Probabilidade, Teste de Hipóteses e Distribuições

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UFV- CCE - DET
EST 105 - 1o/2020 PER - Prova 5 - 12/dez/20
1.(5 pts) Considere que um em cada 50 indiv́ıduos adultos vacinados sofrem efeitos
colaterais de uma vacina. Se uma amostra aleatória de 500 adultos são vacinados,
calcule a probabilidade de no máximo 12 sofrerem efeitos colaterais. DICA: Faça os
cálculos com o aux́ılio de algum Applet dispońıvel na internet.
a.( ) ≈ 0, 0955
b.( ) ≈ 0, 6979
c.( X ) ≈ 0, 7935
d.( ) ≈ 0, 3021
e.( ) Nenhuma das alternativas anteriores.
SOLUÇÃO:
Seja X o número de pessoas com efeitos colaterias
X ∼ Binomial(N = 500, p = 1
50
= 0, 02)
P (X ≤ 12) =
12∑
x=0
(
500
x
)
0, 02x 0, 98500−x
P (X ≤ 12) ≈ 0, 7935
Sugerimos os seguintes applets:
1- https://stattrek.com/online-calculator/binomial.aspx
2- https://keisan.casio.com/exec/system/1180573199
3- https://homepage.divms.uiowa.edu/~mbognar/applets/bin.html
1
2.(5 pts) Um elevador pode transportar uma carga máxima de 550Kg. Admita
que os pesos das pessoas que entram neste elevador sejam variáveis aleatórias in-
dependentes e normalmente distribúıdas com média igual 65 kg e variância igual a
36, 125 kg2. Pede-se: Aplique o Teorema da Combinação Linear para calcu-
lar a probabilidade de que uma amostra aleatória de oito (8) pessoas que entram
neste elevador, resulte em um peso total que exceda a carga máxima deste elevador.
DICA: Faça os cálculos com o aux́ılio de algum Applet dispońıvel na internet.
a.( X ) ≈ 0, 04
b.( ) ≈ 0, 96
c.( ) ≈ 0, 39
d.( ) ≈ 0, 01
e.( ) Nenhuma das alternativas anteriores.
SOLUÇÃO:
Seja Xi o peso da i-ésima pessoa e seja W =
8∑
i=1
Xi = Carga do elevador com
uma amostra aleatória de oito pessoas, isto é, observações independentes.
X ∼ Normal(µX = 65, σ2X = 36, 125)
µ = E(W ) =
∑8
i=1E(Xi) = 8× 65 = 520
σ2 = V (W ) =
∑8
i=1 V (Xi) = 8× 36, 126 = 289, pois, Cov(Xi, Xj) = 0 ∀ i 6= j
Pelo teorema da combinação linear W ∼ Normal(µ = 520, σ2 = 289)
P (W ≥ 550) = P (Z ≥ 550−520√
289
) = P (Z ≥ 1, 76) = 0, 5− 0, 4608 = 0, 0392 ≈ 0, 04
Sugerimos os seguintes applets:
1- https://homepage.divms.uiowa.edu/~mbognar/applets/normal.html
2- https://pt.planetcalc.com/4986/?language_select=pt
3- https://www.
wolframalpha.com/widgets/view.jsp?id=9bd010a31f27d2500aede72eb5852af2
2
3.(5 pts) Uma pesquisa realizada com 500 famı́lias, nas quais pelo menos um filho
estuda em IFES, avaliou a opinião geral da famı́lia, isto é, do marido, esposa e
filho(s), com relação à continuidade do ensino na modalidade remota no ano de 2021.
A opinião das famı́lias e também a renda familiar mensal, categorizada em número
de salários mı́nimos, são informados na tabela abaixo. Pede-se: Teste a hipótese
de independência entre opinião e renda das famı́lias, assinale a alternativa correta.
DICA: Faça os cálculos com o aux́ılio de algum Applet dispońıvel na internet.
Renda familiar mensal (R)
Opinião R < 2 2 ≤ R < 4 4 ≤ R < 6 6 ≤ R
favorável 44/49,6 50/56 50/52 56/42,4
contrário 80/74,4 90/84 80/78 50/63,6
a.( ) Valor-p ≈ 0, 023 rejeita-se H0 a 1% de significância.
b.( ) Valor-p ≈ 0, 023 não se rejeita H0 a 5% de significância.
c.( ) Valor-p ≈ 0, 018 rejeita-se H0 a 5% de significância.
d.( ) Valor-p ≈ 0, 018 não se rejeita H0 a 1% de significância.
e.( X ) Nenhuma das alternativas anteriores.
SOLUÇÃO:
Valor calculado sob H0, χ
2
GL =
∑3
j=1
∑2
i=1
(Oij−Eij)2
Eij
= (44−49,6)
2
49,6
+ . . .+ (50−63,6)
2
63,6
χ23 ≈ 9, 5238 com GL = (2− 1)(4− 1) = 3
valor-p = P (χ23 ≥ 9, 5238) ≈ 0, 023
Rejeitar H0 se α ≥ 2, 3%, ou seja, rejeitar a 5% ou não rejeitar a 1%
valores tabelados: χ2(5%, 3) = 7, 81 e χ2(1%, 3) = 11, 34
Sugerimos os seguintes applets:
1 - https://www.socscistatistics.com/tests/chisquare2/default2.aspx
2 - https://homepage.divms.uiowa.edu/~mbognar/applets/chisq.html
3 - https://stattrek.com/online-calculator/chi-square.aspx
4 - https://stats.libretexts.org/Bookshelves/Ancillary_Materials/
02%3A_Interactive_Statistics/
37%3A__Chi-Square_Test_For_Independence_Calculator
3
4.(5 pts) Um fabricante informa que a durabilidade média de uma bateria recar-
regável é igual a 300 horas com desvio-padrão igual a 20 horas. Suspeita-se que a
durabilidade média seja inferior ao valor informado pelo fabricante, e, para testar
esta hipótese tomou-se uma amostra aleatória de 25 baterias que forneceu dura-
bilidade média igual a 294 horas. Pede-se: Realize um teste de hipóteses a 5% e
assinale a alternativa com a decisão correta para o teste. DICA: Faça os cálculos
com o aux́ılio de algum Applet dispońıvel na internet.
a.( ) Informação do fabricante está incorreta, rejeitar H0 : µ = 300
b.( ) Informação do fabricante está correta, não rejeitar H0 : µ < 300
c.( X ) Informação do fabricante está correta, não rejeitar H0 : µ = 300
d.( ) Informação do fabricante está incorreta, rejeitar H0 : µ < 300
e.( ) Nenhuma das alternativas anteriores.
SOLUÇÃO:
H0 : µ = 300 (informação correta) VS H1 : µ < 300 (informação incorreta)
n = 25, X = 294, σ = 20, α = 5% e valor tabelado Z = 1, 64− 1, 65
Valor calculado sob H0 : Z0 =
X − µ
σ√
n
= −1, 5
valor-p = P (Z0 ≤ −1, 5) = 0, 5− 0, 4332 ≈ 0, 0668
Rejeitar H0 se α ≥ 6, 68%, ou seja, NÃO rejeitar a α = 5%
Sugerimos os seguintes applets:
1- https://
www.socscistatistics.com/tests/ztest_sample_mean/default2.aspx
2- http://davidmlane.com/hyperstat/z_table.html
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