Geometria Espacial: Resumos e Questões Revisadas

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GEOMETRIA ESPACIAL 
RESUMOS E QUESTÕES REVISADAS 
 
A geometria espacial é a área da matemática que estuda as figuras espaciais, 
ou seja, as figuras dispostas no espaço. 
Figuras espaciais são figuras com três dimensões: comprimento, largura e 
altura. 
É na geometria espacial que estudamos o conceito de volume, que é a medida 
de capacidade dos sólidos geométricos. Estes sólidos são limitados por planos 
que formam as suas superfícies. 
Conceitos Básicos da Geometria 
Os sólidos geométricos ou figuras espaciais são formadas por elementos da 
geometria que não precisam ser demonstrados ou provados, e, portanto, são 
chamados de axiomas. 
Assim, para começar a entender algumas das figuras geométricas espaciais, 
precisamos entender esses conceitos básicos: 
• Ponto: o ponto é um elemento na geometria que não possui dimensão, é 
definido como alguma coisa que não possui partes. O ponto é importante 
pois os planos, retas, e todos os sólidos geométricos são formados por um 
conjunto de pontos reunidos; 
• Reta: as retas são pontos alinhados infinitamente, possuindo apenas 
comprimento. As retas são representadas por letras minúsculas do 
alfabeto; 
 
• Linha: a linha é diferente do conceito de retas. Apesar de ser formada por 
pontos, a linha pode ser curva ou não. Por exemplo, a circunferência é 
formada por uma linha curva; 
• Vértice: o vértice é um ponto que define o encontro de segmentos de 
retas que formam os lados dos sólidos geométricos; 
• Plano: planos são regiões infinitas bidimensionais (duas dimensões). 
 
Figuras Geométricas Espaciais 
 
https://matematicabasica.net/retas/
https://matematicabasica.net/circunferencia/
https://matematicabasica.net/segmento-de-reta/
https://matematicabasica.net/segmento-de-reta/
A geometria espacial estuda diversos sólidos geométricos, entre as principais 
temos: cilindro, cubo, cone, esfera, paralelepípedo e a pirâmide. 
As figuras geométrica espaciais são chamadas de poliedros, que são figuras 
geométricas tridimensionais, e possuem largura, comprimento e altura. 
Cilindro 
O cilindro é um poliedro com duas bases circulares e congruentes. Além disso, 
os lados tem formato circular. 
 
Entre os principais elementos do cilindro, temos: 
• Base: duas bases com formato circular e paralelas entre si; 
• Raio: as bases são círculos que possuem uma medida do centro até a 
extremidade, chamada de raio; 
• Geratriz: as geratrizes são segmentos de retas que formam o lado do 
cilindro; 
• Diretriz: a diretriz é o ponto na base da geratriz que indica a direção da 
geratriz. 
 
Cubo 
 
https://matematicabasica.net/poliedro/
https://matematicabasica.net/cilindro/
O cubo é um hexaedro regular, ou seja, possuem 6 faces com as mesmas 
medidas, tanto para área, ângulos e quantidade de arestas. 
 
O cubo é formado pelos seguintes elementos: 
• Arestas: possui 12 arestas congruentes; 
• Faces: possui 6 faces quadrangulares; 
• Diagonais: possui 4 diagonais internamente no cubo; 
• Vértices: possui 8 vértices; 
• Ângulos: possui 24 ângulos retos. 
 
Cone 
 
O cone é outro sólido geométrico bem popular, que tem o formato de uma 
pirâmide. 
 
https://matematicabasica.net/cubo/
O cone possui os seguintes elementos na sua formação: 
• Raio da base: a base é um círculo que possui um raio; 
• Geratriz: segmentos de retas que formam os lados do cone; 
• Vértice: ponto que não pertence ao plano da base; 
 
Esfera 
 
A esfera é uma figura geométrica espacial que é limitada por uma superfície 
esférica. A superfície da esfera é formada por um conjunto de pontos que ficam 
a uma distância do centro por uma medida que é chamada de raio. 
 
A esfera possui algumas partes importantes chamadas de partes da esfera: 
• Superfície Esférica: é a região superficial da esfera; 
• Cunha Esférica: a cunha é uma região entre dois semicírculos; 
• Fuso Esférico: o fuso é uma parte da esfera obtida pelo giro de uma 
semicircunferência a um certo ângulo; 
• Calota Esférica: a calota esférica é uma parte da esfera cortada por um 
plano perpendicular ao eixo de rotação; 
• Polos: os polos são pontos nas extremidades do eixo de rotação da 
esfera; 
• Paralelo: é uma circunferência perpendicular ao eixo de rotação da 
esfera; 
• Meridiano: é uma circunferência na superfície na mesma direção do eixo 
de rotação da esfera. 
 
Paralelepípedo 
 
O paralelepípedo é um poliedro formado por paralelogramos. Suas faces opostas 
são paralelas, com ângulos retos. 
https://matematicabasica.net/esfera/
https://matematicabasica.net/paralelogramo/
 
O paralelepípedo possui os seguintes elementos na sua formação: 
• Faces: possui 6 faces; 
• Vértices: possui 8 vértices; 
• Arestas: possui 12 arestas. 
 
Pirâmide 
 
É um poliedro com base poligonal e os lados são formadas por polígonos 
triangulares, unidas num vértice que não pertence ao plano da base. 
 
A pirâmide é formada pelos seguintes elementos: 
• Arestas laterais: segmentos de retas da base até o vértice; 
• Faces laterais: formadas por triângulos; 
• Arestas da base: segmentos de retas ligando os vértices; 
• Altura da pirâmide: definida pelo vértice; 
• Apótema da pirâmide: altura da face da pirâmide. 
 
EXERCÍCIOS 
https://matematicabasica.net/triangulo/
1) (PUC RS/2013) Um desafio matemático construído pelos alunos do 
Curso de Matemática tem as peças no formato de um cone. A figura 
abaixo representa a planificação de uma das peças construídas. A área 
dessa peça é de __ cm². 
 
a) 10π 
b) 16 π 
c) 20 π 
d) 28 π 
e) 40 π 
 
A área da peça equivale a soma da área da base com a área lateral, pois se trata 
da planificação de um cone. 
Assim, a área da base do cone é dada pela fórmula: 
 
A área lateral é dada pela fórmula: 
 
A área total do cone é a soma das áreas da base e lateral, assim: 
At = 16π + 24π = 40π 
Resposta D. 
 
2) (UCS INV/2013) De uma caixa d’água de forma cúbica, cujas 
arestas medem 0,9 metros e que contém água até a altura de 0,7 
metros, devem ser retirados 162 litros de água. 
Com essa retirada, a altura do nível de água irá baixar 
____________, restando __________ de água na caixa. 
Assinale a alternativa que preenche correta e respectivamente as 
lacunas acima. (dado 1 litro = 1 dm³) 
 
a) 20 cm e 405 litros 
b) 20 cm e 567 litros 
c) 2 cm e 405 litros 
d) 30 cm e 567 litros 
e) 3 cm e 405 litros 
 
A caixa possui o formato de um cubo, onde largura = comprimento = altura = 
0,9 m. 
O problema diz que a caixa possui água até a altura 0,7 m. Assim, temos um 
volume de: V = 0,9 x 0,9 x 0,7 = 0,567 m³ de água. 
No entanto, desse volume devem ser retirados 162 litros de água. 
Como 1 litro = 0,001 m³. 
Então: 
162 x 0,001 = 0,162 m³ 
Agora precisamos retirar de 0,567 m³ de água 0,162 m³, logo: 
0,567 m³ – 0,162 m³ = 0,405 m³ que é a quantidade de água restante após a 
retirada de 162 litros. 
Precisamos calcular agora a nova altura da água na caixa. 
Então: 
Comprimento x Largura x Altura = Volume 
0,9 m x 0,9 m x Altura = 0,162m³ 
0,81 m² x Altura = 0,162 m³ 
Altura = 0,162 / 0,81 = 0,2 m 
Portanto, com a retirada de 162 litros a altura da água irá baixar 0,2 m ou 20 
cm restando 0,405 m³ ou 405 litros de água na caixa. 
 
3) (UFSM) Na figura, o perímetro do quadrilátero ABCD mede 4(1 
+ √2) cm. Então o volume do cubo em cm³, é: 
 
a) 4(1 +√2). 
b) 8. 
c) 16. 
d) 64. 
e) 2√3. 
 
A diagonal de um cubo é: d = a√2 
Então, em ABCD temos dois lados medindo a e dois medindo a√2. 
Assim, o perímetro é: 
2a + 2a√2 = 2a (1 + √2) 
Fazendo, 
2a (1 + √2) = 4(1 + √2) ⇒ 
2a = 4 ⇒ 
a = 4/2 ⇒ 
a = 2 
Dessa forma, podemos calcular o volume do cubo: 
V = a³ = 2³ = 8 cm³ 
Resposta B. 
 
4) Sabe-se que o raio da Terra equivale a 6.371 km. Com essa 
informação, calcule a área superficial do planeta Terra. 
Como a Terra é uma esfera, então podemos utilizar a fórmula da esfera para 
calcular a área superficial de um objeto esférico: 
A = 4πr² = 4 x 3,14159x 6.371² = 510.064.041,1 km² 
Portanto, a área superficial da Terra é de aproximadamente: 510.064.041,1 
km². 
 
 
Todo o material pode ser encontrado no site matemática básica: 
https://matematicabasica.net/geometria-espacial/ 
https://matematicabasica.net/exercicios-de-geometria-espacial/ 
 
 
 
 
 
 
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