Cálculo - Unidade 7 (Parte 02)

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CÁLCULO
Aplicações envolvendo derivadas 
e limites
Neste segmento, estudaremos algumas situações, seja no 
cálculo de derivadas ou regras que necessitem do emprego de 
funções trigonométricas, está bem? Aproveite para relembrar 
esse importante tipo de função matemática.
Uma situação envolvendo funções trigonométricas é a que 
chamamos indeterminações matemáticas. Estas são operações 
matemáticas que, em princípio, não podem ser realizadas. Como 
assim? Por exemplo: 
2
1
1 0
lim
1 0x
x
x→
−
=
−
. Entretanto, existem métodos 
matemáticos que nos permitem “levantar” essas indeterminações 
para chegarmos a um resultado matemático.
Lembre-se de que nosso objetivo, aqui, é estudar indeterminações 
que envolvam funções trigonométricas. Entretanto, ampliaremos 
nossos estudos para outros tipos de funções. Vamos lá? 
Acompanhe, a seguir, algumas aplicações envolvendo derivadas 
e limites.
Indeterminações da forma 0
0
Anton (2014) relata que um limite na forma 
( )
( )
lim
x a
f x
g x→
, em que 
( ) 0f x → e ( ) 0g x → é um limite do tipo 0
0
.
Vejamos na prática:
2
1
1 0
lim
1 0x
x
x→
−
=
−
.
Entretanto, observe que podemos 
fatorar o numerador, no que resultará 
numa simplificação da fração. 
Logo, teremos:
( )( )
( )
2
1 1 1
1 11
lim lim lim 1 2
1 1x x x
x xx
x
x x→ → →
+ −−
= = + =
− −
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CÁLCULO
Ou seja, pela simplificação da fração, foi possível “levantar” a 
indeterminação do tipo 0
0
.
Contudo, precisamos estar atentos ao fato de que em muitas 
outras formas de indeterminação matemática não será possível 
procedermos utilizando algum tipo de simplificação.
Regra de L’Hôpital e indeterminações do tipo 0
0
 e ∞
∞
Você sabia que, no Cálculo, existe uma forma para tentarmos 
resolver problemas de indeterminação matemática? É a Regra 
de L’Hôpital.
Teorema 5 (Regra de L’Hôpital) (ANTON, 2014): suponha que f e g sejam 
funções diferenciáveis em todo intervalo aberto que contenha x = a, 
exceto possivelmente em x = a e que :
( )
( )
lim 0
lim 0
x a
x a
f x
g x
→
→
=
=
Se existir, 
( )'
lim
'( )x a
f x
g x→
 , ou se este limite for + ∞ ou − ∞ , então:
 
( ) ( )'
lim lim
( ) '( )x a x a
f x f x
g x g x→ →
=
Essa afirmação vale nos casos em que , , , x a x a x x− +→ → → +∞ → −∞ .
Vamos a alguns exemplos?
Exemplo 6
Utilizando a Regra de L’Hôpital, vamos determinar o valor de 
2
2
4
lim
2x
x
x→
−
−
.
Inicialmente, vamos efetuar o cálculo direto do limite. Dessa 
forma, teremos:
2 2
2
4 2 4 0
lim
2 2 2 0x
x
x→
− −
= =
− −
.
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CÁLCULO
Observe que chegamos a uma indeterminação matemática do 
tipo 0
0
.
Aplicando a Regra de L’Hôpital, teremos:
( )
( )
2
2
2 2 2
44 2
lim lim lim 2 2 4
2 12
x x x
d
xx xdx
dx x
dx
→ → →
−−
= = = ⋅ =
− −
Observe que esse resultado condiz quando simplificamos o 
limite.
Lembre: ( )( )
( )
2
2 2 2
2 24
lim lim lim 2 4
2 2x x x
x xx
x
x x→ → →
+ −−
= = + =
− −
.
Exemplo 7
Vamos a mais um exemplo sobre indeterminação matemática e 
Regra de L’Hôpital?
Considere o limite: 
30
1
lim
x
x
e
x→
−
.
Resolvendo diretamente o limite, teremos:
0
3 30
1 1 1 1 0
lim
0 0 0
x
x
e e
x→
− − −
= = =
Observe que chegamos a uma indeterminação que nos permite 
a aplicação da Regra de L’Hôpital!
Portanto, teremos:
( )
( )
( )
3 2 2 20 0 0 03
1 01 1
lim lim lim lim
3 3 3 0
x xx x
x x x x
d
e ee edx
dx x xx
dx
→ → → →
− −−
= = = = = +∞
⋅
.
Vamos confirmar esse comportamento da função com a análise 
gráfica a seguir.
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CÁLCULO
12
10
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
14
f
Observe o gráfico: quando nos aproximamos de x = 0, tanto pela 
esquerda de x = 0 quanto pela direita de x = 0, a função tende a 
+∞ .
Dessa forma, a evidência gráfica comprova a evidência algébrica 
efetuada quando aplicamos a Regra de L’Hôpital. 
Lembre-se de que um mesmo 
problema pode ser analisado gráfica, 
numérica e algebricamente.
Vamos, portanto, analisar esse comportamento da função 
( ) 3
1xe
f x
x
−
=
 
numericamente. Acompanhe a tabela a seguir.
-0,1 -0,01 -0,001 0,001 0,01 0,1
95,16258 9950,166 999500,2 1000500 10050,17 105,1709
Observe que a função tende a um número cada vez maior 
(tendendo a infinito positivo) quando nos aproximamos de x = 0, 
tanto pela esquerda quanto pela direita de x = 0.
Dessa forma, a evidência numérica condiz com a análise 
algébrica (Regra de L’Hôpital) e evidência gráfica.
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CÁLCULO
Exemplo 8
Agora, vamos aplicar a regra de L’Hôpital em uma função 
trigonométrica.
Vamos calcular:
( )
0
 2
lim
x
sen x
x→
.
Efetuando o limite, teremos: 
( ) ( ) ( )
0
 2 2 0 0 0
lim
0 0 0x
sen x sen sen
x→
⋅
= = = .
Chegamos a uma indeterminação do tipo 0
0
 que nos permite a 
aplicação da Regra de L’Hôpital.
Teremos, portanto: 
( ) ( ) ( ) ( )
0 0
 2 2cos 2 2cos 2 0
lim lim 2cos 0 2 1 2
1 1x x
sen x x
x→ →
⋅
= = = = ⋅ =
Dessa forma, 
( )
0
 2
lim 2
x
sen x
x→
= .
Agora, vamos estudar e aplicar uma segunda parte da Regra de 
L’Hôpital para indeterminações do tipo ∞
∞
 .
Teorema (Regra de L’Hôpital)
Vejamos mais uma situação de indeterminação, na qual podemos 
usar a regra de L’Hôpital.
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CÁLCULO
Com base em Anton (2014), suponha que f e g sejam funções diferenciáveis 
em todo intervalo aberto que contenha x = a, exceto, possivelmente, em 
x = a e que:
( )
( )
lim
lim
x a
x a
f x
g x
→
→
= ∞
= ∞
Se existir 
( )'
lim
'( )x a
f x
g x→
, ou se este limite for ∞+ ou ∞− , então:
( ) ( )'
lim lim
( ) '( )x a x a
f x f x
g x g x→ →
=
Essa afirmação vale nos casos em que , , , x a x a x x− +→ → → +∞ → −∞ .
Exemplo 9
Agora vamos analisar uma função que envolve exponencial.
Vamos determinar o valor do limite lim xx
x
e→+∞
.
Executando diretamente o limite, teremos:
lim xx
x
e e+∞→+∞
+∞ ∞
= =
∞
Visto que chegamos a uma indeterminação matemática do tipo 
∞
∞ , vamos aplicar a Regra de L’Hôpital. Assim, teremos:
( )
( )
1 1
lim lim lim 0x xx x xx
d
xx dx
de ee
dx
→+∞ →+∞ →+∞
= = = =
+∞
Portanto, lim 0xx
x
e→+∞
= .
Lembre-se de que o Teorema 
de L’Hôpital só é aplicado a 
indeterminações do tipo 0
0
 ou ∞
∞
.
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CÁLCULO
Outras formas de indeterminação
Anton (2014) exemplifica outras formas de indeterminação. Veja, 
a seguir, quais são elas.
Exemplo 10
Vamos estudar uma forma indeterminada do tipo 0⋅ ∞ . 
Considere o limite 
0
lim ln
x
x x
+→
.
Execute diretamente o limite. Assim, teremos: 
( )
0
lim ln 0 ln0 0
x
x x
+
+
→
= ⋅ = ⋅ −∞ . 
Dessa forma, chegamos a uma indeterminação do tipo 0⋅ ∞ .
Nossa primeira ideia para resolver esse limite será reescrevermos 
a seguinte função:
0 0
ln
lim ln lim
1x x
x
x x
x
+ +→ →
= .
Efetuaremos novamente o limite: 
0 0
ln ln0
lim ln lim
1 1
0
x x
x
x x
x
+ +
+
→ →
+
−∞
= = =
+∞
.
Observe que chegamos a uma indeterminação matemática do 
tipo 
∞
∞ e que poderemos aplicar a Regra de L’Hôpital.
Teremos, portanto:
( ) ( )
( )0 0 0 0 1
2
20 0 0 0
2
ln lnln
lim ln lim lim lim
1 1
1 1
1
lim lim lim lim 0
1 1
x x x x
x x x x
d d
x xx dx dxx x
dd x
x dxdx x
xx x x
x x
x
+ + + +
+ + + +
→ → → → −
−→ → → →
= = =
 
 
 
 
= = = ⋅ − = − = −  −
Dessa forma, teremos que 
0
lim ln 0
x
x x
+→
= .
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CÁLCULO
Vejamos o gráfico, na figura a seguir, dessa função nas vizinhanças 
de x = 0.
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
-4
x
Observe que, quando x tende a zero pela direita de zero, 
realmente a função também tende a zero, conforme a tabela a 
seguir.
x 0,0000001 0,00001 0,0001 0,001 0,01 0,1
f(x) -0,0000016 -0,0001151 -0,00092 -0,00691 -0,04605 -0,23026
Você pode observar que a função tende a zero quando x também 
tende a zero.
Como sugestão de estudo, tente criar uma tabela para analisar 
numericamente o comportamentode ( ) lnf x x x= , com x 
tendendo a zero pela direita de zero. Você irá verificar que a 
função também tende a zero nessa situação.
Exemplo 11
Agora, vamos estudar formas indeterminadas do tipo ∞ − ∞. 
Iremos estudar uma função que utiliza parte de sua composição 
dada por função trigonométrica.
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CÁLCULO
O limite que iremos determinar é 
0
1 1
lim
x x senx+→
 − 
 
.
Vamos tentar resolver o limite diretamente. Assim, teremos:
0
1 1 1 1 1 1
lim
0 0 0 0x x senx sen sen+ + + + +→
     − = − = − = ∞ − ∞     
     
Mas também podemos tentar resolver de outra forma. Vejamos:
0 0
1 1 0 0 0
lim lim
0 0 0x x
senx x sen
x senx xsenx sen+ +→ →
− −     − = = =     ⋅     
, 
que é uma forma de indeterminação que nos permite aplicar a 
regra de L’Hôpital.
Portanto, teremos:
( )
( )
( )
0 0 0
0
1 1
lim lim lim
cos 1 0
lim
cos 1 0
x x x
x
d
senx xsenx x dx
dx senx xsenx xsenx
dx
x
x x senx
+ + +
+
→ → →
→
−−   − = =   
   
−
= =
+ ⋅
Aplicaremos mais uma vez a regra de L’Hôpital. Dessa forma, 
teremos:
( )0 0 0
0
1 1 cos 1 0
lim lim lim
cos 1 cos 1 cos
 0 0 0
lim 0
0 0 cos0 1 cos0 2
x x x
x
x senx
x senx x x senx xsenx x x
sen
sen
+ + +
+
→ → →
→
− − − − = =  + ⋅ + ⋅ + 
− −
= = =
⋅ + ⋅ +
Portanto, temos que 
0
1 1
lim 0
x x senx+→
 − = 
 
.
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Exemplo 12
Existem outras formas de indeterminação matemática: 0 00 , ,1∞∞ .
Veja mais um exemplo envolvendo função trigonométrica!
Considere o limite ( )
1
0
lim 1 x
x
senx
→
+ .
Efetuando esse limite, teremos:
( ) ( ) ( )
1 1
0
0
lim 1 1 0 1 0 1x
x
senx sen
∞ ∞
→
+ = + = + =
. 
Você pode notar que é uma indeterminação matemática, mas 
não do tipo que será possível aplicar a Regra de L’Hôpital.
Então, vamos proceder da seguinte forma:
( )
1
1 xy senx= +
Sendo assim, aplicaremos logaritmo natural aos dois lados da 
expressão ( )
1
1 xy senx= + :
( )
1
ln ln 1 xy senx= +
Lembre-se da propriedade de logaritmos da LU 1: 
( )rb blog a rlog a= . Essa propriedade, para o logaritmo natural, 
torna-se ( )rln a rlna= .
Portanto, teremos:
( )
( )
( )
1
xlny ln 1 senx
1
lny ln 1 senx
x
ln 1 senx
lny
x
= +
= ⋅ +
+
=
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Agora, vamos retornar à nossa função y. Vamos aplicar a inversa 
da função logaritmo natural. Assim, teremos:
( )
( )
ln 1 senx
lny x
ln 1 senx
x
e e
y e
+
+
=
=
Aplicando o limite desejado, teremos:
( ) ( )ln 1 senx ln 1 sen 0 ln(1 0) ln1 0
x 0 0 0 0
x 0 x 0
limy lime e e e e
+ + +
→ →
= = = = =
Chegamos a uma forma de indeterminação sobre a qual podemos 
aplicar L’Hôpital.
Portanto, teremos:
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
d
ln 1 senx 1dx 0 cosx
ln 1 senx 1 senxd
x
x dx 1
x 0 x 0 x 0 x 0
1 1
0 cosx cosx cosx1 senx 1 senx
1 senx1 1
x 0 x 0 x 0 x 0
cos 0 1
1 sen 0 1 0 1
x 0
limy lime lime lime
limy lime lime lime
limy e e e e
 +  ⋅ +
+ +
→ → → →
⋅ + ⋅
+ +
+
→ → → →
+ +
→
= = =
= = =
= = = =
Dessa forma, temos que ( )
1
x
x 0
lim 1 senx e
→
+ = .
Que tal analisarmos o gráfico da função para verificarmos essa 
tendência?
Vamos lá! 
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CÁLCULO
f
4
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
3
5
-5
Agora, vamos colocar o resultado de nosso limite nesse gráfico: 
o número de Euler: e.
f
4
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
3
5
esta reta
representa o resultado do
limite, ou seja, o número
de Euler e 2,71828
aproximando de x=0
pela direitaaproximando de x=0
pela esquerda
C
Verifique a concordância da análise gráfica com a algébrica!
Realmente, quando nos aproximamos 
de zero, pela esquerda ou pela direita, 
a função tende ao número de Euler, 
dado pelo símbolo e.
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CÁLCULO
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