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Matemática básica
Prof. Dr. Ricardo Cardoso de Oliveira
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Programa do curso
Operações no conjunto dos números reais e porcentagem
Razão, proporção, regra de três e fatoração
Equações, inequações e logaritmos
Trigonometria
‹nº›
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Referências bibliográficas
BONETTO, G.; MUROLO, A.; Fundamentos da Matemática para Engenharias e Tecnologias. Cengage Learning, 2016.
SILVEIRA, E.; MARQUES, C.; Matemática: compreensão e prática. Moderna. 2008.
GOMES, F.M.; Pré-Cálculo. Cengage Learning, 2018.
‹nº›
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1. Os conjuntos numéricos
O conjunto dos números naturais é representado por: . 
Note que o primeiro elemento desse conjunto é o 0 e o sucessor do 0 é o 1, o sucessor do 1 é o 2, e assim por diante. 
Em é sempre possível realizar as operações de adição e multiplicação, isto é, a soma e o produto de dois números naturais sempre resultam em um número natural.
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1. Os conjuntos numéricos
O conjunto dos números inteiros é representado por . 
Note, nesse conjunto, que há simetria em relação ao 0, isto é, o simétrico (ou oposto) de -2 é 2 e vice-versa. 
Em é sempre possível realizar as operações de adição, subtração e multiplicação, isto é, a soma, a subtração e a multiplicação resultam sempre em números inteiros. 
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1. Os conjuntos numéricos
O conjunto dos números racionais é o conjunto tal que todo número que pertence a ele é escrito da forma de fração com numerador e denominador inteiros e denominador diferente de zero. 
Simbolicamente é indicado como: . Observe que a restrição faz-se necessária uma vez que não existe divisão por zero. A fração aparente é aquela que indica um número inteiro (por exemplo, e ), caso contrário, tem-se uma fração não aparente (por exemplo, e ). 
Dado um número racional , , sua representação decimal é obtida a partir da divisão de a por b o que pode resultar em números decimais exatos (por exemplo, ) ou em decimais periódicos (por exemplo, , e nessas situações, as frações que geram esses decimais periódicos são denominadas de fração geratriz).
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1. Os conjuntos numéricos
O conjunto dos números irracionais é o conjunto formado pelos números que não admitem uma representação decimal exata e nem a representação na forma de uma dízima periódica. Há infinitos números irracionais. Eis alguns exemplos: 0,20200200020000..., -3,81828383..., , , , , , dentre outros.
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1. Os conjuntos numéricos
O conjunto dos números reais, denotado por é o conjunto obtido pela união dos conjuntos dos números naturais, inteiros, racionais e irracionais. 
Nesse conjunto numérico cada número fica associado a um único ponto na reta real. Observe que dado dois números reais quaisquer, digamos x e y, ocorre somente uma dessas possibilidades: x < y ou x = y ou x > y. Pode-se empregar a notação para dizer que x < y ou x = y.
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1. Os conjuntos numéricos
Figura 1 – Conjuntos numéricos
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1. Os conjuntos numéricos
Figura 2 – Reta real
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2. Adição com números reais
A ideia associada à operação de adição é a de acrescentar uma quantidade a outra já existente.
Os números que são adicionados são denominados de parcelas e o resultado obtido é a soma.
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2. Adição com números reais
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2. Adição com números reais
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Exemplo 1
(ENEM) Um cientista trabalha com as espécie I e II de bactérias em um ambiente de cultura. Inicialmente, existem 350 bactérias da espécie I e 1.250 bactérias da espécie II. O gráfico representa as quantidades de bactérias de cada espécie, em função do dia, durante uma semana. Em que dia dessa semana a quantidade total de bactérias nesse ambiente de cultura foi máxima? 
(A) Terça-feira. 
(B) Quarta-feira. 
(C) Quinta-feira. 
(D) Sexta-feira. 
(E) Domingo
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Exemplo 2
(CESGRANRIO - adaptado) O gráfico abaixo apresenta a quantidade de arroz, em kg, consumida durante uma semana na Escola Central. Qual foi o consumo total de arroz, em kg, nessa semana?
 
(A) 52,4 
(B) 58,0 
(C) 63,2 
(D)64,4 
(E) 66,0
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Exemplo 3
Determine o valor da soma 
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Exemplo 4
(FGV) Quanto vale a soma ?
(A) 1 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
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Exemplo 5
(FGV) Escrevendo a soma como uma fração irredutível, a soma do numerador com o denominador dessa fração é
(A) 51 
(B) 55 
(C) 64 
(D) 70 
(E) 61
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Exemplo 6
(CESPE - UnB) O resultado de pesquisa realizada entre os 273.000 moradores de uma cidade, acerca do tipo de transporte que utilizam, é mostrado na figura abaixo. 
Com base nesses dados, julgue o item que segue.
(	) O total de moradores que preferem viajar de ônibus, de navio ou de avião é igual a do total de moradores da cidade.
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Exemplo 7
O valor da soma entre a fração irredutível que representa o número 0,04 com resulta na fração irredutível . Nessas condições, o valor de a + b é
(A) 30 
(B) 29 
(C) 20 
(D) 6 
(E) 5 
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3. Subtração com números reais
A ideia associada à operação de subtração é a de completar e/ou retirar uma quantidade a outra já existente.
A relação fundamental da operação de subtração é:
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Exemplo 8
(CESGRANRIO) O primeiro censo brasileiro foi realizado em 1872. Na época, o Brasil era uma monarquia e ainda existia escravidão. Foram contadas 9.930.480 pessoas, das quais 1.510.806 foram declaradas escravas. Em 1872, quantas pessoas foram declaradas não escravas no Brasil?
(A) 8.419.674 (B) 8.420.486 (C) 8.422.514 (D) 8.502.176
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Exemplo 9
(CESPE-UnB) Existem dois tipos de conservação de alimentos pelo frio: refrigeração e congelamento. Para manter alimentos refrigerados, é necessário mantê-los em temperaturas entre 0ºC e 7ºC. Para o congelamento ser eficiente, necessita-se de temperaturas de -18ºC ou inferiores. Existem microrganismos que ainda crescem a temperaturas de -10ºC, acarretando perigo se o congelamento for mal monitorado. À temperatura de -18ºC ou menos ocorre a inibição total de microrganismos. Nesse caso, um alimento refrigerado à temperatura de 5ºC ficará livre de microrganismos se sua temperatura for diminuída de, no mínimo,
(A) 13ºC.	(B) 15ºC.	(C) 18ºC.	(D) 23ºC.
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Exemplo 10
(CESGRANRIO) “No Brasil, a expectativa de vida, que em 1910 era de 34,08 anos, subiu para 71,3 anos em 2003.” 	Revista Veja, 29 jun. 2005 (adaptado).
De acordo com a informação acima, de quantos anos aumentou a expectativa de vida do brasileiro, de 1910 a 2003? 
(A) 43,50 (B) 43,32 (C) 41,38 (D) 37,22 (E) 36,50
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Exemplo 11
Após o término de uma corrida de kart, verificou-se que o kart A estava kg acima do limite estabelecido na competição e, o kart B kg abaixo desse limite. De quantos quilogramas é a diferença da massa entre os dois carros?
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As expressões numéricas são expressões que envolvem números e operações e ao efetuar uma expressão numérica, obtém-se um único valor que é chamado de valor da expressão numérica. Para o cálculo de expressões numéricas que envolvam apenas adição e subtração devemos respeitar as seguintes regras: 
i) adições e subtrações devem ser efetuadas na ordem que aparecem.
ii) obedecer aos sinais de associação, inicialmente as operações entre parênteses, em seguida as entre colchetes e, por fim, entre chaves.
4. Adição e subtração com números reais
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Exemplo 12
(FCC) Uma caminhão sai do Rio de Janeiro com destino a Brasília cuja distância é de 1.148 quilômetros. 
Seguindo o trajeto do mapa representado na figura, quando chegar a Belo Horizonte, para atingir o seu destino, ainda deverá percorrer
(A) 688 km. (B) 714 km. (C) 784 km. (D) 802 km. (E) 812 km.
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Exemplo 13
(CESGRANRIO) No modelo ao lado, as distâncias representadas pelas letras M, N e P são, respectivamente, iguais a 8,4 m, 1,5 m e 4,1 m, e as distâncias correspondentes às letras Q e R são iguais. Qual é, em metros, a medida da distância R?
(A) 1,2		
(B) 1,3		
(C) 1,4		
(D) 1,5		
(E) 1,6
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Exemplo 14
(ENEM) Um executivo sempre viaja entre as cidades Ae B, que estão localizadas em fusos horários distintos. O tempo de duração da viagem de avião entre as duas cidades é de 6 horas. Ele sempre pega um voo que sai de A às 15h e chega à cidade B às 18h (respectivos horários locais). Certo dia, ao chegar à cidade B, soube que precisava estar de volta à cidade A, no máximo, até as 13h do dia seguinte (horário local de A). Para que o executivo chegue à cidade A no horário correto e admitindo que não haja atrasos, ele deve pegar um voo saindo da cidade B, em horário local de B, no máximo à(s) 
(A) 16h. (B) 10h. (C) 7h. (D) 4h. (E) 1h.
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Exemplo 15
(FCC) Do total de pessoas que estiveram comprando bilhetes nos guichês de uma estação de Metrô em certo dia, sabe-se que foi atendido por Dagoberto, por Breno e as demais por Leandro. Nessas condições, o número de pessoas atendidas por Leandro corresponde a que fração do total de pessoas atendidas nesse dia?
(A) (B) (C) (D) (E) 
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Exemplo 16
(CESPE – UnB) Uma empresa possui um coral, um grupo de dança e uma orquestra, formados por seus funcionários. Sabendo que todos os funcionários participam de pelo menos uma dessas atividades, julgue os itens a seguir. 
(	) Se 1/4 dos funcionários participam do coral e 2/3 participam do grupo de dança, então, no mínimo, 1/12 dos funcionários participam da orquestra.
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5. Multiplicação com números reais
Uma das ideias associadas à multiplicação é a de adicionar parcelas iguais.
Essa operação ainda está associada a ideia de disposição retangular, a ideia do número de possibilidades e a ideia de proporcionalidade.
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5. Multiplicação com números reais
A operação apresenta as seguintes propriedades, no conjunto dos números reais:
		i) comutatividade – a ordem dos fatores não altera o produto. 
		ii) associatividade – a ordem em que três fatores são multiplicados é irrelevante. 
		iii) existência do elemento neutro 
		iv) distributividade – o produto de um número real por uma soma (ou subtração) é igual à 			soma dos produtos das parcelas pelo número real. 
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Exemplo 17
A disparidade de volume entre os planetas é tão grande que seria possível colocá-los uns dentro dos outros. O planeta Mercúrio é o menor de todos. Marte é o segundo menor: dentro dele cabem três Mercúrios. Terra é o único com vida: dentro dela cabem sete Martes. Netuno é o quarto maior: dentro dele cabem 58 Terras. Júpiter é o maior dos planetas: dentro dele cabem 23 Netunos. 
Revista Veja. Ano 41, nº 25, 25 jun. 2008 (adaptado).
Seguindo o raciocínio proposto, quantas Terras cabem dentro de Júpiter? 
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Exemplo 18
(FCC) Chama-se persistência de um número inteiro e positivo o número de etapas necessárias para, através de operações sucessivas, obter-se um número de um único algarismo. Como é mostrado no exemplo seguinte, a persistência do número 1.642 é 3:
Com base na definição e no exemplo dados, é correto afirmar que a persistência do número 27.991 é
(A) menor que 4. 
(B) 4.
(C) 5.
(D) 6
(E) maior que 6.
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Exemplo 19
(CESGRANRIO) Para pesquisar se uma área é viável para mineração, é necessário obter um alvará e pagar uma taxa anual de R$1,55 por hectare. Uma empresa que solicitar autorização para pesquisa em uma área de 652,2 hectares pagará, em reais, uma taxa anual de:
(A) 807,70 (B) 987,81 (C) 1.010,91 (D) 1.102,79 (E) 1.325,53
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Exemplo 20
(CESGRANRIO) Em um porto, agentes de navegação pagam uma taxa de utilização da infraestrutura marítima de R$ 17,35 por contêiner, tanto na importação quanto na exportação. O valor, em reais, pago por um agente de navegação para embarcar 320 contêineres é de
(A) 555,20 (B) 867,50 (C) 2.145,00 (D) 5.552,00 (E) 8.675,00
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Exemplo 21
A) Qual o valor da seguinte multiplicação: ?
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Exemplo 21
B) Qual o valor da seguinte multiplicação: ?
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Exemplo 22
(FGV) O produto é igual a 
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
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Exemplo 23
(CESGRANRIO) Uma refinaria tinha, em 2004, capacidade para processar 224 mil barris de petróleo por dia. Com a ampliação das instalações, essa capacidade aumentou em 3/8 no ano seguinte. Assim, pode-se concluir que, em 2005, a capacidade de processamento dessa refinaria, em milhares de barris diários, passou a ser de:
(A) 252. (B) 308. (C) 318. (D) 352. (E) 368.
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Exemplo 24
(FCC) Moisés foi informado que 3/5 das pastas de seu armário estavam contaminadas por um fungo. Se o total das pastas é 240, o número de pastas NÃO atingidas pelo fungo é
(A) 192. (B) 160. (C) 144. (D) 96. (E) 48.
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6. Divisão com números reais
Algumas das ideias associadas a operação de divisão são a de repartir igualmente uma dada quantidade e a medida ou quantas vezes uma quantidade cabe em outra. 
Assim, ao dividir o número real X pelo número real d, devemos procurar um número real q que multiplicado por d resulte em X. 
Para essa situação, cada um desses números recebem um nome: X é o dividendo, d é o divisor e q o quociente.
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6. Divisão com números reais
No entanto, nem sempre é possível encontrar esse número q, e em algumas situações, o produto de d por q apenas fica muito próxima de X. 
Em casos como esse, a diferença de P pelo resultado da multiplicação de d por q é denominado resto e é denotado por r. Assim, para o caso geral das operações de divisão, temos que
	A operação de divisão não é comutativa, não é associativa e não possui elemento neutro. 
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Exemplo 25
(CESGRANRIO) Na residência de Carla são consumidos, em média, 900 L de água por dia. Se o consumo médio de água numa residência for de 150 L por dia, por pessoa, quantas pessoas moram na residência de Carla?
(A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9 (E) 10
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Exemplo 26
(ENEM) Os gráficos representam a produção de peças em uma indústria e as horas trabalhadas dos funcionários no período de cinco dias. Em cada dia, o gerente de produção aplica uma metodologia diferente de trabalho. Seu objetivo é avaliar a metodologia mais eficiente para utilizá-la como modelo nos próximos períodos. Sabe-se que, neste caso, quanto maior for a razão entre o número de peças produzidas e o número de horas trabalhadas, maior será a eficiência da metodologia. Em qual dia foi aplicada a metodologia mais eficiente? 
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Exemplo 27
(CESGRANRIO) Para calcularmos a densidade demográfica de uma região, basta dividirmos o número total de habitantes dessa região por sua área. A cidade de Nova Iguaçu possui cerca de 750.480 habitantes e ocupa uma área de aproximadamente 524 km2. A densidade demográfica de Nova Iguaçu, em habitantes por km2, é aproximadamente igual a:
(A) 1242,4 (B) 1364,6 (C) 1432,2 (D) 1543,4 (E) 1628,2
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Exemplo 28
(CESGRANRIO) Quando um estudo de sustentabilidade de usinas hidrelétricas é realizado, diversos fatores são levados em consideração. Um desses fatores é o “indicador de área alagada”, i, que corresponde à razão entre a área (em km2) alagada na formação do reservatório de água da usina e a potência instalada nela (em MW). O valor encontrado deve ser situado nas classes estabelecidas para esse indicador. Essas classes são apresentadas na tabela seguinte.
Uma usina hidrelétrica, cuja área alagada é de 2.600 km2 e a potência instalada é de 8.400 MW, apresenta indicador de área alagada i na classe
(A) Muito Alta 
(B) Alta 
(C) Média 
(D) Baixa 
(E) Muito Baixa
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Exemplo 29
Uma fábrica de laticínios produz 220 quilogramas de manteiga por dia. Quantas embalagens de 0,25 quilogramas de manteiga podem ser formadas por dia?
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Exemplo 30
Efetue as divisões:
A) 
B) 
C) 
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Exemplo 31
(FGV) Quanto vale a divisão ?
(A) 
(B) 	 
(C) 
(D) 
(E) 
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Exemplo 32
Efetue as divisões:
A) 
B) 
C) 
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Exemplo 32
Efetue as divisões:
A) 
B) 
C) 
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Exemplo 33
(FCC) Sejam x e y números tais que e . A razão é igual a 
(A) 4/9	
(B) 3/10	
(C) 2/9	
(D) 1/5
(E)1/3
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Exemplo 34
(FGV) As torneiras A, B e C, que operam com vazão constante, podem, cada uma, encher um reservatório vazio em 60 horas, 48 horas e 80 horas, respectivamente. Para encher esse mesmo reservatório vazio, incialmente abre-se a torneira A por quatro horas e, em seguida, fecha-se a torneira A e abre-se a torneira B por quatro horas. Por fim, fecha-se a torneira B e abre-se a torneira C até que o reservatório se encha por completo. De acordo com o processo descrito, o tempo necessário e suficiente para encher o reservatório por completo e sem transbordamento é de 
(A) 84 horas. 
(B) 76 horas. 
(C) 72 horas. 
(D) 64 horas. 
(E) 60 horas.
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Exemplo 34
(FGV) As torneiras A, B e C, que operam com vazão constante, podem, cada uma, encher um reservatório vazio em 60 horas, 48 horas e 80 horas, respectivamente. Para encher esse mesmo reservatório vazio, incialmente abre-se a torneira A por quatro horas e, em seguida, fecha-se a torneira A e abre-se a torneira B por quatro horas. Por fim, fecha-se a torneira B e abre-se a torneira C até que o reservatório se encha por completo. De acordo com o processo descrito, o tempo necessário e suficiente para encher o reservatório por completo e sem transbordamento é de 
(A) 84 horas. 
(B) 76 horas. 
(C) 72 horas. 
(D) 64 horas. 
(E) 60 horas.
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7. Expressões numéricas
No cálculo de uma expressão numérica, as operações indicadas devem ser efetuadas na seguinte ordem: i) multiplicações e divisões; ii) adições e subtrações. 
Se, houver multiplicação e divisão (ou adição e subtração), devemos primeiro efetuar as operações na ordem que aparecem. 
Vale lembrar que, em expressões com sinais de associação, estes devem ser eliminados primeiro na seguinte ordem: parênteses, colchetes e chaves.
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Exemplo 35
(CESPE – UnB) O valor da expressão é igual a
(A) 1/2. (B) 1. (C) 3/2. (D) 2.
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Exemplo 36
Determine valor da expressão: 
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8. Potenciação com números reais
A operação de multiplicação em que todos os fatores são iguais, tal como em pode ser escrito de forma abreviada como e a operação efetuada é denominada potenciação. 
Assim, seja e , então a potência , em que a é denominado base, n expoente e o resultado da operação é denominado potência.
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8. Potenciação com números reais
	Vamos considerar que e que . Assim, é verdadeiro que
i) 
ii) 
iii) 
iv) 
v) 
vi) 
vii) 
viii) 
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Exemplo 37
A) Determine valor da expressão 
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Exemplo 37
B) Determine valor da expressão 
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Exemplo 37
C) Determine valor da expressão 
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Exemplo 38
Por quanto devemos dividir para obter ? 
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Exemplo 39
(CESGRANRIO) O número de algarismos do produto é igual a
(A) 17. 
(B) 18. 
(C) 36. 
(D) 34. 
(E) 35.
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Exemplo 40
(OBM) Qual dos números a seguir é maior?
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
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9. Radiciação com números reais
A operação oposta à potenciação é denominada radiciação. 
A raiz quadrada de um número real e não negativo, digamos a, denotado por é o número real não negativo, digamos b, tal que Por exemplo, . 
Por outro lado, a raiz n-ésima () de um número real, denotado por , é o número real b tal que. No caso da raiz n-ésima, se n for par, a e b devem ser não negativos. 
	
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9. Radiciação com números reais
	Admita que a e b sejam números reais e que os denominadores sejam sempre diferentes de zero. Nessas condições são válidas as seguintes propriedades:
i) 
ii) 
iii) 
iv) 
v) , com quando n é par.
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Exemplo 41
A) Determine o valor de .
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Exemplo 41
B) Determine o valor de .
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Exemplo 42
Determine o valor da expressão: .
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Exemplo 43
Determine o valor da expressão:.
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10. Porcentagem
A ideia de porcentagem foi empregada em épocas remotas como a do antigo Império Romano. O imperador Augusto cobrava um imposto de sobre o preço da venda de todos os bens. No século XV manuscritos italianos utilizavam expressões como “20 p100” e “XX p cento” para indicar vinte por cento. Em 1650, o sinal “per ” era utilizado para indicar porcentagem. Posteriormente, esse sinal se perdeu no tempo, e ficou o sinal que se utiliza atualmente: “%”. 
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Exemplo 44
Os gráficos abaixo apresentam dados sobre a produção e a reciclagem de lixo em algumas regiões do planeta. Baseando-se nos dados apresentados, qual é, em milhões de toneladas, a diferença entre as quantidades de lixo recicladas na China e nos EUA em um ano?
(A) 9,08 
(B) 10,92 
(C) 12,60 
(D) 21,68 
(E) 24,80
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Exemplo 45
(CESPE - UnB) Em uma unidade da Federação, no ano passado, 5.000 investidores aplicaram seus recursos em agronegócios. Entre esses, 35% investiram em negócios relacionados a fruticultura, sendo que apenas 26% destes investiram em frutas cítricas. Nessa situação, o número de investidores que aplicaram seus recursos em negócios relacionados à fruticultura de frutas não cítricas é igual a
(A) 1.295.
(B) 1.060.
(C) 835.
(D) 455.
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10. Porcentagem
Quando uma mercadoria sofre n acréscimos de taxas i1, i2, ..., in, cada um deles calculado sobre o valor anterior, diz-se que ela sofreu acréscimos sucessivos. Assim, o valor final, (VF), depois de cada acréscimo passa a ser o valor inicial, (VI), do acréscimo seguinte. Logo, o valor final após os n acréscimos é:
Quando uma mercadoria sofre n abatimentos de taxas i1, i2, ..., in, cada um deles calculado sobre o líquido anterior diz-se que ela sofreu abatimentos sucessivos. Assim, o valor final depois de cada abatimento passa a ser o valor inicial do abatimento posterior. Portanto,
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Exemplo 46
(CESGRANRIO) O preço internacional do barril de petróleo subiu 10% ao mês, em cada um dos dois primeiros meses do ano e caiu 10% ao mês em cada um dos dois meses seguintes. Ao fim desses quatro meses, o preço do barril de petróleo sofreu variação de, aproximadamente,
(A) menos 4%. 
(B) menos 2%. 
(C) 0%. 
(D) mais 2%. 
(E) mais 4%.
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11. Razão, proporção e regra de três
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11. Razão, proporção e regra de três
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11. Razão, proporção e regra de três
A palavra proporção vem do latim proportione e significa “uma relação entre partes de uma grandeza”. Assim, proporção é a igualdade entre duas razões. 
Dados quatro números reais, digamos a, b, c e d, não nulos, nessa ordem, dizemos que eles formam uma proporção quando a razão do primeiro para o segundo é igual à razão do terceiro para o quarto. Assim,
 ou 
	Os números a, b, c e d são os termos da proporção, sendo os números b e c os meios da proporção e os números a e d os extremos da proporção.
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11. Razão, proporção e regra de três
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11. Razão, proporção e regra de três
Grandeza é tudo aquilo que pode ser medido ou contado. São exemplos de grandezas: preço de mercadorias, tempo, temperatura, velocidade de um automóvel, entre outros. As grandezas podem ter suas medidas aumentadas ou diminuídas. Grandezas cuja variação interfere na variação de outras são ditas grandezas proporcionais. 
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11. Razão, proporção e regra de três
Duas grandezas são ditas diretamente proporcionais quando a razão entre os valores da primeira é igual à razão entre valores correspondentes da segunda, ou seja, são grandezas que crescem juntas e diminuem juntas. 
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Exemplo 47
(CESGRANRIO) As famílias de duas irmãs, Alda e Berta, vivem na mesma casa e a divisão das despesas mensais é proporcional ao número de pessoas de cada família. Na família de Alda são três pessoas e na de Berta, cinco. Se a despesa, num certo mês, foi de R$ 1.280,00, quanto pagou, em reais, a família de Alda?
(A) 520,00 
(B) 480,00 
(C) 450,00 
(D) 410,00 
(E) 320,00 
85
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Exemplo 48
(CESGRANRIO) Uma herança no valor de R$ 168.000,00 foi dividida entre quatro irmãos em partes diretamente proporcionais às suas respectivas idades. Se as idades, em número de anos, são 32, 30, 27 e 23, a parte que coube ao mais novo dosirmãos é, em reais, igual a
(A) 23.000	
(B) 27.600	
(C) 28.750	
(D) 32.200	
(E) 34.500
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11. Razão, proporção e regra de três
Duas grandezas são ditas inversamente proporcionais quando a razão entre os valores da primeira é igual ao inverso da razão entre valores correspondentes da segunda, ou seja, são grandezas que variando uma delas, a outra varia na razão inversa da outra. 
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11. Razão, proporção e regra de três
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Exemplo 49
(FCC) Dois Ajudantes de Manutenção - Josué e Manuel – têm 26 e 34 anos, respectivamente. Juntos, eles pintaram uma parede de formato retangular cujas dimensões eram 24 m de comprimento por 6 m de altura e, ao final do trabalho, curiosamente foi observado que as partes que cada um havia pintado eram inversamente proporcionais às suas respectivas idades. Nessas condições, é correto afirmar que, relativamente à área da superfície pintada por Josué, a de Manuel tinha
(A) 18,6 m2 a mais.
(B) 18,6 m2 a menos.			
(C) 19,2 m2 a mais.
(D) 19,2 m2 a menos.			
(E) 20,4 m2 a mais.
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Matemática básica
Prof. Dr. Ricardo Cardoso de Oliveira
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11. Razão, proporção e regra de três
A regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvem quatro valores, dos quais são conhecidos três desses valores. Assim, portanto, determina-se um valor com base nos outros três já conhecidos. 
Para resolver uma regra de três, usa-se o seguinte roteiro:
(1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo, em linha, as grandezas de espécie diferentes em correspondência.
(2º) Verificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.
(3º) Montar a proporção e resolver a equação.
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Exemplo 50
(CESGRANRIO) Uma firma gasta, mensalmente, R$ 1.500,00 com o café da manhã de seus 60 funcionários. Com a chegada de 20 novos funcionários, o custo mensal com o café da manhã desses 80 funcionários passará a ser de 
(A) R$ 2.200,00 
(B) R$ 2.100,00 
(C) R$ 2.000,00 
(D) R$ 1.960,00 
(E) R$ 1.840,00
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94
Exemplo 51
(CESGRANRIO) Um carro estava abastecido com apenas um quarto do seu tanque, como mostra a Figura abaixo. O motorista parou em um posto de gasolina e completou o tanque, ou seja, encheu-o totalmente, pagando R$ 144,00. Se a capacidade total do tanque do carro é de 60 litros, então cada litro de combustível custou 
(A) R$ 3,00 
(B) R$ 3,20 
(C) R$ 3,40 
(D) R$ 3,60 
(E) R$ 4,80
94
95
Exemplo 52
(CESGRANRIO) Vinte e quatro operários fazem uma obra em 5 dias. Em quantos dias quarenta operários, igualmente capacitados, fariam a mesma obra?
(A) 1 
(B) 2 
(C) 3 
(D) 4 
(E) 4,5
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11. Razão, proporção e regra de três
A regra de três composta é um processo prático para resolver problemas que envolvem N valores, dos quais são conhecidos N -1 desses valores. Assim, portanto, determina-se um valor com base nos outros N-1 já conhecidos.
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97
Exemplo 53
(FCC) Suponha que 8 máquinas de terraplanagem, todas com a mesma capacidade operacional, sejam capazes de nivelar uma superfície de 8.000 metros quadrados em 8 dias, se funcionarem ininterruptamente 8 horas por dia. Nas mesmas condições, quantos metros quadrados poderiam ser nivelados por 16 daquelas máquinas, em 16 dias de trabalho e 16 horas por dia de funcionamento ininterrupto?
(A) 16.000 
(B) 20.000 
(C) 64.000 
(D) 78.000 
(E) 84.000
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98
Exemplo 54
(FGV) Em um posto de vacinação, três profissionais de saúde aplicam 180 vacinas em três horas. Admitindo-se que neste posto de vacinação todos os profissionais de saúde são igualmente eficientes e que todas as vacinas demandam o mesmo tempo de aplicação, o tempo necessário para que cinco profissionais de saúde deste posto de vacinação apliquem 300 vacinas é de:
(A) 2 horas e 40 minutos. 
(B) 3 horas. 
(C) 3 horas e 30 minutos.
(D) 4 horas e 40 minutos. 
(E) 5 horas.
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99
12. Logaritmos
	O logaritmo de um número a na base b é igual ao expoente x ao qual se deve elevar a base, de modo que a potência bx seja igual a a, sendo a e b números reais e positivos e . Desta forma, o logaritmo é a uma operação na qual queremos descobrir o expoente que uma dada base deve ter para resultar em uma certa potência. Assim,
99
100
Exemplo 55
Use a definição e calcule os logaritmos abaixo.
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
 
100
101
Exemplo 55
Use a definição e calcule os logaritmos abaixo.
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
 
101
102
12. Logaritmos
102
103
12. Logaritmos
	A seguir são apresentadas as propriedades operatórias dos logaritmos. Sejam a, b, M e N números reais positivos, a e , temos
1º) logaritmo de um produto
2º) logaritmo de um quociente
3º) logaritmo de uma potência
4º) mudança de base de um logaritmo
103
104
Exemplo 56
Dado que , , e , determine os logaritmos abaixo.
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
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105
Exemplo 56
Dado que , , e , determine os logaritmos abaixo.
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
105
106
Exemplo 57
Se , então vale
(A) 		
(B) 		
(C) 		
(D) 	
(E) 
106
107
Exemplo 58
Sendo e , o valor do é igual a
(A) 		
(B) 	
(C) 	
(D) 	
(E) 
107
108
13. Produtos notáveis
Toda expressão matemática composta de números e letras ou somente de letras é denominada expressão algébrica ou literal.
Nessas expressões as letras são chamadas de variáveis, porque seus valores variam.
O valor numérico é o resultado das operações efetuadas em uma expressão algébrica, após a substituição das variáveis por números reais.
108
109
Exemplo 59
O volume de água (V), em litros, que uma bomba pode elevar é representada pela expressão em que t é o tempo em minutos (t > 0). Quantos litros de água essa bomba terá colocado no tanque após uma hora de funcionamento?
109
110
13. Produtos notáveis
Monômio ou termo algébrico é uma expressão algébrica formada por um número real, ou por uma variável real, ou por uma multiplicação de números e variáveis. Em um monômio, distinguimos o coeficiente real e a parte literal. Qualquer adição algébrica de monômios denomina-se polinômio.
Exemplos
a) 16
b) x
c) a3b2
d) 6n10 
110
111
13. Produtos notáveis
Os produtos notáveis são produtos de expressões algébricas utilizados com frequência. Vejamos alguns:
111
112
13. Produtos notáveis
112
113
13. Produtos notáveis
113
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13. Produtos notáveis
Os produtos notáveis são produtos de expressões algébricas utilizados com frequência. Vejamos alguns:
114
115
115
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13. Produtos notáveis
Os produtos notáveis são produtos de expressões algébricas utilizados com frequência. Vejamos alguns:
116
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13. Produtos notáveis
117
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Exemplo 60
Desenvolva os produtos notáveis que seguem:
A) 
118
119
Exemplo 60
Desenvolva os produtos notáveis que seguem:
B) 
119
120
Exemplo 60
Desenvolva os produtos notáveis que seguem:
C) 
120
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Exemplo 61
Determine o valor de .
121
122
Exemplo 62
A diferença entre os quadrados de dois números consecutivos é igual a 279. Qual o valor do produto desses dois números?
122
123
14. Fatoração
Fatorar um número é escrevê-lo em forma de um produto de dois ou mais números.
Fatorar ou decompor uma expressão algébrica consiste em apresentá-la na forma mais simples de um produto de fatores. Aqui, a fatoração pode ser feita por fator comum em evidência, por agrupamento, por diferença de dois quadrados ou por um trinômio quadrado perfeito.
123
124
14. Fatoração
Fator comum em evidência
	Usamos esse procedimento quando a expressão a ser fatorada apresenta um fator comum em todos os seus termos.
Exemplos
A) 
B) 
124
125
14. Fatoração
Fatoração por agrupamento
	Usamos esse procedimento quando a expressão a ser fatorada apresenta grupos de termos comuns.
Exemplos
A) 
B) 
125
126
14. Fatoração
Fatoração por diferença de dois quadrados
	Usamos esse procedimento quando a expressão a ser fatorada apresenta a forma . Nesse caso, devemos recordar que 
Exemplos
A) 
B) 
126
127
14. FatoraçãoFatoração por trinômio quadrado perfeito
	Usamos esse procedimento quando a expressão a ser fatorada apresenta a forma ou . Nesses casos, devemos recordar que
		
		 
Exemplos
A) 
B) 
127
128
Exemplo 63
Decomponha em produto de três fatores a expressão: 
128
129
Exemplo 64
Fatore a expressão: 
129
130
Exemplo 65
Simplifique a expressão:
130
131
Exemplo 66
Simplifique a expressão:
131
132
Exemplo 67
A forma fatorada da expressão algébrica definida por
é igual a . Nessas condições, é igual a
(A) 4
(B) 3
(C) 2
(D) 1
(E) 0
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15. Equações e inequações
Uma equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade.
						 e 
Nas equações, o que antecede o sinal de igual denomina-se 1º membro, e tudo o que sucede o sinal, 2º membro.
O conjunto universo é o conjunto de todos os valores que a incógnita pode assumir e é denotado por U. O conjunto verdade é o conjunto dos valores de U, atribuídos a incógnita, que tornam verdadeira a equação ou a inequação, e é denotado por V. Os elementos do conjunto verdade de uma equação são denominados raízes da equação. 
133
134
15. Equações e inequações
Uma equação do primeiro grau na incógnita x é toda equação que pode ser escrita na forma com e A equação do primeiro grau tem uma raiz e esta pode ser determinada resolvendo a equação para x. 
134
135
Exemplo 68
Resolva em as equações do primeiro grau:
A) 
135
136
Exemplo 68
Resolva em as equações do primeiro grau:
B) 
136
137
15. Equações e inequações
Uma equação do segundo grau na incógnita x é toda equação escrita na forma com e . A equação do 2ºgrau possui duas raízes e estas são determinadas a partir da “fórmula de Bhaskara”:
em que é denominado discriminante da equação. Os tipos de raízes da equação do segundo grau dependem do valor do discriminante. A saber: 
137
138
Exemplo 69
Resolva em as equações do segundo grau:
A) 
138
139
Exemplo 69
Resolva em as equações do segundo grau:
B)
139
140
Exemplo 70
Resolva em as equações a seguir:
A)
140
141
Exemplo 70
Resolva em as equações a seguir:
B)
141
142
Exemplo 71
A equação possuiu duas raízes no conjunto dos números inteiros. A soma dessas raízes é ...
142
143
Exemplo 72
Sob certas condições, o número de colônias de bactérias, t horas após ser preparada a cultura, é dada pela função com O tempo mínimo necessário para esse número ultrapassar 6 colônias é de 
(A) 1 hora.
(B) 2 horas. 
(C) 3 horas.
(D) 4 horas. 
(E) 6 horas.
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Matemática básica
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