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1ª edição
2017
Matemática
Financeira
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Palavras do professor
A matemática financeira é uma disciplina necessária e está presente no 
nosso dia a dia em várias situações. Estudá-la é uma tarefa que permite 
compreender os fundamentos da matemática, tão presentes na vida de 
todos nós. Quando vamos comprar algum bem de consumo, é imprescin-
dível que conheçamos os conceitos principais de matemática financeira, 
que nos proporcionam verificar se aquilo que está sendo dito a nós é o 
que realmente está sendo cobrado.
Nossas discussões iniciam com a introdução de conceitos iniciais e ele-
mentos básicos da matemática financeira, com o propósito de alcan-
çarmos a definição de desconto simples e composto e a diferença entre 
ambos. 
Os aspectos relacionados ao perfil profissional e também ao domínio dos 
fundamentos que cercam a disciplina possuem uma relação com o nosso 
cotidiano. Nós somos compelidos sistematicamente a tomar decisões que 
requerem conhecimentos elementares. Quando estudamos pagamentos, 
por exemplo, temos duas opções: pagamento com ou sem entrada. Com 
o estudo da matemática financeira podemos calcular o valor da parcela 
para cada tipo de pagamento, considerando as parcelas, o valor a ser pago 
e a taxa de juros cobrada.
Uma área extremamente importante e a cada dia mais comentada dentro 
da matemática financeira é a análise de investimento. Precisamos saber 
qual investimento é mais rentável, utilizando alguma ferramenta de deci-
são. As ferramentas mais utilizadas dentro da matemática financeira são: 
valor presente líquido (VPL), taxa interna de retorno (TIR) e payback. Essas 
ferramentas são capazes de apontar qual investimento possui maior ren-
tabilidade para um caso específico.
Imagine que você faça um empréstimo bancário, com número de presta-
ções e taxa de juros definidos. É importante que você conheça qual sistema 
de amortização da dívida está sendo utilizado no empréstimo em questão. 
A abordagem da disciplina, nesse contexto, faz-se no sentido de formar 
profissionais que ao longo dos estudos procurem seu próprio caminho 
entre os temas estudados e as experiências cotidianas. São fundamentais 
a dedicação e o comprometimento com os estudos, para que você possa 
buscar elementos que lhe permitam elaborar as conexões entre a teoria e a 
prática. E, com isso, concluir que a disciplina, além de importante para a for-
mação profissional, está intrinsecamente ligada a outras áreas de sua vida.
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Unidade de Estudo 1
Introdução à Matemática 
Financeira
Para iniciar seus estudos
Nesta unidade você aprenderá os conceitos iniciais de matemática finan-
ceira, que abordam razão, proporção, porcentagem, juros simples, juros 
compostos, valor presente, prestação, valor futuro, taxas, entre outros. 
Todos esses conceitos são extremamente importantes para que você 
consiga entender todas as demais aulas de matemática financeira.
Objetivos de Aprendizagem
• Apresentar os conceitos dos elementos básicos da matemática 
financeira (razão, proporção, porcentagem, juros simples e com-
postos).
• Mostrar como são feitos os cálculos dos elementos básicos atra-
vés de expressões matemáticas, com exemplos práticos.
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Matemática Financeira | Unidade de Estudo 1 – Introdução à Matemática Financeira
1.1 Conceitos Iniciais
Nós utilizamos os conceitos de matemática financeira a todo o momento em nosso dia a dia. Por exemplo, quando 
fazemos um empréstimo em um determinado banco, é necessário sabermos o que são taxa de juros, prestação, 
amortização, porcentagem, etc.
Imagine a compra de um tênis que custa R$150,00. Dependendo do tipo de pagamento, à vista ou a prazo, você 
precisa entender os conceitos de matemática financeira para poder calcular o valor da prestação que vai pagar.
Os elementos básicos da matemática financeira dos quais você deve tomar conhecimento são: razão, proporção, 
porcentagem, juros simples e juros compostos.
Quando estamos interessados em resolver problemas de juros simples e compostos, é importante conhecermos 
a calculadora HP 12C. Ela é simples de se utilizar e nos fornece resultados rápidos, que nos poupam de uma série 
de cálculos vindos de expressões matemáticas. 
Figura 1.1 - HP 12C.
Legenda: Calculadora HP 12C.
Fonte: <https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9b/HP-12C_programmable_calculator.jpg?uselang=pt-br>.
Nas próximas seções trataremos dessas concepções, inclusive dos elementos básicos que compõem a matemá-
tica financeira. 
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9b/HP-12C_programmable_calculator.jpg?uselang=pt-br
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Matemática Financeira | Unidade de Estudo 1 – Introdução à Matemática Financeira
1.2 Elementos Básicos da Matemática Financeira
Os elementos básicos da matemática financeira são razão, proporção, porcentagem, juros simples e juros com-
postos. No entanto, para que você consiga compreender esses elementos é muito importante definirmos os 
conceitos de capital ou valor presente (valor inicialmente aplicado), prazo (tempo de duração do investimento), 
juros e taxa de juros (representados em porcentagem), montante ou valor futuro (valor acumulado ao final de 
um investimento), fluxo de caixa (descrição das entradas e saídas do caixa), regimes de capitalização (juros sim-
ples ou compostos), taxa proporcional, taxa equivalente e taxa nominal. Esses conceitos precisam estar claros na 
mente do estudante, pois a maioria dos problemas de matemática financeira aborda quase todos esses elemen-
tos. Assim, é fundamental que saibamos definir cada um deles.
1.2.1 Razão
A razão consiste no quociente entre dois números. Para encontrarmos a razão entre dois números basta efetuar-
mos a divisão entre eles. A expressão utilizada para o cálculo da razão é:
1
2
nR
n
=
Em que:
R : Razão.
1n : primeiro número.
2n : segundo número (deve ser diferente de zero).
Exemplo 1.1
Em uma escola pública de uma cidade, uma sala do 5o ano tem 50 alunos, dos quais 30 são meninas. Queremos 
encontrar a razão do número de meninas em relação ao total.
A razão em questão é dada pela seguinte expressão matemática:
1
2
nR
n
=
Utilizando os dados fornecidos no enunciado, temos que:
30
50
R =
0,6R =
Assim, de acordo com dados do exemplo supracitado, a razão entre o número de meninas e o total é dada por 0,6.
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Matemática Financeira | Unidade de Estudo 1 – Introdução à Matemática Financeira
Vamos deixar claros alguns pontos a respeito da razão:
• A razão entre dois números é igual a 1 quando ambos os valores são iguais.
• Quando o numerador for maior que o denominador, a razão será maior que 1.
• O valor assumido pela razão será entre 0 e 1 quando o numerador for menor que o denominador.
• A razão será positiva quando ambos os números forem positivos ou ambos negativos.
• O valor da razão será negativo quando os números possuírem sinais distintos.
• A razão poderá ser zero. Isso acontecerá apenas se o numerador for igual a zero.
Exemplo 1.2
Uma determinada concessionária tem 10 veículos em sua loja. Todos os veículos são brancos. Queremos encon-
trar a razão entre o número de veículos brancos em relação ao total.
A razão em questão é dada pela seguinte expressão matemática:
1
2
nR
n
=
Utilizando os dados fornecidos no enunciado, temos que:
10
10
R =
1R =
A razão entre o número de veículos brancos e o número total de veículos é 1.
Exemplo 1.3
Imagine que em uma determinada prova as notas de 5 estudantes foram 5, 6, 7, 8, 9. Queremos encontrar a razão 
entre o número de estudantes que conseguiram pontuações menores que 5 em relação ao total de alunos.
A razão em questão é dada pela seguinte expressão matemática:
1
2
nR
n
=
Utilizando os dados fornecidos no enunciado, temos que:
0
5
R =
0R =
Assim, temos que a razão entre o número de estudantes que obtiveram notas inferiores que 5 e o número total 
de alunos é dada por zero, pois não existem estudantes que conseguiram pontuações menores que 5.
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Matemática Financeira | Unidade de Estudo 1 – Introdução à Matemática Financeira1.2.2 Proporção
Denominamos proporção a igualdade entre duas razões. Devemos utilizar a seguinte expressão matemática para 
o cálculo da proporção:
31
2 4
nn k
n n
= =
Em que:
k : proporção.
1n : primeiro número.
2n : segundo número (deve ser diferente de zero).
3n : terceiro número
4n : quarto número (deve ser diferente de zero).
Na expressão supracitada, chamamos 1n e 4n de extremos e 2n e 3n de meios. 
Propriedade Fundamental da Proporção: o produto dos extremos é igual ao produto dos meios. Assim, basta 
efetuarmos a multiplicação cruzada na expressão supracitada. Logo, temos:
1 4 2 3n n n n=
Exemplo 1.4
Uma pessoa gasta em média 100 litros de água por dia para suprir suas necessidades. Qual é o gasto médio para 
uma família de 3 pessoas em 1 dia? 
Devemos utilizar a propriedade fundamental da proporção para resolver o exercício. Assim, temos que:
31
2 4
nn
n n
=
4
1 3
100 n
=
4 300n l=
Diante dos cálculos apresentados, concluímos que uma residência de três pessoas apresenta o gasto de 300 litros 
de água por dia.
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Matemática Financeira | Unidade de Estudo 1 – Introdução à Matemática Financeira
1.2.3 Porcentagem
Em matemática, a notação r% (r por cento) é utilizada para representar a fração 100
r
 (fração centesimal).
É muito comum, em problemas, termos de calcular a porcentagem de um total. Para tanto, basta efetuarmos a 
multiplicação entre a fração centesimal correspondente pelo total, de acordo com o exemplo 1.5.
Exemplo 1.5
Calcule 20% de 500.
Para encontrar essa porcentagem, precisamos calcular .
100
r Total . Note que 20%r = e 500Total = . Logo, 
20 .500 0,2.500 100
100
= = . 
Assim, podemos dizer que 20% de 500 são 100.
Exemplo 1.6
A prestação do apartamento de João é de R$1000,00 e representa 30% do valor do salário bruto dele. Qual é o 
valor do salário bruto de João?
Resolvendo o problema pela aplicação dos conceitos de porcentagem e proporção, temos:
1000 30
x
= %
1000 30
100x
=
30 100000x =
x = 100000
30
x = 3 333 33. ,
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Matemática Financeira | Unidade de Estudo 1 – Introdução à Matemática Financeira
Podemos também solucionar este exercício através da aplicação da regra de três.
x − − − − −
− − −
100
1000 30
%
%
x
x
1000
100
30
30 100000
=
=
x = 100000
30
x = 3 333. ,33
Assim, concluímos que o salário bruto de João é de R$ 3.333,33.
Os conceitos de razão, proporção e porcentagem são extremamente importantes para o entendimento dos pró-
ximos tópicos que vão ser abordados em matemática financeira.
1.2.4 Capital ou Valor Presente
É o valor sobre o qual vão incidir os encargos e os juros. Também pode ser denominado por valor à vista. Caso 
estivermos falando de investimento, o capital é o investimento inicial realizado. Costuma-se denominar capital 
ou valor presente pelas letras PV.
A sigla PV vem do inglês Present Value, que significa Valor Presente.
Glossário
Exemplo 1.7
Comprei um veículo que custa R$100.000,00 em 20 prestações com taxa de juros de 1% ao mês. Qual é o valor 
presente em questão? 
O valor presente é o valor do investimento feito, que já foi dito no enunciado do exercício (é o valor pelo qual 
compramos o veículo em questão). Logo, o valor presente é de R$100.000,00.
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Matemática Financeira | Unidade de Estudo 1 – Introdução à Matemática Financeira
1.2.5 Prazo
O prazo está sempre vinculado a uma unidade temporal (exemplos: dia, mês, semestre, ano etc.). Esse tempo será 
utilizado para calcular os juros que vão ser incorporados ao capital. Podemos denominar o prazo tanto pela letra 
n quanto pela letra t.
Quando estamos analisando um determinado investimento, o prazo é aquele período de tempo do investimento.
Exemplo 1.8
Fiz um empréstimo de R$100.000,00 para pagar em 100 prestações mensais com taxa de juros de 1% ao mês. 
Qual é o prazo do investimento? 
Para o exemplo supracitado o prazo é o tempo em que se demorou para pagar o investimento, no caso 100 
meses.
1.2.6 Juros e Taxas de Juros
O juro é a remuneração atribuída ao capital. É o aumento de valor sofrido por um determinado capital.
 Sempre que falamos em juro relativo a um capital, estamos nos referindo à remuneração desse capital durante 
um intervalo de tempo. Esse tempo é denominado período financeiro ou período de capitalização.
O juro depende do capital e do tempo. O valor do juro em determinado tempo é expresso como uma porcenta-
gem do capital, através de uma taxa. Costuma-se adotar a letra i para representar a taxa de juros.
Exemplo 1.9
Fiz um empréstimo de R$10.000,00 para pagar em 10 prestações mensais com taxa de juros de 1% ao mês. Qual 
é a taxa de juros do investimento? 
O juro é o valor adicional que pagamos para quitar o empréstimo realizado. Assim, temos que a taxa de juro para 
o exemplo em questão é de 1% ao mês.
1.2.7 Montante ou Valor Futuro
É o valor final, somando-se todos os juros acumulados ao capital inicial. Geralmente denominamos o valor futuro 
por FV.
O montante ou valor futuro é igual à soma do valor presente com o valor do juro.
Existem duas expressões utilizadas para o cálculo do montante ou valor futuro: uma para juro simples e uma para 
juro composto.
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Matemática Financeira | Unidade de Estudo 1 – Introdução à Matemática Financeira
1.2.8 Fluxo de Caixa
O fluxo de caixa consiste no conjunto de entradas (receitas) e saídas (despesas) do capital no caixa ao longo 
do tempo.
É uma ferramenta extremamente útil para a análise da rentabilidade e viabilidade de um determinado investi-
mento. Através da análise do fluxo de caixa, conseguimos verificar como é a relação entre as entradas e saídas de 
caixa, e isso pode nos ajudar a saber se determinado investimento é viável ou não.
O quadro 1.1 apresenta as convenções utilizadas para a representação do fluxo de caixa. Todas as setas que 
apontam para cima indicam entradas no caixa (aumento de valor do caixa), e todas as setas para baixo indicam 
diminuição no caixa (saídas).
Quadro 1.1 - Convenções em um fluxo de caixa
Símbolo Significado
 ou + Entradas (crédito)
 ou - Saídas (débito)
Legenda: Convenções em um fluxo de caixa.
Fonte: Elaborado pelo autor (2017).
Exemplo 1.10
Imagine que vou comprar uma camisa de R$300,00 através de três prestações mensais de R$100,00, sem juros. 
Qual é o fluxo de caixa para essa situação?
O fluxo de caixa nos mostra a relação entre as entradas e saídas de caixa. Assim, temos:
Note que nesse exemplo não há juros. No entanto, caso haja, é necessário que calculemos os valores de cada 
prestação, para que depois façamos a construção do fluxo de caixa.
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Matemática Financeira | Unidade de Estudo 1 – Introdução à Matemática Financeira
1.2.9 Regimes de Capitalização
Chamamos de regime de capitalização o processo de formação de juro. Há duas maneiras de capitalizarmos um 
capital: utilizando juros simples ou compostos.
Juro é a remuneração do capital emprestado, podendo ser entendido, de forma simplificada, como sendo o alu-
guel pago pelo uso do dinheiro (VIEIRA SOBRINHO, 2010). Juro é o preço pago pelo aluguel do dinheiro, ou seja, 
o valor que deve ser pago pelo empréstimo de um capital (ASSAF NETO, 2010).
1.2.10 Juros Simples
O juro pago em cada período é sempre constante. Nesse regime, apenas o capital inicial rende juro. Assim, o juro 
formado no fim de cada período não é incorporado ao capital para render juro no período seguinte. Consequen-
temente, dizemos que os juros não são capitalizados.
Quando trabalhamos com juros simples, os juros são capitalizados ao final da negociação e são calculados unica-
mente sobre o capital inicial, ou seja, são fixos e iguais em todos os períodos. Dessa forma, podemos concluir que 
o crescimento do capital ocorre de maneira linear. Assim, a expressão para o cálculo dos juros simples é dada por:
. .J PV i n=
Em que:
J : juros simples.
PV : valor do capital inicial ou principal.
i : taxa de juros.
n : prazo ou número de períodos ou tempo de capitalização.
O montante ou valor futuro (FV) é igual à soma do capital inicial como juro relativo ao período de aplicação. Logo:
. .FV PV PV i n= +
( )1 .FV PV i n= +
Em que:
FV : valor futuro.
PV : valor do capital inicial ou principal.
i : taxa de juros.
n : prazo ou número de períodos ou tempo de capitalização.
Caso queiramos calcular os juros simples, devemos utilizar a seguinte expressão matemática:
. .J PV i n=
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Matemática Financeira | Unidade de Estudo 1 – Introdução à Matemática Financeira
Exemplo 1.11
João investiu R$100.000,00 durante 12 meses, à taxa de 3% ao mês, no regime de juros simples. Qual montante 
ele receberá e qual o valor do juro?
No problema supracitado, temos os seguintes dados:
$100.000,00PV R=
12n =
0,03i =
Utilizando a expressão para calcularmos o montante ou valor futuro, temos que:
( )1 .FV PV i n= +
( )100000 1 0,03.12FV = +
$136.000,00FV R=
O valor do juro é dado por:
. .J PV i n=
100000.0,03.12J =
$36.000,00J R=
Assim, temos que o montante que ele vai receber é de R$136.000,00 e o valor de juro é de R$36.000,00.
Exemplo 1.12
Qual o capital necessário para Maurício investir se ele quer ter um montante de R$15.000,00 daqui a 18 meses, 
com uma aplicação à taxa de 24% a.a., no regime de juros simples?
Esse exercício tem uma “pegadinha”. Note que o período de rendimento do capital está em uma unidade tempo-
ral diferente do período da taxa de juros. Assim, é necessário que façamos a devida conversão do período da taxa 
de juros para a unidade temporal do período de capitalização. Assim, temos:
$15.000,00FV R=
18n =
0,24 0,02 . .
12
i a m= =
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Matemática Financeira | Unidade de Estudo 1 – Introdução à Matemática Financeira
Note que agora a taxa de juros é mensal (igual ao período de capitalização). 
Utilizando a expressão para calcularmos o valor presente, temos que:
( )1 .FV PV i n= +
( )1 .
FVPV
i n
=
+
( )
15000
1 0,02.18
PV =
+
$11.029,41PV R=
Assim, o capital inicial que ele deverá investir é de R$11.029,41.
Para resolver esse exercício utilizando a calculadora HP 12C, você deve utilizar os seguintes comandos:
fREG 18 ENTER 2 X 100 + 15000 %T
Observação: o comando f REG é utilizado para limpar a memória.
Utilizando esses comandos, você encontra o valor presente que foi calculado acima.
1.2.11 Taxas
Quando formos analisar problemas que contenham taxas de juros, é extremamente importante que saibamos 
diferenciar todos os tipos de taxas, pois a utilização de uma taxa inadequada durante a solução de um exercício 
vai comprometer a resposta.
Taxa Proporcional: duas taxas são consideradas proporcionais quando seus valores formam uma proporção. 
Podemos utilizar a seguinte expressão matemática:
k
ii
k
=
Em que:
ki : taxa proporcional.
i : taxa em análise.
k : período (unidade temporal).
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Matemática Financeira | Unidade de Estudo 1 – Introdução à Matemática Financeira
Exemplo 1.13
Qual a taxa mensal proporcional a 36% ao ano?
Basta fazermos a conversão pela utilização da expressão supracitada. Logo:
k
ii
k
=
0,36
12k
i =
0,03 . .ki a m=
Assim, temos que a taxa mensal proporcional a 36% ao ano é de 3% ao mês.
Para resolver esse exercício utilizando a calculadora HP 12C, você deve utilizar os seguintes comandos:
0.36 ENTER 12 ÷
Os comandos fornecem a taxa que foi encontrada acima.
Taxas Equivalentes: duas taxas são consideradas equivalentes quando, aplicadas ao mesmo capital durante o 
mesmo período de tempo, produzem o mesmo total de juros.
Exemplo 1.14
Vamos analisar o juro produzido pelo capital de R$15.000,00 nas taxas e prazos a seguir.
a. Taxa de 4% a.m. durante 6 meses.
$15.000,00PV R=
0,04i =
6n =
Utilizando a expressão que nos fornece o juro, temos:
. .J PV i n=
15000.0,04.6J =
$3.600,00J R=
Para resolver esse exercício utilizando a calculadora HP 12C, você deve utilizar os seguintes comandos:
15000 ENTER 0,04 x 6 x
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Matemática Financeira | Unidade de Estudo 1 – Introdução à Matemática Financeira
Os comandos fornecem o valor do juro em questão.
b. Taxa de 12% a.t. durante 2 trimestres.
$15.000,00PV R=
0,12 . .i a t=
2n =
Utilizando a expressão que nos fornece o juro, temos:
. .J PV i n=
15000.0,12.2J =
$3.600,00J R=
Como o valor do juro é igual para ambas as taxas, elas são consideradas proporcionais.
Para resolver esse exercício utilizando a calculadora HP 12C, você deve utilizar os seguintes comandos:
15000 ENTER 0,12 x 2 x
Os comandos fornecem o valor do juro em questão.
Taxa Nominal e Taxa Efetiva: taxa nominal é a taxa de juros contratada em uma operação financeira. Taxa efe-
tiva é a taxa de rendimento que a operação financeira efetivamente proporciona.
Quando estamos interessados em calcular os juros, devemos ficar atentos a qual taxa foi fornecida (nominal ou 
efetiva). A taxa efetiva pode ser utilizada diretamente para se calcular o valor dos juros. Já a taxa nominal necessita 
que façamos uma conversão.
A taxa efetiva é aquela cujo período é igual ao período de capitalização. Já a taxa nominal apresenta valores distintos.
Para fazermos os cálculos dos juros ou do montante precisamos sempre utilizar a taxa efetiva. Logo, se foi forne-
cida a taxa nominal, precisamos fazer a conversão apropriada.
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Matemática Financeira | Unidade de Estudo 1 – Introdução à Matemática Financeira
Puccini (2007) apresenta os conceitos de taxa efetiva, taxa nominal e taxa equivalente nas 
páginas 87, 88 e 89 de sua obra disponível em <http://s3.amazonaws.com/academia.edu.
documents/38944767/Livro_de_MATEMATICA_FINANCEIRA.pdf?AWSAccessKeyId=AKIAJ
56TQJRTWSMTNPEA&Expires=1482778576&Signature=Xf1egf6G10i3OMtvQep5Jv%2Br
DHs%3D&response-content-disposition=inline%3B%20filename%3DLivro_de_MATEMA-
TICA_FINANCEIRA.pdf>..
Exemplo 1.15
Fiz uma aplicação de R$1000,00 com a taxa de juros de 30% a.a. com capitalização mensal. Quais são as taxas 
efetiva e nominal?
Note que a taxa de juros foi fornecida ao ano e que o período de capitalização é mensal. Assim, a taxa de 30% 
a.a. é a taxa nominal. 
Para calcularmos a taxa efetiva é necessário converter a taxa de juros fornecida para o respectivo período de 
capitalização. Assim, temos:
k
ii
k
=
iE = =
30
12
2 5, %a .m.
Assim, temos que a taxa nominal é de 30% a.a. e a taxa efetiva é de 2,5% a.m.
Exemplo 1.16
Fiz uma aplicação de R$2000,00 com a taxa de juros de 9% a.t., com capitalização mensal, por 9 meses. Qual o 
valor do montante?
Primeiramente observe que a taxa fornecida é a taxa nominal. Logo, precisamos convertê-la em taxa efetiva. 
Assim, temos: 
9 3%a.m.
3E
i = =
Agora vamos calcular o montante através da seguinte expressão:
( )1 .FV PV i n= +
( )2000 1 0,03.9FV = +
$2.540,00FV R=
http://s3.amazonaws.com/academia.edu.documents/38944767/Livro_de_MATEMATICA_FINANCEIRA.pdf?AWSAccessKeyId=AKIAJ56TQJRTWSMTNPEA&Expires=1482778576&Signature=Xf1egf6G10i3OMtvQep5Jv%2BrDHs%3D&response-content-disposition=inline%3B%20filename%3DLivro_de_MATEM
http://s3.amazonaws.com/academia.edu.documents/38944767/Livro_de_MATEMATICA_FINANCEIRA.pdf?AWSAccessKeyId=AKIAJ56TQJRTWSMTNPEA&Expires=1482778576&Signature=Xf1egf6G10i3OMtvQep5Jv%2BrDHs%3D&response-content-disposition=inline%3B%20filename%3DLivro_de_MATEM
http://s3.amazonaws.com/academia.edu.documents/38944767/Livro_de_MATEMATICA_FINANCEIRA.pdf?AWSAccessKeyId=AKIAJ56TQJRTWSMTNPEA&Expires=1482778576&Signature=Xf1egf6G10i3OMtvQep5Jv%2BrDHs%3D&response-content-disposition=inline%3B%20filename%3DLivro_de_MATEM
http://s3.amazonaws.com/academia.edu.documents/38944767/Livro_de_MATEMATICA_FINANCEIRA.pdf?AWSAccessKeyId=AKIAJ56TQJRTWSMTNPEA&Expires=1482778576&Signature=Xf1egf6G10i3OMtvQep5Jv%2BrDHs%3D&response-content-disposition=inline%3B%20filename%3DLivro_de_MATEM
http://s3.amazonaws.com/academia.edu.documents/38944767/Livro_de_MATEMATICA_FINANCEIRA.pdf?AWSAccessKeyId=AKIAJ56TQJRTWSMTNPEA&Expires=1482778576&Signature=Xf1egf6G10i3OMtvQep5Jv%2BrDHs%3D&response-content-disposition=inline%3B%20filename%3DLivro_de_MATEM
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Matemática Financeira | Unidade de Estudo 1 – Introdução à Matemática Financeira
Assim, temos que o montante ou valor futuro paraa aplicação feita é de R$2.540,00.
Para resolver esse exercício utilizando a calculadora HP 12C, você deve utilizar os seguintes comandos:
2000 ENTER 1 ENTER 0,03 ENTER 9 X + X
Os comandos fornecem o valor futuro.
1.2.12 Juros Compostos
No dia a dia, é muito comum ouvirmos falar que determinada aplicação financeira tem “juro sobre juro”. Esse é 
o juro composto.
O juro composto é aquele em que o valor rendido nos períodos anteriores são levados em consideração para 
calcular o valor do juro do período em análise.
O sistema que em cada período financeiro, a partir do segundo, é calculado sobre o montante relativo ao período 
anterior é compreendido como juro composto.
Nesse regime de capitalização, o crescimento do capital ocorre de maneira exponencial. Isso ocorre porque os 
juros incidem sobre o capital inicial mais os juros acumulados até a data em questão.
Para calcularmos o valor do montante, devemos utilizar a seguinte expressão matemática:
( )1 nFV PV i= +
Em que:
FV : valor futuro.
PV : valor do capital inicial ou principal.
i : taxa de juros.
n : prazo ou número de períodos ou tempo de capitalização.
Observe a diferença da expressão utilizada para se calcular o valor futuro, utilizando juro 
composto, comparada com aquela utilizada no cálculo do valor futuro, considerando o sis-
tema de juro simples. No primeiro caso o “n” é o expoente de 1 + i. No segundo, ele apenas 
multiplica o i. 
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Matemática Financeira | Unidade de Estudo 1 – Introdução à Matemática Financeira
Exemplo 1.17
Fiz uma aplicação de R$1000,00 com taxa de juros compostos de 2% a.m., com capitalização mensal, por 10 
meses. Qual o valor do montante?
Vamos utilizar a expressão matemática que fornece o valor do montante para o caso do juro composto. Logo, temos:
( )1 nFV PV i= +
( )101000 1 0,02FV = +
$1218,99FV R=
Assim, temos que o valor do montante da aplicação financeira durante o período em questão é de R$ 1.218,99.
Você pode utilizar quaisquer dos métodos a seguir para encontrar o valor futuro pela calculadora HP 12C. O pri-
meiro é:
1000 ENTER 1 ENTER 0,02 + 10 y^x x
O segundo método é:
f REG 5000 CHS PV 5 i 2 n FV
Quando estamos interessados em calcular o valor dos juros, para o caso dos juros compostos, devemos nos lem-
brar da seguinte expressão:
FV PV J= +
J FV PV= −
Fazendo a substituição para a expressão do montante, temos:
( )1 nJ PV i PV= + −
( )1 1nJ PV i = + − 
Em que:
FV : valor futuro.
PV : valor do capital inicial ou principal.
J : valor do juro.
n : prazo ou número de períodos ou tempo de capitalização.
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Matemática Financeira | Unidade de Estudo 1 – Introdução à Matemática Financeira
Se você fosse aplicar seu dinheiro e tivesse duas opções disponíveis, utilizar juros simples ou 
compostos, qual você utilizaria? Você precisa calcular o valor do juro rendido ou do montante 
para cada tipo de aplicação para chegar a um resultado. 
Exemplo 1.18
Fiz uma aplicação de R$3000,00 com taxa de juros compostos de 1% a.m., com capitalização mensal, por 14 
meses. Qual o valor do juro?
Vamos utilizar a expressão que calcula diretamente o valor de juro composto, que é:
( )1 1nJ PV i = + − 
( )143000 1 0,01 1J  = + − 
$448,42J R=
O valor do juro rendido nessa aplicação durante o tempo transcorrido foi de R$448,42.
Vamos resolver o exemplo 1.18 de outra maneira.
O valor do montante para o caso em questão é dado por:
( )1 nFV PV i= +
( )143000 1 0,01FV = +
( )143000 1 0,01FV = +
Encontramos o valor de R$3.448,42 para o montante. Agora, devemos nos lembrar de que o valor do capital 
acrescido ao valor do juro é igual ao valor futuro (montante). Logo:
FV PV J= +
J FV PV= −
3448,42 3000J = −
$448,42J R=
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Matemática Financeira | Unidade de Estudo 1 – Introdução à Matemática Financeira
Você pode utilizar os comandos a seguir para encontrar o valor do juro composto pela calculadora HP 12C:
30000 ENTER 1 ENTER 0,1 + 14 y^x 1 - x
Note que encontramos, obviamente, o mesmo resultado para o juro composto. Os dois métodos fornecem os 
mesmos resultados sempre. Talvez seja mais interessante você seguir o segundo método, visto que precisará 
memorizar apenas uma expressão, já que a segunda (valor futuro = valor presente + juro) é bastante fácil de se 
entender na prática.
Exemplo 1.19
Qual taxa de juros ao mês faz com que uma quantia de R$2.500,00 se transforme em R$3.500,00 durante 4 meses?
A expressão para o regime de capitalização composta que é utilizada para calcular o valor futuro é:
( )1 nFV PV i= +
Vamos isolar i:
( )1 n FVi
PV
+ =
( )1 n FVi
PV
+ =
1n FVi
PV
= −
Substituindo os valores fornecidos, temos:
4
3500 1
2500
i = −
0,087757i =
8,78% . .i a m=
Você pode utilizar os comandos a seguir para encontrar o valor da taxa de juro pela calculadora HP 12C:
3500 ENTER 1 ENTER 0,02 + 3 CHS y^x x
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Matemática Financeira | Unidade de Estudo 1 – Introdução à Matemática Financeira
Exemplo 1.20
Quantos períodos são necessários para que um capital de R$10.000,00 se torne R$20.000,00, a uma taxa de 
juros de 2% ao mês?
A expressão para o regime de capitalização composta que é utilizada para calcular o valor futuro é:
( )1 nFV PV i= +
Vamos isolar a parcela entre parênteses.
( )1 n FVi
PV
+ =
Aplicando o logaritmo, temos:
( )ln 1 ln FVn i
PV
+ =
Substituindo os valores, temos:
( ) 200002ln 1 0,02 ln
10000
+ =
35n meses=
Você pode utilizar os comandos a seguir para encontrar o valor da taxa de juro pela calculadora HP 12C:
20000 ENTER 10000 + g ln 1.02 ENTER g ln +
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Considerações finais
Nesta unidade você aprendeu os conceitos iniciais de matemática finan-
ceira. Estude com bastante atenção tudo que lhe foi passado, pois você 
sempre precisará se lembrar desses conceitos para entender as próximas 
aulas de matemática financeira. Esta aula pode ser muito útil para você 
entender os pagamentos a prazo realizados cotidianamente.
Referências
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2010.
HAZAN, Samuel; POMPEO, José Nicolau. Matemática Financeira. 6. ed. 
São Paulo: Atlas, 2007. [E-book].
PUCCINI, E. C. Matemática Financeira. Sistema Universidade Aberta do 
Brasil, 2007. Disponível em: <http://s3.amazonaws.com/academia.edu.
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ccessKeyId=AKIAJ56TQJRTWSMTNPEA&Expires=1482778576&Signatur
e=Xf1egf6G10i3OMtvQep5Jv%2BrDHs%3D&response-content-disposi
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VERAS, L. L. Matemática Financeira. São Paulo: Atlas, 2012. [E-book]. Dis-
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dez. 2016.
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https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9b/HP-12C_programmable_calculator.jpg?uselang=pt-br
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