CALC COM GEOMETRIA ANALITICA

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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS SOBRE MUV
Exercícios resolvidos sobre MUV
 
 1-(UFB) Um gato realiza um MUV em trajetória retilínea e horizontal que obedece à função horária da velocidade V= – 20 + 5t em unidades do SI. Pede-se:
a) a velocidade inicial e a aceleração
b) o instante em que ele muda o sentido de seu movimento
c) classificar o movimento em progressivo ou retrógrado, acelerado ou retardado, orientando a trajetória para a direita.
Qual o tipo de movimento do gato nos instantes 2s e 10s
 
02-(UFB) No gráfico abaixo, da velocidade de um móvel em MUV em função do tempo, pede-se determinar:
a) a velocidade inicial Vo e a aceleração a
b) o instante em que o móvel inverte o sentido de seu movimento
c) classificar o movimento
d) o deslocamento sofrido no intervalo de tempo compreendido entre 0 e 4s
 
03-(PUC-RJ) Considere o movimento de um caminhante em linha reta. Este caminhante percorre os 20,0 s iniciais à velocidade constante v1 = 2,0 m/s.
Em seguida, ele percorre os próximos 8,0 s com aceleração constante a = 1 m/s2 (a velocidade inicial é 2,0 m/s). Calcule a velocidade final do caminhante.
 
04- (UFSM-RS) Ao preparar um corredor para uma prova rápida, o treinador observa que o desempenho dele pode ser descrito, de forma aproximada, pelo seguinte gráfico:
A velocidade média desse corredor, em m/s, é de
05-(FUVEST-SP) Na figura a seguir estão representadas as velocidades, em função do tempo, desenvolvidas por um atleta, em dois treinos A e B, para uma corrida de 100m rasos.
Com relação aos tempos gastos pelo atleta para percorrer os 100m, podemos afirmar que, aproximadamente:
a) no B levou 0,4s a menos que no A     
b) a) no A levou 0,4s a menos que no B     
c) a) no B levou 1,0s a menos que no A
d)  no A levou 0,4s a menos que no B     
e) no A e no B levou o mesmo tempo
 
06-(CFT-CE) Observe o movimento da moto a seguir, supostamente tomada como partícula.
a) O instante em que sua velocidade será de 20m/s.
b) O deslocamento efetuado até este instante.
 
07-(UNIFESP-SP) A velocidade em função do tempo de um ponto material em movimento retilíneo uniformemente variado, expressa em unidades do SI, é v = 50 – 10t. Pode-se afirmar que, no instante t = 5,0 s, esse ponto material tem
a) velocidade e aceleração nulas.                          
B) velocidade nula e daí em diante não se movimenta mais.
c) velocidade nula e aceleração a = – 10 m/s2.     
d) velocidade nula e a sua aceleração muda de sentido.
e) aceleração nula e a sua velocidade muda de sentido.
 
08-(UFRS-RS) Um automóvel que trafega com velocidade constante de 10 m/s, em uma pista reta e horizontal, passa a acelerar uniformemente à razão de 60 m/s em cada minuto, mantendo essa aceleração durante meio minuto. A velocidade instantânea do automóvel, ao final desse intervalo de tempo, e sua velocidade média, no mesmo intervalo de tempo, são, respectivamente:
a) 30 m/s e 15 m/s.         
b) 30 m/s e 20 m/s.          
c) 20 m/s e 15 m/s.         
d) 40 m/s e 20 m/s.         
e) 40 m/s e 25 m/s.
 
09-(PUC-PR) Um automóvel trafega em uma estrada retilínea. No instante t = 0 s, os freios são acionados, causando uma aceleração constante até anular a velocidade, como mostra a figura.
A tabela mostra a velocidade em determinados instantes
Com base nestas informações, são feitas algumas afirmativas a respeito do movimento:
I. O automóvel apresenta uma aceleração no sentido do deslocamento.
II. O deslocamento do veículo nos primeiros 2 s é 34 m.
III. A aceleração do veículo é -1,5 m/s2.
IV. A velocidade varia de modo inversamente proporcional ao tempo decorrido.
V. A velocidade do veículo se anula no instante 7,5 s.
Está correta ou estão corretas:
a) somente I.               b) I e II.                 c) somente III.                   d) IV e V.                   e) II e V.
 
10-(MACKENZIE-SP) A aceleração de um móvel, que parte do repouso, varia com o tempo de acordo com o gráfico abaixo.
O instante, contado a partir do início do movimento, no qual o móvel pára, é:
a) 5s                     
b) 6s                   
c) 8s                     
d) 13s                     
e) 18s
 
11-(UFPE) O gráfico da velocidade em função do tempo de um ciclista, que se move ao longo de uma pista retilínea, é mostrado a seguir.
 Considerando que ele mantém a mesma aceleração entre os instantes t = 0 e t = 7 segundos, determine a distância percorrida neste intervalo de tempo. Expresse sua resposta em metros.
 
12-(UFB) Considerando um diagrama v x t, onde v é a velocidade instantânea de uma partícula no instante t, o que representa:
a) a declividade ou inclinação da reta representativa do gráfico?
b) o que representa a área sob a reta?
 
13- (FUVEST-SP) O gráfico na figura descreve o movimento de um caminhão de coleta de lixo em uma rua reta e plana, durante 15s de trabalho
a) Calcule a distância total percorrida neste intervalo de tempo.
b) Calcule a velocidade média do veículo.
 
14-(Ufpe) Uma partícula, que se move em linha reta, está sujeita à aceleração a(t), cuja variação com o tempo é mostrada no gráfico a seguir.
 Sabendo-se que no instante t = 0 a partícula está em repouso, calcule a sua velocidade no instante t = 8,0 s, em m/s.
 
15- (UNESP-SP) O motorista de um veículo A é obrigado a frear bruscamente quando avista um veículo B à sua frente, locomovendo-se no mesmo sentido, com uma velocidade constante menor que a do veículo A. Ao final da desaceleração, o veículo A atinge a mesma velocidade que B, e passa também a se locomover com velocidade constante. O movimento, a partir do início da frenagem, é descrito pelo gráfico da figura.
Considerando que a distância que separava ambos os veículos no início da frenagem era de 32 m, ao final dela a distância entre ambos é de
16-(CFT-MG) Três carros A, B, e C, trafegando numa avenida reta, estão lado a lado, quando o semáforo a 55 metros à frente fecha. Sabendo-se que o gráfico a seguir mostra a variação da velocidade dos veículos a partir desse momento, é correto afirmar que irá(ão) ultrapassar o sinal somente o(s) carro(s)
17-(UFU-MG) O gráfico a seguir representa a velocidade em função do tempo de um automóvel que parte do repouso. A velocidade máxima permitida é de 72 km/h. No instante t, quando o motorista atinge essa velocidade limite, ele deixa de acelerar o automóvel e passa a se deslocar com velocidade constante.
Sabendo-se que o automóvel percorreu 1,2 km em 90 segundos, o valor do instante t é
a) 80 s.                 
b) 30 s.                  
c) 60 s.                
d) 50 s.
 
18-(UnB-DF) A tabela abaixo indica a velocidade instantânea  de um objeto, em intervalos de um segundo.
As velocidades instantâneas do objeto nos instantes 3,60s e 5,80s são, respectivamente:
a) 17,5m/s e 20,5m/s         
b) 13,8m/s e 22,6m/s         
c) 14,5m/s e 19,5m/s         
d) 15,5m/s e 22,2m/s         
e) 8,20m/s e 12,2m/s
 
19-(Olimpíada Brasileira de Física) Uma partícula executa um movimento retilíneo uniformemente variado. Num dado instante a partícula tem velocidade 50m/s e aceleração negativa de módulo 0,2m/s2. Quanto tempo decorre até a partícula alcançar a mesma velocidade em sentido contrário?
20-(CFT-MG) O movimento retilíneo de um corpo é descrito pela equação v = 10 – 2t em que v é a velocidade, em m/s, e t é o tempo, em segundos.
Durante os primeiros 5,0 s, a distância percorrida por ele, em metros, é:
a) 10.                    
b) 15.                      
c) 20.                       
d) 25.
 
21-(PUC-RJ) O movimento de um objeto pode ser descrito pelo gráfico velocidade versus tempo, apresentado na figura a seguir.
Podemos afirmar que:
a) a aceleração do objeto é 2,0 m/s2, e a distância percorrida em 5,0 s é 10,0 m.
b) a aceleração do objeto é 4,0 m/s2, e a distância percorrida em 5,0 s é 20,0 m.
c) a aceleração do objeto é 2,0 m/s2, e a distância percorrida em 5,0 sé 25,0 m.
d) a aceleração do objeto é 2,0 m/s2, e a distância percorrida em 5,0 s é 10,0 m.
e) a aceleração do objeto é 2,0 m/s2, e a distância percorrida em 5,0 s é 20,0 m.
 
22-(PUC-RJ) É CORRETO afirmar que a distância percorrida pelo objeto entre t = 0 e t = 1,4s foi aproximadamente de:
a) 0,7 m                      
b) 1,8 m                      
c) 0,1 m                       
d) 1,6 m
 
23-(UERJ-RJ) A velocidade de um corpo que se desloca ao longo de uma reta, em função do tempo, é representada pelo seguinte gráfico:
Calcule a velocidade média desse corpo no intervalo entre 0 e 30 segundos.
 
24-(Ufrj-RJ) Um móvel parte do repouso e descreve uma trajetória retilínea durante um intervalo de tempo de 50s, com a aceleração indicada no gráfico a seguir.
a) Faça um gráfico da velocidade do móvel no intervalo de 0 até 50s.
b) Calcule a distância percorrida pelo móvel nesse intervalo.
 
25-(UNIFESP-SP) A função da velocidade em relação ao tempo de um ponto material em trajetória retilínea, no SI, é v = 5,0 – 2,0 t. Por meio dela pode-se afirmar que, no instante t = 4,0 s, a velocidade desse ponto material tem módulo
a) 13 m/s e o mesmo sentido da velocidade inicial.                          
b) 3,0 m/s e o mesmo sentido da velocidade inicial.
c) zero, pois o ponto material já parou e não se movimenta mais.     
d) 3,0 m/s e sentido oposto ao da velocidade inicial.
e) 13 m/s e sentido oposto ao da velocidade inicial.
 
26-(UFPE-PE)  Um motorista dirige um carro com velocidade constante de 80 km/h, em linha reta, quando percebe uma “lombada” eletrônica indicando a velocidade máxima permitida de 40 km/h. O motorista aciona os freios,
imprimindo uma desaceleração constante, para obedecer à sinalização e passar pela “lombada” com a velocidade máxima permitida. Observando-se a velocidade do carro em função do tempo, desde o instante em que os freios foram acionados até o instante de passagem pela “lombada”, podemos traçar o gráfico abaixo.
Determine a distância percorrida entre o instante t = 0, em que os freios foram acionados, e o instante t = 3,0 s, em que o carro ultrapassa a “lombada”. Dê sua resposta em metros.
 
27-(UNCISAL-AL) João Gabriel, vestibulando da UNCISAL, preparando-se para as provas de acesso à universidade, vai
conhecer o local das provas. Sai de casa de carro e, partindo do repouso, trafega por uma avenida retilínea que o conduz diretamente ao local desejado. A avenida é dotada de cruzamentos com semáforos e impõe limite de velocidade, aos quais João Gabriel obedece. O gráfico que melhor esboça o comportamento da velocidade do carro dele, em função do tempo, desde que ele sai de casa até a chegada ao local da prova, onde estaciona no instante t’, é:
 
28-(UNEMAT-MT) O gráfico em função do tempo mostra dois carros A e B em movimento retilíneo. Em t = 0 seg. os
carros estão na mesma posição.
 Com base na análise do gráfico, é correto afirmar.
a) Os carros vão estar na mesma posição nos instantes t = 0 seg. e t = 4,0 seg.
b) Os carros não vão se encontrar após t = 0, porque a velocidade de A é maior que a do carro B
c) Os carros vão se encontrar novamente na posição S = 10 m
d) Os carros não vão se encontrar, porque estão em sentidos contrários.
e) Os instantes em que os carros vão estar na mesma posição é t = 0 seg. e t = 8,0 seg.
 
29-(MACKENZIE-SP)  Dois automóveis A e B se movimentam sobre uma mesma trajetória retilínea, com suas
velocidades variando com o tempo de acordo com o gráfico a seguir. Sabe-se que esses móveis se encontram no instante 10 s. A distância entre eles, no instante inicial (t = 0 s), era de
a) 575 m                       
b) 425 m                         
c) 375 m                         
d) 275 m                         
e) 200 m 
 
30-(CFT-SC) O gráfico abaixo representa a variação da velocidade em função do tempo de uma partícula em
movimento uniformemente variado. Em relação à área abaixo da reta do gráfico, é correto afirmar que ela representa a:
a) aceleração média.           
b) velocidade média.            
c) variação da velocidade.            
d) distância percorrida pela partícula.                              
e) velocidade instantânea. 
 
31-(FUVEST-SP)  Na Cidade Universitária (USP), um jovem, em um carrinho de rolimã, desce a  rua do Matão, cujo
perfil está representado na figura a seguir, em um sistema de coordenadas em que o eixo Ox tem a direção horizontal.
No instante t = 0, o carrinho passa em movimento pela posição oy = yo e x = 0.
Dentre os gráficos das figuras a seguir, os que melhor poderiam descrever a posição x e a velocidade v do carrinho em função do tempo t são, respectivamente,
32-(UFRJ-RJ)Um avião vai decolar em uma pista retilínea. Ele inicia seu movimento na cabeceira da pista com
velocidade nula e corre por ela com aceleração média de 2,0 m/s2 até o instante em que levanta vôo, com uma velocidade de 80 m/s, antes de terminar a pista.
a) Calcule quanto tempo o avião permanece na pista desde o início do movimento até o instante em que levanta vôo.
b) Determine o menor comprimento possível dessa pista.
 
33-(UNICAMP-SP) O radar é um dos dispositivos mais usados para coibir o excesso de velocidade nas vias de trânsito. O seu princípio de funcionamento é baseado no efeito Doppler das ondas eletromagnéticas refletidas pelo carro em movimento.
Considere que a velocidade medida por um radar foi V = 72 km/h para um carro que se aproximava do aparelho.
Quando um carro não se move diretamente na direção do radar, é preciso fazer uma correção da velocidade medida pelo aparelho  Vm para obter a velocidade real do veículo Vr. Essa correção pode ser calculada a partir da fórmula Vm=Vr.cosα, em que α é o ângulo formado entre a direção de tráfego da rua e o segmento de reta que liga o radar ao ponto da via que ele mira. Suponha que o radar tenha sido instalado a uma distância de 50 m do centro da faixa na qual o carro trafegava, e tenha detectado a velocidade do carro quando este estava a 130 m de distância, como mostra a figura abaixo
Se o radar detectou que o carro trafegava a 72 km/h, sua velocidade real era igual a
a) 66,5 km/h                     
b) 36 3 km/h.                                  
c) 78 km/h.                                   
d) 144 / 3 km/h
 
34-(UFPE-PE)
Dois veículos partem simultaneamente do repouso e se movem ao longo da mesma rodovia reta, um ao encontro do
outro, em sentidos opostos. O veículo A parte com aceleração constante igual a aA = 2,0 m/s2. O veículo B, distando d = 19,2 km do veículo A, parte com aceleração constante igual a aB = 4,0 m/s2. Calcule o intervalo de tempo até o encontro dos veículos, em segundos.
 
35-(UERJ-RJ)
Dois carros, A e B, em movimento retilíneo acelerado, cruzam um mesmo ponto em t = 0 s. Nesse instante, a
velocidade vo de A é igual à metade da de B, e sua aceleração a corresponde ao dobro da de B. Determine o instante em que os dois carros se reencontrarão, em função de vo e a.
 
36-(UEPA-PA)
No Pará, o perigo relacionado às altas velocidades no trânsito tem aumentado os  riscos de acidentes, principalmente em Belém.
Considerando que a “distância de freagem” é a distância que o carro percorre desde o momento que os freios são acionados até parar e que o modelo matemático que expressa essa relação é dado por  D = K . V2, onde  D representa a distância de freagem em metros, K é uma constante e  V  é a velocidade em Km/h. Assim, um automóvel que tem seus freios acionados estando a uma velocidade de 80 Km/h ainda percorre 44 metros até parar. A distância de  freagem de um automóvel que tem seus freios acionados, estando a uma velocidade de 160 Km/h é:
a) 2 vezes a distância de freagem se estivesse a 80 Km/h.                 
b) 3 vezes a distância de freagem se estivesse a 80 Km/h.
c) 4 vezes a distância de freagem se estivesse a 80 Km/h.              
d) 5 vezes a distância de freagem se estivesse a 80 Km/h.
e) 6 vezes a distância de freagem se estivesse a 80 Km/h.
 
37-(AFA)
Considere um móvel deslocando–se numa trajetória horizontal e descrevendo um movimentoretilíneo uniformemente acelerado e
retrógrado. A alternativa que contém o gráfico que melhor representam movimento descrito pelo móvel é
 
38-(AFA)
Um bloco se movimenta retilineamente, do ponto A até o ponto C, conforme figura abaixo
Sua velocidade v em função do tempo t, ao longo da trajetória, é descrita pelo diagrama v×t mostrado a seguir.
Considerando que o bloco passa pelos pontos A e B nos instantes 0 e t1, respectivamente, e para no ponto C no instante t2, a razão entre as distâncias percorridas pelo bloco nos trechos BC e AB , vale
a) (t2 + t1)/t1                             
b) (t2 – t1)/t22        
c) (t2 – t1)/2t1                                 
d) (t2 + t1)/2t2
 
39-(ACAFE-SC)
Para garantir a segurança no trânsito, deve-se reduzir a velocidade de um veículo em dias de chuva, senão vejamos:
um veículo em uma pista reta, asfaltada e seca, movendo-se com velocidade de módulo 36 km/h (10 m/s) é freado e desloca-se 5,0 m até parar. Nas mesmas circunstâncias, só que com a pista molhada sob chuva, necessita de 1,0 m a mais para parar. 
Considerando a mesma situação (pista seca e molhada) e agora a velocidade do veículo de módulo 108 km/h (30 m/s), a alternativa correta
que indica a distância a mais para parar, em metros, com a pista molhada em relação a pista seca é:
A) 6         
B) 2         
C)1,5         
D) 9
Resolução comentada dos exercícios sobre MUV
 01- a)
b) Quando ele muda o sentido se seu movimento ele pára (V=0) e, a partir desse instante, o movimento que era progressivo se torna retrógrado  —  V=-20 + 5t  —  0=-20 + 5t  —  t=4s (instante em que ele pára para inverter o sentido do movimento)
c)
d) 2s – retrógrado retardado  —  10s – progressivo acelerado  —  Veja esquema acima)
02- a) Vo=-8m/s  —  a=(8 – (-8))/(4 – 0)  —  a=16/4  —  a=4m/s2  
b) V= Vo + at  —  V=-8 + 4t  —  inverte o sentido (pára) – V=0  —  0=-8 + 4t  —  t=2sou pelo gráfico que corresponde ao ponto onde a reta intercepta o eixo t.
c) entre 0 e 2s  —  retrógrado (V<0) e retardado (módulo de V está diminuindo)  —  após 2s  —  progressivo (V>0) e acelerado (módulo de V está aumentando)
d) ΔS=área entre 0 e 4s, que corresponde à soma das áreas hachuradas da figura abaixo
ΔS=b.h/ + b.h/2=2.(-8)/2 + 8.2/2  —  ΔS=0
03- Vo=2m/s  —  a=1ms2  —  V=Vo + at  —  V=2 + 1.8  —  V=10m/s
04- ΔS=área=(10 + 6).12,5/2  —  ΔS=100m  —  Vm=ΔS/Δt  —  Vm=10m/s  —  R- B
05- A – ΔSA=área do trapézio=100m
ΔSA=(tA + (tA – 4)).11/2  —  100=2tA – 4).11/2  —  tA=244/22  —  tA=11,1s (treino A)
B – ΔSB=área do trapézio=100m
ΔSB=(tB + (tB – 3)).10/2  —  100=10tB – 15  —  tB=115/10  —  tB=11,5s (treino B)
Δt=tB – tA=0,4s  —  R- B
06- a) Vo=0  —  a=(V – Vo)/(t – to)=10/5  —  a=2m/s2  —  V = Vo + a.t  —  20=0 + 2t  —  t=10s
b) o deslocamento é fornecido pela área
ΔS=b.h/2=10.20/2  —  ΔS=100m
07- T=5s  —  V=50 – 10.5  —  V=0  —  a=-10m/s2 (constante)  —  R- C
08- Vo=10m/s  —  a=ΔV/Δt=(60m/s)/60s  —  a=1m/s2  —  V=Vo + at=10 + 1.30  — V=40m/s
ΔS=(B + b).h/2=(40 + 10).30/2  —  ΔS=750m  —  Vm= ΔS/Δt=750/30  —  Vm=25m/s
09- I – Falsa – é no sentido contrário ao do movimento – a velocidade está diminuindo
II –
ΔS=(15 + 11).2/2=26m  —  Falsa
III – a=(9 – 15)/3=-2m/s2  —  Falsa
iV – Correta – observe que à medida que a velocidade diminui o tempo aumenta
V – V= Vo + at  —  0=15 – 2t  —  t=7,5s  —  Correta
R- D
10- entre 0 e 5s  —  V= Vo + at=0 + 4.5  —  V5=20m/s  —  de 5s a 8s V vale 20m/s  —  a partir de 8s – a=-2m/s2 até ele parar V=0  — V=Vo + at  —  0=20 -2t  —  t=10s (de 8s até ele parar)  —  desde o inicio do movimento  — t=8 + 10=18s  —  R- E
11- ΔS=área hachurada da figura abaixo
ΔS=(12 + 4).7/2 = 56m
12- a) O ângulo α que a reta representativa da velocidade forma com um eixo horizontal é tal que tgα=ΔV/Δt corresponde à aceleração do
móvel, pois a= ΔV/ Δt e é denominada coeficiente angular da reta ou declividade da reta. Observe que, se α é agudo, f(t) é crescente e a>0 e se α é obtuso , f(t) é decrescente e a<0.
b) Em todo gráfico VXt a área entre a reta representativa e o eixo dos tempos é numericamente igual à variação de espaço ΔS, entre dois instantes quaisquer t1 e t2
13- a) ΔS=área total=b.h/2 + (B + b).h/2 + b.h/2=3.8/2 + (4 + 2).12/2 + 2.12/2=1260  —  12 + 36 + 12=60m  —  ΔS=60m
b) Vm=60/16=3,75  —  Vm=3,75m
14- Entre 0 e 4s  —  a=4m/s2  —  V=Vo + at=0 + 4.4  —  V=16m/s  —  entre 4s e 8s  —  V= Vo + at  —  V=16 + (-2).4  —  V=8m/s
15- Quando t=0 a distância entre eles é de 32m  —  quando t=4s  —  ΔSA=área do trapézio=(30 + 15).4/2   —  ΔSA=90m  —  ΔSB=área do retângulo=4.15=60m  —  antes – ΔSa=32m  —  depois – ΔSd=(90 – 60)=30m  —  a distância entre eles no final da frenagem será de d=32 – 30=2m  —  R- B 
16- ΔSA=b.h/2=6.20/2=60m  —  ΔSB=B + b).h/2=(8 + 2).10/2=50m  — ΔSC=b.h/2=4.20/2=40m  —  R- A
17- ΔS=1.200=área do trapézio=(B + b).h/2=(90 + (90 – t)).20/2  —  1.200=(180 – t).10  —  1200=1800 -10t  —  t=60s  —  R- C  
18- Trata-se de um MUV em que a velocidade aumenta de 2,3m/s em cada 1s e, assim, sua aceleração vale a=2,3m/s2  —  Vo=6,20m/s  —  V= Vo + at  —  V=6,20 + 2,3t  —  t=3,60s – V=6,20 + 2,3.3,60  —  V=14,48m/s  —  t=5,80s – V=6,20 + 2,3.5,80  — V=19,54m/s
R- C
19- Se, na ida ela tem velocidade de 50m/s, na volta deverá ter velocidade de -50m/s  —  na ida, até parar (V=0) ela demorou  — 
V=Vo + at  —  0=50 – 0,2t  —  t=250s (na ida)  —  na volta  —  V0=0 e V=-50m/s  —  V=Vo + at  —  -50=0 -0,2t  —  t=250s (na volta)  —  tpedido=tida + tvolta  —  tpedido=250 + 250=500s  —   t=500s  —  R- A
20- Colocando no gráfico  —  t=0 – Vo=10m/s  —  V=0  —   0=10 -2t  —  t=5s
ΔS=área=b.h/2=5.10/2  —  ΔS=25m  —  R- D
21- a=(20 – 0)/(10 – 0)  —  a=2m/s2  —  d=área=5.10/2  —  d=25m  —  R- C
22- Considerando a área como sendo de um triângulo
ΔS=b.h/=1,5.1,0/2  —  ΔS=0,75m  —  R- A
23- ΔS=área total=b.h + (B + b).h/2 + b.h=10.5 + (15 + 5).10/2 + 10.15=300m  —  ΔS=300m  —  Vm= ΔS/ Δt=300/30  —  Vm=10m/s
24- a) entre 0 e 20s  —  a=2m/s2  —  Vo=0  —  V1= Vo + at=0 + 2.20  —  V1=40m/s  —  entre 20s e 50s  —  Vo=40m/s  —  a=-1m/s2  —V2=Vo + at=40 – 1.30  —  V2=10m/s  —  gráfico abaixo
b) ΔS=área=b.h/2 + (B _ b).h/2=20.40/2 + (40 + 10).30/2  —  A distância percorrida é 1150m.
25- T=4s  —  V=5 – 2.4  —  V=-3m/s  —  velocidade inicial – movimento progressivo, velocidade de -3m/s – movimento retrógrado  —  R- D
26- A distância percorrida corresponde à área compreendida entre a reta representativa  e o eixo do tempo, entre 0 e 3s, ou seja, à área de um trapézio  —  ΔS=área=(B + b).h/2=(80/3,6 + 40/3,6).3/2= (22,2 + 11,1).1,5  —  ΔS=49,95≈50m 
27- Observe atentamente que o único gráfico coerente com o enunciado é o da alternativa E  —  R- E
28- Quando t=0 eles estão na mesma posição (dado do exercício) —  quando t=4s, o deslocamento de cada carro é fornecido pela área
 entre 0 e 4s  —  carro A, a área é de um triângulo  —  ΔSA=b.h/2=4.20/2  —  ΔSA=40m  —  carro B, a área é de um retângulo  —  ΔSB=b.h=4.10  —  ΔSB=40m  —  R- A 
29-  Calculando o espaço percorrido pela área  —  ΔSA=(B + b).h/2=(45 + 30).10/2  —  ΔSA=375m  —  ΔSB=(-10 – 30).10/2  — 
ΔSB=-200m  —  d=375 + 200  —  d=575m  —  ou aceleração escalar de cada móvel, lembrando que  —  aA=(45 – 30)/(10 – 0)  —  aA=1,5m/s2  —  aB=(-30 – (-10)/(10 – 0)  — 
aB= -2m/s2  — SA=SoA + 30t + 0,75t2  —  SB=SoB – 10t – t2  —  supondo SoA=0 e fazendo t=10s no encontro onde você iguala as equações  —  30(10) + 0,75(10)2 = SoB – 10(10) – (10)2  —  375 = SoB – 200  —  SoB = 575 m, que é a distância inicial entre os móveis, pois supusemos o móvel A partindo da origem.
R- A
30- Propriedade do gráfico v = f(t)  —   a área entre a linha do gráfico e o eixo t representa o espaço percorrido pelo móvel (DS)  —  como não há mudança de sentido, o espaço percorrido é igual à distância percorrida  —  R- D   
31-
R- A
32- a) V=Vo + at  —  80=0 + 2.t  —  t=40s
b) Na situação em que a pista tem o comprimento mínimo (dm), o avião perde o contato com a pista exatamente em seu final  —    equação de Torricelli  —  v2 – vo2 + 2.a.dm  —  802=02 + 2.2.dm  —  6.400=4dm  —  dm=1.600m
33- Observe a figura abaixo—  determinando a distância d por Pitágoras  —  (130)2=d2 + (50)2  —  16.900=d2 + 2.500  —  d=120m 
—  Vm=Vr.cosα  —  72=Vr.120/130  —  Vr=78km/h  —  R- C
34- Observe na figura abaixo onde a origem da trajetória foi colocada no ponto de partida do móvel A SoA=0  —  a
trajetória foi orientada para a direita SoB=19200m  —  ambos os móveis partiram do repouso, VoA=VoB=0  —  como o móvel B está em movimento retrógrado e acelerado sua velocidade e sua aceleração são negativas (veja fisicaevestibular.com.br – mecânica – cinemática – gráficos do MUV)  —  dedução da função horária de cada móvel  —  SA=SoA + VoAt + aA.t2/2=0 + 0.t + 2t2/2  —  SA=t2  —  SB=SoB + VoBt + aB.t2/2=19200 – 0.t – 4.t2/2  —  SB=19200 – 2t2  —  no encontro AS=SB  —  t2=19200 – 2t2  —  t2=6400  —  t=80s.
35-Colocando a origem das posições no instante inicial (t=0 e So=0) e deduzindo a equação de cada carro  —  SA=Vot + at2/2  —  SB=2Vot +(a/2).t2/2  —  SB=2Vot + at2/4  —  no encontro  —   SA=SB  —  Vot + at2/2 = 2Vot + at2/4  —  Vot – 2Vot + at2/2 – at2/4 = 0   — 
-4Vot + at2 = 0  —  t(at – 4Vo)=0  —  at – 4Vo=0  —  t=4Vo/a.
36-Observe na expressão D=K.V2, onde K é constante e, nela você observa que a velocidade V é diretamente proporcional ao quadrado da velocidade  —  assim, se a velocidade dobra passando de 80kmh para 160kmh, a distância percorrida pelo carro até parar fica 22=4 vezes maior  —  R- C
37- a) Falsa  —  a aceleração é positiva (concavidade para cima)  —  Entre 0 e t – o espaço decresce (movimento retrógrado, V<0)
e o movimento é retardado, pois a e V tem sinais contrários (a>0 e V<0)  —  após t – o espaço cresce (movimento progressivo, V>0) e o movimento é acelerado, pois a e V tem mesmo sinal (a>0 e V>0)
b) Correta  —  como o movimento é retrógrado, a velocidade é negativa e, para que o movimento seja acelerado, a aceleração também tem que ser negativa, o que é o caso.
c) Falsa  —  o movimento é acelerado mas é progressivo (V>0).
d)  Falsa  —  se existe aceleração, o gráfico Sxt tem que ser uma parábola (equação do segundo grau).
R- B
38-  A área compreendida entre a reta representativa e o eixo dos tempos corresponde ao deslocamento ∆S do móvel no intervalo de tempo considerado  —  A e B (0 e t+Em todo gráfico da velocidade em função do tempo1)  —  ∆SAB=área do retângulo=b.h  —  ∆SAB=Vot1  —  B e C (t1 e t2)  —  ∆SBC=área do triângulo=b.h/2  — ∆SBC=(t2 – t1).(Vo – 0)/2  —  ∆SBC=Vo.(t2 – t1)/2  —  ∆SBC/∆SAB= [Vo.(t2 – t1)/2]/ Vot1  —  ∆SBC/∆SAB=(t2 – t1)/2t1  —  R- C
39– Primeira situação  —  cálculo da aceleração do carro com a pista seca  —  V2=Vo2 + 2.a.∆S  —  02 = 102 + 2.a.5  —  a=-10ms2  —  cálculo da aceleração do carro com a pista molhada  —  V2=Vo2 + 2.a.∆S  —  02 = 102 + 2.a.6  —  a=-100/12=-25/3 ms2  —  Segunda situação  —  cálculo da distância percorrida com a pista seca  —  V2=Vo2 + 2.a.∆S  —  02 = 302 + 2.(-10). ∆S  —  ∆S =45m  —  cálculo da distância percorrida com a pista molhada  —  V2=Vo2+ 2.a.∆S  —  02 = 302 + 2.(-25/3).∆S  —  ∆S=54m  —  distância a mais  —  d=54 – 45=9m  —  R- D
https://www.sofisica.com.br/conteudos/Mecanica/Cinematica/mu2.php
Diagrama s x t
Existem diversas maneiras de se representar o deslocamento em função do tempo. Uma delas é por meio de gráficos, chamados diagramas deslocamento versus tempo (s xt). No exemplo a seguir, temos um diagrama que mostra um movimento retrógrado:
Analisando o gráfico, é possível extrair dados que deverão ajudar na resolução dos problemas:
	S
	50m
	20m
	-10m
	T
	0s
	1s
	2s
Sabemos então que a posição inicial será a posição = 50m quando o tempo for igual a zero. Também sabemos que a posição final s=-10m se dará quando t=2s. A partir daí, fica fácil utilizar a equação horária do espaço e encontrar a velocidade do corpo:
	Saiba mais:
A velocidade será numericamente igual à tangente do ângulo formado em relação à reta onde está situada, desde que a trajetória seja retilínea uniforme.
Diagrama v x t
Em um movimento uniforme, a velocidade se mantém igual no decorrer do tempo. Portanto seu gráfico é expresso por uma reta:
Dado este diagrama, uma forma de determinar o deslocamento do móvel é calcular a área sob a reta compreendida no intervalo de tempo considerado.
Velocidade Relativa
É a velocidade de um móvel relativa a outro.
Por exemplo: 
Considere dois trens andando com velocidades uniformes e que . A velocidade relativa será dada se considerarmos que um dos trens (trem 1) está parado e o outro (trem 2) está se deslocando. Ou seja, seu módulo será dado por .
Generalizando, podemos dizer que a velocidade relativa é a velocidade de um móvel em relação a um outro móvel referencial.
Movimento Uniformemente Variado
Também conhecido como movimento acelerado, consiste em um movimento onde há variação de velocidade, ou seja, o móvel sofre aceleração à medida que o tempo passa.
Mas se essa variação de velocidade for sempre igual em intervalos de tempo iguais, então dizemos que este é um Movimento Uniformemente Variado (também chamado de Movimento Uniformemente Acelerado), ou seja, que tem aceleração constante e diferente de zero.
O conceito físico de aceleração, difere um pouco do conceito que se tem no cotidiano. Na física, acelerar significa basicamente mudar de velocidade, tanto tornando-a maior, como também menor. Já no cotidiano, quando pensamos em acelerar algo, estamos nos referindo a um aumento na velocidade.
O conceito formal de aceleração é: a taxa de variação de velocidade numa unidade de tempo, então como unidade teremos:
Aceleração
Assim como para a velocidade, podemos definir uma aceleração média se considerarmos a variação de velocidade em um intervalo de tempo , e esta média será dada pela razão:
Velocidade em função do tempo
No entanto, quando este intervalo de tempo for infinitamente pequeno, ou seja, , tem-se a aceleração instantânea do móvel.
Isolando-se o :
Mas sabemos que:
Então:
Entretanto, se considerarmos , teremos a função horária da velocidade do Movimento Uniformemente Variado, que descreve a velocidade em função do tempo [v=f(t)]:
Posição em função do tempo
A melhor forma de demonstrar esta função é através do diagrama velocidade versustempo (v x t) no movimento uniformemente variado.
O deslocamento será dado pela área sob a reta da velocidade, ou seja, a área do trapézio.
Onde sabemos que:
logo:
ou
Interpretando esta função, podemos dizer que seu gráfico será uma parábola, pois é resultado de uma função do segundo grau.
Equação de Torricelli
Até agora, conhecemos duas equações do movimento uniformemente variado, que nos permitem associar velocidade ou deslocamento com o tempo gasto.
Torna-se prático encontrar uma função na qual seja possível conhecer a velocidade de um móvel sem que o tempo seja conhecido.
Para isso, usaremos as duas funções horárias que já conhecemos:
  (1) 
  (2) 
Isolando-se t em (1):
 
Substituindo t em (2) teremos:
 
 
 
Reduzindo-se a um denominador comum:
 
 
 
 
Exemplo:
(UFPE) Uma bala que se move a uma velocidade escalar de 200m/s, ao penetrar em um bloco de madeira fixo sobre um muro, é desacelerada até parar. Qual o tempo que a bala levou em movimento dentro do bloco, se a distância total percorrida em seu interior foi igual a 10cm?
Apesar de o problema pedir o tempo que a bala levou, para qualquer uma das funções horárias, precisamos ter a aceleração, para calculá-la usa-se a Equação de Torricelli.
  
  
Observe que as unidades foram passadas para o SI (10cm=0,1m)
  
A partir daí, é possível calcular o tempo gasto:
  
  
Movimento Vertical
Se largarmos uma pena e uma pedra de uma mesma altura, observamos que a pedra chegará antes ao chão.
Por isso, pensamos que quanto mais pesado for o corpo, mais rápido ele cairá. Porém, se colocarmos a pedra e a pena em um tubo sem ar (vácuo), observaremos que ambos os objetos levam o mesmo tempo para cair.
Assim, concluímos que, se desprezarmos a resistência do ar, todos os corpos, independente de massa ou formato, cairão com uma aceleração constante: a aceleração da Gravidade.
Quando um corpo é lançado nas proximidades da Terra,fica então, sujeito à gravidade, que é orientada sempre na vertical, em direção ao centro do planeta.
O valor da gravidade (g) varia de acordo com a latitude e a altitude do local, mas durante fenômenos de curta duração, é tomado como constante e seu valor médio no nível do mar é:
g=9,80665m/s²
No entanto, como um bom arredondamento, podemos usar sem muita perda nos valores:
g=10m/s²
Lançamento Vertical
Um arremesso de um corpo, com velocidade inicial na direção vertical, recebe o nome de Lançamento Vertical.
Sua trajetória é retilínea e vertical, e, devido à gravidade, o movimento classifica-se com Uniformemente Variado.
As funções que regem o lançamento vertical, portanto, são as mesmas do movimento uniformemente variado, revistas com o referencial vertical (h), onde antes era horizontal (S) e com aceleração da gravidade (g).
Sendo que g é positivo ou negativo, dependendo da direção do movimento:
Lançamento Vertical para Cima
g é negativo
Como a gravidade aponta sempre para baixo, quando jogamos algo para cima, o movimento será acelerado negativamente, até parar em um ponto, o qual chamamos Altura Máxima.
Lançamento Vertical para Baixo
g é positivo
No lançamento vertical para baixo, tanto a gravidade como o deslocamento apontam para baixo. Logo, o movimento é acelerado positivamente. Recebe também o nome de queda livre.
Exemplo
Uma bola de futebol é chutada para cima com velocidade igual a 20m/s. 
(a) Calcule quanto tempo a bola vai demorar para retornar ao solo. 
(b) Qual a altura máxima atingida pela bola? Dado g=10m/s².
(a)
Neste exemplo, o movimento é uma combinação de um lançamento vertical para cima + um lançamento vertical para baixo (que neste caso também pode ser chamado de queda livre). Então, o mais indicado é calcularmos por partes:
Movimento para cima:
 
 
Movimento para baixo:
 
Como não estamos considerando a resistência do ar, a velocidade final será igual à velocidade com que a bola foi lançada.
 
Observamos, então, que nesta situação, onde a resistência do ar é desprezada, o tempo de subida é igual ao de decida.
 
(b)
Sabendo o tempo da subida e a velocidade de lançamento, podemos utilizar a função horária do deslocamento, ou então utilizar a Equação de Torricelli.
 
Lembre-se de que estamos considerando apenas a subida, então t=2s
 
ou
 
 
Vetores
Determinado por um segmento orientado AB, é o conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes a AB.
Se indicarmos com este conjunto, simbolicamente poderemos escrever:
onde XY é um segmento qualquer do conjunto.
O vetor determinado por AB é indicado por  ou B - A ou .
Um mesmo vetor  é determinado por uma infinidade de segmentos orientados, chamados representantes desse vetor, os quais são todos equipolentes entre si. Assim, um segmento determina um conjunto que é o vetor, e qualquer um destes representantes determina o mesmo vetor. Usando um pouco mais nossa capacidade de abstração, se considerarmos todos os infinitos segmentos orientados de origem comum, estaremos caracterizando, através de representantes, a totalidade dos vetores do espaço. Ora, cada um destes segmentos é um representante de um só vetor. Consequentemente, todos os vetores se acham representados naquele conjunto que imaginamos.
As características de um vetor  são as mesmas de qualquer um de seus representantes, isto é: o módulo, a direção e o sentido do vetor são o módulo, a direção e o sentido de qualquer um de seus representantes.
O módulo de  se indica por || .
Soma de vetores
Se v=(a,b) e w=(c,d), definimos a soma de v e w, por:
v + w = (a+c,b+d)
Propriedades da Soma de vetores
Diferença de vetores
Se v=(a,b) e w=(c,d), definimos a diferença entre v e w, por:
v - w = (a-c,b-d)
Produto de um número escalar por um vetor
Se v=(a,b) é um vetor e c é um número real, definimos a multiplicação de c por v como:
c.v = (ca,cb)
Propriedades do produto de escalar por vetor
Quaisquer que sejam k e c escalares, v e w vetores: 
Módulo de um vetor
O módulo ou comprimento do vetor v=(a,b) é um número real não negativo, definido por:
Vetor unitário
Vetor unitário é o que tem o módulo igual a 1.
Existem dois vetores unitários que formam a base canônica para o espaço R², que são dados por:
i = (1,0) j = (0,1)
Para construir um vetor unitário u que tenha a mesma direção e sentido que um outro vetor v, basta dividir o vetor v pelo seu módulo, isto é:
Observação: 
Para construir um vetor u paralelo a um vetor v, basta tomar u=cv, onde c é um escalar não nulo. Nesse caso, u e v serão paralelos:
Se c = 0, então u será o vetor nulo.
Se 0 < c < 1, então u terá comprimento menor do que v.
Se c > 1, então u terá comprimento maior do que v.
Se c < 0, então u terá sentido oposto ao de v.
Decomposição de vetores em Vetores Unitários
Para fazer cálculos de vetores em apenas um dos planos em que ele se apresenta, pode-se decompor este vetor em vetores unitários em cada um dos planos apresentados.
Sendo simbolizados, por convenção, î como vetor unitário do plano x e como vetor unitário do plano y. Caso o problema a ser resolvido seja dado em três dimensões, o vetor utilizado para o plano z é o vetor unitário .
Então, a projeção do vetor no eixo x do plano cartesiano será dado por , e sua projeção no eixo y do plano será: . Este vetor pode ser escrito como:
=(,), respeitando que sempre o primeiro componente entre parênteses é a projeção em x e o segundo é a projeção no eixo y. Caso apareça um terceiro componente, será o componente do eixo z.
No caso onde o vetor não se encontra na origem, é possível redesenhá-lo, para que esteja na origem, ou então descontar a parte do plano onde o vetor não é projetado.
Produto escalar
Dados os vetores u=(a,b) e v=(c,d) definimos o produto escalar entre os vetores u e v, como o número real obtido por:
u.v = a.c + b.d
Exemplos:
O produto escalar entre u=(3,4) e v=(-2,5) é:
u.v = 3.(-2) + 4.(5) = -6+20 = 14
O produto escalar entre u=(1,7) e v=(2,-3) é:
u.v = 1.(2) + 7.(-3) = 2-21 = -19
Propriedades do produto escalar
Quaisquer que sejam os vetores, u v e w e k escalar:
Ângulo entre dois vetores
O produto escalar entre os vetores u e v pode ser escrito na forma:
u.v = |u| |v| cos(x)
onde x é o ângulo formado entre u e v.
Através desta última definição de produto escalar, podemos obter o ângulo x entre dois vetores genéricos u e v, como,
desde que nenhum deles seja nulo.
Vetores
Aceleração e Velocidade Vetoriais
Vetor Posição
Imagine um móvel deslocando-se em uma trajetória aleatória, com uma origem O.
Se colocarmos um plano cartesiano situado nesta origem, então poderemos localizar o móvel nesta trajetória por meio de um vetor.
O vetor é chamado vetor deslocamento e possui módulo, direção e sentido.
=P-O
Velocidade Vetorial
Vetor Velocidade Média: Considere-se um móvel percorrendo a trajetória do gráfico acima, ocupando posições  e  nos instantes e , respectivamente.
Sabendo que a velocidade média é igual ao quociente do vetor deslocamento pelo intervalo de tempo:
Observação:
O vetor velocidade média tem a mesma direção e sentido do vetor deslocamento, pois é obtido quando multiplicamos um número positivo 
pelo vetor .
Vetor Velocidade Instantânea: Análogo à velocidade escalar instantânea, quando o intervalo de tempo tender a zero (), a velocidade calculada será a velocidade instantânea.
então: 
Aceleração Vetorial
Vetor Aceleração Média: Considerando um móvel que percorre uma trajetória qualquer com velocidade em um instante  e velocidade  em um instante posterior , sua aceleração média será dada por:
Observação:
Assim como para o vetor velocidade, o vetor aceleração terá o mesmo sentido e mesma direção do vetor velocidade, pois é resultado do produto deste vetor () por um número escalar positivo, .
Vetor Aceleração Instantânea: A aceleração vetorial instantânea será dada quando o intervalo de tempo tender a zero ().
Sabendo esses conceitos, podemos definir as funções de velocidade em função do tempo, deslocamento em função do tempo e a equação de Torricelli para notação vetorial:
Por exemplo:
Um corpo se desloca com velocidade, e aceleração constante , da forma como está descrita abaixo:
(a)Qual o vetor velocidade após 10 segundos? (b)Qual a posição do móvel neste instante?
(a)Para calcularmos a velocidade vetorial em função de um tempo, precisamos decompor os vetores velocidade inicial e aceleração em suas projeções em x e y:
Assim, podemos dividir o movimento em vertical(y) e horizontal(x):
Em x: 
Em y: 
A partir destes valores podemos calcular o vetor velocidade:
(b)Sabendo o vetor velocidade, podemos calcular o vetor posição pela equação de Torricelli, ou pela função horária do deslocamento, ambas na forma de vetores:
Por Torricelli:
na mesma direção e sentido dos vetores aceleração e velocidade.
Pela Função horária da Posição:
na mesma direção e sentido dos vetores aceleração e velocidade.
Movimento Oblíquo
Um movimento oblíquo é um movimento parte vertical e parte horizontal. Por exemplo, o movimento de uma pedra sendo arremessada em um certo ângulo com a horizontal, ou uma bola sendo chutada formando um ângulo com a horizontal.
Com os fundamentos do movimento vertical, sabe-se que, quando a resistência do ar é desprezada, o corpo sofre apenas a aceleração da gravidade.
Lançamento Oblíquo ou de Projétil
O móvel se deslocará para a frente em uma trajetória que vai até uma altura máxima e depois volta a descer, formando uma trajetória parabólica.
Para estudar este movimento, deve-se considerar o movimento oblíquo como sendo o resultante entre o movimento vertical (y) e o movimento horizontal (x).
Na direção vertical o corpo realiza um Movimento Uniformemente Variado, com velocidade inicial igual a e aceleração da gravidade (g)
Na direção horizontal o corpo realiza um movimento uniforme com velocidade igual a .
Observações:
· Durante a subida a velocidade vertical diminui, chega a um ponto (altura máxima) onde , e desce aumentando a velocidade.
· O alcance máximo é a distância entre o ponto do lançamento e o ponto da queda do corpo, ou seja, onde y=0.
· A velocidade instantânea é dada pela soma vetorial das velocidades horizontal e vertical, ou seja, . O vetor velocidade é tangente à trajetória em cada momento.
Exemplo:
Um dardo é lançado com uma velocidade inicial v0=25m/s, formando um ângulo de 45° com a horizontal. (a) Qual o alcance máximo (b) e a altura máxima atingida?
Para calcular este movimento deve-se dividir o movimento em vertical e horizontal.
Para decompor o vetor em seus componentes são necessários alguns fundamentos de trigonometria:
Genericamente podemos chamar o ângulo formado de .
Então:
logo:
e:
logo:
(a) No sentido horizontal (substituindo o s da função do espaço por x):
sendo
temos:
(1)
No sentido vertical (substituindo h por y):
sendo
temos:
(2) 
E o tempo é igual para ambas as equações, então podemos isolá-lo em (1), e substituir em (2):
(1)
e , então:
onde substituindo em (2):
(2) 
e onde o alcance é máximo . Então temos:
mas , então:
resolvendo esta equação por fórmula de Baskara:
mas
então:
mas
Então
Substituindo os dados do problema na equação:
(b) Sabemos que quando a altura for máxima . Então, partindo da equação de Torricelli no movimento vertical:
e substituindo os dados do problema na equação, obtemos:
Lançamento Horizontal
Trata-se de uma particularidade do movimento oblíquo onde o ângulo de lançamento é zero, ou seja, é lançado horizontalmente.
Por exemplo, quando uma criança chuta uma bola que cai em um penhasco, ou quando um jardineiro está regando um jardim com uma mangueira orientada horizontalmente.
Por exemplo:
(Cefet-MG) Uma bola de pingue-pongue rola sobre uma mesa com velocidade constante de 0,2m/s. Após sair da mesa, cai, atingindo o chão a uma distância de 0,2m dos pés da mesa. Considerando g=10m/s² e a resistência do ar desprezível, determine:
(a) a altura da mesa;
(b) o tempo gasto pela bola para atingir o solo.
(a)
, e cos0°=1, então:
, considerando a posição horizontal inicial do móvel zero, e isolando t:
Porém neste caso, a aceleração da gravidade (g) vai ser positiva, devido ao movimento ser no mesmo sentido da aceleração.
, mas sen0°=0, então:
, considerando a posição vertical inicial zero e substituindo t:
(b) Sabendo a altura da mesa é possível calcular o tempo gasto pela função horária do deslocamento:
, mas sen0°=0, então:
Movimento Circular
Grandezas Angulares
As grandezas até agora utilizadas de deslocamento/espaço (s, h, x, y), de velocidade (v) e de aceleração (a), eram úteis quando o objetivo era descrever movimentos lineares.
Na análise de movimentos circulares, devemos introduzir novas grandezas, que são chamadas grandezas angulares, medidas sempre em radianos. São elas:
· deslocamento/espaço angular: φ (phi)
· velocidade angular: ω (ômega)
· aceleração angular: α (alpha)
	Saiba mais...
Da definição de radiano temos:
Desta definição é possível obter a relação:
E também é possível saber que o arco correspondente a 1rad é o ângulo formado quando seu arco S tem o mesmo comprimento do raio R.
Espaço Angular (φ)
Chama-se espaço angular o espaço do arco formado, quando um móvel encontra-se a uma abertura de ângulo φ qualquer em relação ao ponto denominado origem.
E é calculado por: 
Deslocamento angular (Δφ)
Assim como para o deslocamento linear, temos um deslocamento angular se calcularmos a diferença entre a posição angular final e a posição angular inicial:
Sendo:
Por convenção:
No sentido anti-horário o deslocamento angular é positivo.
No sentido horário o deslocamento angular é negativo.
Velocidade Angular (ω)
Análogo à velocidade linear, podemos definir a velocidade angular média, como a razão entre o deslocamento angular pelo intervalo de tempo do movimento:
Sua unidade no Sistema Internacional é: rad/s
Sendo também encontradas: rpm, rev/min, rev/s.
Também é possível definir a velocidade angular instantânea como o limite da velocidade angular média quando o intervalo de tempo tender a zero:
Aceleração Angular (α)
Seguindo a mesma analogia utilizada para a velocidade angular, definimos aceleração angular média como:
Algumas relações importantes
Através da definição de radiano dada anteriormente temos que:
mas se isolarmos S:
derivando esta igualdade em ambos os lados em função do tempo obteremos:
mas a derivada da Posição em função do tempo é igual a velocidade linear e a derivada da Posição Angular em função do tempo é igual a velocidade angular, logo:
onde podemos novamente derivar a igualdade em função do tempo e obteremos:
mas a derivada da velocidade linear em função do tempo é igual a aceleração linear, que no movimento circular é tangente à trajetória, e a derivada da velocidade angular em função do tempo é igual a aceleração angular, então:
Então:
	Linear
	
	Angular
	S
	=
	φR
	v
	=
	ωR
	a
	=
	αR
Período e Frequência
Período (T) é o intervalo de tempo mínimo para que um fenômeno ciclico se repita. Sua unidade é a unidade de tempo (segundo, minuto, hora...)
Frequência(f) é o número de vezes que um fenômeno ocorre em certa unidade de tempo. Sua unidade mais comum é Hertz (1Hz=1/s) sendo também encontradas kHz, MHz e rpm. No movimento circular a frequência equivale ao número de rotações por segundo sendo equivalente a velocidade angular.
Para converter rotações por segundo para rad/s:
sabendo que 1rotação = 2πrad,
Movimento Circular Uniforme
Um corpo está em Movimento Curvilíneo Uniforme, se sua trajetória for descrita por um círculo com um "eixo de rotação" a uma distância R, e sua velocidade for constante, ou seja, a mesma em todos os pontos do percurso.
No cotidiano, observamos muitos exemplos de MCU, como uma roda gigante, um carrossel ou as pás de um ventilador girando.
Embora a velocidade linear seja constante, ela sofre mudança de direção e sentido, logo existe uma aceleração, mas como esta aceleração não influencia no módulo da velocidade, chamamos de Aceleração Centrípeta.
Esta aceleração é relacionada com a velocidade angular da seguinte forma:
Sabendo que e que , pode-se converter a função horária do espaço linear para o espaço angular:
então:
Movimento Circular UniformementeVariado
Quando um corpo, que descreve trajetória circular, e sofre mudança na sua velocidade angular, então este corpo tem aceleração angular (α).
As formas angulares das equações do Movimento Curvilíneo Uniformemente Variado são obtidas quando divididas pelo raio R da trajetória a que se movimenta o corpo.
Assim:
	MUV
	MCUV
	Grandezas lineares
	Grandezas angulares
	
	
	
	
	
	
	
	
E, aceleração resultante é dada pela soma vetorial da aceleração tangencial e da aceleração centípeta:
Exemplo:
Um volante circular como raio 0,4 metros gira, partindo do repouso, com aceleração angular igual a 2rad/s².
(a) Qual será a sua velocidade angular depois de 10 segundos?
(b) Qual será o ângulo descrito neste tempo?
(c) Qual será o vetor aceleração resultante?
(a) Pela função horária da velocidade angular:
(b) Pela função horária do deslocamento angular:
(c) Pelas relações estabelecidas de aceleração tangencial e centrípeta: