Exercícios de Álgebra Linear - UFPE - 2020.1

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Álgebra Linear - UFPE - 2020.1
Lista de exerćıcios 1
Notação.: Uma letra em negrito significará um vetor de Rn, o qual será representado por uma
coluna. Por exemplo:
x =

x1
x2
...
xn
 , 0 =

0
0
...
0
 .
1. Calcule os seguintes produtos de matrizes:
(a)
[
−1 0 3 −10
]
·

2
5
−7
1

(b)
[
2 0 1
]
·
 0 −1 02 3 2
0 1 0
 ·
 100
−1

2. Para cada matriz abaixo, faça operações elementares nas suas linhas para reduzi-la a uma
matriz escalonada (Não é necessário reduzi-la à forma escada). Calcule seu posto.
(a) A1 =
 1 1 −22 2 −3
3 −1 2

(b) A2 =
 1 1 −22 2 −3
3 3 1

(c) A3 =
 2 1 3 0−4 −1 −7 2
4 3 5 5

(d) A4 =
 2 0 −1 4 1−2 0 2 −2 0
0 0 1 2 2

(e) A5 =

1 3 0 2 0 1 0
−1 −1 0 −1 1 0 1
0 4 0 2 4 3 3
1 3 0 2 −2 1 0

1
3. Sendo A1, A2, A3 e A5 as matrizes do exerćıcio anterior, encontre o conjunto solução de cada
sistema linear a seguir e encontre também o conjunto solução do sistema homogêneo associado.
(a) A1 · x =
 02
12

(b) A2 · x =
 01
7

(c) A3 · x =
 10
−1
,
(d) A5 · x =

1
1
7
1

4. Quais condições os números b1, b2, b3, b4 devem satisfazer para que o sistema linear, represen-
tado matricialmente por 
2 −4 4
1 −1 3
3 −7 5
0 2 5
 ·
 x1x2
x3
 =

b1
b2
b3
b4
 , (1)
possua pelo menos uma solução? Sendo satisfeitas estas condições, encontre o conjunto
solução deste sistema.
5. Para qual(ais) valor(es) de a e b os planos descritos pelas equações
x+ y + 2z = 1, 2x+ 3y − z = 1, x+ ay + z = b
se interceptam em mais de um ponto?
6. Considere o seguinte sistema linear nas variáveis x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7:
3x1 + x3 + 4x4 − 2x5 = b1
6x1 + 4x3 + 8x4 − 5x5 + x6 + 2x7 = b2
+ 5x4 + 4x5 + x7 = b3
−3x1 − x3 + 16x4 + 18x5 + 3x7 = b4
6x3 − 10x4 − 11x5 + 3x6 − 2x7 = b5
(2)
Quais condições as constantes b1, b2, b3, b4, b5 devem satisfazer para que este sistema possua
pelo menos uma solução? Sendo satisfeitas estas condições, encontre o conjunto solução deste
sistema.
7. Quais condições as constantes λ1 e λ2 devem satisfazer a fim de que o seguinte sistema linear
possua uma única solução (não é necessário calculá-la)? 1 0 −12 3 λ1
−1 λ2 2
 x1x2
x3
 =

√
2√
3√
5
 (3)
2
8. Sem calcular determinantes, decida quais matrizes abaixo possuem inversa (lembre que uma
matriz n × n A possui inversa se, e somente se, tiver posto igual a n). Para as que forem
inverśıveis, calcule a inversa pelo método de Gauss-Jordan.
(a)
 1 2 34 5 6
2 1 0

(b)
 4 2 34 5 6
7 8 8

(c)

1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
4 3 2 1

9. Calcule o determinante das seguintes matrizes (faça operações elementares nas linhas ou
colunas para simplificar o cálculo):
(a)

2 5 −3 −2
−2 −3 2 −5
1 3 −2 2
−1 −6 4 3

(b)

1 2 2 3
1 0 −2 0
3 −1 1 −2
4 −3 0 2

3