Lista_Metodos_Numericos2

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LISTA METODOS NUMERICOS 2 
SISTEMAS LINEARES 
 
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2x1 + 1x2 + 4x3 − 2x4 = 19 
4x1 + 3x2 + 2x3 + 1x4 = 1 
− 
1. O que s o sistemas lineares? 
2. Quais os m todos utilizados para resolver sistemas lineares? 
3. O que um m todo direto? O que um m todo iterativo? 
4. O que signi ca pivota o? Qual a sua utilidade? 
5. O que uma matriz diagonalmente dominante? Qual a sua utilidade? 
6. Resolva o seguinte sistema de equa es usando o m todo de elimina o de Gauss: 
 
x1 + 2x2 − 2x3 = 9 
2x1 + 3x2 + 1x3 = 23 
3x1 + 2x2 − 4x3 = 11 
7. Resolva o sistema de equa es a seguir usando o m todo de elimina o de Gauss: 
 
3x1 + 4x2 + 3x3 + 2x4 = 1 
 x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = −1 
 
8. Resolva o sistema de equa es a seguir usando o m todo de elimina o de Gauss-Jordan: 
 
 
−3x1 + 4x2 + 2x3 − 1x4 = 1 
3x1 + 5x2 2x3 + 1x4 = 8 
−2x1 + 3x2 + 2x3 + 4x4 = 13 
9. Resolva o seguinte sistema com a decomposi o LU usando o procedimento de elimina o 
de Gauss. 
 
 
5x1 − 1x2 + 0x3 = 9 
−1x1 + 5x2 − 1x3 = 4 
0x1 − 1x2 + 5x3 = −6 
 
10. Realize as tr s primeiras itera es da solu o do seguinte sistema de equa es usando o 
m todo iterativo de Jacobi. Como primeira tentativa da solu o, assuma que os valores 
das inc gnitas sejam iguais a zero. 
2x + 3x + 4x + 3x = −11
 2 3 4 
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8x1 + 2x2 + 3x3 = 51 
2x1 + 5x2 + 1x3 = 23 
−3x1 + 1x2 + 6x3 = 20 
11. Realize as tr s primeiras itera es da solu o do seguinte sistema de equa es usando o 
m todo iterativo de Gauss-Seidel. Como primeira tentativa da solu o, assuma que os 
valores das inc gnitas sejam iguais a zero. 
 
8x1 + 2x2 + 3x3 = 51 
2x1 + 5x2 + 1x3 = 23 
−3x1 + 1x2 + 6x3 = 20 
12. Disserte sobre ajuste de curvas e interpola o. 
13. Com base no seguinte conjunto de dados: 
 
x 2 5 6 8 9 13 15 
y 7 8 10 11 12 14 15 
(a) Use a regress o linear por m nimos quadrados para determinar os coe cientes a0 e 
a1 da fun o y = a1x + a0 que melhor se ajusta aos dados. 
(b) Determine o erro total. 
14. Com base no seguinte conjunto de dados: 
 
x 2 5 6 8 9 13 15 
y 7 8 10 11 12 14 15 
(a) Use a regress o polinomial por m nimos quadrados para determinar os coe cientes 
a0, a1 e a2 da fun o y = a2x2 + a1x + a0 que melhor se ajusta aos dados. 
(b) Determine o erro total. 
15. Os dados a seguir fornecem a popula o aproximada do mundo em anos selecionados de 
1850 at 2000. 
 
Ano 1850 1900 1950 1980 2000 
Popula o (Bilh es) 1,3 1,6 3 4,4 6 
 
Assuma que o crescimento da popula o possa ser modelado por uma fun o exponencial 
p = bemx, onde x o ano e p a popula o em bilh es. Linearize essa fun o e use a 
regress o linear por m nimos quadrados para determinar as constantes b e m para as 
quais a fun o fornece o melhor ajuste para os dados. Use essa equa o para estimar a 
popula o em 1970. 
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mx+b 
x (m) 0 5 10 15 20 25 
v (m/s) 0 9,85 14,32 17,63 19,34 22,41 
 
16. Com base no seguinte conjunto de dados: 
 
x -0,2 -0,1 0,2 0,7 1,3 
y 5,2 3 0,6 0,4 0,2 
 
Determine os coe cientes m e b da fun o y = 1 que melhor se ajusta aos dados 
(linearize a equa o e use a regress o linear por m nimos quadrados para determinar o 
valor dos coe cientes). 
17. Para medir g (a acelera o da gravidade), realiza-se o experimento a seguir. Uma bola 
 solta do topo de um edif cio de 30 m de altura. medida que o objeto vai caindo, 
sua velocidade v vai sendo medida em v rias alturas por sensores presos ao edif cio. Os 
dados medidos no experimento s o fornecidos na tabela. 
Em termos das coordenadas mostradas na gura (positivo para baixo), a velocidade da 
bola em fun o da dist ncia x dada por v2 = 2gx. Usando a regress o linear, determine 
o valor experimental de g. 
18. A economia de um carro (km/litro) varia com sua velocidade. Em um experimento, s o 
feitas as cinco medi es a seguir. 
 
Velocidade (km/h) 16 40 64 88 112 
Economia (km/litro) 4,2 9,2 10 10,7 8,6 
 
Determine o polin mio de Lagrange de quarta ordem que passa pelos pontos. Use esse 
polin mio para calcular a economia de combust vel a 105 km/h. 
19. Encontre o polin mio interpolador de Lagrange (2 ordem) para a fun o f (x) = 
√
x 
usando x1 = 0, x2 = 1 e x3 = 4. Em seguida, determine o valor do polin mio para 
x = 0, 5. 
20. A economia de um carro (km/litro) varia com sua velocidade. Em um experimento, s o 
feitas as cinco medi es a seguir. 
 
Velocidade (km/h) 16 40 64 88 112 
Economia (km/litro) 4,2 9,2 10 10,7 8,6 
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Determine o polin mio de Newton de quarta ordem que passa pelos pontos. Use esse 
polin mio para calcular a economia de combust vel a 105 km/h. 
21. Encontre o polin mio interpolador de Newton (2 ordem) para a fun o f (x) = log2x 
usando x1 = 1, x2 = 2 e x3 = 4. Em seguida, determine o valor do polin mio para 
x = 1, 5. 
22. O que Spline? Qual a sua utilidade? 
23. (Quest o Aberta) Escolha uma quest o relacionada a solu o de sistemas lineares usando 
o m todo LU e responda. (Obs: N o pode usar quest es j resolvidas em sala de aula. 
Procure na Internet, Livro, Youtube, Instagram, Facebook, Vimeo ou crie voc mesmo.) 
24. (Quest o Aberta) Escolha uma quest o relacionada a polin mio interpolador de La- 
grange e responda. (Obs: N o pode usar quest es j resolvidas em sala de aula. Procure 
na Internet, Livro, Youtube, Instagram, Facebook, Vimeo ou crie voc mesmo.) 
25. (Quest o Aberta) Escolha uma quest o relacionada a polin mio interpolador de Newton 
e responda. (Obs: N o pode usar quest es j resolvidas em sala de aula. Procure na 
Internet, Livro, Youtube, Instagram, Facebook, Vimeo ou crie voc mesmo.) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESOLUÇÃO