Memorial de cálculo - Versão Final - Trabalho Concreto 1 - V3

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS 
ESCOLA DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL 
CONCRETO ESTRUTURAL 1 
PROF. DR. DANIEL DE LIMA ARAÚJO 
 
 
 
 
 
 
MEMORIAL DE CÁLCULO, PROJETO E DETALHAMENTO 
DE VIGA DE CONCRETO 
 
 
 
 
BRUNO CARNEIRO LUDOVICO DE PAULA – 201407655 
JOÃO PAULO GUERRA – 201408029 
LUIZ HENRIQUE NOGUEIRA – 201303850 
MARCOS LABORÃO - 201407679 
 
 
 
 
 
GOIÂNIA 
DEZEMBRO, 2017 
2 
 
Memorial de Cálculo 
 
Dimensionamento da Viga à Flexão: 
Inicialmente, foi realizado a majoração das ações e a minoração das resistências: 
𝑄𝑘 = 37 𝑘𝑁/𝑚 
𝛾𝑓= 1,4 
𝑄𝑑 = 37𝑥 1,4 
𝑄𝑑 = 51,8 𝑘𝑁/𝑚 
 
𝑓𝑐𝑑 =
𝑓𝑐𝑘
𝛾𝑐
=
25
1.4
= 17,857 𝑀𝑃𝑎 
 
𝑓𝑦𝑑 =
𝑓𝑦𝑘
𝛾𝑠
=
500
1.15
= 434,783 𝑀𝑃𝑎 
A partir do diagrama abaixo, obtido com o auxílio do software Ftool, foram realizados 
os cálculos das áreas de aço. Para se traçar estes diagramas, a carga já havia sido majorada. 
 
 𝑀𝑣𝑎𝑜1 = 45,568 𝐾𝑁 𝑀𝑎𝑝𝑜𝑖𝑜 = −240,530𝐾𝑁 𝑀𝑣𝑎𝑜2 = 199,739𝐾𝑁 
3 
 
- Área de Aço Vão 1: 
046,0
61,015,010857,17
10568,45
26
3
2






dbf
M
wcd
d (Domínio 2) 
Utilizando o software Excel, foi realizado uma interação para se achar com menor erro 
possível o valor de 𝜀𝑐. 
Sendo assim, adotou-se este com o valor de: 𝜀𝑐 = 0,013% 
𝜓 = 1,25 ∙ (1 −
0,002
3 ∙ 𝜀𝑐
𝑀𝑎𝑥) 
𝜓 = 0,611 
𝜉 = 1,25 [1 − √1 −
1,6 ∙ 𝜇
0,68 ∙ 𝜓
] = 0,1153 
𝜑 = 1 − 0,4𝜉 = 0,954 
𝐴𝑠 =
𝑀𝑑
𝜑 ∙ 𝑑 ∙ 𝑓𝑦𝑑
= 1,801 𝑐𝑚2 
 
-Área de Aço Vão 2: 
𝜇 =
𝑀𝑑
𝑓𝑐𝑑 ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑2
=
199,739 ∙ 103
17,857 ∙ 106 ∙ 0,15 ∙ 0,61²
= 0,200 (𝐷𝑜𝑚í𝑛𝑖𝑜 3) 
𝜉 = 1,25 [1 − √1 −
1,6 ∙ 𝜇
0,68
] = 0,341 
𝜑 = 1 − 0,4𝜉 = 0,863 
𝐴𝑠 =
𝑀𝑑
𝜑 ∙ 𝑑 ∙ 𝑓𝑦𝑑
= 8,722 𝑐𝑚2 
 
-Área de Aço Sobre Apoio: 
𝜇 =
𝑀𝑑
𝑓𝑐𝑑 ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑2
=
240,530 ∙ 103
17,857 ∙ 106 ∙ 0,15 ∙ 0,61²
= 0,241 (𝐷𝑜𝑚í𝑛𝑖𝑜 2) 
𝜉 = 1,25 [1 − √1 −
1,6 ∙ 𝜇
0,68
] = 0,428 
𝜑 = 1 − 0,4𝜉 = 0,829 
4 
 
𝐴𝑠 =
𝑀𝑑
𝜑 ∙ 𝑑 ∙ 𝑓𝑦𝑑
= 10,944 𝑐𝑚2 
 
Apenas para verificação de segurança, segue em seguida os cálculos de armadura 
máxima e mínima. 
- Armadura máxima: 
(𝐴𝑠 + 𝐴𝑠′) ≤
4
100
∙ 𝐴𝑐 ≤
4
100
∙ 0,15 ∙ 0,65 ≤ 39 𝑐𝑚² 
- Armadura mínima: 
𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 = 𝜌𝑚𝑖𝑛 ∙ 𝐴𝑐 =
0,15
100
∙ 0,15 ∙ 0,65 = 1,462 𝑐𝑚² 
Sendo 𝜌𝑚𝑖𝑛 = 0,15% para 𝑓𝑐𝑘 = 25 𝑀𝑃𝑎 e seção retangular. 
 
 Cálculo do número de barras a ser utilizadas em cada seção: 
- Para o vão 1: 
𝑛 =
𝐴𝑠
𝐴∅
=
1,8012
1,227
= 1,468 : sendo assim, teríamos 2 Barras de 12,5 mm de diâmetro. 
𝑛 =
𝐴𝑠
𝐴∅
=
1,8012
0,785
= 2,294 : sendo assim, teríamos 3 Barras de 10 mm de diâmetro. 
 Sendo assim para este vão, por estar mais próximo do número acima, escolhemos a 
configuração de: 
2∅12,5 
 
- Para o vão 2: 
𝑛 =
𝐴𝑠
𝐴∅
=
8,7219
1,227
= 7,108 : sendo assim, teríamos 7 Barras de 12,5 mm de diâmetro. 
𝑛 =
𝐴𝑠
𝐴∅
=
8,7219
2,011
= 4,337 : sendo assim, teríamos 5 Barras de 16 mm de diâmetro. 
𝑛 =
𝐴𝑠
𝐴∅
=
8,7219
3,142
= 2,776 : sendo assim, teríamos 3 Barras de 20 mm de diâmetro. 
 Sendo assim para este vão, por ter um momento maior, escolhemos a configuração 
de: 
3∅20 
- Para o Apoio: 
𝑛 =
𝐴𝑠
𝐴∅
=
10,9438 
1,227
= 8,919 : sendo assim, teríamos 9 Barras de 12,5 mm de diâmetro. 
5 
 
𝑛 =
𝐴𝑠
𝐴∅
=
10,9438 
2,011
= 5,442, sendo assim, teríamos 6 Barras de 16 mm de diâmetro. 
𝑛 =
𝐴𝑠
𝐴∅
=
10,9438 
3,142
= 3,483, sendo assim, teríamos 4 Barras de 20 mm de diâmetro. 
 Sendo assim para este vão, por ter um momento maior, escolhemos a configuração 
de: 
4∅20 
 Divisão do momento negativo (barras de 20 mm): 
𝑀1∅ = 𝐴𝑠 ∙ 𝜑𝑑 ∙ 𝑓𝑦𝑑 = (1 ∙ 3,14 ∙ 10
−4) ∙ 0,61 ∙ 0,8287 ∙ 500 ∙ 10
3
1,15⁄ = 69,048 𝑘𝑁𝑚 
𝑀1∅
1,4
= 49,320 𝑘𝑁𝑚 
 
 Divisão do momento positivo: 
 - Vão 1 (barras de 12,5 mm): 
𝑀1∅ = 𝐴𝑠 ∙ 𝜑𝑑 ∙ 𝑓𝑦𝑑 = (1 ∙ 1,227 ∙ 10
−4) ∙ 0,61 ∙ 0,9539 ∙ 500 ∙ 10
3
1,15⁄ = 31,042 𝑘𝑁𝑚 
𝑀1∅
1,4
= 22,173 𝑘𝑁𝑚 
- Vão 2 (barras de 20 mm): 
𝑀1∅ = 𝐴𝑠 ∙ 𝜑𝑑 ∙ 𝑓𝑦𝑑 = (1 ∙ 3,14 ∙ 10
−4) ∙ 0,61 ∙ 0,8635 ∙ 500 ∙ 10
3
1,15⁄ = 71,911 𝑘𝑁𝑚 
𝑀1∅
1,4
= 51,365 𝑘𝑁𝑚 
 
 Cálculo do número de barras ancorado nos apoios extremos (momento nulo): 
𝐴𝑠 = 
1
3
∙ 𝐴𝑠,𝑣ã𝑜, pois o momento é nulo, 
Vão 1: 𝐴𝑠 = 
1
3
∙ 𝐴𝑠,𝑣ã𝑜1 =
2
3
= 1 barra 
Vão 2: 𝐴𝑠 = 
1
3
∙ 𝐴𝑠,𝑣ã𝑜2 =
3
3
= 1 barra 
 Cálculo do número de barras levadas ao apoio intermediário (momento negativo): 
𝐴𝑠 = 
1
4
∙ 𝐴𝑠,𝑣ã𝑜, pois |𝑀𝑎𝑝𝑜𝑖𝑜| > 0,5 ∙ |𝑀𝑣ã𝑜| 
𝐴𝑠 = 
4
4
= 1 barra 
 
6 
 
Cálculo da decalagem (modelo II, NBR 6118/2003): 
 
𝑎ℓ = 0,5 ∙ 𝑑 ∙ (𝑐𝑜𝑡𝑔 𝜃 + 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝛼) 
𝛼: ângulo de inclinação do estribo (𝛼 = 90°) - Valor escolhido advindo do Modelo II 
30° < 𝜃 < 45°  adotado 𝜃 = 30° (ângulo de inclinação da biela de compressão) 
 Com estes números, temos que: 
𝑎ℓ = 0,5 ∙ 0,61 ∙ (𝑐𝑜𝑡𝑔 30 + 𝑐𝑜𝑡𝑔 90) = 0,528 𝑚 
 
 
 
Ancoragem retilínea: 
 
a) Cálculo do comprimento de ancoragem: 
𝑓𝑏𝑑 = 𝜂1 ∙ 𝜂2 ∙ 𝜂3 ∙ 𝑓𝑐𝑡𝑑 𝛾𝑐 = 1,4 
𝑓𝑐𝑡𝑑 = 
𝑓𝑐𝑘,𝑖𝑛𝑓
𝛾𝑐
=
0,7 ∙ 0,3 ∙ 𝑓𝑐𝑘
2
3
1,4
= 1,283 𝑀𝑃𝑎 
Sendo que: 
𝜂1 = 2,25 (Aço CA-50) 
𝜂2 = 1,0 (Barras inferiores – boa aderência) 
𝜂2 = 0,7 (Barras superiores – má aderência) 
𝜂3 = 1,0 (𝜙 < 32 mm) 
 
 Comprimento de ancoragem: comprimento mínimo necessário para que as tensões na 
armadura tracionada sejam transferidas para o concreto. 
7 
 
 ℓ𝑏 =
𝜙
4
∙
𝑓𝑦𝑑
𝑓𝑏𝑑
 
 
Para as barras inferiores: 
 
𝑓𝑏𝑑 = 2,25 ∙ 1,0 ∙ 1,0 ∙ 1,2825 = 2,886 𝑀𝑃𝑎 
Vão 1: ℓ𝑏,𝑣ã𝑜1 =
12,5∙10−3
4
∙
500∙106
1,15⁄
2,8856∙106
= 0,471 𝑚 → ℓ𝑏,𝑣ã𝑜1 = 50 𝑐𝑚 
Vão 2: ℓ𝑏,𝑣ã𝑜2 =
20∙10−3
4
∙
500∙106
1,15⁄
2,8856∙106
= 0,753 𝑚 → ℓ𝑏,𝑣ã𝑜2 = 75 𝑐𝑚 
 
Para as barras superiores: 
 
𝑓𝑏𝑑 = 2,25 ∙ 0,7 ∙ 1,0 ∙ 1,2825 = 2,02 𝑀𝑃𝑎 
 ℓ𝑏,𝑎𝑝𝑜𝑖𝑜 =
20∙10−3
4
∙
500∙106
1,15⁄
2,02∙106
= 1,076 𝑚 → ℓ𝑏,𝑎𝑝𝑜𝑖𝑜 = 110 𝑐𝑚 
 
b) Comprimento necessário para ancoragem reta: 
ℓ𝑏,𝑣ã𝑜1,𝑛𝑒𝑐 = ℓ𝑏,𝑣ã𝑜1 ∙
𝐴𝑠,𝑐𝑎𝑙
𝐴𝑠,𝑒𝑥
= 50 ∙
1,8012
2,453
= 37 𝑐𝑚 ≥ {
0,3 ∙ ℓ𝑏 = 15 𝑐𝑚
10∅ = 12,5 𝑐𝑚
100 𝑚𝑚
 
ℓ𝑏,𝑣ã𝑜2,𝑛𝑒𝑐 = ℓ𝑏,𝑣ã𝑜2 ∙
𝐴𝑠,𝑐𝑎𝑙
𝐴𝑠,𝑒𝑥
= 75 ∙
8,7219
9,420
= 70 𝑐𝑚 ≥ {
0,3 ∙ ℓ𝑏 = 22,5 𝑐𝑚
10∅ = 20 𝑐𝑚
100 𝑚𝑚
 
ℓ𝑏,𝑎𝑝𝑜𝑖𝑜,𝑛𝑒𝑐 = ℓ𝑏,𝑎𝑝𝑜𝑖𝑜 ∙
𝐴𝑠,𝑐𝑎𝑙
𝐴𝑠,𝑒𝑥
= 110 ∙
10,9438
12,56
= 96 𝑐𝑚 ≥ {
0,3 ∙ ℓ𝑏 = 33 𝑐𝑚
10∅ = 20 𝑐𝑚
100 𝑚𝑚
 
 
 Observação: a rigor, esta redução somente é válida se for adotada a divisão do 
momento máximo (através de linhas horizontais) pelo número de barras, isto é, sem calcular 
o momento resistido por uma barra. 
Tabela com valores de comprimento de ancoragem: 
 𝑎𝑙(cm) 𝑙𝑏,𝑛𝑒𝑐 (𝑐𝑚) 
Vão1 52,8 37 
Apoio 52,8 96 
Vão2 52,8 70 
8 
 
 
a) Comprimento das barras 
 No vão 1, as 2 primeiras barras positivas serão ancoradas no apoio. Para o cálculo do 
comprimento de N1, é necessário calcular o comprimento de ancoragem no apoio. 
 No vão 2, as 2 primeiras barras positivas serão ancoradas no apoio, a outra terá 
ancoragem reta. Para o cálculo do comprimento das barras N4, é necessário calcular o 
comprimento de ancoragem no apoio. No presente projeto houve a escolha da opção de 
ganchos retos para as regiões de apoio. 
 
 
 
 Valor da força a ancorar no primeiro apoio (vão 1): 
 
9 
 
 
115,1
132,6
=
𝑉𝑑,𝑓𝑎𝑐𝑒
68,708
 
 
𝑉𝑑,𝑓𝑎𝑐𝑒 = 59,64 𝑘𝑁 
 
𝑅𝑠𝑡 =
𝑎ℓ
𝑑
 ∙ 𝑉𝑑,𝑓𝑎𝑐𝑒 =
0,528
0,61
 ∙ 59,64 
 
𝑅𝑠𝑡 = 51,62 𝑀𝑃𝑎 > 0,5 ∙ 𝑉𝑑,𝑓𝑎𝑐𝑒 
 
𝐴𝑠,𝑐𝑎𝑙𝑐 =
𝑅𝑠𝑡
𝑓𝑦𝑑
=
51,62
500 ∙ 103
1,15⁄
= 1,192𝑐𝑚2 
 
 Ancoragem com gancho reto no vão 1: 
ℓ𝑏 ≥ {
ℓ𝑏,𝑛𝑒𝑐 = 𝛼1 ∙ ℓ𝑏,𝑣ã𝑜1 ∙
𝐴𝑠,𝑐𝑎𝑙
𝐴𝑠,𝑒𝑓
𝑟 + 5,5∅
 
ℓ𝑏
≥ {
ℓ𝑏,𝑛𝑒𝑐 = 0,7 ∙ 50 ∙
1,192
2 ∙ 1,22
= 17,00 𝑐𝑚 < 32,5𝑐𝑚 → 𝑎𝑝𝑜𝑖𝑜 é 𝑠𝑢𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎𝑛𝑐𝑜𝑟𝑎𝑟
2,5∅ + 5,5∅ = 8∅ = 10𝑐𝑚
 
 
𝛼1 = 0,7 para barras com gancho cujo comprimentono plano perpendicular ao gancho ≥ 3∅ 
𝛼1 = 1 , caso contrário 
 
3∅ = 3 ∙ 1,25 = 3,75 < 6,24 → 𝛼1 = 0,7 
 
 
 
10 
 
 
 Comprimento total do gancho no vão 1: 
ℓ𝑣 = ℓ1 +
5∅
2
+ ∅ = 8∅ + 2,5∅ + ∅ = 11,5∅ = 11,5 ∙ 1,25 = 14,375𝑐𝑚 
 
 
ℓ1 = 8∅ = 8 ∙ 1,25 = 10𝑐𝑚 
ℓ2 = 𝜋
(5∅ + ∅)
4
≅ 5,89𝑐𝑚 
ℓ3 = 32,5 −
5∅
2
− ∅ ≅ 28,125𝑐𝑚 
∴ ℓ𝑡 ≅ 44 𝑐𝑚 
 
 Valor da força a ancorar no último apoio (vão 2): 
 
260,2
277,7
=
𝑉𝑑,𝑓𝑎𝑐𝑒
143,851
 
 
𝑉𝑑,𝑓𝑎𝑐𝑒 = 134,79 𝑘𝑁 
 
𝑅𝑠𝑡 =
𝑎ℓ
𝑑
 ∙ 𝑉𝑑,𝑓𝑎𝑐𝑒 =
0,528
0,61
 ∙ 134,79 
𝑅𝑠𝑡 = 116,67 𝑀𝑃𝑎 > 0,5 ∙ 𝑉𝑑,𝑓𝑎𝑐𝑒 
 
𝐴𝑠,𝑐𝑎𝑙𝑐 =
𝑅𝑠𝑡
𝑓𝑦𝑑
=
116,67
500 ∙ 103
1,15⁄
= 2,68 𝑐𝑚² 
 
 
 Ancoragem com gancho no vão 2: 
ℓ𝑏 ≥
{
 
 ℓ𝑏,𝑛𝑒𝑐 = 𝛼1 ∙ ℓ𝑏,𝑣ã𝑜2 ∙
𝐴𝑠,𝑐𝑎𝑙
𝐴𝑠,𝑒𝑓
= 1 ∙ 75 ∙
2,68
2 ∙ 3,14
= 32,00 𝑐𝑚 < 32,5 𝑐𝑚 → 𝑂𝐾
𝑟 + 5,5∅ =
5∅
2
+ 5,5 ∙ 2,0 = 16 𝑐𝑚
 
 
11 
 
 
3∅ = 3 ∙ 2,0 = 6 > 4,74 → 𝛼1 = 1,0 
 
 Comprimento total do gancho no vão 2: 
ℓ𝑣 = ℓ1 +
8∅
2
+ ∅ = 8∅ + 4∅ + ∅ = 13∅ = 13 ∙ 2,0 = 26𝑐𝑚 
 
 
ℓ1 = 8∅ = 8 ∙ 2,0 = 16,0 𝑐𝑚 
ℓ2 = 𝜋
(8∅ + ∅)
4
≅ 14,14𝑐𝑚 
ℓ3 = 32,5 −
8∅
2
− ∅ ≅ 22,5𝑐𝑚 
∴ ℓ𝑡 ≅ 53𝑐𝑚 
 
 
 Comprimento das barras N1 e N4 
Emenda: calculada pelo maior diâmetro 
ℓ0𝑐 = ℓ𝑏,𝑛𝑒𝑐 ≥ ℓ0𝑐,𝑚𝑖𝑛 
ℓ0𝑐,𝑚𝑖𝑛 ≥ {
0,6 ∙ ℓ𝑏 = 0,6 ∙ 70 = 42 𝑐𝑚
15 ∙ ∅ = 15 ∙ 2,0 = 30 𝑐𝑚
200 𝑚𝑚
 
ℓ0𝑐 = 70𝑐𝑚 
Vão 1: N1 ℓ = (465 − 17,5) + 59 +
70
2
= 542 𝑐𝑚 
Vão 2: N4  ℓ = (690 − 17,5) + 59 +
70
2
= 766,5 𝑐𝑚 
12 
 
 
 
 Armadura de pele (h > 60 cm): 
𝐴𝑠,𝑓𝑎𝑐𝑒 = 0,10% ∙ 𝑏𝑤 ∙ ℎ =
0,10
100
∙ 15 ∙ 65 = 0,975 𝑐𝑚² 
𝑛 =
ℎ
𝑒
− 1 =
65
20
− 1 = 2,25 => 3 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 
𝐴𝑠,𝑏 = 0,5 𝑐𝑚²  Adotar 5∅ 5 𝑚𝑚 𝑐/ 12 𝑐𝑚 (𝐴𝑆,𝑓𝑎𝑐𝑒 = 0,982 𝑐𝑚
2) 
 
 Detalhamento da seção transversal da viga: 
 
 Número de barras por camada (barras de 12,5 mm): 
𝑎ℎ ≥ {
20 𝑚𝑚
∅ = 12,5 𝑚𝑚
1,2𝑑𝑚𝑎𝑥,𝑎𝑔𝑟𝑒𝑔 = 1,2 ∙ 19 = 22,8 𝑚𝑚
 ∴ 𝑎ℎ = 2,3 𝑐𝑚 
𝑎𝑣 ≥ {
20 𝑚𝑚
∅ = 12,5 𝑚𝑚
0,5𝑑𝑚𝑎𝑥,𝑎𝑔𝑟𝑒𝑔 = 0,5 ∙ 19 = 9,5 𝑚𝑚
 ∴ 𝑎𝑣 = 2,0 𝑐𝑚 
 
𝑏𝑤 ≥ 2𝑐 + 2∅𝑡 + 𝑛 ∙ ∅ + (𝑛 − 1) ∙ 𝑎ℎ 
15 ≥ 2 ∙ 2,5 + 2 ∙ 0,63 + 𝑛 ∙ 1,25 + (𝑛 − 1) ∙ 2,3 
𝑛 ≤ 3,11 
𝑛 = 2 
 Devido ao fato deste vão possuir apenas duas barras, caberão ambas na mesma 
camada. 
 
 Número de barras por camada (barras de 20,0 mm): 
𝑎ℎ ≥ {
20 𝑚𝑚
∅ = 20 𝑚𝑚
1,2𝑑𝑚𝑎𝑥,𝑎𝑔𝑟𝑒𝑔 = 1,2 ∙ 19 = 22,8 𝑚𝑚
 ∴ 𝑎ℎ = 2,3 𝑐𝑚 
 
13 
 
𝑎𝑣 ≥ {
20 𝑚𝑚
∅ = 20 𝑚𝑚
0,5𝑑𝑚𝑎𝑥,𝑎𝑔𝑟𝑒𝑔 = 0,5 ∙ 19 = 9,5 𝑚𝑚
 ∴ 𝑎𝑣 = 2,0 𝑐𝑚 
𝑏𝑤 ≥ 2𝑐 + 2∅𝑡 + 𝑛 ∙ ∅ + (𝑛 − 1) ∙ 𝑎ℎ 
15 ≥ 2 ∙ 2,5 + 2 ∙ 0,63 + 𝑛 ∙ 2,0 + (𝑛 − 1) ∙ 2,3 
𝑛 ≤ 2,57 
𝑛 = 2 
 
Observação: Para passagem da agulha do mangote (vibrador) na face superior deve-se 
adotar, durante o processo executivo, um diâmetro da cabeça do mangote que seja 
compatível com o detalhamento proposto do projeto. No mercado verificou-se a existência 
de diâmetro de mangote de 3,2 cm da Branco; 3,5 cm da Vonder e 3,8 cm da Toyama de forma 
a viabilizar a entrada do vibrador dentro da peça. Vale destacar que há a disponibilidade 
mínima de 4,74 cm na utilização das barras de 20mm. 
 
 Detalhamento da armadura transversal – estribos (modelo II, NBR 6118/2014): 
 
 
𝑉𝑑 = 213,6 𝑘𝑁 
𝑓𝑐𝑡𝑑 =
𝑓𝑐𝑘,𝑖𝑛𝑓
𝛾𝑐
=
0,7 ∙ 𝑓𝑐𝑡𝑚
𝛾𝑐
=
0,7 ∙ 0,3 ∙ 𝑓𝑐𝑘
2
3⁄
𝛾𝑐
=
0,7 ∙ 0,3 ∙ 25
2
3⁄
1,4
= 1,285 𝑀𝑃𝑎 
 
14 
 
 Verificação da biela (adotou-se a inclinação da biela de 30 ֯): 
𝑉𝑅𝑑2 = 0,54 ∙ 𝛼𝑣2 ∙ 𝑓𝑐𝑑 ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 ∙ 𝑠𝑒𝑛
2𝜃 ∙ (cot 𝛼 + cot 𝜃) 
𝑉𝑅𝑑2 = 0,54 ∙ (1 −
25
250
) ∙ 17857,14 ∙ 0,15 ∙ 0,61 ∙ 𝑠𝑒𝑛230֯ ∙ (cot 90֯ + cot 30֯) = 343,84 𝑘𝑁 
 
 Cálculo da armadura: 
𝑉𝑐0 = 0,6 ∙ 𝑓𝑐𝑡𝑑 ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 = 0,6 ∙ 1285 ∙ 0,15 ∙ 0,61 = 70,55 𝑘𝑁 
 
𝑉𝑐 = 𝑉𝑐0 ∙
𝑉𝑅𝑑2 − 𝑉𝑑,𝑎𝑝𝑜𝑖𝑜
𝑉𝑅𝑑2 − 𝑉𝑐0
 
 
𝑉𝑐
= 70,55 ∙
343,84 − 213,569
343,84 − 70,55
 
 
𝑉𝑐 = 33,63 𝑘𝑁 
 
 Esforço cortante (Vd) a uma distância 𝒅 𝟐⁄ do apoio: 
 
 Vão 2 (Cortante máximo no apoio intermediário): 
 
𝑉𝑠𝑑1 = 197,83 𝑘𝑁 
 
𝑉𝑠𝑤 = 𝑉𝑠𝑑1 − 𝑉𝑐 
 
𝑉𝑠𝑤 = 197,83 − 33,63 = 164,2 𝑘𝑁 
 
𝐴𝑠𝑤
𝑠
=
𝑉𝑠𝑤
0,9 ∙ 𝑑 ∙ 𝑓𝑦𝑑 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝛼 ∙ (cot 𝛼 + cot 𝜃)
 
𝐴𝑠𝑤
𝑠
=
164,2
0,9 ∙ 0,61 ∙ 434,78. 103 ∙ 𝑠𝑒𝑛90֯ ∙ (cot 90֯ + cot 30֯)
 
𝐴𝑠𝑤
𝑠
= 3,972 𝑐𝑚²/𝑚 → ∅6,3 𝑚𝑚 𝑐/ 15 𝑐𝑚 
 
 
15 
 
 Armadura mínima: 
𝜌𝑠𝑤,𝑚𝑖𝑛 = 0,2 ∙
𝑓𝑐𝑡𝑚
𝑓𝑦𝑘
= 0,2 ∙
0,3 ∙ 𝑓𝑐𝑘
2
3⁄
𝑓𝑦𝑘
= 0,2 ∙
0,3 ∙ 25
2
3⁄
500
= 0,001026 
𝐴𝑠𝑤,𝑚𝑖𝑛 = 𝜌𝑠𝑤,𝑚𝑖𝑛 ∙ 𝑏𝑤 ∙ 100 = 0,001026 ∙ 15 ∙ 100 = 1,54 𝑐𝑚²/𝑚 → ∅ 6,3 𝑚𝑚 𝑐/
 35 𝑐𝑚 
 
 Esforço cortante para armadura mínima: 
𝑉𝑠,𝑚𝑖𝑛 = 𝑉𝑠𝑤,𝑚𝑖𝑛 + 𝑉𝑐 
𝑉𝑠𝑤,𝑚𝑖𝑛 = (
𝐴𝑠𝑤
𝑠
)
𝑚𝑖𝑛
∙ 0,9 ∙ 𝑑 ∙ 𝑓𝑦𝑑 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝛼 ∙ (cot 𝛼 + cot 𝜃) = 63,7 𝑘𝑁 
𝑉𝑠,𝑚𝑖𝑛 = 63,7 + 33,63 = 97,33 𝑘𝑁 
𝑉𝑚𝑖𝑛,𝑘 =
97,33
1,4
= 69,52 𝑘𝑁 
 
 
 
 
 
 
16 
 
 Para o vão 1: 
 
𝑉𝑐 = 𝑉𝑐0 ∙
𝑉𝑅𝑑2 − 𝑉𝑑,𝑎𝑝𝑜𝑖𝑜
𝑉𝑅𝑑2 − 𝑉𝑐0
 
 
𝑉𝑐 = 70,55 ∙
343,84 − 172,162
343,84 − 70,55
= 44,32 𝑘𝑁 
 
𝑉𝑠𝑑2 = 156,49 𝑘𝑁 
 
𝑉𝑠𝑤 = 𝑉𝑠𝑑2 − 𝑉𝑐 
𝑉𝑠𝑤 = 156,49 − 44,32 = 112,17 𝑘𝑁 
 
 
𝐴𝑠𝑤
𝑠
=
𝑉𝑠𝑤
0,9 ∙ 𝑑 ∙ 𝑓𝑦𝑑 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝛼 ∙ (cot 𝛼 + cot 𝜃)
 
𝐴𝑠𝑤
𝑠
=
112,17
0,9 ∙ 0,61 ∙ 434,78. 103 ∙ 𝑠𝑒𝑛 90֯ ∙ (cot 90֯ + cot 30֯)
 
𝐴𝑠𝑤
𝑠
= 2,71
𝑐𝑚2
𝑚
→ ∅6,3 𝑚𝑚 𝑐/ 23 𝑐𝑚 
 
 Para o vão 2: 
 
𝑉𝑐 = 𝑉𝑐0 ∙
𝑉𝑅𝑑2 − 𝑉𝑑,𝑎𝑝𝑜𝑖𝑜
𝑉𝑅𝑑2 − 𝑉𝑐0
 
 
𝑉𝑐 = 70,55 ∙
343,84 − 143,851
343,84 − 70,55
= 51,62 𝑘𝑁 
 
𝑉𝑠𝑑2 = 127,97 𝑘𝑁 
 
𝑉𝑠𝑤 = 𝑉𝑠𝑑2 − 𝑉𝑐 
𝑉𝑠𝑤 = 127,97 − 51,62 = 76,35 𝑘𝑁 
 
 
𝐴𝑠𝑤
𝑠
=
𝑉𝑠𝑤
0,9 ∙ 𝑑 ∙ 𝑓𝑦𝑑 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝛼 ∙ (cot 𝛼 + cot 𝜃)
 
𝐴𝑠𝑤
𝑠
=
76,35
0,9 ∙ 0,61 ∙ 434,78. 103 ∙ 𝑠𝑒𝑛90֯ ∙ (cot 90֯ + cot 30֯)
 
𝐴𝑠𝑤
𝑠
= 1,84 𝑐𝑚²/𝑚 → ∅6,3 𝑚𝑚 𝑐/ 34 𝑐𝑚 
 
17 
 
 Espaçamento máximo: 
 
 Em relação ao vão 1: 
𝑉𝑠𝑑
𝑉𝑅𝑑2
=
172,162
343,85
= 0,5 
𝑉𝑠𝑑 < 0,67𝑉𝑅𝑑2 → 𝑆𝑚á𝑥 = 0,6𝑑 = 0,6 ∙ 61 = 36,6𝑐𝑚 > 30𝑐𝑚 ∴ 𝑆𝑚á𝑥 = 30𝑐𝑚 
 
 Em relação ao vão 2: 
𝑉𝑠𝑑
𝑉𝑅𝑑2
=
213,569
343,85
= 0,62 
𝑉𝑠𝑑 < 0,67𝑉𝑅𝑑2 → 𝑆𝑚á𝑥 = 0,6𝑑 = 0,6 ∙ 61 = 36,6𝑐𝑚 > 30𝑐𝑚 ∴ 𝑆𝑚á𝑥 = 30𝑐𝑚 
 
 
 
 Número de barras: 
 
𝑛 =
𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑡𝑟𝑒𝑐ℎ𝑜
𝑒𝑠𝑝𝑎ç𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜
+ 1 
 
 
18 
 
 
 Cálculo dos ganchos dos estribos: 
 
 
Comprimento mínimo do 
gancho: 
ℓ𝑔𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 =
3
8
𝜋(3∅𝑡 + ∅𝑡)
+ 5∅𝑡 
ℓ𝑔𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 =
3
8
𝜋(4 ∙ 0,63) + 5
∙ 0,63 
∴ ℓ𝑔𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 ≅ 6,1 𝑐𝑚 
Comprimento reto: 
ℓ𝑟𝑒𝑡𝑜 = ℓ𝑙𝑖𝑣𝑟𝑒 − 8 ∙ (2,5 ∙ ∅𝑡) 
ℓ𝑟𝑒𝑡𝑜 = 2 ∙ (61 − 2,5 + 10) − 8 ∙ (2,5 ∙ 0,63) 
∴ ℓ𝑟𝑒𝑡𝑜 ≅ 124,4 𝑐𝑚 
Comprimento de cada curva: 
ℓ𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎 =
𝜋
4
(3∅𝑡 + ∅𝑡) 
ℓ𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎 =
𝜋
4
(4 ∙ 0,63) 
∴ ℓ𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎 ≅ 1.98 𝑐𝑚 
 
 Comprimento do estribo: 
- São três curvas a 90° e dois ganchos a 45°: 
ℓ = ℓ𝑟𝑒𝑡𝑜 + 3 ∙ ℓ𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎 + 2 ∙ ℓ𝑔𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 = 124,4 + 3 ∙ 1,98 + 2 ∙ 6,1 ≅ 142,5 𝑐𝑚 
 Relação e quantidade da armadura utilizada na viga: 
Número da 
Barra 
Função 
Diâmetro 
(mm) 
Quantidade 
Comprimento 
Unitário (cm) 
Comprimento 
Total (cm) 
1 Positiva 12,5 2 545 1.090 
2 Negativa 20,0 2 435 870 
3 Negativa 20,0 2 540 1.080 
4 Positiva 20,0 2 765 1.530 
5 Positiva 20,0 1 570 570 
6 Porta-estribo 6,3 2 340 680 
7 Porta-estribo 6,3 2 575 1.150 
8 Estribo 6,3 54 143 7.722 
9 Pele 5,0 10 470 4.700 
10 Pele 5,0 10 695 6.950 
19 
 
Diâmetro (mm) 
Peso por metro 
(kgf/m) 
Comprimento 
(m) 
Peso (kgf) 
Peso +10% 
(kgf) 
5,0 0,154 116,50 17,94 19,74 
6,3 0,245 95,52 23,40 25,74 
12,5 0,963 10,90 10,50 11,55 
20,0 2,466 40,50 99,87 109,86 
TOTAL 166,88 
 
 
 Taxa de armadura da viga: 
 
Volume de Concreto 
(m³) 
1,16 
Peso Total do Aço (kg) 166,88 
Taxa de Armadura 
(kgf/m³) 
143,83 
 
 
 Detalhamento: 
 
 
20 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21