2 Energia de rotação e momento angular

Prévia do material em texto

2.1 Trabalho e 𝐸𝐶 rotacional
𝑑𝑊 = 𝐹𝑠𝑒𝑛∅ 𝑟 𝑑𝜃
→ 𝑑𝑊 = 𝜏 𝑑𝜃 → න𝑑𝑊 = න
𝜃𝑖
𝜃𝑓
𝜏 𝑑𝜃
𝑟𝐹𝑠𝑒𝑛∅ = 𝜏
𝜏 = 𝐼 𝛼 𝑒 𝛼 =
𝑑𝜔
𝑑𝑡
→ 𝜏 = 𝐼
𝑑𝜔
𝑑𝑡
= 𝐼
𝑑𝜔
𝑑𝜃
𝑑𝜃
𝑑𝑡 → 𝜏 = 𝐼
𝑑𝜔
𝑑𝜃
𝜔 → 𝜏𝑑𝜃 = 𝐼𝑑𝜔 𝜔
→ න𝑑𝑊 = න
𝜔𝑖
𝜔𝑓
𝐼𝑑𝜔 𝜔 → 𝑊 = ቤ
𝐼𝜔2
2
𝜔𝑓
𝜔𝑖
→ 𝑊 =
𝐼𝜔𝑓
2
2
−
𝐼𝜔𝑖
2
2
→ ∆𝑊 = ∆𝐸𝐶𝑅
A taxa de trabalho em função do tempo é:
𝑑𝑊
𝑑𝑡
= 𝜏
𝑑𝜃
𝑑𝑡
→ 𝑃 = 𝜏 𝜔 𝑃 = 𝐹 𝑣
𝐹 𝑐𝑜𝑠 ∅ → 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑙
- Perpendicular à 𝑑𝑠 → 𝑊 = 0
- Paralela ao plano → 𝜏 = 0
𝐹 𝑐𝑜𝑠 ∅
𝐹 𝑠𝑒𝑛 ∅
2. Energia de rotação e momento angular
→ න𝑑𝑊 = න
𝜃𝑖
𝜃𝑓
𝜏 𝑑𝜃
𝐹 𝑠𝑒𝑛 ∅ → 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 → 𝑣𝑎𝑖 𝑔𝑒𝑟𝑎𝑟 𝑊
𝑑𝑊 = Ԧ𝐹 𝑑 Ԧ𝑠; 𝑑𝑠 = 𝑟 𝑑𝜃 𝑒𝑚 𝑢𝑚 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑑𝑡
Um ioiô é feito enrolando-se um fio diversas vezes em torno de um cilindro de massa 𝑀 e
raio 𝑅 (Fig.). Você mantém presa a extremidade do fio enquanto o cilindro é liberado sem
velocidade inicial. O fio desenrola, mas não desliza a medida que o cilindro cai e gira. Use
considerações de energia para achar a velocidade do centro de massa (𝑣𝐶𝑀) do cilindro
depois que ele caiu até uma distância ℎ.
Conservação da energia
→
1
2
𝑀𝑣𝐶𝑀𝑖
2 +
1
2
𝐼𝜔𝑖
2 +𝑀𝑔ℎ𝑖 =
1
2
𝑀𝑣𝐶𝑀𝑓
2 +
1
2
𝐼𝜔𝑓
2 +𝑀𝑔ℎ𝑓
Incógnita → 𝑣𝐶𝑀 =?
Dados → 𝑀; 𝑅; ℎ 𝑒 𝑣𝐶𝑀𝑖 = 0,𝜔𝑖 = 0
→ 𝐸𝐶𝑖 + 𝐸𝑃𝑖 = 𝐸𝐶𝑓 + 𝐸𝑃𝑓
→
1
2
𝑀. 0 +
1
2
𝐼. 0 + 𝑀𝑔ℎ =
1
2
𝑀𝑣𝐶𝑀
2 +
1
2
1
2
𝑀𝑅2 (
𝑣𝐶𝑀
𝑅
)2 +𝑀𝑔. 0
𝐼 =
𝑀𝑅2
2
𝑣 = 𝜔𝑅
→ 𝑀𝑔ℎ =
1
2
𝑀𝑣𝐶𝑀
2 +
1
2
1
2
𝑀𝑅2 (
𝑣𝐶𝑀
𝑅
)2
→ 𝑀𝑔ℎ =
3
4
𝑀𝑣𝐶𝑀
2
→ 𝑣𝐶𝑀 =
4
3
𝑔ℎ
esse valor é menor do que 2𝑔ℎ, a velocidade que um objeto atinge ao cair de uma 
altura ℎ, pois 
1
3
da 𝐸𝑃 do cilindro se transforma em 𝐸𝐶𝑅
→ (𝐸𝐶𝑖+ 𝐸𝐶𝑅𝑖) + 𝐸𝑃𝑖 = (𝐸𝐶𝑓+𝐸𝐶𝑅𝑓) + 𝐸𝑃𝑓
𝐸𝐶𝑅 =
𝐼𝜔2
2
2.2 Momento angular
Corpo girando no espaço → sem movimento do seu CM
Cada partícula do corpo descreve uma trajetória circular → cd partícula tem um 
momento
Há uma “quantidade de movimento“ associada com a rotação
Partícula massa 𝒎
Vetor posição 𝒓
Deslocando-se com momento 𝒑 = 𝒎𝒗
Ԧ𝑝 = 𝑠𝑒𝑛∅
Ԧ𝑝 = 𝑐𝑜𝑠∅
→ 𝑳 = 𝒓 𝒙 𝒑 (
𝑘𝑔.𝑚2
𝑠
)Momento angular da partícula
O valor de 𝑳 depende da origem da qual é medido e é um vetor perpendicular tanto a 𝒓
qto à 𝒑
A direção de 𝑳 é perpendicular ao plano que contém 𝒓 e 𝒑
Sentido de 𝑳 → regra da mão direita
Módulo de 𝑳 → 𝐿 = 𝑚 𝑣 𝑟 𝑠𝑒𝑛∅
𝐿 = 0 quando Ԧ𝑟 é paralelo à Ԧ𝑝 (∅ = 0 𝑜𝑢 180 )
𝐿 é máximo quando Ԧ𝑟 é perpendicular à Ԧ𝑝 (∅ = 90)
→ 𝐿 = 𝑚 𝑣 𝑟
Neste momento a partícula se desloca como se estivesse na borda de uma roda girando
Movimento translacional → Ԧ𝐹𝑟𝑒𝑠 =
𝑑 Ԧ𝑝
𝑑𝑡
Movimento rotacional → 𝜏 = Ԧ𝑟 𝑥 Ԧ𝐹 = Ԧ𝑟 𝑥
𝑑 Ԧ𝑝
𝑑𝑡
Momento angular → 𝐿 = Ԧ𝑟 𝑥 Ԧ𝑝
→ 𝐿 = Ԧ𝑟 𝑥 Ԧ𝑝 →
𝑑𝐿
𝑑𝑡
=
𝑑(Ԧ𝑟 𝑥 Ԧ𝑝)
𝑑𝑡
= Ԧ𝑟 𝑥
𝑑 Ԧ𝑝
𝑑𝑡
+
𝑑Ԧ𝑟
𝑑𝑡
𝑥 Ԧ𝑝
Analisando o resultado
𝑑 Ԧ𝑟
𝑑𝑡
𝑥 Ԧ𝑝 = 0 pois
𝑑Ԧ𝑟
𝑑𝑡
= Ԧ𝑣 e é paralela à Ԧ𝑝
0
→
𝑑Ԧ𝑟
𝑑𝑡
𝑥 Ԧ𝑝 = Ԧ𝑣 𝑥 Ԧ𝑝 = 𝑣 𝑝 𝑠𝑒𝑛 0 = 0
𝑑𝐿
𝑑𝑡
= Ԧ𝑟 𝑥
𝑑 Ԧ𝑝
𝑑𝑡
= Ԧ𝑟 𝑥 Ԧ𝐹 = 𝜏 → 𝜏 =
𝑑𝐿
𝑑𝑡
Ԧ𝐹𝑟𝑒𝑠 =
𝑑 Ԧ𝑝
𝑑𝑡
Logo
→
𝑑𝐿
𝑑𝑡
= Ԧ𝑟 𝑥
𝑑 Ԧ𝑝
𝑑𝑡
A equação 𝜏 =
𝑑𝐿
𝑑𝑡
* é válida quando as origens de 𝜏 e 𝐿 forem as mesmas
* é válida quando 𝜏𝑟𝑒𝑠
Sistema não isolado
Sistema de partículas
𝐿𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝐿1 + 𝐿2 +⋯+ 𝐿𝑛 = ෍
𝑖=1
𝑛
𝐿𝑛
𝐿𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 só pode variar com o tempo se houver 𝜏𝑟𝑒𝑠 externo
෍𝜏𝑒𝑥𝑡 =෍
𝑖=1
𝑛
𝑑𝐿𝑖
𝑑𝑡
=
𝑑 σ𝐿𝑖
𝑑𝑡
=
𝑑𝐿𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
𝑑𝑡
෍𝜏𝑒𝑥𝑡 =
𝑑𝐿𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
𝑑𝑡
෍𝐹𝑒𝑥𝑡 =
𝑑𝑝𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
𝑑𝑡
* este resultado é válido para partículas (sistemas) que modificam suas posições entre si (# 
corpo rígido)
Corpo rígido
cada partícula 𝑚𝑖 descreve uma trajetória circular de raio 𝑟𝑖 com 𝑣𝑖
→ 𝐿𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙= ෍
𝑖=1
𝑛
𝑚𝑖𝑣𝑖𝑟𝑖
Se 𝐿 = 𝑚𝑣𝑟
𝑣𝑖 = 𝑟𝑖 𝜔
→ 𝐿𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙= ෍
𝑖=1
𝑛
𝑚𝑖 𝑟𝑖
2𝜔
𝐼
→ 𝐿 = 𝐼 𝜔 𝑝 = 𝑚 𝑣
Sistema isolado
2.3 Conservação do momento angular
O momento angular total de um sistema é constante, tanto em módulo quanto em direção, se o torque externo resultante que atua sobre o sistema for zero, ou seja, se o sistema for isolado
Sistema de partículas
෍𝜏𝑒𝑥𝑡 =
𝑑𝐿𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
𝑑𝑡
= 0
→ 𝜏𝑒𝑥𝑡 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 = 0
→ 𝐿𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑐𝑡𝑒
Logo 𝐿𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙,𝑖 = 𝐿𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙,𝑓
• energia total
• momento linear
• momento angular
Sistema isolado → se conservam
Corpo rígido ou não
Corpo rígido → 𝐿 = 𝐼𝜔 se 𝜏𝑒𝑥𝑡 = 0
→ 𝐿 = 𝑐𝑡𝑒 → 𝐼𝜔 = 𝑐𝑡𝑒
* Patinador no gelo → σ𝜏𝑒𝑥𝑡 = 0
Mas continua a girar? Pq?
Como σ𝜏𝑒𝑥𝑡 = 0 → 𝐿 = 𝐼𝜔 = 𝑐𝑡𝑒
O que acontece quando encolhe mãos e pés? ↑ 𝜔
Logo 𝐼𝑖𝜔𝑖 = 𝐼𝑓𝜔𝑓 → ↑ 𝜔𝑓 pq 𝐼𝑓 ↓
A hélice da turbina de um motor possui momento de inércia 𝐼 = 2,5 𝑘𝑔.𝑚2 em torno do
eixo de rotação. Quando a turbina começa a girar sua velocidade angular em função do
tempo é dada por
𝜔 = 40 𝑡2 ( ൗ𝑟𝑎𝑑 𝑠)
a) Calcule o momento angular da hélice em função do tempo e encontre seu valor no
instante 𝑡 = 3,0𝑠.
b) Determine o torque resultante que atua sobre a hélice em função do tempo e calcule
seu valor para 𝑡 = 3,0𝑠.
𝐿 = 𝐼𝜔 →
𝜔 = 40 𝑡2 e 𝐼 = 2,5 𝑘𝑔.𝑚2
a) 𝐿 = 2,5. 40 𝑡2 = 100𝑡2
p/ 𝑡 = 3,0𝑠 → 𝐿 = 100 𝑡2 = 100(3)2= 900 (𝑘𝑔. ൗ𝑚
2
𝑠)
𝐿 = 𝐼𝜔 →b) 𝐿 = 100𝑡2
p/ 𝑡 = 3,0𝑠 → 𝜏 = 200 𝑡 = 200 3 = 600 (𝑁.𝑚)
𝜏 =
𝑑𝐿
𝑑𝑡
e
𝜏 =
𝑑𝐿
𝑑𝑡
→ 𝜏 =
𝑑𝐿
𝑑𝑡
= 200 𝑡 𝑘𝑔. ൗ𝑚
2
𝑠2 (𝑁.𝑚)
𝛼 =
𝑑𝜔
𝑑𝑡
=
𝑑(40 𝑡2)
𝑑𝑡
= 80 𝑡 → 𝜏 = 𝐼𝛼 → 𝜏 = 2,5.80𝑡 = 200 𝑡
A figura abaixo apresenta dois discos, o A é o volante de um motor e o B é um disco
ligado a um eixo de transmissão. Seus momentos de inércia são 𝐼𝐴 e 𝐼𝐵. Inicialmente eles
estão girando com velocidades angulares 𝜔𝐴 e 𝜔𝐵. Na sequência os 2 discos são
empurrados ao mesmo tempo com as forças atuando ao longo do eixo de rotação e então
os 2 discos se deslocam unidos e acabam atingindo a mesma velocidade angular final 𝜔.
Deduza uma expressão para 𝜔.
𝐼𝐴𝜔𝐴 + 𝐼𝐵𝜔𝐵 = 𝐼𝐴 + 𝐼𝐵 𝜔
𝐿𝐴𝑖 + 𝐿𝐵𝑖 = 𝐿𝐴𝑓 + 𝐿𝐵𝑓
𝐼𝐴𝜔𝐴 + 𝐼𝐵𝜔𝐵 = 𝐼𝐴𝜔 + 𝐼𝐵𝜔
Todas as 𝜔 apontam na mesma direção→ 𝑚𝑒𝑠𝑚𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑟𝑜𝑡𝑎çã𝑜
𝐿𝑖 = 𝐿𝑓
↓
𝐿 = 𝐼𝜔
𝜔 =
𝐼𝐴𝜔𝐴 + 𝐼𝐵𝜔𝐵
𝐼𝐴 + 𝐼𝐵
similar ao que ocorre na coli𝑠ã𝑜 𝑖𝑛𝑒𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑛𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 → 𝑝 = 𝑚𝑣 𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎 𝑒 𝑎 𝐸𝐶 ↓
Com relação ao exemplo anterior suponha que o disco A tenha massa de 2,0 kg, um raio
de 0,20m e uma velocidade angular de 50 rad/s. O disco B tem massa de 4,0 kg, raio de
0,10 m e uma velocidade angular de 200 rad/s. Calcule a velocidade angular final dos
discos depois do contato. A energia cinética se conserva durante esse processo?
𝜔 = 100 ൗ𝑟𝑎𝑑 𝑠
𝐸𝐶𝑅 =
1
2
𝐼𝜔2
𝐸𝐶𝑅𝑖 = 450 𝐽 𝐸𝐶𝑅𝑓 = 300 𝐽
coli𝑠ã𝑜 𝑖𝑛𝑒𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑛𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 → 𝑝 = 𝑚𝑣 𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎 𝑒 𝑎 𝐸𝐶 ↓
1
3
𝑑𝑎 𝐸𝐶𝑅 𝑠𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑑𝑒𝑢 𝑑𝑢𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝑐𝑜𝑙𝑖𝑠ã𝑜 𝑑𝑜𝑠 2 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠
→ 𝑓𝑜𝑟ç𝑎𝑠 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑠 𝑛ã𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠 (𝑎𝑡𝑟𝑖𝑡𝑜)
𝐿 = 𝐼𝜔 𝜔 =
𝐼𝐴𝜔𝐴 + 𝐼𝐵𝜔𝐵
𝐼𝐴 + 𝐼𝐵