente que, no capítulo em que trata da teoria dos números, ele defina número primo 
de um modo absolutamente compatível com as idéias pitagóricas expostas acima. Elementos, 
Vol. VII, def 11, temos: 
“protós arithmós estin monadi mone metroymenos”. 
Ou seja: Número primo é todo aquele que só pode ser medido através da unidade. 
Surgimento da denominação latina 
A arithmetiké do grego Nikomachos, 100 dC, é o mais antigo livro de Teoria dos Números, 
posterior a Elementos de Euclides, que chegou aos nossos dias. Trata-se de uma visão de 
filósofo e letrado em Elementos, sendo que não há uma única demonstração entre os poucos 
tópicos abordados. Apesar disso, teve grande repercussão na época e foi a base do primeiro 
livro em latim que se escreveu sobre Teoria do Números: o De Institutione Arithmetica, do 
romano Boethius 500 dC. 
No livro de Boethius é onde aparece, pela primeira vez, a nomenclatura numerus primus 
como tradução do tradicional protós arithmós preservada de Euclides por Nikomachos. Além 
disto, Boethius, sempre seguindo Nikomachos, usa a velha classificação pitagórica dos 
números naturais: primos incompostos versus secundários ou compostos. 
O livro de Boethius foi, durante cerca de seiscentos anos, a única fonte de estudos de Teoria 
dos Números disponível na Idade Média. Em torno de 1200 dC iniciou o renascimento 
científico e matemático pela Europa, com o afluxo das obras árabes e a tradução das obras 
gregas preservadas no Mundo Islamita. É dessa época um dos mais influentes livros de todos 
os tempos: o Liber Abacci, de Fibonacci. Esse grande matemático, que havia estudado entre 
os muçulmanos do Norte da África, diz que acha melhor dizer primus em vez do incomposto 
preferido pelos árabes. Ficou assim, definitivamente, consagrada a denominação número 
primo na Europa. (http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/pqprimo.html) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 CAPÍTULO 7 
NÚMEROS PRIMOS 
 
 81 
7.2. Números Primos (do lat. primus, principal. Prime em inglês) 
 
 
Definição 7.1: Diz-se que um número positivo p > 1 é um número primo ou apenas um primo 
se, e somente se, 1 e p são seus únicos divisores positivos. Um inteiro maior que 1 e que não é 
primo diz-se composto. 
Teorema 7.1: Se um número primo p não divide um inteiro a, então a e p são relativamente 
primos (primos entre si). 
Demonstração: 
Seja d o mdc de a e p. Então d | a e d | p. Da relação d | p, resulta que d = 1 ou d = p, porque p 
é primos, e como a segunda igualdade é impossível, porque p não divide a, segue-se que d = 
1, isto é, o mdc ( a , p ) = 1. Logo, a e p são relativamente primos. 
Corolário 7.1: Propriedade Fundamental dos Números Primos. 
Se p é um primo tal que p | ab, então p | a ou p | b (podendo ser fator de ambos, a e b). 
Demonstração: 
Se p | a, nada há que demonstrar, e se, ao invés, p não divide a, então, pelo teorema anterior, o 
mdc (p, a) = 1. logo, pelo teorema 5.4, p | b. 
 
 
 
Nota: Observemos que esta propriedade necessária dos números primos é 
também suficiente para que um inteiro positivo n seja primo: Pois, se n = k. s 
é composto (1< s k < n) , temos n| k.s porém tanto n | k e n | s . 
 
 
Corolário 7.2: Se p é um primo tal que p | a1a2a3 ... an, então existe um índice k, com 1 k 
n tal que p | ak. 
Demonstração: 
Usando Indução, a proposição é verdadeira para n = 1(imediato) e para n = 2 (pelo corolário 
5.1). Supondo, pois, n > 2 e que, se p divide um produto com menos de n fatores, então p 
divide pelo menos um dos fatores (hipótese de indução). 
Pelo corolário 7.1, se p|a1 a2 . . . an-1, então p|an ou p|a1 a2 ... an-1. 
Se p|an, a proposição está demonstrada, e se, ao invés, p|a1 a2 ... an-1, então a hipótese de 
indução assegura que p|ak, com 1 k n - 1. Em qualquer dos casos, p divide um dos inteiros 
a1, a2, a3, ..., an. 
Corolário7.3: Se os inteiros p, q1,q2 ,..., qn são todos primos e se p | q1q2 ... qn, então existe 
um índice k, com 1 k n tal que p = qk. 
 
 
 
 
CAPÍTULO 7 
NÚMEROS PRIMOS 
 
 82 
Demonstração: 
De fato, pelo corolário 7.2, existe um índice k, com 1 k n , tal que p|qk, como os únicos 
divisores positivos de qk são 1 e qk, porque qk, segue-se que p = 1 ou p = qk. Mas, p > 1, 
porque p é primo. Logo, p = qk. 
Teorema 7.2: Todo inteiro composto possui um divisor primo. 
 
Demonstração: 
Seja a um inteiro composto. Consideremos o conjunto A de todos os divisores positivos de a, 
exceto os divisores 1 e a, isto é: 
 
Pelo“Princípio da Boa Ordenação” existe o elemento mínimo p de A. que vamos mostrar ser 
primo. De fato, se p fosse composto admitiria pelo menos um divisor d tal que 1 < d < p, e 
então d|p e d|a, o que implica d|a, isto é, p não seria o elemento mínimo de A, se fosse 
composto. Logo, p é primo. 
 
 
 
7. 3. Teorema Fundamental da Aritmética. 
 
 
Todo inteiro positivo n > 1 é igual a um produto de fatores primos. 
Demonstração: 
Mostraremos a existência da fatoração por indução. Se n é primo não há o que provar 
(escrevemos m = 1, p1 = n). Se n é composto podemos escrever n = ab, a, b N , 1 < a < n, 1 
< b < n. Por hipótese de indução, a e b se decompõem como produto de primos. Juntando as 
fatorações de a e b (e reordenando os fatores) obtemos uma fatoração de n. 
 
 
Nota: Este teorema (como qualquer outro teorema chamado de 
"fundamental") não deveria ser aplicado sem a devida precaução. Existem 
inúmeros sistemas numéricos nos quais a fatoração não é única. Por 
exemplo, imagine um sistema que tenha apenas inteiros pares com a adição 
e multiplicação usual e denominemos um número de "e-primo" se ele não for 
o produto de dois outros números pares. Neste caso, alguns "e-primos" são 
2, 6, 10, 14, 18, ... Observe que neste sistema, 36 possui duas fatorações 
diferentes, 6x 6 e 2 x 18. (http://primes.utm.edu/) 
 
Corolário 7.4: A decomposição de um inteiro positivo n > 1 como produto de fatores primos 
é única, a menos da ordem dos fatores. 
 
A = { x | a; 1 < x < a } 
 
 
 
 CAPÍTULO 7 
NÚMEROS PRIMOS 
 
 83 
Demonstração: 
Suponha que 
 
com, p1 ... pm, q1 ... qr . Como p1| q1... qr temos p1 | qi para algum valor de i, donde, 
como qi é primo, p1 = qi e p1 q1 . Analogamente temos q1 p1, donde p1 = q1. Mas por 
hipótese de indução 
 
 
admite uma única fatoração, donde m = r e pi = qi para todo i. 
Corolário 7.5: Todo inteiro positivo n > 1 admite uma única decomposição da forma 
 
onde, para i =1,2,... , r cada ki é um inteiro positivo e cada pi é um primo, com 
 
denominada decomposição canônica do inteiro positivo n > 1. 
Demonstração: 
Pelo teorema Fundamental da Aritmética, n é um produto de fatores primos q1 . q2 ... qm, com 
q1 q2 ... qm (m 1). Agrupando-se os fatores primos repetidos na forma de potências de 
primos, temos a representação enunciada neste corolário e, pelo Teorema Fundamental da 
aritmética, tal representação é única. 
 
 
Nota: Conhecidas as decomposições canônicas de dois inteiros positivos a 
> 1 e b > 1, o mdc (a, b) é o produto dos fatores primos comuns às duas 
decomposições canônicas tomados cada um com o menor expoente, e o mmc 
(a, b) é o produto dos fatores primos comuns e não comuns às duas 
decomposições canônicas tomados cada um com o maior expoente. 
 
Corolário 7.6: Se p1.p2 ... pn divide a
r
, então p1 . p2 ... pn divide a, onde p1 p2 ... pn é o 
produto de n primos e n e r são inteiros positivos. 
 
p1 < p2 < ... < pr, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
n = p1 ... pm = q1 ... qr 
 
 
 
 
CAPÍTULO 7 
NÚMEROS PRIMOS 
 
 84 
Demonstração: 
Se p1 p2 ... pn não divide a, então a não é nenhum dos primos p1p2 ... pn Seja pi, 1 i n , um 
desses primos. Então, pi também não é fator primo de a
r
 e, desta forma, não existe pi, 1 i 
n, que divida a
r
, o que implica que p1 . p2 ... pn não divide a
r
. Por contraposição, temos a 
demonstração pedida. 
 
Observação: O fato de que os expoentes dos primos pi sejam 1 é essencial. Por exemplo 4 = 
2
2
 divide 6
2
 = 36 , mas 4 não divide 6. 
 
 
 
7.4. A Seqüência dos Números Primos 
 
 
Teorema 7.4: (de Euclides): Há um número infinito de primos. 
Demonstração: 
Suponha por absurdo que p1, p2, ..., pm fossem todos os primos. O número P = p1 . p2 ... pm + 
1 > 1 não seria divisível por nenhum primo, o que contradiz o teorema fundamental da 
aritmética. 
Proposição 7.1. Para o n-ésimo número primo pn vale a estimativa . 
Demostração: 
Para n = 1 é verdade que . Suponhamos já provadas as 
desigualdades 
 
Se q é primo tal que q | p1 . p2 ... pn + 1, então q > pn, particularmente q pn+1. 
Então, 
 
Esta estimativa é exageradamente fraca, no geral pn é significativamente menor que por 
exemplo = 256 e p4 é apenas 7. Uma estimativa melhor para pn, postulada por Bertrand 
e, demonstrada por Chebychev, é dada pelo teorema seguinte: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 CAPÍTULO 7 
NÚMEROS PRIMOS 
 
 85 
Teorema 7.5 (de Chebychev): Para todo inteiro m 2 existe um primo p com m < p< 2m. A 
demonstração deste teorema está fora de nosso contexto. Um outro fato provado é que entre 
dois cubos consecutivos existe sempre um primo. 
Com esse Teorema podemos afirmar que pn+1 < 2pn (para n 1) 
Corolário 7.6. Para o n-ésimo número primo pn vale a estimativa pn 2
n
. 
Demonstração: 
Temos 2 = p1 2
1
 e pelo teorema de Chebychev: Para todo inteiro positivo n, tem-se pn < pn+1 
< 2 . pn. De pn 2
n
 segue que pn + 1 2. 2
n
 = 2
n+1
. 
Ao estudarmos a sequência de números primos percebemos que existem infinitos primos em 
subconjuntos particulares dos inteiros, como, por exemplo, na sucessão aritmética: {4q + 3; q 
inteiro e q 0} = {3, 7, 11, 15, 19, ...}. 
Esse resultado foi generalizado pelo matemático alemão Peter Gustav Le-jeune Dirichlet 
(1805-1859). 
Teorema 7.6 (de Dirichlet). Sejam a e b inteiros primos entre si, isto é, mdc (a, b) = 1. 
Existem infinitos primos da forma an + b, onde n é inteiro positivo. 
A demonstração deste Teorema exige avançados conhecimentos de Análise Matemática. 
Exemplos: 
Na sequência 3n + 1, temos os primos 7, 13, 19, 31, 37, 43, 61, 67, 73, 97, 103, ... 
Na sequência 9n + 4 temos os primos 13, 31, 67, 103, 139, 157, 193, 211, ... 
O resultado de Dirichlet diz não só que o número de primos é infinito, mas também que, se 
considerarmos subconjuntos particulares de inteiros, como as sucessões aritméticas acima, 
teremos já nesses subconjuntos uma infinidade de primos. 
Uma aplicação do Teorema de Dirichlet leva-nos a um resultado obtido pelo matemático 
polonês W. Sierpinski , que nos mostra, mais uma vez, a forma surpreendente como os primos 
se distribuem nos inteiros. 
Teorema 7.7 (de Sierpinski). Dado um inteiro m maior que 1, existe um primo p tal que |p 
1|, |p 2|, ..., |p m| são compostos. 
Exemplo: Seja m = 10 e p = 19. Temos: 
19+1, 19+2, 19+3, 19-4, 19+5, 19+6, 19+7, 19+8, 19+9 e 19-10. Os resultados são todos 
números compostos: 20, 21, 22, 15, 24, 25, 26, 27, 28 e 9. 
Observe que se tivéssemos escolhido o primo 17, não seria possível construir uma sequência 
de compostos com m = 10, pois 17 + 6 = 23 e 17 – 6 = 11, ambos primos. 
Demonstração: 
Vejamos, em primeiro lugar, que existe um primo p tal que p + 1, p + 2, ..., p + m sejam 
compostos. Para cada m dado, o Teorema 1 garante, em particular, que existe um inteiro 
primo q maior do que m. Seja a = (q + 1) • (q + 2) • (q + 3) ... (q + m). 
Se q divide a, então q divide q + i, e, portanto, q divide i, o que é impossível para 0 < i m < 
q. Então a e q são primos entre si. Pelo teorema de Dirichlet, existe um primo p na sequência 
 
CAPÍTULO 7 
NÚMEROS PRIMOS 
 
 86 
an + q. Seja p = (q +1) • (q + 2) • ... • (q + m) • n + q este primo. Então os números p + 1, p + 
2, ..., p + m são m números compostos. Para ampliar este resultado, observemos que, por 
motivos análogos aos de cima, 
a' = (q - m).[q - (m- 1)]...(q - 1)...(q + m) 
é primo com q e se p' for um primo da sequência a'n + q, isto é, 
p' = (q - m) ... (q - 1) . (q + 1) ... (q + m) . n + q 
osnúmeros p' – m, ... p' – 1, p' + 1, ... p' + m serão compostos. Assim o número primo p' se 
encontra na sucessão dos inteiros, "isolado" por m compostos de cada lado. (RPM 11) 
 
 
 
7.5. O Crivo de Eratóstenes. 
 
 
Eratóstenes, matemático, astrônomo, historiador, geógrafo e filósofo grego, nasceu em Cirene 
por volta de 276 a.C. e passou grande parte de sua juventude em Atenas. Com 
aproximadamente 40 anos, foi convidado pelo rei Ptolomeu III do Egito para ser bibliotecário 
da Universidade de Alexandria. 
Ficou conhecido como Beta, e a respeito dessa alcunha existem algumas hipóteses. Alguns 
acreditam que, por causa de seu saber, foi elevado à condição de um segundo Platão. Outros, 
dizem que tal apelido lhe fora dado por ter sido o segundo bibliotecário da Universidade de 
Alexandria. Uma terceira explicação sugere que, apesar de ser talentoso, Eratóstenes não 
conseguiu ser o primeiro de seu tempo em nenhum ramo de estudo, em outras palavras, foi 
sempre o segundo. Por fim, o historiador James Gow sugeriu que talvez Beta indicasse 
simplesmente o número (grego) 2 referente a um gabinete ou a uma sala de leitura da 
universidade. 
Escreveu diversas obras, mas muitas se perderam, inclusive o tratado Sobre a medida da 
Terra. Eratóstenes morreu em Alexandria, em 194 a.C. 
(http://www.moderna.com.br/moderna/didaticos/ef2/matematica/erato/bio_eratostenes.htm) 
Teorema 7.8: Se um inteiro positivo a > 1 é composto, então a possui um divisor primo 
p . 
Demonstração: 
Com efeito, se o inteiro positivo a > 1 é composto, então: 
 
Portanto, supondo b c, teremos: 
 
b
2
 bc = a b 
 
 
 
a = bc, com 1 < b < a e 1 < c < a 
 
 
 
 CAPÍTULO 7 
NÚMEROS PRIMOS 
 
 87 
O teorema 7.8 fornece um processo que permite reconhecer se um dado inteiro a >1 é primo 
ou é composto, para o que basta dividir a sucessivamente pelos primos que não excedem o 
valor . Tal resultado é a base do chamado Crivo de Eratóstenes que veremos em seguida. 
Uma questão natural sobre os números primos é a de determinar, dentre os inteiros positivos, 
todos os números primos até certo número dado. Esta questão também foi resolvida na 
antiguidade por Eratóstenes. A ele devemos o chamado Crivo de Eratóstenes. Com o crivo de 
Eratóstenes podem-se determinar, sem auxílio de máquinas, todos os números primos até 200, 
400 ou 500, por exemplo. Com o auxílio de computadores, o crivo de Eratóstenes, 
convenientemente adaptado, permite determinar os números primos até limites bem altos. 
Mesmo antes dos computadores, já haviam sido determinados os números primos até 
10.000.000. Isto ocorreu por volta de 1914, por obra do matemático americano D. N. Lehmer. 
Dois outros matemáticos (Bays e Hudson) calcularam, em 1976, (usando computadores, 
evidentemente!), a tabela dos números primos até 12 x 10
11
. Além disso, há tabelas de 
números primos em determinados intervalos de inteiros e conhecem-se também números 
primos bem grandes, como o número 2
44497 – 1, que possui 13395 algarismos! (RPM 19) 
A construção de uma tabela de números primos que não excedam um dado inteiro n usando o 
Crivo de Eratóstenes consiste no seguinte: escrevem-se na ordem natural todos os inteiros a 
partir de 2 até n e, em seguida, eliminam-se todos os inteiros compostos que são múltiplos dos 
primos p tais que p isto é, 2p, 3p, 4p, ... 
Exemplo: Construir a tabela de números primos menores que 200. 
Solução: Como , basta eliminar sucessivamente da tabela os números que são 
múltiplos dos primos p menores que 14, ou seja, 2, 3, 5, 7, 11 e 13. 
 
. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 
101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 
111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 
121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 
131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 
 
CAPÍTULO 7 
NÚMEROS PRIMOS 
 
 88 
141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 
151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 
161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 
171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 
181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 
191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 
Os valores em vermelho são os números primos que não foram “riscados” da tabela. 
 
Listamos a seguir a os 199 primeiros números primos: 
 
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 
103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 
199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 
313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 
433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 
563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 
673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 
811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 
941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997, 1009, 1013, 1019, 1021, 1031, 1033, 1039, 1049, 
1051, 1061, 1063, 1069, 1087, 1091, 1093, 1097, 1103, 1109, 1117, 1123, 1129, 1151, 1153, 
1163, 1171, 1181, 1187, 1193, 1201, 1213 ,1217. 
 
 
Nota: Podemos fazer um crivo mais econômico, já que não é possível evitar 
completamente o fato de que alguns números são riscados várias vezes. 
Podemos proceder da seguinte maneira: Primeiro escrevemos uma lista com 
os ímpares de 3 até n. Como queremos riscar os números de p em p é claro 
que os múltiplos de p que são múltiplos de primos menores que p já foram 
riscados da lista. Então, nesta etapa, podemos começar a riscar de p em p a 
partir do menor múltiplo de p, que não é múltiplo de um primo menor que p; 
isto é, a partir de p
2
. Isto evita muitas duplicações.[Coutinho] 
 
3, 5, 7, 32, 11, 13, 15, 17, 19, 21 23, 52, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 
43, 45, 47, 72, 51, 53, 55, 57, 59, 61, 63, 65, 67, 69, 71, 73, 75, 77, 79, 
81, 83, 85, 87, 89, 91, 93, 95, 97, 99. 
 
 CAPÍTULO 7 
NÚMEROS PRIMOS 
 
 89 
Definição 7.2: Para qualquer número real x > 0, seja (x) o número de primos p x , isto é, 
(x) é quantidade dos números primos menores que ou iguais a x. 
Tabela dos 20 primeiros valores inteiros da Função p (x) 
 x (x) 
 1 0 
 2 1 
 3 2 
 4 2 
 5 3 
 6 3 
 7 4 
 8 4 
 9 4 
 10 4 
 11 5 
 12 5 
 13 6 
 14 6 
 15 6 
 16 6 
 17 7 
 18 7 
 19 8 
 20 8 
 
De acordo com o Teorema de Chebychev podemos afirmar que 
(2n) - (n) 1 (para n 2) 
 
Nota: Um problema prático, onde as propriedades dos números primos têm 
reflexos importantes, é o problema do reconhecimento da fala por 
computadores que exige o desenvolvimento de algoritmos tão rápidos quanto 
possível para a decomposição de sons nas suas frequências fundamentais, 
uma técnica conhecida como Análise de Fourier. A velocidade teórica 
máxima desses algoritmos esta diretamente relacionada com a função (x) 
que fornece o numero de primos menores que ou iguais a x. 
 
Fórmula de Minác: Dado um inteiro m 2 , J. Minác estabeleceu uma fórmula para a 
contagem dos números primos (m) : 
 
 
Demonstração: Será vista após estudarmos o Teorema De Wilson. 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 7 
NÚMEROS PRIMOS 
 
 90 
Exemplo: 
 
 (6) = 1 + 1 + 0 + 1 +0 = 3. Resultado que nos diz que existem três primos antes do número 
seis. 
 
 
 
Fórmula Para o n-ésimo Número Primo 
 
 
Devido ao resultado acima podemos escrever uma fórmula que nos retorna o n-ésimo número 
primo estabelecida por C. P. Willans em 1964: 
 
Exemplo: 
 
 
Definição 7.3: Para todo número primo p, seja p# o produto de todos os números primos q 
p . p# é chamado o primorial de p. 
 
Tabela dos 17 primeiros Primoriais 
 
P 
2 
3 
5 
7 
11 
13 
17 
23 
29 
p# 
2 
6 
30 
210 
2310 
30030 
510510 
9699690 
223092870 
 
 
 
 
 
 
 CAPÍTULO 7 
NÚMEROS PRIMOS 
 
 91 
 
 
 
 
 
 
 
Teorema 7.8: p# +1 não possui nenhum fator primo menor do que ou igual a p. 
Demonstração: Suponhamos, por contradição, que p# + 1 seja divisível por um primo q p . 
Ou seja, existe um inteiro positivo s tal que tal que p# + 1 = q.s, isto é q.s – p# =1. Como q 
p , então q é necessariamente um fator de p#. Logo q divide ambas as parcelas da diferença 
q.s – p#. Portanto q divide 1, o que é um absurdo uma vez que q é primo. 
 
 
Nota: Veja que resultado interessante: 
 
 
Leitura: A Distribuição dos Números Primos 
Ao contemplar uma tabela de números primos, a primeira impressão que se tem é a de que 
não há nenhuma ordem entre os números primos: às vezes eles aparecem próximos uns dos 
outros, às vezes afastados, ora menos, ora mais afastados; enfim, analisando-os 
individualmente ou em pequenos grupos, não divisamos qualquer regularidade em sua 
distribuição. Entretanto, a sagacidade de inteligências privilegiadas consegue ver mais fundo, 
e foi precisamente isso o que aconteceu por obra do matemático francês Adrien - Marie 
Legendre (1752-1833). Ele se ocupou dessa questão e por volta de 1800 formulou uma 
conjectura que revela certa ordem no que parecia ser um caos completo. Para explicarmos a 
conjectura de Legendre, introduzimos o símbolo (x) como sendo o número de números 
primos até certo valor x. Assim, (8) = 4, ou seja, o número de números primos até 8 é 4; 
(11) = 5, pois há cinco números primos até 11, precisamente, 2, 3, 5, 7, 11; e assim por 
diante. Pois bem, o que Legendre conjecturou, empiricamente, analisando tabelas de números 
primos (em 1797 uma dessas tabelas foi publicada, contendo todos os números primos até 
400031), é que (x) podia ser aproximado pela função (o logaritmo que aqui aparece é o 
logaritmo natural, isto é, na base e 2,718281...), e que essa aproximação seria tanto melhor 
quanto maior fosse x. Mas isto deve ser entendido em termos relativos, isto é, o erro que se 
comete tomando em lugar de (x) torna-se tanto menor quanto maior for x, relativamente 
a Em outras palavras, seja 
 
 
31 
37 
41 
43 
47 
53 
59 
61 
6469693230 
200560490130 
7420738134810 
304250263527210 
13082761331670030 
614889782588491410 
32589158477190044730 
1922760350154212639070 
 
 
 
 
CAPÍTULO 7 
NÚMEROS PRIMOS 
 
 92 
o erro que se comete ao tomar em lugar. de (x). Pois bem, o que se torna pequeno com o 
crescer de x é o erro relativo 
 
Este erro pode ser feito, em valor absoluto, tão pequeno quanto quisermos, desde que façamos 
x suficientemente grande. 
Carl Friedrich Gauss (1777-1855), que é considerado por muitos o maior matemático de todos 
os tempos, conta, numa carta de 1849, publicada vários anos mais tarde, que quando ainda 
bem jovem, com apenas 15 anos de idade, pensou muito sobre a distribuição dos números 
primos, chegando a conjecturar algo equivalente ao que conjecturou Legendre. 
Seja como for, essa conjectura logo impressionou os matemáticos como algo notável, pois 
quem diria que a seqüência dos números primos pudesse ter algo a ver com a função 
logaritmo! 
A descoberta de Legendre e Gauss demorou a ser demonstrada. Embora ela tenha sido objeto 
da atenção dos melhores matemáticos do século, desafiou a argúcia desses homens por cerca 
de 100 anos. De fato, foi somente em 1896 que ela foi demonstrada pela primeira vez. E nesse 
mesmo ano apareceram duas demonstrações, uma pelo matemático francês Jacques Hadamard 
(1865-1963) e outra, pelo belga Charles de Ia Vallée Poussin (1866-1962). Essas 
demonstrações, independentes uma da outra, baseavam-se nas idéias de um outro grande 
matemático do século, Bernhard Riemann (1826-1866). Embora não tenha logrado 
demonstrar a conjectura de Legendre e Gauss, Riemann, num memorável trabalho intitulado 
Sobre o número de números primos menores que um certo número, deixou ideias notáveis 
sobre teoria dos números, que vêm sendo exploradas pelos estudiosos do assunto até os dias 
de hoje. 
Antes mesmo das demonstrações de Hadamard e de la Vallée Poussin, o matemático russo 
Pafnutii Chebyshev (1821-1894) provou, por volta de 1850, um resultado próximo à 
conjectura de Legendre e Gauss. Segundo Chebyshev, existem constantes positivas c e C (c 
0,92, C 1, 106) tais que 
 
Para bem entendermos o significado da aproximação 
 
vamos comparar os gráficos das funções y = x e y = log x. Eles nos revelam que ambas as 
funções crescem com o crescer de x, tendendo a infinito. 
 
 
 
 (4) 
 
 (3) 
 
 (2) 
 
 CAPÍTULO 7 
NÚMEROS PRIMOS 
 
 93 
No entanto, como podemos ver, claramente, a primeira dessas funções cresce mais depressa 
que a segunda, distanciando-se mais e mais desta última, à medida que x cresce acima de 
qualquer número dado. Isto fica mais claro ainda quando levamos em conta que o gráfico do 
logaritmo tem a concavidade voltada para baixo, significando que, embora esta função esteja 
crescendo sempre com o crescer de x, trata-se de um crescimento cada vez mais lento, quanto 
maior for x. Isto quer dizer que o quociente no segundo membro de (4) também cresce, 
tendendo a infinito com o crescer de x, o que está de acordo com o fato de que existem 
infinitos números primos, isto é, (x) cresce acima de qualquer número, desde que façamos x 
suficientemente grande. Não obstante tudo isso, o erro absoluto expresso em (1) pode tornar-
se muito grande, mas não o erro relativo expresso em (2); este tende a zero, isto é, pode ser 
feito menor do que qualquer número positivo dado, desde que façamos x suficientemente 
grande. 
Uma conclusão simples que podemos tirar de (4) é que, em certo sentido, os números primos 
vão ficando cada vez mais raros, à medida que avançamos na seqüência dos números naturais. 
Para bem entender o que estamos dizendo, observe que significa 
de sorte que é a densidade média dos números primos no intervalo que vai de 1 até x. O 
fato de que essa densidade decresce com o crescer de x significa precisamente o que dissemos 
acima: os números primos vão ficando cada vez mais raros, à medida que avançamos na 
seqüência dos números naturais. ( RPM19) 
 
Definição 7.3 Chamam-se primos gêmeos dois inteiros positivos ímpares e consecutivos que 
são ambos primos. Em outras palavras, dizemos que dois primos ímpares são gêmos quando a 
diferença entre eles é igual a 2. 
Assim, por exemplo, são pares de primos gêmeos: 
 
Não se sabe até hoje se há um número infinito de pares de primos gêmeos, mas são 
conhecidos primos gêmeos muito grandes, tais como: 
 
 
Um fato interessante é a existência de apenas um terno de inteiros positivos ímpares e 
consecutivos que são todos primos: 3, 5 e 7. 
 
 
 
140.737.488.353.507 e 140.737.488.353.509 
140.737.488.353.699 e 140.737.488.353.701 
 
 
3 e 5, 5 e 7, 11 e 13, 17 e 19, 29 e 31 
 
 
CAPÍTULO 7 
NÚMEROS PRIMOS 
 
 94 
7.6. Seqüência de Inteiros ConsecutivosCompostos 
 
Existem, na sequência dos primos, primos consecutivos “tão afastados quanto se deseje”. Ou 
seja, existem “saltos’ arbitrariamente grandes na seqüência dos primos. 
Teorema 7.9: Dado um inteiro positivo n >1, é possível determinar n inteiros consecutivos 
tais que nenhum deles seja primo. 
Demonstração: 
De fato, é evidente que na sequência: 
 
os seus n termos são inteiros positivos consecutivos, e cada um deles é composto, porque (n 
+1)! + j é divisível por j se 2 j n + 1. 
Assim, por exemplo, supondo n = 4, obtemos a sequência: 
5! + 2, 5! + 3, 5! + 4, 5! + 5 
Cujos termos são 4 inteiros positivos consecutivos, cada um dos quais é composto, pois, 
temos: 
5! + 2 = 122 = 2 . 61, 5! + 3 = 123 = 3 . 41 
5! + 4 = 124 = 4 . 31, 5! + 5 = 125 = 5 . 25 
Outras sequências de 4 inteiros consecutivos e compostos existem, tais como 
24, 25, 26, 27 e 32, 33, 34, 35 
54, 55, 56, 57 e 74, 75, 76, 77 
 
Nota: Em 1984 Samuel Yates iniciou uma lista dos "Maiores Primos 
Conhecidos" e criou o nome primo titânico para designar qualquer número 
primo com 1.000 ou mais dígitos decimais. Denominou também de titãs 
aqueles que provaram a sua primalidade. 
A maioria dos primos são titânicos e dezenas de milhares deles são 
"conhecidos". Entretanto, na época em que Yates definiu os primos titânicos, 
tinha-se conhecimento de apenas alguns poucos. 
Cerca de dez anos mais tarde, Yates designou como primo gigante todo 
número primo que possuísse 10.000 ou mais dígitos decimais. E os 
Megaprimos são números primos que possuam no mínimo um milhão de 
dígitos decimais. 
http://www.numaboa.com.br/criptologia/matematica/primos.php 
 
 
(n + 1)! + 2, (n + 1)! +3, (n + 1)! + 4, ..., (n + 1)! + (n + 1) 
 
 CAPÍTULO 7 
NÚMEROS PRIMOS 
 
 95 
Corolário 7.7: Dado um inteiro positivo n, existem dois primos consecutivos ph, ph+1 tais que 
 
Demonstração: 
Seja ph o maior dos primos que são menores que ( n +1 )! + 2. 
Então, ph (n + 1)!+ 1. Do teorema anterior, temos ainda que 
 
Fazendo a diferença entre ambas as desigualdades, temos 
 
Exemplo: Seja n = 6, de acordo com a demonstração podemos considerar os primos p1 = 
5039 e p2 = 5059. Assim, 5059 – 5039 > 6, isto é, 20 > 6. 
Teorema 7.10: O produto de qualquer sequência de k inteiros consecutivos é divisível por k!. 
Demonstração: 
Vamos considerar n e k inteiros positivos com k n. Sabemos que o número de combinações 
de n, tomadas k a k, é um inteiro dado por: 
 
Sendo o numerador o produto de k inteiros consecutivos temos o resultado para uma 
sequência de k inteiros positivos. No caso de zero ser um elemento na seqüência o resultado é 
trivial, uma vez que zero é divisível por qualquer inteiro não nulo. 
Se a sequência contiver só números negativos, a fração do lado direito da igualdade acima 
sofrerá, no máximo, uma mudança de sinal continuando a ser um inteiro, o que conclui a 
demonstração. 
 
 
 
 
 
 
 
ph +1 > (n + 1)! + (n + 1) 
 
ph +1 > (n + 1)! + (n + 1) 
 
ph+1 – ph > n. 
 
 
CAPÍTULO 7 
NÚMEROS PRIMOS 
 
 96 
7.7 . Conjecturas 
 
 
 
● Conjectura de Goldbach. 
 
Em 1742, numa carta a Leonhard Euler (1707-1783), Christian Goldbach (1690-1764) 
expressou a seguinte conjectura: 
Todo inteiro n > 5 é a soma de três números primos. 
Em resposta, Leonhard Euler observou que essa conjectura era equivalente à seguinte: 
Todo inteiro par maior que ou igual a 4 é a soma de dois primos. 
Esta conjectura é conhecida como conjectura de Goldbach. Um romance interessantíssimo 
sobre a dificuldade desse assunto é “Tio Petros e a Conjectura de Goldbach” escrito por 
Apostolos Doxiadis e publicado pela Editora 34. 
Exemplos: 
 
4=2+2 
6=3+3 
8=3+5 
10=3+7, 5+5 
12=5+7 
14=3+11, 7+7 
16=3+13, 5+11 
18=5+13, 7+11 
20=3+17, 7+13 
22=3+19, 5+17, 11+11 
24=5+19, 7+17, 11+13 
26=3+23, 7+19, 13+13 
28=5+23, 11+17 
30=7+23, 11+19, 13+17 
32=3+29, 13+19 
34=3+31, 5+29, 11+23, 17+17 
36=5+31, 7+29, 13+23, 17+19 
38=7+31, 19+19 
40=3+37, 11+29, 17+23 
 
Muitos matemáticos continuam tentando encontrar um contra-exemplo ou uma demonstração 
para essa conjectura. Por exemplo: 
 
• Georg Cantor (1845-1918), efetuou em 1894 todas as decomposições possíveis, como 
soma de dois números primos, de todos os números pares inferiores a 1000. 
 
• Aubry estendeu a lista de Cantor até 2000. 
 CAPÍTULO 7 
NÚMEROS PRIMOS 
 
 97 
• R. Haussner em 1897 estendeu essa tabela até 5000. 
 
• Em 1937 o matemático soviético I.M.Vinogradov demonstrou, usando somas 
trigonométricas adequadas, que qualquer número ímpar suficientemente grande é soma de 
três números primos. 
 
• Em 1966 o matemático chinês Jeng-Run Chen provou que a partir de algum número n, 
todo par maior que 2 ou é soma de dois primos, ou a soma de um primo com o produto de 
dois primos. O argumento de Chen não diz qual é esse n; apenas demonstra que ele existe. 
 
Além da Conjectura de Goldbach, em Teoria dos Números, particularmente em Números 
Primos, existem muitos problemas em aberto. Segue uma lista com algumas conjecturas que, 
embora já tenham sido testadas para inúmeros casos, ainda não foram demonstradas. Eis 
algumas: 
 
• Todo número ímpar maior que cinco é a soma de três primos. Esse fato já foi provado, 
por Vinogradov, para números suficientemente grandes. Em 1956, Borodzkin mostrou que 
n > 3
14348907
 é suficiente. Esse número foi diminuído, em 1989, para 1043000, por Chen e 
Wang, mas ainda é muito grande para que os casos menores possam ser testados com o 
uso de um computador. 
Exemplos: 
7 = 3 + 2 + 2; 21 = 11 +7 + 3 ; 41 = 11 + 13 + 17; 49 = 13 + 17 + 19 
• Existem infinitos primos da forma k2 + 1. 
Exemplos: 
5 = 2
2
 +1; 17 = 4
2
 +1; 3
7
= 6
2
 + 1. 
• Existem infinitos pares de primos consecutivos (Primos Gêmeos) . 
Exemplos: (3 e 5), (5 e 7), (11 e 13), (17 e 19), (29.879 e 29.881), ... 
Em 2000, foi apresentado um par de primos gêmeos cada um com 18075 dígitos. É o par 
 
 
 
• Existe sempre um primo entre dois quadrados consecutivos. 
Exemplos: 3 entre 1 e 4; 5 e 7 entre 4 e 9; 11 e 13 entre 9 e 16, .... 
• Primos de Sophie Germain. Um número primo p é um número primo de Sophie 
Germain se 2p + 1 é também primo. São famosos porque Sophie Germain provou que o 
Último Teorema de Fermat é verdadeiro para estes números. A existência de um número 
infinito de tais números primos é uma uma afirmação ainda não provada. Os primeiros 
primos de Sophie Germain são 2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, 113, 131, 173, 179, 191, 
233 ... 
 
4 648 619 711 505. 2
60000
 ± 1 
 
 
CAPÍTULO 7 
NÚMEROS PRIMOS 
 
 98 
 
Nota: Primos em Progressão Aritmética. 
 
Um problema famoso que permaneceu por muito tempo em aberto, era o de 
provar se existiam progressões aritméticas arbitrariamente longas formadas 
exclusivamente por primos. Van der Corput já havia provado em 1939 que há 
uma infinidade de progressões aritméticas formadas por 3 primos. Ben Green 
do Instituto de Matemática de Vancouver e Terence Tao da Universidade da 
Califórnia, provaram em 2006, que tais sequências existem. Mas a prova não 
especifica como encontrá-las ou entre quais primos tais sequências se 
encontram. 
A mais longa progressão aritmética de números primos conhecida até o 
momento, tem 24 termos. Foi descoberta por Jaroslaw Wroblewski em 
janeiro de 2007: 
 
468395662504823 + 45872132836530.k, para k = 0, 1, ..., 23. 
 
 
 
7.8. Fórmulas que geram alguns números primos 
 
 
Muitas tentativas têm sido realizadas para encontrar fórmulas aritméticassimples que 
forneçam somente primos. Nesta seção será apresentada algumas fórmulas famosas sobre 
primos. 
 
1) Fórmula de Fermat: 
Fermat fez sua famosa conjectura de que os números da forma 
 
 
 
são primos. 
Para n = 1, 2, 3, 4 obtemos: 
 
 
 
todos primos. Porém em 1732, Euler descobriu a fatoração 
 
 
 
portanto, F(5) não é primo. Até este momento (05 /2005) o maior primo de Fermat 
conhecido é F4 
 
 + 1 = 4294967297 = (641).(6700417) 
 
 
F1 = 2
2
 + 1 = 5 
F2 = + 1 = 2
4
 + 1 = 17 
F3 = + 1 = 2
8
 + 1 = 257 
F4 = + 1 = 2
16
 + 1 = 65.537 
 
 
 
 
 CAPÍTULO 7 
NÚMEROS PRIMOS 
 
 99 
2) Fórmula de Euler: 
Em 1772 Leonhard Euler descobriu um polinômio tendo uma longa sucessão de valores 
primos, dado por 
 
 
que fornece primos para n = 1, 2, ..., 39. Entretanto, para n = 40 o valor é composto: 
 
 
 
3) Fórmula de Mersenne: 
Marin Mersenne em 1644 fez a seguinte afirmação: “Todo natural Mp = 2
p
 – 1 é primo 
para os primos p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 e 257, e é composto para todos os 
outros primos p < 257”. 
 
Entretanto, esta afirmação é incorreta, pois, segundo o site http://www.mersenne.org/ 
prime.htm, até setembro de 2006 já eram conhecidos, 44 primos de Mersene, para os primos p 
= 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 
9689, 9941, 1213 ,19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 
859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 
30402457 e 32582657. Esse último 
primo tem 9.808.358 dígitos. 
 
Como se pode ver, Mersenne cometeu duas falhas: Incluiu p= 67, 257 na sua lista de primos e 
excluiu dessa lista p= 61, 89, 107. 
 
Somente em 1947 ( mais de 300 anos depois) a lista correta p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 
89, 107 e 127 onde p < 257, ficou pronta.. 
 
4) Outras fórmulas que geram alguns primos são: 
 
 
 
Cabe agora a pergunta: Existe algum polinômio (não-constante), com coeficientes inteiros, 
que forneça a sequência dos números primos ou apenas números primos? Infelizmente a 
resposta é não! 
 
Teorema 7.11: Não existe polinômio algum P(x) = anx
n
 + an-1x
x-1
+ ... + a0, a0 0 com 
coeficientes ak, 0 k n , todos inteiros, cujos valores numéricos sejam sempre primos para 
valores inteiros da variável x. ( VER RPM 45) 
 
F(n) = n
2
 - n + 41para n = 1, 2, 3, 4, ..., 40 
F(n) = n
2
 - 79n + 1601para n = 0, 1, 2, ..., 79 
F(n) = n
2
 + n + 17 para n = 0, 1, 2, ..., 15 
F(n) = 3n
2
 + 3n + 23para n = 0, 1, 2, ..., 21 
F(n) = 6n
2
 + 6n + 31para n = 0, 1, 2, ..., 28 
 
 
 
F(40) = 402 + 40 + 41 = 40. (40 + 1) + 41 = 40.41 + 41 = 41.(40 + 1) = 41.41. 
 
 
F(n) = n
2
 + n + 41 
 
 
 
CAPÍTULO 7 
NÚMEROS PRIMOS 
 
 100 
Demonstração: Suponhamos, por contradição, que o polinômio P(x), nas condições do 
teorema, produz sempre primos para valores inteiros da variável x. Então, para x = j, sendo j 
um inteiro fixo, P( j ) = p é um primo, e qualquer que seja o inteiro s, temos: 
 
 
 
Desenvolvendo cada uma das potências pela fórmula do binômio e agrupando os primeiros 
termos de cada desenvolvimento, temos: 
 
 
onde g(s) indica um certo polinômio não constante em s com coeficientes inteiros, de grau 
n, logo: 
 
 
Então, p| P(j + ps). Se P(j + ps) é primo devemos ter P( j + ps) = ± p, donde 1+ g(s) = ± 1, 
para todo s. Temos uma contradição, pois g(s) não é constante. 
 
 
Nota: O teorema anterior refere-se a polinômios numa variável. Os trabalho 
de Putnam, Davis, Robison e Matijasevic conduziram a uma surpreendente 
conclusão: Existe um polinômio de coeficientes inteiros, tal que o conjunto 
dos números primos coincide com o conjunto dos valores positivos 
assumidos por esse polinômio, quando as variáveis percorrem o conjunto 
dos inteiros positivos. 
Jones, Sato, Wada e Wiens (1976) foram os primeiros a escrever, 
explicitamente, um polinômio desse tipo, de grau 25 e com 26 varáveis. [ 
Ribombim ] 
 
Leitura: Uma Fórmula que Fornece todos os Números Primos 
 
Sejam x e y números naturais, y 0 e a = x( y + 1) - ( y!+ 1). 
 
A fórmula que dá todos os números primos e somente esses é: 
 
f(x, y) = 
 
Por exemplo: 
 
Se x = 1 e y = 1, então a = 0 e f(1,1) = 2; 
Se x = 1 e y = 2, então a = 0 e f(1,2) = 3; 
Se x = 1 e y = 3. então a = –3 e f(1,3) = 2; 
 
e, atribuindo-se a x e a y mais alguns valores, percebe-se logo que a função f tem uma 
predileção muito grande pelo número primo 2. Mas ela fornece todos os números primos: 
 
P(j + ps) = p(1 + g(s)) 
 
 
P(j + ps) = (an j
n
 + an-1 j
n-1
 + ... + a2j
2
 +a1j + a0) + pg(s) = P(j) + pg(s) = p + pg(s) 
 
 
P(j + ps) = an (j + ps)
n
 + na-1 (j + ps)
n-1
 + ... + a2 (j +ps)
2
 +a1 (j + ps) + a0 
 
 
 CAPÍTULO 7 
NÚMEROS PRIMOS 
 
 101 
 
 
Como foram achados os pares (x,y) acima? A resposta é simples: para obter o número primo 
p, calcule f(x,y) para 
 
 
 
Assim, para obter 13, fizemos 
 
 
 
Como se vê, a fórmula existe, mas não é nada prática, uma vez que envolve cálculos com 
números muito grandes(RPM 37). 
 
A demonstração dessa fórmula será vista após estudarmos o Teorema de Wilson. 
 
 
7.9. Decomposição do Fatorial em Fatores Primos 
 
 
Mostraremos como achar a fatoração em números primos de n! onde n é um número natural 
arbitrário. 
 
Proposição 7.2: Sejam a 0 e b, c > 0 . Temos que 
 
 
Demonstração: Sejam. 
 
Logo, 
 
e 
 
portanto, 
 
como 
 
br2 + r1 b(c - 1) + b - 1 = bc - 1 
 
 
 
 
 
a = bq1 + r1 = b(cq2 + r2) + r1 = bcq2 + br2 + r1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a = bq1 + r1 , com r1 b – 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 = f (5,4); 7 = f (103,6); 11= f (329891,10); 13 = f (36846377, 12); .... 
 
 
 
CAPÍTULO 7 
NÚMEROS PRIMOS 
 
 102 
segue-se que é o quociente da divisão de a por bc, ou seja, 
 
 
Dados um número primo p e um número natural m, vamos definir por Ep (m) o expoente da 
maior potência de p que divide m, ou seja, é o expoente da potência de p que aparece na 
fatoração de m em fatores primos. 
Em particular, Ep (n!) representará a potência de p que aparece na fatoração de n! em fatores 
primos. 
 
Teorema de Legendre. Sejam m um número natural e p um número primo. Então 
 
 
 
Demonstração: Note, inicialmente, que a soma acima é finita, pois existe um número natural 
r tal que p
i
 > n para todo i > r portanto , se i r 
 
Vamos demonstrar o resultado por indução sobre n . A fórmula vale trivialmente para n = 0. 
Suponha que o resultado vale para qualquer natural m com m < n Sabemos que os múltiplos 
de p entre 1 e n são: 
 
 
 
Portanto, pela hipótese de indução, temos que 
 
 
 
O resultado, agora, decorre da preposição 7.2. 
Para calcular Ep (n!) faz-se uso do seguinte algoritmo: 
 
 
Como q1 > q2 > ..., seguem-se que, para alguns s, tem-se que. Portanto, seguem-se que. 
 
E (n!) = q1 + q2 + ... + qs 
 
 
n = pq1 + r1 
q1 = pq2 + r2 
..... 
 
qs-1 = pqs + rs 
 
 
 
 
 
 
 
p, 2 p, ..., 
 
 
 
Ep (n!) = 
 
 
 
 
 
 
q2 = 
 
 
 
 
 
 CAPÍTULO 7 
NÚMEROS PRIMOS 
 
 103 
Exemplo: Vamos determinar a decomposição de 10! Em fatores primos. 
 
Para resolvermos o problema, devemos achar Ep (10!) para todo primo p 10. Sendo 
 
 
 
 
 
Seguem-se que 
 
10! = 2
8
34
5
2
7 . 
 
Lema 7.1. Sejam a1,..., am ,b inteiros positivos. Tem–se que 
 
 
 
Demonstração: Sejam qi e ri respectivamente o quociente e o resto da divisão de ai por b para 
i = 1, ...., m. somando, membro a membro, as igualdade ai = bqi + ri temos que 
 
 
 
Segue–se dai que o quociente da divisão de a1 + ... + am por b é maior ou igual do que q1 + ... 
+ qm pois r1 + ... + rm poderia superar b – 1 . Isto é o que se queria provar. 
 
Corolário 7.8. Se a1,..., am,b são números naturais com b 0 , então é natural o número 
 
 
 
Demonstração: De fato, pelo Lema 7.1, para todo número primo P e todo número natural 
i, temos que 
 
 
 
Somando, membro a membro, as desigualdades acima, obtemos que 
 
 
Ep ((a1 + ... + am)!) Ep (a1 !) + ... + Ep (am) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a1 + ... + am = (q1 + ... + qm) b + r1 + ... + rm 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 7 
NÚMEROS PRIMOS 
 
 104 
O que prova o resultado. 
 
O próximo resultado relacionará Ep ( n!) e a representação p-ádica de n (i.e., a representação 
relativa à base p) 
 
Teorema 7.12. Sejam p,n inteiros positivos, com p primo. Suponha que. 
 
 
 
Seja a representação p – ádica de n . Então. 
 
 
 
Demonstração: Sendo 0 ni p , temos que 
 
 
 
Portanto, 
 
Exemplo: Seja determinar a potência de 3 na decomposição de 53! em fatores primos. 
Primeiramente escrevemos 53 na base 3, isto é: 
 
53 = (1222)3 
 
Aplicando o Teorema 7.12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
n = nrp
r
 + nr-1p
r-1
 + ... + n1p + no 
 
 
 
 CAPÍTULO 7 
NÚMEROS PRIMOS 
 
 105 
Verificando esse resultado pelo Teorema de Lagrange: 
 
 
 
 
 
7.10. Método da Fatoração de Fermat 
 
 
Até o momento, um dos procedimentos matemáticos mais difíceis é o de fatorar um número 
arbitrariamente grande e isso às vezes requer um tempo razoável. Para os casos mais simples 
podemos usar os conhecidos testes de divisibilidade, mas fatorar números grandes é objeto de 
intensas pesquisas matemáticas. Damos uma aqui um uma ideia desse difícil problema 
matemático, utilizando o chamado método da Fatoração de Fermat. Em cursos mais 
avançados outros métodos são apresentados. 
 
Proposição 7.3: Seja n > 1 um inteiro ímpar. Há uma correspondência biunívoca entre a 
fatoração de n e a representação de n como diferença de dois quadrados. 
 
Demonstração: 
 
Se n = a.b, e n ímpar, então a e b são ímpares. Logo a+b e a-b são pares, então e 
são inteiros. 
Então, 
 
Expressa n como a diferença de dois quadrados. 
Reciprocamente, suponha n escrito como a diferença de dois quadrados: 
n = s
2
 – t2, então n = (s-t) . (s+t) é a forma fatorada de n. 
Você pode ver que esses dois procedimentos – da fatoração para a diferença e da diferença 
para a fatoração – determinam uma relação biunívoca. 
 
 
 
7. 11 – Algoritmo de Fermat 
 
 
A proposição acima nos permite descrever um algoritmo, que é muito eficiente quando n tem 
um fator primo que não é muito menor que . 
 
Para começar vamos supor que n é ímpar, já que se n for par então 2 é um de seus fatores. A 
idéia do algoritmo de Fermat é tentar achar números inteiros positivos x e y tais que n = x
2
 - y
2
 
. Supondo que encontramos estes números, temos que 
 
 
n = x
2
 - y
2
 = (x - y) (x + y). 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 7 
NÚMEROS PRIMOS 
 
 106 
Logo x - y e x + y são fatores de n. 
O caso mais fácil do algoritmo de Fermat ocorre quando n é um quadrado perfeito; isto é, 
quando existe algum inteiro r tal que n = r
2
. Neste caso temos que r é fator de n. Além disso, 
na notação acima x = r e y = 0. Observe que se y > 0 então 
 
 
 
Isto sugere a seguinte estratégia para encontrar x e y. 
 
Entrada: inteiro positivo ímpar n. 
 
Saída: um fator de n ou uma mensagem indicando que n é primo. 
 
Etapa 1: Comece com ; se n = x
2
 então x é fator de n e podemos parar. 
 
Etapa 2. Caso contrário incremente x de uma unidade e calcule . 
 
Etapa 3. Repita a Etapa 2 até encontrar um valor inteiro para y, ou até que x seja igual a : 
no primeiro caso n tem fatores x+y e x-y, no segundo n é primo. 
 
Exemplo: Seja n = 1342127 o número obtido como produto de dois primos. A variável x é 
inicializada com a menor parte inteira da raiz quadrada de n . Mas x
2
 
= 1158
2
 = 1340964 < 1342127 logo passamos a incrementar x de um em um. Fazemos isso 
até que seja inteiro, ou x seja igual a , que neste caso valeria 671064. É mais 
fácil resumir isto em uma tabela 
 
x 
1159 33,97 
1160 58,93 
1161 76,11 
1162 90,09 
1163 102,18 
1164 113 
 
Obtivemos assim um inteiro no sexto laço. Portanto x = 1164 e y = 113 são os valores 
desejados. Os fatores correspondentes são x + y = 1277 e x – y = 1051. Logo, 1051 e 1277 
são os dois números primos procurados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 CAPÍTULO 7 
NÚMEROS PRIMOS 
 
 107 
 EXERCÍCIOS 
 
1. Com uma calculadora, achar todos os primos 
da forma n
2
 – 2, para 25 35n 
 
2. Determine todos os primos que são iguais a 
diferença de quadrado entre dois primos. 
 
3. De quantos modos podem escrever 497 como a 
soma de dois números primos? 
 
4. Mostrar que a soma de dois inteiros positivos 
ímpares e consecutivos nunca é um primo. 
 
5. Em um quadro estão escritos alguns números 
naturais. Dentre eles, há nove múltiplos de 4, 
sete múltiplos de 6, cinco múltiplos de 12, 
três números primos e nada mais. Qual a 
quantidade mínima de números escritos? 
 
6. Achar todos os primos p e q, tais que p – q = 
3. 
 
7. Achar todos os primos que são iguais a um 
quadrado menos 1. 
 
8. Achar todos os primos que são iguais a um 
cubo menos 1. 
 
9. Escreva os números 55, 83 e 211 como uma 
soma de três primos. 
 
10. Determinar todos os inteiros positivos n tais 
que n, n + 2 e n + 4 são todos primos. 
 
11. Determinar todos os primos p tais que 3p + 1 é 
um quadrado. 
 
12. Com uma calculadora, determinar se são 
primos os números 
 
a) 1699 
b) 7429 
c) 21793 
d) 1189 
 
13. Encontre todos os primos p, tais que 17p + 1 é 
um quadrado. 
 
14. Usando a decomposição em fatores primos dos 
inteiros 507 e 1287, achar o mdc (507, 1287) e 
o mmc (507, 1287). 
 
15. Achar o mdc(a, b) e mmc(a, b) sabendo a = 
230 . 521 . 19 . 233 e b = 26 . 3 . 74 . 112 . 
195 . 237 
 
16. Achar o menor inteiro positivo pelo qual se 
deve dividir 15! para se obter um quadrado. 
 
 Qual o menor valor do número natural n 
que torna n! divisível por 1000? 
 
17. Achar todos os primos que são divisores de 
50!. 
 
18. Verifique com uma calculadora, se são primos 
gêmeos: 
 
a) 1949 e 1951 
b) 1997 e 1999 
 
19. Achar uma sequência de quatro inteiros 
positivos consecutivos e compostos. 
 
20. Achar um sequência de 100 inteiros positivos 
consecutivos e compostos. 
 
21. Mostre que nenhum número inteiro da forma 
1 4n é divisível pelo número primo 3. 
 
22. Com uma calculadora, verificar a conjectura de 
Goldbach para n par, 42 n 100 . 
 
23. Determinar o menor valor positivo do inteiro n 
tal que 2n
2
 + p, seja um número inteiro 
composto e p um primo terminado em 7. 
 
24. Demonstrar que todo primo, p 5 é da forma 
6k – 1 ou 6k + 1, onde k é um inteiro positivo. 
 
25. Demonstrar que todo primo p 3, é da forma 
4k + 1 ou 4k – 1, onde k é um inteiro positivo. 
 
26. Determine todos os primos p 5taisque 8p4 - 
3003 também seja primo. 
 
27. Mostrar que todo inteiro da forma n4 + 4, com 
n > 1 não é primo. 
 
28. Mostrar que todo inteiro da forma 8n + 1, com 
n > 1, não é primo. 
 
29. Mostrar que se n2 + 2 é primo então 3 | n, para 
todo n > 1. 
 
CAPÍTULO 7 
NÚMEROS PRIMOS 
 
 108 
 
30. Se p > 5 é um primo, então p2 + 2 é composto. 
 
31. Demonstrar as seguintes propriedades: 
 
a) Todo primo da forma 3n + 1 é também da 
forma 6m + 1. 
b) Todo inteiro n > 11 pode ser expresso 
como a soma de dois inteiros não-primos. 
c) Se p 5 é um primo ímpar, então p2 – 1 ou 
p
2
 + 1 é divisível por 10. 
d) Se p > q > 5 e se p e q são ambos primos, 
então 24 | p
2
 – q2. 
e) Todo inteiro da forma 3n + 2 tem um fator 
primo desta forma. 
f) Se p é um primo e se p | an , então pn | an. 
 
32. Demonstrar que o inteiro positivo a > 1 é um 
quadrado se e somente se todos os expoentes 
dos fatores primos da sua decomposição são 
inteiros pares. 
 
33. Demonstrar que, se o inteiro k 2, não é 
primo, então 2
k
 – 1 nunca será primo. 
 
34. Demonstrar que se 2k – 1, (k 2) é primo, 
então k também é primo. 
 
35. Seja p o maior fator primo do número 314 + 313 
– 12, então p é igual a: 
 
36. Sejam p, q inteiros positivos. Mostre que 2p + 1 
= q
2
 implica p e q primos e p = q = 3. 
 
37. Mostrar que um inteiro da forma 42n+1 + 1, 
onde n 1, nunca é primo. 
 
38. Sendo n um inteiro positivo, mostre que 24(n+1) 
– 1 nunca será primo. 
 
39. Mostrar que se n > 4, não é primo, então n 
divide (n – 1)!. 
 
40. Verificar que todo inteiro pode escrever-se sob 
a forma 2
k
 m, onde o inteiro k > 0 e m é um 
inteiro ímpar. 
 
41. Demonstrar que, se o inteiro n > 2, então existe 
um primo p tal que n < p < n!. 
 
42. Qual é o menor número primo que um fator da 
soma 1999
2002
 + 2001
2002
? 
 
43. Prove que um triângulo retângulo não pode 
apresentar as medidas de seus lados sendo 
números primos. 
 
44. Se p e 8p2 + 1 são números primos, prove que 
p = 3. 
 
45. Mostre que se n 1 é natural então, o número 
2 122
n não é primo. 
 
46. Sendo n > 1 um inteiro, prove que 4n + n4 não 
é primo. 
 
47. Mostrar, mediante um exemplo, que a seguinte 
conjectura é falsa: 
“Todo inteiro positivo maior que 1, pode-se 
escrever sob a forma a
2
 + p, com a > 0 e p é um 
inteiro primo ou 1”. 
 
48. Determine todos os números primos p e q, para 
os quais os q números p, p + (q + 1), p + 2 (q 
+ 1), p + 3 (q + 1), . . . , p + (q − 1) (q + 1), 
também são primos. 
 
49. Demonstrar que existem infinitos primos da 
forma 4n + 3, com n inteiro positivo. 
 
50. Seja m um intero positivo. Demonstre que não 
existem números primos da forma 2
5m
 + 2
m
 +1. 
 
51. Determinar o número inteiro positivo n que 
que é produto dos primos p, q e r, sabendo que 
r - q = 2p e rq + p
2
 = 676. 
 
52. Mostre que existem infinitos valores primos p 
para os quais 8.p
2
 + 5 é divisível por 77. 
 
53. Seja p > 2 um primo. Determine todos os 
valores inteiros positivos de m e n, tal que 
(p – 1) (pn + 1) = 4m (m + 1). 
 
 
 Nos problemas que se seguem faça uso de uma 
calculadora para verificar os resultados e 
explicite bem os passos utilizados na resolução. 
 
54. Segundo o Teorema de Chebychev, para um 
inteiro m 2, existe um primo p tal que m < p 
< 2 m. Determine todos os primos entre 600 e 
1200. 
 
55. Segundo o Teorema de Dirichlet, se o mdc (a, 
b) =1, então existem infinitos primos da forma 
an+b com n um inteiro positivo. Determine 
todos os primos p da forma 4n+9, com 
88 < 4n + 9 < 388. 
 
56. Usando o Teorema de Sierpinski, determine 
um primo p>19 e escreva 20 inteiros 
compostos. 
 
57. Usando a Fórmula de Minàc, determine 
(12) . 
 
 CAPÍTULO 7 
NÚMEROS PRIMOS 
 
 109 
58. Usando a Fórmula do n-ésimo número primo, 
determine o quarto número primo. 
 
59. Calcule: 
a) 3#.5# 7 #
11#
 
b) 5#.7# 11#
13#
 
 
60. Verifique se existem primos gêmeos entre 600 
e 700. 
 
61. Determine dois números primos consecutivos 
tais que a diferença entre eles seja maior que 7. 
 
62. Decomponha 98! Em fatores primos. 
 
63. Determine a potência de 5 na decomposição de 
75! em fatores primos, fazendo a 
decomposição p-ádica de 75. 
 
64. Com quantos zeros termina o número 1000! ? 
Qual é a potência de 3 que aparece na 
decomposição de 1000! em fatores primos? 
 
65. Justifique se o número 
93.94. ... .112.113
21!
 
é inteiro. Em caso afirmativo, calcule o seu 
valor. 
 
66. Encontrar o maior valor do inteiro 0n tal 
que 
10200!
504n
 seja inteiro. 
 
67. Utilizando o Teorema do Número Primo: 
 
a) Faça uma estimativa (sem muito rigor) de 
quantos primos de 200 dígitos existem. 
b) Mostre que entre os números de k-dígitos, um 
em cada 2, 3k é primo. 
 
68. Qual o menor valor do número natural n que 
torna n! divisível por 1000? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 110 
Capítulo 8: 
 
 
EQUAÇÕES DIOFANTINAS 
LINEARES 
 
 
UM POUCO DE HISTÓRIA SOBRE DIOFANTO 
 
Diofanto tem o seu nome ligado à cidade que foi o maior centro de atividade matemática na 
Grécia antiga. Pouco se sabe acerca da sua vida, o desconhecimento impede-nos mesmo de 
fixar com segurança em que século viveu. Têm sido sugeridas datas distanciadas de um 
século, antes ou depois do ano 250 d. C. Por uns versos encontrados no seu túmulo, escritos 
em forma de um enigmático problema, deduz-se que viveu 84 anos. Positivamente, tal 
problema não deve ser tomado como o paradigma dos problemas sobre os quais se interessou 
Diofanto, pois ele pouca atenção deu a equações do 1º grau. Alexandria foi sempre um centro 
muito cosmopolita e a matemática que se originou nela não era toda do mesmo tipo. Os 
resultados de Heron eram bem diferentes dos de Euclides ou dos de Apolonios ou dos de 
Arquimedes, e na obra de Diofanto há novamente uma quebra abrupta da tradição clássica 
grega. Sabido é que os gregos, na época clássica, dividiram a aritmética em dois ramos: a 
aritmética propriamente dita como "teoria dos números naturais". Frequentemente, tinha mais 
em comum com a filosofia platônica e pitagórica do que com o que habitualmente se 
considera como matemática, e logística ou cálculo prático que estabelecida as regras práticas 
de cálculo que eram úteis à Astronomia, à Mecânica, etc. O principal tratado de Diofanto 
conhecido, e que. ao que parece, só em parte chegou até nós, é a "Aritmética". Apenas seis 
dos livros originais em grego sobreviveram, o número total (13) não passa de uma conjectura. 
Era um tratado caracterizado por um alto grau de habilidade matemática e de engenho, pelo 
que pode ser comparado aos grandes clássicos da "Primeira idade Alexandrina", ou seja, da 
"época de ouro" da matemática grega, no entanto, quase nada têm em comum com esses ou, 
na verdade, com qualquer matemática grega tradicional. Representa essencialmente um novo 
ramo e usa um método diferente, dai a época em que possivelmente Diofanto viveu se chamar 
"segunda idade Alexandrina", conhecida por sua vez por "época de prata" da matemática 
grega. Diofanto, mais que um cultor da aritmética, e, sobretudo da geometria, como o foram 
os matemáticos gregos anteriores, deveconsiderar-se um precursor da álgebra, e, em certo 
sentido, mais vinculado com a matemática dos povos orientais (Babilônia, Índia,...) que com a 
dos gregos. A sua "Aritmética” assemelha-se à álgebra babilônica em muitos aspectos, mas 
enquanto os matemáticos babilônicos se ocupavam principalmente com soluções 
“aproximadas" de equações "determinadas" e, sobretudo de equações "indeterminadas" do 2º 
e do 3º graus das formas canônicas, em notação atual, Ax2+Bx+C = y2 e 
Ax3+Bx2+Cx+D=y2, ou conjuntos (sistemas) destas equações. É exatamente, por esta razão 
em homenagem a Diofanto -que a esta "Análise indeterminada" se chama “Análise 
diofantina” ou “Análise diofântica". No desenvolvimento histórico da álgebra considera-se, 
em geral, que podem ser reconhecidos três estádios: o primitivo ou retórico, em que tudo era 
completamente escrito em palavras, um intermédio ou sincopado, em que foram adaptadas 
algumas abreviaturas e convenções, e um final ou simbólico, em que são usados somente 
símbolos. A "Aritmética" de Diofanto deve ser colocada no segundo estádio; nos seus seis 
livros há um uso sistemático de abreviaturas para potências de números e para relações e 
operações. 
 CAPÍTULO 8 
EQUAÇÕES DIOFANTINAS LINEARES 
 
 111 
3.1. Generalidades 
 
 
A teoria das Equações Diofantinas é o ramo da Teoria dos Números que investiga as soluções 
inteiras de equações polinomiais, como por exemplo: 
 
 x2 + y2 = z2, possui infinitas soluções representadas pelas ternas ordenadas (x,y,z) 
conhecidas como ternos pitagóricos. 
 xn + yn = zn, que não possui soluções não nulas para para n > 2, e é conhecida como o 
Último Teorema de Fermat. 
 y2 = x3 + 17, que é válida, por exemplo, para os seguintes valores positivos: (2,5) ; 
(4,9); (8,23); (43, 282); (52, 375); ... 
 Equação de Pell : 
x dy m2 2
, onde d um inteiro positivo que não seja um 
quadrado e m é um inteiro qualquer. 
Etc... 
 
O tipo mais simples de equação diofantina é a equação diofantina linear com duas incógnitas 
x e y: 
 
 
onde a, b e c são inteiros dados, sendo 
ab 0
. 
Todo par de inteiros 
0x
, 
0y
 tais que a
0x
 + b
0y
 = c diz-se uma solução inteira ou apenas uma 
solução da equação ax + by = c. 
Consideremos, por exemplo, a equação diofantina linear com duas incógnitas: 
 
 
 
Temos: 
 
 
 
Logo, os pares de inteiros: 
 
 
são soluções da equação 3x + 6y = 18 
 
Existem equações diofantinas lineares com duas incógnitas que não têm solução. Assim, por 
exemplo, a equação diofantina linear: 
 
 
2x + 4y = 7 
 
4 e 1, -6 e 6, 10 e -2 
 
3.4 + 6.1 = 18 
3(-6) + 6.6 = 18 
3.10 + 6(-2) = 18 
 
3x + 6y = 18 
 
ax + by = c 
 
 
CAPÍTULO 8 
EQUAÇÕES DIOFANTINAS LINEARES 
 
 112 
não tem solução, porque 2x + 4y é um inteiro par quaisquer que sejam os valores inteiros de x 
e y, enquanto que 7 é um inteiro ímpar (observe-se que 2 = mdc (2, 4) não divide 7). 
De modo geral, a equação diofantina linear ax + by = c não tem solução todas as vezes que d 
= mdc (a, b) não divide c, como é óbvio. 
 
 
 
3.2. Condição de Existência de Solução 
 
 
Teorema 3.1: A equação diofantina linear ax + by = c tem solução se e somente se d divide c, 
sendo d = mdc (a, b). 
 
Demonstração: 
 
 Suponhamos que a equação ax + by = c tem uma solução, isto é, que existe um par de 
inteiros 
0x
, 
0y
 tais que a
0x
 + b
0y
 = c. 
Por ser o mdc (a, b) = d, existem inteiros r e s tais que a = dr e b = ds, e temos: 
 
 
 
e como r
0x
 + s
0y
 é um inteiro, segue-se que d divide c (
d | c
). 
 
 Reciprocamente, suponhamos que d divide c (
d | c
), isto é, que c = dt, onde t é um inteiro. 
Por ser o mdc (a, b) = d, existem inteiros 
0x
 e 
0y
 tais que 
 
 
 
o que implica: 
 
 
 
isto é, o par de inteiros: 
 
 
 
é uma solução da equação ax + by = c. 
 
 
 
 
 
 
 
x = t
0x
 = (c/d)
0x
, y = t
0y
 = (c/d)
0y
 
 
c = dt = (a
0x
 + b
0y
)t = a(t
0x
) + b(t
0y
) 
 
d = a
0x
 + b
0y
 
c = a
0x
 + b
0y
 = dr
0x
 + ds
0y
 = d(r
0x
 + s
0y
) 
 
 CAPÍTULO 8 
EQUAÇÕES DIOFANTINAS LINEARES 
 
 113 
3.3. Soluções da equação ax + by = c. 
 
 
Teorema 3.2: Se d divide c (
d | c
), sendo d = mdc (a, b), e se o par de inteiros 
0x
, 
0y
 é uma 
solução particular da equação diofantina linear ax + by = c, então todas as outras soluções 
desta equação são dadas pelas fórmulas: 
 
 
 
onde t é um inteiro arbitrário 
 
Demonstração: Suponhamos que o par de inteiros 
0x
, 
0y
 é uma solução particular da 
equação ax + by = c, e seja 
1x
, 
1y
 uma outra solução qualquer desta equação. Então, temos: 
 
 
 
e, portanto: 
 
 
 
Por ser o mdc (a, b) = d, existem inteiros r e s tais que a = dr e b = ds, com r e s primos entre 
si. Substituindo estes valores de a e b na igualdade anterior e cancelando o fator com d, 
obtemos: 
 
 
 
Assim sendo, 
0 1r | s(y y )
, e como o mdc (r, s) = 1, segue-se que 
0 1r | (y y )
, isto é: 
 
 
 
onde t é um inteiro. Portanto, temos as fórmulas: 
 
 
 
Estes valores de 
1x
 e 
1y
 satisfazem realmente a equação ax + by = c, qualquer que seja o 
inteiro t, pois, temos: 
 
 
a
1x
 + b
1y
 = a[
0x (b / d)t
] + b[
0y (a / d)t
] = a
0x
 + b
0y
 + (ab/d – ab/d)t = c + 0.t = c 
 
1 0 0x x st x (b / d)t
 
1 0 0y y rt y (a / d)t
 
 
0 1y y
 = rt e 
1 0x x
 = st 
 
r(
1x
 - 
0x
) = s(
0y
 - 
1y
) 
 
a(
1x
 - 
0x
) = b(
1y
 - 
0y
) 
 
 
a
0x
 + b
0y
 = c = a
1x
 + b
1y
 
 
 
0
b
x x t
d
, 
0
a
y y t
d
 
 
 
CAPÍTULO 8 
EQUAÇÕES DIOFANTINAS LINEARES 
 
 114 
Como se vê, se d = mdc (a, b) divide c (
d | c
), então a equação diofantina linear ax + by = c 
admite um número infinito de soluções, uma para cada valor do inteiro arbitrário t. 
 
Corolário 3.1: Se o mdc (a, b) = 1 e se 
0x
, 
0y
 é uma solução particular da equação diofantina 
linear ax + by = c, então todas as outras soluções desta equação são dadas pelas fórmulas: 
 
 
 
onde t é um inteiro arbitrário. 
 
Nota: Uma solução particular da equação diofantina linear se obtém por tentativas ou pelo 
algoritmo de Euclides. E em ambos os casos a solução geral se pode obter usando o teorema 
3.2, conforme se vai ver nos exemplos a seguir. 
 
Exemplo 3.1: Determinar todas as soluções inteiras e positivas da equação diofantina linear 
 
 
 
Determinemos o mdc (18, 5) pelo algoritmo de Euclides: 
 
18 = 5.3 + 3 
5 = 3.1 + 2 
3 = 2.1 + 1 
2 = 1.2 
 
Portanto, o mdc (18, 5) = 1 e a equação dada tem solução. e para exprimir 1 como 
combinação linear de 18 e 5 basta eliminar os restos 2 e 3 entre as três primeiras igualdades 
anteriores do seguinte modo: 
 
 
 
isto é: 
 
 
 
e 
 
 
 
Logo, o par de inteiros 
0x
 = 96, 
0y
 = -335 é uma solução particular da equação proposta, e 
todas as demais soluções são dadas pelas fórmulas: 
 
 
 3 1 1 2 
18 5 3 2 1 
 3 2 1 0 
x = 96 + 5t, y = -336 – 18t 
 
48 = 18.96 + 5(-336) 
 
1 = 18.2 + 5(-7) 
 
1 = 3 – 2 = 3 – (5 – 3) = 2.3 – 5 = 2(18 – 5.3) – 5 = 18.2 + 5(-7) 
18x + 5y = 48 
 
0x x bt
, 
0y y at
 
 
 CAPÍTULO 8 
EQUAÇÕES DIOFANTINAS LINEARES 
 
 115 
onde t é um inteiro arbitrário. 
 
As soluções inteiras e positivas se acham escolhendo t de modo que sejamsatisfeitas as 
desigualdade: 
 
 
 
Isto é: 
 
 
 
 
o que implica t = -19 e, portanto: 
 
 
 
Assim, o par de inteiros x = 1, y = 6 é a única solução inteira e positiva da equação 18x + 5y = 
48. 
 
Exemplo 3.2: Resolver a equação diofantina linear 
 
 
 
O mdc (a, b) = 13 e como 13 não divide 105, segue-se que a equação dada não tem solução. 
 
 
 EXERCÍCIOS 
 
1) Determinar todas as soluções inteiras das 
seguintes equações diofantinas lineares: 
 
a) 56x + 72y = 40 
b) 24x + 138y = 18 
c) 221x + 91y = 117 
d) 84x – 438y = 156 
e) 48x + 7y = 5 
f) 57x – 99y = 77 
g) 11x + 30y = 31 
h) 27x – 18y = 54 
i) 13x – 7y = 21 
j) 44x + 66y = 11 
k) 21x – 12y = 72 
l) 17x + 54y = 8 
2) Determinar todas as soluções inteiras e 
positivas das seguintes equações diofantinas 
lineares: 
 
a) 5x – 11y = 29. 
b) 32x + 55y = 771 
c) 58x – 87y = 290 
d) 62x + 11y = 788 
e) 30x + 17y = 300 
f) 54x + 21y = 906 
g) 123x + 360y = 99 
h) 158x – 57y = 7 
 
 
3) Determinar o menor inteiro positivo que 
dividido por 8 e por 15 deixa os restos 6 e 13, 
respectivamente. 
39x + 26y = 105 
x = 96 + 5(-19) = 1, y = -336 -18(-19) = 6 
 
t > 
19,2
 e t < 
18,6
 
96 + 5t > 0, -336 – 18t > 0 
 
 
CAPÍTULO 8 
EQUAÇÕES DIOFANTINAS LINEARES 
 
 116 
 
4) Exprimir 100 como soma de dois inteiros 
positivos de modo que o primeiro seja 
divisível por 7 e o segundo seja divisível por 
11. 
 
5) Determinar as duas menores frações positivas 
que tenham 13 e 17 para denominadores e 
cuja soma seja igual a 
305
221
. 
 
6) Determine todas as soluções inteiras do 
sistema de equações 
2 3 5 201
3 5 7 315
x y z
x y z
 
 
7) Encontre todas as soluções da equação 
Diofantina (6x+15y)(8x+7y) = 129. 
 
8) Uma pessoa foi ao banco para descontar um 
cheque no valor de x reais e y centavos. 
O caixa do banco errou na leitura do valor do 
cheque e pagou y reais e x centavos. A pessoa 
guardou o dinheiro no bolso sem verificar a 
quantia. No caminho de casa, ela gastou cinco 
centavos e quando chegou em casa verificou 
que tinha exatamente o dobro do valor do 
cheque. Sabendo-se que essa pessoa não levou 
dinheiro nenhum consigo quando foi ao 
banco, pergunta-se qual era o valor do cheque. 
 
9) Um grupo de pessoas gastou 1000 dólares 
num hotel. Sabendo-se que apenas alguns dos 
homens estavam acompanhados pelas esposas 
e que cada homem gastou 19 dólares e cada 
mulher gastou 13 dólares, pede-se determinar 
quantas mulheres e quantos homens estavam 
no hotel. 
 
10) Um grupo de pessoas gastou 690 dólares num 
hotel. Sabendo-se que apenas alguns dos 
homens estavam acompanhados pelas esposas 
e que cada homem gastou 18 dólares e cada 
mulher gastou 15 dólares, pede-se determinar 
quantas mulheres e quantos homens estavam 
no hotel. 
 
11) Ao entrar num bosque, alguns viajantes 
avistam 37 montes de maçãs. Após serem 
retiradas 17 frutas, o restante foi dividido 
igualmente entre 79 pessoas. Qual pode ter 
sido a parte de cada pessoa? 
 
12) Sabendo que um time de basquete é composto 
de 5 jogadores e um time de vôlei é formado 
por 6 jogadores. Quantas quadras de basquete 
e quantas de vôlei são necessárias para que 80 
alunos joguem simultaneamente qualquer um 
dos esportes? E se forem 77 alunos? 
 
13) O laboratório Sangue Bom, dispõe de 2 
máquinas para examinar amostras de sangue. 
Uma delas examina 15 amostras de cada vez, 
enquanto a outra examina 25. Quantas vezes 
essas máquinas devem ser acionadas para 
examinar exatamente 2 mil amostras? 
 
14) Num determinado lugar a moeda é o mirrél. 
Suponhamos que só existam moedas de 15 e 
7 mirréis e que se queira pagar uma 
determinada quantia em mirréis. Será que é 
sempre possível? E se existirem moedas de 
12 e 30 mirréis? 
 
15) Para agrupar 13 aviões em filas de 3 ou de 5, 
exatamente quantas filas serão formadas de 
cada tipo? 
 
16) Para participar de um evento comemorativo 
em um clube, não sócios pagavam R$ 12,00 e 
sócios R$ 8,00. Sabendo-se que foram 
arrecadados R$ 908,00 na portaria, quantos 
sócios estiveram no evento? 
 
17) Um galo custa 5 mirréis, uma galinha 3 
mirréis, e três pintinhos 1 mirrél. Com 100 
mirréis um fazendeiro comprou 100 dessas 
aves. Quantos galos, galinhas e pintinhos 
foram comprados? 
 
18) Demonstrar que se a e b são inteiros positivos 
primos entre si, então a equação diofantina ax 
– by = c têm um número infinito de soluções 
inteiras e positivas. 
 
 
 
 
 117 
Capítulo 9 
 
 
 
 CONGRUÊNCIAS 
 
 
 
9.1. Congruências 
 
 
Definição 9.1 Sejam a e b inteiros quaisquer e seja m >1 um inteiro positivo fixo. Diz-se que 
a é congruente a b módulo m se, e somente se, m divide a diferença a – b. Em outros termos a 
é congruente a b módulo m se, e somente se, existe um inteiro k tal que a – b = km 
Simbolicamente: 
 
 
 
Exemplos 9.1 3 24 (mod 7) ; –31 11 (mod 6) ; –15 –63 (mod 8) 
Definição 9.2 Se m não divide a diferença a – b, então diz-se que a é incongruente a b 
módulo m . 
 
Notação: a b (mod m) 
 
 
Observações: 
1) Dois inteiros quaisquer são congruentes módulo 1 
2) Dois inteiros são congruentes módulo 2, se ambos são pares ou ambos são 
ímpares 
3) a 0 (mod m) se, e somente se, m | a. 
 
 
 
9.2. Caracterização de Inteiros Congruentes 
 
 
Teorema 9.1 Dois inteiros a e b são congruentes módulo m se, e somente se, a e b deixam o 
mesmo resto quando divididos por m. 
 
Demonstração: 
( ) Suponhamos que a b ( mod m). Então, pela definição: 
a – b = km, k Z 
 
a b (mod m) m | ( a – b ) a - b = km a = km + b 
 
 
CAPÍTULO 9 
CONGRUÊNCIAS 
 
 118 
Seja r o resto da divisão de b por m; então pelo algoritmo da divisão: 
 
Portanto: 
 
e isto significa que r também é o resto da divisão de a por m, isto é, os inteiros a e b divididos 
por m deixam o mesmo resto r. 
( ) Reciprocamente, suponhamos que a e b divididos por m deixam o mesmo resto r. Então, 
podemos escrever: 
 
 
e, portanto: 
 
 
 
 
 9.3. Propriedades das Congruências 
 
 
Teorema 9.2 Seja m um inteiro positivo fixo (m > 1) e sejam a, b e c inteiros quaisquer. 
Valem as propriedades: 
 
1) a a (mod m) (Reflexiva) 
2) Se a b (mod m), então b a (mod m) (Simétrica) 
3) Se a b (mod m) e se b c(mod m), então a c (mod m) (Transitiva) 
 
Demonstração: 
 
(1) a 0 ou seja, a (a –a), o que implica: a a (mod m) 

 
(2) Se a b (mod m), então a – b = km, k z. 
 
Portanto: 
 
(3) Se a b (mod m) e se b c (mod m), então existem inteiros h e k tais que 
 
Portanto: 
 
a – c = (a - b) + (b - c) = hm + km = (h + k)m 
 
a– b = hm e b – c = km 
 
b – a = -(km) = (-k)m b a (mod m) 

 
a – b = ( q1 – q2) m m (a – b) a b ( mod m)  
a = mq1 + r e b = mq2 + r , 0 r < m 
 
a = km + b = km + mq + r = (k + q)m + r 
 
b = mq + r, 0 r < m 
 
 CAPÍTULO 9 
CONGRUÊNCIAS 
 
 119 
e isto significa que a c (mod m). 

 
 
 
Nota: Consoante este teorema, as relação binária R no conjunto Z dos 
inteiros definidas por 
aRb a b (mod m) é reflexiva, simétrica e transitiva, ou seja, R é uma 
relação de equivalências em Z. Esta relação de equivalência R em z é 
denominada “congruência módulo m” . 
 
 
Teorema 9.3 Seja m um inteiro positivo fixo (m > 1) e sejam a, b dois inteiros quaisquer. 
Valem as seguintes propriedades: 
 
1) Se a b (mod m) e se n | m, com n > 0, então a b (mod n)Demonstração: Com efeito: 
 
onde k e q >0 são inteiros. 
 
Portanto: 
 
 
2) Se a b (mod m) e se c > 0 , então ac bc (mod mc) 
Demonstração: Com efeito, se a b (mod m), então: 
 
3) Se a b (mod m) e se a, b, m são todos divisíveis pelo inteiro d > 1, então 
d
b
d
a
 (mod 
d
m
) 
 
Demonstração: 
Com efeito, se a b (mod m), então: 
 
 
a b m a b m
a - b = km - = k( ) (mod )
d d d d d d
 

 
a – b = km ac – bc = k(mc) ac bc (mod mc)  
 
a –b = (kq)n a b (mod n)  
 
a b (mod m) a – b =km e n m m = nq 
 
 
CAPÍTULO 9 
CONGRUÊNCIAS 
 
 120 
Teorema 9.4 Seja m um inteiro positivo fixo (m > 1) e sejam a, b, c, d inteiros quaisquer. 
Valem as seguintes propriedades: 
 
1) Se a b (mod m) e se c d (mod m), então a + c b + d (mod m) e ac bd 
(mod m). 
 
Demonstração: 
Se a b (mod m) e se c d (mod m), então existem inteiros h e k tais que 
a – b = hm e c – d = km.Portanto: 
 
(a + c) – (b + d) = (a - b)+ (c- d) = (h + k)m 
 e 
ac – bd = (b + hm) (d + km) - bd = (bk + dh + hkm)m 
o que implica: 
 
 
2) Se a b (mod m) e c um inteiro qualquer, então a + c b + c (mod m) e ac bc 
(mod m). 
 
Demonstração: Temos: 
 
Logo, pela propriedade anterior: 
a + c b + c (mod m) e ac bc (mod m) 

 
Em particular, se c = -1, então: 
a (-1) b(-1) (mod m) ou -a -b (mod m) 
 
3) Se a b (mod m), então an bn (mod m) para todo inteiro positivo n. 
 
Demonstração: 
Usando o “Teorema da indução Matemática”, a proposição é verdadeira para n = 1, e 
suposta verdadeira para o inteiro positivo k temos: 
 
 
Portanto, pela propriedade 1 acima 
a k b k (mod m) e a b (mod m) 
 
 
 
a b (mod m) e c c (mod m) 
 
 
 
a + c b + d (mod m) e ac bd (mod m) 

 
 
 
 CAPÍTULO 9 
CONGRUÊNCIAS 
 
 121 
 
isto é, as proposição é verdadeira para o inteiro positivo k + 1. logo, a preposição é verdadeira 
para todo inteiro positivo n. 

 
Teorema 9.5: Se ac bc (mod m) e se o mdc(c,m) = d, então a b (mod 
d
m
) 
Demonstração: Com efeito, se ac bc (mod m), então: 
 
Como o mdc (c,m) = d, existem inteiro r e s tais que c = dr e m = ds, onde r e s são primos 
entre si. Portanto: 
 
o que implica que s (a – b)r, com o mdc (r,s) = 1. Logo, pelo Teorema 5.4 ( de Euclides): s 
(a – b) e a b (mod s) ou, por ser s =
d
m
, a b (mod
d
m
 ). 

 
Corolário 9.1 Se ac bc ( mod m) e se o mdc (c,m) = 1, então a b (mod m). 
Esta propriedade mostra que é permitido cancelar fatores de ambos os membros de uma 
congruência que são primos com o módulo. 
 
Corolário 9.2 Se ac bc (mod p), com p primo, e se p não divide c, então 
 a b (mod p) 
Demonstração: Com efeito, as condições: p não divide c e p é primo, implicam que o 
mdc(c, p) = 1. 

 
 
 
 
9.4. Sistemas Completos de Restos 
 
 
Definição 9.3 Chama-se sistema completo de restos módulo m todo conjunto 
S = {r1 , r2 , ... , rm} de m inteiros tal que um inteiro qualquer a é congruente módulo m a um 
único elemento de S. 
 
Exemplo 9.2: Cada um dos conjuntos: 
 
é um sistema completo de restos módulo 3. 
{1, 2, 3} , {0, 1, 2} , { –1, 0, 1} , {1, 5, 9} 
 
 
 
 
(a – b) dr = kds ou (a - b)r = ks 
 
 
 
 
ac – bc = (a – b)c = km , com k Z. 
 
 
 
a k .a b k .b (mod m) ou a
k+1
 b
k+1
 (mod m) 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 9 
CONGRUÊNCIAS 
 
 122 
Teorema 9.6 O conjunto S = {0,1, 2, ..., m – 1} é um sistema completo de restos módulo m. 
Demonstração: Com efeito, o conjunto S tem m elementos e, além disso, qualquer que seja o 
inteiro a temos, pelo algoritmo da divisão: 
 
o que implica a ≡ r (mod. m), e como o resto r só pode assumir os m valores 0, 1, 2, ..., m-1, 
segue-se que o inteiro a é congruente módulo m a um único desses m inteiros. 

 
 
Corolário 9.3 Se S = {r1 , r2 , ... , rm} é um sistema completo de restos módulo m, então os 
elementos de S são congruentes módulo m aos inteiros 0, 1, 2, ... , m – 1, tomados numa certa 
ordem. 
 
Demonstração: Com efeito, se a é um inteiro qualquer, então: 
 
o que implica: r1 ≡ k (mod. m). 
 
 
 
9.5 – Aritmética Módulo m 
 
 
Definição 9.4.: Seja a um inteiro. Chama-se classe de congruência de a módulo m (m > 1) 
o conjunto formado por todos os inteiros que são congruentes a a módulo m. Denotamos esse 
conjunto por 
a
. Temos, então: 
 
 
 
Como x a (mod m), se e somente se, x é da forma x = a + k.m, para algum 
 k Z, também podemos escrever: 
 
Mostraremos a seguir que a relação de congruência entre números se traduz em igualdade no 
sentido estrito entre classes. 
 
Proposição 9.1: Sejam a e b inteiros. Então a b (mod m), se e somente se, 
a
 
b
. 
Demonstração: Suponhamos que a b (mod m), queremos provar que 
a
 = 
b
, isto é, uma 
igualdade entre conjuntos. Dado x 
a
, temos por definição que x a (mod m). Da 
propriedade transitiva de congruência e da hipótese, segue imediatamente que x 
b
. Logo, 
a
 
 
b
. A inclusão 
b
 
a
 em sentido contrário segue de forma análoga. 
a
 = { a + k.m | k Z } 
 
a
 = { x Z ; x a (mod m) } 
a ≡ r1 (mod. m), com r1 Є S 
a ≡ k (mod. m), com 0 ≤ k ≤ m-1 
 
 
 
 
 
 
a = mq + r, com 0 ≤ r ≤ m 
 
 
 
 
 
 CAPÍTULO 9 
CONGRUÊNCIAS 
 
 123 
Reciprocamente, se 
a
 = 
b
, como a 
a
, temos também que a 
b
, logo, a b (mod m). 

 
 
Corolário 9.4: Sejam a e b inteiros. Se 
a
 
b
, então 
a
 
b
 = . 
Demonstração: Se 
a
 
b
 = , consideremos um inteiro c que pertença a ambas as classes. 
Como c 
a
, temos que c a (mod m) e, de forma análoga, c b (mod m). Portanto, a b 
(mod m) e, da proposição acima, 
a
 = 
b
. 

 
 
 
Note que, por exemplo, para as classes módulo 7, temos que 
...71470
 ou 
...3114
 etc. 
Mais precisamente, dada uma classe 
a
, para qualquer inteiro x tal que x 
a
, 
temos que 
x
=
a
. Por causa disto, cada inteiro pertencente a uma dada classe 
diz-se um representante daquela classe. Por exemplo, 11 e – 3 são 
representantes da classe 
4
 módulo 7. 
 
Consideremos um sistema completo de classes ou resíduos módulo m, por exemplo, os 
inteiros 0, 1, ..., m – 1 e suas respectivas classes: 
 
 
Conforme já foi considerado, cada inteiro pertence a uma e apenas uma das m classes. 
Por exemplo, se m = 7, todas as classes possíveis, módulo 7, são as seguintes: 
 
 
 Denotaremos pelo símbolo 
m
 o conjunto das classes de congruências módulo m e o 
chamaremos de Conjunto dos Inteiros Módulo m. 
Assim, Z7 = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }. 
0
 = { 0, 7, 14, 21, ... } 
1
 = { 1, 1 7, 1 14, 1 21, ... } 
2
 = { 2, 2 7, 2 14, 2 21, ... } 
3
 = { 3, 3 7, 3 14, 3 21, ... } 
4
 = { 4, 4 7, 4 14, 4 21, ... } 
5
 = { 5, 5 7, 5 14, 5 21, ... } 
6
 = { 6, 6 7, 6 14, 6 21, ... } 
 
0
 = { 0, m, 2.m, 3.m, ... } 
1
 = { 1, 1 m, 1 2.m, 1 3.m, ... } 
... 
1m
 = { m – 1, m – 1 m, m – 1 2.m, m – 1 3.m, ... } 
 
 
CAPÍTULO 9 
CONGRUÊNCIAS 
 
 124 
 
Note que, por exemplo, 
0
 = 
7
, 
1
 = 
15
, 
2
 = 
9
, 
3
 = 
11
, 
4
 = 
25
, 
5
 = 
16
, 
6
 = 
8
 e também podemos escrever: 
Z7 = { 7 , 15 , 9 , 11 , 25 , 16 , 8 }. 
 
Em geral, se { a1, a2, ..., am } é um sistema completo de restos módulom, temos que: 
 
Tomando o sistema de restos mais simples, podemos escrever: 
 
 
 
Note que, conforme as observações acima, o conjunto 
m
 tem precisamente 
m elementos. 
 
 
 
9.6. Adição e Multiplicação em 
m
 
 
Agora gostaríamos de introduzir operações de soma e produto em 
m
 e estudar suas 
propriedades. Existe uma forma natural de fazê-lo. Por exemplo, para somar e multiplicar 
3
 e 
6
 em Z7, faríamos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
3
 + 
6
 = 
9
 = 
2
 
3
 . 
6
 = 
18
 = 
4
 
 
m
 = { 
0
, 
1
, 
2
, ..., 
1m
 } 
 
m
= { 
1a
, 
2a
, ..., 
ma
} 
 
 CAPÍTULO 9 
CONGRUÊNCIAS 
 
 125 
Exemplificando a adição e a multiplicação em uma “tabuada” módulo 7: 
+ 0 1 2 3 4 5 6 * 0 1 2 3 4 5 6 
0 0 1 2 3 4 5 6 0 0 0 0 0 0 0 0 
1 1 2 3 4 5 6 0 1 0 1 2 3 4 5 6 
2 2 3 4 5 6 0 1 2 0 2 4 6 1 3 5 
3 3 4 5 6 0 1 2 3 0 3 6 2 5 1 4 
4 4 5 6 0 1 2 3 4 0 4 1 5 2 6 3 
5 5 6 0 1 2 3 4 5 0 5 3 1 6 4 2 
6 6 0 1 2 3 4 5 6 0 6 5 4 3 2 1 
 
 
Observações: 
Observe, na tabela de adição, o conceito de inverso aditivo módulo m. Dizemos 
que dois elementos de 
m
 são inversos aditivos, se e somente se, 
0(mod )a b m
. Assim, por exemplo, 4 e 3 são inversos aditivos módulo 7, uma vez que 
4 3 0(mod7)
. 
 
Mais explicitamente, definimos soma e produto em Zm por: 
 
Quer dizer, para efetuar a soma de duas classes módulo m, tomamos representantes 
(quaisquer) a e b dessas classes, efetuamos a soma a + b em Z e consideramos como resultado 
da soma a classe de a + b módulo m . A operação de produto se faz de forma análoga. 
Surge agora uma pergunta natural: será que o resultado das operações não depende dos 
representantes escolhidos? Voltando ao exemplo de Z7 , para somar 3 + 6 , poderíamos tomar 
38 como um representante de 
3
 e 27 como representante de 
6
. Será que 
38
 + 
27
 = 
65
 é o 
mesmo resultado que aquele obtido acima, 
3
 + 
6
 = 
2
? A resposta é afirmativa. Como 65 2 
(mod 7), felizmente o resultado é o mesmo. O lema abaixo mostra que isso não é uma mera 
coincidência. 
 
Lema 9.1: Sejam a, a’, b e b’ inteiros tais que 
a
 = 
'a
 e 
b
 = 
'b
. Então, 
ba
 = 
'b'a
 e 
b . a
 = 
'b' . a
. 
 
Demonstração: É uma conseqüência imediata das propriedades. 
Proposição 9.2: Em 
m
 valem as seguintes propriedades: 
3
 + 
6
 = 
9
 = 
2
 
3
 . 
6
 = 
18
 = 
4
 
 
 
CAPÍTULO 9 
CONGRUÊNCIAS 
 
 126 
(P1) Propriedade Associativa: Para toda terna 
a
, 
b
, 
c
 de inteiros módulo m, tem-se que: 
a
 + ( 
b
 + 
c
 ) = ( 
a
 + 
b
 ) + 
c
 
(P2) Existência do Elemento Neutro: Existe um único elemento em 
m
 que é precisamente 
0
 
a classe do elemento 0, tal que: 
a
 + 
0
 = 
a
, para todo 
a
 
m
 
 
(P3) Existência do Elemento Oposto: Para cada inteiro módulo m, 
a
, existe um único 
elemento em Zm que chamaremos oposto de a e indicaremos por a , tal que: a + ( a ) = 0 
(P4) Propriedade Comutativa: Para todo par 
a
, 
b
 de elementos de Zm tem-se que: a + b = b 
+ 
a
. 
Demonstração: As demonstrações são feitas apoiando-se nos axiomas para as operações com 
números inteiros. A título de ilustração, provaremos P1 e P3. 
(P1)Utilizando repetidamente a definição de soma em 
m
, temos: 
 
Agora, como vale a associativa da soma entre números inteiros, ou seja: 
 
temos que: 
 )cb( a
 = 
c )ba( 
 
logo, 
a
 + ( 
b
 + 
c
 ) = 
 )cb( a
 = 
c )ba( 
 = ( 
a
 + 
b
 ) + 
c
 
Na última sequência de igualdade usamos, novamente, apenas a definição de soma em 
m
. 
( P3) Dado 
a
 
m
, basta tomar a classe 
a
 e verificar que: 
 
Para provar a unicidade, suponhamos que 
b
 
m
 também verifica 
a
 + 
b
 = 
0
 ou, usando da 
comutatividade, 
b
 + 
a
 = 
0
. Temos então: 
 
 
 
A verificação de P2 é imediata. Note, porém, que a classe do elemento neutro é formada 
também pelos múltiplos de m. Temos, assim, que 
0
 = 
m
. 
 
Da demonstração de P3 vem que o oposto de 
a
 em 
m
 é a classe 
a
 = – 
a
. É claro que, se 
explicitamos 
m
 na forma 
m
 = { 
0
, 
1
, 
2
, ..., 
1m
 } e a é um dos representantes utilizados, 
então – a não é um deles. Para obter o menor representante positivo da classe de – a, fazemos: 
 
 
a
 = 
0
 + (
a
) = 
m
 + (
a
) = 
m
 – 
a
 = 
a m
 
 
b
 = 
b
 + 
0
 = 
b
 + ( 
a
 + (
a
) ) = ( 
b
 + 
a
 ) + (
a
) = 
0
 + (
a
) = 
a
. 

 
 
 
a
 + (
a
) = 
)a(a
 = 
0
 
 
a + ( b + c ) = ( a + b ) + c 
a
 + ( 
b
 + 
c
 ) = 
a
 + ( 
cb
 ) = 
 )cb( a
 
 CAPÍTULO 9 
CONGRUÊNCIAS 
 
 127 
Por exemplo, em Z7 temos que 2 = 0 – 2 = 7 – 2 = 2 7 = 5 (de fato, 2 +5 =7 =0 ). 
Listamos na próxima proposição as propriedades do produto e a propriedade distributiva, que 
relaciona ambas as operações. 
Proposição 9.3: Em 
m
 valem as seguintes propriedades: 
(P5) Propriedade Associativa: Para toda terna 
a
, 
b
, 
c
 de inteiros módulo m, tem-se que:
a
. (
b
 
. 
c
 ) = ( 
a
 . 
b
 ) . 
c
 
 
(P6) Existência do Elemento Neutro: Existe o único elemento em 
m
 que é precisamente
1
, tal 
que: 
a
 . 
1
 = 
a
. 
 
(P7) Propriedade do Elemento Oposto: Comentário mais adiante. 
(P8) Propriedade Comutativa: Para todo par 
a
, 
b
 de elementos de 
m
 tem-se que: 
a
 . 
b
 = 
b
 . 
a
. 
(P9) Propriedade Distributiva: Para toda terna 
a
, 
b
, 
c
 de elementos de Zm tem-se que: 
a
. (
b
 + 
c
 ) = 
a
.
b
 + 
a
.
c
. 
 
Demonstração: Tal como na proposição anterior, deixaremos as demonstrações como 
exercício. São feitas reduzindo-as ao caso dos inteiros. 
 
Você deve ter notado que não listamos uma propriedade P7 que, no paralelismo que 
estávamos fazendo com as propriedades das operações nos inteiros, corresponderia à 
propriedade cancelativa. Isso ocorreu porque ela não é válida em geral. Com efeito, por 
exemplo, em Z6 temos que 3 .2 = 6 = 0 , 3 .4 = 12 = 0 ; logo, 3 .2 = 3 .4 , porém 2 4 . 
 
No contra-exemplo acima, temos dois elementos não-nulos de Z6 cujo produto é zero, 
situação que não acontece em 

. Para melhor estudar a propriedade cancelativa, 
começaremos formalizando esse conceito. 
 
Definição 9.5: Um elemento não-nulo 
a
 
m
 diz-se um divisor de zero se existe 
b
 
m
, 
também não-nulo, tal que 
a
.
b
 = 
0
. Agora, determinaremos quais são os divisores de zero em 
m
. 
Lema 9.2: Um elemento não-nulo 
a
 
m
 é divisor de zero, se e somente se, 
m.d.c.(a, m) 1. 
Demonstração: Seja 
a
 um divisor de zero e 
b
 0 um elemento de 
m
 tal que 
a
.
b
 = 
0
. Como 
a
.
b
 = 
b
.
a
 = 
0
, temos que a.b 0 (mod m), isto é, m divide a.b (representamos por “m | a.b”). 
Supondo por absurdo que m.d.c.(a, m) = 1, o Teorema de Euclides diz que para a e b inteiros 
tais que a | b.c, se m.d.c.(a, b) = 1, então a | c , assim, vem que m | b, logo, 
b
 = 
0
, uma 
contradição. Reciprocamente, suponhamos que m.d.c.(a, m) = d > 1. Vamos determinar um 
elemento 
b
 
0
 em Zm tal que a .b = 0 . 
Podemos escrever a = a1 . d , e m = m1 . d, em que 0 < m1 < m (já que d >1). 
Logo, m1 0 . Agora, temos que: 
 
 
CAPÍTULO 9 
CONGRUÊNCIAS 
 
 128 
 
 
Logo, em Zm temos: 
 
Assim, basta tomar b = m1.  
Como consequência imediata deste Lema temos o Corolário abaixo. 
Corolário 9.5: Seja p > 1 um inteiro primo. Então, 
p
 não contém divisores de zero. 
Vale também a recíproca. 
Lema 9.3: Se 
m
 não contém divisores de zero, então m é primo. 
Demonstração: Suponhamos, por absurdo, que m seja composto, isto é da forma m = r . s 
com 1 < r < m, 1 < s < m. Temos, então, que: 
0
 = 
m
 = 
r
 . 
s
 em que 
r
 0 e 
s
 0, uma 
contradição. 

 
Proposição 9.4: A propriedade cancelativa do produto vale em 
m
, se e somente se, m é 
primo. 
Demonstração: Suponhamos inicialmente que m seja primo, e sejam 
a
, 
b
, 
c
 elementos de 
m
, com 
a
 0, tais que 
a
.
b
 = 
a
.
c
. Então, 
a
.(
b
 – 
c
) = 0. 
Como 
a
 0 e 
m
 não tem divisores de zero, deve ser 
b
 – 
c
 = 0, donde 
b
 = 
c
. 
Suponhamos que a propriedade cancelativa seja válida, mostraremos que nesse caso que 
m
 
não contém divisores de zero. A tese seguirá então do Lema anterior. 
Sejam 
a
, 
b
 Zm tais que a .b = 0 . Se a 0 , escrevemos a .b = a .0 e, como podemos 
cancelar, temos que 
b
 = 0. 

 
Para continuar nosso estudo comparativo de 

 com 
m
, introduzimos ainda outro conceito. 
Definição 9.6: Um elemento 
a
 
m
 diz-se inversível se existe 
'a
 
m
 tal que 
a
.
'a
 = 1. Um 
elemento 
'a
 nessas condições diz-se um inverso de 
a
. 
O conjunto dos elementos de 
m
 que têm inversos é muito importante. Vamos denotá-lo por 

(m). Em outras palavras, 
1m . a
 = 
m . a1
 = 
0
 
 
a . m1 = ( a1 . d ) . m1 = a1 . ( d . m1 ) = a1 . m 
 
 CAPÍTULO 9 
CONGRUÊNCIAS 
 
 129 
 
No caso de m ser primo, todas as classes diferentes de 
0
 possuem inverso. 
 
Os únicos elementos inversíveis de 

 são 1 e –1. 
Obviamente, 
1
 e 
1
 são sempre inversíveis em 
m
. Porém há outros exemplos. 
Em Z5 temos que 2 .3 = 6 = 1 e 4 .4 = 16 = 1 , logo 2 , 3 e 4 são também inversíveis de Z5, 2 
é o inverso de 
3
 e, reciprocamente, 
4
 é o seu próprio inverso. 
Em Z6 temos que 5 .5 = 25 = 1 ; logo, 5 é um inversível de Z6. 
 
Por outro lado, é claro que 
0
 não é inversível em 
m
, para nenhum valor de m. De fato, para 
qualquer 
a
 
m
 temos que 
0
.
a
 = 
0
 
1
. 
Observe as tabelas de multiplicação em Z6 e em Z7. 
 
* 0 1 2 3 4 5 6 * 0 1 2 3 4 5 
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 
1 0 1 2 3 4 5 6 1 0 1 2 3 4 5 
2 0 2 4 6 1 3 5 2 0 2 4 0 2 4 
3 0 3 6 2 5 1 4 3 0 3 0 3 0 3 
4 0 4 1 5 2 6 3 4 0 4 2 0 4 2 
5 0 5 3 1 6 4 2 5 0 5 4 3 2 1 
6 0 6 5 4 3 2 1 
 
Com exceção de 0, todos os elementos em Z7 (7 é primo) possuem inverso, enquanto que em 
Z6 (6 não é primo), apenas 1 e 5 possuem inverso. Isso está de acordo com a proposição 
abaixo. 
 
Proposição 9.5: Seja 
a
 um elemento não-nulo de 
m
. Então, 
a
 é inversível, se e somente se, 
m.d.c.(a,m) = 1. 
 
Demonstração: Suponhamos que m.d.c.(a, m) = 1. O Teorema de Bézout afirma que sendo a 
e b inteiros, d = m.d.c.(a, b). Então existem inteiros r e s tais que d = r.a + s.b . Também, 
existem inteiros r e s tais que a.r + m.s = 1. 
Tomando classes temos que: 
 
Logo, 
r
é o inverso de 
a
. 
Reciprocamente, se m.d.c.(a, m) 1, então 
a
 é divisor de zero e existe 
b
 0 tal que 
a
.
b
 = 
0
. 
Mostraremos que, nesse caso, 
a
 não pode ser inversível. Com efeito, suponhamos que existe 
'a
 tal que 
'a.a
 = 
1
. Teríamos, então: 
b
 = 
b
.
1
 = 
b
.( 
'a.a
 ) = ( 
b
.
a
).
'a
 = (
a
.
b
).
'a
 = 
0
.
'a
 = 
0
, uma contradição. 

 
1
 = 
s.m r.a
 = 
r.a
 + 
s.m
 = 
a
.
r
 + 
m
.
s
 = 
a
.
r
 + 
0
.
s
 = 
a
.
r
 
 
 

(m) = { 
a
 
m
 ; m.d.c.(a, m) = 1 } 
 
 
CAPÍTULO 9 
CONGRUÊNCIAS 
 
 130 
Uma consequência imediata da proposição anterior é a seguinte: 
Corolário 9.6: Seja p > 0 um inteiro primo. Então, todo elemento não-nulo de 
p
 é 
inversível. 
Exemplo 9.3: Veja na “tabuada” de Z11 que todo elemento não nulo, possui um inverso: 
* 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
2 2 4 6 8 10 1 3 5 7 9 
3 3 6 9 1 4 7 10 2 5 8 
4 4 8 1 5 9 2 6 10 3 7 
5 5 10 4 9 3 8 2 7 1 6 
6 6 1 7 2 8 3 9 4 10 5 
7 7 3 10 6 2 9 5 1 8 4 
8 8 5 2 10 7 4 1 9 6 3 
9 9 7 5 3 1 10 8 6 4 2 
10 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 
 
 
 
 
9.7. Subtração em 
m
 
 
 
 
A operação de subtração no sistema aritmético módulo m, tal como na aritmética comum, é 
definida em termos de adição. 
Na aritmética comum, podemos achar a resposta para 13 – 4, procurando o número que 
somado a quatro nos dê 13. Como 4 + 9 = 13, o número 9 é a resposta do problema 
13 – 4 = 9. 
Você deve ter usado muito este processo ao conferir resultados de subtrações. Na verificação 
adicionamos a diferença ao subtraendo para ver se a soma se iguala ao minuendo. Dizemos 
que a subtração é a operação inversa da adição. 
Usando os elementos mód. 7, resolva o problema de subtração 6 – 5 = ? Qual é o elemento 
que somado a 5 resulta em 6? 
Da tabela da adição mód. 7, 5 + 1 = 6. Portanto, podemos substituir 1 no lugar do ponto de 
interrogação, e 6 – 5 = 1. 
 CAPÍTULO 9 
CONGRUÊNCIAS 
 
 131 
Na aritmética comum, não podemos subtrair 5 – 6 sem termos um resultado negativo. Os 
números negativos não são necessários na subtração mód. m. No problema 5 – 6 = ?, 
procuramos um elemento que somado a 6 nos dê 5. A tabela da adição nos revela que a soma 
de 6 + 6 é 5. Portanto, 6 pode substituir o? e 5 – 6 = 6. 
Você encontrará outros problemas de subtração nesse sistema que são bem diferentes e 
interessantes. Considere o problema 4 – 5 = n, onde n é a resposta. Pela nossa definição de 
subtração n + 5 deve ser 4. Qual é o número que somado a 5 em mód. 7 é 4? Da tabela da 
adição, vemos que n = 6 e, portanto, 4 – 5 = 6. 
Neste sistema finito, 1 - 4 = 4 – 1? No primeiro membro, qual é o elemento que somado a 4 
dá 1? Como 4 + 4 = 1, 1 – 4 = 4. Do mesmo modo, temos que achar um número que somado a 
1 resulta em 4. Como 1 + 3 = 4, 4 – 1 deve ser 3. Você vê, portanto, que 1 – 4 ≠ 4 – 1 e a 
propriedade comutativa não é válida para a operação subtração. 
A tabela abaixo resume o que foi dito. 
 
- 0 1 2 3 4 5 6 
0 0 1 2 3 4 5 6 
1 6 0 1 2 3 4 5 
2 5 6 0 1 2 3 4 
3 4 5 6 0 1 2 3 
4 3 4 5 6 0 1 2 
5 2 3 4 5 6 0 1 
6 1 2 3 4 5 6 0 
 
 
 
 
9.8. Divisão em 
m
 
 
 
 
Não é necessário usar frações se você trabalhar no sistema aritmético de módulos. Como é 
isto possível? Vamos considerar a operação de divisão. Na divisão de números naturais, 
verificamos as respostas, multiplicando o quociente pelo divisor para chegarmos ao 
dividendo. Assim, 125 ÷25 = 5 pois 5 . 25 = 125. 
A operação divisão, na aritmética módulo m, também pode ser definida como operação 
inversa da multiplicação. Por exemplo, usando o mód.7, o problema 5 ÷ 4 é resolvido 
encontrando um número n, tal que n . 4 = 5. Já que completamos a tabela de multiplicação 
mód. 7 podemos usá-la para achar a resposta. Temos que, 3 . 4 = 5 e, portanto, 5 ÷ 4 = 3. Qual 
é a resposta de 6 ÷ 3? Como 2 . 3 = 6, a resposta ao problema 6 ÷ 3 é 2. Neste sistema a 
divisão, quando existe, é sempre exata. 
7CAPÍTULO 9 
CONGRUÊNCIAS 
 
 132 
Se, consideramos a expressão 3 ÷ 2 como sendo o mesmo que 
3
2
 e 1 ÷ 3 o mesmo que 
1
3
, 
teremos uma interessante vantagem na aritmética de módulos. 
 
3
3÷2=5
2
 e também 
1
1÷ 3 = 5
3
 
As frações são rapidamente substituídas por algum elemento do sistema mód. 7. Uma 
expressão tal 
como 
1
2
4
1
3
3
 é simplificada de modo análogo. 
A fração 
1
4
 é equivalente a 2, pois em mód. 7, 4 . 2 = 1. 
Portanto, 
1
2
4
 é equivalente a 2 + 2, ou 4. O denominador, 
1
3
3
, é igual a 1, pois 
1
5
3
 e 3 + 5 = 1 em mód. 7. Finalmente 
4
4
1
, pois 1 . 4 = 4. 
Considere o problema 2 ÷ 6 em aritmética mód. 7. Neste caso, temos que achar a resposta n, 
tal que n . 6 = 2. Como 5 . 6 = 2, então 2 ÷ 6 = 5. Entretanto, se mudarmos o problema para 6 
÷ 2 teremos uma resposta totalmente diferente. No caso de 6 ÷ 2 a resposta é 3, pois 3 . 2 = 6. 
É evidente que 6 ÷ 2 não é igual a 2 ÷ 6, portanto, a propriedade comutativa não se verifica 
na divisão módulo m. 
 
A tabela abaixo resume o que foi dito. 
7
 
÷ 1 2 3 4 5 6 
1 1 2 3 4 5 6 
2 4 1 5 2 6 3 
3 5 3 1 6 4 2 
4 2 4 6 1 3 5 
5 3 6 2 5 1 4 
6 6 5 4 3 2 1 
 
Podemos resolver facilmente o problema 3.x = 0, usando a multiplicação de números naturais 
da aritmética comum. Sabemos que o produto é 0; portanto, o numero que devemos colocar 
no lugar de x deve ser o zero. Você já deve ter visto muitas vezes a afirmação de que se um 
produto é zero, pelo menos um dos fatores deve ser igual a zero. Isto não é sempre verdade! 
Pelo menos não é verdade em alguns sistemas aritméticos finitos. 
É possível um problema de divisão ter mais de uma resposta? Você deve estar imaginando 
que isto nunca é possível. Entretanto, no sistema aritmético módulo m isso pode ocorrer. 
 CAPÍTULO 9 
CONGRUÊNCIAS 
 
 133 
Consideremos sistema módulo 6. Neste sistema, 4 ÷ 4 = 1. Isto não deve ser estranho para 
você, mas acontece que 4 ÷ 4 também é igual a 4 na aritmética mód. 6. Vamos explorar este 
sistema finito mais detalhadamente. 
Já vimos que os sistemas aritméticos módulo m, podem ser divididos em duas categorias: o de 
módulo primos e não- primos. 
Consideremos os sistemas aritméticos onde m é não-primo. 
Vamos usar como exemplo o módulo 6. Na tabela completa de multiplicação abaixo, notamos 
alguns padrões um pouco estranhos. 
Quando a tabela é simétrica com relação a diagonal, dizemos que a operação é comutativa. 
Entretanto, repare nos produtos resultantes da multiplicação por 2. Além do estranho 
resultado de 2 . 3 ser igual a 0, apesar de nenhum fator ser 0. E nesta multiplicação só temos 
como respostas o 0, 2 e 4. 
 
* 1 2 3 4 5 
1 1 2 3 4 5 
2 2 4 0 2 4 
3 3 0 3 0 3 
4 4 2 0 4 2 
5 5 4 3 2 1 
 
Do mesmo modo, somente teremos respostas 0 ou 3 na multiplicação por 3. Estes fatos tornar-
se-ão mais significativos quando estudarmos a divisão neste sistema. 
Alguma vez você trabalhou num problema de matemática durante tanto tempo, sem conseguir 
resolvê-lo? Você deve ter começado a desconfiar que talvez o problema não tivesse solução. 
Isto pode parecer estranho, mas alguns problemas em matemática não tem solução para as 
condições dadas. 
Isto acontece com a divisão no sistema da aritmética de módulos não-primos. 
Seja calcular 5 ÷ 1(mod 6), quer dizer, um número tal que, quando multiplicado por 1 dá o 
produto 5. Em termos gerais, a ÷ b = c ,tal que c . b = a . Podemos ver na tabela de 
multiplicação que 1 . 5 = 5, portanto, 5 ÷ 1 = 5. 
Deparamos com uma situação diferente no problema 4 ÷ 2. A tabela de multiplicação mostra 
claramente que 2 . 2 = 4 e também 2 . 5 = 4. Portanto, ambos os elementos 2 e 5 satisfazem 
aos requisitos para o quociente 4 ÷ 2. 
Mas há mais! No problema 5 ÷ 3, procuramos um quociente n, tal que n . 3 = 5. Olhe a tabela 
de multiplicação para módulo 6. Não há um número n tal que n . 3 = 5. O problema 5 ÷ 3 não 
tem resposta neste sistema. 
Verifique as respostas na tabela da divisão módulo 6 completa absixo. Relacione estas 
respostas com a tabela de multiplicação desenvolvida anteriormente. A divisão por zero é 
 
CAPÍTULO 9 
CONGRUÊNCIAS 
 
 134 
excluída. Na tabela abaixo, e nas demais, estaremos considerando cada um dos elementos da 
primeira linha como o dividendo e cada um dos elementos da primeira coluna como o divisor. 
 
 Dividendo 
 
 
Divisor 
 
 
 
Exemplo 9.4: Construa as tabelas de multiplicação e divisão módulo 8. 
 
 
* 1 2 3 4 5 6 7 
1 1 2 3 4 5 6 7 
2 2 4 6 0 2 4 6 
3 3 6 1 4 7 2 5 
4 4 0 4 0 4 0 4 
5 5 2 7 4 1 6 3 
6 6 4 2 0 6 4 2 
7 7 6 5 4 3 2 1 
 
 
÷ 1 2 3 4 5 6 7 
1 1 2 3 4 5 6 7 
2 - 1; 5 - 2; 6 - 3; 7 - 
3 3 6 1 4 7 2 5 
4 - - - 1; 3; 5;7 - - - 
5 5 2 7 4 1 6 3 
6 - 3; 7 - 2; 6 - 1; 5 - 
7 7 6 5 4 3 2 1 
 
 
 
 
 
 
 
÷ 1 2 3 4 5 
1 1 2 3 4 5 
2 - 1; 4 - 2; 5 - 
3 - - 1; 3; 5 - - 
4 - 2; 5 - 1; 4 - 
5 5 4 3 2 1 
 CAPÍTULO 9 
CONGRUÊNCIAS 
 
 135 
9.9. Potenciação em 
m
 
 
Exponenciação Rápida 
 
Sejam a e n inteiros positivos. Temos que 
 
 
 
é a expansão binária de n. Os coeficientes 
in
 são 0 ou 1. Portanto 
 
 
 
Com isto, desenvolvemos a seguinte ideia: 
 
1. Calculamos os quadrados sucessivos de i2a , 0 i k . 
2. Determinamos 
na
 como o produto daqueles i2a para os quais 
in =1
. 
 
Observe que 
i+1 i2 2 2a (a )
 
 
Portanto, i+12a pode ser calculado de i2a por uma elevação ao quadrado. 
 
Vejamos um exemplo: Seja calcular 
823144 (mod1037)
. 
Primeiro façamos a expansão binária de 823: 
 
 
 
Escrevamos essa expansão na base dez: 
 
 
Logo, 
 
 
Agora, calculemos cada uma das potências por uma elevação sucessiva á potência 2. 
144 144 (mod 1037) 
144
2
 1033 (mod 1037) 
144
4
 16 (mod 1037) 
144
823
 = 144
512
 . 144
256
 . 144
32
 . 144
16
 . 144
4
 . 144
2
 . 144
1
 
 
(1100110111)2 = 2
9
 + 2
8
 + 2
5
 + 2
4
 + 2
2
 + 2
1
 + 2
0
 
(1100110111)2 = 512 + 256 + 32 + 16 + 4 + 2 + 1 
823 = (1100110111)2 
 
 
 
k
i
i i i
i=0 i
i i
kn 2
nn 2 2
i = 0 0 i k n 1
a a = (a ) a
 
k
i
i
i=0
n = n 2
 
 
CAPÍTULO 9 
CONGRUÊNCIAS 
 
 136 
144
8
 256(mod 1037) 
144
16
 205(mod 1037) 
144
32
 545(mod 1037) 
144
64
 443(mod 1037) 
144
128
 256(mod 1037) 
144
256
 205(mod 1037) 
144
512
 545 
Assim, 
 
823144 545.205.545.205.16.1033.144 mod1037
 = 766.766.117 mod1037
 = 851.117 mod1037
 = 99567 mod1037
 = 15 mod1037
 
 
Conclusão: 144
823
15 (mod 1037). 
 
Voltaremos a falar deste assunto, depois de estudarmos o Algoritmo Chinês do Resto e o 
Pequeno Teorema de Fermat. 
 
Leitura: Teste de Primalidade Circular 
 
O Teste de Primalidade Circular é, em termos gerais, semelhante à verificação tradicional de 
primalidade de dividir um inteiro N > 1 pelos primos menores ou iguais ao piso da raiz 
quadrada de N. A principal diferença entre o Teste Circular e o método tradicional é que, 
neste caso, os divisores não são todos primos. Podemos também perceber uma diferença no 
que diz respeito ao desempenho. O Teste Circular, também pode ser considerada um tipo 
especial de crivo. 
 
 
 CAPÍTULO 9 
CONGRUÊNCIAS 
 
 137 
Procedimento 
 
O primeiro passo consiste em escolher uma pequena quantidadedos primeiros primos. 
 
Por exemplo, escolhe-se os primos 2, 3 e 5. 
As classes de congruências que serão consideradas, terão módulo m igual ao produto desses 
primos: m = 2 . 3 . 5 = 30 
 
Em seguida, toma-se todos os inteiros positivos menores que 30 que não sejam múltiplos de 
2, 3, e 5 ( relativamente primo com 30). Elaborando uma pequena tabela, e removendo os 
múltiplos, obtém-se: 
 
1 2 3 4 5 6 
7 8 9 10 11 12 
13 14 15 16 17 18 
19 20 21 22 23 24 
25 26 27 28 29 30 
 
Os números que não foram marcados formam a base do crivo: 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 
(módulo 30). Cada um desses números indicará as classes de congruências módulo 30 que 
serão utilizadas, ou seja, 
1,7,11,13,17,19,23 e 29
. 
 
Finalmente, semelhante ao método tradicional, para se verificar que um dado número N é 
primo, divide-se N pelos primos iniciais, usados para gerar m, e pelos elementos das classes 
de congruências (com exceção do 1) que sejam maiores que, ou iguais a 
N
. Se N não for 
divisível por nenhum desses termos, então N é primo. 
 
Um exemplo prático 
 
Para verificar se 3331 é primo, define-se o limite superior 
3331
 = 57. Em seguida, 
divide-se 3331 pelos primos iniciais 2, 3, 5 e por todos os elementos das classes 
1,7,11,13,17,19,23 e 29
 (mod 30), que não ultrapassam o valor de 57, até se obter um 
resto zero ou a divisão chegar ao último elemento das classes (mod 30) sem se obter uma 
divisão exata, o que signficará que 3331 é primo. 
Sejam as classes com seus respectivos elementos menores que 57: 
 
1 {1,31,...}
 
7 {7,37,...}
 
11 {11,41,...}
 
13 {11,41,...}
 
17 {17,47,...}
 
19 {19,49,...}
 
23 {23,53,...}
 
29 {29,...}
. 
 
CAPÍTULO 9 
CONGRUÊNCIAS 
 
 138 
Assim, os elementos das classes, que não ultrapassam o valor 57, com exceção do 1, serão 
usados para o teste de primalidade de 3331 e mais os primos 2, 3 e 5, ou seja, dividiremos 
3331 pelos seguintes números : 
 
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 49, 53. Observe que nesta lista, diferente 
do método tradicional, temos o número 49 que não é primo! 
Como 3331 não divisível por nenhum desses números, então ele é primo. 
 
 
Nota: É claro que um inteiro maior que 5, que é “candidato” a primo não 
pode ser par e nem terminar em 5. Logo, a divisão por 2 e 5 devem ser 
descartadas, bem como por 1. Qualquer candidato a primo,obrigatoriamente 
deverá ser um ímpar que termine em 1 ou 3 ou 7 ou 9. 
 
 
Uma forma indireta de crivo 
 
É claro que o aparecimento de números compostos na sequências dos prováveis divisores de 
N é uma mera consequência teórica. Antes que um N seja divisível por um composto, já terá 
sido divisível por algum primo que seja um divisor deste composto. Uma vantagem deste 
método é não ser preciso saber se um número é ou não primo para usá-lo como provável 
divisor, como acontece no método tradicional. 
 
Pelo Teorema de Dirichlet, existem infinitos primos em cada classe de congruência 
a
 
módulo m. O que podemos afirmar é que, na sequência dos números a serem usados, se 
houver divisores de N, o menor deles é necessariamente um primo de uma das classes de 
congruências. Isso nos dá um método indireto para saber se um número é primo, ou seja, uma 
forma indireta de crivo. 
 
Vamos exemplificar: Queremos saber se N = 3127 é composto. Se existirem números que 
dividam N em alguma das classes a serem usadas, então o menor desses divisores é primo. 
De fato, seja 
3127 55
. Consideremos m = 2.3 = 6, logo as classes módulo 6 são: 
 
 
 
Da classe 
5
, temos que 53 é o menor divisor de 3127, logo 53 é primo. 
 
 
 
 
 
1={7,13,19,25,31,37,43,49,55}
 
5={11,17,23,29,35,41,47,53}
 
 CAPÍTULO 9 
CONGRUÊNCIAS 
 
 139 
 EXERCÍCIOS 
 
1) Verdadeiro (V) ou falso (F) 
a) 91 0 (mod.7). 
b) 3 + 5 + 7 5 (mod.10). 
c) –2 2 (mod.8). 
d) 112 1 (mod.3). 
e) 17 9 (mod.2). 
f) 42 -8 (mod.10). 
 
2) Verdadeiro (V) ou falso (F) 
a) x 3 (mod.5) x { .... –7, -2, 3, 8, 
13 .... }. 
b) 5 -1 (mod.6) e -1 -7 (mod.6) 
5 -7 (mod.6). 
 
3) Achar o menor inteiro positivo que represente a 
soma: 
a) 5 + 3 + 2 + 1 + 8 (mod. 7) 
b) 2 + 3 – 1 + 7 – 2 (mod.4) 
 
4) Sabendo-se que 1766 1066 (mod. m), achar 
todos os possíveis valores do módulo m. 
 
5) Exprimir que “n é ímpar” de três outras 
maneiras. 
 
6) Achar todos os inteiros x tais que 0 < x < 15 e 
3x 6 (mod. 15) 
 
7) Achar todos os inteiros x tais que 1 < x < 100 e 
x 7 (mod. 17) 
 
8) Sabendo-se que k 1 (mod. 4), mostrar que 
6k + 5 3 (mod. 4) 
 
9) Mostrar, mediante um exemplo, que a2 b2 
(mod.m) não implica a b (mod.m). 
 
10) Mostrar que todo primo ímpar é congruente 
módulo 4 a 1 ou 3. 
 
11) Mostrar que todo primo maior que 3 é 
congruente módulo 6 a 1 ou 5. 
 
12) Mostrar que 
a) 1110 1 (mod 100) 
b) 31000 + 3 é divisível por 28. 
 
13) Mostrar que 41 divide 220 – 1. 
 
14) Achar os restos das divisões de: 
a) 250 por 7 
b) 4165 por 7 
c) 25100 + 11500 por 3. 
d) 35555 por 80. 
e) 51000 por 126. 
f) 3399300 + 29 por 13 
 
15) Mostrar que 
a) 89 | 244 – 1. 
b) 97 | (248 – 1) 
c) 13| 270 + 370 
d) n|
1 2 ... ( 1)n n nn
,, n ímpar. 
 
16) Demonstrar que, se a b (mod. m) então 
mdc(a, m) = mdc(b, m). 
 
17) Mostrar, mediante um exemplo, que ak bk 
(mod. m) e k j não implica aj bj. 
 
18) Demonstrar as seguintes proposições: 
a) Se a é um inteiro ímpar então a2 1 (mod. 
8) 
b) Se a é um inteiro qualquer, então a3 0, 1 
ou 8 (mod. 9). 
c) Se a é um inteiro qualquer, então a3 a 
(mod. 6). 
 
19) Mostre que 7 divide 22225555+55552222. 
 
20) Determine o resto da divisão de 61987 por 37. 
 
21) Prove que 7 divide 32n+1+2n+2 para todo 
natural n. 
22) Determine o algarismo das unidades de 777 . 
 
23) Determine os infinitos valores positivos de n 
tal que 2
n
 +27 seja divisível por 7. 
 
24) Prove que 2k −5, k 4 nunca deixa resto 1 
quando dividido por 7. 
 
25) Prove que 4 divide 12233 . 455679+876533 
 
26) Prove que 11. 31. 61 | 2015 - 1. 
 
27) Calcular o resto da divisão do inteiro 
n = (116 + 17
17
)
21
 por 8. 
 
28) Calcular o resto da divisão do inteiro 
7
100
 + 11
100
 por 13 
 
 
CAPÍTULO 9 
CONGRUÊNCIAS 
 
 140 
29) Mostrar que o inteiro n = 13 16 – 2 43 . 517 é 
divisível por 3. 
 
30) Mostrar que a expressão 3.5²n+1 + 2³n+1 é 
divisível por 17, sendo n um inteiro positivo 
qualquer. 
 
31) Mostrar que o número de 2³² + 1 é divisível 
por 641. 
 
32) Demonstrar que, se o inteiro positivo n não é 
divisível por 4, então a soma: S = 1
n
 + 2
n
 + 3
n
 + 
4
n
 é divisível por 5. 
 
33) Determinar todos os inteiros positivos n para os 
quais 2
n
 + 1 é divisível por 3. 
 
34) Mostrar que 63! 61! (mod 7) 
 
35) Mostrar que não existe inteiro algum n que 
verifique as condições: n 5 (mod 12) e n 4 
(mod 15) 
 
36) Na divisão do inteiro n por 10 o quociente é q e 
o resto é r, tais que 2r – q 0 (mod 7). 
Mostrar que 7 n. 
 
37) Determinar quais dos seguintes conjuntos são 
sistemas completos de restos módulo 4. 
a) { -2, -1, 0, 1} 
b) {0, 4, 8, 12} 
c) { -13, 4, 17, 18 } 
d) {–5, 0, 6, 22 } 
 
38) Determinar quais dos seguintes conjuntos são 
sistemas completos de restos módulo 6. 
a) { 1, 2, 3, 4, 5} 
b) {0, 5, 10, 15, 20, 25} 
c) {-4, -3, -2, -1, 0, 1} 
d) {17, -4, 6, 7, 10, 3} 
 
39) Achar um sistema completo derestos {p1, p2, 
...pi, ..., p7} módulo 7, tal que todo pi é primo. 
 
40) Achar um sistema completo de restos módulo 7 
formado só de múltiplos não negativos de 4. 
 
41) Se n é um múltiplo positivo de 4, qual o resto 
da divisão de 1
n
 + 2
n
 + ... + 8
n
 + 9
n
 por 10? 
 
42) Mostre que 121n – 25n + 1900n – (–4)n é 
divisível por 2000, para todo natural n.. 
 
43) Determinar o algarismo das unidades do 
número 3
100
. 
 
44) Que valores de a e b tornam o número 
30a0b03 divisível por 13? 
 
45) Determine para que inteiros positivos n, 2n –1 é 
divisível por 7. 
 
46) Prove que 2n + 1 nunca é divisível por 7, para 
qualquer inteiro positivo n. 
 
47) Demonstre que para todo inteiro 0n , 17 é 
um divisor de 3
4n + 2 
+ 2
6n + 3
. 
 
48) Determine o algarismo das dezenas do número 
7
999999
. 
 
49) Determine o resto da divisão por 7 do número 
2 3 10010 10 10 1010 10 10 ... 10. 
 
50) Mostre que, para todo n natural, temos 
10
2n + 1
 + 1 0 (mod 11). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 CAPÍTULO 10 
 FERMAT, WILSON E EULER 
 
 141 
Capítulo 10 
 
 
 
TEOREMAS DE FERMAT, 
WILSON e EULER 
 
 
 
Fermat foi um dos poucos matemáticos amadores famosos. Filho de um rico comerciante de 
couro, pôde se dedicar completamente aos estudos. Por influência de sua mãe, descendente de 
uma família de juristas, estudou leis na Universidade de Orleans e formou-se em advocacia. 
Trabalhou durante toda sua vida na corte de justiça de Toulouse. Foi nomeado juiz e ocupava 
os seus momentos de folga em diversos lazeres, entre os quais a poesia e a Matemática. 
 
Seu interesse pela matemática iniciou-se em 1629 com o estudo dos trabalhos de Apolônio 
(matemático grego, 260 A.D.) sobre curvas planas. Trocava correspondência com os maiores 
matemáticos da época, como Torricelli, Roberval, Huyghens e Pascal, e, dessa forma relatava 
suas descobertas. Jamais publicou seus trabalhos de nenhuma outra forma, mas o conteúdo 
das cartas de Fermat é atualmente incluído em todos os textos usuais de teoria dos números. 
 
Seu interesse na teoria dos números surgiu após ler o livro Aritmética de Diofanto 
(matemático grego, 200 A.C.) e alguns dos problemas propostos por Fermat, nesta área, eram 
tão difíceis que somente muitos anos mais tarde foram provados. Um desses problemas 
afirmava que "todo número inteiro pode ser escrito como a soma de no máximo quatro 
quadrados" e foi provado em 1770, pelo matemático francês Lagrange. Entretanto, seu 
resultado mais famoso resistiu por mais de 350 anos e inspirou a publicação, em 1996, do 
bestseller O Último Teorema de Fermat. Este teorema diz que “se n é um natural maior que 2, 
então não existem números inteiros x, y e z que satisfaçam a equação x
n
 + y
n
 = z
n”. Isto foi 
provado definitivamente, em 1994, pelo matemático inglês Andrew Wiles (repare que no caso 
n = 2 o teorema é satisfeito por todos os ternos pitagóricos, isto é, por inteiros que satisfaçam 
o Teorema de Pitágoras). 
 
 
 
 
 
10.1. 
 
 
Teorema 10.1 (“Pequeno Teorema de Fermat” – PTF): se p é primo e se o MDC(p, a) = 1, 
então: 
 
 
 
Demonstração: consideremos os (p – 1) primeiros positivos de s, isto é, os inteiros 
a
p–1
 1 (mod p) 
 
CAPÍTULO 10 
FERMAT, WILSON E EULER 
 
 142 
 
 
 
Obviamente, nenhum desses (p – 1) inteiros é divisível por p e, além disso, dois quaisquer 
deles são incongruentes módulo p, pois, se 
fosse: 
 
então, o fator comum a poderia ser cancelado, visto que o MDC(a, p) = 1, e teríamos: 
 
 
 
o que é impossível, porque 0 < s – r < p. 
 
Assim sendo, dois quaisquer dos (p – 1) inteiros a, 2.a, 3.a, ..., (p – 1).a divididos por p 
deixam restos distintos, e por conseguinte cada um desses p – 1 inteiros é congruente módulo 
p a um único dos inteiros 1, 2, 3, ..., p – 1, naturalmente numa certa ordem, multiplicando 
ordenadamente essas p – 1 congruências, teremos: 
 
 
 
ou seja, 
 
 
 
Como o MDC (p, (p – 1)!) = 1, porque p é primo e p não divide (p – 1)!, podemos cancelar o 
fator (p – 1)!, o que dá a congruência de Fermat: 
 
 
 
Exemplo 10.1: seja o primo p = 7 e o inteiro a = 3 tais que 7 não divide 3, temos os p – 1 = 6 
primeiros múltiplos positivos de 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18. Nenhum desses 6 inteiros é divisível 
por 7, todos são incongruentes módulo 7, e cada um deles é congruente módulo 7 a um único 
dos inteiros 1, 2, 3, 4, 5, 6: 3 3 (mod 7), 6 6 (mod 7), 9 2 (mod 7), 12 5 (mod 7), 15 
1 (mod 7), 18 4 (mod 7). Multiplicando ordenadamente essa 6 congruências, temos: 
 
 
 
ou seja, 
 
 
 
Como o MDC(7, 6!) = 1, podemos cancelar o fator comum 6!, que resulta em: 
3
6
 . 6! 6! (mod 7) 
 
3 . 6 . 9 . 12 . 15 . 18 3 . 6 . 2 . 5 . 1 . 4 (mod p) 
 
a
p–1
 1 (mod p) 
 
a
p–1
 (p – 1)! (p – 1)! (mod p) 
 
a . 2a . 3a . ... . (p – 1)a 1 . 2 . 3 . ... . (p – 1) (mod p) 
 
r s (mod p), isto é p | (a – x) 
 
r.a s.a (mod p), 1 r < s p – 1 
 
a, 2 . a, 3 . a, ..., (p – 1) . a 
 
 CAPÍTULO 10 
 FERMAT, WILSON E EULER 
 
 143 
 
 
 
Corolário 1: se p é um primo, então a
p
 a (mod p), qualquer que seja o inteiro a. 
 
Demonstração: se p divide a, então a 0 (mod p) e a
p
 0 (mod p), que implica em: 
 
 
 
Se, ao invés disto, p não dividisse a, então pelo PTF: 
 
 
 
Teorema 10.2: se p e q são primos distintos tais que a
p
 a (mod q) e a
q
 a (mod p), então: 
 
 
 
Demonstração: pelo corolário 1 e da hipótese, temos: 
 
 
 
Portanto, p | (a
pq
 – a), e q | (apq – a), que implica em: 
 
 
 
 
Pelo corolário 1, se p é primo, então 2
p
 2 (mod p), isto é, p | (2
p
 – 2). 
Entretanto, a recíproca “se n | (2n – 2), então n é primo” não é uma proposição verdadeira, e os 
inteiros positivos ímpares compostos que satisfazem essa condição são chamados de 
pseudoprimos. 
 
Por exemplo, 2
341
 2 (mod 341), isto é, 341 | (2
341
 – 2), onde o inteiro 341 = 11.31 é 
composto. Com efeito, temos: 
 
 
 
que implica em 
 
 
 
Portanto, 
 
 
2
11
 2 (mod 31), e 2
31
 2.(2
10
)
3
 (mod 11) 2.(1)
3
 (mod 11) 2 (mod 11) 
 
2
10
 1 (mod 11), e 2
10
 1 (mod 31) 
 
2
10
 = 1024 = 3.11.31 + 1 
 
(p.q) | (a
pq
 – a), isto é, apq a (mod p.q) 
 
(a
q
)
p
 a
q
 (mod p) a
q
 a (mod p) a
pq
 a (mod p) 
(a
p
)
q
 a
p
 (mod q) a
q
 a (mod q) a
pq
 a (mod q) 
 
a
pq
 a (mod p.q) 
 
a
p–1
 1 (mod p), e a
p
 a (mod p) 
 
a
p
 a (mod p) 
 
3
6
 1 (mod 7) 
 
 
CAPÍTULO 10 
FERMAT, WILSON E EULER 
 
 144 
 
Como os inteiros 11 e 31 são primos distintos, temos, de acordo com o Teorema 2: 
 
 
 
Congruência que mostra ser falsa a recíproca do PTF. 
Logo, 341 é um pseudoprimo na base 2. 
 
Definição 1 (Pseudoprimos): todo inteiro positivo composto n tal que 2
n
 2 (mod n) se 
chama um pseudoprimo para a base 2. 
 
Há um número infinito de pseudoprimos para a base 2, mas somente sete são menores que 
2000, e todos ímpares: 
 
 
 
 
 
Nota: O primeiro exemplo de um pseudoprimo par para a base 2 foi dado 
pelo matemático americano LEHMER em 1950. O menor deles é 161038 = 2 
. 73 .1103 e, em 1951, BEEGER mostrou a existência da infinidade de 
pseudoprimos pares para a base 2. 
 
Teorema 10.3: seja um inteiro a > 1 e um primo p > 2. 
 
 
 
é umpseudoprimo na base a. 
 
Demonstração: pelo PTF, 
 
 
 
e se verifica facilmente que estes números são ímpares, de onde n 1 (mod 2.p), ou 
n = 2.k.p + 1, para um k inteiro. Assim, como a
2p
 1 (mod n), temos: 
 
 
 
Existe uma infinidade de pseudoprimos de base a > 1. 
Façamos a demonstração no caso de a = 2. 
a
n
 a
2kp+1
 (mod n) (a
2p
)
k
 . a (mod n) a (mod n) 
 
pa 1
a 1
 pa 1
a 1
 (mod p) 1 (mod p) 
 
2p p p
2
a 1 a 1 a 1
n 
a 1 a 1 a 1
 
341 = 11 . 31 645 = 3 . 5 . 43 1387 = 16 . 73 
561 = 3 . 11 . 17 1105 = 5 . 13 . 17 1729 = 7 . 13 . 19 
 
 
2
11.31
 2 (mod 11.31), isto é, 2
341
 2 (mod 341), ou que 2
340
 1 (mod 341) 
 
 CAPÍTULO 10 
 FERMAT, WILSON E EULER 
 
 145 
 
Proposição 1: se n é um pseudoprimo de base 2, então 2
n
 – 1 também é um pseudoprimo de 
base 2. 
 
Demonstração: dada a igualdade (x
t
 – 1) = (x – 1).(x(t–1) + x(t–2) + ... + x2 + x + 1), sejam d, k 
tais que n = d.k, d > 1, k < n, e seja m = 2
n
 – 1. Então m é composto.Para isto, basta 
considerar na igualdade acima x = 2
d
 e t = k. Por hipótese 2
n–1
 1 (mod n) e, portanto, existe 
k > 0 tal que 2
n–1
 – 1 = k.n. Assim, 
 
 
 
Voltando à igualdade acima e fazendo x = 2
n
 e t = 2.k, concluímos que 2
m–1
 – 1 é um múltiplo 
de m = 2
n
 – 1, ou seja 2m–1 1 (mod m) 2m 2 (mod m). Concluímos assim que m é um 
pseudoprimo de base 2. 
 
Corolário 2: existe uma infinidade de pseudoprimos de base 2. 
 
Demonstração: basta notar que 341 é um pseudoprimo de base 2 e aplicar sucessivamente a 
proposição anterior. 
 
 
 
Nota: O fato de existir uma infinidade de pseudoprimos em qualquer base 
não implica a existência de uma infinidade de pseudoprimos. 
 
 
 
 
 EXERCÍCIOS 
 
1) Verificar o PTF com a = 2 e p = 13. 
 
2) Verificar o PTF com a = 3 e p = 17. 
 
3) Verificar utilizando o PTF: 
a) 1850 2 (mod 7) 
b) (b) 19933 8 (mod 31) 
 
4) Mostrar que 538 4 (mod 11) pelo PTF. 
 
5) Mostrar que o inteiro 117 é composto usando 
o PTF. 
 
6) Achar o algarismo das unidades do inteiro 3400 
com o auxílio do PTF. 
 
7) Sendo a um inteiro, mostrar que n5 e n têm o 
mesmo algarismo das unidades. 
 
8) Demonstrar que 13 | (270 + 370) através do PTF. 
 
9) Demonstra que 22225555 + 55552222 é divisível 
por 7 . 
 
10) Achar o resto da divisão de 21137 por 17 com a 
ajuda do PTF. 
 
11) Mostrar que, se o MDC(a, 35) = 1, então 
a
12
 1 (mod 35). 
 
12) Demonstrar que, para todo inteiro a, se tem: 
a) a13 a (mod 7) 
b) a37 a (mod 13) 
n n 1m 1 (2 2) 2.(2 1) 2km1 1 2 1 2 12 2
 
 
 
CAPÍTULO 10 
FERMAT, WILSON E EULER 
 
 146 
c) a21 a (mod 15) 
d) a7 a (mod 42) 
 
13) Demonstrar que, para todo inteiro positivo n, se 
tem: 
a) 2
2n
 1 (mod 3) 
b) 2
3n
 1 (mod 7) 
 
14) Achar todos os primos p tais que p | (2p + 1). 
 
15) Demonstrar que 1105 | (31105 – 3) [sugestão: 
PTF]. 
 
16) Demonstrar que 161038 é um pseudoprimo 
para a base 2, i.e., que 161038 | (2
161038
 – 2). 
 
17) Mostrar que 2047 é um pseudoprimo para a 
base 2. 
 
18) Mostre que 341 não é um pseudoprimo para a 
base 3. 
 
19) Mostrar que 561 é um pseudoprimo para a base 
2, 3 e 5. 
 
20) Demonstrar que se 7 não divide n, então 
n
6
 1996 (mod 7). 
 
21) Demonstrar que se MDC(n, 7) = 1 então, 
7 | (n
12 – 1). 
 
22) Demonstrar que se MDC(a, 240) = 1, então 
240 é um divisor de a
4
 – 1. 
 
23) Demonstrar que todo primo maior que 5 divide 
um inteiro formado só de algarismos 1. 
 
24) Demonstrar que para todo inteiro positivo n, 
temos que (n
3
 – n).(58n+4 + 34n+2) é um múltiplo 
de 3804. 
 
25) Prove que 15 divide 
5 33 5 7n n n
. 
 
26) Prove que 91 divide 
12 12a b
, onde a e b são 
relativamente primo com 91. 
 
 
 
10.2. TEOREMA DE WILSON 
 
 
Teorema 10.4 (Teorema de Wilson): se p é um primo, então (p – 1)! –1 (mod p). 
 
Demonstração: o teorema é verdadeiro para p = 2 e para p = 3, pois: 
 
 
 
de modo que vamos supor p 5. Consideremos a congruência linear a.x 1 (mod p), onde a é 
um dos (p – 1) primeiros inteiros positivos 1, 2, 3,..., p – 1 de modo que o MDC(a, p) = 1. 
 
Nestas condições, existe um único inteiro positivo a’, com 1 a’ p – 1, tal que 
 
 
 
Como p é primo, tem-se que a = a’ se e somente se a = 1, ou a = p – 1, visto que 
a
2
 1 (mod p) implica em (a – 1).(a + 1) 0 (mod p) e, portanto, 
 
 
 
a – 1 0 (mod p), ou (a + 1) 0 (mod p) 
 
a.a’ 1 (mod p) 
 
(2 – 1)! = 1! = 1 –1 (mod 2) 
(3 – 1)! = 2! = 2 –1 (mod 3) 
 
 CAPÍTULO 10 
 FERMAT, WILSON E EULER 
 
 147 
isto é, a = 1 ou a = p – 1. 
 
Nota: Este teorema foi descoberto primeiramente por John Wilson (1741 - 1793), estudante 
do matemático inglês Edward Waring. Waring anunciou o teorema em 1770, embora nenhum 
deles tenha conseguindo prová-lo. Lagrange deu a primeira prova em 1773. 
Há uma evidência que Leibniz estava ciente do resultado um século antes, mas nunca o 
publicou. 
 
Exemplo 10.2: Com p = 13, existe um único inteiro positivo a’, com 1 a’ p – 1, tal que 
 
 
 
a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
a' 1 7 9 10 8 11 2 5 3 4 6 12 
 
Omitindo os inteiros 1 e p – 1, com os p – 3 restantes: 2, 3, ..., p – 2 podemos formar 
p 3
2
 
pares (a, a’), com a a’ tais que a.a’ 1 (mod p). Então, multiplicando ordenadamente todas 
essas 
p 3
2
 congruências, obtemos a congruência: 
 
 
ou, multiplicando por (p – 1): 
 
 
 
que é a própria congruência de Wilson. 
 
Com p = 13, por exemplo, os 10 inteiros 2, 3,..., 11 dão lugar a 5 pares tais que o produto dos 
inteiros de cada par é congruente a 1 módulo 13: 
 
 
 
multiplicando ordenadamente essas cinco congruências, obtemos: 
 
 
 
e, portanto, 
 
(2.7) . (3.9) . (4.10) . (5.8) . (6.11) 11! (mod 13) 1 (mod 13) 
 
2.7 1 (mod 13) 
4.10 1 (mod 13) 
6.11 1 (mod 13) 
3.9 1 (mod 13) 
5.8 1 (mod 13) 
 
(p – 1)! (p – 1) (mod p) –1 (mod p) 
 
2 . 3 . ... . (p – 2) 1 (mod p), ou (p – 2)! 1 (mod p) 
 
a.a’ 1 (mod p) 
 
 
CAPÍTULO 10 
FERMAT, WILSON E EULER 
 
 148 
 
isto é, 
 
 
Recíproca do Teorema de Wilson: “se (n – 1)! –1 (mod p), então n é primo”. 
 
Demonstração: a recíproca é verdadeira. Suponhamos, por absurdo, que o inteiro n é 
composto. Então, n tem um divisor d tal que 1 < d < n, de modo que d é um dos fatores do 
produto: 
 
 
 
e, portanto, d | (n – 1)!. Mas, por hipótese n | (n – 1)! + 1, e como d | n, segue-se que: 
 
 
 
o que é absurdo, visto que d > 1. Logo, n não possui divisores menores que ele mesmo e 
diferentes de 1, ou seja, n é primo. 
 
Nota: Este teorema recíproco dá um critério para se reconhecer se um inteiro dado é primo. 
Mas, do ponto de vista prático, no momento ainda é de interesse apenas teórico, pois o cálculo 
de fatoriais exigiria muito tempo. 
 
Teorema 10.5 (Teorema de Leibniz): um inteiro n > 1 é primo, se e somente se, 
 
 
 
Demonstração: 
 
( ) suponhamos que o inteiro n > 1 é primo. Então, pelo teorema de Wilson: 
 
 
obviamente, 
 
portanto, 
 
( ) reciprocamente, se (n – 2)! 1 (mod n), então: 
 
Logo, pelo recíproco do Teorema de Wilson, o inteiro n é primo. 
 
(n – 1)! – (n – 2)! –1 (mod n) 
 
(n – 2)! 1 (mod n) 
 
(n – 1)! = (n – 1). (n – 2)! – (n – 2)! (mod n) 
 
(n – 1)! –1 (mod n) 
 
(n – 2)! 1 (mod n) 
 
d | (n – 1)! + 1, e d | 1 
 
1 . 2 . 3 . ... . (n – 1) = (n –1)! 
 
(p – 1)! –1 (mod p), com p = 13 
 
12! 12 (mod 13) –1 (mod 13) 
 
 CAPÍTULO 10 
 FERMAT, WILSON E EULER 
 
 149 
 
 
 EXERCÍCIOS 
 
 
1) Verificar o Teorema de Wilson para p = 5 e para p = 7. 
 
 
2) Mostrar que 11, 13, 17 e 19 são primos usando o Teorema de Wilson. 
 
 
3) Mostrar que 8 é composto usando o Teorema de Wilson. 
 
 
4) Achar o resto da divisão de 15! por 17. 
 
 
5) Mostrar que 18! + 1 0 (mod 437). 
 
 
6) Sendo p um primo ímpar, demonstrar que 2.(p – 3)! –1 (mod p). 
 
 
7) Verificar o Teorema de Leibniz com o primo p = 13. 
 
 
8) Usando o Teorema de Leibniz, mostrar que 17 é primo. 
 
 
9) Formar com os inteiros 2, 3, 4, ... , 21, todos os pares de a e b tais que a.b 1 (mod 23). 
 
 
CAPÍTULO 10 
FERMAT, WILSON E EULER 
 
 150 
10.3. TEOREMA DE EULER 
 
 
Leonhard Euler (15/04/1707 – 18/07/1783) foi um matemático e físico de origem suíça. 
Nasceu na Basiléia, filho do pastor calvinista Paul Euler (lê-se “óiler”) que, desprezando seu 
prodigioso talento matemático, determinou que ele estudasse Teologia e seguiria a carreira 
religiosa. Daniel e Nikolaus Bernoulli convenceram o pai de Euler a permitir que seu filho 
trocasse o hábito pelos números. 
 
Euler, logo após, deixou a Suíça, indo para os palácios de Berlim e São Petersburgo, onde 
passou os mais criativos anos de sua vida. Os governos da Europa estavam interessados em 
usar a Matemática para resolver problemas práticos e competiam entre si para empregar os 
melhores cérebros. 
 
Durante sua vida resolveu enorme quantidade de problemas, da navegação às finanças, da 
acústica à irrigação. A solução de tais problemas, que atendiam aos reclamos do mundo 
prático, não o entediava, principalmente porque cada novo trabalho inspirava-o para criar uma 
Matemática nova e engenhosa. Era capaz de escrever vários trabalhos em um único dia com 
os cálculos completos e prontos para serem publicados. 
 
Conseguiu provar o uma conjectura de Fermat relativa aos números primos. Fermat afirmava 
que o primeiro tipo de número primo sempre era representado pela soma de números ao 
quadrado enquanto que o segundo jamais o seria. Esta propriedade dos números primos é 
extremamente simples, porém, ao tentar provar que isto é uma verdade para qualquer número 
primo, torna-se extremamente difícil. Em 1749, depois de sete anos de trabalho e quase cem 
anos após a morte de Fermat, conseguiu apresentar esta prova. 
 
Ao final de vida estava completamente cego. Aliás, já era cego de um olho desde os vinte 
anos, o que não o perturbara em nada. Certa vez disse: “agora eu terei menos distrações”. Aos 
sessenta anos foi acometido por catarata que o cegou completamente. Apesar disto, continuou 
a produzir Matemática por mais sete anos. Seu imenso conhecimento permitia-lhe criar 
conceitos sem ter que colocá-los no papel e sua memória fenomenal permitia-lhe usar seu 
cérebro como uma biblioteca mental. 
 
Passou os anos finais de sua vida na Rússia, então sob a proteção de Catarina, a Grande. 
 
Definição 2: chama-se função aritmética toda função f definida no conjunto 

 dos naturais e 
com valores no conjunto 

 dos inteiros, i.e., toda função f de 

 em 

(f : ) 
. 
 
Definição 3: uma função aritmética f se diz multiplicativa se f(r.s) = f(r) . f(s), para todo par 
de inteiros positivos r e s, tais que o MDC(r, s) = 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 CAPÍTULO 10 
 FERMAT, WILSON E EULER 
 
 151 
 
10.4. FUNÇÃO TOTIENT (n) 
 
 
Definição 4: Chama-se Função Totient a função aritmética assim definida para todo inteiro 
positivo n: 
(n) = quantidade de inteiros positivos menores que n relativamente primos a n. 
Em outros termos, (n) é igual ao número de elementos do conjunto 
 
 
 
Observação: (1) = 1, pois MDC(1, 1) = 1. 
 
Exemplo 10.3: (30) = 8 e (12) = 4. 
 
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
(n) 1 1 2 2 4 2 6 4 6 4 
Tabela de (n) para os dez primeiros inteiros positivos. 
 
Teorema 10.6: A Função Totient é uma função aritmética multiplicativa. 
 
Demonstração: sejam r e s dois inteiros positivos tais que o MDC(r, s) = 1. 
Cumpre demonstrar que (r.s) = (r) . (s). 
 
A proposição é verdadeira se r ou s é igual a 1, pois, temos: 
 
 
 
Suponhamos, pois, que r > 1 e s >1. Neste caso, todos os inteiros de 1 a r.s podem ser 
dispostos em r colunas com s inteiros em cada uma delas, do seguinte modo: 
 
1 2 ... h ... r 
r + 1 r + 2 ... r + h ... 2.r 
2.r + 1 2.r + 2 ... 2.r + h ... 3.r 
... ... ... ... ... ... 
(s – 1).r + 1 (s – 1).r + 2 ... (s – 1).r + h ... s.r 
 
 
Como o MDC(q.r + h, r) = MDC(h, r), os inteiros da h-ésima coluna são primos com r, se e 
somente se, h é primo com r. Além disto, como na primeira linha o número de inteiros que são 
primos com r é igual a (r), segue que há somente (r) colunas formadas com inteiros que são 
todos os primos com r. Por outro lado, em cada uma destas (r) colunas existe precisamente 
(s) inteiros que são primos com s, porque na progressão aritmética: 
 
 
h, r + h, 2.r + h, ..., (s – 1).r + h 
Se r = 1, (r.s) = (1.s) = (s) = 1 . (s) = (1) . (s) = (r) . (s) 
Se s = 1, (r.s) = (r.1) = (r) = (r) . 1 = (r) . (1) = (r) . (s) 
 
#{ x 

 | 1 x < n, MDC(x, n) = 1 } 
 
 
CAPÍTULO 10 
FERMAT, WILSON E EULER 
 
 152 
onde o MDC(r, h) = 1, o número de termos que são primos com s é igual a (s). 
Assim sendo, o número total de inteiros que são primos com r e s, isto é, que são primos a r.s, 
é igual a (r). (s), e isto significa que (r.s) = (r) . (s). 
 
 
 
10.5 – CÁLCULO DE (n) 
 
 
Teorema 10.7: seja p um primo, então (p) = p – 1. 
 
Demonstração: ( ) Se n > 1 é primo, então cada um dos inteiros positivos menores que n é 
primo com n e, portanto, (n) = n – 1. ( ) Reciprocamente, se (n) = n – 1, com n > 1, então 
n é primo, pois, se n fosse composto, teria pelo menos um divisor d tal que 1 < d < n, de modo 
que pelo menos dois dos inteiros 1, 2, 3,..., n não seriam primos com n, d e n, isto é, (n) n – 
2. Logo, n é primo. 
 
Teorema 10.8: se p é primo e se k é um inteiro positivo, então 
 
 
 
Demonstração: obviamente, o MDC(p
k
, n) = 1, se e somente se, p não divide n, e entre 1 e p
k
 
existem p
k–1
 inteiros que não são primos com p
k
, que são todos os múltiplos de p: 
 
 
 
segue-se que o conjunto {p, 2p, 3p, ..., p
2
, ..., p
3
, ..., p
k
} contém exatamente p
k
 – pk–1 inteiros 
que são relativamente primos a p
k
, de modo que pela definição da função (n) de Euler, 
temos: 
 
 
Teorema 10.9: se n = 
31 2 rkk k k
1 2 3 rp . p . p . ... . p
 é a decomposição canônica do inteiro n > 1, 
então: 
 
 
 
ou seja, 
 
 
 (n) = 
1
1 1
1
( ) . (1 )i i
r r
k k
i i
i i
i
p p n
p
 
 
 
 
(n) = 
1 1 2 2 r rk k 1 k k 1 k k 1
1 1 2 2 r r
1 2 r
1 1 1
p p . p p . ... . p p n. 1 . 1 . ... . 1
p p p
 
 
 
 
(p
k
) = p
k
 – pk–1 
 
 
 
p, 2.p, 3.p, ..., p
2
, ..., p
3
, ..., p
k
 
 
 
(p
k
) = p
k
 – pk–1 = pk . 
1
1 
p
 
 
 CAPÍTULO 10 
 FERMAT, WILSON E EULER 
 
 153 
Demonstração: usaremos o Teorema da Indução Matemática sobre r, número de fatores 
primos distintos de n. A proposição é verdadeira para r = 1. 
 
Suponhamos, então, a proposição verdadeira para r = i. 
Como o 
1 2 r r+1k k k k
1 2 r r+1MDC p . p . ... . p , p 1
, e (n) é uma função aritmética multiplicativa, 
temos: 
 
 
 
ou seja, 
 
 
 
ou, à vistada hipótese de indução: 
 
 
 
e isto significa que a proposição é verdadeira para r = i + 1. Logo, a proposição é verdadeira 
para todo inteiro positivo r. 
 
Teorema 10.10: Para todo inteiro positivo n > 2 , (n) é um inteiro par 
 
Demonstração: 
Se n é uma potência de 2, isto é, 
2kn
, com 
2k
, então: 
 
 
 
que é um inteiro par. 
 
Se, ao invés, n não é uma potência de 2, então n é divisível por um primo impar p, isto é: 
kn p m
, onde 
1k
 e o 
( , ) 1kmdc p m
 
 
E como
( )n
 é uma função aritmética multiplicativa temos: 
 
 
que é também um inteiro par, por que 
2 | ( 1)p
. 
Assim, 
( )n
 é um inteiro ímpar somente para n = 1 e n = 2: 
 
 
(1) (2) 1
 
 
 
1( ) ( ) ( ) ( 1) ( )k kn p m p p m
 
 
 
11( ) (2 ) 2 (1 ) 2
2
k k kn
 
 
1 2 r r+1 1 1 2 2 r r r+1 r+1k k k k k k 1 k k 1 k k 1 k k 1
1 2 r r+1 1 1 2 2 r r r+1 r+1p . p . ... . p . p p p . p p . ... . p p . p p
 
 
 
1 2 r r+1k k k k
1 2 r r+1p . p . ... . p . p 
 
1 2 rk k k
1 2 rp . p . ... . p
 . 
r+1 r+1k k 1
r+1 r+1p p
 
 
 
1 2 r r+1k k k k
1 2 r r+1p . p . ... . p . p 
 
1 2 rk k k
1 2 rp . p . ... . p
 . 
r+1k
r+1p
 
 
 
 
CAPÍTULO 10 
FERMAT, WILSON E EULER 
 
 154 
Teorema 10.11 (Teorema de Euler): Se n é um inteiro positivo e se MDC(a, n) = 1, então 
 
 
 
Provaremos, primeiramente, o seguinte lema: 
“Sejam a e n > 1 inteiros tais que o MDC(a, n) = 1. Se a1, a2, ..., a (n) são inteiros positivos 
menores que n e que são relativamente primos com n, então cada um dos inteiros a.a1, a.a2, ..., 
a.a (n) é congruente módulo n a um dos inteiros a1, a2, ..., a (n) (não necessariamente nesta 
ordem em que aparecem).” 
 
Demonstração: os inteiros a.a1, a.a2, ..., a.a (n) são mutuamente incongruentes módulo n, pois, 
se a.ai a.aj (mod n), com 1 i j (n), como o MDC(a, n) = 1, podemos cancelar o fator 
comum a, o que dá ai aj (mod n) n | (aj – ai). Isto é impossível, visto que (aj – ai) < n. 
Por outro lado, como o MDC(ai, n) = i, i = 1, 2, ..., (n) e o MDC(a, n) = 1, segue que o 
MDC(a.ai, n) = 1. Mas, pelo algoritmo da divisão, a.ai = n.qi + ri, 0 ri < n, que implica em 
 
 
portanto, MDC(ri, n) = MDC(a.ai, n) = 1, de modo que ri é um dos inteiros a1, a2, ..., a (n), isto 
é, cada um dos inteiros a.a1, a.a2, ..., a.a (n) é congruente módulo n a um único dos inteiros a1, 
a2, ..., a (n), em uma certa ordem. 
Provemos, agora, o Teorema de Euler: 
A proposição é verdadeira para n = 1, pois a
(1)
 1 (mod 1). Suponhamos, pois, n > 1, e sejam 
a1, a2, ..., a (n) os inteiros positivos menores que n e relativamente primos a n. 
Como o MDC(a, n) = 1, então, pelo Lema acima, os inteiros a.a1, a.a2, ..., a.a (n) são 
congruentes módulo n aos inteiros a1, a2, ..., a (n), em uma certa ordem: 
 
a.a1 a1
*
, a.a2 a2
*
, ..., a.a (n) a (n)
* 
 
onde a1
*
, a2
*
, ..., a (n)
*
 denotam os inteiros a1, a2, ..., a (n) em uma certa ordem. 
 
Multiplicando ordenadamente todas essas (n) congruências, obtemos: 
 
(a.a1).(a.a2). ... .(a. a (n)) a1
*
 . a2
*
 . ... . a (n)
*
 (mod n) 
 
ou seja, 
a
(n)
 . (a1 . a2 . ... . a (n)) a1 . a2 . ... . a (n) (mod n) 
 
Cada um dos inteiros a1, a2, ..., a (n) é relativamente primo a n, de modo que podem ser 
sucessivamente cancelados, o que dá a congruência de Euler: 
 
a
(n)
 1 (mod n) 
 
Nota: se p é um primo, (p) = p – 1, e se o MDC(a, p) = 1, então: 
 
a
(p)
 a
p–1
 (mod p) 1 (mod p) 
a.ai ri (mod n), com 0 ri < n 
 
 
 
a
(n)
 1 (mod n) 
 
 
 
 CAPÍTULO 10 
 FERMAT, WILSON E EULER 
 
 155 
que é a congruência de Fermat. Assim, o Teorema de Euler é uma generalização do teorema 
de Fermat. 
Corolário 3: Se m > 1, k 0, n 0 e a um inteiro qualquer são tais que, MDC(a, m) = 1 e 
k n (mod (m)) então, a
k
 a
n
 (mod m). 
 
Demonstração: basta considerar o caso em que k > n. Como k n (mod (m)) existe q 1 
tal que k – n = q . (m) e, portanto, 
 
a
k
 = a
k–n
 . a
n
 = a
q. (n)
 . a
n
 = (a
(n)
)
q
 . a
n
 a
n
 (mod m) 
 
Exemplo 10.4: sejam a = 5, m = 6, k = 8 e n = 2. Temos (6) = 2, e 8 2 (mod 2). 
Como 5
2
 1(mod 6), então 5
8
 1 (mod 6) e desta forma, 5
8
 5
2
 (mod 6). 
 
 
 
10.6. RESOLUÇÃO DE CONGRUÊNCIAS LINEARES PELO TEOREMA DE EULER 
 
 
A congruência linear a.x b (mod m) no caso em que o MDC(a, m) = 1, admite uma única 
solução módulo m, que se pode facilmente obter usando o Teorema de Euler. Realmente, 
temos: 
 
 
portanto, 
 
 
Como o MDC(a,m) = 1, podemos cancelar o fator comum a, que resulta em: 
 
 
 
Exemplo 10.5: no caso da congruência linear 3.x 5 (mod 8), onde o MDC(3, 8) = 1, temos: 
 
x 5. 3
(8)–1
 (mod 8) 5.3
4–1
 (mod 8) 5.27 (mod 8) 135 (mod 8) 7 (mod 8) 
 
Em particular, 
a.x 1 (mod n) x a
(n)
 (mod n) 
 
determina um inverso de a módulo n. 
 
Exemplo 10.6: queremos determinar o inverso de 7 módulo 11, ou seja, queremos resolver a 
congruência linear 7.x 1 (mod 11). 
 
Queremos determinar o menor inteiro positivo em 
11
 que satisfaça a equação 
 
x 7
(11) – 1
 (mod 11) 7
10–1
 (mod 11) 7
9
 (mod 11) 8 (mod 11) 
 
assim, temos que x = 8 é a menor solução positiva em 
11
 para o problema. 
x b.a
(m) – 1
 (mod m) 
 
 
 
 
 
 
 
 
a.x b.a
(m)
 (mod m) 
 
 
 
 
 
 
 
a
k
 = a
k–n
 . a
n
 = a
q. (n)
 . a
n
 = (a
(n)
)
q
 . a
n
 a
n
 (mod m) 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 10 
FERMAT, WILSON E EULER 
 
 156 
10. 7. RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO (n) = m. 
 
 
 
Vejamos agora como resolver a equação (n) = m, quando m é um inteiro positivo dado. 
Sabemos que não existe solução se é m é um ímpar maior que 1. Em geral não se conhece 
uma fórmula para se resolver essa equação, quando m é qualquer inteiro positivo par. Mesmo 
assim, existe um método com o qual podemos determinar todas as soluções dessa equação. 
Seja 
i
r
k
i
i = 1
pn
 um inteiro qualquer, decomposto em fatores primos, que satisfaça a equação 
 
 
 
Façamos 
 
 
 
 
 
Assim, 
 
 
Todas essas equações estabelecem três condições para os 
id
, que nos permitem determinar 
os valores de n que satisfazem a equação (n) = m: 
 
1) cada 
1id
 é um primo; 
 
2) cada 
id
 é um divisor positivo de m; 
 
1
1
i
r
k
i i
i
p d m
, 
1
i
r
k i
i
i
i
d
p m
p
, 
. i
i
d
n m
p
, 
1
1
.
r
ir i
i
i
m
n p
d
 
1i id p
, 
1,2,...,i r
 
(n) = m. Como (n) = 
1
1
( )i i
r
k k
i i
i
p p
, então 
 
(n) = 
1 1
1 1
( ) ( 1)i i i
r r
k k k
i i i i
i i
p p p p m
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 CAPÍTULO 10 
 FERMAT, WILSON E EULER 
 
 157 
3) 
1
r
i
i
m
d
 é um inteiro positivo que contém somente fatores primos incluídos em 
1
r
i
i
p
. 
 
Exemplo 10.7: Resolver a equação 
324 2 .3x 
 
 Os divisores positivos de 24 são 1,2,3,4,6,8,12 e 24. Sem dúvida, os possíveis 
id
 são os 
inteiros 1,2,4,6 e 12 já que eles são os únicos tais que 
1id
 é um primo. Como todos os 
produtos de quatro ou cinco dos 
id
 são maiores que 24,podemos eliminar esses produtos 
imediatamente; quer dizer, 
1
24
k
i
i
d
 não e um inteiro quando quatro o mais 
id
 são 
considerados. Aspossíveis restantes expressões para 
1
k
i
i
d
 são os seguintes produtos abaixo: 
 
1, 2 , 4, 6 , 12 , 1.2 , 1.4, 2.4 
 
 
 
2.6 , 2. 12 , 4.6 , 4.12 , 6.12 ,1.2.4, 1.2.6, 
 
 
 
1.2.12, 1.4.6 , 1.4.12 ,1.6.12 , 2.4.6 , 
 
 
 
2.4.12, 2.6.12 , e 4.6.12. 
 
 
Os oito últimos produtos destacados, podem ser eliminados, já que em cada caso 
1
24
k
i
i
d
 
não é um inteiro ; os sete primeiros produtos destacados, podem ser eliminados ,já que em 
 
cada caso 
1
24
k
i
i
d
, contém fatores primos não contidos em 
1
( 1)
k
i
i
d
, isto é, 
1
k
i
i
p
. 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 10 
FERMAT, WILSON E EULER 
 
 158 
Agora, os produtos restantes para 
1
k
i
i
d
 conduzem as soluções: 
 
1
k
i
i
d
 
1
24
k
i
i
d
 
1
k
i
i
p
 
1
1
24
.
k
ik
i
i
i
p
d
 
 
1.2 
1.6 
1.12 
2.4 
2.12 
4.6 
1.2.4 
1.2.6 
1.2.12 
1.4.6 
2
2
. 3 
2
2
 
2 
3 
1 
1 
3 
2 
1 
1 
2.3 
2.7 
2.13 
3.5 
3.13 
5.7 
2.3.5 
2.3.7 
2.3.13 
25.7 
2
3
.3
2
 
2
3
.7 
2
2
.13 
3
2
.5 
3.13 
5.7 
2.3
2
.5 
2
2
.3.7 
2.3.13 
2.5.7 
72 
56 
52 
45 
39 
35 
90 
84 
78 
70 
 
Em conseqüência, as soluções da equação 
( ) 24x
 são 35,39,45,52,56,70,72,78,84 e 90. 
 
Exemplo 10.8: Usando o fato de que a função Totient é multiplicativa, encontrar as 10 
soluções da equação 
( ) 24x
. 
Consideremos 
1 2 3( ) ( ). ( ). ( )... 24x n n n
,onde 
1 2 3, ,n n n
 são relativamente primos entre 
si dois a dois. Investigando uma lista de valores de 
( )n
, podemos determinar conjuntos de 
fatores 
1 2 3( ), ( ), ( )n n n
,... onde 
1 2 3, ,n n n
,... são relativamente primos dois a dois cujos 
produtos são iguais a 24. Os produtos 
1 2 3. . ...n n n
 representam soluções da equação 
Como 
 
Produto mdc Solução 
 (3) . (13) = 2.12 (3,13) = 1, x = 39; 
 (4) . (13) = 2.12 (4,13) = 1, x = 52; 
 (5) . (7) = 4.6 (5,7) = 1, x = 35; 
 (5) . (9) = 4.6 (5,9) = 1, x = 45; 
 (6) . (13) = 2.12 (6,13) = 1, x = 78; 
 (7) . (8) = 6.4 (7,8) = 1, x = 56; 
 (7) . (10) = 6.4 (7,10) = 1, x = 70; 
 (7) . (12) = 6.4 (7,12) = 1, x = 84; 
 (8) . (9) = 4.6 (8,9) = 1, x = 72; 
 (9) . (10) = 6.4 (9,10) = 1, x = 90; 
 
x
24.x
 CAPÍTULO 10 
 FERMAT, WILSON E EULER 
 
 159 
Assim, as dez soluções da equação são 35, 39, 45, 52, 56, 70, 72, 78, 84 e 90. 
Este resultado esta de acordo com exemplo anterior. 
 
Note que para usar este método e necessário conhecer primeiramente o número de soluções 
desejadas ou limitar os valores das soluções desejadas com o fim de decidir quando termina a 
investigação. 
Kevin Ford provou em 1999 que para todo número inteiro k ≥ 2 há um número m para o qual 
a equação 
( )x m
 tem exatamente k soluções; este resultado já haviam sido conjecturado 
por Sierpiński. No entanto, nenhum desses m é conhecido para k=1, e de acordo com a 
conjectura da função totiente de Carmichael acredita-se que neste caso esse m não existe. 
 
 
10.8 – VALÊNCIA DA FUNÇÃO TOTIENTE: 
( )N m
. 
 
 
A função 
( )N m
, chamada de Valência da Função Totiente, é definida como o número de 
inteiros positivos k, tal que (k) = m, também chamada de multiplicidade de m. 
 
Exemplo 1: Temos que 
(8) 5N
, porque existem apenas 5 inteiros, k = 15, 16, 20, 24 e 30, 
tal que (k) = 8. A tabela abaixo mostra os valores de 
( )N m
 para n 12. 
 
m 
( )N m
 k, tal que (k) = m 
1 2 1, 2 
2 3 3, 4, 6 
4 4 5, 8, 10, 12 
6 4 7, 9, 14, 18 
8 5 15, 16, 20, 24, 30 
10 2 11, 22 
12 6 13, 21, 26, 28, 36, 42 
 
 
Pode-se provar que existem inteiros pares m > 1 que não são valores assumidos pela função 
Totiente, como por exemplo 
(14) 0N
. Andrzej Schinzel provou em 1956, que para todo 
1t
, o valor 
2. 7t
 não é valor da função Totiente. Veja que 
(26) 0N
 e, 26 não é da 
forma 
2. 7t
. Mas, em 1976, Nathan Mendelsohn provou a existência de uma infinidade de 
números primos p, tais que para todo 
1t
, o valor 
2 .t p
 não é assumido pela função Totiente 
e, 26 é um número dessa forma. 
 
 
Observe os seguintes valores da função Totiente: 
 
 
 
24x
 
CAPÍTULO 10 
FERMAT, WILSON E EULER 
 
 160 
m (m) 
2 1! 
4 2! 
9 3! 
35 4! 
231 5! 
Himanshu Gupta provou em 1950, que para todo 
1t
 existe m tal que (m) = t! 
 
 
 
 
 EXERCÍCIOS 
 
1. Calcular (420), (1001), (5040) e (8316). 
 
2. Verificar que (n + 2) = (n) + 2, para n = 12, 
14, 20. 
 
3. Verificar que (n) = (n + 1) = (n + 2), para n 
= 5186. 
 
4. Verificar que (3k . 568) = (3k . 638). 
 
5. Verificar que (n) é uma função aritmética 
multiplicativa para n = 144. 
 
6. Verificar o Teorema de Euler com a = 3 e n = 
10; a = 7 e n = 12. 
 
7. Verifique que: 
a) 
35711 59(mod96)
 
b) 
313046 84(mod101)
 
c) 
420523 67(mod77)
 
d) 
1210120 20(mod57)
 
e) 
85017 100(mod143)
 
 
8. Achar os dois últimos algarismos da direita do 
inteiro 3
256
. 
9. Calcular o menor inteiro positivo n tal que n 
7
1015
 (mod 31). 
10. Achar o algarismo das unidades do inteiro 3145. 
11. Usando o Teorema de Euler, resolver as 
seguintes congruências lineares: 
 (a) 5x 7 (mod 12) 
(b) 2x 3 (mod 9) 
(c) 7x 1 (mod 10) 
(d) 8x 4 (mod 5) 
(e) 2x 1 (mod 17) 
(f) 5x – 3 (mod 8) 
 
12. Demonstrar que se n é um inteiro positivo 
ímpar, então: 
a) (2.n) = (n) 
b) (4n) = 2. (n) 
13. Resolva em 

as seguintes equações: 
a) (n) = 12 
b) (n) = 18 
c) (n) = 20 
d) (n) = 30 
e) (n) = 4! 
 
 
 
 
 
 
 
 CAPÍTULO 10 
 FERMAT, WILSON E EULER 
 
 161 
10.9. TEOREMA CHINÊS DO RESTO (TCR) 
 
 
O livro “Manual Aritmético do Mestre Sol” foi escrito por Sun Zi Suanjing (ou Sun Tzu Suan 
Ching), provavelmente entre 280 d.C. a 483 d.C. O livro está dividido em 3 capítulos. 
 
O 1º capítulo, contém apenas dois problemas que dizem respeito sobretudo a métodos para 
fazer multiplicações e divisões, utilizando “palitinhos chineses”. O segundo capítulo, contém 
28 problemas, apresenta métodos para o cálculo com frações, extração da raiz quadrada, 
determinação de áreas e volumes, proporções e regra de três simples. O terceiro capítulo 
contém 36 problemas aritméticos. 
 
No problema 26 (também conhecido como “problema do Mestre Sun”) do 3° capítulo, Sun 
Tzu utiliza pela primeira vez o chamado Teorema Chinês do Resto (TCR). O problema está 
enunciado abaixo: 
 
“Temos coisas, mas não sabemos quantas; se as contarmos de três em três, o resto é 2; se as 
contarmos de cinco em cinco, o resto é 3; se as contarmos de sete em sete, o resto é 2. 
Quantas coisas temos?” 
 
Em notação moderna, este problema equivale a procurar as soluções do seguinte sistema de 
congruências: 
 
x 2 (mod 3)
x 3 (mod 5)
x 2 (mod 7)
 
 
Resolver problemas como esse é um dos objetivos deste tópico. 
 
Teorema 10.11 (Teorema Chinês do Resto – TCR): sejam m1, m2, ..., mk inteiros positivos 
primos entre si dois a dois, isto é, tais que o MDC(mi, mj) = 1 se i j. Nestas condições, o 
sistema de congruências lineares: 
 
1 1
2 2
k k
x a (mod m )
x a (mod m )
...
x a (mod m )
 
tem única solução módulo m = m1, m2, ..., mk , dada por: 
x a1.M1.x1 + a2.M2.x2 + ... + ak.Mk.xk(mod m) 
 
Demonstração: para cada k = 1, 2, 3, ..., r, seja: 
 
Seja Mk 
1 2 r
k k
m . m . ... . mm
m m
. Como os inteiros mi são todos primos entre si dois a dois, o 
MDC(Mr, mr) = 1, de modo que a congruência linear Mr . x 1 (mod Mr) tem única 
solução x xr (mod mr) 
 
Posto isto, vamos mostrar que o inteiro x a1.M1.x1 + a2.M2.x2 + ... + ak.Mk.xk (mod m) é uma 
solução do sistema considerado. 
 
 
CAPÍTULO 10 
FERMAT, WILSON E EULER 
 
 162 
Com efeito se i r, então mr | Mi e Mi 0 (mod mr), que implica em: 
 
x a1.M1.x1 + a2.M2.x2 + ... + ak.Mk.xk (mod m) 
 
Para demonstrar a unicidade desta solução, suponhamos que x1 é uma outra solução 
qualquer do sistema considerado. Então: 
 
 
 
e, portanto, mr | (x – x1), r = 1, 2, ..., k. 
 
Mas, o MDC(mi, mj) = 1 implica em (m1 . m2 . … . mk) | (x – x1), isto é, m | (x – x1) e x x1 
(mod m), com o que termina a demonstração do TCR. 
 
Teorema 10.12: Sejam m1, m2, ..., mk inteiros positivos primos entre si dois a dois, e sejam 
a1, a2, ..., ak inteiros tais que MDC(ar, mr) = 1 para r = 1, 2, ..., k. Nestas condições, o 
sistema de congruências lineares: 
 
 
1 1 1
2 2 2
k k k
a .x b (mod m )
a .x b (mod m )
...
a .x b (mod m )
 
 
tem única solução módulo m = m1 . m2 . ... . mk. 
 
Demonstração: como o MDC(ar, mr) = 1, a congruência linear ar.x 1 (mod mr) tem única 
solução x ar (mod mr), de modo que: 
 
 
 
e, portanto, é equivalente a congruência x ar . br (mod mr). 
 
Assim sendo, o sistema considerado é equivalente ao seguinte sistema de congruências 
lineares: 
 
1 1 1
2 2 2
k k k
x a .b (mod m )
x a .b (mod m )
...
x a .b (mod m )
 
 
o qual tem, pelo TCR, uma única solução módulo m = m1 . m2 . ... . mk: 
xk . Mk 1 (mod mk) 
(m) 1
k k kx M (mod m )
 
 
onde: 
ar.ar 1 (mod mr), e ar.ar.x x (mod mr) 
 
x ar (mod mr) x1 (mod mr), r = 1, 2, ..., k. 
 
 CAPÍTULO 10 
 FERMAT, WILSON E EULER 
 
 163 
(i) Mk 
k
m
m
, k = 1, 2, 3, ... 
(ii) xk . Mk 1 (mod mk) 
(m) 1
k k kx M (mod m )
, ou seja, xk é o inverso de Mk módulo 
mk. 
 
Exemplo 10.7: utilizando o TCR, resolver o sistema de congruências lineares: 
 
 
x 8 (mod 5)
x 5 (mod 3)
x 11 (mod 7)
x 2 (mod 4)
 
 
Resolução: os módulos 5, 3, 7 e 4 das congruências lineares que formam o sistema são 
primos entre si dois a dois, de modo que pelo TCR este sistema tem uma única solução 
módulo m =m1 . m2 . m3 . m4 = 5 . 3 . 7 . 4 = 420. Temos então: 
 
1
1
m 420
M 84
m 5
, 
2
2
m 420
M 140
m 3
, 
3
3
m 420
M 60
m 7
, 
4
4
m 420
M 105
m 4
 
 
Os inversos xk dos Mk são dados por: 
 
 84 x1 1 (mod 5) 
140 x2 1 (mod 3) 
 60 x3 1 (mod 7) 
105 x4 1 (mod 4) 
 
Aplicando o método de Euler nas equações acima obtemos as soluções respectivas: 
x1 = 4, x2 = 2, x3 = 2, e x4 = 1. 
 
Portanto, temos : 
 
x a1.M1.x1 + a2.M2.x2 + ... + ak.Mk.xk (mod m) 
x 8 . 84 . 4 + 5 . 140 . 2 + 11 . 60 . 2 + 2 . 105 . 1 (mod 420) 
x 5618 (mod 420) 158 (mod.420), 
 
segue-se que x = 158 é a menor solução positiva módulo 420, do sistema de 
congruências lineares dado. Qualquer outra solução é da forma: 
 
 
 
 
Exemplo 10.8: 
 
5.x 11 mod 17 
3.x 19 mod 32
11.x 6 mod 37
 
 
x 158 (mod 420) x = 158 + 420.k, k 

. 
 
 
CAPÍTULO 10 
FERMAT, WILSON E EULER 
 
 164 
Resolução: Como o MDC(17, 32) = MDC(17, 37) = MDC(32, 37) = 1, o sistema possui 
solução. 
De 5.x 11 (mod 17), obtemos x 9 (mod 17). 
De 3.x 19 (mod 32), obtemos x 17 (mod 32) 
De 11.x 6 (mod 37), obtemos x 14 (mod 37) 
 
assim temos o seguinte sistema: 
 
9(mod 17)
17(mod 32)
14(mod 37
x
x
x
 
Usando o TCR: 
 
a1 = 9, a2 = 17, a3 = 14. 
m1 = 17, m2 = 32, m3 = 37. 
m = m1 . m2 . m3 = 17 . 32 . 37 = 20128. 
1
1
m 20128
M 1184
m 17
, 
2
2
m 20128
M 629
m 32
, 
3
3
m 20128
M 544
m 37
 
 
Então 1184.b1 1 (mod 17), 629.b2 1 (mod 32) e 544.b3 1 (mod 37). 
De onde concluímos: b1 = 14 , b2 = 29 e b3 = 10. 
 
A solução geral será: 
 
 
 
 EXERCÍCIOS 
 
1. Resolver os seguintes sistemas de congruências lineares utilizando o TCR: 
 
a) 
3 (mod5)
5 (mod 7)
7 (mod11)
x
x
x
 b) 
1 (mod5)
5 (mod 7)
7 (mod11)
x
x
x
 c) 
5 (mod 6)
4 (mod11)
3 (mod17)
x
x
x
 d) 
5 (mod11)
14 (mod 29)
15 (mod 31)
x
x
x
 
 
e) 
7 (mod 9)
10 (mod 4)
1 (mod 7)
x
x
x
 f) 
28 (mod 29)
30 (mod 31)
10 (mod11)
x
x
x
 g) 
(mod 3)
(mod 5)
(mod8)
x a
x b
x c
 h) 
2 1 (mod 5)
4 1 (mod 7)
5 9 (mod11)
x
x
x
 
 
 
x 9 . 14 . 1184 + 17 . 29 . 629 + 14 . 10 . 544 (mod 20128) 
x 535441 12113 (mod 20128) 
 
 CAPÍTULO 10 
 FERMAT, WILSON E EULER 
 
 165 
10.10. POTENCIAÇÃO: UMA APLICAÇÃO DO TEOREMA DE EULER 
 
 
Seja m um inteiro positivo tal que mdc(a, m) = 1 . Então: 
 
 
 
Aplicamos este resultado ao cálculo de potência módulo m. De uma maneira geral o problema 
é o seguinte. São dados a, k e m três inteiros positivos, dos quais sabemos que m é co-primo 
com a. Digamos que k é muito grande (o caso difícil) e queremos achar a forma reduzida de a
k
 
(mod m). 
 
Podemos simplificar as contas usando o teorema de Euler. Estamos supondo que k é grande, 
na prática precisamos saber apenas que k 
( )m
. Dividindo k por 
( )m
, obtemos 
k = 
( )m
.q + r, onde o resto r satisfaz 0 r 
( )m
 – 1. Temos, então, que: 
 
 
 
Mas pelo teorema de Euler, a
(m)
 1 (mod m) . Obtemos, portanto, da equação acima que a
k
 
 a
r
 (mod p). 
Um exemplo numérico para convencê-lo das vantagens deste resultado tão simples. 
Queremos calcular 2
5432675
 (mod 13). Da maneira como vínhamos procedendo teríamos que 
efetuar uma quantidade enorme de potenciações módulo 13. Usando a idéia acima, obtemos o 
resto da divisão de k = 5432675 por (13), que é r = 11, e assim: 
 
 
 
Logo, 2
5432675
 7 (mod 13). 
 
 
 
10.11 – POTENCIAÇÃO: UMA APLICAÇÃO DO TEOREMA CHINÊS DO RESTO (TCR) 
 
 
Podemos aplicar o TCR para simplificar o cálculo de potências módulo n em alguns casos 
especiais. Suponhamos que n = p1 . p2 . ... . pk, onde p1 < p2 < ... < pk são números primos. 
Assim, estamos supondo que, na fatoração de n, cada fator primo aparece com multiplicidade 
1. Neste caso fica muito fácil calcular a forma reduzida de a
m
 (mod n). 
 
Em primeiro lugar, usamos o PTF para achar a forma reduzida de a
m
 módulo cada um dos 
primos p1, p2, ..., pk separadamente. Digamos que: 
 
 
 
a
m
 r1 (mod p1) e 0 r1 < p1 
a
m
 r2 (mod p2) e 0 r1 < p2 
a
m
 rk (mod pk) e 0 rk < pk 
2
5432675
 (2
(13)
)
q
 . 2
11
 (mod 13) 2
11
 (mod 13) 7 (mod 13) 
 
 
a
k
 (m).q+ra (mod m) ( (m)a )
q
 . a
r
 (mod m) 
 
a
(m)
 1 (mod m) 
 
 
CAPÍTULO 10 
FERMAT, WILSON E EULER 
 
 166 
Para achar a forma reduzida de a
m
 (mod n), basta resolver o sistema: 
 
 
 
Observe que este sistema sempre tem solução, já que os módulos são primos distintos e, 
portanto, o MDC entre dois quaisquer entre eles é sempre igual a 1. Além disto, o teorema nos 
garante que o sistema tem uma única solução r (mod n), onde n = p1 . p2 . ... . pk. 
Logo a
m
 r (mod n), e obtivemos o que queríamos. 
Vejamos um exemplo numérico. Digamos quequeremos calcular a forma reduzida de 
 
 
 
Fatorando 1155 vemos que é 1155 = 3 . 5 . 7 . 11, todos primos entre si com multiplicidade 1. 
Aplicando o PTF a cada um destes primos, temos que: 
 
 
 
Assim: 
 
 
Precisamos, portanto, resolver o sistema: 
 
 
 
Solução: 
 
1
1
m 1155
M 385
m 3
; 
2
2
m 1155
M 231
m 5
; 
3
3
m 1155
M 165
m 7
; 
4
4
m 1155
M 105
m 11
 
 
m = m1 . m2 . m3 . m4 = 3 . 5 . 7 . 11 = 1155 
 
x 1 (mod 3) 
x 4 (mod 5) 
x 2 (mod 7) 
x 5 (mod 11) 
6754 = (3).q1 + r1 6754 = 2 . 3377 + 0, logo 2
0
 1 (mod 3). 
6754 = (5).q2 + r2 6754 = 4 . 1688 + 2, logo 2
2
 4 (mod 5). 
6754 = (7).q3 + r3 6754 = 6 . 1125 + 4, logo 2
4
 2 (mod 7). 
6754 = (11).q4 + r4 6754 = 10 . 675 + 4, logo 2
4
 5 (mod 11). 
 
2
6754
 
1r2
 (mod 3) 
2
6754
 
2r2
 (mod 5) 
2
6754
 
3r2
 (mod 7) 
2
6754
 
4r2
 (mod 11) 
 
2
6754
 (mod 1155) 
 
 
x r1 (mod p1) 
x r2 (mod p2) 
... 
x rk (mod pk) 
 
 CAPÍTULO 10 
 FERMAT, WILSON E EULER 
 
 167 
M1.x1 1 (mod m1) 385.x1 1 (mod 3) x1 385
(3)–1
 (mod 3) 1 (mod 3) 
M2.x2 1 (mod m2) 231.x2 1 (mod 5) x2 231
(5)–1
 (mod 5) 1 (mod 5) 
M3.x3 1 (mod m3) 165.x3 1 (mod 7) x3 165
(7)–1
 (mod 7) 2 (mod 7) 
M4.x4 1 (mod m4) 105.x4 1 (mod 11) x4 105
(11)–1
 (mod 11) 2 (mod 11) 
 
Assim, temos: 
 
 
 
 
 EXERCÍCIOS 
 
1) Construa as tabelas de operações em 
8
, 
9
, 
10
, 
13
 e 
17
. 
 
2) Encontre os dois números primos, cujos 
produtos, geraram os números abaixo, 
utilizando o método da Fatoração de Fermat: 
a) 437623 
b) 919199 
c) 9797 
d) 4061 
e) 19109 
 
3) Calcule a potências utilizando o método da 
exponenciação rápida. 
a) 33268 (mod 335) 
b) 1774096 (mod 277) 
c) 818192 (mod 92) 
d) 482048 (mod 20) 
 
4) Calcule as potências utilizando o Pequeno 
Teorema de Fermat 
 
a) 52349899 (mod 17) 
b) 4511223311 (mod 19) 
c) 1001002003007 (mod 281) 
 
5) Calcule as potências utilizando o Pequeno 
Teorema de Fermat e o Algoritmo Chinês do 
Resto. 
a) 4753 (mod 437623) 
b) 51773 (mod 919199) 
c) 8397 (mod 2926) 
d) 313961 (mod 12369) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x a1.M1.x1 + a2.M2.x2 + a3.M3.x3 + a4.M4.x4 (mod m) 
x 1 . 385 . 1 + 4 . 231 . 1 + 2. 165 . 2 + 5 . 105 . 2 (mod 1155) 
x 3019 (mod 1155) 709 (mod 1155) 
 
 
CAPÍTULO 10 
FERMAT, WILSON E EULER 
 
 168 
LEITURA COMPLEMENTAR: PSEUDOPRIMOS 
 
 
De acordo com o teorema de Fermat, se p é primo e a é um inteiro qualquer não divisível por 
p, então a
p
 a (mod p). Imagine então a seguinte situação: temos um número ímpar n, e 
desejamos saber se é, ou não, composto. 
 
Digamos que descobrimos um inteiro b tal que b
n
 b (mod n). Pergunta-se: n pode ser 
primo? A resposta é não, porque isto viola o teorema de Fermat. Logo, isto nos dá uma 
maneira indireta de verificar se um número é composto. 
Observe que, na prática, só precisamos considerar os inteiros b no intervalo 1 < b < n – 1. 
Por quê? Em primeiro lugar, como estamos trabalhando módulo n, qualquer inteiro é 
congruente a um inteiro no intervalo de 0 a n – 1. Além disso, a equação bn b (mod n) é 
sempre satisfeita quando b é 0, 1 ou n – 1. 
 
Este teste produz uma situação surpreendente. Com ele podemos chegar à conclusão de que 
um número é composto mesmo que não nos seja possível determinar seus fatores. Antes de 
fazer um exemplo, é conveniente formularmos um teste de uma maneira mais fácil de utilizar 
na prática. Para isto usaremos a segunda versão do teorema de Fermat. 
Eis o teste: se n > 0 e 1 < b < n – 1 são números inteiros, e bn–1 1 (mod n), então n é um 
número composto. O número b é conhecido como uma “testemunha de fato” de n ser 
composto. 
 
Será que podemos inverter o teorema de Fermat para verificar se um número é primo? Na 
verdade, estamos perguntando se um número ímpar n que satisfaz 
b
n–1
 1 (mod n), para algum 1 < b < n – 1, é primo? Leibniz, famoso pela invenção do cálculo 
(quase ao mesmo tempo que Newton), achava que sim, e usou isto como um critério de 
primalidade. Na verdade, ele tomava apenas b = 2, que é o caso mais simples de calcular. 
 
Infelizmente isto não é verdade. Por exemplo, 2
340
 1 (mod 341). Logo, segundo Leibniz, 
341 seria um número primo. Mas, 341 = 11 . 31, é composto. Estes “falsos primos” são 
conhecidos como pseudoprimos. Isto é, um inteiro positivo n, ímpar e composto, é um 
pseudoprimo para a base b (onde 1 < b < n – 1) se bn – 1 1 (mod n). Assim, 341 é um 
pseudoprimo para a base 2. 
 
Apesar de às vezes dar errado, o teste de Leibniz é muito útil. Pelo menos para números 
pequenos, ele acerta mais do que erra. Por exemplo, entre 1 e 10
9
 existem 50.847.534 primos, 
mas apenas 5597 pseudoprimos para a base 2. Logo um número menor que um bilhão que 
passa no teste de Leibniz apenas com a base 2 tem uma alta probabilidade de ser primo. 
 
Além disto, usamos apenas a base 2 até agora. Por que não testar para mais de uma base? 
Fazendo isto o teste fica ainda mais eficiente. Por exemplo, 3
340
 56 (mod 341). Logo 3 é 
uma testemunha de fato de que 341 é composto. Na verdade, há apenas 1272 pseudoprimos 
simultâneos para as bases 2 e 3 no intervalo entre 1 e 10
9
. 
 
Como estamos limitando nossas bases ao intervalo entre 1 e n – 1, podemos considerar a 
possibilidade de testar se n é pseudoprimo para todas estas bases. Se n é grande, isto vai ser 
impossível, logo o interesse prático é muito limitado. Por outro lado, este problema leva a 
 CAPÍTULO 10 
 FERMAT, WILSON E EULER 
 
 169 
algumas questões surpreendentes, e de real interesse prático, como veremos em seguida com 
os números de Carmichael. 
Números de Carmichael 
 
Primeiramente, não existem números que sejam pseudoprimos para todas as bases. Isto é fácil 
de constatar. Se n é composto, então tem um fator b, ou seja, MDC(b ,n) 1. Como também o 
MDC(b
n – 1
, n) 1, temos pelo teorema de inversão que b não pode ser inversível módulo n. 
 
Em particular, b
n – 1
 1 (mod n). Logo n não é pseudoprimo para a base b. Entretanto, pode 
ocorrer que um número composto n seja pseudoprimo para todas as bases que são primas a n. 
É este tipo de número que desejamos discutir. 
 
É preferível reformular o problema da seguinte maneira: seja n um número inteiro positivo, 
como caracterizar os números compostos n que satisfazem à equação b
n
 b (mod n)? 
 
A vantagem desta formulação é que podemos dispensar a condição MDC(b, n) = 1, o que é 
muito conveniente. O primeiro matemático a dar exemplos destes números foi R. D. 
Carmichael, em um artigo publicado em 1912. Por isso são chamados números de 
Carmichael. 
Portanto, um número composto ímpar n > 0 é um número de Carmichael se b
n
 b (mod n) 
para todo 1 < b < n – 1. Observe que, para um número ser de Carmichael é preciso que seja 
composto. Um número primo p também satisfaz à equação b
p
 b (mod p), mas não é um 
número de Carmichael. 
 
Como o próprio Carmichael determinou, o menor número de Carmichael é 561. Em princípio 
podemos verificar isto usando a definição. Entretanto, mesmo para um número relativamente 
pequeno como este, isto é difícil de fazer usando apenas lápis e papel. 
 
Afinal, para mostrar que 561 é um número de Carmichael pela definição, precisamos mostrar 
que b
561
 b (mod 561) para b = 2, 3, 4, 5, ..., 558,559; o que dá um total de 558 bases a 
serem testadas, algumas não tão pequenas. Não há duvida de que esta é uma tarefa para um 
computador. Entretanto, mesmo um computador razoável pode ter dificuldade em usar este 
método para verificar que, por exemplo: 
 
349407515342287435050603204719587201 
 
é um número de Carmichael. 
 
Felizmente há uma maneira mais simples de verificar que um dado número composto é de 
Carmichael. Consideremos 561 mais uma vez. Podemos facilmente fatorá-lo: 
 
561 = 3 . 11 . 17 
 
Seja agora b um número inteiro entre 2 e 559. Queremos mostrar que b
561
 b (mod 561). 
 
Nossa estratégia será a seguinte: mostraremos que b
561
 – b é divisível por 3, 11 e 17 para 
todos os valores de b entre 2 e 559. Como são primos distintos, segue que o produto destes 
primos divide b
561
 – b. Mas este produto é 561, e dizer que 561 divide b561 – b é equivalente a 
dizer que b
561
 b (mod 561). 
 
CAPÍTULO 10 
FERMAT, WILSON E EULER 
 
 170 
 
Só nos resta mostrar que b
561
 – b é divisível por cada um dos fatores de 561, separadamente. 
Como estes fatores são primos, o teorema de Fermat vem em nossa ajuda. Vamos efetuar as 
contas para o primo 17 e deixar 3 e 11 como exercício. Queremos verificar que b
561
 – b é 
divisível por 17, isto é, b
561
 b (mod 17). 
 
Há dois casos a considerar. Se 17 divide b então ambos b e b
561
 são membros de b 
congruentes a zero modulo 17, logo a congruência é imediatamente verificada. Mas, digamos 
que 17 não divide b. Neste caso, o teorema de Fermat diz que b
16
 1 (mod 17). Para aplicar 
isto, precisamos dividir 561 por (17 – 1), mas isto resulta em 561 = 35 . 16 + 1. Assim, b561 
(b
16
)
35
 . b (mod 17) (1)
35
 . b (mod 17) b (mod 17). 
 
Alguns números de Carmichael (existem infinitos): 
 
 
 
Provaremos que, se t é tal que (6.t + 1), (12.t + 1) e (18.t + 1) são todos primos, então o seu 
produto é um número de Carmichael. Não se sabe ainda (2005), se existe uma infinidade de 
tais números t. 
 
Demonstração: temos que n = (6t + 1).(12t + 1).(18t + 1) é composto. 
E que (n – 1) = 1296.t3 + 396.t2 + 36.t 0 (mod 36) 
 
Seja o MDC(a, n) = 1. Então, a é relativamente primo com (6.t + 1), (12.t + 1) e (18.t + 1). 
Pelo PTF: 
 
 
 
Logo, a
36.t
 1 (mod n). Como 36.t divide (n – 1), temos que an–1 1 (mod n). 
Como n é composto, n é um número de Carmichael. 
 
a
6.t
 1 (mod 6.t + 1) a
36.t
 1 (mod 6.t + 1) 
a
12.t
 1 (mod 12.t + 1) a
36.t
 1 (mod 12.t + 1) 
a
18.t
 1 (mod 18.t + 1) a
36.t
 1 (mod 18.t + 1) 
 
561, 1105, 1729, 2465, 2821, 6601, 8911, 10585, 15841, 29341, 41041, 46657, 52633, 
62745, 63973, 75361, 101101, 115921, 126217, 162401, 172081, 188461, 252601, 
278545, 294409, 314821, 334153, 340561, 399001, 410041, 449065, 488881, 512461, 
530881, 552721, 656601, 658801, 670033, 748657, 825625, 838201, 852841, 997633. 
 
 
 171 
Capítulo 11 
 
 
 
CIFRA DE CÉSAR 
 
INTRODUÇÃO À CRIPTOGRAFIA 
 
A palavra Criptografia é composta por dois termos gregos kryptos (kryptos secreto, 
escondido, oculto) e grapho (grapho - escrita grafia). 
A criptografia é uma arte ou ciência de escrever ocultamente talvez tão antiga quanto a 
própria escrita, hoje em dia é um dos métodos mais eficientes de se transferir informação, sem 
que haja a possibilidade de interferência por parte de terceiros. É o estudo de técnicas 
matemáticas, relacionadas com os aspectos de segurança e confidencialidade de informação, a 
integridade de dados, a autenticação de entidades e a autenticidade de origem de dados, ou 
seja, consiste na conversão de dados num código secreto como medida de segurança para que 
possam existir comunicações seguras. 
A criptografia lida de um modo muito estreito com termos como - encriptação e 
desencriptação. A encriptação é a conversão de dados para uma forma que não será 
compreendida facilmente por pessoas autorizadas com o objectivo de assegurar a privacidade 
mantendo a informação escondida e ilegível mesmo para quem vê os dados encriptados. A 
desencriptação é o processo de converter dados encriptados de volta á sua forma original, para 
que a mensagem possa ser compreendida e para isso acontecer requer alguma informação 
secreta, usualmente denominada chave de desencriptação. A chave de desencriptação é o 
algoritmo que desfaz o trabalho do algoritmo de encriptação. Um algoritmo é um programa de 
computador que pode ser visto como um algoritmo elaborado. É baseada em chaves, uma 
informação pode ser codificada através de algum algoritmo de criptografia, de modo que, 
tendo conhecimento do algoritmo e da chave utilizados, é possível recuperar a informação 
original fazendo o percurso contrário da encriptação, a desencriptação. 
 
CAPÍTULO 11 
CIFRA DE CÉSAR 
 
 172 
Embora os códigos secretos remontem aos primórdios da comunicação escrita, tem havido um 
aumento recente de interesse no assunto devido à necessidade de manter a privacidade da 
informação transmitida ao longo de linhas públicas de comunicação. Na linguagem da 
criptografia, os códigos são denominados cifras, as mensagens não codificadas, são textos 
comuns e as mensagens codificadas são textos cifrados ou criptogramas. O processo de 
converter um texto comum em cifrado é chamado cifrar ou criptografar e o processo 
inverso de converter um texto cifrado em comum é chamado decifrar. 
As cifras mais simples, denominadas cifras de substituição (ou Código de César), são as 
que substituem cada letra do alfabeto por uma outra letra. 
Por exemplo, na cifra de substituição 
 
Comum A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z 
Cifra D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C 
 
 A letra de texto comum A é substituída por D, a letra de texto comum B por E e assim por 
diante. 
 
Com esta cifra, a mensagem de texto comum 
 
 
 
fica 
 
 
 
 
A Cifra de César - Um dos sistemas criptográficos mais antigos e simples é a chamada 
“cifra de César”, em homenagem ao famoso imperador romano . Júlio César usou sua famosa 
cifra de substituição para cifrar mensagens governamentais. Atualmente denomina-se 
qualquer cifra baseada na substituição cíclica do alfabeto de código de César. Com o uso de 
dois discos concêntricos contendo todas as letras do alfabeto, a substituição se tornava 
extremamente simples. 
 
 
 
A cifra de César baseia-se na seguinte propriedade: 
 
“Seja m>1 um inteiro. Para cada a 
mZ
 fixado, temos que f:
m mZ Z
 definida por f(x) = 
x a
(mod m) é bijetiva”. 
URPD QDR IRL FRQVWUXLGD HP XP GLD 
ROMA NÃO FOI CONSTRUÍDA EM UM DIA 
CAPÍTULO 11 
CIFRA DE CÉSAR 
 
 173 
Demonstração: 
 
(i) f é injetiva. 
 
De fato: 
 f(x) = f(y) 
 x + a = y + a (mod m) 
 x + a - a = y + a - a (mod m) 
 x = y (mod m) 
 x = y em 
m
, donde f(x) = f(y) acarreta x = y 
 (ii) f é sobrejetiva 
 
Seja x um elemento qualquer de 
m
. 
Então x - a está em 
m
 e f(x - a) = x, uma vez que em 
m
 x – a = x – a + km, para 
todo inteiro k. Logo todo x em 
m
 é igual a f(x - a), donde f é sobrejetiva. 
Como f é injetiva e sobrejetiva, então f é bijetiva. 
Imaginemos, por questão de simplicidade, as 26 letras usuais e o espaço (entre duas palavras) 
associados aos elementos de 
27Z
 conforme a Tabela 1 abaixo ( adotaremos o símbolo [ ] para 
indicar um espaço entre as palavras): 
 
A B C D E F G H I J K L M 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 
N O P Q R S T U V W X Y Z 
14 15 16 1718 19 20 21 22 23 24 25 26 
[ ] 
0 
Tabela 1 
 
Fixado um elemento a 
mZ
 ( a é a chave do código – de transmissão e de recepção), a 
aplicação f: 
x x a
 (mod 27) permuta os elementos de 
27Z
 e, conseqüentemente, os 
elementos do conjunto formado pelo símbolo do espaço e as 26 letras. Dessa forma cada 
mensagem se transforma em código; o fato de f ser bijetiva garante que mensagens diferentes 
são codificadas de maneira diferente e, ainda, a possibilidade da decodificação. 
 
Exemplo 11.1: Vejamos como codificar a frase “EU VOU”, usando como chave a = 14, ou 
seja com y = x + 15 (mod 27) 
 
E 5 5 + 14 19(mod 27) S 
U 21 21 + 14 8 (mod 27) H 
[] 0 0 + 14 14 (mod 27) N 
V 22 22 + 14 9 (mod 27) I 
O 15 15 + 14 2 (mod 27) B 
U 21 21 + 14 8 (mod 27) H 
 
Portanto o código para a frase dada é “ SHNIBH”. 
Para decodificar, considerando que o simétrico aditivo de 14 módulo 27 é 13 
(pois, 14 + 13 0 (mod 27)), mantendo, portanto, a chave a = 14 ), procede-se assim: 
 
CAPÍTULO 11 
CIFRA DE CÉSAR 
 
 174 
 
S 19 19 + 13 5 (mod 27) E 
H 8 8 + 13 21 (mod 27) U 
N 14 14 + 13 0 (mod 27) [] 
I 9 9+13 22 (mod 27) V 
B 2 2+13 15 (mod 27) O 
H 8 8+13 21 (mod 27) U 
 
 
 
11.1. Funções Polinomiais de Codificação 
 
 
No exemplo acima usamos a função polinomial f(x) = x + 15 (mod 27) para codificar a 
mensagem e usamos a sua inversa f 
-1
(x) = x + 12 (mod 27) para decodificação. 
A pergunta que podemos fazer é podemos usar qualquer função polinomial módulo m para 
codificar uma mensagem? A resposta é não! 
Como vimos, precisamos da inversa para decodificar a mensagem. Assim se escolhermos uma 
função polinomial que não seja bijetiva no domínio trabalhado teremos problemas em 
decodificar em situações normais. Além disso, nos casos em que tivermos multiplicações e 
divisões da variável x, dependendo de Zm podemos não ter os inversos de x módulo m nos 
casos em que m não é primo impossibilitando a decodificação. Vejamos alguns exemplos: 
Exp1. Use a tabela abaixo e a função 
2( ) 23(mod29)f x x
 para codificar a palavra DJ 
A B C D E F G H I J K L M 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 
N O P Q R S T U V W X Y Z 
14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 
Á É [ ] 
27 28 0 
2(4) 4 23 10(mod29)D f J
 
2(10) 10 23 7(mod29)J f G
 
 
Queremos agora decodificar a mensagem JG. A inversa da função y = x
2
 + 23 é obtida pelo 
método prático de trocar x por y e colocar y em função de x, ou seja: 
2
2
2
2
23
23
23 ou 
6(mod 29)
y x
x y
y x
y x
 
 
Ou seja, para “voltarmos” estamos interessado em saber que número y elevado ao quadrado é 
igual a um número x + 6 (mod 29) ( isto é, [f(x)]
2
 = x + 6 ). Assim, 
 
CAPÍTULO 11 
CIFRA DE CÉSAR 
 
 175 
2 10 6 16(mod29)J y
 
 
Que número elevado ao quadrado é igual a 16 módulo 29? Resposta: 4. Logo J é D. 
 
2 7 6 13(mod7)G y
 
 
Que número elevado ao quadrado é igual a 13 módulo 29? Temos um problema! Existem dois 
valores que elevado ao quadrado são iguais a 13 módulo 29: 10 e 19, letras J e S 
respectivamente, pois 
 
10.10 13(mod29) e 19.19 13(mod29)
 
 
impedindo-nos, em situações mais complexas, de decodificar a mensagem. Isso se deve ao 
fato de f(x) = x
2 
+ 23 não ser bijetiva. 
 
 
 
Exercícios 
 
Use a Tabela 2 abaixo para os seus cálculos 
 
Z31 
A B C D E F G H I J K L M 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 
N O P Q R S T U V W X Y Z 
14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 
? Á Ã É [ ] 
27 28 29 30 0 
 
 
1. Utilize as funções abaixo para codificar e sua inversa* para decodificar as mensagens 
dadas. 
 
a) 
2 (mod31)y x
;
7(mod31)y x
; O MAIS QUERIDO 
b) 
3 (mod31)y x
;
2 30(mod31)y x
; NAVEGAR É PRECISO? 
c) 
4 (mod31)y x
; 
3 2(mod31)y x
; SE VOU NÃO FICO 
d) 
5 (mod31)y x
;
1
(mod31)
29
x
y
x
; ELVIS NÃO MORREU 
* Use o método da troca de variáveis para encontrar a função inversa 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 11 
CIFRA DE CÉSAR 
 
 176 
LEITURA COMPLEMENTAR: 
ANÁLISE DE FREQUÊNCIA 
 
Em qualquer língua, alguns sons são utilizados com mais frequência do que outros. Isto 
significa que, na linguagem escrita, algumas letras também são mais utilizadas que outras. 
Determinar a frequência com que ocorrem determinadas letras em determinada língua, ou 
seja, fazer uma análise da frequência de ocorrência de letras. 
Apesar de não se saber quem foi o primeiro a perceber que a variação na frequência de letras 
poderia ser explorada para se quebrar cifras, a descrição mais antiga de que se tem 
conhecimento e que descreve esta técnica data do século 9 e é devida ao cientista Abu Yusuf 
Ya 'qub ibn Is-haq ibn as-Sabbah ibn 'omran ibn Ismail al-Kindi. 
Conhecido como o filósofo dos árabes, al-Kindi foi o autor de 290 livros sobre medicina, 
astronomia, matemática, linguística e música. No entanto, seu maior tratado, o qual foi apenas 
redescoberto em 1987 no Arquivo Sulaimaniyyah Ottoman em Istambul, na Turquia, é 
intitulado "Um Manuscrito sobre Decifração de Mensagens Criptográficas. 
A cifra de substituição monoalfabética parecia inquebrável devido ao número muito grande de 
chaves possíveis. Entretanto, havia uma fraqueza que minava sua segurança. 
A quebra da cifra de substituição marca o nascimento da criptanálise. Tal fato ocorreu durante 
os anos dourados da civilização islâmica, quando muitos manuscritos estrangeiros foram 
levados para Bagdá para integrarem as grandes bibliotecas árabes. Alguns destes manuscritos 
estavam encriptados, o que motivou os arrombadores de códigos a quebrarem as cifras para 
revelar os segredos que continham. 
As letras "A" e "I" são as mais comuns em Árabe. No Inglês, as letras mais comuns são o "E", 
o "T" e o "A". Já no Português, as mais frequentes são "A", "E", "O" e "S". 
Se uma mensagem é cifrada de modo que cada letra seja substituída por uma outra, então a 
nova letra assumirá todas os atributos da letra original, inclusive com que frequência é 
utilizada. 
Desta forma, se a longa mensagem estiver em Português e se a letra mais comum na 
mensagem cifrada for G, então G provavelmente representa A. Se a segunda letra mais 
frequente na mensagem cifrada for W, então a probabilidade de que esteja substituindo o E é 
bastante grande, e assim por diante. 
Devemos considerar qual foi a língua utilizada para redigir a mensagem. Esta é uma questão 
essencial porque define o padrão da frequência da ocorrência de letras que deve ser usada para 
fazer a comparação. É óbvio que SEMPRE existem outras pistas que podem ajudar: o 
remetente da mensagem, o destinatário, o possível assunto, etc. 
Caso estejamos considerando o Português, é claro que se vai fazer uma análise de frequência 
usando esta língua como base. Quanto mais longo for o texto, maior a probabilidade dos 
valores encontrados estarem mais próximos dos valores padrão. Além disso, não se deve 
esquecer que os valores padrão representam a MÉDIA da frequência de ocorrência. Se, por 
exemplo, o padrão para a letra A é de 14.63%, esta frequência pode variar, digamos, de 13% a 
17%. Neste caso estamos contando com um desvio de cerca de 2%. 
CAPÍTULO 11 
CIFRA DE CÉSAR 
 
 177 
Abaixo estão as tabelas de das frequências relativas das letras nas línguas Portuguesa e 
Inglesa. 
 
 
Frequência relativadas letras no Português 
 
 
 
 
Frequência relativa das letras no Inglês 
 
 
 
CAPÍTULO 11 
CIFRA DE CÉSAR 
 
 178 
Exercícios 
 
1. Suponha que você interceptou a mensagem: 
JV F UZEYVZIF JFSIRJJV V JV VCR DV RDRJJV 
Segundo suas fontes ela foi codificada utilizando a cifra de César de acordo com a tabela 
seguinte 
 A B C D E F G H I J K L M 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
N O P Q R S T U V W X Y Z 
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 
 
 
 
É claro que você não sabe a chave usada. Como bom estudante de Estatística, você fez 
uma análise de frequência ( isso é que é interesse nas coisas alheias!). Suponha que você 
já havia interceptado um texto com mais de 1000 letras da mesma origem. De acordo 
com a análise de frequência, a letra A é mais comum na língua portuguesa. Você 
percebeu que a letra mais comum no texto cifrado foi a R. Com mais uma suposição de 
que a chave ainda não foi trocada, decodifique a mensagem. Desconsidere os espaços. 
 
2. Para as questões de 1 a 6, utilize a seguinte tabela de conversão: 
 
A B C D E F G H I J K L M 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 
N O P Q R S T U V W X Y Z 
14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 
*O espaço em branco [ ] é representado pelo valor 0. 
 
1. Utilizando a função f(x) = x + 13 (mod 27), codifique a palavra SOFTWARE. 
 
2. Utilizando a função f(x) = 4.x + 11 (mod 27), codifique a palavra UNIVERSO. Encontre a 
função inversa de f(x) e verifique se sua resposta está correta. 
 
3. Decodifique a palavra GESIOF sabendo que a função f(x) = x + 14 (mod 27) foi utilizada 
para cifragem. 
 
4. Decodifique a palavra BVJZOL sabendo que a função f(x) = 5.x + 17 (mod 27) foi 
utilizada para cifragem. 
 
5. Dada a mensagem em texto simples FELIZ, e o seu respectivo texto cifrado YXDAR, 
encontre a função afim que foi utilizada na cifragem. Determine a função inversa 
 
6. Dada a mensagem em texto simples TEMPO, e o seu respectivo texto cifrado ORTNG, 
encontre a função afim que foi utilizada na cifragem. Determine a função inversa. 
 
 
 179 
Capítulo 12 
 
 
 
CIFRA DE VIGENÈRE 
 
 
 
A cifra de Vigenère tem este nome em homenagem a Blaise de Vigenère, embora realmente 
tenha sido inventada antes por Giovan Batista Belaso. O que Vigenère fez foi modificar a 
cifra para torná-la mais robusta. 
 
A cifra de Vigenère é um método de encriptação que usa um série de diferentes cifras de 
César baseadas em letras de uma senha. Trata-se de uma versão simplificada de uma mais 
geral cifra de substituição polialfabética, inventada por Leone Battista Alberti a cerca de 
1465. 
 
A cifra de Vigenère foi uma campeã em segurança. Foram precisos 300 anos para que, quase 
que simultaneamente, ao redor de 1860, Babbage (na Inglaterra) e Kasiski (na Alemanha) 
quebrassem a cifra. 
 
A invenção da cifra de Vigenère é erradamente atribuída a Blaise de Vigenère; encontra-se 
originalmente descrita por Giovan Batista Belaso no seu livro datado de 1553 com o título La 
cifra del. Sig. Giovan Batista Belaso. 
 
Esta cifra é muito conhecida porque é fácil de perceber e de pôr em prática. 
Conseqüentemente, muitos programadores implementaram esquemas de encriptação nas suas 
aplicações que são no essencial cifras de Vigenère. 
 
 
Descrição 
 
Em uma cifra de César, cada letra do alfabeto é deslocada da sua posição um número fixo de 
lugares; por exemplo, se tiver uma deslocação de 3, a letra A se torna D, B se torna E, etc. A 
cifra de Vigenère consiste na sequência de várias cifras de César com diferentes valores de 
deslocamento. 
 
A cifra de Vigenère pode ser vista algebricamente. A encriptação pode ser escrita como 
 
Ci (Pi + ai) (mod m) 
e a decriptação como 
Pi (Ci – ai) (mod m) 
 
onde Pi corresponde aos valores das letras a serem cifradas, ai aos valores das letras da chave 
e Ci aos valores das letras cifradas. 
 
 
CAPÍTULO 12 
CIFRA DE VIGENÈRE 
 
 180 
Exemplo 12.1: Vamos supor agora, que a palavra-chave escolhida tenha sido "GREGO" e a 
mensagem a ser codificada seja “PERXES PREPARA UM ATAQUE”. Para isso utilizaremos 
a seguinte tabela de valores módulo 31: 
 
A B C D E F G H I J K L M N O P 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
Q R S T U V W X Y Z ? Á Ã É [ ] 
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 0 
 
Para codificar a mensagem, podemos escrever as letras da palavra-chave quantas vezes for 
preciso acima da frase: 
 
G R E G O G R E G O G R E G O G R E G O G R E G 
P E R X E S P R E P A R A U M A T A Q U E 
 
isto equivale a fazer os seguintes cálculos 
 
7 18 5 7 15 7 18 5 7 15 7 18 5 7 15 7 18 5 7 15 7 18 5 7 
16 5 18 24 5 19 0 16 18 5 16 1 18 1 0 21 13 0 1 20 1 17 21 5 
 
Somando termo a termo mod 31 (Ci (Pi + ai)), obtemos: 
23 23 23 0 20 26 18 21 25 20 23 19 23 8 15 28 0 5 8 4 8 4 26 12 
W W W T Z R U Y T W S W H O Á E H D H D Z L 
 
Para decifrar a mensagem WWW TZRUYTWSWHOÁ EHDHDZL 
basta fazer a operação inversa (Pi (Ci – ai)). 
 
 
 
 
CAPÍTULO 12 
CIFRA DE VIGENÈRE 
 
 181 
Exercícios: 
 
Para as questões abaixo, utilize a seguinte tabela de conversão: 
 
A B C D E F G H I J K L M N O P 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
Q R S T U V W X Y Z ? Á Ã É [ ] 
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 0 
Tabela de conversão de caracteres para a Cifra de Vigenère (mod 31). 
 
 
1) Decifre a mensagem abaixo, usando a palavra-chave CERA: 
 
 
 
2) Descubra a mensagem a seguir, capturada na transmissão do inimigo. 
 
 
 
A palavra-chave utilizada foi TEBAS. 
 
3) Codifique a mensagem “RIO DE JANEIRO” utilizando a chave TRIUNFO. 
4) Codifique a mensagem “FRONTEIRAS DO BRASIL” utilizando a chave TIGRE. 
5) Decodifique a mensagem “DYDSSX YNYFS” sabendo que a chave BYTE foi utilizada. 
6) Decodifique a mensagem “XIDHY OLOWFBRL” sabendo que a chave MISTURA foi 
utilizada. 
7) Dada a palavra em texto simples “ILUSTRE”, e o seu respectivo texto cifrado “MCI 
FYS”, encontre a chave que foi utilizada na cifragem. 
8) Dada a mensagem em texto simples “CRISE DOS INFERNOS”, e o seu respectivo texto 
cifrado “EEVHYHVGSBW VYZEGS”, encontre a chave que foi utilizada na cifragem. 
9) Desafio: dada a mensagem 
OSFYSRWXMFTANASWVNSSDMJMVAMVSISINQBLUDB”,decodifique-a e 
encontre a chave que foi utilizada na cifragem. 
 
QIOETGZTQHVIZSLARIISKE 
TXBQMXWFRSIIMOETVOEKMENAVKYHAVT 
 
 182 
Capítulo 13 
 
 
 
CIFRA DE HILL 
 
 
 
Uma das desvantagens de cifras de substituição é que elas preservam as frequências de letras 
individuais, tornando relativamente fácil quebrar o código por métodos estatísticos. Uma 
maneira de superar este problema é dividir o texto em grupos de letras e criptografar o texto 
comum por grupo, em vez de uma letra de cada vez. Um sistema poligráfico é um sistema de 
criptografia no qual o texto comum é dividido em conjuntos de n letras, cada um dos quais é 
substituído por um conjunto de n letras cifradas. Veremos uma classe de sistemas poligráficos 
chamados cifras de Hill (Em 1929 Lester S. Hill publica seu livro Cryptography in an 
Algebraic Alphabet, no qual um bloco de texto claro é cifrado através de uma operação com 
matrizes). 
 
Daqui em diante, nós vamos supor que cada letra de texto comum e de texto cifrado, tem um 
valor numérico que especifica sua posição no alfabeto padrão (Tabela 1). Utilizaremos o 
símbolo [ ] para indicar um espaço entre as letras ou palavras. 
 
Tabela 1 
A B C D E F G H I J K L M 
1 2 34 5 6 7 8 9 10 11 12 13 
N O P Q R S T U V W X Y Z 
14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 0 
 
 
 
Iniciemos com o caso mais simples de cifras de Hill que utiliza matrizes 2x2. 
Usando a tabela acima em 
26
 transformaremos pares sucessivos de texto comum em texto 
cifrado pelo seguinte procedimento: 
 
Passo 1. Escolha uma matriz A, 2 x 2, com entradas inteiras para efetuar a codificação. A 
matriz deve ser inversível módulo 26 . 
 
Passo 2. Agrupe letras sucessivas de texto comum em pares, adicionando uma letra fictícia 
para completar o último par se o texto comum tem um número ímpar de letras; substitua cada 
letra de texto comum por seu valor numérico. 
 
Passo 3. Converta cada sucessivo p1 p2 de letras de texto comum em um vetor-coluna p, e 
forme o produto A.p. Nós chamamos p de vetor comum e Ap o correspondente vetor 
cifrado. 
 CAPÍTULO 13 
CIFRA DE HILL 
 
 183 
Passo 4. Converta cada vetor cifrado em seu equivalente alfabético. 
 
Em todas as operações converter os valores para congruência módulo 26. 
 
Exemplo 13.1: Cifra de Hill de uma Mensagem 
 
Use a matriz A= 1 2
0 3
 para obter a cifra de Hill da mensagem de texto comum 
 
PARAFUSO 
Solução. 
Se nós agruparmos o texto comum em pares de letras, obteremos 
 
 
 
ou, equivalentemente, usando a Tabela 1, 
 
 
 
Para codificar o par PA nós efetuamos o produto matricial 
 
 
 
que fornece o texto cifrado RC pela Tabela 1. 
 
Para codificar o par RA nós efetuamos o produto matricial 
 
 
 
que fornece o texto cifrado TC. 
 
Os cálculos para os demais vetores cifrados são 
 
 
 
Estes vetores correspondem aos pares de textos cifrado VK e WS, respectivamente. 
Coletando os pares, obtemos a mensagem cifrada completa 
 6
21
 = 48
63
= 22
11
 (mod 26) 
 
1 2
0 3
 19
15
 = 49
45
 = 23
19
 (mod 26) 
 
1 2
0 3
1 2
0 3
18
1
= 20
3
 (mod 26) 
 
1 2
0 3
16
1
= 18
3
 (mod 26) 
 
16 -1 18 - 1 6 -21 19 -15 
 
PA RA FU SO 
 
 
CAPÍTULO 13 
CIFRA DE HILL 
 
 184 
 
RCTCVKWS 
 
Como o texto comum foi agrupado em pares e criptografado por uma matriz 2 x 2, dizemos 
que a cifra de Hill do Exemplo 1 é uma 2-cifra de Hill. Evidentemente também é possível 
agrupar o texto comum em ternos e criptografar com uma matriz 3 x 3 com entradas inteiras; 
isto é chamado uma 3-cifra de Hill. Em geral, para uma n-cifra de Hill agrupamos o texto 
comum em conjunto de n letras e codificamos com uma matriz codificadora n x n de 
entradas inteiras. 
 
Decifrando 
 
Cada cifra útil deve possuir um procedimento para decifrar. Para decifrar as cifras de Hill, 
usamos a inversa (mod m) da matriz codificadora. Para ser preciso, se m é um inteiro positivo, 
dizemos que uma matriz A com entradas em Zm é inversível módulo m se existir uma matriz 
B com entradas em Zm tal que 
 
 
 
Suponha agora que 
 
é inversível módulo m e que esta matriz é usada para uma 2-cifra de Hill. Se 
 
 
 
é um vetor comum, então 
 
é o correspondente vetor cifrado e 
 
Assim, cada vetor comum pode ser recuperado do correspondente vetor cifrado pela 
multiplicação à esquerda por A
-1
 (mod m). 
Em criptografia é importante saber quais matrizes são inversíveis módulo m e como obter 
suas inversas. Em seguida investigaremos estas questões. 
Em aritmética comum, uma matriz quadrada A é inversível se, e somente se, det (A) 0 ou, 
equivalentemente, det (A) tem um inverso. O teorema seguinte é o análogo deste resultado em 
aritmética modular. 
 
p = A
-1
 c 
 
 
c = A p 
 
p = 
1
2
p
p
 
A = 
11 12
21 22
a a
a a
 
 
A . B = B . A = I (mod m) 
 
 CAPÍTULO 13 
CIFRA DE HILL 
 
 185 
Teorema 13.1 Uma matriz quadrada A em Zm é inversível módulo m se, e somente se, o 
detA( mód m) tem um inverso módulo m. 
 
Desse modo, em particular, temos que, se 
 
 
 
tem entradas em Zm se o det(A) = ad – bc (mod m) for relativamente primo com m, então a 
inversa de det(A) (mod m) é dada por 
 
 
 
Onde (ad – bc)-1 (mod m) é o inverso de ad – bc (mod m). 
 
Exemplo 13.2. Decifrando uma 2-Cifra de Hill 
 
Decifre a seguinte 2-cifra de Hill, que foi dada no Exemplo 1: RCTCVKWS 
 
Solução: 
 
Pela Tabela 1, o equivalente numérico do texto cifrado é 
 
 
 
 para obter os pares de texto comum, multiplicamos cada vetor cifrado pela inversa de A: 
 
 
 
temos que o inverso de 3 módulo 26 é igual 9, ou seja 3.9 1(mod 26). 
Assim, por ( I ), 
 
A
-1 
= 9 3 2
0 1
= 27 18
0 9
= 1 8
0 9
(mod 26) 
Logo 
 
1 8
0 9
18
3
= 42
27
= 16
1
(mod 26) 
1 8
0 9
20
3
= 44
27
= 18
1
 (mod 26) 
det(A) = 1.3 – 2.0 = 3 
 
 
 
18-3 20-3 22-11 23-19 
 
 
A
-1
 = (ad-bc)
-1
d b
c a
 (mod m) ( I ) 
 
 
 
A= a b
c d
 
 
 
 
CAPÍTULO 13 
CIFRA DE HILL 
 
 186 
1 8
0 9
22
11
= 110
99
= 6
21
(mod 26) 
1 8
0 9
23
19
= 175
171
= 19
15
(mod 26) 
Pela Tabela 1, pode-se ver que os equivalentes alfabéticos destes vetores são 
 
 
PARAFUSO 
 
Matrizes Inversas Módulo m 
 
Teorema: Se M é uma matriz quadrada de ordem n e det M 0, então a inversa de M módulo 
m é 
 
 
 
onde 
M
 é a matriz adjunta de M. 
 
Exemplo 13.4: 
Utilizando a matriz 
9 0 5
8 7 6
3 2 0
A
 (mod 29) como chave, codifique e decodifique a mensagem 
MATEMÁTICA em 
29
, tal que 
 
A B C D E F G H I J K L M 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 
N O P Q R S T U V W X Y Z 
14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 
Á É [ ] 
27 28 0 
 
Solução: Convertendo a mensagem: 
 
 
 
Para codificarmos a mensagem, basta multiplicar cada matriz 3x1 obtida pela matriz 
codificadora A: 
13 5 20 1
1 ; 13 ; 9 ; _ _ 0 
20 27 3 0
MAT EMÁ TIC A
 
 
M
-1
 = (det M )
-1
. 
M
 (mod m) 
 
 
 CAPÍTULO 13 
CIFRA DE HILL 
 
 187 
9 0 5 13 217 14
8 7 6 1 231 28 (mod 29)
3 2 0 20 41 12
 
 
9 0 5 5 180 6
8 7 6 13 293 3 (mod 29)
3 2 0 27 41 12
 
 
9 0 5 20 195 21
8 7 6 9 241 9 (mod 29)
3 2 0 3 78 20
 
 
9 0 5 1 9
8 7 6 0 = 8 (mod 29)
3 2 0 0 3
 
 
A mensagem codificada é: NÉLFCLUITIHC 
 
DECODIFICAÇÃO: 
Para decodificar precisamos da matriz inversa de A. 
Cálculo da matriz inversa 1A (mod 29): 
 
2- Det (A) = -133, ou seja, Det (A) = 12 ( mod 29). Temos que 
1 1
(mod 29) 17
( ) 12Det A
. 
De fato: 
(29) 112 17(mod29)2712 1(mod29)
, pois 
3 9 3 27 312 17 12 17 12 12 12 17(mod29) 
 
3- Matriz dos Cofatores: 
12 18 -5
 10 -15 -18
35 -14 63
C
17 18 24
10 14 11 (mod 29)
23 15 5
 
4- A Matriz Adjunta (
M
) é a transposta da Matriz dos Cofatores: 
17 10 23
18 14 15 (mod 29)
24 11 5
tM C
 
5- Matriz Inversa 1A = 1
.
( )
M
Det A
(mod 29), temos: 
1
17 10 23 289 170 391 28 25 14
17. 18 14 15 306 238 255 16 6 23 (mod 29)
24 11 5 408 187 85 2 13 27
A
 
 
Basta, então, multiplicar a mensagem codificada pela matriz inversa para obtermos a 
mensagem original. 
 
 
CAPÍTULO 13 
CIFRA DE HILL 
 
 188 
 
Exercícios: 
Z32 
 
A B C D E F G H I J K L M1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 
N O P Q R S T U V W X Y Z 
14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 
Ê ? Á Ã É [ ] 
27 28 29 30 31 0 
Tabela 1 
 
1. Utilizando a tabela 1 e as matrizes dadas como chave, codifique e decodifique as 
mensagens correspondentes, pelo método de Hill 
 
a) 
1 3
, O PIOR CEGO É AQUELE QUE NÃO ENXERGA O QUE VÊ
2 7
A
 
 
b) 
9 15
, LEÃO AZUL
19 2
A
 
 
c) 7 8 1
12 23 14 , MATEMÁTICA É LEGAL
22 4 21
B
 
 
d) 1 2 7
0 3 1 ,
0 5 2
B CATACLISMÁTICO
 
 
 Para as questões de 2 a 8, utilize a seguinte tabela de conversão: 
 
A B C D E F G H I J K L M 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 
N O P Q R S T U V W X Y Z 
14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 0 
Tabela de conversão de caracteres módulo 26. 
 
2. Codifique a palavra AFRODITE utilizando a matriz 
10 11
9 12
 
3. Codifique a palavra ELETRICIDADE utilizando a matriz 
14 13 11
15 17 18
19 16 12
 
 CAPÍTULO 13 
CIFRA DE HILL 
 
 189 
4. Decodifique a palavra KJQCDYVU sabendo que a matriz 20 21
19 22
 foi utilizada na 
cifragem. 
5. Decodifique a palavra GEIOHSSFGQUD sabendo que a matriz 
2 6 3
1 7 4
8 9 5
 foi utilizada 
na cifragem. 
 
6. Decodifique a mensagem ODNINDTYTXPWVZPQ sabendo que a matriz 
2 3 1 4
11 13 5 12
16 9 14 15
8 7 6 10
 foi utilizada na cifragem. 
 
7. Dada a mensagem em texto simples MITO, e o seu respectivo texto cifrado UQNI, 
encontre a matriz 2 x 2 que foi utilizada na cifragem. 
 
8. Dada a mensagem em texto simples ALGORITMO e o seu respectivo texto cifrado 
ODVMFFYWS. Encontre a matriz 3 x 3 que foi utilizada na cifragem, sabendo que todos 
os elementos desta matriz são inteiros positivos distintos menores ou iguais a 9. 
 
 Para as questões de 9 e 10, utilize a seguinte tabela de conversão: 
 
A B C D E F G H I J K L 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
M N O P Q R S T U V W X 
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 
Y Z Á É Í Ó Ú Â Ô Ã Õ Ç 
25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 
*O espaço em branco é representado pelo valor 0 (zero). 
Tabela de conversão extendida de caracteres módulo 37. 
9. Codifique a palavra EQUAÇÕES utilizando a matriz 31 33
29 35
 
 
10. Decodifique a palavra PBGEZJÃÁÓÍMJ sabendo que a matriz 
26 28 29
21 25 27
22 23 24
 foi 
utilizada na cifragem. 
 
 
 190 
Capítulo 14 
 
 
 
RSA 
 
 
Três americanos desenvolveram um sistema de código secreto, chamado RSA, baseado nas 
dificuldades existentes para descobrir os fatores primos de um número muito grande. Criava-
se um novo ramo da Criptografia, a ciência dos códigos, fortemente baseado na Teoria dos 
Números. Com o advento dos computadores e da computação algébrica, a Criptografia 
ganhou um novo impulso. Neste momento, a proliferação de senhas bancárias e de cartões de 
crédito, bem como a crescente necessidade de criptografar dados confidenciais que inundam a 
Internet, fazem da Criptografia um dos ramos mais pesquisados da Matemática. 
O sistema RSA, batizado em homenagem a seus inventores Ronald Rivest, Adi Shamir e 
Leonard Adleman, foi o primeiro criptossistema de chave pública e ainda é o mais importante. 
Sua segurança está intimamente relacionada à dificuldade de encontrar a fatoração de um 
número inteiro positivo composto, que é o produto de dois primos gigantes. 
 
 
 
14. 1. PRÉ-CODIFICAÇÃO 
 
 
Em primeiro lugar, devemos converter a mensagem em uma sequência de números. Essa 
primeira etapa é chamada de pré-codificação. Há várias maneiras de se fazer isso. Aqui 
vamos supor que o texto não contém acentuação, pontuação, números etc, apenas as letras A a 
Z (maiúsculas). Também vamos adicionar espaços em branco entre palavras, que será 
substituído pelo número 99. A letra A será convertida no número 10, B será 11 e assim por 
diante, até o Z correspondendo ao número 35. Observe que cada letra corresponde a um 
número com exatamente dois algarismos. Isso evita ambigüidades. 
 
A B C D E F G H I J K L M 
1 0 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 
N O P Q R S T U V W X Y Z 
23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 
[ ] 
99 
 
A chave pública é um número n = p . q, onde p e q são primos. Antes de começar devemos, 
então escolher esses números. O último passo da pré-codificação é quebrar a mensagem em 
blocos. Esses blocos devem ser números menores que n. A maneira de escolher os blocos não 
é única, mas é importante evitar duas situações: 
 
 Nenhum bloco deve começar com o número 0 (problemas na decodificação). 
 Os blocos não devem corresponder a nenhuma unidade lingüística (palavra, letra, etc). 
Assim a decodificação por contagem de freqüência fica impossível. 
 CAPÍTULO 14 
 RSA 
 
 191 
14.2 – Codificando e decodificando 
 
 
Para codificar a mensagem precisamos de n = p . q e de um inteiro positivo e (1 < e < (n)) 
que seja inversível módulo (n). Em outras palavras, 
 
 
 
Note que e é sempre ímpar, dado que p – 1 é par. 
Chamaremos o par (n, e) de chave de codificação do sistema RSA. 
Codificaremos cada bloco de mensagem separadamente e a mensagem codificada será a 
seqüência de blocos codificados. 
Vamos agora mostrar como codificar cada bloco b. Chamaremos o bloco codificado de C(b). 
Em primeiro lugar, lembre-se que b é menor que n. Então: 
 
C(b) b
e
 (mod n) 
 
onde 0 C(b) < n. 
 
Exemplo 14.1: Considere a frase Paraty é linda. Convertendo em números, 
 
 
 
Agora devemos escolher n. 
Vamos começar com um número pequeno, por exemplo, n = 11.13 = 143. 
Podemos então quebrar a mensagem acima em blocos, que devem ter valor menor que 143 e 
não devem iniciar com zero.: 
 
 
 
Então temos que (143) = 10.12 = 120 e portanto vamos escolher e como o menor primo que 
não divide 120. O valor é 7. Logo, 
 
 
 
Procedendo dessa maneira com todos os blocos, obtemos a seguinte mensagem cifrada: 
 
 
Vejamos agora como proceder para decodificar um bloco de mensagem codificada. 
64 – 119 – 6 – 119 – 102 – 36 – 130 – 36 – 27 – 79 – 23 – 117 – 10 
 
C(25) 25
7
 (mod 143) 
C(25) 25
4
 . 25
2
 . 25
1
 (mod 143) 
C(25) 25
4
 . 53 . 25 (mod 143) 
C(25) 53
2
 . 53 . 25 (mod 143) 
C(25) 92 . 53 . 25 (mod 143) 
C(25) 14 . 25 (mod 143) 
C(25) 64 (mod 143) 
 
25 – 102 – 7 – 102 – 93 – 49 – 91 – 49 – 92 – 118 – 23 – 13 – 10 
 
25 10 27 10 29 34 99 14 99 21 18 23 13 10 
 
m.d.c.(e, (n)) = m.d.c. (e, (p – 1).(q – 1)) = 1 
 
 
CAPÍTULO 14 
 RSA 
 
 192 
A informação que precisamos para decodificar está contida no par (n, d), onde d (1<d< (n)) é 
o inverso de e módulo (n) (e.d 1 (mod (n)). Chamaremos (n, d) de chave de 
decodificação e D(c) o resultado do processo de decodificação. D(c) é dado por: 
 
 
 
onde 0 D(c) < n. 
Observe que é possível calcular d, desde que (n) e e sejam conhecidos. Entretanto, se não 
conhecemos p e q é praticamente impossível calcular d. Voltando ao nosso exemplo, temos 
que n = 143 e e = 7. Para calcular d, usamos o Teorema de Euler: 
 
 
 
 
ou seja, 
 
 
 
Como exemplo, deciframos o primeiro bloco da mensagem cifrada: 
 
 
 
Os outros blocos ficam como exercícios. 
 
A pergunta óbvia que surge agora é: D(C(b)) = b? 
Ou seja, decodificando um bloco de mensagem codificada, encontramos um bloco da 
mensagem original? Porque senão todo nosso esforço foi sem sentido. Vamos mostrar nessa 
seção que a resposta para esta pergunta é: sim! 
Consideremos então n = p . q. Vamos provar que D(C(b)) b (mod n) 
D(64) 64
103
 (mod 143) 
D(64) 64
100. 64
3
 (mod 143) 
D(64) (64
10
)
10
 . 64
3
 (mod 143) 
D(64) ((64
5
)
2
)
10
 . 64
3
 (mod 143) 
D(64) ((64
2
 . 64
3
)
2
)
10
 . 64
3
 (mod 143) 
D(64) ((92 . 25)
2
)
10
 . 25 (mod 143) 
D(64) ((12)
2
)
10
 . 25 (mod 143) 
D(64) (144)
10
 . 25 (mod 143) 
D(64) (1)
10
 . 25 (mod 143) 
D(64) 25 (mod 143) 
 
d 7
( (143)) – 1
 (mod (143)) 
d 7
(120) – 1
 (mod 120) 
d 7
32 – 1
 (mod 120) 
d 7
31
 (mod 120) 
d 103 (mod 120) 
 
d.e 1 (mod (n)) d e
( (n)) – 1
 (mod (n)) 
 
D(c) c
d
 (mod n) 
 
 CAPÍTULO 14 
 RSA 
 
 193 
E por que não a igualdade D(C(b)) = b (mod n)? Observe que D(C(b)) e b são menores que (n 
– 1). Por isso escolhemos b menor que n e mantivemos os blocos separados depois da 
codificação. Pela definição de D e C temos que 
 
 
 
Mas d é o inverso de e módulo (n). Logo, existe inteiro k tal que e.d = 1 + k. (n). Logo, 
 
 
 
Se m.d.c.(b, n) = 1, então podemos usar o teorema de Euler: 
 
 
 
Se b e n não são primos entre si, observe que n = p . q, p e q primos distintos. Logo, 
 
 
 
Se m.d.c.(b, p) = 1, então podemos usar o teorema de Fermat [b
p-1
1 (mod p)]. 
Caso contrário, temos que p | b e portanto 
 
 
Logo, 
 
 
qualquer que seja b. Fazemos o mesmo para o primo q, obtendo: 
 
 
Portanto, 
 
c.q.d. 
 
Exemplo 14.2: 
 
A B C D E F G H I J K L M 
1 0 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 
N O P Q R S T U V W X Y Z 
23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 
[ ] 
99 
Digamos que você está interessado em enviar a mensagem 
b
ed
 b (mod p.q) 
b
ed
 b (mod n) 
 
b
ed
 b (mod q) 
 
b
ed
 b (mod p) 
 
b
ed
 b 0 (mod p) 
 
b
ed
 b
1 + k. (n)
 b
1 + k.(p-1).(q-1)
 (b
(p-1)
)
k.(q-1)
. b (mod n) 
 
b
ed
 (1)
k
 . b b (mod n) 
 
b
ed
 b
1 + k. ( n )
 b . (b
 (n)
)
k
 (mod n) 
 
D(C(b)) (b
e
)
d
 b
ed
 (mod n) 
 
 
CAPÍTULO 14 
 RSA 
 
 194 
 
 
Você deve inicialmente numerar toda a palavra de acordo com a tabela acima: 
 
 
 
Agora, suponha que a chave seja (n, e) = (7663, 17) 
Então você deve escolher blocos numéricos para codificar que sejam menores que n e que não 
comecem com zero. 
Escolhamos, por exemplo, os seguintes blocos (veja que isso vai depender da máquina que 
você está trabalhando): 
 
 
 
Basta agora pegar cada bloco e elevar à potência e módulo n: 
 
 
 
A mensagem codificada é 
 
 
 
Agora vejamos como fazer se recebemos uma mensagem codificada por alguém utilizando a 
chave pública (n, e) = (7663, 17). Suponha que a mensagem recebida seja a mesma obtida 
acima: 
 
 
 
Para entender o que significa você precisa da chave privada d, que é inversa de e (mod ( n )). 
 
Etapas: 
1. Primeiro, fatoramos o número n = 7623 ( veja abaixo a fatoração pelo método de Fermat). 
Encontramos os primos 79 e 97. 
 
2. Calculamos (n) = (7663) = (79) . (97) = 78.96 = 7488. 
 
5137 – 3345 – 1635 – 3009 – 2186 – 3890 – 2032 
 
 
5137 – 3345 – 1635 – 3009 – 2186 – 3890 – 2032 
 
 
151
17
 5137 (mod 7663) 
151
17
 5137 (mod 7663) 
823
17
 3345 (mod 7663) 
102
17
 1635 (mod 7663) 
122
17
 3009 (mod 7663) 
142
17
 2186 (mod 7663) 
329
17
 3890 (mod 7663) 
14
17
 2032 (mod 7663) 
 
 
151 – 823 – 102 – 122 – 142 – 329 – 14 
 
 
15 18 23 10 21 22 14 23 29 14 
 
 
FINALMENTE 
 
 
 CAPÍTULO 14 
 RSA 
 
 195 
3. Calculamos d e ( (n)) – 1 (mod (n)) 17 (7488) – 1 (mod 7488) 881 (mod 7488). 
 
4. Agora basta pegar cada bloco que recebemos e elevar à potência d módulo n. 
 
 
 
5. Então colocamos os resultados alinhados 
 
 
 
depois separamos em blocos de dois números 
 
 
 
que corresponde a mensagem enviada 
 
 
 
 
 
14. 3. Assinatura digital utilizando a criptografia RSA 
 
 
1º passo: Como a segurança do RSA reside na dificuldade de fatorar números que são 
produtos de 2 primos; então é aconselhável escolher primos bem grandes (10 ou mais dígitos). 
Mas, para fins didáticos vamos escolher primos relativamente pequenos (menores que 1000), 
cuja idéia é a mesma para primos grandes. 
 
Ainda, para efeitos deste exemplo, chamaremos o remetente de Alice (A) e o destinatário de 
Bob (B). Para elaborarmos as chaves públicas e privadas do esquema, então escolhemos 
adequadamente dois primos p e q para cada participante, e calculamos o produto n = p . q. 
 
Os números primos de Alice são: pA = 859, qA = 547. Que resulta em nA = 469873. 
Os números primos de Bob são: pB = 937, qB = 461. Que resulta em nB = 431957. 
*Observação 1: os primos p e q não devem ser muito próximos para evitar fatorações rápidas como a de Fermat. 
 
2º passo: O número n encontrado desta maneira faz parte tanto da chave pública como da 
chave privada de cada participante. Agora, escolhemos um número e que também será público 
e que seja relativamente primo à função de Euler (n) MDC( (n), e) = 1. 
FINALMENTE 
 
 
15 18 23 10 21 22 14 23 29 14 
 
 
151 – 823 – 102 – 122 – 142 – 329 – 14 
 
 
5137
881
 151 (mod 7663) 
3345
881
 823 (mod 7663) 
1635
881
 102 (mod 7663) 
3009
881
 122 (mod 7663) 
2186
881
 142 (mod 7663) 
3890
881
 329 (mod 7663) 
2032
881
 14 (mod 7663) 
 
 
 
CAPÍTULO 14 
 RSA 
 
 196 
 
Para Alice, (nA) = (859) . (547) = 858 . 546 = 468468. 
Uma boa escolha para Alice é o número primo eA = 5, pois o MDC(468468, 5) = 1. 
Para Bob, (nB) = (937) . (461) = 936 . 460 = 430560. 
Uma boa escolha para Bob é o número primo eB = 7, pois o MDC(430560, 7) = 1. 
*Observação 2: a chave pública e não é necessariamente um número primo, este exemplo foi apenas uma mera coincidência. 
 
3º passo: Tendo posse de (n) e da chave pública e, podemos calcular a chave secreta d. 
Sendo que d é o inverso multiplicativo de e, ou seja, e.d 1 (mod (n)). Pelo teorema de 
Euler, 
( ( )) 1(mod ( ))nd e n
. Fazendo os devidos cálculos encontramos que: 
 
Para Alice, 5. dA 1 (mod 468468) dA = 281081. 
Para Bob, 7. dB 1 (mod 430560) dB = 307543. 
*Observação 3: uma forma computacional rápida para se encontrar a chave privada d é: 
int d = 0; for ( d = 2; d < phi; d++ ) {if ( (e * d) % phi == 1 ) ) {System.out.println( “Inverso = ” + d ); break; // d encontrado, sai do laço}} 
 
Pronto, já temos posse das chaves necessárias para cifrar e decifrar mensagens. 
 
O que deve ser disponibilizado nas páginas amarelas ou qualquer diretório público: 
 
Chave pública de Alice (nA, eA) = (469873, 5). 
Chave pública de Bob (nB, eB) = (431957, 7). 
 
O que não deve ser disponibilizado, pois é secreto e pertence somente aos seus donos: 
 
Chave privada de Alice (nA, dA) = (469873, 281081). 
Chave privada de Bob (nB, dB) = (431957, 307543). 
*Observação 4: note que tanto os primos p e q, assim como a função (n), também devem ser mantidos secretos! 
Pois a partir de p e q, pode-se facilmente calcular (n) = (p – 1) * (q – 1). E vice-versa, a partir de (n) pode-se calcular p e q através de um 
sistema linear e uma simples equação do 2º grau. Tendo posse de (n), calcula-se a chave privada d como demonstrado. 
 
4º passo: Finalmente, como fazer para criptografar uma mensagem? Por exemplo, tomemos a 
palavra “BRASIL”, que no código ASCII corresponde aos valores: 
 
 
 
Concatenando esses valores, obtemos 668265837376. 
Reagrupando em blocos (de qualquer tamanho), obtemos 668, 265, 837, 376. 
O valorcontido em cada bloco não deve exceder o valor da chave pública n. Também se deve 
tomar cuidado para que nenhum bloco inicie com o valor zero, com risco de se criar um erro 
na cifragem. Os blocos evitam ataques por freqüência, já que se a mensagem fosse codificada 
caractere por caractere, o RSA se tornaria uma mera cifra de substituição. 
 
A codificação dos blocos é feita, elevando-se cada valor do bloco ao expoente público e 
módulo n do destinatário, obtendo-se o menor valor positivo correspondente. Assim, se Alice 
deseja enviar a palavra “BRASIL” para Bob, ela deve utilizar a chave pública (nB, eB) = 
(431957, 7) de Bob, e efetuar C(b) = b
e
 (mod n), da seguinte forma: 
 
(66, 82, 65, 83, 73, 76) 
 
 
 
 CAPÍTULO 14 
 RSA 
 
 197 
C(668) = 668
7
 (mod 431957) 331318 (mod 431957) 
C(265) = 265
7
 (mod 431957) 387742 (mod 431957) 
C(837) = 837
7
 (mod 431957) 213180 (mod 431957) 
C(376) = 376
7
 (mod 431957) 121902 (mod 431957) 
 
Alice, então, deve enviar a mensagem criptografada 
 
 
 
para Bob. 
 
5º passo: Para decifrar a mensagem, Bob deve proceder de maneira inversa, utilizando a sua 
chave secreta (nB, dB) = (431957, 307543), ou seja, D(c) = c
d
 (mod n), da seguinte forma 
(geralmente não é uma congruência fácil de resolver...): 
 
D(331318) = 331318
307543
 (mod 431957) 668 (mod 431957) 
D(387742) = 387742
307543
 (mod 431957) 265 (mod 431957) 
D(213180) = 213180
307543
 (mod 431957) 837 (mod 431957) 
D(121902) = 121902
307543
 (mod 431957) 376 (mod 431957) 
 
Bob reagrupa a mensagem decodificada 668265837376, separa em pares, 
 
 
 
e obtém a mensagem original “BRASIL”. 
 
Propriedades matemáticas garantem que aplicando a função de cifragem e depois decifragem, 
a mensagem original continua a mesma, isto é, b = D(C(b)). 
 
 
Assinatura: Assinar uma mensagem é garantir que ela realmente vem de quem diz ser o 
remetente. 
Como podemos assinar uma mensagem utilizando o RSA? 
 
No exemplo, anterior, perceba que em nenhum momento chegamos a usar as chaves do 
remetente (Alice), portanto é chegada a hora. 
 
Devido às propriedades matemáticas das chaves públicas e privadas e e d, Alice pode utilizar 
sua própria chave privada dA “decodificar” a mensagem original ao invés de normalmente 
utilizá-la para decifrar uma mensagem cifrada com sua chave pública destinada a ela. 
 
Isto faria com que a mensagem ficasse cifrada com a sua chave privada, e como isto seria 
útil? Antes de partimos para o exemplo numérico, uma breve teoria. 
O que foi feito anteriormente (no exemplo de Bob): 
 
 
b  CB(b)  DB(CB(b))  b 
 
 
 
(66, 82, 65, 83, 73, 76) 
 
 
 
(331318, 387742, 213180, 121902) 
 
 
 
 
CAPÍTULO 14 
 RSA 
 
 198 
 
onde b é a mensagem em texto puro “BRASIL”, CB( ) é a função de cifragem que utiliza a 
chave pública de Bob, e DB( ) é a função de decifragem que utiliza a chave secreta de Bob. 
 
O esquema de assinatura digital consiste em 
 
 
 
Em outras palavras, Alice utiliza sua chave privada para “decodificar” a mensagem original 
(que inicialmente não é uma ação muito útil, pois qualquer pessoa com conhecimento da 
chave pública de Alice pode desfazer esta ação). Em seguida, Alice cifra o resultado com a 
chave pública de Bob. Neste ponto, o que temos? Uma mensagem-cápsula duplamente 
criptografada com a chave privada de Alice e a chave pública de Bob. 
 
 
 
O que isto garante? Que Bob pode primeiramente decodificar esta mensagem-cápsula com 
sua própria chave privada, e assim obter de volta a mensagem criptografada com a chave 
privada de Alice. Mas aqui que surge o grande ponto: se Bob utilizar a chave pública de 
Alice, ele obterá a mensagem original! 
 
Como ninguém mais além de Alice possui a chave privada dA, então realmente aquela 
mensagem foi codificada inicialmente por Alice. A outra garantia vem de que somente Bob 
sabe disto, pois Alice sabiamente também utilizou a chave pública de Bob. 
 
Em resumo, no esquema tradicional (sem assinatura), b = D(C(b)). 
Entretanto, devido às propriedades matemáticas, também é verdade que b = C(D(b)). 
Ou seja, no esquema assinado temos, b = CA(DB(CB(DA(b)))), onde as funções são aplicadas 
de dentro para fora na ordem que aparecem. Agora o exemplo numérico. 
 
Relembrando as chaves públicas de Alice e Bob: 
 
Chave pública de Alice (nA, eA) = (469873, 5). 
Chave pública de Bob (nB, eB) = (431957, 7). 
 
Chave privada de Alice (nA, dA) = (469873, 281081). 
Chave privada de Bob (nB, dB) = (431957, 307543). 
 
1º passo: Alice utiliza sua chave privada para “decodificar” a palavra “BRASIL” separada em 
blocos como no exemplo anterior (as mesmas observações de tamanho de bloco e valores 
menores que os módulos também valem para este caso): 
 
DA(668) = 668
281081
 (mod 469873) 249014 (mod 469873) 
DA(265) = 265
281081
 (mod 469873) 82081 (mod 469873) 
DA(837) = 837
281081
 (mod 469873) 221564 (mod 469873) 
DA(376) = 376
281081
 (mod 469873) 231544 (mod 469873) 
 
CB(DA(b)) = mensagem assinada 
 
 
 
b  DA(b)  CB(DA(b))  DB(CB(DA(b)))  DA(b)  CA(DA(b))  b 
 
 
 
 CAPÍTULO 14 
 RSA 
 
 199 
2º passo: Em seguida, Alice pega o resultado e aplica na função de codificação com a chave 
pública de Bob: 
 
CB(249014) = 249014
7
 (mod 431957) 273379 (mod 431957) 
CB(82081) = 82081
7
 (mod 431957) 45868 (mod 431957) 
CB(221564) = 221564
7
 (mod 431957) 414208 (mod 431957) 
CB(231544) = 231544
7
 (mod 431957) 363416 (mod 431957) 
 
Assim, Alice envia a mensagem criptografada assinada: 
 
 
 
3º passo: Bob, ao receber a mensagem criptografada assinada, deve primeiramente aplicar sua 
chave privada (é uma calculeira danada, eu sei... Tente usar o computador!): 
 
DB(273379) = 273379
307543
 (mod 431957) 249014 (mod 431957) 
DB(45868) = 45868
307543
 (mod 431957) 82081 (mod 431957) 
DB(414208) = 414208
307543
 (mod 431957) 221564 (mod 431957) 
DB(363416) = 363416
307543
 (mod 431957) 231544 (mod 431957) 
 
Já aqui neste resultado, Bob deve obter algo que Alice obteve no 1º passo. 
 
4º passo: Finalmente, Bob aplica a chave pública de Alice que garante que foi ela mesma que 
enviou esta mensagem (nenhuma outra pessoa além de Alice pode ter a chave privada dela, 
lembra?): 
 
CA(249014) = 249014
5
 (mod 469873) 668 (mod 469873) 
CA(82081) = 82081
5
 (mod 469873) 265 (mod 469873) 
CA(221564) = 221564
5
 (mod 469873) 837 (mod 469873) 
CA(231544) = 231544
5
 (mod 469873) 376 (mod 469873) 
 
Novamente, Bob reagrupa a mensagem decodificada 668265837376, separa em pares, (66, 
82, 65, 83, 73, 76) e obtém a mensagem original “BRASIL”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(273379, 45868, 414208, 363416) 
 
 
 
 
CAPÍTULO 14 
 RSA 
 
 200 
Exercícios 
 Para os exercícios seguintes utilize a tabela abaixo ou a tabela ASCII 
 
A B C D E F G H I J K L M 
1 0 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 
N O P Q R S T U V W X Y Z 
23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 
[ ] 
99 
 
1) Usando as chaves públicas dadas, codifique e decodifique as frases correspondentes: 
a) (n, e) = (1037, 7) SONHO 
b) (n, e) = (2201, 11) REMO 
c) (n, e) = (1577, 5) ESPERANDO 
 
2) A chave pública utilizada pelo Banco Crash para codificar suas mensagens é a seguinte: 
(n, e) = (4559, 5) 
Os computadores do banco receberam, de local indeterminado, os seguintes blocos de 
mensagem: 2621 – 2608 – 3594 – 4261 
O que diz a mensagem? 
 
3) A mensagem 
96 – 61 – 751 – 9foi codificada pelo método RSA usando a chave (n, e) = (767, 13). Decodifique a 
mensagem. 
 
4) Sabendo-se que n = 27641 é igual ao produto de dois primos e que 
( ) 27300n
, 
determine os fatores primos de n. 
 
5) Sabendo-se que n = 3552377 é igual ao produto de dois primos e que 
( ) 3548580n
, 
determine os fatores primos de n. 
 
6) A mensagem 
6802 – 8728 – 9451 
foi codificada pelo método RSA usando a chave (n, e) = (16517, 5). Além disso, sabe-se 
que 
( ) 16236n
. Decodifique a mensagem. 
 
7) (Assinatura Digital) 
Considere que o Banco Bandit possua a seguinte chave pública: 
(nB, eB) = (20099, 7) 
E a Empresa Explorit possua a seguinte chave pública: 
(nE , eE) = (61823, 11) 
Demonstre como a empresa enviaria a mensagem MONEY assinada ao banco e como o 
banco confirmaria a autenticidade da assinatura. 
 
 201 
Capítulo 15 
 
 
 
PARTILHA DE SENHAS 
 
 
O Teorema Chinês do Resto é utilizado em sistemas de partilha de senhas entre várias 
pessoas, de modo que para cada pessoa seja dado um elemento distinto em função da senha s 
a ser compartilhada. A grande vantagem do método de partilha de senhas é que cada pessoa 
contém uma chave diferente das outras chaves e uma pessoa sozinha não consegue decifrar a 
senha. Outra vantagem é que não é necessária a presença de todas as pessoas com suas 
respectivas chaves, bastam que k ou mais pessoas estejam presentes. A chave para cada 
pessoa é escolhida dentro um conjunto S composto por n pares de inteiros positivos de forma 
que, para cada inteiro positivo k n previamente escolhido, tem-se que: 
 
 Qualquer subconjunto de S com k elementos permite determinar s facilmente; 
 É muito difícil determinar s conhecendo menos que k elementos de S. 
 
O primeiro passo é escolher um conjunto apropriado L de n inteiros positivos distintos, dois a 
dois primos entre si. Seja N o produto dos k menores números de L, e M o produto dos k – 1 
maiores números de L, os elementos de L devem ser escolhidos com cuidado de forma que M 
< N, e a senha s possa ser escolhida arbitrariamente dentro do intervalo M < s < N. 
Os elementos até aqui mencionados são: 
L = {p1, p2, ..., pn}; onde p1 < p2 < ... < pn são primos distintos entre si. 
k = número de pessoas que se deseja estarem presentes para a decifragem da senha. 
N = p1.p2. ... .pk = produto dos k menores elementos de L. 
M = px.px+1. ... . pn = produto dos k – 1 maiores elementos de L. 
s = senha aleatória que não tem relação alguma com L, mas deve ser escolhida de forma que 
M < s < N. 
Posteriormente, o conjunto gerador de chaves S será constituído pelos pares da forma (p, sp) 
onde p L e sp é a forma reduzida de s (mod p). Um limite k 2 implica em s > p para 
qualquer p L. Logo sp < s para qualquer p L. 
Supõe-se que sejam conhecidos, em um dado momento, t k pares de elementos de S, ou 
seja, existem t pessoas presentes para a decifragem da senha s. Denota-se esses pares por (p1, 
s1), (p2, s2), ..., (pt, st). 
 
 
Para se chegar à senha s é necessário resolver o seguinte sistema de congruências: 
 
 
 
Pelo Teorema Chinês do Resto, obtém-se x0 como solução, tal que: 
 
 
x0 s (mod p1.p2. ... .pt) 
 
 
x s1 (mod p1) 
x s2 (mod p2) 
... 
x st (mod pt) 
 
 
S = {(p1, sp1), (p2, sp2), ..., (pt, spt)} 
 
 
 
 
CAPÍTULO 15 
PARTILHA DE SENHAS 
 
 202 
É sabido que como t k, (p1.p2. ... .pt) N > k, e o sistema de congruências tem uma única 
solução menor que (p1.p2. ... .pt). 
 
 
Observações: 
 É possível escolher os módulos de s de modo que seja impraticável 
encontrar s através de uma busca, conhecendo-se apenas uma das chaves; 
 É sempre possível escolher um conjunto L que satisfaça todas as condições. 
 
A seguir, um exemplo prático para efeito de esclarecimento. 
 
Exemplo 15.1: 
 No banco “Golden Luck” há 5 funcionários responsáveis pela manutenção da senha de um 
cofre, e pelo menos 2 pessoas (k = 2) têm que estar presentes para a abertura do mesmo. 
Logo, o conjunto L deve possuir 5 elementos e seu limiar deve igual a 2. Uma possível 
escolha para L envolvendo somente primos pequenos é 
 
 
 
A partir do qual se calcula os valores dos limites N e M: 
 N = 143 = 11.13 = produto dos (k = 2) menores elementos de L. 
 M = 23 = produto dos (k – 1 = 2-1=1) maiores elementos de L. 
 
O valor da senha s pode ser escolhido aleatoriamente como qualquer inteiro no intervalo que 
vai de 23 a 143 (M < s < N). Por exemplo, suponha que a senha seja s = 50. Então o conjunto 
S que contêm os elementos da senha é: 
 
 
 
O segundo termo de cada elemento de S, sm, é o resto da divisão de s = 50 por cada termo 
correspondente de L, ou seja, s(mod p). Se os funcionários que possuem as senhas (17, 16) e 
(23, 4), por exemplo, estão no banco, para obter a senha seria preciso resolver o sistema: 
 
 
 
Solução: 
 
m = 17. 23 = 391 
1
1
m
M = = 23
m
; 
2
2
m
M = = 17
m
 
Os inversos x1 e x2 de M1 e M2 são dados por: 
 
 
 
23 x1 1 (mod 17) e 17x1 1 (mod 23) 
 
x 16 (mod 17) 
x 4 (mod 23) 
 
 
S = {(11, 6), (13, 11), (17, 16), (19, 12), (23, 4)} 
 
 
L = {11, 13, 17, 19, 23} 
 
 
 CAPÍTULO 15 
 PARTILHA DE SENHAS 
 
 203 
Aplicando o método de Euler nas equações acima obtemos as soluções respectivas: 
 
 
 
Portanto, temos 
 
 
 
Assim, determina-se que 50 é o menor valor inteiro positivo congruente a x, que é a senha 
correta. 
 
 
Exercícios 
 
1. Por motivo de segurança o banco “ Golden Luck” trocou a senha do cofre. Dois 
funcionários possuem as chaves (13, 5) e (19, 17). Qual a nova senha? 
2. Após uma nova troca de senhas no banco “Golden Luck”, 2 funcionários tem agora as 
chaves (31, 6) e (41, 20). Qual é a senha agora? 
3. Como duas pessoas só sabem guardar um segredo se uma delas já estiver morta, o banco 
“Golden Luck” resolveu fazer uma mudança completa no esquema de segurança e 
novamente a senha foi trocada, além disso ficou estabelecido que estejam presentes, no 
mínimo, 3 pessoas para que o cofre possa ser aberto. Três funcionários estão com as 
chaves (53, 21), (61, 9) e (71, 35). Qual é a senha? 
x a1M1x1 + a2M2x2 (mod m) 
x 16 . 23 . 3 + 4 . 17 . 19 (mod 391) 
 x 2396 (mod 391) 
x = 50 
 
x1 = 3 e x2 = 19 .