04-CONCRETO-ARMADO-BRAGANCA-Pré-Dimensionamento-Lajes-Isoladas

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Concreto Armado
Lajes Maciças Isoladas – Moldadas “in loco”
Pré-dimensionamento
Prof. Dr. Antonio Carlos da F. Bragança Pinheiro
Assuntos Abordados
Prof. Dr. Antonio Carlos da F. Bragança Pinheiro
• Normas Técnicas Relacionadas – Aplicações
• Pré-dimensionamento de laje isolada maciça moldada “in loco” – Tipos; Lajes
armadas em duas direções e em uma direção
• Tabelas de Marcus – Aplicação em lajes isoladas armadas em duas direções;
Exemplos
• Reações nas Vigas de Borda – Reações em lajes armadas em duas direções e em
uma direção
• Paredes sobre Lajes - Paredes em lajes armadas em duas direções e em uma
direção
NORMAS TÉCNICAS
Prof. Dr. Antonio Carlos da F. Bragança Pinheiro
• ABNT NBR6118:2014 – Projeto de estruturas de concreto – Procedimento.
• ABNT NBR6120:2019 – Ações para o cálculo de estruturas de edificações.
• ABNT NBR8681:2004 - Ações e segurança nas estruturas – Procedimento. 
• NBR 15575-2:2013 - Edificações habitacionais – Desempenho Parte 2: Requisitos 
para os sistemas estruturais
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LAJE MACIÇA ISOLADA – MOLDADA “IN LOCO”
Construção Minimalista
APLICAÇÂO DA LAJE ISOLADA
Prof. Dr. Antonio Carlos da F. Bragança Pinheiro
LAJE MACIÇA ISOLADA – MOLDADA “IN LOCO”
EDÍCULA (EDIFICAÇÃO PEQUENA)
APLICAÇÂO DA LAJE ISOLADA
LAJE MACIÇA CONTÍNUA – MOLDADA “IN LOCO”
Prof. Dr. Antonio Carlos da F. Bragança Pinheiro
CONTINUIDADE
CONTINUIDADE
CONTINUIDADE
Prof. Dr. Antonio Carlos da F. Bragança Pinheiro
LAJE MACIÇA CONTÍNUA – MOLDADA “IN LOCO”
CONTINUIDADE
CONTINUIDADE
CONTINUIDADE
CONTINUIDADE
Definição – Lajes Isoladas Armadas em Duas Direções
Pré-dimensionamento
Prof. Dr. Antonio Carlos da F. Bragança Pinheiro
Áreas de Influência em Lajes - são regiões que colaboram para o lançamento de cargas distribuídas em vigas.
ABNT NBR6118:2014 – Projeto de estruturas de concreto – Procedimento.
Vigas: V1 = V2
V3 = V4
Áreas de Influência: A1 = A2
A3 = A4
2
y
x
L
L

Laje Armada em Duas Direções
Prof. Dr. Antonio Carlos da F. 
Bragança Pinheiro
Processo de Marcus – é um processo
simplificado, que assimila a laje a uma grelha
formada por faixas independentes entre si.
ABNT NBR6118:2014 – Projeto de estruturas de concreto – Procedimento.
1) Lado na direção do maior número de 
engastes 
2)Menor lado
Lx
Observação: Outro método de cálculo alternativo
ao de Método de Marcus é o Método de Czerny
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Definição – Lajes Isoladas Armadas em Duas Direções
Pré-dimensionamento
Laje Armada em Duas Direções
ABNT NBR6118:2014 – Projeto de estruturas de concreto – Procedimento.
Prof. Dr. Antonio Carlos da F. Bragança Pinheiro
Tabela de Marcus – Laje Isolada → Tabela 1
Definição – Lajes Isoladas Armadas em Duas Direções
Pré-dimensionamento
Laje Armada em Duas Direções
Prof. Dr. Antonio Carlos da F. Bragança Pinheiro
Processo de Marcus – Laje Isolada
ABNT NBR6118:2014 – Projeto de estruturas de concreto – Procedimento.
X
X
X
q L
M
m

X
Y
Y
q L
M
m

X Xq k q
Y Xq q q 
Momento Fletor Positivo Máximo na Direção X
Momento Fletor Positivo Máximo na Direção Y
Carga Distribuída na Direção X
Carga Distribuída na Direção Y
Definição – Lajes Isoladas Armadas em Duas Direções
Pré-dimensionamento
Laje Armada em Duas Direções
Exemplo – 1 – Determinação dos Momentos Fletores Máximos em
Laje Isolada Armada em Duas Direções
Prof. Dr. Antonio Carlos da F. Bragança Pinheiro
Para a laje maciça isolada moldada “in loco” da figura, que terá utilização como piso de sala
residencial, determinar os momentos fletores máximos.
Dados:
Concreto Armado
γconcreto armado = 25 kN/m
3
Piso Angico
episo = 2,00 cm; γangico = 10 kN/m
3
Regularização → argamassa de cimento e areia
ereg = 3,00 cm; γangico = 21 kN/m
3
Revestimento → argamassa e cal, cimento e areia
erev = 2,00 cm; γangico = 19 kN/m
3
ABNT NBR6120:2019 – Ações para o cálculo de estruturas de edificações.
Prof. Dr. Antonio Carlos da F. Bragança Pinheiro
Solução
3,00
1,50 2
2,00
y
x
L
L
  
Laje armada em duas direções
LX = 2,00 m
LY = 3,00 m
Espessura da Laje 
200
5,0
40 40
X
mín
L
h cm  
Critério Prático
ABNT NBR6118:2014
hmín = 8,0 cm
Adotado → h = 10 cm
Determinação da Espessura da Laje (h)
Exemplo – 1 – Determinação dos Momentos Fletores Máximos em
Laje Isolada Armada em Duas Direções
Prof. Dr. Antonio Carlos da F. Bragança Pinheiro
Solução
Cálculo da Carga Atuante Laje → hlaje x γconcreto armado = 0,10 x 25 = 2,500 kN/m2
Piso → hpiso x γangico = 0,02 x 10 = 0,200 kN/m
2
Regularização → hreg x γarg.reg. = 0,03 x 21 = 0,630 kN/m
2
Revestimento → hrevestimento x γarg.revestimento = 0,02 x 19 = 0,380 kN/m
2
gtotal = 3,710 kN/m
2
Carga Permanente (gtotal) 
Carga Variável (qa)
ABNT NBR6120:2019 – Ações para o cálculo de estruturas de edificações.
Edifícios residenciais – sala → qa = 1,500 kN/m
2
Carga Atuante na Laje (q)
q = gtotal + qa = 3,710 + 1,500
q = 5,210 kN/m2
Exemplo – 1 – Determinação dos Momentos Fletores Máximos em
Laje Isolada Armada em Duas Direções
Prof. Dr. Antonio Carlos da F. Bragança Pinheiro
Solução
Tabela de Marcus (Laje Tipo 1)
LY / LX kX mX mY
1,5 0,835 13,87 31,21
2 25,21 2,00
1,50 /
13,87
X
X
X
q L
M kNm m
m

  
20,835 5,21 4,35 /X Xq k q kN m   
25,21 4,35 0,86 /Y Xq q q kN m    
3,00
1,50
2,00
y
x
L
L
 
2 25,21 2,00
0,67 /
31,21
X
Y
Y
q L
M kNm m
m

  
Exemplo – 1 – Determinação dos Momentos Fletores Máximos em
Laje Isolada Armada em Duas Direções
Prof. Dr. Antonio Carlos da F. Bragança Pinheiro
Solução
Exemplo – 1 – Determinação dos Momentos Fletores Máximos em
Laje Isolada Armada em Duas Direções
1,50 /XM kNm m
0,67 /YM kNm m
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ABNT NBR6118:2014 – Projeto de estruturas de concreto – Procedimento.
RXA → reação de apoio da laje na vigas V1 e V2
RYA → reação de apoio da laje na vigas V3 e V4
Definição – Lajes Isoladas Armadas em Duas Direções 
Reações nas Vigas de Borda
Prof. Dr. Antonio Carlos da F. Bragança Pinheiro
ABNT NBR6118:2014 – Projeto de estruturas de concreto – Procedimento.
2
3 4
1
2
2 2 2 4
x x X
L L L
A A
  
     
  
2
3
4 4
X X
Ya
X X
A L L
R q q q
L L
   
     
   
1 2
1
2 2
2 2 2 2 2
x x x X
Y
L L L L
A A L
      
           
      
 
2 2 2
4 2 4 2 2
X X X X X
Y x Y
L L L L L
L L L     
 
2
1 2 2
2 4 4
X X X
Y Y x
L L L
A A L L L    
1 2 2
4
X Y X Y X
Xa Ya
Y Y Y
A L L L L L
R q q R
L L L
      
       
     
Definição – Lajes Isoladas Armadas em Duas Direções 
Reações nas Vigas de Borda
Prof. Dr. Antonio Carlos da F. Bragança Pinheiro
Para a laje maciça isolada moldada in loco do exemplo 1 determinar as cargas nas
vigas do contorno (V1), (V2), (V3) e (V4).
Dados: carga na laje →
ABNT NBR6120:2019 – Ações para o cálculo de estruturas de edificações.
q = 5,210 kN/m2
V1
V2
V3 V4
Exemplo – 2 – Determinação das Reações nas Vigas de Borda em
Laje Isolada Armada em Duas Direções
Peso Próprio da viga V1 = V2 →
Peso Próprio da viga V3 = V4 →
Peso Próprio da Alvenaria sobre as Vigas →
g1= 0,150 kN/m
g2 = 0,100 kN/m
g3 = 6,420 kN/m
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Solução
4
X
Ya
L
R q
2,00
5,210 ` 2,605 /
4
YaR kN m
 
  
 
2 Y X
Xa Ya
Y
L L
R R
L
 
  
 
2 3,00 2,00
2,605 3,473 /
3,00
XaR kN m
  
   
 
Exemplo – 2 – Determinação das Reações nas Vigas de Borda em
Laje Isolada Armada em Duas Direções
carga na laje → q = 5,210 kN/m2
Prof. Dr. Antonio Carlos da F. Bragança Pinheiro
Solução
Carga em V3 e V4 →
Exemplo – 2 – Determinação das Reações nas Vigas de Borda em
Laje Isolada Armada em Duas Direções
Carga em V1 e V2 → q1 = RXa + g1 + g3
q1 = 3,473 + 0,150 + 6,420 = 10,043kN/m 
q2 = Rya + g2 + g3
q1 = 2,605+ 0,100 + 6,420 = 9,125 kN/m 
V1 e V2
V3 e V4
Peso Próprio da viga V1 = V2 → g1= 0,150 kN/m
Peso Próprio da Alvenaria sobre as Vigas → g3 = 6,420 kN/m
Peso Próprio da viga V3 = V4 → g2 = 0,100 kN/m
Definição – Paredes sobre Lajes Isoladas armadas em duas direções 
ABNT NBR6118:2014 – Projeto de estruturas de concreto – Procedimento.
Prof. Dr. Antonio Carlos da F. Bragança Pinheiro
Definição – Paredes sobre Lajes Isoladas Armadas em Duas Direções
ABNT NBR6118:2014 – Projeto de estruturas de concreto – Procedimento.
Prof. Dr. Antonio Carlos da F. Bragança Pinheiro
Para as lajes que são armadas em duas direções considera-se simplificadamente a carga da parede uniformemente
distribuída na área da laje. A carga é o peso total da parede dividido pela área da laje.
Sem Revestimento 
Parede Alvenaria
Parede
Laje Laje
P e h L
g
A A

 
Laje x yA L L 
Onde: gparede – carga uniforme da parede (kN/m
2)
γalvenaria – peso específico da alvenaria (kN/m
3)
e – espessura total da parede (m)
h – altura total da parede (m)
L – comprimento da parede sobre a laje (m)
Lx – menor lado da laje (m)
Ly – maior lado da laje (m)
ABNT NBR6118:2014 – Projeto de estruturas de concreto – Procedimento.
Prof. Dr. Antonio Carlos da F. Bragança Pinheiro
Com Revestimento 
Parede
Parede
Laje
h L
g
A


Parede Alvenaria Alvenaria Argamassa Argamassae e   
Onde: gparede – carga uniforme da parede (kN/m
2)
γParede – peso específico da parede (kN/m
2)
γalvenaria – peso específico da alvenaria (kN/m
3)
eAlvenaria– espessura da alvenaria (m)
γArgamassa – peso específico da argamassa (kN/m
3)
eArgamassa– espessura da argamassa (m)
Definição – Paredes sobre Lajes Isoladas Armadas em Duas Direções
Exemplo – 3 – Determinação das Cargas na Laje Isolada Armada 
em Duas Direções com Alvenaria
Prof. Dr. Antonio Carlos da F. Bragança Pinheiro
Determinar a carga distribuída da alvenaria situada sobre uma laje armada em
duas direções apresentada na figura.
Dados: Tijolos → γTijolos = 13 kN/m
3
Revestimento → Argamassa em ambos os lados da parede
→ γRevestimento = 21 kN/m
3; eRevestimento = 2 cm
Altura da parede → h = 2,80 m
Espessura da parede → ealvenaria = 10 cm
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Solução
3
1,5 2
2
y
x
L
L
   → laje armada em duas direções
Parede Alvenaria Alvenaria Argamassa Argamassae e   
  213 0,10 2 21 0,02 2,14 /Parede x x kN m   
22,14 2,80 3 3,00 /
3 2
Parede
Parede
Laje
h L x x
g kN m
A x

  
23,00 /Paredeg kN m
Exemplo – 3 – Determinação das Cargas na Laje Isolada Armada 
em Duas Direções com Alvenaria
Definição – Lajes Isoladas Armadas em Uma Direção
Pré-dimensionamento 
Prof. Dr. Antonio Carlos da F. Bragança Pinheiro
Áreas de Influência em Lajes - são regiões que colaboram para o lançamento de cargas distribuídas em vigas.
ABNT NBR6118:2014 – Projeto de estruturas de concreto – Procedimento.
Vigas: V1 = V2
V3 = V4 (não recebem carga da laje)
Áreas de Influência: A1 = A2
A3 = A4
2
y
x
L
L

Laje Armada em Uma Direção
Definição – Lajes Isoladas Armadas em Uma Direção
Pré-dimensionamento
Prof. Dr. Antonio Carlos da F. Bragança Pinheiro
Áreas de Influência em Lajes - são regiões que colaboram para o lançamento de cargas distribuídas em vigas.
ABNT NBR6118:2014 – Projeto de estruturas de concreto – Procedimento.
2
y
x
L
L

2
8
X
X
q L
M 
Xq q
Momento Fletor Positivo Máximo na Direção X
Carga Distribuída na Direção X
Laje Armada em Uma Direção
Exemplo – 4 – Determinação dos Momentos Fletores Máximos em
Laje Isolada Armada em Uma Direção
Prof. Dr. Antonio Carlos da F. Bragança Pinheiro
Para a laje maciça isolada moldada “in loco” da figura , que terá utilização como
piso de lavanderia residencial, determinar os momentos fletores máximos.
Dados:
Concreto Armado
γconcreto armado = 25 kN/m
3
Piso Angico
episo = 1,50 cm; γangico = 10 kN/m
3
Regularização → argamassa de cimento e areia
ereg = 2,50 cm; γangico = 21 kN/m
3
Revestimento → argamassa e cal, cimento e areia
erev = 2,00 cm; γangico = 19 kN/m
3
ABNT NBR6120:2019 – Ações para o cálculo de estruturas de edificações.
Prof. Dr. Antonio Carlos da F. Bragança Pinheiro
Solução
6,00
3,00 2
2,00
y
x
L
L
  
Laje armada em uma direção
LX = 2,00 m
LY = 6,00 m
Espessura da Laje 
200
5,0
40 40
X
mín
L
h cm  
Critério Prático
ABNT NBR6118:2014
hmín = 8,0 cm
Adotado → h = 10 cm
Determinação da Espessura da Laje (h)
Exemplo – 4 – Determinação dos Momentos Fletores Máximos em
Laje Isolada Armada em Uma Direção
Prof. Dr. Antonio Carlos da F. Bragança Pinheiro
Solução
Cálculo da Carga Atuante Laje → hlaje x γconcreto armado = 0,10 x 25 = 2,500 kN/m2
Piso → hpiso x γangico = 0,015 x 10 = 0,150 kN/m
2
Regularização → hreg x γarg.reg. = 0,025 x 21 = 0,525 kN/m
2
Revestimento → hrevestimento x γarg.revestimento = 0,02 x 19 = 0,380 kN/m
2
gtotal = 3,555 kN/m
2
Carga Permanente (gtotal) 
Carga Variável (qa)
ABNT NBR6120:2019 – Ações para o cálculo de estruturas de edificações.
Edifícios residenciais – lavanderia → qa = 2,000 kN/m
2
Carga Atuante na Laje (q)
q = gtotal + qa = 3,555 + 2,000
q = 5,555 kN/m2
Exemplo – 4 – Determinação dos Momentos Fletores Máximos em
Laje Isolada Armada em Uma Direção
Prof. Dr. Antonio Carlos da F. Bragança Pinheiro
Solução
Cálculo do Momento Fletor Máximo
MfX = 2,778 kNm/m
Exemplo – 4 – Determinação dos Momentos Fletores Máximos em
Laje Isolada Armada em Uma Direção
2
8
X
X
q L
M 
25,555 2,00
2,778 /
8
XM kNm m

 
Prof. Dr. Antonio Carlos da F. Bragança Pinheiro
ABNT NBR6118:2014 – Projeto de estruturas de concreto – Procedimento.
Definição – Lajes Isoladas Armadas em Uma Direção
Reações nas Vigas de Borda
RYA → reação de apoio da laje na vigas V3 e V4 (nula)
RXA → reação de apoio da laje na vigas V1 e V2
2
X
Xa
L
R q
0YaR 
Prof. Dr. Antonio Carlos da F. Bragança Pinheiro
Para a laje maciça isolada moldada in loco do exemplo 4 determinar as cargas nas
vigas do contorno (V1), (V2), (V3) e (V4).
Dados: carga na laje →
ABNT NBR6120:2019 – Ações para o cálculo de estruturas de edificações.
q = 5,555 kN/m2
Exemplo – 5 – Determinação das Reações nas Vigas de Borda em
Laje Isolada Armada em Uma Direção
Peso Próprio da viga V1 = V2 →
Peso Próprio da viga V3 = V4 →
g1= 0,300 kN/m
g2 = 0,100 kN/m
g3 = 6,420 kN/mPeso Próprio da Alvenaria sobre as Vigas →
Prof. Dr. Antonio Carlos da F. Bragança Pinheiro
Solução
2
X
Xa
L
R q
2,00
5,555 ` 5,555 /
2
XaR kN m
 
  
 
Exemplo – 5 – Determinação das Reações nas Vigas de Borda em
Laje Isolada Armada em Uma Direção
6,00
3,00 2
2,00
y
x
L
L
  
Laje armada em uma direção
LX = 2,00 m
LY = 6,00 m
Prof. Dr. Antonio Carlos da F. Bragança Pinheiro
Solução
Exemplo – 5 – Determinação das Reações nas Vigas de Borda em
Laje Isolada Armada em Uma Direção
Carga em V1 e V2 → q1 = RXa + g1 + g3
q1 = 5,555 + 0,300 + 6,420 = 12,275 kN/m 
Carga em V3 e V4 → q2 = Rya + g2 + g3
q1 = 0 + 0,100 + 6,420 = 6,520 kN/m 
V1 e V2
V3 e V4
Definição – Paredes sobre Lajes Isoladas Armadas em Uma Direção
ABNT NBR6118:2014 – Projeto de estruturas de concreto – Procedimento.
Prof. Dr. Antonio Carlos da F. Bragança Pinheiro
Para as lajes que são armadas em uma direção tem-se duas situações:
Parede com direção paralela à direção principal da laje (menor vão) 
Neste caso a laje fica com duas regiões com carregamentos diferentes:
Região (I) – não ocorre a carga da parede
Região (II) – ocorre a carga da parede
 
2
3
2 2
3
Parede Parede
Parede
x
x x
P P
g
L
L L
 
 
 
 
Parede Alvenaria xP e h L
Onde: PParede – peso total da parede
Lx – menor vão da laje
e – espessura da parede
h – altura da parede
Laje Armada em Uma Direção
Definição – Paredes sobre Lajes Isoladas Armadas em Uma Direção
ABNT NBR6118:2014– Projeto de estruturas de concreto – Procedimento.
Prof. Dr. Antonio Carlos da F. Bragança Pinheiro
Para as lajes que são armadas em uma direção tem-se duas situações:
Onde: L = 1,00 m (comprimento)
Parede com direção perpendicular à direção principal 
Neste caso, a alvenaria será uma carga concentrada 
AlvenariaP e h L
AlvenariaP e h
Assim:
Laje Armada em Uma Direção
Exemplo – 6 – Determinação das Cargas na Laje Isolada Armada em Uma
Direção com Alvenaria
Prof. Dr. Antonio Carlos da F. Bragança Pinheiro
Determinar a carga distribuída da alvenaria situada sobre uma laje armada em
uma direção apresentada na figura.
Dados: q = g + qa = 5,25 kN/m
2
Tijolos → γTijolos = 13 kN/m
3
Revestimento → Argamassa em ambos os lados da parede
→ γRevestimento = 21 kN/m
3; eRevestimento = 2 cm
Altura da parede → h = 2,80 m
Espessura da parede → ealvenaria = 10 cm
Exemplo – 6 – Determinação das Cargas na Laje Isolada Armada em uma 
Direção com Alvenaria
Prof. Dr. Antonio Carlos da F. Bragança Pinheiro
Solução
6,00
3,0 2
2,00
y
x
L
L
   → laje armada em uma direção
Largura da região II
 
2 2
2,00 1,33
3 3
xL m 
Tijolo Tijolo xP e h L
Carga da Alvenaria
Re Revestimento vestimento xP e h L
   213 10 10 3 2,00 7,80TijoloP kN      
   2Re 2 21 2 10 3 2,00 5,04 /vestimentoP kN m       
7,80 5,04 12,84ParedeP kN  
Exemplo – 6 – Determinação das Cargas na Laje Isolada Armada em uma 
Direção com Alvenaria
Prof. Dr. Antonio Carlos da F. Bragança Pinheiro
Solução
Carga da Parede
2
3
2
Parede
Parede
x
P
g
L

2
2
3 12,84
4,82 /
2 2,00
Paredeg kN m
 
  
 
2
( ) 5,25 /Total Iq kN m
2
( ) 5,25 4,82 10,07 /Total IIq kN m  
Exemplo – 6 – Determinação das Cargas na Laje Isolada Armada em uma 
Direção com Alvenaria
Prof. Dr. Antonio Carlos da F. Bragança Pinheiro
Solução
Região (I)
Região (II)
Exemplo – 7 – Determinação das Cargas na Laje Isolada Armada em Uma 
Direção com Alvenaria
Prof. Dr. Antonio Carlos da F. Bragança Pinheiro
Determinar a carga distribuída da alvenaria situada sobre uma laje armada em
uma direção apresentada na figura.
Dados: Tijolos → γTijolos = 13 kN/m
3
Revestimento → Argamassa em ambos os lados da parede
→ γRevestimento = 21 kN/m
3; eRevestimento = 2 cm
Altura da parede → h = 2,80 m
Espessura da parede → ealvenaria = 10 cm
Exemplo – 7 – Determinação das Cargas na Laje Isolada Armada em uma 
Direção com Alvenaria
Prof. Dr. Antonio Carlos da F. Bragança Pinheiro
Solução
AlvenariaP e h L
Tijolo TijoloP e h L
Re Revestimento vestimento xP e h L
   213 10 10 3 1,00 3,90TijoloP kN      
   2Re 2 21 2 10 3 1,00 2,52 /vestimentoP kN m       
3,90 2,52 6,42ParedeP kN  
6,00
3,00 2
2,00
y
x
L
L
  
Laje armada em uma direção
LX = 2,00 m
LY = 6,00 m
Prof. Dr. Antonio Carlos da F. Bragança Pinheiro
Fixando Conhecimento
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