Aula_1_Fracoes_Pot_Rad

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Frações, Potenciação e Radiciação
Raphael Donisete Ferreira Gomes
Pré-Vestibular Comunitário Dom Bosco
Matemática I
19 de março de 2020
Critério de Divisibilidade
Motivação
A falta de tempo é uma das dificuldades caracterı́sticas de
vestibulares. Quando se trata da parte matemática da prova é preciso
conhecer métodos e estratégias que possam otimizar o tempo de
solução dos exercı́cios. Dito isso, o critério de divisibilidades se torna
muito importante na prova
Com o critério de Divisibilidade é possı́vel descobrir se um número
inteiro é divisı́vel por outro de forma rápida.
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Preliminares
A principio precisamos definir o conceito de divisão.
Figura 1: Divisão
Uma divisão exata é aquela que tem resto igual a 0. Com isso, um
número é divisı́vel por outro se a divisão entre os dois for exata.
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Critério de Divisibilidade
Divisibilidade por 2
Os número que são divisı́veis por 2 são os números pares.
Divisibilidade por 3
Um número é divisı́vel por 3 se a soma dos seus algarismos for
divisı́vel por 3. Exemplo: 1215 é divisı́vel por 3, pois 1+2+1+5 = 9 e
9 é divisı́vel por 3.
Divisibilidade por 4
Um número será divisı́vel por 4 quando seus dois últimos algarismos
forem:
1 múltiplo de 4. Exemplo: 12816
2 terminar em dois zeros. Exemplos: 9000.
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Critério de Divisibilidade
Divisibilidade por 5
Um número é divisı́vel por 5 se o último algarismo for 0 ou 5.
Divisibilidade por 6
Um número é divisı́vel por 3 se este for divisı́vel por 2 e por 3.
Divisibilidade por 8
Um número será divisı́vel por 8 quando seus três últimos algarismos
forem:
1 múltiplo de 8. Exemplo: 12816
2 terminar em três zeros. Exemplos: 9000.
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Divisibilidade por 9
Um número é divisı́vel por 9 se a soma dos algarismos deste for
múltipla de 9. Exemplo: 811008 é divisı́vel por 9, pois 8+1+1+8 = 18
e 18 é divisı́vel por 9.
Divisibilidade por 10
Um número é divisı́vel por 10 se este termina com 0.
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Conceitos de Frações
Fração ou razão é a representação matemática dada por:
a
b
(1)
Onde a é o numerador e b é o denominador, contanto que a ∈ N e
b ∈ N;
Obs. Como sabemos não existe divisão por 0, portanto o
denominador (b) nunca será 0.
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Conceitos de Frações
Frações são comumente usadas no nosso cotidiano, para
trabalharmos com frações precisamos aprender alguns conceitos.
Suponha que você queira achar o número equivalente a uma fração
de outro número, por exemplo: Para encontrar dois quintos de 100
basta multiplicar a fração pelo número.
2
5
×100 = 2×100
5
=
200
5
= 40 (2)
Assim, definimos que 40 equivale a 2 quintos de 100. Ou seja
40
100
=
2
5
(3)
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Conceitos de Frações
De maneira similar ao slide anterior, podemos calcular o número que
representa a quantidade total se tivermos a fração desta quantidade,
por exemplo: Suponha que 100 seja dois quintos de um número, para
achar este número basta multiplicar 100 pela fração invertida
5
2
×100 = 5×100
2
=
500
5
= 250 (4)
Assim, definimos que 100 equivale a 2 quintos de 250. Ou seja
100
250
=
2
5
(5)
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Tipos de Fração
Fração Aparente: Tipo de fração onde o numerador é múltiplo do
denominador.
Exemplo :
4
2
,
10
5
,
9
9
(6)
Fração Própria: Tipo de fração onde o numerador é menor que o
denominador.
Exemplo :
2
3
,
5
7
,
1
9
(7)
Fração Imprópria: Tipo de fração onde o numerador é maior que
o denominador.
Exemplo :
4
3
,
8
7
,
10
9
(8)
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Tipos de fração
Fração Irredutı́vel: É o tipo de fração onde não existe redução, ou
seja o numerador e o denominador são primos entre si, ou seja, o
MDC(Máximo Divisor Comum) entre eles é 1.
Exemplo :
4
3
,
6
7
,
2
9
(9)
Fração Redutı́vel: Tipo de fração onde existe redução, ou seja o
MDC entre o numerador e o denominador é diferente que 1. A
fração Redutı́vel pode se tornar uma Irredutı́vel, basta dividir o
Numerador e o denominador pelo MDC.
Exemplo :
16
4
(10)
Como o MDC(16,4)=4, temos :
Exemplo : 16 : 4 = 4 4 : 4 = 1
4
1
(11)
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Como encontrar o MDC
Podemos encontrar o MDC de uma fração dividindo o
Numerador e o Denominador por divisores comuns, até que a
fração se torne Irredutı́vel. No final basta multiplicar os divisores
comuns para encontrar o MDC.
Exemplo :
64
24
64 : 2 = 32 24 : 2 = 12 (12)
32
12
32 : 2 = 16 12 : 2 = 6 (13)
16
6
16 : 2 = 8 6 : 2 = 3 (14)
Irredutivel :
8
3
MDC = 2×2×2 = 8 (15)
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Tipos de Fração
Fração Mista: Tipo de fração composta em duas partes: uma
inteira e uma fracionária.
Exemplo : 5+
3
4
ou 5
3
4
(16)
Podemos ler a fração acima com cinco inteiros e três quartos.
Fração Inversa: Duas frações são inversas se a multiplicação
entre elas for igual a 1.
Exemplo :
3
4
× 4
3
=
12
12
= 1 (17)
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Tipos de Fração
Frações Homogêneas: São frações que possuem os mesmos
Denominadores .
Exemplo :
3
4
6
4
9
4
(18)
Frações Heterogêneas: São frações que NÃO possuem os
mesmos Denominadores.
Exemplo :
3
4
6
5
9
6
(19)
Fração Complementar: É fração que complementa a unidade de
outra fração.
Exemplo: 14 é a fração complementar de
3
4
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Adição e subtração
Para somar frações precisamos que elas sejam homogêneas.
Com isso usamos o MMC (Mı́nimo Múltiplo Comum) para
transformar Heterogêneas em Homogêneas. Assim que as
frações estiverem Homogêneas bastar somar ou subtrair os
numeradores.
Exemplo :
5
4
+
2
4
+
3
4
=
10
4
2
5
− 1
5
=
1
5
(20)
O método para encontrar o MMC do exemplo 2 é apresentado no
próximo slide.
Exemplo2 :
3
10
+
1
4
+
7
6
=
18
60
+
15
60
+
70
60
=
103
60
(21)
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Mı́nimo Múltiplo Comum (MMC)
Encontrar o Mı́nimo Múltiplo Comum entre dois ou mais números é
muito fácil, basta aplicar o método a seguir. Vamos encontrar o MMC
entre os números 10, 4 e 6. Primeiro iremos colocar os números no
formato da figura a seguir.
A seguir basta dividir os números aos poucos. Dica: comece com os
números menores, como na figura começou-se com 2, quando não foi
mais possı́vel dividir por 2, foi escolhido o 3 depois o 5. quando todos
os números da esquerda se tornarem 1, basta multiplicar tudo que
está do lado direto da conta.
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Para transformar uma fração com o objetivo de que a essa tenha o
denominador igual ao MMC encontrado, basta aplicar o seguinte
método.
Vamos dividir o MMC pelo denominador, e o resultado disso será o
numerador da fração final.
3
10
−→ 60/10 = 6 6×3 = 18−→ 3
10
=
18
60
(22)
Observe que se dividirmos a fração final por 6 teremos a fração
original de volta
18/6
60/6
=
3
10
(23)
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Multiplicação
Para multiplicar frações NÃO precisamos que elas sejam
homogêneas. Basta multiplicarmos os numeradores e os
denominadores.
Exemplo :
5
4
× 2
3
× 3
2
=
5×2×3
4×3×2
=
30
24
(24)
Exemplo :
5
4
× (−2
3
)× 3
2
×2 = 5× (−2)×3×2
4×3×2×1
=
−60
24
(25)
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Divisão
Para efetuar uma divisão devemos conservar a fração de cima
(Dividendo) e multiplicar com o inverso da fração de baixo
(divisor).
Exemplo
5
4
:
2
3
(26)
Exemplo
5
4
× 3
2
=
15
8
(27)
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Potenciação
Figura 2: Conceito de potenciação.
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Forma multiplicativa
Considere as seguintes definições
24 = 2×2×2×2 = 16
33 = 3×3×3 = 27
−42 = (−4)× (−4) = 16
−43 = (−4)× (−4)× (−4) =−64
Por definição:Considera-se as seguintes
afirmações:
a1 = a
a0 = 1 para qualquer número a 6= 0
0n = 0 para qualquer n 6= 0
a−n = 1an Para qualquer número a 6= 0 e para
qualquer número inteiro n
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Propriedades
am × an = am+n
am
an = a
m−n
(am)n = a(m)×(n)
((a)× (b))m = (am)× (bm)
(ab)
m = (a
m
bm)
(a)m+(a)m = 2am
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Notação cientı́fica
No estudo da Fı́sica, e das demais ciências, aparecem ás vezes
números muito grandes ou muito pequenos. Para simplificar
esses números é usado a notação cientı́fica.
Notação cientı́fica é a escrita de um número com auxı́lio de
potências de 10. A notação é dada por:
A × 10n (28)
Exemplo: A velocidade de propagação da luz no vácuo é dada
por 300.000 km/s e esse valor no SI é 300.000.000 m/s. Para
simplificar isso podemos quebrar esse número em dois fatores:
300.000.000 = 3×100.000.000 = 3×108 (29)
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Radiciação
Contrário da Potenciação.
Descobrir a base a partir do resultado.
Generalizando: se um número A for elevado
a um expoente n (An) resultando em um
valor B (An = B), então a raiz enésima de B
( n
√
B) será A, ou seja n
√
B = A, logo:
n√B = A porque An = B (30)
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Conceitos da radiciação
Figura 3: Conceito de radiciação
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Propriedades Radiciação
n
√
a × n
√
b = n
√
(a)× (b)
n√a
n√b =
n
√a
b
m
√
n
√
a = (m)×(n)
√
a
n
√
am = a
m
n = ( n
√
a)m
n
√
a + n
√
a = 2 n
√
a
(n)×(p)√ap= n
√
a
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Exemplos principais Radiciação
0
√
a NÃO Existe.
1
√
a = a
√
a = 2
√
a
n
√
−a NÃO pertence aos números reais se
n for número par.
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Racionalização de denominadores
Tentativa de eliminar todos radicais (raı́zes) que aparecem na
forma de denominadores em frações, sem alterar o valor
numérico das frações.
Para racionalizar, bastar multiplicar o numerador e o denominador
pelo mesmo valor, esse valor tem que eliminar a raiz no
denominador. Repare que fazendo isso a fração continua a
mesma.
3√
2
=
(3)× (
√
2)
(
√
2)× (
√
2)
=
3
√
2√
2×2
=
3
√
2√
22
=
3
√
2
2
(31)
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	Frações
	Operações com Números Fracionários
	Potenciação
	Radiciação