Aula 07 - Introdução ao Conceito de Função

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Matemática Básica Aula 7 Adriana Pimenta 
Cristiane Argento 
Ion Moutinho 
1 
 
 
Aula 7 
Introdução ao conceito de função 
 
 
 
 
Metas 
Esta aula é sobre uma noção matemática útil ao estudo de relacionamento entre 
grandezas. 
 
Objetivos 
Ao final desta aula você deve: 
 ter uma idéia intuitiva da noção matemática conhecida como função; 
 conhecer termos relacionados à noção de função; 
 conhecer a noção de gráfico de função e saber interpretar informações geométricas; 
 
 
 
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A noção de função 
 Ao se estudar fenômenos que ocorrem na natureza, verifica-se que sempre estão 
presentes duas (ou mais) grandezas relacionadas entre si. Por exemplo: 
1) A pressão atmosférica depende da altitude. 
2) A pressão de um gás dentro de um recipiente de volume fixo varia com a 
temperatura. 
3) O preço da corrida do taxi varia de acordo com a distância percorrida. 
 
 Quando se verifica uma relação entre duas grandezas dizemos que uma é (ou 
está em) função da outra. 
 
 Como já foi visto, de modo geral é possível trabalhar com variáveis numéricas 
no lugar de grandezas. Neste caso, busca-se relações matemáticas entre as variáveis para 
representar as relações entre as grandezas. 
 
Exemplo: Considere que uma pessoa coloque um capital de mil reais à taxa de juros 
simples de 5% ao mês. Como se pode conhecer o montante M acumulado ao longo de n 
meses? Analisando cada mês, tem-se que: 
 início: M0 = 1000 
 1
o
 mês: M1 = M0 + 5%M0 = 1000 + 50 = 1050 
 2
o
 mês: M2 = M1 + 5%M0 = 1050 + 50 = 1100 
 3
o
 mês: M3 = M2 + 5%M0 = 1100 + 50 = 1150 
  
 n
o
 mês: Mn = ? 
 Note que a sequência de valores forma uma progressão aritmética, onde o 
primeiro termo é 1000 e a razão é 50. Assim, é imediato deduzir que Mn = 1000 + 50n é 
uma expressão matemática que dá o valor do montante a cada mês. 
 
Exemplo: Se 12 operários, trabalhando 9 horas por dia, demoram 18 dias para construir 
um muro de 15 metros de comprimento, quantos dias tardarão 7 operários, trabalhando 
8 horas por dia, na construção de um muro de 21 metros de comprimento? 
 Para determinar uma expressão matemática que represente o problema dado, 
vamos analisar o comportamento da grandeza número de dias com relação a variação 
das outras grandezas. O número de dias, D, é inversamente proporcional ao número de 
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operários, O, é inversamente proporcional ao número de horas de trabalho por dia, H, e 
diretamente proporcional ao comprimento do muro, L. Assim, as grandezas do 
problema colocado se relacionam de acordo com a seguinte fórmula: 
 D = k
HO
L
.
, 
onde k é uma constante. A determinação desta expressão é consequência de um estudo 
sobre grandeza diretamente proporcional e inversamente proporcional. Se o leitor quiser 
saber mais sobre o assunto, pode consultar o livro Meu Professor de Matemática e 
outras histórias, de Elon Lages Lima, da SBM, Rio de Janeiro, 1991. 
 Comparando os primeiros dados com os últimos, através da constante k, temos 
que 
 
15
9.12.18
 = k = 
21
8.7.D
  D = 
8.7.15
9.12.18.21
 = 
5
243
 
 D = 48 dias 14 h 24 min. 
 
Exemplo: Suponhamos que M (unidades) de açúcar de cana é misturada num recipiente 
com água. Suponhamos que o açúcar de cana está sendo transformado, por ação 
catalítica, em açúcar invertido. Supondo que a taxa de reação do açúcar de cana neste 
problema é de 0,3 (unidades), em quanto tempo a quantidade de açúcar terá reduzido à 
metade? 
 Se representarmos o tempo decorrido por t e por u a quantidade de açúcar de 
cana que no instante t continua inalterada, o fenômeno fica descrito pela equação 
u = 5e
-0,3t
. 
Então, para responder o problema, devemos resolver a equação 
5/2 = 5e
-0,3t
. 
Resolvendo, 
 2 = e
0,3t
  ln 2 = 0,3t  t = (ln 2)/0,3 ≈ 2,31. 
 
Observação: A determinação da expressão u = 5e
-0,3t
 depende de conhecimentos de 
cálculo diferencial. 
 
 Se for decidido que é interessante interpretar matematicamente um determinado 
fenômeno, o problema que se deve considerar é o seguinte: dado um fenômeno, com as 
grandezas envolvidas interpretadas como variáveis numéricas, como representar o 
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fenômeno matematicamente? Ou melhor, qual a expressão matemática que representa o 
fenômeno? Mais ainda, uma vez determinada uma relação matemática que represente o 
fenômeno estudado, o que podemos deduzir, ou prever sobre o fenômeno, a partir da 
expressão matemática? 
 Antes de alcançar o ponto de poder tentar responder este tipo de questão, é 
conveniente primeiro estudar as expressões matemáticas, de um ponto de vista abstrato. 
 Assim, no estudo das funções, usam-se variáveis matemáticas para representar 
eventuais grandezas, por exemplo: x e y. Para dizer que a variável y está em função da 
variável x pode-se escrever 
y = f(x). 
Neste caso, a variável x é chamada variável independente e a variável y é chamada 
variável dependente. Se y = f(x) está em função de x, é comum também falar sobre x 
dizendo o ponto x e sobre y dizendo o valor y. Assim, quando se tem y1 = f(x1), diz-se 
que y1 é o valor da função no ponto x1. 
 
Exemplo: Se y = x
2
 + x – 2, o valor de y no ponto x = 3 é 10, o que é equivalente a 
informação f(3) = 10. 
 
Atividade 1: Considere a função dada pela expressão matemática y = x
2
 – x – 6. 
a) Qual é o valor de y quando x = 0? 
b) Quais são os pontos x tais que y tem valor 0? 
 
Atividade 2: Em uma relação de função matemática entre as variáveis a e t, a variável t 
é independente e a variável a é dependente. Represente esta função simbolicamente. 
 
Atividade 3: Admita a função y = f(x) = x
2
 + bx + c. Sabe-se que f(0) = 1 e que o valor 
de y no ponto 1 é 3. Determine b e c. 
 
As relações de função básicas mais conhecidas num estudo inicial são: 
i) Relação afim: y = ax + b; 
ii) Relação quadrática: y = ax2 + bx + c; 
iii) Relação polinomial: y = anx
n
 + ... + a1x + a0; 
iv) Relação de radiciação: y = n x ; 
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v) Relação exponencial: y = ax, a > 0, a  1; 
vi) Relação logarítmica: y = logb x, b > 0, b  1; 
vii) Relações trigonométricas: y = cos x, y = sen x e y = tg x. 
 
 Dada uma função y = f(x), às vezes a expressão f(x) pode impor restrições a 
escolhas da variável independente x. O domínio de uma função é o subconjunto de 
onde a variável independente está definida. Por exemplo, se uma função é dada pela 
expressão y = 
x
1
, não é possível escolher o ponto x = 0. Mais precisamente, o domínio 
de definição desta função é o subconjunto  {0}. Assim, quando uma função for dada 
via expressão, seu domínio será suposto o maior subconjunto de onde a expressão 
está bem definida. 
 
Notação: Às vezes denotamos o domínio de uma função y = f(x) por Dom(f). 
 
Atividade 4: Determine o domínio da função dada. 
a) f(x) = 
1
1
x
 b) f(x) = x + 1 c) g(x) = x
2
 
d) f(x) = x e) f(x) = x3 f) h(t) = t  3 
g) g(x) = 
x
1
 h) f(x) = x
2/3
 
 
 O domínio de uma função também pode ser definido a partir de alguma 
imposição do fenômeno representado pela função matemática em questão. Por exemplo, 
se h é a função que representa a altura de uma pedra lançada no ar com relação ao 
tempo transcorrido, só tem sentido analisar a altura entre o intervalo de tempo em que a 
pedra é lançada e seu retorno ao chão. Ou seja, só tem sentido expressar h(t) para t 
variando entre t = 0 e t = tf (o tempo que a pedra toca no chão), o que é o mesmo que 
dizer que h(t) está definido para t[0,tf]. 
 
Notação: Uma função y = f(x) definida para xX, onde X é um subconjunto de , é 
representada simbolicamente por 
f : X  . 
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Exemplo: A função f : [0,1]  , f(x) = x2, é a função que associa cada ponto x entre 0 
e 1 ao valor f(x) = x
2
. 
 
Exemplo: A função g : [1,1]  , f(x) = x2, é a função que associa cada ponto x entre 
1 e 1 ao valor f(x) = x
2
. Esta função é bem diferente da função anterior, apesar de terem 
a mesma expressão matemática. Por exemplo, se for pedido que seja determinado o 
ponto x do domínio cujo valor associado é 1, fica possível de responder para o primeiro 
exemplo, pois f(1) = 1. Já no segundo exemplo, o problema não é tão simples, uma vez 
que temos g(1) = 1 e g(1) = 1, ou seja, não existe uma resposta precisa. 
 
 As funções podem ser classificadas nos mais variados tipos. Alguns exemplos de 
classificação são: crescente, decrescente, constante, injetiva (ou injetora), sobrejetiva 
(ou sobrejetora), bijetiva (ou bijetora) e limitada. 
 Como este é um primeiro estudo sobre o assunto, não vamos nos deter neste tipo 
de classificação de funções. Mas, este conteúdo será muito importante para o curso de 
Cálculo. Numa segunda oportunidade, na disciplina de Pré-Cálculo ou de Cálculo, é 
importante estudar esta parte também. 
 
O Plano Cartesiano 2 
 
 Um recurso importantíssimo em um estudo de funções é a noção de gráfico de 
função. O 2 é definido pelo conjunto 2 = {(x, y) | x, y  }. Exemplos de elementos 
de 2 são: (1, 0), (0, 0), (3, 6), ( 2 , 2) e (, 1). 
 O 2 possui uma representação gráfica muito útil. Numa folha, desenhamos 
duas retas perpendiculares, uma horizontal e outra vertical. A horizontal é chamada 
eixo x. A vertical eixo y. O ponto de interseção é chamado centro ou origem, e denotado 
por O. 
 y 
 
 
 x 
 O 
 
 
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 A representação geométrica dos elementos de 2 se dá da seguinte forma: dado 
(a, b)  2, a partir da origem O, andamos a unidades na direção do eixo x, e depois b 
unidades na direção do eixo y. Aí, marcamos o elemento no papel. Por exemplo, os 
elementos A = (1, 1), B = (2, 1) e C = (0, 2) podem ser visualizados como 
 
 
 C 
 
 B A 
 
 
 
 
 
 
Atividade 5: 
1) Tente identificar, numa representação gráfica do 2, o conjunto {(x, y) 2 | y = 1}. 
2) Tente identificar, numa representação gráfica do 2, o conjunto {(x, y)  2 | x = y}. 
3) Tente identificar, numa representação gráfica do 2, o conjunto {(x, y) 2 | x = 2}. 
4) Numa representação gráfica do 2, identifique que objetos os seguintes elementos 
representam: (0,0); {(x, y)  2 | y = 0}; e {(x, y)  2 | x = 0}. 
 
Gráfico 
 É o conjunto dos pontos do plano cartesiano 2 formado por 
 Graf(f) = { (x, f(x)) ; x  Dom(f) } 
 O gráfico de uma função permite uma interpretação geométrica e, portanto, 
facilita a análise da relação entre as grandezas envolvidas na função. 
 
Exemplo: Um dono de loja quer vender uma determinada mercadoria. Ele tem duas 
opções de fornecedores. O fornecedor A cobra por mês para entregar suas mercadorias 
um custo fixo de R$ 25 mais R$ 5 por mercadoria. O fornecedor B cobra por mês um 
custo fixo de R$ 60 e R$ 2 por mercadoria. Se a demanda pelo produto for bastante, 
com qual fornecedor o dono deve negociar? Exatamente a partir de quantas mercadorias 
encomendadas é mais vantagem trabalhar com este fornecedor? 
 Temos as relações de preços por fornecedores dadas pelas funções 
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 PA = 5m + 25 e PB = 2m + 60, 
cujos gráficos são dados a seguir (na próxima aula, falaremos sobre gráfico deste tipo de 
função). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Só pelo aspecto do gráfico, vemos que, inicialmente, PA tem o preço menor. 
Contudo, vemos que PB passa a ter um preço menor quando o número de 
mercadorias é grande. Os dois fornecedores cobram o mesmo preço quando 
PA = PB, isto é, quando 5m + 25 = 2m + 60, donde m0 = 35/3 = 11 + 2/3. 
 
 Outro termo relacionado com função é o seguinte. 
 
Definição: Seja f uma função. O conjunto dos valores de f é denominado imagem de f: 
 Im(f) = {y  | x  Dom(f) e f(x) = y} = {f(x)  | x  Dom(f)} 
 
Exemplo: Para a função f :  , f(x) = x2, temos Im(f) = [0, +), pois todo número 
real positivo, ou igual a 0, possui uma raiz e os números negativos não possuem raiz 
real. 
 
 Uma ótima maneira de se analisar o conjunto imagem de uma função é pelo seu 
gráfico. Ainda falaremos melhor sobre isto. 
 
Atividade 6: 
a) Determine a imagem da função a partir de seu gráfico. 
 
i) 
 Preço PA 
 PB 
 
 60 
 
 
 25 
 
 
 m0 Mercadorias 
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ii) 
iii) 
 
b) Para cada item de (a), determine, caso exista, o valor máximo e mínimo que a função 
atinge. 
c) O desenho a seguir representa o gráfico de uma função f :  . Baseando-se na 
figura, resolva a inequação f(x) ≤ 0. 
 
 
 
 Leitor, esta é uma pequena introdução à noção de função em Matemática. Nesta 
disciplina, Matemática Básica, nós só vamos trabalhar com a noção de função para 
expressões dos tipos ax + b e ax
2
 + bx + c. Ou seja, nós só vamos trabalhar com as 
funções afim e quadrática. 
 
 
 
Gabarito das atividades 
 
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Atividade 1  solução: 
a) y = 6 
b) 0 = x
2
  x  6  x = 2 ou x = 3. 
 
 
Atividade 2  solução: a = f(t). 
 
 
Atividade 3  solução: Como f(0) = 1, temos 1 = 0
2
 +b.0 + c, donde c = 1. Como f(1) = 
3, temos 3 = 1
2
 + b.1 + 1, donde b = 1. 
 
Atividade 4  solução: 
a) Dom(f) = * = – {1} b) Dom(f) = c) Dom(g) = 
d) Dom(f) = [0, +) e) Dom(f) = f) Dom(h) = (3, +) 
g) Dom(g) = (0, +) h) Dom(f) = 
 
 
Atividade 5  solução: 
1) É uma reta paralela ao eixo x e cortando o eixo y em 1. 
 
2) É uma reta passando pela origem e contendo o ponto (1,1). 
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3) É uma reta perpendicular ao eixo x e cortando-o em 2. 
 
4) (0,0) é o ponto onde os eixos se cruzam; {(x, y)  R
2
 | y = 0} é o eixo x; {(x, y)  R
2
 | 
x = 0} é o eixo y. 
 
 
Atividade 6  solução: 
a) i) Im(f) = [2, +); ii) Im(f) = [1, 1]; iii) Im(f) = (1, +). 
b) i) 2 é o valor mínimo que f atinge, não existe valor máximo; ii) 1 é o valor mínimo 
e 1 á o valor máximo; iii) não existe nem valor mínimo nem máximo. 
c) S = (∞, 0]  [1, 3]  [6,7]  [9, +∞).