TRABALHO FÍSICA - LANÇAMENTO PROJÉTIL (2)

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INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SÃO PAULO 
 
 
 
 
 
 
EVERTON ZANAZZI 
 
MARIA CLARA BARBOSA 
 
NATHALIA TAVARES 
 
 
 
 
TRABALHO PROJETO EXPERIMENTAL LANÇAMENTO PROJÉTEIS 
COM UTILIZAÇÃO DO SIMUADOR PROJECT MOTION 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATÃO 
2021 
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LISTA DE FIGURAS 
 
 
 
Figura 1 – Demonstrativo de um projétil de lançamento ........................................................ 06 
Figura 2 – Lançamento simulador projétil Protject-Motion. ................................................... 11 
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SUMÁRIO 
 
 
1. INTRODUÇÃO...................................................................................................................04 
2. OBJETIVO..........................................................................................................................05 
3. REALIZAÇÃO DO EXPERIMENTO ........................................................................... ..06 
4. RESULTADOS....................................................................................................................12 
5. DISCUSSÃO........................................................................................................................13 
6. CONCLUSÃO.....................................................................................................................14 
7. REFERÊNCIAS..................................................................................................................15
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1. INTRODUÇÃO 
 
Ao se estudar o movimento de corpos sob ação da gravidade, observa-se algumas 
características, que intrigaram muitos cientistas ao longo da história. Assim, por exemplo, 
poderia se perguntar porque corpos lançados para cima, caem novamente ao solo. Ao lançar 
um projétil, observa-se que a sua trajetória é uma curva. Em particular, se o arremesso for 
feito horizontalmente a partir de uma determinada altura em relação à superfície, a trajetória é 
inclinada para baixo logo após o lançamento. Galileu Galilei foi o primeiro cientista a 
responder qual seria a curva descrita por este projétil e sugeriu que o movimento poderia ser 
descrito através da composição de dois movimentos: Um Movimento Retilínio Uniforme 
(MRU) na horizontal e um Movimento Retilíneo Uniformemente Acelerado (MRUA) na 
vertical, sujeito à aceleração da gravidade, análogo ao movimento de queda livre. É 
importante observar que estas aproximações valem quando a inuência da resistência do ar 
pode ser desprezada e quando o movimento ocorre próximo à superfície da Terra, ou seja, em 
alturas muito pequenas comparadas com o raio da Terra, que é de aproximadamente 6370 km. 
Além disso, considera-se a superfície da Terra como sendo plana. Considere o lançamento de 
um projétil de massa m por um canhão inclinado de um ângulo θ, conforme mostra a gura 
Fig.1. O projétil é lançado do repouso, sobre a superfície da Terra, a partir da origem de um 
sistema de coordenadas xy. O projétil abondona o canhão com uma velocidade inicial ~v0. A 
partir daí, o projétil descreve uma trajetória curvilínea até atingir o solo a uma distância x = A, 
denominada de alcance. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2. OBJETIVO 
 
Estudar o comportamento de projéteis quando lançados na superfície da terra. 
Determinar o comportamento e a trajetória do projétil através de um simulador de 
lançamento. 
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3. REALIZAÇÃO DO EXPERIMENTO 
 
 
Fig.1. O projétil é lançado do repouso, sobre a superfície da Terra, a partir da origem de 
um sistema de coordenadas xy. O projétil abondona o canhão com uma velocidade inicial ~v0. 
A partir daí, o projétil descreve uma trajetória curvilínea até atingir o solo a uma distância x = 
A, denominada de alcance. 
 
Figura 1: Demonstrativo de um projétil de lançamento. 
 
De acordo com a proposta de Galileu, o movimento do projétil é decomposto em duas 
partes discutidas abaixo. 
Movimento Vertical 
Nesta etapa, o projétil descreve um Movimento Retilíneo Uniformemente Acelerado 
(MRUA), cuja equação da posição vertical y(t) em função do tempo t, é: 
 
 
 
 
 
 equação 1 
 
onde y0 é a altura inicial do projétil, vy0 é a velocidade inicial vertical e ay é a celeração 
vertical que, em módulo, é igual a aceleração da gravidade g. Assumindo y0 = 0, vy0 = v0senθ e 
ay = −g, a Eq.1, torna-se 
 
 
 
 
 equação 2 
 
Movimento Horizontal 
Nesta etapa, o projétil descreve um Movimento Retilíneo Uniforme(MRU), cuja equação 
da posição horizontal x(t) em função do tempo t, é: 
 
 
 
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 equação 3 
onde x0 é a distância horizontal inicial do projétil e vx0 é a velocidade inicial horizontal. 
Assumindo x0 = 0 e vx0 = v0cosθ, a Eq.3, torna-se 
 
 
 
 
 equação 4 
 
Substituindo a Eq.4 na Eq.2, obtém-se 
 
 (
 
 
) 
 
 
 (
 
 
)
 
 equação 5 
 
Quando x = A, tem-se y = 0. Substituindo esses valores na Eq.5, obtém-se 
 
 
 
 
 
 equação 6 
 
Esta equação pode mostrar o comportamento de um projétil arremessado no ambiente. 
Este projétil percorre o ambiente através da ação gravitacional. Com alguns dados pré-
estabelecidos, pode-se calcular a força da gravidade com esta equação acima. 
Adotando os seguintes valores, e utilizando o simulador para obter valores, temos: 
 
 = 60° 
V0 = 18 m/s 
A = 28,6 m 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo estes valores, obtemos g = 9,81 m/s
2
. 
 
 
 
 
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Analisando o comportamento dos lançamentos, pode-se perceber que o alcance está 
diretamente ligado a velocidade inicial de lançamento. Analisando pela equação do alcance, 
percebe-se que a velocidade elevada ao quadrado é a que mais influencia no alcance do projétil. 
Quando se dobra a velocidade inicial, o alcance aumenta em 4 vezes, como se vê abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fazendo um gráfico de alcance em função da velocidade, pode-se ver este 
comportamento. 
 
 
 
 
 
V0 (m/s) A (m)
5 0,89
10 3,5
15 7,86
20 13,96
25 21,82
30 31,37
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Para se obter o alcance máximo, é preciso definir qual ângulo de lançamento faça que 
isso aconteça. Analisando a equação do alcance, para que se obtenha o alcance máximo, é 
preciso ter o maior valor para o termo sen2 . O maior valor possível é igual a 1, e o ângulo que 
representa este seno é 90°, logo, o valor de para o alcance máximo é igual a 45°. 
Para confirmar esta afirmação acima, foi construído um gráfico de alcance em função do 
ângulo de lançamento. 
 
 
 
 
 
Analisando o simulador, pode-se perceber que existem vários tipos de lançamentos, 
existem várias variáveis no sistema que podem influenciar diretamente no alcance final. 
Com isso, foi desenvolvido uma equação que se calcula o tempo de lançamento para o 
alcance máximo ou então o tempo de lançamento até que o projétil cruze a mesma altura que o 
lançamento partiu. 
 A (m)
25 25,3
30 28,6
35 31,04
40 32,53
45 33,03
50 32,53
60 28,6
70 21,23
80 11,3
90 0
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Existe também o lançamento horizontal, ou seja, o projétil é lançado a partir de uma 
altura diferente de zero, com o ângulo 0° com a horizontal. Tem-se então uma equação que 
descreve este lançamento, que está a seguir. 
 
 
 
 
Substituindo a expressão obtida em 2 na obtida na obtida em 1: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Se definirmos a posição de lançamento em 9m acima do solo e um alvo for colocado à 
15m de distância do canhão, podemos calcular qual deve ser a velocidade inicial para que o 
projétil atinja o alvo através dos seguintes cálculos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Os pequenos círculos na trajetória (destacados na imagem abaixo) representam os 
décimos de segundos, sendo assim, o primeiro ponto representa 0,1s, o segundo representa 0,2s 
respectivamente. Quando a velocidade de lançamento é alta, os pontos ficam mais separados,longe uns dos outros; quando a velocidade de lançamento é baixa, eles ficam mais próximos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 2: Lançamento simulador do projétil: Project-Motion 
 
Quando o canhão está localizado 9m acima do solo, o ângulo que produz maior 
deslocamento horizontal do projétil será 35°. 
 
 
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4. RESULTADOS 
 
Através do experimento foi possível notar que o alcance do projétil varia conforme a 
velocidade de lançamento é alterada. Com uma velocidade inicial de 15m/s e o ângulo de 15º, o 
projétil alcançou a marca de 11,47 m. 
Quando você dobra a velocidade o alcançe aumenta em 4 vezes da velocidade inicial. 
Com variação da velocidade inicial você obtem vários valores, sabendo que esta variação 
obtem quatro vezes o valor. 
Com os dados obtidos no segundo experimento conclui-se que o alcance será o máximo 
possível quando o ângulo de lançamento for igual a 45°. Com 45º você tem o alcance máximo 
de 33,03 m. que corresponde ao máximo valor de seno possível, assim o alcance será o máximo 
possível. Com a equação do alcance, é possível prever onde o projétil irá pousar. Observa-se 
também que quanto maior a velocidade de lançamento, mais longe o objeto lançado irá pousar. 
No caso em que o projétil cai em um nível inferior ao de seu lançamento o ângulo que atingirá o 
maior alcance será 35°, mostrando que a altura de lançamento tem influência sobre o ângulo 
para maior alcance. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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5. DISCUSSÃO 
 
A velocidade do projetil, pode ser desenvolvida como as componentes vertical e 
horizontal da velocidade, ratificando as equações paramétricas da velocidade. Se um projetil é 
lançado ao ar com uma certa velocidade inicial, sabendo que não há interferência da gravidade e 
o ar não oferece resistência, não haveria forças atuantes sobre ele, por intermédio do princípio 
da inercia. Assim, o movimento seria uniforme e retilíneo e o peso do projetil seria calculado 
através da velocidade, de cima para baixo, não sendo modificada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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6. CONCLUSÃO 
 
 Ao concluir a simulação, analisamos os movimentos do projetil através dos lançamentos 
praticados, desconsiderando a resistência do ar e baseando os resultados em valores próximos 
do esperado. Dessa forma, o movimento de um projetil, sob intervenção da gravidade em duas 
dimensões, são consideradas como resultante da soma vetorial de dois momentos 
unidimensionais independentes. Assim, ressalta-se que no eixo x, o movimento horizontal é 
retilíneo e uniformemente variado, já que a velocidade pode variar proporcionalmente com o 
tempo estimado. 
Portanto, como dito outrora, o movimento retilíneo uniforme, é uma projeção do 
direcionamento do corpo no eixo horizontal e o movimento uniformemente variado, é a 
projeção do deslocamento do corpo no eixo vertical. Ademais, ressalta-se que quando a 
aceleração está constante, demonstra-se que a trajetória do objeto em questão, estará contida em 
um plano. Assim, análise do experimento concluiu-se que, o projetil varia de acordo com a 
velocidade de lançamento modificada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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7. REFERÊNCIAS 
 
 
http://phet.colorado.edu/en/simulation/projectile-motion 
 
HALLYDAY e R. Resnick. Física, 9ª Edição, Volume 1 
 
 
 
http://phet.colorado.edu/en/simulation/projectile-motion