A2 - CALCULO III - RAFAEL LEITE

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Questão 1 [ 2,0 pontos] (NÍVEL 1) 
No cálculo vetorial o gradiente (ou vetor gradiente) é um vetor que indica o sentido e a direção na 
qual, por deslocamento a partir do ponto especificado, obtém-se o maior incremento possível no 
valor de uma grandeza a partir da qual se define um campo escalar para o espaço em consideração. 
Constrói-se assim, a partir do campo escalar e de um operador denominado operador gradiente, 
um campo vetorial, que atrela a cada ponto do espaço o correspondente vetor gradiente para a 
grandeza em consideração. 
O módulo do vetor gradiente indica a taxa de variação da grandeza escalar com relação à distância 
movida quando desloca-se na direção e sentido do vetor gradiente (deslocamentos infinitesimais). 
O campo vetorial e o operador gradientes possuem diversas aplicações em matemática e ciências 
naturais, indo desde o cálculo de derivadas direcionais à maximização das mesmas. A exemplo, a 
partir do gradiente do potencial elétrico determina-se o campo elétrico; e a partir do gradiente 
da energia potencial determina-se o campo de força associado. 
Considerando que a função que determina a variação de temperatura em uma chapa é dada por: 
 
𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝟒𝒙𝟑 − 𝟐𝒙𝒚 
 
De acordo com os conceitos ministrados em aula e a conceituação acima, responda: 
 
a) Qual o vetor gradiente da situação apresentada? 
 
b) Quanto vale o gradiente encontrado em um ponto representado por P (2,1)? 
 
c) Quanto vale a derivada direcional de 𝒇 em P na direção de R(2,5) para Q(3,8).(1,0pt) 
 
Questão 2 [ 2,0 pontos] (NÍVEL 2) 
Marcos e André aceitaram o desafio de tentar “adivinhar” qual era o saldo da conta bancária em 
uma disputa. Cada um escreveu um desafio que ao ser resolvido deve-se considerar penas a parte 
inteira do resultado e na casa dos mil reais. Tente ajudar os 2 desafiantes a resolver esse mistério. 
 
• Desafio proposto por Marcos: 
∫ ∫ (𝟑𝒙𝟐𝒚) 𝒅𝒙 𝒅𝒚
𝟓
𝟎
𝟑
𝟏
 
 
• Desafio proposto por André: 
 ∫ ∫ (𝒙 + 𝟐𝒚)𝒅𝒚𝒅𝒙
𝟒
𝟏
𝟒
𝟑
 
 
 
 
 
 
https://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_vetorial
https://pt.wikipedia.org/wiki/Campo_escalar
https://pt.wikipedia.org/wiki/Campo_escalar
https://pt.wikipedia.org/wiki/Operador
https://pt.wikipedia.org/wiki/Campo_vetorial
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ci%C3%AAncias_naturais
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ci%C3%AAncias_naturais
https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Derivada_direcional&action=edit&redlink=1
https://pt.wikipedia.org/wiki/Potencial_el%C3%A9trico
https://pt.wikipedia.org/wiki/Campo_el%C3%A9trico
https://pt.wikipedia.org/wiki/Energia_potencial
https://pt.wikipedia.org/wiki/For%C3%A7a
 
Questão 3 [ 2,0 pontos] (NÍVEL 3) 
Os cálculos relacionados a áreas de figuras planas regulares são de certa forma realizados facilmente, 
devido às fórmulas matemáticas existentes. No caso de figuras como o triângulo, quadrado, 
retângulo, trapézios, losangos, paralelogramo entre outras, basta relacionarmos as fórmulas à figura 
e realizar os cálculos necessários. Algumas situações exigem ferramentas auxiliares na obtenção de 
áreas, como exemplo as regiões existentes sob uma curva. 
Para tais situações utilizamos os cálculos envolvendo as 
noções de integrações desenvolvidas por Isaac Newton e 
Leibniz. 
Podemos representar algebricamente uma curva no plano 
através de uma lei de formação chamada função. A 
integral de uma função foi criada no intuito de determinar 
áreas sob uma curva no plano cartesiano. Os cálculos 
envolvendo integrais possuem diversas aplicações na 
Matemática e na Física. 
 
Sabendo das informações acima, calcule através de uma integral dupla, a área da região limitada 
pelas parábolas 𝒚 = 𝒙𝟐 − 𝟔𝟒 𝒆 𝒚 = 𝟔𝟒 − 𝒙𝟐 dadas em 𝒎𝟐. 
 
a) Construa os gráficos com os pontos de interseção e os cortes no eixo y de cada função. (1,0 pt) 
b) Encontre a área solicitada. (1,0 pt) 
 
 
Questão 4 [2,0 pontos] 
Em matemática — em particular, em cálculo em multivariáveis — o termo integral de 
volume refere-se a uma integral tripla de uma função. Para calcular a integral tripla de uma função 
𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) de um sólido finito G divide-se um sólido em pequenos cubos ou caixas imaginárias de 
volume Faz-se então a Soma Riemann: 
 
Repetindo o processo várias vezes de modo que n tenda 
para mais infinito e a altura, largura e comprimento das 
caixas imaginárias tendam para zero: 
 
Ou seja, para um sólido genérico, temos que o volume de uma região G é: 
 
Sabendo o conceito e como se determina um volume dos sólidos regulares e irregulares, Pedro precisa 
calcular o volume de um tanque de combustível (em milhares de litros – x1000), através da integral 
múltipla abaixo. Sabendo que todo esse volume será transportado em caminhões que comportam 
4000 litros. Quantos caminhões precisaremos para escoar todo o combustível do tanque? 
 
 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica
https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=C%C3%A1lculo_em_multivariaveis&action=edit&redlink=1
https://pt.wikipedia.org/wiki/Integral
https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_(matem%C3%A1tica)
https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=S%C3%B3lido_finito&action=edit&redlink=1
https://pt.wikipedia.org/wiki/Riemann
 
 ∫ ∫ ∫ (𝒙𝟐𝒚) 𝒅𝒛 𝒅𝒚 𝒅𝒙
𝟒
𝟎
𝟐
𝟎
𝟑
𝟎