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FISD36 –Física Geral Teórica I
Profs. Alanna Dutra e Carlos Vilar
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA
INSTITUTO DE FÍSICA
Depto de Física da Terra e do Meio Ambiente
Cinemática em uma dimensão 
e queda livre
O que veremos neste capítulo:
➢ O movimentos de objetos que se deslocam em linha reta, em uma dimensão;
➢ Os conceitos de posição, deslocamento e distância.
➢ Os vetores de posição, velocidade e aceleração de um objeto se deslocando em 
linha reta.
➢ Como computar a velocidade e a aceleração de objetos se deslocando em linha 
reta.
➢ A descrição matemática do movimento com aceleração constante.
➢ A queda livre sem a resistência do ar.
Posição
➢ Vetores de movimento unidimensional têm apenas 
uma componente, por hora a componente x
➢ Use o símbolo x para denotar o vetor posição
Nota: não colocamos setas em vetores 1D
• Todos os vetores posição são medidos em relação à origem do sistema de 
coordenadas, que pode ser escolhida arbitrariamente
• O vetor x pode ser positivo ou negativo (seu módulo, no entanto, é sempre 
positivo)
Exemplo: x= - 20,5 Km
➢ O vetor posição é uma função de tempo
Notação do vetor posição dependendo do tempo: x(t)
Notação: Vetor x em algum tempo específico t1: x(t1)=x1
0
x
x
X(t)
t
t1
X(t1)
Representação vetorial
◼ Exemplo: Um carro se move por uma estrada 
a) velocidade constante b) acelerando c) parando
Representação gráfica - vetor posição
◼ Podemos considerar somente a 
localização do centro do carro e obter 
um gráfico vetor posição x tempo
Típico de movimento 
com velocidade 
constante
Deslocamento
➢ Deslocamento = diferença entre a posição final e a posição inicial,
➢ O deslocamento é um vetor, assim como a posição; ele pode ser negativo 
➢ O deslocamento é independente da localização da origem do sistema de 
coordenadas (ao contrário da posição)
➢ O deslocamento de um ponto b para um ponto a é exatamente o negativo de ir 
do ponto a ao ponto b:
Distância
◼ No movimento unidimensional, a distância é o valor absoluto da 
componente x do vetor deslocamento
◼ Para o movimento em várias dimensões, calculamos o comprimento do 
vetor deslocamento conforme mostrado na aula passada sobre vetores
◼ A distância é sempre positiva (ou 0)
◼ Distância é uma escalar, deslocamento é um vetor
Exemplo: viagem de ida e volta
➢ A distância entre as cidades de Salvador e São Paulo é de ~ 2.000 km 
e uma linha reta com uma boa aproximação
➢ Questão:
Se fizermos uma viagem de as cidades de Salvador e São Paulo e de 
volta a Salvador, qual a distância total e o deslocamento total desta 
viagem?
➢ Distância
Distância total = distância de Salvador a São Paulo + distância de São Paulo a Salvador. 
Cada distância é aproximadamente 2.000 km => distância total da viagem de ida e volta é 2*2.000 
km, ~ 4.000 km.
➢ Deslocamento:
Considere a origem do sistema de coordenadas como Salvador => xD= 0 km (e importa onde a colocamos?) 
O vetor posição de São Paulo tem então o valor xI=+2.000 km. 
O vetor deslocamento para ir de Salvador para São Paulo é 𝑋𝑆𝑃−𝑆𝑆𝐴 = 𝑋𝑆𝑃−𝑋𝑆𝑆𝐴= +2𝐾 𝑘𝑚
O vetor deslocamento para a viagem de volta 𝑋𝑆𝑆𝐴−𝑆𝑃 = 𝑋𝑆𝑆𝐴−𝑋𝑆𝑃= 0 − 2000 = −2𝐾 𝑘𝑚
O deslocamento total da viagem de ida e volta é a soma dos dois deslocamentos: 
𝑋𝑆𝑆𝐴−𝑆𝑃 = 𝑋𝑆𝑃−𝑆𝑆𝐴−𝑋𝑆𝑆𝐴−𝑆𝑃= 2.000 − 2.000 = 0
Exemplo: viagem de ida e volta
➢ Velocidade média
Deslocamento dividido pelo intervalo de tempo que ele levou para ocorrer
➢ Velocidade Escalar
◼Velocidade escalar é o valor absoluto do vetor velocidade
◼Velocidade é um vetor, velocidade escalar é o módulo
◼Relação com a distância
Vetor velocidade
Exemplo: percursos de natação (1)
◼ Suponha que uma nadadora termine os
primeiros 50 m dos 100 m em nado
livre em 38,2 s. Assim que ela chega ao
lado oposto da piscina de 50 m de
comprimento, ela volta e nada até o
ponto de partida em 42,5 s.
◼ Questão:
Qual a velocidade média e a velocidade
escalar média da nadadora para a ida
do início até o lado oposto da piscina, a
volta e o percurso total?
Exemplo: percursos de natação (2)
Resposta:
◼ Primeira parte:
◼ A nadadora começa em x = 0 e nada até x = 50 
m. Ela leva 38,2 s.
◼ Velocidade média
◼ Velocidade escalar média
Exemplo: percursos de natação (3)
◼ Segunda parte:
◼ A nadadora começa em x = 50 m e nada até 
x = 0 m. Ela leva 42,5 s.
◼ Velocidade média
◼ Velocidade escalar média
◼ Todo o percurso:
A nadadora começa em x = 0 m, nada até x = 50 m, e nada de volta até 0. Ela 
leva 38,2 s + 42,5 s = 80,7 s.
◼ Velocidade média: 0
Deslocamento é 0
Também podemos encontrar isso calculando a média ponderada pelo tempo
◼ Velocidade escalar média: use a distância =100m e o tempo total
◼ (temos outra vez o mesmo resultado obtido através da média ponderada)
Exemplo: percursos de natação (4)
Exemplo: 100 m rasos
◼ Recorde mundial de Carl Lewis, no Campeonato Mundial de Atletismo 
de 1991
Ajuste: v =11,58 m/s
➢ Velocidade média
Deslocamento dividido pelo intervalo de tempo que ele levou para ocorrer
➢ Velocidade (instantânea)
Obtida por meio de um limite à medida que o intervalo de tempo se aproxima de zero
Vetor velocidade
Cálculo da velocidade usando um gráfico x-t
Lembretes de cálculo (da matemática básica)
◼ Polinômios:
◼ Funções trigonométricas:
◼ Exponenciais, logaritmos:
◼ Regra do produto:
◼ Regra da cadeia:
Exemplo: Velocidade
◼ Durante o intervalo de tempo de 0 a 10s, o vetor posição de um carro na 
estrada é dado por
Questão: Qual é o seu vetor velocidade? 
Resposta: Tire a derivada
Exemplo 2: velocidade (gráfico) 
◼ Gráfico de 
e
◼ Nota: a posição é mínima quando a velocidade é zero!
◼ Esperado pelo cálculo
➢ Aceleração Média
Mudança de velocidade dividida pelo intervalo de tempo
➢ Aceleração (instantânea)
Obtida por meio de um limite à medida que o intervalo de tempo se aproxima de zero
Vetor aceleração
Velocidade e aceleração instantâneas
Movimento com aceleração constante
Movimento com aceleração constante
Movimento com aceleração constante
Exemplo: decolagem de avião (1)
◼ Experimento: medir a aceleração durante a decolagem de um avião
◼ Resultado: Aceleração constante é uma boa aproximação
a = 4,3 m/s2
Em baixas temperaturas
Vsom ≈ 1100 km/h 
Vairbus ≈ 900 km/h (supersônico x gasto de combustível x engenharia)
Exemplo: decolagem de avião (2)
Questão 1:
◼ Presumindo uma aceleração constante de a =4,3 m/s2, começando do repouso, 
qual é a velocidade de decolagem da aeronave alcançada depois dos 18s?
Resposta 1:
◼ A aeronave acelera de um ponto de partida parado: 
velocidade inicial é igual a 0
≈ 276 km/h 
Exemplo: decolagem de avião (3)
Questão 2:
◼ Que distância o avião percorreu até a decolagem? 
Resposta 2:
A pista no aeroporto de 
Salvador é ~3.000 m
Relações inversas
◼ Comece com a definição v=dx/dt e integre ambos os lados:
◼ É possível encontrar a posição, se sabemos a velocidade em função do 
tempo e a posição em t=0
◼ Integração similar para obter a velocidade a partir da aceleração 
Movimento linear com aceleração constante
◼ Do que se trata?
◼ Já vimos grande parte dos casos!
◼ Use a fórmula da integral e deixe a = constante:
◼ Integre a velocidade para encontrar o vetor posição:
A velocidade é linear no tempo
A posição é quadrática no tempo
Velocidade média
◼ Se a velocidade depende linearmente do tempo, qual a velocidade média no 
intervalo de t0 a t?
Resposta:
Então, entre 0 e t:
V(t)
Posição e velocidade média
◼ Comece com: e
◼ Obtemos:
◼ Agora multiplique ambos os lados por t e some x0:
◼ Obtemos x(t) na integração:
Expressão para v2
◼ Resolva para o tempo e obtenha:
◼ Substitua este resultado na expressão da posição:
◼ Subtraia x0 de ambos os lados e multiplique por a:
Expressão para v2 (cont.)
◼ Resultado:
Vetores de posição, velocidade e aceleração
◼ Relacionados por derivadas e integrais
Resumo:cinco equações cinemáticas
◼ Movimento unidimensional com aceleração constante:
◼ Resolvem praticamente qualquer problema unidimensional
Queda livre
◼ Movimento particular com aceleração constante em 1 d
◼ a = -g, com g = 9,81 m/s2
◼ Notação de convenção: chamamos o eixo vertical de y
◼ Equações cinemáticas para este caso
x
y
Use estas para 
aceleração
constante:
x y
a - g
Considerações sobre a queda livre 
◼ Todos os objetos caem com a mesma 
velocidade, porque a=-g = constante
É preciso eliminar a resistência do ar para 
observar isto
Experimento => cálculo de g
◼ No espaço, praticamente não há gravidade
Por que todos os objetos flutuam?
Sem força total: velocidade constante 
independente da massa
David Scott, Comandante do Apollo 15, 
Agosto de 1971
Queda livre na Gravidade da Terra sem resistência do ar (BBC) 
https://www.youtube.com/watch?v=JcmqfzGFhqQ
https://www.youtube.com/watch?v=JcmqfzGFhqQ
Bola atirada verticalmente (1)
Uma bola é jogada verticalmente para cima com velocidade inicial de 27,0 m/s.
Questão 1:
Desprezando a resistência do ar, por quanto tempo a bola fica no ar?
Resposta 1:
Ainda que inicialmente a bola esteja subindo, este é um caso de queda livre!
Bola atirada verticalmente (2)
Questão 2:
Qual a altura máxima atingida pela bola?
Resposta 2:
◼ O que caracteriza o ponto de altura máxima?
Bola atirada verticalmente (3)
Questão 3:
Na verdade, a bola bateu em um pássaro em sua trajetória ascendente quando 
tinha metade de sua velocidade inicial. Em que altura isto ocorreu?
Resposta 3:
Já que queremos relacionar informações sobre velocidade e altura, usemos a 
última equação cinemática:
Poderíamos ter usado:
Vetores de velocidade e aceleração
◼ A resposta do último questionário pode ser entendida a partir deste desenho
Referências
Fundamentos de Física - Vol. 1 - Mecânica
David Halliday, Robert Resnick e Jearl Walker
Physics for Scientists and Engineers
Raymond A. Serway,Jr. Jewett and John W.
Física para Universitários: Mecânica
por Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall, Helio Dias
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