Álgebra Linear Avançada II

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Notas de Aula – Álgebra Linear Avançada II
(Versão 3q’18)
Pedro Lauridsen Ribeiro
1
Centro de Matemática, Computação e Cognição (CMCC)
Universidade Federal do ABC (UFABC)
27 de outubro de 2018
1
Email: pedro.ribeiro@ufabc.edu.br
Resumo
Estas são notas de aula para a disciplinaMCTB003 –Álgebra Linear Avançada II, ministradas no
terceiro quadrimestre letivo de 2018. Como tais, o conteúdo abraçado por elas é pensado para um
curso de 11–12 semanas, com 4 horas-aula por semana. Recomenda-se conhecimento prévio do
conteúdo visto na disciplina MCTB002 – Álgebra Linear Avançada I. Comentários, sugestões e
correções são bem-vindos.
Sumário
1 Formas bilineares 8
1.1 Aplicações bilineares e formas bilineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Aplicações bilineares simétricas e anti-simétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 A matriz de uma forma bilinear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 O produto tensorial de dois espaços vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5 Posto e nulidade de uma forma bilinear. Formas bilineares não-degeneradas . . 16
1.6 Formas quadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.7 Diagonalização de formas quadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.8 Estrutura das formas bilineares anti-simétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2 Formas sesquilineares 30
2.1 Prólogo. Espaços vetoriais complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2 Definições básicas e exemplos simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3 A matriz de uma forma sesquilinear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.4 Posto enulidadedeuma forma sesquilinear. Formas sesquilineares não-degeneradas 43
2.5 Formas quadráticas Hermiteanas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.6 Diagonalização de formas quadráticas Hermiteanas . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.7 Estrutura das formas sesquilineares anti-Hermiteanas . . . . . . . . . . . . . . . 50
3 Produtos escalares 52
3.1 Definições e propriedades básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2 A adjunta de uma transformação linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.3 O teorema espectral para transformações lineares normais . . . . . . . . . . . . 60
4 Os grupos clássicos 64
4.1 Transformações lineares preservando formas bilineares e sesquilineares . . . . . 66
4.2 Transformações lineares (pseudo-)ortogonais. Os gruposO e SO . . . . . . . . 66
4.3 Transformações lineares (pseudo-)unitárias. Os grupos U e SU . . . . . . . . . 66
4.4 Transformações lineares simpléticas
�
. Os grupos Sp . . . . . . . . . . . . . . . 66
1
5 Álgebra multilinear 67
5.1 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.2 Aplicações multilineares. Tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.3 O produto tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.4 Tensores simétricos e anti-simétricos. Álgebra exterior . . . . . . . . . . . . . . 67
A Eliminação de Gauss-Jordan 68
2
Notação, convenções e sugestões de leitura
Seções ou subseções apresentandomaterial de revisão serãomarcadas com uma adaga (
�
). Tó-
picos avançados, que podem ser omitidos numa primeira leitura, serão marcados com um aste-
risco (*).
� Assumimos que o conjunto dos números naturais N não inclui o zero, i.e. N D f1; 2; : : :g.
� Lembrar que um anel é um conjunto K dotado de operações binárias de adição .x; y/ 7!
x C y e produto .x; y/ 7! xy tais que: (i) a adição é comutativa, associativa, possui um
(único) elemento neutro 0 e todo x 2 K possui um (único) inverso aditivo�x; e (ii) o pro-
duto é distributivo. Um anel é (a) associativo se o produto for associativo, (b) comutativo se
o produto for comutativo, e (c) unital se o produto admite um elemento neutro (unidade)
1. Um corpo é um anel associativo, comutativo e unital tal que 1 ¤ 0 e todo x ¤ 0 possui
um (único) inverso multiplicativo x�1.
� Se K é um anel, um subanel de K é um subconjunto K0 � K tal que 0 2 K0 e x; y 2 K0
implica x C y; xy 2 K0. Se K é unital, dizemos que K0 é unital se 1 2 K0. Se K é um corpo,
dizemos que um subanel K0 � K é um subcorpo de K se for unital e 0 ¤ x 2 K0 implica
x�1 2 K0.
� SeK é um corpo, sua característica chK é omenor inteirop > 1 tal que
Pp
jD1 1 D 0. Se não
existir tal inteiro, definimos chK D 0. Se chK ¤ 0, então chK é necessariamente primo,
pois se 1 < p; q 2 N são tais que .pq/1 D .p1/.q1/ D 0 então p1 D 0 ou q1 D 0. chK D p
se e somente se Zp
:
D Z=fkp j k 2 Zg 3 Œn� for um subanel de K por meio da identificação
Œn� D n1. Quando não especificado, K denota um corpo com chK ¤ 2.
� Se K;K0 são aneis, uma aplicação T W K ! K0 é um (homo)morfismo de aneis se preservar
as operações de adição e produto, i.e. T .x C y/ D T .x/ C T .y/, T .0/ D 0 e T .xy/ D
T .x/T .y/ para todo x; y;2 K. Se, além disso, T .1/ D 1, dizemos que T é unital. Se T é
bijetora, então T é unital e sua inversa T �1 W K0 ! K também é um morfismo de aneis
(exercício: verifique!) – neste caso, dizemos que T é um isomorfismo de aneis. Se existe um
isomorfismo de aneis T W K! K0, dizemos que K e K0 são isomorfos. Um morfismo (resp.
isomorfismo) de aneis T W K ! K é denominado um endomorfismo (resp. automorfismo)
de K.
3
� Numa função demais de um argumento, quando queremos fixar umoumais argumentos,
os argumentos variáveis restantes são denotados por pontos. Por exemplo, f .x; �/ denota
a função de um argumento dada por f .x; �/.y/ D f .x; y/, onde f .x; y/ é função dos
argumentos x; y e x é mantido fixo, como um parâmetro.
� Denotamos o espaço das transformações (K-)lineares de V em W (onde V;W são espaços
vetoriais sobre o corpoK) porL.V;W / (=LK.V;W / se for necessário especificar o corpo de
escalares de V eW ).
� O espaço dual a um espaço vetorial V sobre o corpo K é denotado por V 0 D L.V;K/, e
seus elementos são chamados de funcionais (K-)lineares em V . A aplicação linear injetora
V 3 Ex 7! .� 7! Ex.�/
:
D �.Ex// 2 V 00 é chamada de inclusão canônica deV no seuduplo dual
V 00
:
D .V 0/0. Se dimV <1, a inclusão canônica é um isomorfismo linear, sendo chamada
nesse caso de isomorfismo canônico de V em V 00.
� Dado um subespaço vetorialW � V , o aniquilador deW é o subespaco vetorialW ? � V 0
dado pelos funcionais lineares em V que se anulam em W : W ? D f� 2 V 0 j �.Ex/ D
0 ; 8Ex 2 W g.
� Dada uma transformação linear T W V ! W entre espaços vetoriais V;W sobre o corpo
K, denotamos o núcleo e a imagem de T respectivamente por kerT D T �1.0/ :D fEx 2
V j T Ex D 0g e ImT D T .V / D fEy 2 W j Ey D T Ex para algum Ex 2 V g. Os números
inteiros não-negativos R.T / D dim ImT , N.T / D dimkerT são respectivamente o posto
e a nulidade de T . Se dimV D n < C1, então o Teorema do Núcleo e da Imagem afirma
queR.T /CN.T / D n.
� Denotamos o subespaço vetorial gerado por um subconjuntoS � V de um espaço vetorial
V sobreK por spanS ou spanKS , a depender de ser ou não necessário especificar o corpo de
escalares deV , coma convenção span¿ D f0g. SeW1; : : : ; Wk são subespaços vetoriais deV ,
então span.W1[� � �[Wk/ D W1C� � �CWk
:
D fEx D Ex1C� � �C Exk j Exj 2 Wj ; j D 1; : : : ; kg.
� SeS � V é um subconjunto (K-)linearmente independente (l.i.) deV (i.e. se Ee1; : : : ; Een 2 S
são tais que
Pn
kD1 ˛k Eek D 0 para alguma escolha de escalares ˛1; : : : ; ˛n 2 K, então ˛1 D
� � � D ˛n D 0) tal que V D spanS.D spanKS/, dizemos que S é uma base de V . Nesse
caso, o dual de S é o subconjunto S 0 D f�Ee j Ee 2 Sg � V 0, onde �Ee é o funcional linear
unicamente determinado por �Ee.Ee/ D 1, �Ee.Ee
0/ D 0 para todo Ee ¤ Ee0 2 S . S 0 é também
l.i., e uma base de V 0 se dimV <1. Notar que, nesse caso, o isomorfismo canônico de V
em V 00 leva S em S 00 D .S 0/0.
� Dada uma transformação linear T W V ! W , a transposta de T é a transformação linear
T 0 W W 0 ! V 0 dada por T 0� D� ı T .
4
� Subespaços vetoriais W1; : : : ; Wk � V de um espaço vetorial V sobre o corpo K são ditos
linearmente independentes (l.i.) se \kjD1Wj D f0g, i.e. se Exj 2 Wj , l D 1; : : : ; k são tais
que
Pk
jD1 Exj D 0, então Exj D 0 para todo j . Caso contrário, dizemos que tal coleção
é linearmente dependente (l.d.). Claramente, uma coleção de vetores fExj j j D 1; : : : ; kg
é l.i. (resp. l.d.) se e somente se a coleção dos subespaços vetoriais gerados por cada Exj
for l.i. (resp. l.d.), e W1 : : : ; Wk � V são subespaços l.i. se e somente se para cada Ex 2
W D W1 C � � � CWk existe uma única escolha de Exj 2 Wj para cada j D 1; : : : ; k tal que
Ex D Ex1 C � � � C Exk. Neste caso, dizemos queW é a soma direta deW1 : : : ; Wk, escrevendo
W D W1 ˚ � � � ˚Wk D ˚
k
jD1Wj . Note que a definição de soma direta não faz menção ao
corpo de escalares de V .
� Sobre projeções lineares e pares de subespaços complementares: uma transformação linear
P W V ! V num espaço vetorial V sobre o corpo K é dita uma projeção linear se for
idempotente, i.e. P 2 :D P ıP D P . Neste caso, temos que (a) 1�P tambéméumaprojeção
linear, (b) Ex D P Ex0 para algum Ex0 2 V se e somente se P Ex D P 2 Ex0 D P Ex0 D Ex, e (c)
P Ex D 0 se e somente se Ex D .1�P /Ex. Comopara todo Ex; Ex0 2 V temos Ex D P ExC.1�P /Ex,
e P Ex D .1 � P /Ex0 implica P Ex D P 2 Ex D .1 � P /Ex0 D .P � P 2/Ex0 D 0, concluímos que
V D P.V /˚.1�P /.V / D ImP˚kerP . Conversamente, seW;W 0 é umpar de subespaços
vetoriais complementares de V (i.e. V D W1 ˚ W2), então a aplicação linear P W V ! V
dada porP. EwC Ew0/ D Ey, Ew 2 W1, Ew
0 2 W2 é uma projeção linear que satisfaz ImP D W1,
kerP D W2.
5
Cronograma tentativo
O cronograma apresentado abaixo será atualizado à medida que o curso for avançando.
� Aula 1 (17.9.18) Aplicações bilineares e formas bilineares. Definição e exemplos básicos.
� Aula 2 (19.9.18) Aplicações bilineares simétricas e anti-simétricas, decomposição de uma
aplicação bilinear em partes simétrica e anti-simétrica. A matriz de uma forma bilinear.
� Aula 3 (24.9.18) Bases no espaço das formas bilineares. O espaço das formas bilineares como
espaço dual: produto tensorial, bases de produtos tensoriais.
� Aula 4 (26.9.18) Propriedade universal de produtos tensoriais. Dualidade de produtos ten-
soriais com espaços de formas bilineares.
� Aula 5 (8.10.18) Posto e nulidade de formas bilineares, formas bilineares não-degeneradas.
� Aula 6 (10.10.18) Espaços vetoriais complexos – revisão. Transformações R-lineares e antili-
neares: definição e propriedades básicas, propriedades de composição. O conjugado de um
espaço vetorial complexo.
� Aula 7 (15.10.18) Conjugações em espaços vetoriais complexos. Definição e propriedades,
autovalores e autoespaços de conjugações, correspondência com formas reais (realificações).
Exemplos: conjugações associadas a bases, conjugação canônica associada à complexificação
de um espaço vetorial real. Aplicações de conjugações: correspondência entre transforma-
ções lineares e antilineares.
� Aula 8 (17.10.18) Formas sesquilineares. Definição e exemplos básicos. Relação com formas
bilineares mediante composição com conjugações. A matriz de uma forma sesquilinear.
� Aula 9 (22.10.18) Formas sesquilineares Hermiteanas e anti-Hermiteanas, decomposição
de uma forma sesquilinear em partes Hermiteana e anti-Hermiteana. Posto e nulidade de
formas sesquilineares, formas sesquilineares não-degeneradas.
� Aula 10 (24.10.18) Formas quadráticas e formas quadráticas Hermiteanas: definição e pro-
priedades básicas, fórmula do paralelogramo e fórmula de polarização, correspondência
com formas bilineares simétricas e formas sesquilineares Hermiteanas.
6
� Prova 1 (29.10.18) A matéria é o conteúdo das aulas 1 a 10, listado acima.
7
Capítulo 1
Formas bilineares
Neste Capítulo, o corpo de escalares K é R ou C quando não for especificado.
1.1 Aplicações bilineares e formas bilineares
Definição 1.1 Sejam V1; V2; W espaços vetoriais sobre K. Uma aplicação bilinear de V1 � V2 em
W é uma aplicação B W V1 � V2 ! W satisfazendo as seguintes condições:
(i) ! é linear na primeira variável, i.e.
(1.1) B.˛ Ex C ˇ Ex0; Ey/ D ˛B.Ex; Ey/C ˇG.Ex0; Ey/
para todo Ex; Ex0 2 V1, Ey 2 V2, ˛; ˇ 2 K. Equivalentemente, B.�; Ey/ é uma transformação
linear de V1 em W para todo Ey 2 V2;
(i) ! é linear na segunda variável, i.e.
(1.2) !.Ex; ˛ Ey C ˇ Ey 0/ D ˛!.Ex; Ey/C ˇ!.Ex; Ey 0/
para todo Ex 2 V1, Ey; Ey 0 2 V2, ˛; ˇ 2 K. Equivalentemente, B.Ex; �/ é uma transformação
linear de V1 em W para todo Ex 2 V1.
Se V1 D V2 D V , dizemos que B é uma aplicação bilinear de V em W . Se W D K0 é um
corpo, K é subcorpo de K0 e V1; V2 são também espaços vetoriais sobre K0, dizemos que B é uma
forma K-bilinear em V1 � V2 (resp. em V se V1 D V2 D V ). Em particular, se K0 D K, dizemos
simplesmente que B é uma forma bilinear em V1 � V2 (resp. em V se V1 D V2 D V ). Denotamos
o conjunto das aplicações bilineares de V1 � V2 em W por L.V1; V2IW /, e o conjunto das formas
K-bilineares por LK.V1; V2IK0/ (de modo que LK.V1; V2IK/ D L.V1; V2IK/).
L.V1; V2IW / é um subespaço vetorial do espaçoW
V1�V2
das funções de V1 � V2 emW , onde
o último herda do contradomínioW as opeações “pontuais” de adição
(1.3) .B1 C B2/.Ex; Ey/ D B1.Ex; Ey/C B2.Ex; Ey/
8
e multiplicação por escalares ˛ 2 K
(1.4) .˛B/.Ex; Ey/ D ˛B.Ex; Ey/ :
(Exercício: dadas B1; B2 2 L.V1; V2IW / e ˛; ˇ 2 K, mostre que ˛B1 C ˇB2 2 L.V1; V2IW /).
Como exemplos de formas K-bilineares, podemos citar:
(a) Seja K D K0 D R, V D R2. Dados Ex D .x1; x2/, Ey D .y1; y2/ 2 V , definamos !.Ex; Ey/ D
x1y1 C x2y2. De fato, temos que !.�; Ey/ é um funcional linear, pois
!.˛ Ex C ˇ Ex0; Ey/ D .˛x1 C ˇx
0
1/y1 C .˛x2 C ˇx
0
2/y2
D ˛x1y1 C ˇx
0
1y1 C ˛x2y2 C ˇx
0
2y2
D ˛!.Ex; Ey/C ˇ!.Ex0; Ey/ ;
e !.Ex; �/ é um funcional linear, pois
!.Ex; ˛ Ey C ˇ Ey 0/ D x1.˛y1 C ˇy
0
1/C x2.˛y2 C ˇy
0
2/
D ˛x1y1 C ˇx1y
0
1 C ˛x2y2 C ˇx2y
0
2
D ˛!.Ex; Ey/C ˇ!.Ex; Ey 0/ :
Portanto, ! é uma forma bilinear em V .
(b) Seja K D K0 D R, V D Rn. Dados Ex D .x1; : : : ; xn/, Ey D .y1; : : : ; yn/ 2 V , definamos
!.Ex; Ey/ D
Pn
jD1 xjyj . Pode-se provar por indução finita em n juntamente com o argu-
mento usado no exemplo (a) que ! é uma forma bilinear em V . (Exercício: verifique!)
(c) Seja K D K0 D R, V D R2. Dados Ex D .x1; x2/, Ey D .y1; y2/ 2 V , definamos !.Ex; Ey/ D
x1y2 � x2y1. De fato, temos que !.�; Ey/ é um funcional linear, pois
!.˛ Ex C ˇ Ex0; Ey 0/ D .˛x1 C ˇx
0
1/y2 � .˛x2 C ˇx
0
2/y1
D ˛x1y2 C ˇx
0
1y2 � ˛x2y1 � ˇx
0
2y1
D ˛!.Ex; Ey/C ˇ!.Ex0; Ey/ ;
e !.Ex; �/ é um funcional linear, pois
!.Ex; ˛ Ey C ˇ Ey 0/ D x1.˛y2 C ˇy
0
2/ � x2.˛y1 C ˇy
0
1/
D ˛x1y2 C ˇx1y
0
2 � ˛x2y1 � ˇx2y
0
1
D ˛!.Ex; Ey/C ˇ!.Ex; Ey 0/ :
Portanto, ! é uma forma bilinear em V .
(d) Seja K D R, K0 D C, V D C2. Dados Ex D .x1; x2/, Ey D .y1; y2/ 2 V , definamos
!.Ex; Ey/ D x1y1 C x2y2. Um cálculo análogo ao feito no item (a) mostra que ! é uma
forma R-bilinear em V . Contudo, ! não é (C-)bilinear (Exercício: verifique!);
(e) Sejam K;K0; V; ! como no exemplo (d), e defina �.Ex; Ey/ D Re!.Ex; Ey/. Novamente, � é
uma forma R-bilinear em V , mas não (C-)bilinear.
Exemplos similares a (d) serão tratados de forma sistemática no Capítulo 2.
9
1.2 Aplicações bilineares simétricas e anti-simétricas
Dada uma aplicação bilinear B de V em W , definimos a transposta BT de B pela fórmula
BT.Ex; Ey/ D B. Ey; Ex/, Ex; vy 2 V . É imediato verificar (Exercício: faça isso!) que BT é uma aplica-
ção bilinear de V emW . Dizemos então que uma aplicação bilinear B em V é:
� Simétrica se !T D !, i.e. !.Ex; Ey/ D !. Ey; Ex/ para todo Ex; Ey 2 V ;
� Anti-simétrica se !T D �!, i.e. !.Ex; Ey/ D �!. Ey; Ex/ para todo Ex; Ey 2 V .
Dos exemplos listados na Seção 1.1 acima, temos que (a), (b), (d) e (e) são formas K-bilineares
simétricas, e (c) é uma forma K-bilinear anti-simétrica. Mais em geral, temos o seguinte
Lema 1.2 Seja B uma aplicação bilinear de V em W . Então existe uma única aplicaçãobilinear
simétrica BC e uma única aplicação bilinear anti-simétrica !� tais que B D BC C B�. Mais
precisamente, podemos escrever B˙ D 12.B ˙ BT/, i.e.
(1.5) B˙.Ex; Ey/ D
1
2
.B.Ex; Ey/˙ BT.Ex; Ey// D
1
2
.B.Ex; Ey/˙ B. Ey; Ex// :
Prova. Segue imediatamente de (1.5) que BC é simétrica, B� é anti-simétrica e B D
BCCB�. Para provar a unicidade deB˙, suponha queB1 é uma aplicação bilinear simétrica
de V emW e !2 é uma aplicação bilinear anti-simétrica de V emW , tais que B D B1 C B2.
Então BT D BT1 C B
T
2 D B1 � B2, e portanto BC D B1 e B� D B2, como desejado. �
Corolário 1.3 Sejam P˙ W L.V; V IW / ! L.V; V IW / as aplicações dadas por P˙.B/ D B˙,
ondeB˙ são definidas por (1.5). Então P˙ são projeções lineares complementares emL.V; V IW /,
i.e. P˙ são transformações lineares em L.V; V IW / tais que P 2˙ D P˙ e P� D 1 � PC. Em
particular, L.V; V IW / D _2.V IW / ˚ ^2.V IW /, onde os subespaços vetoriais _2.V IW / :D
PCL.V; V IW / e ^2.V IW /
:
D P�L.V; V IW / consistem respectivamente nas formas bilineares
simétricas e anti-simétricas em V .
Prova. Claramente B 7! BT é uma transformação linear em L.V; V IW /, logo P˙
também o são. Como B D BC C B� pelo Lema 1.2, concluímos que P� D 1 � PC. Resta
mostrar que P 2
˙
D P˙. Para tal, notar que BC D B se B for simétrica, e B� D B se B for
anti-simétrica, de onde também segue a caracterização desejada de P˙L.V; V IW /. �
Observação 1.4 O Lema 1.2 e o Corolário 1.3 permanecem válidos se K é um corpo com caracte-
rística diferente de 2.
Segue, portanto, que podemos dividir o estudo de aplicações bilineares de V em W nos ca-
sos simétrico e anti-simétrico. Isso será feito nas Seções 1.6 a 1.8 mais adiante no caso de formas
bilineares, i.e. W D K. O caso deW geral será abordado no capítlo 5.
10
1.3 A matriz de uma forma bilinear
Sejam S1 D fEe1; : : : ; Eeng uma base de V1 e S2 D f Ef1; : : : ; Efmg uma base de V2, n D dimV1,
m D dimV2. Dados Ex 2 V1, Ey 2 V2, denotamos respectivamente por
ExS1 D
264 x1:::
xn
375 2Mn�1.K/ ; Ex D nX
jD1
xi Eei ;
EyS2 D
264 y1:::
ym
375 2Mm�1.K/ ; Ey D mX
iD1
yj Efj
(1.6)
o vetor-coluna cuja i -ésima entrada é a i -ésima componente de Ex na base S1, i D 1; : : : ; n, e o
vetor-coluna cuja j -ésima entrada é a j -ésima componente de Ey na base S2, j D 1; : : : ; m.
Definição 1.5 A matriz de uma forma bilinear ! em V1 � V2 nas bases S1; S2 é a matriz A 2
Mn�m.K/ dada por
(1.7) Aij D !.Eei ; Efj / :
Observação 1.6 Via de regra, quando V1 D V2 D V , escolhemos S1 D S2 D S na Definição
1.5 a menos que seja dito explicitamente o contrário. Neste caso, dizemos que A é simplesmente a
matriz de ! na base S .
Dados Ex 2 V1, Ey 2 V2 e ! 2 L.V1; V2IK/, podemos expressar !.Ex; Ey/ em termos de A, das
componentes de Ex na base S1 e de Ey na base S2. De fato,
!.Ex; Ey/ D !
0@ nX
iD1
xi Eei ;
mX
jD1
yj Efj
1A
D
nX
iD1
xi!
0@Eei ; mX
jD1
yj Efj
1A
D
nX
iD1
nX
kD1
xiyj!.Eei ; Efj / D
nX
iD1
mX
jD1
xiAijyj
D ExTS1A EyS2 :
(1.8)
Conversamente, dada A 2Mn�m.K/, podemos definir uma forma bilinear !A em V1 � V2 escre-
vendo
(1.9) !A.Ex; Ey/ D Ex
T
S1
A EyS2 ; Ex 2 V1 ; Ey 2 V2 :
(Exercício: prove que !A é uma forma bilinear em V1 � V2)
11
Se ! 2 L.V; V IK/ é simétrica (resp. anti-simétrica) e A é a matriz de ! na base S , temos que
A D AT (resp. A D �AT). Conversamente, segue de (1.8) que seA D AT (resp. A D �AT), então
! é simétrica (resp. anti-simétrica).
Teorema 1.7 Sejam S1 D fEe1; : : : ; Eeng uma base em V1 e S2 D f Ef1; : : : ; Efmg uma base em V2.
A aplicação que leva cada forma bilinear ! em V1�V2 à sua matriz A nas bases S1; S2, dada por
(1.7), é um isomorfismo linear de L.V1; V2IK/ em Mn�m.K/, com inversa A 7! !A dada por (1.9).
Prova. Segue imediatamente de (1.8) que (1.9) é a inversa de (1.7), então só resta veri-
ficar que a aplicação ! 7! A é linear. De fato,
.˛!1 C ˇ!2/.Eei ; Efj / D ˛!1.Eei ; Efj /C ˇ!2.Eei ; Efj / :
�
Notar que a imagemde_2.V IK/ (resp. ^2.V IK/) pelo isomorfismo linear (1.7) consiste preci-
samente das matrizesA 2Mn�n.K/ simétricas, i.e. AT D A (resp. anti-simétricas, i.e. AT D �A).
Corolário 1.8 Sejam S1 D fEe1; : : : ; Eeng uma base em V1 e S2 D f Ef1; : : : ; Efmg uma base em
V2, e S 01 D f�1; : : : ; �ng, S 02 D f�1; : : : ; �mg as respectivas bases duais em V 01; V 02, i.e. �i.Eek/ D
�j . Efl/ D 0 se i ¤ k, j ¤ l e �i.Eei/ D �j . Efj / D 1, i; k D 1; : : : ; n, j; l D 1; : : : ; m. Então as
formas bilineares
(1.10) !ij .Ex; Ey/ D �i.Ex/�j . Ey/ ; Ex 2 V1 ; ; Ey 2 V2
formam uma base em L.V1; V2IK/. Em particular, dimL.V1; V2IK/ D nm.
Prova. Notar que a matrizEij de !ij nas bases S; QS é dada por
ŒEij �kl D !ij .Eek; Efl/ D �i .Eek/�j .Eel/ D
8<:0 .i ¤ k ou j ¤ l/1 .i D k e j D l/ :
Como fEij j i D 1; : : : ; n ; j D 1; : : : ; mg é a base canônica de Mn�m.K/, segue do Teorema
1.7 que f!ij j i D 1; : : : ; n ; j D 1; : : : ; mg é uma base de L.V1; V2IK/. �
As componentes de! 2 L.V1; V2IK/na base descrita noCorolário 1.8 são dadas precisamente
pelas entradas damatrizAde! emS1; S2. De fato, se Ex D
Pn
iD1 xi Eei , Ey D
Pm
jD1 yj
Efj 2 V , então
!ij .Ex; Ey/ D xiyj e portanto
(1.11) !.Ex; Ey/ D
nX
iD1
mX
jD1
xiyj!.Eei ; Efj / D
nX
iD1
mX
jD1
Aij!ij .Ex; Ey/ :
Vejamos agora como a matriz de ! se transforma quando efetuamos uma mudança de bases.
Sejam QS1 D fEe
0
1; : : : ; Ee
0
ng uma outra base de V1,
QS2 D f Ef
0
1 ; : : : ;
Ef 0mg uma outra base de V2, e
12
P1 2 Mn�n.K/, P2 2 Mm�m.K/ as respectivas matrizes (não-singulares) de mudança de base de
S1 para QS1 e de S2 para QS2, i.e.
(1.12) Ee0i D
nX
kD1
ŒP1�ki Eek ; Ef
0
j D
mX
lD1
ŒP2�lj Efl
Então se QA 2Mn�m.K/ é a matriz de ! nas bases QS1; QS2, concluímos que
QAij D !.Ee
0
i ;
Ef 0j /
D
nX
kD1
mX
lD1
ŒP1�ki ŒP2�lj!.Eek; Efl/
D
nX
kD1
mX
lD1
ŒP1�
T
ikAkl ŒP2�lj
(1.13)
e portanto
(1.14) QA D P T1 AP2 :
1.4 O produto tensorial de dois espaços vetoriais
O Corolário 1.8 sugere um paralelo notável entre bases no espaço das forma bilineares na
forma (1.10) e bases duais. Assim, uma pergunta que poderia ser feita é se L.V1; V2IK/ pode ser
considerado como o espaço dual de algum espaço vetorial1 A resposta é de fato positiva e nos leva
naturalmente ao conceito de produto tensorial. Dados Ex 2 V1, Ey 2 V2, definimos o funcional
linear Ex ˝ Ey 2 L.V1; V2IK/0 como
(1.15) Ex ˝ Ey.B/
:
D B.Ex; Ey/ ; B 2 L.V1; V2IK/ :
A aplicação˝ W V1 � V2 3 .Ex; Ey/ 7! Ex ˝ Ey 2 L.V1; V2IK/0 é claramente bilinear (Exercício:
verifique!)
Definição 1.9 A operação de produto tensorial em V1 � V2 é a aplicação bilinear ˝ definida
acima. O produto tensorial de V1 e V2 é definido como o subespaço vetorial V1˝V2 � L.V1; V2IK/0
gerado pela imagem ˝.V1 � V2/ de ˝.2
Um elemento genéricoZ 2 V1 ˝ V2 tem a forma
(1.16) Z D
rX
kD1
zk Exk ˝ Eyk ; Exk 2 V1 ; Eyk 2 V2 ; k D 1; : : : ; r ;
1
Dados espaços vetoriais V;W sobre K, dizemos queW é pré-dual de V seW 0 for linearmente isomorfo a V .
2
Observe que˝ não é linear, portanto˝.V1 � V2/ em geral não é um subespaço vetorial de L.V1; V2IK/!
13
mas a representação acima para Z não é única, pois podemos (por exemplo) escrever usando a
bilinearidade de˝
zk Exk ˝ Eyk D .zk Exk/˝ Eyk D Exk ˝ .zk Eyk/ :
Emparticular,Z pode ser escrito comouma soma (não-única!) de produtos tensoriais de elemen-
tos de V1 e V2, denominados elementos fatorizados de V1 ˝ V2. SeZ é da formaZ D Ex ˝ Ey para
alguma escolha de Ex 2 V1, vy 2 V2, dizemos queZ é fatorizável. Contudo:
Lema 1.10 Se S1 D fEei j i D 1; : : : ; ng é uma base de V1 e S2 D f Efj j j D 1; : : : ; mg é uma base
de V2, temos que
(1.17) S1 ˝ S2
:
D ˝.S1 � S2/ D fEei ˝ Efj j i D 1; : : : ; n ; j D 1; : : : ; mg
é base de V1 ˝ V2.
Prova. Primeiramente, note que V1 ˝ V2 é o subespaço vetorial de L.V1; V2IK/ ge-
rado por S1 ˝ S2: dado Z D
Pr
kD1 zk Exk ˝ Eyk , onde Exk D
Pn
iD1 xik Eei 2 V1, Eyk DPm
jD1 yjk
Efj 2 V2, k D 1; : : : ; r , temos:
Z D
rX
kD1
zk
 
nX
iD1
xik Eei
!
˝
0@ mX
jD1
yjk Efj
1A
D
rX
kD1
nX
iD1
mX
jD1
zkxikyjk Eei ˝ Efj
D
nX
iD1
mX
jD1rX
kD1
zkxikyjk
!
„ ƒ‚ …
:
Dzij
Eei ˝ Efj :
Logo, basta verificar que S1 ˝ S2 é l.i.. De fato, se
Z D
nX
iD1
mX
jD1
zij Eei ˝ Efj D 0 ;
então
Z.!/ D
nX
iD1
mX
jD1
zij .Eei ˝ Efj /.!/ D
nX
iD1
mX
jD1
zij!.Eei ; Efj / D 0
para toda ! 2 L.V1; V2IK/. Em particular, se ! D !ij é dada por (1.10) temos queZ.!ij / D
zij D 0, para todo i D 1; : : : ; n, j D 1; : : : ; m, como desejado. �
Note que o argumento usado para provar o Lema é análogo ao empregado para provar que
bases duais são conjuntos l.i.! Em particular, a representação
Z D
nX
iD1
mX
jD1
zij Eei ˝ Efj
14
para Z 2 V1 ˝ V2 é única, e sempre podemos escolher os Exi ’s l.i. em V1 e os Eyj ’s l.i. em V2 na
representação anterior deZ seZ ¤ 0.
Sejam agora V1; V2; W três espaços vetoriais sobre K. O produto tensorial de V1 e V2 nos per-
mite dar uma importante caracterização das aplicações bilineares de V1 �V2 emW . Mais precisa-
mente, dada T 2 L.V1 ˝ V2; W /, definimos
(1.18) T˝
:
D T ı ˝ W V1 � V2 ! W :
Segue que T˝ é bilinear: de fato, dados Ex; Ex0 2 V1, Ey; Ey 0 2 V2, ˛; ˇ 2 K quaisquer,
T˝.˛ Ex C ˇ Ex
0; Ey/ D T ..˛ Ex C ˇ Ex0/˝ Ey/ D T .˛ Ex ˝ Ey C ˇ Ex0 ˝ Ey/
D ˛T˝.Ex; Ey/C ˇT˝.Ex
0; Ey/ ;
T˝.Ex; ˛ Ey C ˇ Ey
0/ D T .Ex ˝ .˛ Ey C ˇ Ey 0// D T .˛ Ex ˝ Ey C ˇ Ex ˝ Ey 0/
D ˛T˝.Ex; Ey/C ˇT˝.Ex; Ey
0/ :
Teorema 1.11 (propriedade universal do produto tensorial) A correspondência
L.V1 ˝ V2; W / 3 T 7! T˝ 2 L.V1; V2IW /
é um isomorfismo linear.
Prova. Como T˝.Ex; Ey/ D T .Ex ˝ Ey/ para todo Ex 2 V1, Ey 2 V2, vê-se imediatamente
que T 7! T˝ é linear. Suponha agora que T˝ D 0, o que significa que T .Ex ˝ Ey/ D 0 para
todo Ex 2 V1, Ey 2 V2. Como todo elemento de V1 ˝ V2 é soma de elementos fatorizados,
segue da linearidade de T que T D 0. Ou seja, T 7! T˝ é também injetora.
Mostraremos agora que T 7! T˝ é sobrejetora. Isso segue imediatamente do fato que
toda T 2 L.V1˝V2; W / é unicamente determinada por linearidade pelos seus valores numa
base de V1˝V2. Em particular, se S1 D fEe1; : : : ; Eeng é base de V1 e S2 D fvf1; : : : ; Efmg é base
de V2, então
Z D
nX
iD1
mX
jD1
zij Eei ˝ Efj 7! T .Z/ D
nX
iD1
mX
jD1
zijT .Eei ˝ Efj / :
Assim, dada QT 2 L.V1; V2IW / podemos definir
T .Eei ˝ Efj / D QT .Eei ; Efj / ; i D 1; : : : ; n ; j D 1; : : : ; m :
Como de praxe, T é linear por construção. Além disso, dados Ex D
Pn
iD1 xi Eei 2 V1, Ey DPm
jD1 yj
Efj 2 V2, segue da bilinearidade de QT que
T .Ex ˝ Ey/ D
nX
iD1
mX
jD1
xiyj QT .Eei ; Efj / D QT .Ex; Ey/ ;
logo QT D T˝. �
15
Observação 1.12 T tal qual definida em termos de uma aplicação bilinear QT W V1 � V2 ! W
na prova do Teorema (i.e. a inversa da aplicação T 7! T˝ D QT ) é chamada de linearização de QT .
Segue imediatamente do Teorema a caracterização desejada de L.V1; V2IK/:
Corolário 1.13 A linearização de formas bilineares em V1 � V2 é um isomorfismo linear de
L.V1; V2IK/ em .V1 ˝ V2/0.
Prova. TomeW D K no Teorema. �
Observação 1.14 É importante notar que todos os resultados desta Seção até este ponto perma-
necem válidos em dimensão infinita. Já os resultados a seguir sobre produtos tensoriais só valem
em dimensão finita pois dependem da existência de bases duais.
A base de L.V1; V2IK/ dada em (1.10) é (a menos de um isomorfismo linear canônico) a base
dual a S1˝S2. Mais precisamente, seja a aplicação bilinear Q̋ W V 01 �V 02 ! L.V1; V2IK/ dada por
(1.19) Q̋ .�; �/.Ex; Ey/
:
D � Q̋ �.Ex; Ey/ D �.Ex/�. Ey/ ; Ex 2 V1 ; Ey 2 V2
(Exercício: verifique a bilinearidade de Q̋ ). É imediato verificar que se S 01 D f�1; : : : ; �ng é a base
dual a S1 e S
0
2 D f�1; : : : ; �mg é a base dual a S2 então �i Q̋ �j D !ij para todo i D 1; : : : ; n,
j D 1; : : : ; m, onde f!ij j i D 1; : : : ; n ; j D 1; : : : ; mg é a base de L.V1; V2IK/ dada em (1.10).
Isso implica que a linearização de Q̋ leva S 01 ˝ S
0
2 nessa base e portanto é um isomorfismo linear
de V 01 ˝ V
0
2 em L.V1; V2IK/. Assim, acabamos de obter a primeira parte do seguinte
Corolário 1.15 V 01 ˝ V
0
2 é linearmente isomorfo a L.V1; V2IK/ e, portanto, a .V1 ˝ V2/0. Em
particular, V1 ˝ V2 é linearmente isomorfo a L.V 01; V 02IK/ e a L.V1; V2IK/0.
Prova. As duas últimas afirmações seguemdos isomorfismos canônicos deVj emV
00
j ,
que levam Sj em S
00
j D .S
0
j /
0
, j D 1; 2. �
O estudo de produtos tensoriais será aprofundado no Capítulo 5.
1.5 Posto e nulidade de uma forma bilinear. Formas bilineares
não-degeneradas
Uma consequência importante de (1.14) é que asmatrizes de umamesma forma bilinear! em
V1�V2 com respeito a diferentes escolhas de base em V1 e V2 possuem omesmo posto e a mesma
nulidade. Isso nos permite formular a seguinte
Definição 1.16 Seja ! uma forma bilinear em V1 � V2. O posto R.!/ de ! é dado pelo posto
R.A/ da matriz A de ! numa escolha qualquer de bases S1; S2 de V1 e V2 respectivamente.
16
ADefinição 1.16 nos permite calcularR.!/mediante a escolha de bases adequadas de V1 e V2.
Contudo, é também conveniente termos à nossa disposição uma definição alternativa de R.!/
que seja manifestamente independente de uma escolha de bases. Para tal, sejam ![ W V1 ! V
0
2,
[! W V2 ! V
0
1 as aplicações lineares dadas respectivamente por
![.Ex/. Ey/ D [!. Ey/.Ex/ D !.Ex; Ey/ ; Ex 2 V1 ; Ey 2 V2:(1.20)
Obviamente, !T[ D [! e [!T D ![. Segue imediatamente da definição 1.20 e do fato que
dimV1;dimV2 <1 que, a menos do isomorfismo canônico de Vj em V
00
j , j D 1; 2,
[! é a trans-
posta .![/0 de![ (e vice-versa). Outrossim, se S 01 D f�1; : : : ; �ng é a base dual a S1 D fEe1; : : : ; Eeng,
S 02 D f�1; : : : ; �mg a base dual a S2 D f
Ef1; : : : ; Efmg, e B 2Mn�m.K/, QB 2Mm�n.K/ são respec-
tivamente as matrizes de ![ nas bases S1; S
0
2 e de
[! nas bases S2; S
0
1, i.e.
![.Eei/ D
mX
lD1
Bli�l ;(1.21)
[!. Efj / D
nX
kD1
QBkj�k ;(1.22)
então concluímos da Definição 1.5 da matriz de ! em S1; S2 que
(1.23) B D AT ; QB D A :
Como R.[!A/ D R.A/ D R.A
T/ D R.![A/ para quaisquer bases S1; S2 de V1; V2 e toda A 2
Mn�m.K/, concluímos que
(1.24) R.!/ D R.![/ D R.[!/ :
Em particular, se V1 D V2 D V e portantom D n, pelo Teorema do Núcleo e da Imagem temos
que
(1.25) N.![/ D n �R.![/ D n �R.[!/ D N.[!/ ;
podemos nesse caso também definir a nulidade N.!/ de uma forma sesquilinear ! em V como
N.!/ D N.![/ D N.[!/.
Definição 1.17 Dizemos que uma forma bilinear ! em V1 � V2 é não-degenerada se ![ é um
isomorfismo linear. Caso contrário, dizemos que ! é degenerada.
Fica claro pela Definição 1.17 que ! não-degenerada implica dimV1 D dimV2. Essa observa-
ção leva ao importante
Lema 1.18 Seja ! uma forma bilinear em V1 � V2. Então são equivalentes:
(a) ! é não-degenerada, i.e. ![ é um isomorfismo linear de V1 em V 02;
17
(b) [! é um isomorfismo linear de V2 em V 01;
(c) Para todo 0 ¤ Ex 2 V , existe Ey 2 V tal que !.Ex; Ey/ ¤ 0 (, N.![/ D 0);
(d) Para todo 0 ¤ Ey 2 V , existe Ex 2 V tal que !.Ex; Ey/ ¤ 0 (, N.[! D 0).
Prova. (a), (b) segue da observação de que a transposta de um isomorfismo linear
também é um isomorfismo linear. (a), (c) e (b), (d), por sua vez, seguem do Teorema do
Núcleo e da Imagem. �
Uma consequência importante do Lema 1.18 é que toda forma bilinear não-degenerada ! em
V1 � V2 induz uma única forma bilinear não-degenerada !
�1
em V 02 � V
0
1, dada por
(1.26)
!�1.�; �/ D !.!].�/; ]!.�// ; !] D .![/�1 W V 02 ! V1 ;
]! D .[!/�1 W V 01 ! V2 ; � 2 V
0
1; � 2 V
0
2 :
Usando o isomorfismo canônico de Vj em V
00
j quando dimVj <1, j D 1; 2, podemos identifi-
car !] com .!�1/[ e .!�1/�1 com ! neste caso. (Exercício: verifique!)
No caso em que uma forma bilinear ! em V é simétrica (resp. anti-simétrica), temos que
![ D [! (resp. ![ D �[!). Nesses casos, podemos definir sem ambiguidades o núcleo de! como
ker! D .![/�1.0/ D .[!/�1.0/. Pelo Lema 1.18,! é não-degenerada se e somente se ker! D f0g.
1.6 Formas quadráticas
Seja ! uma forma bilinear simétrica no espaço vetorial V sobre K. Definamos a aplicação
q! W V ! K dada por
(1.27) q!.Ex/ D !.Ex; Ex/ :
Podemos recuperar ! a partir de q! através da fórmula
(1.28) !.Ex;Ey/ D
1
2
.q!.Ex C Ey/ � q!.Ex/ � q!. Ey// :
De fato,
q!.Ex C Ey/ � q!.Ex/ � q!. Ey/ D !.Ex C Ey; Ex C Ey/ � !.Ex; Ex/ � !. Ey; Ey/
D !.Ex; Ex/C !.Ex; Ey/C !. Ey; Ex/C !. Ey; Ey/ � !.Ex; Ex/ � !. Ey; Ey/
D 2!.Ex; Ey/ :
Mais em geral, temos a seguinte
Definição 1.19 Uma forma quadrática em V é uma aplicação q W V ! K satisfazendo as se-
guintes propriedades:
18
(i) q.Ex/ D q.�Ex/ para todo Ex 2 V ;
(ii) !q.Ex; Ey/ D 12.q.ExCEy/�q.Ex/�q. Ey// define uma forma bilinear (necessariamente simétrica)
!q em V .
Observação 1.20 Podemos definir formas quadráticas segundo a Definição 1.19 em espaços ve-
toriais V sobre qualquer corpo K com caracterísitca diferente de 2.
Lema 1.21 Seja q W V ! K uma forma quadrática em V . Então q satisfaz as seguintes proprieda-
des:
(a) q.Ex/ D !q.Ex; Ex/ para todo Ex 2 V ;
(b) 2q.Ex/C 2q. Ey/ D q.Ex C Ey/C q.Ex � Ey/ para todo Ex; Ey 2 V ( fórmula do paralelogramo);
(c) !q.Ex; Ey/ D 14.q.Ex C Ey/ � q.Ex � Ey// para todo Ex; Ey 2 V ( fórmula de polarização).
Prova.
(a) Podemos escrever, em virtude da bilinearidade de !q ,
!q.Ex C Ey; Ez/ D
1
2
.q.Ex C Ey C Ez/ � q.Ex C Ey/ � q.Ez//
D !q.Ex; Ez/C !q. Ey; Ez/
D
1
2
.q.Ex C Ez/ � q.Ex/ � q.Ez//C
1
2
.q. Ey C Ez/ � q. Ey/ � q.Ez// ;
donde concluímos que
(1.29) q.Ex C Ey C Ez/ � q.Ex C Ey/ � q.Ex C Ez/ � q. Ey C Ez/C q.Ex/C q. Ey/C q.Ez/ D 0
para todo Ex; Ey; Ez 2 V . Tomando Ex D Ey D Ez D 0, concluímos que q.0/ D 0. Mais em
geral, tomando Ey D Ex e Ez D �Ex, temos em virtude de (i) que q.2Ex/ D 4q.Ex/. Inserindo
essa identidade na definição (ii) de !q com Ey D Ex, obtemos (a).
(b) Tomando Ez D �Ey em (1.29), e fazendo uso de (i) e do fato que q.0/ D 0, obtemos (b).
(c) Inserindo (b) na definição (ii) de !q , obtemos (c).
�
SejaQ.V / o conjunto das formas quadráticas em V . Podemos imbui-lo das operações “pon-
tuais” de adição e multiplicação por escalares herdadas do contradomínio K, a saber:
.q1 C q2/.Ex/ D q1.Ex/C q2.Ex/ ;
.˛q1/.Ex/ D ˛q1.Ex/
(q1; q2 2 Q.V /, ˛ 2 K, Ex 2 V ). Isso torna Q.V / um espaço vetorial sobre K. Neste caso,
concluímos:
19
Corolário 1.22 A aplicação_2.V IK/ 3 ! 7! q! 2 Q.V / é um isomorfismo linear, com inversa
Q.V / 3 q 7! !q 2 _
2.V IK/. �
Podemos falar damatrizA 2Mn�n.K/deuma formaquadráticaq numabaseS D fEe1; : : : ; Eeng
de V . Ela é simplesmente a matriz A de !q na base S . Desta forma, podemos escrever
q.Ex/ D ExTSAExS ; onde(1.30)
!q.Ex; Ey/ D Ex
T
SA EyS :(1.31)
Como tal,A é sempre simétrica. Conversamente, dadaA 2Mn�n.K/ simétrica, a expressão (1.30)
define uma forma quadrática q em V . Desta forma, podemos definir o posto R.q/ :D R.!q/ e
a nulidade N.q/ D N.!q/ de uma forma quadrática q. Como !q é simétrica, podemos definir
também o núcleo de q como ker q D ker!q.
Definição 1.23 Dizemos que uma forma quadrática q num espaço vetorial V sobre K é:
� Semi-definida se q.Ex/ � 0 para todo Ex 2 V (neste caso, dizemos que q é positiva semi-
definida) ou q.Ex/ � 0 para todo Ex 2 V (neste caso, dizemos que q é negativa semi-definida);
� Definida se q.Ex/ > 0 para todo 0 ¤ Ex 2 V (neste caso, dizemos que q é positiva definida)
ou q.Ex/ < 0 para todo 0 ¤ Ex 2 V (neste caso, dizemos que q é negativa definida);
� Indefinida se q não for semi-definida;
� Não-degenerada (resp. degenerada) se !q for não-degenerada (resp. degenerada).
Uma forma bilinear simétrica ! em V é dita (positiva / negativa) semi-definida, indefinida ou
(positiva / negativa) definida se a forma quadrática q! associada a ! respectivamente o for.
No caso K D C, a classificação elencada na Definição 1.23 se torna bemmenos interessante:
Lema 1.24 Seja q 6� 0 uma forma quadrática num espaço vetorial V sobre C. Então q é necessa-
riamente indefinida.
Prova. Notar que !q.i Ex; i Ey/ D �!q.Ex; Ey/ para todo Ex; Ey 2 V . Em particular,
q.i Ex/ D �q.Ex/ para todo Ex 2 V . Suponha que q é semi-definida; então 0 � q.i Ex/ D
�q.Ex/ � 0 para todo Ex 2 V ou 0 � q.i Ex/ D �q.Ex/ � 0 para todo Ex 2 V . Em ambos os
casos, concluímos que q � 0. �
No próximo Capítulo estudaremos uma modificação do conceito de formas bilineares adap-
tado às particularidades de espaços vetoriais complexos – as chamadas formas sesquilineares –
para as quais existe um conceito de formas quadráticas semi-definidas similar ao encontrado para
espaços vetoriais reais.
Já no caso K D R, observamos que uma forma quadrática q num espaço vetorial V sobre R
é indefinida se e somente se existem .0 ¤/ExC; Ex� 2 V tais que q.ExC/ > 0 e q.Ex�/ < 0. Segue
imediatamente que ExC e Ex� são l.i.. Uma caracterização importantíssima da semi-definiteza de
uma forma quadrática real q é dada pelo
20
Lema 1.25 Seja q uma forma quadrática num espaço vetorial V sobre R. Se q é semi-definida,
então para todo Ex; Ey 2 V vale a desigualdade de Cauchy-Schwarz
(1.32) !q.Ex; Ey/
2
� q.Ex/q. Ey/ :
Conversamente, se existem Ex; Ey 2 V satisfazendo q.Ex/ > 0 e q. Ey/ < 0, então Ex; Ey satisfazem a
desigualdade de Cauchy-Schwarz reversa !q.Ex; Ey/
2 > q.Ex/q. Ey/ – neste caso, existe um único par
de escalares distintos ˛C; ˛� 2 R tais que q.Ex C ˛˙ Ey/ D 0.
Prova. Sejam Ex; Ey 2 V , e considere o polinômio de segundo grau pq em R dado por
pq.˛/ D q.Ex C ˛ Ey/ D q.Ex/C ˛!q.Ex; Ey/C ˛!q. Ey; Ex/C ˛
2q. Ey/
D q.Ex/C 2˛!q.Ex; Ey/C ˛
2q. Ey/ ; ˛ 2 R ;
onde na segunda igualdade usamos o fato que !q é simétrica. Suponha inicialmente que q é
semi-definida; então q é positiva semi-definida se e somente se�q for negativa semi-definida,
e se a desigualdade (1.32) vale para q, então (1.32) também vale para �q. Portanto, não há
perda de generalidade em assumir que q é positiva semi-definida. Neste caso, temos para
todo ˛ 2 R que pq.˛/ � 0. Se q. Ey/ D 0, isso só é possível se !q.Ex; Ey/ D 0, portanto
podemos assumir que q. Ey/ ¤ 0. Observemos agora que um polinômio de segundo grau
p.˛/ D a˛2Cb˛Cc com coeficientes reais é não-negativo para todo ˛ 2 R se e somente sep
possui no máximo uma raiz real (com multiplicidade 2), o que ocorre precisamente quando
� D b2 � 4ac � 0. No nosso caso, concluímos que � D 4!q.Ex; Ey/
2 � 4q. Ey/q.Ex/ � 0,
donde segue (1.32). Finalmente, suponhamos que q.Ex/ > 0 e q. Ey/ < 0 – então obviamente
q.Ex/q. Ey/ < 0 � !q.Ex; Ey/
2
, como desejado. Contudo, isso implica que� > 0 e portanto pq
possui um par de raízes reais distintas ˛C; ˛�, de modo que pq.˛˙/ D q.ExC˛˙ Ey/ D 0. �
Corolário 1.26 Seja q uma forma quadrática semi-definida num espaço vetorial V sobre R.
Então q.Ex/ D 0 se e somente se Ex 2 ker q. Em particular:
(a) A igualdade em (1.32) ocorre se e somente se ExC ˛ Ey 2 ker q ou ˛ ExC Ey 2 ker q para algum
˛ 2 R.
(b) Uma forma quadrática q em V é positiva (resp. negativa) definida se e somente se q for
positiva (resp. negativa) semi-definida e não-degenerada.
Prova. Se Ex 2 ker q, então trivialmente q.Ex/ D !q.Ex; Ex/ D 0. Suponhamos en-
tão que q.Ex/ D 0. Pela desigualdade de Cauchy-Schwarz (1.32), temos que !q.Ex; Ey/
2 �
q.Ex/q. Ey/ D 0 para todo Ey 2 V , logo Ex 2 ker q, como desejado. A afirmação (b) é então
imediata, então resta apenas provar (a). Suponha que Ex; Ey 2 V satisfazer (1.32) com igual-
dade, e seja pq.˛/ D q.ExC˛ Ey/ o polinômio empregado na prova do Lema 1.25 – concluímos
do argumento apresentado lá que q. Ey/ D !q.Ex; Ey/ D 0 ou pq possui uma única raiz real ˛,
de modo que pq.˛/ D q.Ex C ˛ Ey/ D 0. Em ambos os casos, a afirmação (a) segue. �
21
1.7 Diagonalização de formas quadráticas
Definição 1.27 Dizemos que uma base S de V diagonaliza uma forma quadrática q (ou a forma
bilinear simétrica !q associada a q) em V se a matriz A de q na base S é diagonal, i.e. Aij D 0
se i ¤ j . Se S diagonaliza q, dizemos que S é ortogonal com respeito a q (ou !q).
Um fato fundamental sobre formas quadráticas é:
Teorema 1.28 Seja q uma forma quadrática no espaço vetorial V sobre K, dimV D n < 1.
Então existe uma base S D f Ef1; : : : ; Efng de V que diagonaliza q.
Prova. Se q � 0, então qualquer base de V diagonaliza q, pois nesse caso A D 0 em
qualquer base. Suponhamosentão que q 6� 0, ou seja, existe .0 ¤/ Ef1 2 V tal que q. Ef1/ ¤ 0.
Defina V1 D spanfEx1g, e
V ?1 D fEy 2 V j !q.Ex; Ey/ D 0 para todo Ex 2 V1g D f Ey 2 V j !q.
Ef1; Ey/ D 0g :
É imediato verificar (Exercício: faça isso!) queV ?1 é umsubespaço vetorial deV . Mostraremos
agora que V D V1 ˚ V
?
1 : para tal, definimos a transformação linear P1 W V ! V dada por
P1 Ey D
!q. Ef1; Ey/
q. Ef1/
Ef1 :
Segue que:
(i) P1 é uma projeção linear, i.e. P
2
1 D P1;
(ii) P1.V / D V1;
(iii) kerP1 D .1 � P1/.V / D V ?1 .
De fato,
P 21 Ey D P1.P1 Ey/ D
!q. Ef1; Ey/
q. Ef1/
P1 Ef1
D
!q. Ef1; Ey/
q. Ef1/
!q. Ef1; Ef1/
q. Ef1/
Ef1
D
!q. Ef1; Ey/
q. Ef1/
Ef1 D P1 Ey ;
provando (i). Para verificarmos (ii), basta mostrar que P1 Ef1 D Ef1, mas verificamos pre-
cisamente isto na prova de (i). Resta apenas verificar (iii) – claramente, Ey 2 V ?1 implica
Ey D Ey � P1 Ey, pela definição de P1. Conversamente, temos que para todo Ey 2 V
!q. Ef1; Ey � P1 Ey/ D !q. Ef1; Ey/ �
!q. Ef1; Ey/
q. Ef1/
!q. Ef1; Ef1/ D 0 :
Concluímos dos fatos (i)–(iii) que V D V1 ˚ V
?
1 , como desejado. Seja q
?
1 a restrição de q a
V ?1 . Se q
?
1 � 0, sejaS1 D f
Ef2; : : : ; Efngumabase qualquer deV
?
1 ; entãoS D f
Ef1g[S1 é uma
22
base de V que diagonaliza q. Se q?1 6� 0, então existe
Ef2 2 V
?
1 tal que q.
Ef2/ D q
?
1 .
Ef2/ ¤ 0.
Notar que
Ef1 e Ef2 são linearmente independentes, pois V D V1 ˚ V
?
1 ; repetimos então o
procedimento acima com q1 e Ef2.
O argumento geral (k � 1) é o seguinte: suponha que f Ef1; : : : ; Efkg � V é um conjunto
linearmente independente em V tal que q. Efj / ¤ 0 para todo j D 1; : : : ; k e !q. Efi ; Efj / D 0
se i ¤ j . Definamos
Vk D spanf Ef1; : : : ; Efkg ;(1.33)
V ?k D fEy 2 V j !q.Ex; Ey/ D 0 para todo Ex 2 Vkg
D f Ey 2 V j !q. Efj ; Ey/ D 0 ; j D 1; : : : ; kg ;(1.34)
Pk Ey D
kX
jD1
!q. Efj ; Ey/
q. Efj /
Efj ; Ey 2 V :(1.35)
Em particular, a restrição qk de q a Vk é não-degenerada. Mostraremos que
(i’) Pk é uma projeção linear, i.e. P
2
k
D Pk ;
(ii’) Pk.V / D Vk ;
(iii’) kerPk D .1 � Pk/.V / D V
?
k
,
por um argumento análogo ao usado acima no caso k D 1. De fato,
P 2k Ey D Pk.Pk Ey/ D
kX
jD1
!q. Efj ; Ey/
q. Efj /
Pk Efj
D
kX
jD1
!q. Efj ; Ey/
q. Efj /
kX
lD1
!q. Efl ; Efj /
q. Efl/
Efl
D
kX
jD1
!q. Efj ; Ey/
q. Efj /
Efj D Pk Ey ;
provando (i’). Para verificarmos (ii’), basta mostrar que Pk Efj D Efj para todo j D 1; : : : ; k,
mas verificamos precisamente isto na prova de (i’). Resta apenas verificar (iii’) – claramente,
Ey 2 V ?
k
implica Ey D Ey � Pk Ey, pela definição de Pk . Conversamente, temos que para todo
Ey 2 V , j D 1; : : : ; k,
!q. Efj ; Ey � P1 Ey/ D !q. Efj ; Ey/ �
nX
lD1
!q. Efl ; Ey/
q. Efl/
!q. Efj ; Efl/ D 0 :
Segue dos fatos (i’)–(iii’) que V D Vk ˚ V
?
k
. Seja então q?
k
a restrição de q a V ?
k
. Se
q?
k
� 0, então basta escolher uma base Sk D f EfkC1; : : : ; Efng qualquer de V
?
k
e definir S D
f Ef1; : : : ; Efkg [ Sk . Se q
?
k
6� 0, então existe EfkC1 2 V
?
k
tal que q. EfkC1/ D q
?
k
. EfkC1/ ¤ 0.
Por construção,!q. Efj ; EfkC1/ D 0para todo j D 1; : : : ; k. Repetimos então o procedimento
com f Ef1; : : : ; EfkC1g. Como n D dimV < 1, só podemos fazer isso um número finito de
vezes – até k D n ou q?
k
� 0. �
23
Ométodo usado para provar o Teorema 1.28 é conhecido comométodo de Gram-Schmidt, e
a base S D f Ef1; : : : ; Efng construída por ele pode ser usada para extrair mais informações sobre q.
Por exemplo, seja k o maior inteiro para o qual q. Efk/ ¤ 0. Como a matriz A de q na base S é
diagonal, concluímos da prova do Teorema 1.28 que:
� A restrição qk de q a Vk é não-degenerada e k D dimVk D R.q/;
� Se Ey 2 V ?
k
, então !q.Ex; Ey/ D 0 para todo Ex 2 V , pois V D Vk ˚ V
?
k
e q?
k
:
D qjV?
k
� 0.
Ou seja, V ?
k
D ker q.
Podemos ainda normalizar os vetores na baseS determinada peloTeorema 1.28. As condições
de normalização, contudo, são diferentes se lidamos com K D R ou K D C:
Teorema 1.29 (K D C) Seja q uma forma quadrática no espaço vetorial V sobre C, dimV D
n <1. Então existe uma base OS D fEe1; : : : ; Eeng de V que diagonaliza q e satisfaz
(1.36) q.Eej / D
8<:1 .1 � j � k/0 .k < j � n/ :
(K D R) Seja q uma forma quadrática no espaço vetorial V sobre R, dimV D n < 1. Então
existe uma base OS D fEe1; : : : ; Eeng de V que diagonaliza q e satisfaz
(1.37) q.Eej / D
8<:˙1 .1 � j � k/0 .k < j � n/ :
Mais ainda, os números n˙ D dim span fEej j q.Eej / D ˙1 ; j D 1; : : : ; kg não dependem
da escolha de base OS dentro das condições acima ( lei de inércia de Sylvester).
Prova.
(K D C) Seja S D f Ef1; : : : ; Efng a base ortogonal com respeito a q obtida na prova do Teo-
rema 1.28. Seja
q
q. Efj / uma das duas raízes quadradas complexas de q. Efj / (lembrar que
ambas diferem apenas por um fator �1), j D 1; : : : ; k. Definamos, então,
(1.38) Eej D
8̂<̂
:
1q
q. Efj /
Efj .1 � j � k/
Efj .k < j � n/
:
Claramente, OS D fEe1; : : : ; Eeng satisfaz as condições desejadas.
(K D R) Seja S D f Ef1; : : : ; Efng a base ortogonal com respeito a q obtida na prova do Teo-
rema 1.28. A dificuldade aqui é que apenas reais não-negativos possuem raiz quadrada
real (por convenção, não-negativa). Podemos ainda, contudo, definir
(1.39) Eej D
8̂<̂
:
1q
jq. Efj /j
Efj .1 � j � k/
Efj .k < j � n/
:
24
Claramente, OS D fEe1; : : : ; Eeng satisfaz as condições desejadas. Resta provar a invariância
de nC e n�. Sejam V˙ D span fEej j q.Eej / D ˙1 ; j D 1; : : : ; kg e V0 D ker q D
spanfEej j j D kC1; : : : ; ng, de formaquen˙ D dimV˙ eN.q/ D dimV0. Claramente,
temos que V D VC ˚ V� ˚ V0 e q˙.Ex˙/ ? 0 para todo 0 ¤ Ex˙ 2 V˙. Provaremos
agora o seguinte fato: se W � V é um subespaço vetorial de V tal que q.Ex/ > 0 para
todo 0 ¤ Ex 2 W , então W;V� e V0 são subespaços linearmente independentes, i.e. se
Ex C Ey C Ez D 0 com Ex 2 W , Ey 2 V� e Ez 2 V0, então Ex D Ey D Ez D 0. De fato, temos
que nesse caso
0 D !q.Ex; Ex C Ey C Ez/ D !q.Ex; Ex/C !q.Ex; Ey/C !q.Ex; Ez/ ;
0 D !q. Ey; Ex C Ey C Ez/ D !q. Ey; Ex/C !q. Ey; Ey/C !q. Ey; Ez/ :
Como Ez 2 V0, temos que !q.Ex; Ez/ D !q. Ey; Ez/ D 0. Concluímos do fato que !q é
simétrica que
0 D !q.Ex; Ex/C !q.Ex; Ey/ ;
0 D !q.Ex; Ey/C !q. Ey; Ey/ ;
portanto 0 � !q.Ex; Ex/ D !q. Ey; Ey/ � 0 e daí !q.Ex; Ex/ D !q. Ey; Ey/ D 0, o que implica
que Ex D Ey D 0. Como Ex C Ey C Ez D 0 por hipótese, temos que Ez D 0, provando
que W;V� e V0 são subespaços linearmente independentes. Como V D VC ˚ V� ˚
V0, necessariamente dimW � dimVC. Em particular, se OS1 é outra base qualquer
satisfazendo as condições do Teorema e denotarmos por W˙ e W0 D V0 D ker q os
subespaços de V associados a essa base damesmamaneira que V˙; V0 estão associados a
OS , seguedo fatoque acabamosdeprovar quedimWC � dimVC. Trocandoospapéis de
OS e OS1, concluímos analogamente quedimVC � dimWC, portantodimVC D dimWC
e daí dimV� D dimW�.
�
Observação 1.30 Os números n˙
:
D n˙.q/ definidos no Teorema 1.29 no caso K D R são deno-
minados índices de inércia da forma quadrática q. Claramente, temos que nC.q/Cn�.q/ D R.q/.
O número S.q/ D nC.q/� n�.q/ é denominado assinatura de q. Segue do Teorema 1.7 que S.q/
não depende da escolha de base dentro das condições desse Teorema. Conversamente, temos que
n˙.q/ D
1
2
.R.q/˙S.q// são completamente determinados por R.q/ e S.q/. Não introduziremos
a noção de índices de inércia no caso K D C – a razão disso é elucidada pelo Lema 1.24 adiante.
É praxe reordenar os elementos da base OS obtida no Teorema 1.29 de modo que
q.Eej / D
8̂̂̂<̂
ˆ̂:
C1 .1 � j � nC.q//
�1.nC.q/C 1 � j � R.q//
0 .R.q/ < j � n/
:
25
Conversamente, dada uma forma quadrática q em V com índices de inércia nC D nC.q/, n� D
n�.q/, dizemos que umabaseS D fEe1; : : : ; EengdeV satisfazendo as condições acima é ortonormal
com respeito a q. Se ! é uma forma bilinear simétrica em !, dizemos que uma base S de V é
ortonormal com respeito a ! se S o for com respeito à forma quadrática q! associada a !.
Bases ortonormais nos fornecem ummétodo bastanteconveniente de obter as componentes
de um vetor Ex 2 V em OS no caso não-degenerado:
Corolário 1.31 Seja q uma forma quadrática não-degenerada no espaço vetorial V sobre K,
dimV D n <1, e S D fEe1; : : : ; Eeng uma base de V ortonormal com respeito a q. Então:
� (K D C) As componentes de Ex 2 V em S são dadas por xj D !q.Eej ; Ex/, i.e.
(1.40) Ex D
nX
jD1
xj Eej D
nX
jD1
!q.Eej ; Ex/Eej :
Em particular, os elementos da base dual S 0 D f�1; : : : ; �ng a S em V 0 são dados por
�j D !
[
q.Eej /, j D 1; : : : ; n;
� (K D R) As componentes de Ex 2 V em OS são dadas por xj D !q.Eej ; Ex/ se Eej 2 VC e
xj D �!q.Eej ; Ex/ se Eej 2 V�, i.e.
(1.41) Ex D
nX
jD1
xj Eej D
X
q.Eej /DC1
!q.Eej ; Ex/Eej �
X
q.Eel /D�1
!q.Eel ; Ex/Eel :
Em particular, os elementos da base dual S 0 D f�1; : : : ; �ng a S em V 0 são dados por
�j D !
[
q.Eej / se Eej 2 VC e �j D �![q.Eej / se Eej 2 V�, j D 1; : : : ; n.
Prova. Seja Ex D
Pn
jD1 xj Eej 2 V . Então !q.Eej ; Ex/ D xj!q.Eej ; Eej / para todo j D
1; : : : ; n, pois S diagonaliza q. A tese segue imediatamente dessa fórmula. �
Claramente, no caso em que K D R, q é positiva (resp. negativa) semi-definida se e somente
se n�.q/ D 0 (resp. nC.q/ D 0), indefinida se e somente se nC.q/; n�.q/ ¤ 0, e positiva (resp.
negativa) definida se e somente se nC.q/ D n (resp. n�.q/ D n). Por outro lado, se K D C
a noção de índices de inércia se perde, pois mesmo subespaços unidimensionais de V são então
indefinidos. Por isso, não nos incomodamos em introduzir tal noção nesse caso.
Notar que a afirmação (b) doCorolário 1.26 tambémpode ser obtida notandoquen�.Q/ D 0
(resp. nC.q/ D 0) e N.q/ D 0 se e somente se nC.q/ D dimV (resp. n�.q/ D dimV ). No
entanto, a prova que apresentamos, baseada na desigualdade deCauchy-Schwarz, não apenas leva
a um resultado mais forte como também permanece válida mesmo se V tem dimensão infinita.
Adiagonalizaçãode formas quadráticas pode ser tambémobtida a partir do teorema espectral,
a ser estudado no Capítulo 3.
26
1.8 Estrutura das formas bilineares anti-simétricas
Seja ! uma forma bilinear anti-simétrica no espaço vetorial V sobre K. Segue imediatamente
que !.Ex; Ex/ D 0 para todo Ex 2 V , portanto não é possível diagonalizar ! neste caso.
Definição 1.32 Dizemos que uma forma bilinear ! em V é alternante se !.Ex; Ex/ D 0 para todo
Ex 2 V .
Como visto acima, toda forma bilinear anti-simétrica é alternante. Conversamente, se ! é
uma forma bilinear alternante, temos que
!.Ex C Ey; Ex C Ey/ D 0 D !.Ex; Ex/C !.Ex; Ey/C !. Ey; Ex/C !. Ey; Ey/ D !.Ex; Ey/C !. Ey; Ex/
) !. Ey; Ex/ D �!. Ey; Ex/ ;
i.e. ! é também anti-simétrica. Embora tais formas bilineares não possam ser diagonalizadas, é
possível encontrar uma base de V tal que a matriz de ! nessa base possui uma forma “canônica”,
a ser descrita em breve.
Seja uma formabilinear anti-simétrica! emV tal que! 6� 0. Isso significa que existemvetores
Ex1; Ey1 2 V tais que !. Ey1; Ex1/ ¤ 0. Como ! é alternante, temos que Ex1 e Ey1 são necessariamente
linearmente independentes. Definamos então
(1.42) Ep1 D
1
!. Ey1; Ex1/
Ey1 ; de modo que !. Ep1; Ex1/ D
!. Ey1; Ex1/
!. Ey1; Ex1/
D 1 :
Seja V1 D spanfEx1; Ep1g. Se Ez1 D ˛1 Ex1 C ˇ1 Ep1 2 V1, (1.42) e a alternância de ! implicam que
(1.43) !.Ex1; Ez1/ D �ˇ1 ; !. Ep1; Ez1/ D ˛1 :
Logo, temos para todo Ez1 2 V1 que
(1.44) Ez1 D !. Ep1; Ez1/Ex1 � !.Ex1; Ez1/ Ep1 :
Seja
V ?1 D fEz 2 V j !.Ez1; Ez/ D 0 para todo Ez1 2 V1g
D fEz 2 V j !.Ex1; Ez/ D !. Ep1; Ez/ D 0g :
(1.45)
Claramente, V ?1 é um subespaço vetorial de V . Seja também P1 W V ! V a transformação linear
dada por
(1.46) P1Ez D !. Ep1; Ez/Ex1 � !.Ex1; Ez/ Ep1
Claramente, P1 Ex1 D Ex1 e P1 Ep1 D Ep1, logo P
2
1 D P1 e P1.V / D V1. Provaremos agora que
kerP1 D .1 � P1/.V / D V ?1 , donde segue que V D V1 ˚ V
?
1 . De fato, se Ez 2 V
?
1 , então
27
necessariamente Ez 2 kerP1 pela definição de V1 e pela definição (1.46) de P1. Conversamente,
para todo Ez 2 V , segue de (1.42) e da anti-simetria de ! que
!.Ex1; Ez � P1Ez/ D !.Ex1; Ez/ � !. Ep1; Ez/!.Ex1; Ex1/C !.Ex1; Ez/!.Ex1; Ep1/ D 0 ;
!. Ep1; Ez � P1Ez/ D !. Ep1; Ez/ � !. Ep1; Ez/!. Ep1; Ex1/C !.Ex1; Ez/!. Ep1; Ep1/ D 0 ;
logo Ez � P1Ez 2 V
?
1 .
O procedimento acima é o primeiro passo do seguinte algoritmo, modelado de maneira aná-
loga à ortogonalização de Gram-Schmidt para formas quadráticas. Seja fEx1; Ep1; : : : ; Exk; Epkg um
conjunto linearmente independente em V tal que
!.Exi ; Exj / D !. Epi ; Epj / D 0 para todo i; j D 1; : : : ; k I
!. Epi ; Exj / D �!.Exj ; Epi/ D
8<:0 se i ¤ j I1 se i D j :(1.47)
Definamos
Vk D spanffEx1; Ep1; : : : ; Exk; Epkg ;(1.48)
V ?k D fEz 2 V j !.Ezk; Ez/ D 0 para todo Ezk 2 Vkg
D fEz 2 V j !.Exj ; Ez/ D !. Epj ; Ez/ D 0 ; j D 1; : : : ; kg(1.49)
e a transformação linear Pk W V ! V dada por
(1.50) PkEz D
kX
jD1
Œ!. Epj ; Ez/Exj � !.Exj ; Ez/ Epj � :
Notando que se Ezk D
Pk
jD1Œ j̨ Exj C ǰ Epj � 2 Vk, então (1.47) implica que !.Exj ; Ezk/ D � ǰ e
!. Epj ; Ezk/ D j̨ para todo j D 1; : : : ; k, concluímos que Pk Exj D Exj e Pk Epj D Epj para todo j D
1; : : : ; k, portantoP 2
k
D Pk ePk.V / D Vk. Resta-nos mostrar que kerPk D .1�Pk/.V / D V ?k ,
donde segue que V D Vk ˚ V
?
k
. De fato, se Ez 2 V ?
k
, então necessariamente Ez 2 kerPk pela
definição (1.48) de Vk e pela definição (1.50) de Pk. Conversamente, para todo Ez 2 V , segue de
(1.47) e da anti-simetria de ! que para todo j D 1; : : : ; k
!.Exj ; Ez � PkEz/ D !.Exj ; Ez/ �
kX
lD1
Œ!. Epl ; Ez/!.Exj ; Exl/ � !.Exl ; Ez/!.Exj ; Epl/� D 0 ;
!. Epj ; Ez � PkEz/ D !. Epj ; Ez/ �
kX
lD1
Œ!. Epl ; Ez/!. Epj ; Exl/ � !.Exl ; Ez/!. Epj ; Epl/� D 0 ;
logo Ez � PkEz 2 V
?
k
. Sejam então !k a restrição de ! a Vk � Vk e !
?
k
a restrição de ! a V ?
k
� V ?
k
.
Mostremos que !k é não-degenerada: se
Ez D
kX
jD1
Œ j̨ Exj C ǰ Epj � 2 Vk ;
28
definamos
Ew D
kX
jD1
Œ ǰ Exj � j̨ Epj � 2 Vk :
(lembrar que K D R ou C, e que z D z se e somente se z 2 R) Então segue de (1.47) que
!.Ez; Ew/ D
kX
jD1
.j j̨ j
2
C j ǰ j
2/ ;
logo !.Ez; Ew/ D 0 se e somente se Ez D 0. Suponhamos agora que !?
k
6� 0; então existem
ExkC1; EykC1 2 V
?
k
tais que !?
k
. EykC1; ExkC1/ D !. EykC1; ExkC1/ ¤ 0. Definamos
(1.51) EpkC1 D
1
!. EykC1; ExkC1/
EykC1 ; de modo que !. EpkC1; ExkC1/ D
!. EykC1; ExkC1/
!. EykC1; ExkC1/
D 1 :
Segue de (1.51) e do fato que V D Vk ˚ V
?
k
que fEx1; Ep1; : : : ; ExkC1; EpkC1g é um conjunto linear-
mente independente em V , e
(1.52) !.ExkC1; Exj / D !.ExkC1; Epj / D !. EpkC1; Exj / D !. EpkC1; Epj / D 0 ; j D 1; : : : ; k :
Podemos então repetir o procedimento acima substituindo k por kC1. Como n D dimV <1,
só podemos fazer isso um número finito de vezes – até k D n
2
ou !?
k
� 0. Caso V ?
k
¤ f0g, esco-
lhemos uma base S?
k
D fEq2kC1; : : : ; Eqng qualquer de V
?
k
e definimos Sk D fEx1; Ep1; : : : ; Exk; Epkg,
S D Sk [ S
?
k
.
Teorema 1.33 A matriz A 2Mn�n.K/ de ! na base S construída acima tem a forma
(1.53) A D
"
Ak 0
0 0
#
;
onde Ak 2M2k�2k.K/ é a matriz diagonal em blocos idênticos
(1.54) Ak D
26666666666666664
0 1 0 0 � � � � � � 0 0
�1 0 0 0 � � � � � � 0 0
0 0 0 1
: : :
: : :
:::
:::
0 0 �1 0 0
: : :
:::
:::
:::
:::
: : : 0
: : :
: : : 0 0
:::
:::
: : :
: : :
: : :
: : : 0 0
0 0 � � � � � � 0 0 0 1
0 0 � � � � � � 0 0 �1 0
37777777777777775
:
Definição 1.34 Seja V um espaço vetorial sobre K. Dizemos que uma forma bilinear ! em V é
simplética se ! for anti-simétrica e não-degenerada.
29
Capítulo 2
Formas sesquilineares
Neste Capítulo, o corpo de escalares é sempre C.
2.1 Prólogo. Espaços vetoriais complexos
Seja V um espaço vetorial sobre o corpo K0, e K � K0 um subcorpo de K. Claramente, neste
caso V é também um espaço vetorial sobre K (basta restringirmos a multiplicação escalar a K),
e é conveniente especificarmos com respeito a qual corpo de escalares de V se referem conceitos
básicos de Álgebra Linear.
Por exemplo, uma combinação K-linear de Ex1; : : : ; Exk 2 V é um vetor Ey 2 V da forma
Ey D
Pk
jD1 j̨ Exjcom j̨ 2 K para todo j D 1; : : : ; k, chamados coeficientes da combinação
K0-linear expressa no lado direito. Analogamente, dizemos queW � V é um subespaço vetorial
de V sobre K0 se Ex C Ex0 e ˛ Ex pertencem aW para todo Ex; Ex0 2 W , ˛ 2 K. Dado S � V , o subes-
paço vetorial spanKS gerado por S sobre K é o conjunto das combinações K-lineares (finitas) de
elementos de S , incluindo o zero. Dizemos que S é K-linearmente independente (K-l.i.) se cada
vetor em spanKS é dado por uma única escolha de coeficientes, o que é equivalente a dizer que se
Ex1 : : : ; Exk 2 S satisfazem
Pk
jD1 j̨ Exj D 0, então j̨ D 0 para todo ˛ D 1; : : : ; k. Caso contrário,
dizemos que S é K-linearmente dependente (K-l.d.). Obviamente spanK0S D spanS , e S é l.i.
(resp. l.d.) se e somente se for K0-l.i. (resp. K0-l.d.). Notar que as noções de soma, soma direta e
(in)dependência linear de subespaços vetoriais não fazem referência à escolha deK, portanto não
precisamos especificar sobre qual corpo tais conceitos se aplicam.
Uma aplicação T W V1 ! V2 é dita uma transformação K-linear se T .ExC Ex0/ D T .Ex/C T .Ex0/
e T .˛ Ex/ D ˛T .Ex/ para todo Ex; Ex0 2 V1, ˛ 2 K. Claramente, toda transformação K-linear é
(K0-)linear.
A razão por trás do nosso interesse em considerarmos subcorpos de escalares reside aqui no se-
guinte exemplo. O corpo dos números complexosC é caracterizado, amenos de um isomorfismo
de anéis, pelas seguintes propriedades:
(a) C possui um subcorpo isomorfo a R (e, portanto, identificado com R);
30
(b) C possui um elemento i tal que i2 D �1;
(c) C é o “menor” corpo com as propriedades (a), (b).
O produto de C restrito ao caso em que um dos fatores é real define uma multiplicação escalar
em C, resultando juntamente com a adição numa estrutura de espaço vetorial sobre R em C tal
que R é o subespaço vetorial (unidimensional) L.S 0/ de C gerado por S 0 D f1g. Obviamente,
i 62 L.S/, e portantoC deve ter dimensão (sobre R) no mínimo igual a dois. A condição (c), por
sua vez, implica que dimR C D 2, de modo que S D f1; ig é uma base de C. Usaremos essa base
para identificar C com R2 como espaço vetorial:
(2.1) C � R2 D fz D .x; y/ j x; y 2 Rg ; 1 D .1; 0/ 2 C ; i D .0; 1/ 2 C ;
de modo que
(2.2) z D .x; y/ D x.1; 0/Cy.0; 1/ D x1Cyi D xCyi D xC iy ; x
:
D Rez ; y
:
D Imz :
DenominamosRez (resp. Imz) a parte real (resp. parte imaginária) de z. A operação de produto
em C, por sua vez, deve ser comutativa, associativa, distributiva e satisfazer para todo x; x0 2 R
(2.3) .x; 0/.x0; y 0/ D x.x0; y 0/ D .xx0; xy 0/ ; i2 D .0; 1/.0; 1/ D �1 D .�1; 0/ :
de onde segue por comutatividade e associatividade que .iy/.iy 0/ D �yy 0 para todo y; y 0 2 R.
Tais propriedades implicam que, se z D .x; y/; w D .x0; y 0/ 2 C, então
zw D .x; 0/.x0; y 0/C .0; y/.x0; 0/C .0; y/.0; y 0/
D .xx0 � yy 0; xy 0 C x0y/
D .xx0 � yy 0/C i.xy 0 C x0y/ :
(2.4)
Reciprocamente, nota-se que o produto definido por (2.4) é comutativo, associativo e distribu-
tivo, com elemento neutro 1 D .1; 0/ e satisfazendo i2 D �1, 0 D .0; 0/ ¤ 1 e portanto 0z D 0
para todo z 2 C (Exercício: verifique!). Além disso, xx0 D .x; 0/.x0; 0/ D .xx0; 0/ para todo
x; x0 2 R.
Em suma, verificamos que C é um anel associativo, comutativo e unital quando imbuído da
adição deR2 e do produto (2.4). Para concluirmos queC é de fato um corpo, precisamosmostrar
que todo 0 ¤ z 2 C possui um inverso multiplicativo z�1 (esse inverso é necessariamente único,
pelas outras propriedades já verificadas – verifique!). Para tal, notamos que C possui ainda uma
outra operação, sem análogo em R – a conjugação complexa
(2.5) z D x C iy 7! z D x � iy :
Seguem imediatamente de (2.5) as seguintes propriedades:
(2.6) z C w D z C w ; zw D z � w ; z D z :
31
Mais ainda, z D z (resp. z D �z) se e somente se Imz D 0 (resp. Rez D 0). Neste caso, dizemos
que z é real (resp. imaginário (puro)). Finalmente, notar que
zz D .x C iy/.x � iy/ D .x2 C y2/C i.x.�y/C xy/ D x2 C y2 D kzk2 D kzk2 2 RC ;
onde k � k é a norma Euclideana em R2. Concluímos que
z D 0, kzk2 D kzk2 D zz D 0, z D 0 :
Definimos então omódulo de z 2 C como jzj D kzk. A notação é consistente com o seu uso no
caso real, pois j.x; 0/j D jxj para todo x 2 R. Assim, se 0 ¤ z 2 C, temos que
(2.7) zz D jzj2 ¤ 0 )
1
jzj2
zz D z
�
1
jzj2
z
�
D 1 ) z�1
:
D
1
z
D f rac1jzj2z :
Concluímos destarte que C de fato é um corpo que contém R como um subcorpo (i.e. C é uma
extensão de R).
Observação 2.1 Dado um conjuntoX ¤ ¿, uma aplicação T W X ! X satisfazendo T .T .x// D
x para todo x 2 X é denominada uma involução de X . Involuções são necessariamente bijetoras
e iguais à própria inversa. Assim, segue de (2.6) que z 7! z é um automorfismo involutivo de C.
Podemos então definir espaços vetoriais sobreC demaneira totalmente análoga à definição de
espaço vetoriais sobre R. Como já observado no começo do Capítulo, todo espaço vetorial com-
plexo (i.e. sobreC) é tambémumespaço vetorial real (i.e. sobreR) após restrição damultiplicação
escalar a escalares reais. Da mesma forma, toda transformação C-linear (i.e. uma transformação
linear usual, com respeito à adição e à multiplicação por escalares complexos) entre espaços veto-
riais complexos é também R-linear (i.e. linear com respeito à adição e à multiplicação apenas por
escalares reais).
Conversamente, seja V um espaço vetorial sobre R. Quando podemos dizer que V se origina
de um espaço vetorial complexo através da restrição acima? Para tal, notar que para todo escalar
z 2 C fixo, J.Ev/ D zEv é uma transformação C-linear (e, portanto, R-linear) de V em si mesmo.
Em particular, se Imz ¤ 0, J é uma transformação R-linear que não pode ser entendida como
uma mera multiplicação por um escalar real fixo. Contudo, se z D i , concluímos que J 2 D �1.
Mais em geral, seja J W V ! V uma transformação R-linear satisfazendo J 2 D �1. Podemos
então definir
i Ev D J Ev ; Ev 2 V ;
e portanto
.˛ C iˇ/Ev D .˛1C ˇJ /Ev ; ˛; ˇ 2 R :
Notar que se z; z0 2 C, então
.Rez1C ImzJ /C .Rez01C Imz0J / D Re.z C z0/1C Im.z C z0/J ;
.Rez1C ImzJ /.Rez01C Imz0J / D Re.zz0/1C Im.zz0/J ;
32
logo a linearidade de J implica que V imbuído dessa estrutura adicional satisfaz os axiomas de
um espaço vetorial sobre C. Por isso, é costume denominar J uma estrutura complexa em V .
Obviamente, se V é complexo, então J D i1 é uma estrutura complexa em V , que chamamos de
estrutura complexa canônica de V .
Seja S D fEe1; : : : ; Eeng uma base do espaço vetorial complexo V , e seja
KS D spanRS
:
D
8<: nX
jD1
xj Eej j xj 2 R ; j D 1; : : : ; n
9=; :
o subespaço vetorial real de V gerado por S . Concluímos imediatamente que todo Ez 2 V pode
ser escrito como Ez D Ex C i Ey, onde Ex; Ey 2 KS . Dado U � V , defina
iU D fi Ev jEv 2 U g
– mostraremos agora que S [ iS é linearmente independente sobre R (obviamente, isso é falso
sobre C!). De fato, sejam x1; : : : ; xn; y1; : : : ; yn 2 R tais que
Pn
jD1.xj C iyj /Eej D 0. Como S
é linearmente independente sobre C, concluímos que x1 D � � � D xn D y1 D � � � D yn D 0.
Em suma, concluímos que a dimensão dimR V de V como espaço vetorial real (denominada a
dimensão real deV ) é o dobrodadimensãodimV :D dimC V deV comoespaço vetorial complexo
(denominada a dimensão (complexa) de V ):
dimR V D 2dimC V :
É possível realizar a construção acima na direção contrária, mas para tal precisamos de alguns
preparativos. A conjugação complexa em C nos permite definir o seguinte conceito, que não
possui análogo para espaços vetoriais sobre R:
Definição 2.2 Sejam V1; V2 espaços vetoriais sobre C. Uma aplicação T W V1 ! V2 é dita uma
transformação anti-linear se:
(a) T preserva adição de vetores: T .Ev C Ev0/ D T .Ev/C T .Ev0/;
(b) T preserva multiplicação escalar a menos de conjugação complexa: T .zEv/ D zT .Ev/.
Se V2 D C, dizemos que T é um funcional anti-linear. Denotamos por V � o espaço dos funcionais
anti-lineares em V , que chamamos de dual conjugado de V .
Transformações anti-lineares são claramente R-lineares, mas não são C-lineares– não obs-
tante, adotaremos a notação T .Ev/ D T Ev como no caso linear. Transformações anti-lineares com-
partilhammuitas propriedades com transformações lineares. Se T W V1 ! V2 é anti-linear, então:
� T é unicamente determinada pelos seus valores numa baseS D fEe1; : : : ; Eeng deV1 – a saber,
Ev D
nX
jD1
zj Eej ) T Ev D
nX
jD1
T .zj Eej / D
nX
jD1
zjT Eej I
33
� O núcleo de T
kerT D T �1.0/ D fEv 2 V1 j T Ev D 0g
é um subespaço complexo de V1 (de fato, se Ev; Ev0 2 kerT e z 2 C, então T .Ev C Ev0/ D
T Ev C T Ev0 D 0 e T .zEv/ D zT Ev D 0);
� A imagem de T
ImT D T .V1/ D fT Ev j Ev 2 V1g
é um subespaço complexo de V2 (de fato, se Ev; Ev0 2 V1 e z 2 C, então T EvCT Ev0 D T .EvC Ev0/
e zT Ev D zT Ev D T .zEv/);
� T é injetora se e somente se T Ev D 0) Ev D 0, portanto T é injetora se e somente se para
todo S � V1 linearmente independente temos que T jS é injetora e T .S/ é linearmente
independente. É suficiente verificar a condição para uma única base S de V1; (exercício:
verifique!)
� T é sobrejetora se e somente se para todo S � V1 que gera V1 – i.e.
spanCS
:
D
8<: kX
jD1
zj Eej
ˇ̌̌̌
ˇ zj 2 C; Eej 2 S
9=; D V1/
– temos que T .S/ gera V2. É suficiente verficar a condição para uma única base S de V1;
(exercício: verifique!)
� T é bijetora se e somente se T jS é injetora e T .S/ é base de V2 para alguma base S de V1;
� Autovalores e autovetores de T W V ! V anti-linear são definidos exatamente como no
caso linear. Dizemos que � 2 C é autovalor de T se existe 0 ¤ Ev 2 V tal que T Ev D �Ev –
neste caso, dizemos que Ev é autovetor de T om autovalor V . Contudo, autoespaços de T
com autovalor �
VT;�
:
D fEv 2 V j T Ev D �Evg ; VT;0 D kerT
são apenas subespaços reais deV (salvo se� D 0): se Ev; Ev0 2 VT;� e z 2 C, entãoT .EvCEv0/ D
T Ev C T Ev0 D �.Ev C Ev0/mas T .zEv/ D zT Ev D z�Ev D �.zEv/ ¤ �.zEv/, a menos que Ev D 0,
z D z ou � D 0.
Sejam V1; V2; V3 espaços vetoriais sobre C, T1 W V1 ! V2, T2 W V2 ! V3 transformações
lineares, e T 1 W V1 ! V2, T 2 W V2 ! V3 transformações anti-lineares. Então
(2.8) T2T 1
:
D T2 ı T 1 ; T 2T1
:
D T 2 ı T1 W V1 ! V3
são transformações anti-lineares, e
(2.9) T2T1
:
D T2 ı T1 ; T 2T 1
:
D T 2 ı T 1 W V1 ! V3
34
são transformações lineares. De fato, se Ev 2 V1, z 2 C, então
T2T 1.zEv/ D T2.zT 1Ev/ D zT2T 1Ev ;
T2T 1.zEv/ D T 2.zT1Ev/ D zT 2T1Ev ;
T 2T 1.zEv/ D T 2.zT 1Ev/ D zT 2T 1Ev D zT 2T 2Ev :
Em particular, se uma transformação anti-linear é bijetora (i.e. um isomorfismo anti-linear),
sua inversa também é anti-linear. (exercício: verifique!) O estudo de transformações anti-lineares
pode ser reduzido ao estudo de transformações lineares de duas maneiras. Uma delas é por meio
da seguinte construção:
Definição 2.3 Seja V um espaço vetorial sobre C. O conjugado de V é o espaço vetorial V sobre
C dado por:
� V D V como conjuntos (i.e. ignorando as operações de espaço vetorial);
� A adição de vetores em V é a mesma de V ;
� A multiplicação por escalares N� em V é dada por zN�Ev D zEv, onde o lado direito corresponde
à multiplicação por escalares em V .
Claramente temos que V D V , e que S � V é uma base de V se e somente se S for uma base
de V . (exercício: verifique a última afirmação)
Lema 2.4 Se V1; V2 são espaços vetoriais sobre C e T W V1 ! V2, então são equivalentes as seguintes
afirmações:
(1) T W V1 ! V2 é uma transformação linear (resp. anti-linear);
(2) T W V1 ! V 2 é uma transformação anti-linear (resp. linear);
(3) T W V 1 ! V2 é uma transformação anti-linear (resp. linear);
(4) T W V 1 ! V 2 é uma transformação linear (resp. anti-linear).
Prova. Como transformações lineares e anti-lineares se comportam da mesma ma-
neira com respeito à adição de vetores e essa operação não é alterada ao tomarmos conjugados,
basta verificar o comportamento da multiplicação escalar. No que se segue, Ev 2 V1 e z 2 C.
(1)) (2) Se T W V1 ! V2 é linear, então T .zEv/ D zT Ev D zT Ev D zN�T Ev, logo T W V1 ! V 2 é anti-
linear. Respectivamente, se T W V1 ! V2 é anti-linear, então T .zEv/ D zT Ev D zN�T Ev,
logo T W V1 ! V 2 é linear;
(2)) (1) Substituir V2 por V 2 em (1)) (2) e usar o fato que V 2 D V2;
35
(1)) (3) Se T W V1 ! V2 é linear, então T .zN�Ev/ D T .zEv/ D zT Ev, logo T W V 1 ! V2 é anti-linear.
Respectivamente, se T W V1 ! V2 é anti-linear, então T .zN�Ev/ D T .zEv/ D zT Ev D zT Ev,
logo T W V 1 ! V2 é linear;
(3)) (1) Substituir V1 por V 1 em (1)) (3) e usar o fato que V 1 D V1;
(1), (4) Aplicar (1), (2), substituir V2 por V 2 e aplicar (1), (3).
�
Em vista do Lema 2.4, temos que
L.V 1; V2/ D L.V1; V 2/ D fT W V1 ! V2 anti-linearg ;
L.V1; V2/ D L.V 1; V 2/ D fT W V1 ! V2 linearg ;
L.V 1;C/ D V
� :
Por conveniência, denotaremos por L.V 1; V2/ o espaço vetorial sobre C das transformações
anti-lineares de V1 em V2. A razão de nossa preferência vem do fato que L.V1; V2/ e L.V 1; V2/
herdam de V2 a mesma estrutura “pontual” de espaço vetorial complexo – a saber, dados T; T
0
em L.V1; V2/ ou L.V 1; V2/, e z 2 C,
.T C T 0/Ev D T Ev C T 0Ev ; .zT /Ev D zT Ev :
Tambémadotamos anotaçãoL.V / D L.V ; V /parao espaçodas transformações anti-lineares
de V em V . Contudo, nosso uso de conjugados se restringirá apenas à motivação para a notação
adotada acima.
Outro método, mais conveniente e poderoso, para reduzir o estudo de transformações anti-
lineares ao caso linear nasce da observação que um exemplo simples de transformação anti-linear
é dado por V D C, T z D z. Tal exemplo possui a propriedade de ser uma aplicação involutiva,
i.e. T 2 D 1. Mais em geral, se V D Cn 3 Ez D .z1; : : : ; zn/, a aplicação Ez� D .z1; : : : ; zn/ é
também anti-linear e involutiva. Em particular, Ez� D Ez se e somente se Ez D .x1; : : : ; xn/ com
x1; : : : ; xn 2 R e Ez� D �Ez se e somente se Ez D .iy1; : : : ; iyn/ com y1; : : : ; yn 2 R. Esse exemplo
nos motiva a escrever:
Definição 2.5 Seja V um espaço vetorial sobre C. Uma conjugação em V é uma transformação
anti-linear � W V 3 Ez 7! Ez� 2 V involutiva, i.e. Ez�� D Ez para todo Ez 2 V .
Dado Ez 2 V , definamos
Ez˙ D
1
2
.Ez ˙ Ez�/ ;
de modo que
Ez D EzC C Ez� ; Ez
�
˙
D ˙Ez˙ ; para todo Ez 2 V :
Conversamente, dado Ez 2 V sejam Ez1; Ez2 2 V tais que Ez D Ez1 C Ez2, Ez
�
1 D Ez1 e Ez
�
2 D �Ez2.
Então Ez� D Ez
�
1 C Ez
�
2 D Ez1 � Ez2 e portanto Ez1 D EzC, Ez2 D Ez�. Ou seja, se V˙.3 Ez˙/ são os
36
autoespaços (reais) de
�
com autovalores˙1, então V D VC ˚ V�. Notar que se Ez
� D ˙Ez, então
.i Ez/� D �i Ez� D �.i Ez/. Ou seja, V� D iV˙.
Pode-se mostrar que os únicos autovalores de uma conjugação � em V são ˙1. De fato, se
0 ¤ Ez 2 V for tal que Ez� D ˛Ez para algum ˛ 2 C, temos nesse caso que Ez˙ D
1˙˛
2
Ez. Como
vimos no parágrafo anterior que VC\V� D f0g, a única possibilidade para ˛ é que 1C˛ D 0 ou
1 � ˛ D 0, como desejado.
Dada uma base S D fEe1; : : : ; Eeng de V , existe uma única transformação anti-linear
� W V ! V
tal que Ee
�
j D Eej para todo j D 1; : : : ; n, a saber
(2.10) V 3 Ev D
nX
jD1
zj Eej 7! Ev
�
D
nX
jD1
zj Eej :
Essa transformação anti-linear é claramente involutiva e portanto uma conjugação, reproduzindo
o exemplo dado acima para V D Cn quando escolhemos neste caso a base canônica de Cn. Em
particular, como
�
é R-linear, o subespaço real de V gerado por S consiste precisamente nos ve-
tores em V que são preservados por �:
(2.11) KS
:
D spanRS D fEx 2 V j Ex
�
D Exg :
A propriedade (2.11) pode ser abstraída por meio do seguinte conceito:
Definição 2.6 Seja V um espaço vetorial sobre C. Uma forma real ou realificação de V é um
subespaço vetorial real K de V tal que V D K˚ iK, isto é, dado Ev 2 V , existem Ex; Ey 2 K únicos
tais que Ev D Ex C i Ey.
Como visto acima, se S é uma base de V , entãoKS é uma forma real de V . Conversamente,
seja K uma forma real de V e S D fEe1; : : : ; Eeng uma base (real) de K. Provaremos que S é uma
base complexa de V . Segue imediatamente da definição de forma real que S gera V como espaço
vetorial complexo, então basta provar queS é linearmente independente emV .De fato, suponha
que existem z1; : : : ; zn 2 C tais que
nX
jD1
zj Eej D
nX
jD1
.Rezj /Eej C i
nX
jD1
.Imzj /Eej D 0 ;
de modo que
K 3
nX
jD1
.Rezj /Eej D �i
nX
jD1
.Imzj /Eej 2 iK :
ComoK \ iK D f0g, concluímos que
nX
jD1
.Rezj /Eej D
nX
jD1
.Imzj /Eej D 0 ;
37
logo Rezj D Imzj D 0 para todo j D 1; : : : ; n pois S é uma base (real) deK.
Podemos associar a cada forma realK de V uma conjugação �, a saber:
(2.12) Ez D Ex C i Ey 7! Ez� D Ex � i Ey ; Ex; Ey 2 K :
�
é claramente involutiva; mais ainda, dados Ez D Ex C i Ey; Ez0 D Ex0 C i Ey 0 com Ex; Ey; Ex0; Ey 0 2 K,
˛; ˇ 2 C, temos que
.˛Ez C ˇEz0/� D Œ.Re˛ Ex � Im˛ Ey CReˇ Ex0 � Imˇ Ey 0/C i.Im˛ Ex CRe˛ Ey C Imˇ Ex0 CReˇ Ey 0/��
D .Re˛ Ex � Im˛ Ey CReˇ Ex0 � Imˇ Ey 0/ � i.Im˛ Ex CRe˛ Ey C Imˇ Ex0 CReˇ Ey 0/
D ˛Ez� C ˇEz0� ;
ou seja,
�
é anti-linear e portantouma conjugação emV . Outrossim, podemos escrever demaneira
análoga à conjugação complexa em C
(2.13) K D fEx 2 V j Ex� D Exg ;
de modo que a anti-linearidade de
�
implica
(2.14) iK D fEv 2 V j Ev� D �Evg :
Conversamente, toda conjugação em V define uma forma real em V por meio de (2.13). Neste
caso, as fórmulas (2.13) e (2.14) mostram queK \ iK D f0g, pois então Ev 2 K \ iK se e somente
se Ev� D Ev D �Ev. Escrevendo
(2.15) Ez D
1
2
.Ez C Ez�/C
1
2
.Ez � Ez�/ ) Ez� D
1
2
.Ez C Ez�/ �
1
2
.Ez � Ez�/ ;
concluímos que V D KC iK, logoK é uma forma real de V . Finalmente, (2.15) implica também
que
�
é a conjugação obtida a partir deK por (2.12). Concluímos destarte o seguinte
Teorema 2.7 Seja V um espaço vetorial sobre C (não necessariamente de dimensão finita). Existe
uma correspondência biunívoca entre conjugações em V e formas reais de V , dada por (2.12) e
(2.13). �
Mais em geral, dado um espaço vetorialK sobreR, podemos construir um espaço vetorialKC
sobreC e um isomorfismoR-linear canônico entreK e uma forma real deKC, denotada portanto
pelo mesmo símbolo. Definamos, como espaço vetorial sobre R,
(2.16) KC D K �K ; K Š K � f0g D f.Ex; 0/ j Ex 2 Kg :
Existe uma estrutura complexa canônica J emKC, análoga à multiplicação por i em C:
(2.17) J.Ex; Ey/ D .�Ey; Ex/ ; de modo que Ez D .Ex; Ey/ D .Ex; 0/C J. Ey; 0/
38
(Exercício: verifique que J 2 D �1). Segue imediatamente que K é uma forma real de KC, me-
diante a identificação feita em (2.16), e a conjugação associada aK é dada por .Ex; Ey/� D .Ex;�Ey/,
que chamamos de conjugação canônica deKC. Dizemos então queKC é a complexificação deK.
Como prometido, conjugações nos fornecem uma maneira mais prática de reduzir o estudo
de transformações anti-lineares ao estudo de transformações lineares. Dados espaços vetoriais
V1; V2 sobre C e uma conjugação � em V1, a aplicação
(2.18) L.V 1; V2/ 3 T 7! T ı
�
2 L.V1; V2/
é um isomorfismo linear, con a óbvia inversa L.V1; V2/ 3 T 7! T ı� 2 L.V 1; V2/ (Exercício:
verifique a linearidade de (2.18)). Em particular, se T W V1 ! V2 é anti-linear, temos queN.T / D
N.T ı�/ eR.T / D R.T ı�/ para qualquer conjugação � em V (Exercício: verifique!).
2.2 Definições básicas e exemplos simples
Definição 2.8 Sejam V1; V2 espaços vetoriais sobre C. Uma forma sesquilinear em V1 � V2 é
uma aplicação ! W V1 � V2 ! C satisfazendo as seguintes condições:
(i) ! é anti-linear na primeira variável, i.e.
(2.19) !.˛Ez C ˇEz0; Ew0/ D ˛!.Ez; Ew/C ˇ!.Ez0; Ew/
para todo Ez; Ez0; Ew 2 V , ˛; ˇ 2 C. Equivalentemente, !.�; Ew/ é um funcional anti-linear em
V para todo Ew 2 V ;
(i) ! é linear na segunda variável, i.e.
(2.20) !.Ez; ˛ Ew C ˇ Ew0/ D ˛!.Ez; Ew/C ˇ!.Ez; Ew0/
para todo Ez; Ew; Ew0 2 V , ˛; ˇ 2 C. Equivalentemente, !.Ez; �/ é um funcional linear em V
para todo Ez 2 V .
No caso em que V1 D V2 D V , dizemos que ! é uma forma sesquilinear em V .
Não discutiremos o caso mais geral de aplicações sesquilineares, cujo contradomínio é substi-
tuídonaDefinição 2.8porumespaço vetorial complexoW . Obviamente, toda forma sesquilinear
! em V1 � V2 é R-bilinear. Contudo, se ! 6� 0, então ! não pode ser (C-)bilinear, pois
!.Ez; Ew/ ¤ 0 ) !.i Ez; Ew/ D �i!.Ez; Ew/ ¤ i!.Ez; Ew/ :
Por outro lado, concluímos analogamente ao Lema 2.4 que (Exercício: verifique!)
Lema 2.9 Se V1; V2 são espaços vetoriais sobre C, então são equivalentes as seguintes afirmações:
39
� ! W V1 � V2 ! C é uma forma sesquilinear em V1 � V2;
� ! W V 1 � V2 ! C é uma forma bilinear em V 1 � V2.
Além disso, se ! W V1 � V2 ! C é uma forma sesquilinear (resp. bilinear) em V1 � V2 e � é uma
conjugação em V1, então
(2.21) !�.Ez; Ew/
:
D !.Ez�; Ew/
define uma forma bilinear (resp. sesquilinear) em V1 � V2, de modo que !�� D !. �
Graças ao Lema 2.9, podemos reduzir muitas considerações sobre formas sesquilineares ao
que já fizemos para formas bilineares. Em particular, podemos denotar por L. NV1; V2IC/ o con-
junto das formas sesqulineares em V1 � V2. Além disso, L.V 1; V2IC/ herda do contra-domínio
comum C as operações “pontuais” de adição
(2.22) .!1 C !2/.Ez; Ew/ D !1.Ez; Ew/C !2.Ez; Ew/
e multiplicação por escalares ˛ 2 C
(2.23) .˛!1/.Ez; Ew/ D ˛!1.Ez; Ew/ ;
que tornam L.V 1; V2IC/ um espaço vetorial sobre C (Exercício: dadas !1; !2 2 L.V 1; V2IC/ e
˛; ˇ 2 C, mostre que ˛!1 C ˇ!2 2 L.V 1; V2IC/). A aplicação ! 7! !� define, pelo Lema 2.9,
um isomorfismo linear deL.V 1; V2IC/ emL.V1; V2IC/ e vice-versa. Assim, exemplos de formas
sesquilineares, podemos citar:
(a) Seja V D C2, e � a conjugação (2.10) associada à base canônica de V . Dados Ez D .z1; z2/,
Ew D .w1; w2/ 2 V , seja a forma bilinear !.Ez; Ew/ D z1w1C z2w2 (ver exemplo (a) da Seção
1.1). Então !�.Ez; Ew/ D z1w1 C z2w2 é uma forma sesquilinear em V , pelo Lema 2.9.
(b) SejaV D Cn, e � a conjugação (2.10) associada àbase canônica deV . Dados Ez D .z1; : : : ; zn/,
Ew D .w1; : : : ; wn/ 2 V , seja a forma bilinear !.Ez; Ew/ D
Pn
jD1 zjwj (ver exemplo (b) da
Seção 1.1). Então !�.Ez; Ew/ D
Pn
jD1 zjwj é uma forma sesquilinear em V , pelo Lema 2.9.
(c) Seja V D C2, e � a conjugação (2.10) associada à base canônica de V . Dados Ez D .z1; z2/,
Ew D .w1; w2/ 2 V , seja a forma bilinear !.Ez; Ew/ D z1w2 � z2w1 (ver exemplo (c) da Seção
1.1). Então !�.Ez; Ew/ D z1w2 � z2w2 é uma forma sesquilinear em V , pelo Lema 2.9.
(Exercício: verifique diretamente, i.e. sem usar conjugações, que os exemplos (a)–(c) são de
fato formas sesquilineares)
Dada uma forma sesquilinear ! em V , definimos a aplicação !�.Ez; Ew/ D !. Ew; Ez/, Ez; Ew 2 V .
É imediato verificar (Exercício: faça isso!) que !� é uma forma sesquilinear em V , e que � é uma
conjugação em L.V ; V IC/. Dizemos então que uma forma sesquilinear ! em V é:
40
� Hermiteana se !� D !, i.e. !.Ez; Ew/ D !. Ew; Ez/ para todo Ez; Ew 2 V .
� Anti-Hermiteana se !� D �!, i.e. !.Ez; Ew/ D �!. Ew; Ez/ para todo Ez; Ew 2 V .
Denotamos a forma real de L.V ; V IC/ associada a �, dada pelas formas sesquilineares Her-
miteanas, por L�.V ; V IC/. Claramente, iL�.V ; V IC/ consiste nas formas sesquilineares anti-
Hermiteanas. Dos exemplos listados acima, temos que (a) e (b) são formas sesquilineares Hermi-
teanas, e (c) é uma forma sesquilinear anti-Hermiteana.
Seguedadiscussão logo após aDefinição 2.5 o seguinte refraseamentodo fatodequeL�.V ; V IC/
é uma forma real de L.V ; V IC/:
Lema 2.10 Seja ! uma forma sesquilinear em V . Então existe uma única forma sesquilinear
Hermiteana !C e uma única forma sesquilinear anti-Hermiteana !� tais que ! D !C C !�.
Mais precisamente, podemos escrever !˙ D 12.! ˙ !�/, i.e.
(2.24) !˙ D
1
2
.!.Ez; Ew/˙ !�.Ez; Ew// D
1
2
.!.Ez; Ew/˙ !. Ew; Ez// :
�
Segue, portanto, que podemos dividir o estudo de formas sesquilineares em V nos casosHer-
miteano e anti-Hermiteano. Isso será feito respectivamente nas Seções 2.6 e 2.7 mais adiante.
2.3 A matriz de uma forma sesquilinear
Definição 2.11 Seja V um espaço vetorial sobre C, e S D fEe1; : : : ; Eeng uma base de V . A matriz
de uma forma sesquilinear ! em S é a matriz A 2Mn�n.C/ dada por
(2.25) Aij D !.Eei ; Eej / :
Dados Ez; Ew 2 V e ! 2 L.V ; V IC/, podemos expressar !.Ez; Ew/ em termos deA e das compo-