L6-Homomorfismo de anéis e ideais

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6a lista de Execícios de Algebra Abstrata
Professora Dra. Elany Maciel
HOMOMORFISMO DE ANÉIS E IDEAIS
1. Veri�que em cada caso se a aplicação f : A −→ B é um homomor�smo
de anéis.
(a) A = B = Z, f(x) = x + 1
(b) A = B = Z e f(x) = x2
(c) A = B = Z e f(x) = |x|
(d) A = R e B = C e f(x) = x · i
(e) A = B = C e f(a + bi) = a− bi
(f) A = B = Z× Z e f(x, y) = (y, x)
(g) A = Z e B = Z× Z e f(x) = (x, 0)
(h) A = Z e B = Z× Z e f(x) = (x, 1)
2. Determine o núcleo e a imagem de cada homomor�smo do exercícios
anterior. Quais são injetivos?
3. Seja f : Z −→M2(Z), de�nido por f(a) =
(
a −2b
b a
)
, ∀a ∈ Z. Veri-
�que se f é um homomor�smo injetor de aneis.
4. Mostre que f : C −→M2(R) dada por f(a + bi) =
(
a −b
b a
)
, ∀a, b ∈
R, é um homomor�smo injetor de anéis.
5. Mostre que 6Z é um ideal de 3Z.
6. Seja A um anel e a ∈ A. Mostre que < a >= {t · a | t ∈ A} é um ideal
de A.
7. Seja A um anel e a, b ∈ A. Mostre que < a, b >= {t ·a+ s · b | t, s ∈ A}
é um ideal de A.
8. Descreva cada ideal I no respectivo anel.
(a) I1 =< 2 > e A = Z8.
(b) I2 =< 2 > e A = Z6.
(c) I3 =< 5 > e A = R.
(d) I4 =< −5 > e A = Z.
(e) I5 =< 5, 15 > e A = Z.
9. Veri�que em cada caso se o conjunto I é um ideal de A.
(a) A = (Z6,+, .) e I = {0̄, 2̄, 4̄}.
(b) A = (Z8,+, .) e I = {0̄, 4̄}
(c) A = (Z9,+, .) e I = {0̄, 3̄, 6̄}
(d) A = Z e I = {x ∈ Z : mdc{x, 5} = 1}
(e) A = Z e I = {x ∈ Z : x|12}
(f) A = Z e I = {x ∈ Z : 6|x e 24|x2}
10. Veri�que quais dos subconjuntos são ideais de A = M2(R).
(a) L =
{(
a b
0 c
)
, a, b, c ∈ R
}
(b) L =
{(
a b
0 c
)
, a, b ∈ R e a + b = 2
}
(c) L =
{(
a 0
0 b
)
, a, b ∈ R
}
(d) L =
{(
a 0
b 0
)
, a, b ∈ R e a + b = 1
}
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