analise matematica 1 lista 2

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2 etapa – Lista 2
Analise Matemática 
1. Prove que se ∑an é absolutamente convergente, então ∑a2n converge.
R:se a série ∑an for uma serie de termos positivos, então ∑a2n = an então a convergência é absoluta
2. Se uma série converge, prove que seu termo geral tende a zero. A recíproca é verdadeira?
R: considere as somas parciais Sn= ∑N n=1an queremos mostrar que a convergência de Sn implica que o limite lim an n--∞ exista e seja nulo ,como a sequência Sn é convergente, ela também é uma sequência de cauchy(pois estes conceitos são equivalentes em espaços métricos completo)logo temos que para todo K positivo, vale o limite lim(Sn+K-Sn)=0 n---∞ se o limite lim Sn n--∞ existe então lim Snn---∞ = lim Sn-1 n--∞ e lim an n--∞ =lim(Sn-Sn-1) n--∞ = S-S=0
A reciproca não é verdadeira quando a serie é harmônica , onde o termo geral 1/n tende a zero,mas a soma não converge ou diverge já a serie geométrica a reciproca é verdadeira onde o termo geral é ½ e converge mas o teste é inconclusivo pois pode convergir como divergir 
3. Calcule a soma das seguinte séries:
 
4. Classifique os itens em Verdadeiro ou Falso.
(a) Um subconjunto de R é fechado se, e somente se seu complementar é aberto. ( X ) Verdadeiro	( ) Falso
( b ) X ∩ Y = X ∩ Y para quaisquer X,Y subconjunto dos reais. ( X ) Verdadeiro	( ) Falso
(c ) Para todo X ⊂ R, temos que X = X ∪ X ‘ , ( X ) Verdadeiro	( ) Falso
( d )Se o supremo de um conjunto A existe, então ele pertence a A. ( ) Verdadeiro ( X ) Falso
( e )Se X ‘ ≠ ∅, então X é infinito. ( ) Verdadeiro	( X ) Falso
 5. Prove que int(A) ∪ int(B) ⊂ int(A ∪ B) para quaisquer conjuntos A,B ⊂ R.
6. Se f : [a,b] → [a,b] é contínua, mostre que existe c ∈ [a,b] tal que f(c) = c.
(Dica: considere a função auxiliar g(x) = f(x) − x).
7. Enuncie três teoremas importantes de análise matemática que estudamos.
R : (primeiro teorema)Se o Supremo de um conjunto A existe, então ele pertence a A
(segundo teorema)Um Subconjunto de R é fechado se , e somente se seu complementar é aberto
(terceiro teorema) Sejam (a) um inteiro dado e (S) um conjunto de inteiros maiores ou iguais a (a), que tem as seguintes propriedades:
a) a ∈ S; 
b) Se um inteiro k ≥ a pertence a S, então k +1 também pertence a S.
Então S é o conjunto de todos os inteiros maiores ou iguais a (a).
8. Dê um exemplo de uma função f : R → R que seja
(a) descontínua em um único ponto; 
(b) descontínua em todos os reais.
Definição: Escrevemos lim x→a f(x) = +∞ para significar que dado M > 0 arbitrário, existe δ > 0 tal que 0 < |x − a| < δ implica que f(x) > M.
9. Seja f : (a,b) → R contínua e f(x) = 0 para cada x ∈ (a,b) ∩ Q. Prove que f(x) = 0 para todo x ∈ (a,b).
10. Seja K ⊂ R compacto. Se f : K → K ´e tal que |f(x) − f(y)| ≤ |x − y| para todo x , y ∈ K, prove que f possui um único ponto fixo. (Sugestão: Tome x n = f n(x), x ∈ K)