POSTAGEM_2_PEVAE

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LICENCIATURA EM MATEMÁTICA 
 
 
PRÁTICA DE ENSINO : VIVÊNCIA NO AMBIENTE EDUCATIVO 
(PE: VAE) 
 
 
 
 
 
 
POSTAGEM 2 : ATIVIDADE 2 
 
SEQUÊNCIA DIDÁTICA 
 
 
 
 
 
 
 
LUIZ FELIPE SOUZA DA SILVA - RA: 1888680 
 
 
 
 
 
ACRELÂNDIA – AC 
2020 
IDENTIFICAÇÃO 
 
Nível de Ensino / Turma : 1° ano do ensino médio 
Disciplina : Matemática 
Tema da Aula : Progressão Aritmética – PA 
Quantidade de Aulas : 05 aulas 
 
AULA 01 
1 IDENTIFICAÇÃO 
Nível de Ensino /Turma : 1° ano do ensino médio 
Disciplina : Matemática 
Tema da Aula : Progressão Aritmética - PA 
Duração da Aula : 45 minutos 
 
2 CONTEÚDOS 
▪ definição de PA. 
▪ PA crescente, decrescente e constante. 
▪ razão da PA. 
 
3 OBJETIVOS 
▪ Definir PA ; 
▪ Classificar uma PA em crescente, decrescente ou constante; 
▪ Identificar uma PA entre sequências numéricas, bem como a sua razão. 
 
4 RECURSOS 
 Material impresso, quadro branco, pincel e apagador. 
 
5 ETAPAS DA AULA 
5.1 Introdução ao Tema 
Fazer alguns questionamentos sobre o tema, de modo a levantar informações 
acerca dos conhecimentos prévios dos alunos, bem como instigar a reflexão e o 
raciocínio. 
— Alguém sabe dizer o que é sequência? Resposta esperada: sucessão ordenada de 
elementos em um determinado conjunto (Ex.: nomes dos alunos na ficha de chamada 
do professor ;meses do ano no calendário ;dias da semana ;etc.) 
— E sequência numérica? Resposta esperada: conjunto de números que segue uma 
determinada ordem pré-estabelecida. (Obs.: lembrar o fato de que uma sequência 
numérica pode ou não ser finita.) 
— O que é progressão? Reposta esperada: evolução, continuação dos estágios de 
um processo. 
 
 
Apresentar as seguintes situações, anotadas no quadro: 
 
— (DANTE, 2010,p.297) Uma empresa, em 2009, 100 000 unidades de certo produto. 
Quantas unidades produzirá, anualmente, de 2009 a 2014, se o aumento anual de 
produção for estabelecido em 20 000 unidades? 
— Um motociclista fez uma viagem de uma cidade para outra, que durou sete horas. 
Na primeira hora ele percorreu 120 Km, na segunda hora ele percorreu 110 Km, na 
terceira, 100 Km, e assim por diante até ao final da viagem. Quantos quilômetros ele 
percorreu quinta hora de viagem? E na última hora? Descreva a sequência numérica 
que representa esta situação. 
 
Estipular um tempo para debater as situações e, em seguida, explicar que estes 
problemas tratam de progressão aritmética, um conceito bastante útil em diversas 
situações práticas. 
 
5.2 Desenvolvimento da Aula 
Começar com a resolução dos problemas propostos inicialmente : 
— (DANTE, 2010,p.297) Uma empresa, em 2009, 100 000 unidades de certo produto. 
Quantas unidades produzirá, anualmente, de 2009 a 2014, se o aumento anual de 
produção for estabelecido em 20 000 unidades? 
Esquematizamos o problema da seguinte forma: 
- produção em 2009 = 100 000 
- produção em 2010 = (produção em 2009) + 20 000 = 100 000 + 20 000 = 120 000 
- produção em 2011 = (produção em 2010) + 20 000 = 120 000 + 20 000 = 140 000 
- produção em 2012 = (produção em 2011) + 20 000 = 140 000 + 20 000 = 160 000 
- produção em 2013 = (produção em 2012) + 20 000 = 160 000 + 20 000 = 180 000 
- produção em 2014 = (produção em 2013) + 20 000 = 180 000 + 20 000 = 200 000 
Nessas condições, a produção anual nesse período será representada pela 
sequência : 
(100 000, 120 000, 140 000, 160 000, 180 000, 200 000) 
Notamos que, nessa sequência, cada termo, a partir do segundo, é obtido da 
soma do anterior a um número fixo (20 000, neste caso). Ou seja, a produção sofreu 
aumentos iguais de 20 000 unidades, em intervalos de tempo iguais de 1 ano. 
Sequências desse tipo são chamadas de progressões aritméticas. Observe que 
a diferença entre cada termo e o termo anterior é constante (20 000 unidades nessa 
sequência). 
A sequência (100 000, 120 000, 140 000, 160 000, 180 000, 200 000) é um 
exemplo de progressão aritmética. O aumento de cada termo para o seguinte é 
sempre o mesmo e é chamado de razão da progressão. A razão dessa progressão é 
20 000. Dizemos que os termos dessa sequência estão em progressão aritmética. 
Em seguida, propor aos alunos que tentem solucionar o segundo problema, 
intervindo somente se for necessário, que indiquem se a sequência é uma PA e, se 
for, qual a sua razão. O objetivo aqui é que eles percebam que, nessa sequência, os 
valores vão diminuindo e que a razão é negativa (r < 0). 
Definição de Progressão aritmética (PA): 
Progressão aritmética (PA) é toda sequência de números na qual a diferença entre 
cada termo (a partir do segundo) e o termo anterior é constante. Essa diferença 
constante é chamada razão da progressão e é representada pela letra r. 
Pedir que os alunos anotem duas observações importantes: 
( DANTE, 2010,p.298) : 
1 a) Notamos então que, de modo geral, uma sequência (a 1, a 2, a 3, a 4, ..., a n, ...) é 
uma PA quando: 
a2 = a1 + r ——> a2 - a1 = r 
a3 = a2 + r ——> a3 - a2 = r 
a4 = a3 + r ——> a4 - a3 = r 
... 
a n = a n – 1 + r ——> a n – a n – 1 = r 
Comparando, temos: 
a2 - a1 = a3 - a2 = a4 - a3 = ... = a n – a n – 1 = ... = r 
 
2 a) Da definição decorre que, se a r, a s e a p são termos consecutivo de uma PA, 
então : 
a s – a r = a p – a s ——> 2a s = a r + a p ——> a s = (a r + a p)/ 2 
Ou seja, dados três termos consecutivos de uma progressão aritmética, o termo do 
meio é a média aritmética dos outros dois. 
Após isso, pedir que eles construam três PAs, seguindo a restrições a seguir 
(diga que a escolha do valor do termo inicial e da razão fica a critério de cada aluno). 
A) Escreva uma PA finita de 12 termos com r < 0. 
B) Escreva uma PA finita de 12 termos com r = 0. 
C) Escreva uma PA finita de 12 termos com r > 0. 
Fazer estas indagações : 
— O que podemos perceber nestas sequências? 
— O que acontece com o valor dos termos da primeira progressão? E com os 
segunda? E com os da terceira? 
Explicar que a progressão da letra A, assim como qualquer uma com razão 
menor que zero, é decrescente . A da letra B é chamada de constante ou estacionária, 
com razão igual a zero e a da letra C é chamada de PA crescente, pois a razão maior 
do que zero faz com que os valores aumentem regularmente a cada termo. 
 
5.3 Atividades para os Estudantes 
(Atividades individuais impressas) 
1) Questão 17 ( DANTE, 2010,p.299). Verifique se a sequência dada é uma PA 
e, se for, dê o valor da razão r. 
a) (2, 5, 8, 11, 14) e) (1, 1+\/¯3, 1+2\/¯3, 1+3\/¯3) 
b) (15, 10, 5, 0, - 5) f) (1/2, 2/3, 3/4) 
c) (2, 3, 5, 7) g) (a – 1, a – 1/2, a) 
d) (1, 4/3, 5/3, 2) h) (x - 5y, x - 2y, x + y, x + 4y) 
 
2) Dadas as PAs abaixo, classifique-as como crescente, decrescente ou 
constante. 
a) (-10, - 6, - 2, 2, 6, 10, ...) e) (-1/2, 0, 1/2, 1, 3/2, 2, ...) 
b) (5, 5, 5, 5, 5, 5) 
c) (b+2, b+5, b+8, b+11, b+14) 
d) (x+1, x-3, x-7, x-11, ...) 
 
3) Um ciclista fez um trajeto da seguinte forma: no primeiro dia ele percorreu 8 Km 
e, no terceiro, 14 Km. Sabendo que estes valores estão em PA, quantos 
quilômetros o ciclista percorreu no sexto e último dia do seu trajeto? Quantos 
quilômetros a mais do que no dia anterior ele percorreu a cada dia? Determine 
a PA que representa este percurso. 
Obs.: O objetivo é que eles utilizem o fato de que o termo do meio, de três 
termos consecutivos, é a média aritmética dos outros dois, para descobrir o valor 
do segundo dia de percurso do ciclista, podendo assim obter, em seguida, o valor 
da razão, para então descrever a PA. 
 
Atividade para casa, para preparar o tema da próxima aula, termo geral da 
PA: 
Um pai disse que abrirá uma conta poupança para seu filho, e que 
depositará 40 reais no primeiro mês, 50 no segundo, 60 no terceiro e assim por 
diante, por dois anos. Quantos reais ele depositará no 20° mês? (pedir, 
principalmente, que relatem a estratégia utilizada poreles para chegar ao 
resultado, independentemente de o valor estar ou não correto) 
 
6 AVALIAÇÃO 
Será feita através da correção das atividades individuais e por diálogo informal 
sobre o tema. 
 
7 FONTES/ REFERÊNCIAS 
 
DANTE, LUIZ Roberto. Matemática: Contexto e Aplicações. 1.ed. São Paulo: Ática, 
2010. v. 1. 
 
 
 
 
 
AULA 02 
 
1 IDENTIFICAÇÃO 
Nível de Ensino /Turma : 1° ano do ensino médio 
Disciplina : Matemática 
Tema da Aula : Progressão Aritmética - PA 
Duração da Aula : 45 minutos 
 
2 CONTEÚDOS 
▪ termo geral da PA. 
▪ fórmula do termo geral da PA. 
3 OBJETIVOS 
▪ Compreender o que é o termo geral da PA; 
▪ Conhecer a fórmula do termo geral da PA; 
▪ Discutir a fórmula do termo geral da PA. 
4 RECURSOS 
 Quadro branco, pincéis e apagador. 
 
5 ETAPAS DA AULA 
5.1 Introdução ao Tema 
Trazer a atividade de casa da aula anterior para uma discussão sobre os 
métodos de resolução empregados pelos alunos. Copiá-la no quadro e pedir a eles 
que relatem os procedimentos utilizados. 
Um pai disse que abrirá uma conta poupança para seu filho, e que depositará 
40 reais no primeiro mês, 50 no segundo, 60 no terceiro e assim por diante, por dois 
anos. Quantos reais ele depositará no 20° mês? 
— você conseguiu chegar a um resultado? 
— Quais estratégias usou? 
— Quais dificuldades você encontrou? Conseguiu superá-las? Como? 
Estabelecer um espaço para o debate organizado acerca destas questões. Em 
seguida expor que o problema descrito acima, assim como outros parecidos, é um 
caso onde, para solucioná-lo, podemos utilizar a técnica matemática chamada 
fórmula do termo geral da PA, e que este será o assunto desta aula. 
 
5.2 Desenvolvimento da Aula 
Iniciar questionando sobre o que seria, para eles, termo geral da PA, pedindo 
que expliquem e defendam suas ideias, na tentativa de fazer com que eles se 
expressem a respeito, e para estimular o posicionamento deles quanto aos seus 
pontos de vista. A seguir anotar no quadro, e pedir que copiem, o descrito abaixo: 
(Dante, 2010, p.300) Em uma PA (a 1, a 2, a 3, ..., a n, ...) de razão r, partindo 
do 1° termo, para avançar um termo basta somar r ao 1° termo (a 2 = a 1 + r); para 
avançar dois termos basta somar 2r ao 1° termo (a 3 = a 1 + 2r); para avançar três 
termos basta somar 3r ao 1° termo (a 4 = a 1 + 3r), e assim por diante. Desse modo 
encontramos o termo de ordem n, denominado termo geral da PA, que é dado por: 
 
a n = a 1 + (n – 1)r 
(ao passar de a 1 para a n, avançamos (n – 1) termos, ou 
seja, basta somar (n – 1) vezes a razão ao 1° termo) 
Nessa fórmula temos: 
a n = termo geral 
a 1 = 1 o termo 
n = número de termos (até a n) 
r = razão da PA 
 
 Empregar algumas questões para debater o significado dos termos da fórmula. 
— Qual o significado do (n – 1) na equação? O que ele representa? 
 Espera-se que eles percebam que o (n – 1) representa a diferença entre as 
posições do termo a n e do termo a 1. 
— Por qual motivo multiplicamos o número de termos que avançamos numa PA pela 
razão r, e somamos ao 1 o termo, para encontrar um termo qualquer? Tente 
representar matematicamente a sua resposta. 
 O objetivo é que os alunos se esforcem para formular uma resposta baseada 
em princípios matemáticos, e não apenas em uma opinião pessoal. Caso necessário 
ajudá-los a desenvolver seu raciocínio, explicando da seguinte forma : 
1 o termo: a 1 
2 o termo: a 2 = a 1 + r 
3 o termo: a 3 = a 2 + r ——> a 3 = (a 1 + r) +r ——> a 3 = a 1 + 2r 
4 o termo: a 4 = a 3 + r ——> a 4 = (a 1 + 2r) + r ——> a 4 = a 1 + 3r 
 ... ... ... ... 
 Podemos perceber que, ao avançar uma determinada quantidade de termos 
(n), o valor do termo que estamos considerando sempre é a soma do valor do primeiro 
termo com o produto da razão r pela quantidade de termos avançados (n – 1). 
 
— Se eu tiver o valor do termo a 12 e da razão r de uma PA, e quiser saber o valor do 
termo a 5, como eu faço para encontrá-lo utilizando a fórmula do termo geral? (obs.: 
fazê-los perceber que a fórmula pode ser modificada para atender a essa demanda 
sem perder sua essência ou estrutura, mas apenas mudando a maneira de 
representação de seus termos.) 
 Colocar a seguinte observação feita por Dante (2010, p.300): 
1) Note que a 9 = a 4 + 5r, pois, ao passar de a 4 para a 9, avançamos cinco termos; 
a 3 = a 15 - 12r, pois retrocedemos 12 termos ao passar de a 15 para a 3 ; e assim 
por diante. 
Agora podemos estender a definição do termo geral para: 
a n = a k + (n – k) r (ao passar de a k para a n, avançamos (n – k) termos, 
ou seja, basta somar (n – k) vezes a razão ao k o 
termo) 
5.3 Atividades para os Estudantes 
 Dante (2010, p.304), exercícios 24, 25, 26 e 27, respectivamente. 
1) Qual é a fórmula do termo geral da sequência dos números pares positivos? 
2) Qual é o 50 o número ímpar positivo? 
3) Calcule o 1 o termo da PA: 
a) de razão r = 3 sabendo que a 7 = 21; 
b) em que a 12 = - 29 e r = - 4. 
 4) Numa PA na qual o 20 o termo é 157 e o 1 o termo é 5, calcule a razão. 
 
6 AVALIAÇÃO 
 Participação nas discussões da aula e correção das atividades individuais. 
 
7 FONTES / REFERÊNCIAS 
DANTE, LUIZ Roberto. Matemática: Contexto e Aplicações. 1.ed. São Paulo: Ática, 
2010. v. 1. 
 
AULA 03 
 
1 IDENTIFICAÇÃO 
Nível de Ensino /Turma : 1° ano do ensino médio 
Disciplina : Matemática 
Tema da Aula: Progressão Aritmética – PA 
Duração da Aula : 45 minutos 
 
2 CONTEÚDOS 
▪ fórmula do termo geral da PA. 
▪ interpolação aritmética. 
3 OBJETIVOS 
▪ Praticar a manipulação da fórmula do termo geral da PA; 
▪ Compreender o que é interpolação aritmética; 
▪ Empregar a fórmula do termo geral da PA na interpolação aritmética. 
 
4 RECURSOS 
 Quadro branco, pincéis, apagador e material impresso. 
 
5 ETAPAS DA AULA 
5.1 Introdução ao Tema 
Antes de iniciar as discussões acerca de interpolação aritmética, trazer uma 
outra observação, a respeito do conteúdo da aula anterior, feita por Dante (2010), e, 
em seguida, propor o seguinte problema : 
(Dante, 2010, p.305) No primeiro semestre de um dado ano, a produção mensal 
de uma montadora está em PA crescente. Em janeiro, a produção foi de 18 000 carros 
e, em junho, de 78 000 unidades. Qual foi a produção dessa montadora nos meses 
de fevereiro, março, abril e maio? 
Pedir que formem duplas e debatam sobre como resolver essa situação. 
Acrescentar ainda : E se a montadora tivesse produzido 78 000 carros somente em 
novembro, sendo o período considerado de produção, ao invés de seis, onze meses, 
a produção mensal mudaria? Por quê? 
Estipular um tempo dedicado ao debate realizado entre as duplas e, logo após, 
discutir o assunto com toda a classe em conjunto, expondo que se trata de um 
problema de interpolação aritmética, que significa inserção de números entre os dois 
extremos, formando uma PA, com a razão r tendo seu valor modificado pela 
quantidade de meios aritméticos inseridos entre os extremos. 
 
5.2 Desenvolvimento da Aula 
 Inicialmente colocar o seguinte: 
Dante (2010, p.300) Observe a PA finita (a 1, a 2, a 3, a 4). Nela, os termos a 2 e a 3 são 
equidistantes dos extremos a 1 e a 4. Veja: 
a 2 + a 3 = a 1 + r + a 3 = a 1 + a 3 + r = a 1 + a 4 
Isso é válido de modo geral e dizemos que, numa PA finita, a soma de dois termos 
equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos. 
Generalizando, temos que a m + a n = a k + a p , se m + n = k + p. 
Consequentemente, tomando-se três termos consecutivos (..., a k – 1, a k, a k + 1, ...), 
temos que 2a k = a k – 1 + a k + 1, pois k + k = k – 1 + k +1. Isso significa o termo central 
é a média aritmética dos seus vizinhos: a k = (a k – 1 + a k +1)/2. 
Reforçar, caso haja alguma dificuldade de compreensão, que m, n, k e p se 
referem às posições dos termos da PA, e que se a soma das posições forem iguais, 
a soma dos termos também será.Exemplo: 
Na PA finita (2, 4, 6, 8, 10, 12) temos que a 1 = 2; a 2 = 4; a 3 = 6; a 4 = 8; a 5 = 
10 e a 6 = 12. Considerando m = 3, n = 4, k = 1 e p = 6, temos: m + n = k + p ➔ 3+4 
= 1+6 ➔ 7 = 7. Assim temos que a m + a n = a k + a p ➔ 6+8 = 2+12 ➔ 14 = 14, o que 
é verdadeiro. Isso é válido para toda PA finita. 
Após essa ressalva, retornar ao problema da montadora de carros, sobre a 
interpolação aritmética. 
(Dante, 2010, p.305) No primeiro semestre de um dado ano, a produção mensal 
de uma montadora está em PA crescente. Em janeiro, a produção foi de 18 000 carros 
e, em junho, de 78 000 unidades. Qual foi a produção dessa montadora nos meses 
de fevereiro, março, abril e maio? 
Nessas condições, o problema consiste em formar uma PA na qual: 
a 1 = produção de janeiro = 18 000 
a n = produção de junho = 78 000 ➔ (18 000, ____, ____, ____, ____, 78 000) 
n = 6 
Devemos inicialmente calcular o valor da razão r: 
a n = a 1 + (n – 1)r ➔ 78 000 = 18 000 + 5r ➔ 5r = 60 000 ➔ r = 12 000 
 Então, teremos: 
a 2 = produção de fevereiro = 30 000 
a 3 = produção de março = 42 000 
a 4 = produção de abril = 54 000 
a 5 = produção de maio = 66 000 
➔ (18 000, 30 000, 42 000, 54 000, 66 000, 78 000) 
 Na realidade, o que fizemos foi inserir ou interpolar quatro meios aritméticos 
entre 18 000 e 78 000. 
É importante salientar que o n se refere ao total de termos da PA, ou seja, os 
dois termos dados (os extremos) mais a quantidade que será interpolada, nesse caso 
quatro (fevereiro, março, abril e maio). 
Quanto aos questionamentos extras, feitos na introdução ao tema , utilizando o 
mesmo procedimento acima descrito podemos chegar aos resultados, constatando 
que quanto mais termos interpolarmos entre os dois extremos, menor será o módulo 
do valor da razão r na PA. No caso da montadora, o aumento da produção mensal cai 
de 12 000, considerando o período semestral, para 6 000 unidades, considerando o 
período de onze meses , como descrito na questão. 
 
5.3 Atividades para os Estudantes 
Seguindo os objetivos propostos para essa aula, serão passados aos alunos, 
adaptados na forma de atividades, alguns exemplos utilizados por Dante (2010) para 
tratar da fórmula do termo geral de uma PA. Eles são o primeiro, o terceiro, o quinto, 
o sexto (p. 301), o oitavo (p. 302), o décimo terceiro e o décimo quinto (p. 304), além 
das atividades 35, 36 e 37 (p. 306). Apresentá-las como material impresso, para que 
se poupe um pouco de tempo. 
 Atividades : 
1) Encontre o termo geral da PA (5, 9, ...). 
2) Em uma progressão aritmética, o décimo termo é – 3 e o décimo segundo é 11. 
Quanto vale o sétimo termo dessa progressão? 
3) Numa PA de 14 termos, o primeiro termo é 2 e o último é 28. Calcule a razão 
dessa PA. 
4) Quantos elementos tem a PA finita (-2, 3, ..., 43)? 
5) Numa PA crescente, a 2 + a 6 = 20 e a 4 + a 9 = 35. Determine o 1 o termo, a 1, 
e a razão r dessa PA. 
6) Determine quantos são os múltiplos de 5 compreendidos entre 101 e 999. 
7) Se a 10 + a 30 = 36, determine o valor de: 
 a) a 15 + a 25 b) a 20 
8) Insira 7 meios aritméticos entre 20 e 68. 
9) Quantos meios aritméticos devemos inserir entre 5 e 53 de modo que a 
sequência obtida tenha r = 8? 
10) Qual é a razão da PA que se obtém inserindo 10 termos entre os números 3 e 
25? 
 
6 AVALIAÇÃO 
 Correção das atividades individuais, a discussão sobre o problema proposto e 
a interação com os colegas. 
 
7 FONTES / REFERÊNCIAS 
DANTE, LUIZ Roberto. Matemática: Contexto e Aplicações. 1.ed. São Paulo: Ática, 
2010. v. 1. 
 
 
 
 
AULA 04 
 
1 IDENTIFICAÇÃO 
Nível de Ensino /Turma : 1° ano do ensino médio 
Disciplina : Matemática 
Tema da Aula : Progressão Aritmética – PA 
Duração da Aula : 45 minutos 
 
2 CONTEÚDOS 
▪ soma dos termos de uma PA. 
▪ fórmula da soma dos termos de uma PA finita. 
 
3 OBJETIVOS 
▪ Debater sobre a soma dos termos de uma PA; 
▪ Discutir a fórmula da soma dos termos de uma PA finita; 
▪ Calcular a soma dos termos de uma PA finita pela fórmula. 
 
4 RECURSOS 
 Quadro branco, pincéis, apagador e equipamento para projeção de slides. 
 
5 ETAPAS DA AULA 
5.1 Introdução ao Tema 
(Dante, 2010, p. 306) Na tabela abaixo está demonstrada a produção anual de 
uma empresa num certo período: 
Ano 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 
Produção 
(em 
unidades) 
10 000 12 000 14 000 16 000 18 000 20 000 22 000 24 000 
 
Quantas unidades a empresa produziu de 2003 a 2010? 
 
Esperar que façam a operação, afinal não há muitas parcelas, tornando a soma 
pouco trabalhosa e de fácil resolução pelo método convencional, o que deve ser a 
estratégia inicial deles. Após isso, verificar os métodos empregados pelos alunos e 
pedir, agora, que somem todos os números de 1 a 100, com o intuito de desafiá-los a 
sair da zona de conforto, colocando as seguintes perguntas: 
— Como resolver esse problema? 
— E se fosse para somar os números de 1 a 1 000? 
— Será que podemos utilizar os conceitos de progressão aritmética para alcançar o 
resultado? 
 Abrir espaço para que os alunos exponham suas ideias e debatam a respeito. 
Caso seja necessário, pedir expliquem e defendam seus pontos de vista. 
 
5.2 Desenvolvimento da Aula 
Preparar com antecedência e apresentar durante a aula um slide breve, 
contando um pouco da história de Karl Friedrich Gauss, porém ressaltando mais sobre 
a fórmula da soma dos termos de uma PA finita, sempre fazendo algumas pausas 
para sanar as dúvidas e explicar o raciocínio empregado por Gauss ao efetuar a soma 
em questão. 
Após descrever o processo pelo qual Gauss calculou a referida soma, 
relembrar a afirmação de que a soma de dois termos equidistantes dos extremos é 
igual à dos extremos a m + a n = a k + a p. 
Pedir que anotem a fórmula S n = [(a 1 + a n) n] / 2, que permite calcular a soma 
dos n primeiros termos de uma PA, bem como o procedimento pelo qual foi possível 
chegar a ela. Depois trabalhar o primeiro e o terceiro exemplos descritos em Dante 
(2010, p. 308): 
I. Vamos retomar o problema sobre a produção de uma empresa, citado na 
página 306, e resolvê-lo agora aplicando a fórmula da soma dos termos de uma 
PA finita. 
Sabemos que a produção anual nesse período é uma PA na qual a 1 = 10 000, 
r = 2 000, n = 8 e a n = a 8 = 24 000. 
Aplicando a fórmula: 
S n = [n (a 1 + a n)] / 2 = [8 (10 000 + 24 000)] / 2 = 136 000 
Logo, no período de 2003 a 2010 a empresa produziu 136 000 unidades. 
II. Vamos calcular a soma dos primeiros n números ímpares (1, 3, 5, 7, ..., 2n – 1, 
...), n ∈ IN*: 
S n = [n (a 1 + a n)] / 2 = [ (1 + 2n – 1) n] / 2 = (2n 2) / 2 = n 2 
Portanto, a soma dos n primeiros números ímpares é igual a n 2. 
 
5.3 Atividades para os Estudantes 
— Dante (2010), atividades de número 41, 42, 46 (p.310) e 47 (p.311), 
respectivamente : 
1. Calcule a soma: 
a) dos trinta primeiros termos da PA (4, 10, ...) ; 
b) dos vinte primeiros termos de uma PA em que o 1° termo é a 1 = 17 e r =4; 
c) dos 200 primeiros números pares positivos ; 
d) dos 50 primeiros múltiplos positivos de 5; 
e) de todos os múltiplos de 7 que tenham três algarismos ; 
f) dos n primeiros números pares positivos. 
2. Ao se efetuar a soma das 50 primeiras parcelas da PA (202, 206, ...), por distração 
 não se somou a 35 a parcela. Qual foi a soma encontrada? 
3. Numa PA, a 3 + a 6 = 34 e a 4 + a 9 = 50. Calcule a soma dos 20 primeiros termos 
 dessa PA. 
4. Sabe-se que, numa PA, a 1 + a n = n. Calcule a soma dos n termos dessa PA. 
 
6 AVALIAÇÃO 
 Correção das atividades e participação na aula. 
 
7 FONTES / REFERÊNCIAS 
DANTE, LUIZ Roberto. Matemática: Contexto e Aplicações. 1.ed. São Paulo: Ática, 
2010. v. 1. 
 
 
 
 
 
 
AULA 05 
 
1 IDENTIFICAÇÃO 
Nível de Ensino /Turma : 1° ano do ensino médio 
Disciplina : Matemática 
Tema da Aula : Progressão Aritmética - PA 
Duração da Aula : 45minutos 
 
2 CONTEÚDOS 
▪ problemas envolvendo PA. 
3 OBJETIVOS 
▪ Localizar dados relevantes para a resolução dos problemas; 
▪ Aplicar os conhecimentos matemáticos adequados na resolução dos 
problemas; 
▪ Debater ideias e pontos de vista acerca dos problemas apresentados. 
4 RECURSOS 
 Quadro branco, pincéis, apagador e material impresso. 
5 ETAPAS DA AULA 
5.1 Introdução ao Tema 
Dispor para uma discussão o seguinte problema, o de número 10, retratado por 
Dante (2010, p. 303): 
(Unicamp-modificado) A Anatel determina que as emissoras de rádio FM 
utilizem as frequências de 87,9 a 107,9 MHz, e que haja uma diferença de 0,2 MHz 
entre emissoras com frequências vizinhas. A cada emissora, identificada por sua 
frequência, é associado um canal, que é um número natural que começa em 200. 
Desta forma, à emissora cuja frequência é de 87,9 MHz corresponde o canal 200; à 
seguinte, cuja frequência é de 88,1 MHz, corresponde o canal 201, e assim por diante. 
Pergunta-se: Quantas emissoras FM podem funcionar [na mesma região], 
respeitando-se o intervalo de frequências permitido pela Anatel? 
Ler com os alunos e indagar se é possível, com os conhecimentos adquiridos 
até agora, chegar à resposta do problema e como fazer para chegar ao resultado. 
Perguntar ainda se eles são capazes de extrair informações úteis à resolução da 
questão, e como fazem para analisar um problema matemático. 
 
5.2 Desenvolvimento da Aula 
Após dar o passo inicial sobre o assunto, como exposto acima, seguir com a 
discussão, esclarecendo os passos para resolver um problema matemático. 
 
(Unicamp-modificado) A Anatel determina que as emissoras de rádio FM 
utilizem as frequências de 87,9 a 107,9 MHz, e que haja uma diferença de 0,2 MHz 
entre emissoras com frequências vizinhas. A cada emissora, identificada por sua 
frequência, é associado um canal, que é um número natural que começa em 200. 
Desta forma, à emissora cuja frequência é de 87,9 MHz corresponde o canal 200; à 
seguinte, cuja frequência é de 88,1 MHz, corresponde o canal 201, e assim por diante. 
Pergunta-se: Quantas emissoras FM podem funcionar [na mesma região], 
respeitando-se o intervalo de frequências permitido pela Anatel? 
 
1. Lendo e compreendendo 
a) O que é dado no problema? 
Informa-se o modo como as frequências são distribuídas entre as várias 
emissoras de rádio FM: 
“as emissoras de rádio FM usam frequências de 87,9 a 107,9 MHz, havendo 
uma diferença de 0,2 MHz entre emissoras com frequências vizinhas”. 
b) O que se pede? 
O número de emissoras FM que podem funcionar na mesma região, 
respeitando-se as regras da Anatel. 
2. Planejando a solução 
Como a diferença entre as frequências de duas emissoras consecutivas é 
constante, a sequência de valores das frequências caracteriza uma progressão 
aritmética. Dessa forma, podemos considerar cada frequência como um termo 
da sequência. Determinando o número de termos, saberemos a quantidade de 
frequências possíveis. 
3. Executando o que foi planejado 
A sequência (87,9; 88,1; 88,3; ...; 107,7; 107,9) é uma PA de razão 0,2 e a 1 = 
87,9. O termo de ordem n é a n = 107,9. 
Vamos usar o conceito de termo geral: Sabemos que a n = a 1 +(n – 1)r. 
Substituindo os valores, temos: 
107,9 = 87,9 + (n – 1) × 0,2 ➔ 20 = (n – 1) × 0,2 ➔ n – 1 = 20 / 0,2 =100 ➔ 
➔ n = 101 
4. Emitindo a resposta 
São 101 emissoras de rádio FM possíveis por região. 
5. Ampliando o problema 
a. (Unicamp) Qual o número do canal com maior frequência? 
b. (Unicamp) Os canais 200 e 285 são reservados para uso exclusivo das 
rádios comunitárias. Qual a frequência do canal 285, supondo que todas 
as frequências possíveis são utilizadas? 
c. Devido à falta de canais para uso das rádios comunitárias, o Governo 
Federal recentemente também abriu os canais 198 e 199 para esse fim. 
Qual é a frequência desse dois novos canais? 
d. Discussão em equipe 
Rádios comunitárias são rádios autorizadas pela Anatel, com alcance 
limitado a uma pequena região (alcance máximo de 1km), mantidas por 
fundações ou associações comunitárias sem fins lucrativos. Converse 
com seus colegas sobre a existência dessas rádios comunitárias. Elas 
são importantes no dia a dia de uma comunidade? Vocês conhecem 
alguma rádio comunitária? 
e. Pesquise 
O que significa Anatel? 
 
5.3 Atividades para os Estudantes 
Serão passadas as atividades abaixo, em material impresso, que 
deverão ser feitas em duplas, visando estimular o trabalho em equipe, a 
colaboração, o debate e as relações sociais, uma vez que o professor deverá 
montar as duplas com os alunos que menos se relacionam, socialmente, para 
que trabalhem juntos e criem laços sociais. 
 Após o término da atividade, propor uma discussão com a turma a 
respeito dos métodos de resolução que usaram e sobre a dificuldades 
encontradas no processo. 
 As atividades abaixo foram retiradas de Dante (2010, p.304, 305 e 311), 
exceto a de número 4. 
 
1) A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180°. Num 
triângulo, as medidas dos ângulos estão em PA e o menor desses ângulos 
mede 40°. Calcule as medidas dos outros dois ângulos. 
 
2) As medidas dos lados de um triângulo formam uma PA de razão 5. Determine 
as medidas dos lados desse triângulo. (Sugestão: utilize o teorema de 
Pitágoras para esquematizar o problema.) 
 
3) Um corpo caindo livremente (desprezando-se a resistência do ar) tem, no final 
do primeiro segundo, velocidade de 9,8 m/s; velocidade de 19,6 m/s no final do 
segundo seguinte; de 29,4 m/s no final do terceiro segundo; e assim por diante. 
Continuando nesse ritmo, qual será sua velocidade no final do décimo 
segundo? 
 
4) Seu João vai construir uma cerca retilínea em sua propriedade, com extensão 
de 600 metros. Querendo cortar os gastos desnecessários, ele resolveu 
comprar somente o número exato de estacas de que irá precisar, e ele já possui 
os dois mourões que serão colocados no início e no final da cerca. Sabendo 
que ele vai colocar uma estaca a cada cinco metros, quantas estacas seu João 
deverá comprar? Quanto pagará, já que cada uma custa 12 reais? Caso ele 
aumente a distância entre as estacas para seis metros, quantos reais 
economizará em sua compra? 
 
5) Uma escada maciça possui 10 degraus. Cada degrau é um paralelepípedo 
retângulo cujas dimensões são 50 cm de comprimento, 20 cm de largura e 10 
cm de altura. Qual é o volume dessa escada? 
 
6) (Osec-SP) Um jardim tem uma torneira e dez roseiras dispostas em linha reta. 
A torneira dista 50 m da primeira roseira e cada roseira dista 2 m da seguinte. 
Um jardineiro, para regar as roseiras, enche um balde na torneira e despeja 
seu conteúdo na primeira. Volta à torneira e repete a operação para cada 
roseira seguinte. Após regar a última roseira e voltar à torneira para deixar o 
balde, ele terá andado: 
a) 1 200 m. b) 1 180 m. c) 1 130 m. d) 1 110 m. 
e) 1 000 m. 
 
6 AVALIAÇÃO 
 Será feita pela correção da atividade em trios e também pela observação das 
interações ocorridas durante a sua realização. 
 
7 FONTES / REFERÊNCIAS 
 
DANTE, LUIZ Roberto. Matemática: Contexto e Aplicações. 1.ed. São Paulo: Ática, 
2010. v. 1.