Logaritmos: Um pouco de história e definição

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GOVERNO DO DISTRITO FEDERAL
SECRETARIA DE ESTADO DE
EDUCAÇÃO
COORDENAÇÃO REGIONAL DE ENSINO DO RECANTO DAS EMAS
CENTRO DE ENSINO MÉDIO 804 DO RECANTO DAS EMAS
Disciplina: Matemática Professor: André Vilarinho
Série: 2º ano – 2021- 2º Bimestre
Logaritmo
Um pouco de história
O aparecimento dos logaritmos ocorreu no início do século XVII, quando já era premente a necessidade de facilitar os
cálculos trigonométricos da astronomia e da navegação. A ideia básica era substituir operações complicadas, como multiplicação e
divisão, por operações mais simples, como adição e subtração.
Os primeiros inventores dos logaritmos foram o suíço Jobst Bürgi e o escocês John Napier, sujos trabalhos foram produzidos
independentemente um do outro. Os algoritmos foram reconhecidos como uma inversão realmente extraordinária, e teve um im
pacto decisivo no desenvolvimento científico e tecnológico. O astrônomo Kepler saudou essa inversão como uma bênção e empre
gou largamente o logaritmo nos cálculos que o levaram a descobrir sua 3ª lei planetária.
O que é logaritmo
A grande ideia foi escrever todos os números positivos em forma de potência de 10, ou como uma aproximação dessa
potência. OS múltiplos e submúltiplos é fácil verificação. Poe exemplo 1 =100 , 10 = 100 , 0,1 = 10-1 e 0,01=10-2 assim por diante.
Entretanto, na maioria dos casos ficava difícil encontrar para outros números como 2 por exemplo, então localizava sua
aproximação por falta até a 3ª casa decimal. Em 1617 um matemático inglês Henry Briggs publicou uma tábua dos logaritmos de 1
a 1000.
Bom voltado para um caso difícil o número 2 em potência de 10, com a ajuda da tábua podemos concluir que 2 = 100,301,
falamos que 0,301 é o logaritmo de 2 na base 10, indica-se: log102 = 0,301.
Definição
Sendo �� e �� números reais e positivos com �� ≠ 1 chama-se logaritmo de b na base a o expoente �� (�� ∈ ℝ) ao
qual se deve elevar a base a de modo que a potência ����seja igual a ��.
���������� = �� ⟺ ����= ��
Na expressão log���� = ��, temos:
• �� é a base do logaritmo (existe várias bases além de 10)
• �� é o logaritmando
• X é o logaritmo
Mas, tudo isso tem as condições de existência para os logaritmos. A base ��, 0 < �� ≠ 1 e para e para ��,
�� > 0. Também importante são as consequências que decorrem da definição de logaritmo:
• Caso 1: log��1 = 0, �������� ����= 1
• Caso 2: log���� = 1, �������� ��1 = ��
• Caso3: ��log����= ��, �������� log���� = �� ⟺ ����= ��
Atividade de Fixação
1- Usando a definição, calcule o valor dos seguintes logaritmos
a) log2 16 R.:2
4 = 16 ⇒ 4
b) log4 16 R.:4
2 = 16 ⇒ 2
c) log3 81 R.:3
4 = 81 ⇒ 4
d) log5 125 R.: =
𝐿𝑜𝑔 125
𝐿𝑜𝑔 3 4, 3949
2- Use a definição para calcular
a) log2
1
4 R.: -2
b) log3 √3 R.:
1
2
c) log8 16 R.:
4
3
3 – Suponha que o preço de um carro sofra uma desvalorização de 20% ao não. Depois de
quanto tempo, aproximadamente, seu preço cairá para cerca de metade do preço de um
carro novo? Use log2=0,30
4- Sendo 2 = 10
0,301
, 3 = 10
0,477
e 5 = 10
0,699
, determine o logaritmo decimal de:
a)36 R.: Log (3,6*10) log10 + log3,6 1+0,556 = 1,55603...⇒ ⇒
b) 30 R.: Log (3*10) log10 + log3 1+0,477=1,47712...⇒ ⇒
5- Resolva as equações logarítmicas, não esqueça que o valor encontrado tem de
satisfazer a condição de existência:
a) log2(x −4) = 3 R.: x-4=82
3 = 8⇒𝑙𝑜𝑔
2
(𝑥 − 4) = 𝑙𝑜𝑔
2
8 ⇒ ⇒
x=12
b) logx(3x
2
−x) = 2 R.: erro
6- Resolva as equações:
a) log5 x = 2 R.: 𝑥 = 5
2 ⇒ 𝑥 = 25
b) logx 243 = 5 R.: 3
5 = 243