Matemática para Economistas: Propriedades e Cálculos

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MATEMÁTICA PARA 
ECONOMISTAS
2018
Profª. Grazielle Jenske
Prof. Leonardo Garcia dos Santos
GABARITO DAS 
AUTOATIVIDADES
2
MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS
UNIDADE 1
TÓPICO1 
1 Nos primórdios, os homens mantinham sua sobrevivência do que 
era retirado da própria natureza e não possuíam a necessidade de 
contar. A necessidade de contar começou com o desenvolvimento das 
atividades humanas, quando o homem foi deixando de ser pescador 
e coletor de alimentos para fixar-se no solo. Começou a plantar, 
produzir alimentos, criar animais, construir casas etc.
No início, bastava a aritmética simples, mas com a evolução das 
atividades humanas criou-se vários símbolos para representar as 
contagens, o sistema numérico romano foi um deles. Esse conjunto de 
símbolos matemáticos continuou a ser aprimorado até que surgiram os 
que utilizamos atualmente, os números hindu-arábicos. Sobre o atual 
sistema de numeração, leia com atenção as seguintes sentenças:
I- Os números Inteiros não positivos e não nulos são representados por 
ℤ*-, são todos os números do conjunto ℤ-, excluindo o zero.
II- O conjunto dos Números Naturais não nulos é representado por ℕ+.
III- Representado pela letra ℚ, o conjunto dos Números Racionais engloba 
os números inteiros, os números decimais finitos e os números decimais 
infinitos periódicos, ou seja, todos aqueles que podemos escrever na forma 
a/b, com b ≠ 0.
Assinale a alternativa CORRETA:
a) ( ) Apenas a sentença II é verdadeira.
b) ( ) As sentenças I e II são verdadeiras.
c) (x) As sentenças I e III são verdadeiras.
d) ( ) As sentenças II e III são verdadeiras.
2 A matemática apresenta várias propriedades, como, por exemplo, 
a propriedade associativa, que nos permite substituir duas ou mais 
parcelas pela sua soma ou dois ou mais fatores pelo seu produto e a 
propriedade comutativa, que nos permite trocar a ordem das parcelas 
ou dos fatores sem alterar o resultado.
As propriedades são características peculiares de um número, fórmula, 
postulado ou teorema e têm como intuito facilitar os cálculos realizados e 
3
MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS
permitir a simplificação de expressões algébricas. Sobre as propriedades 
da potenciação, analise as sentenças a seguir.: 
Nesta questão, a resposta é dada pela soma dos números que identificam 
as alternativas CORRETAS.
( )( )
( )
( )
( )( )
( )
−
−
−
−
=
⋅ =
=
⋅ = ⋅
  = 
 
43/4 4
2 2/3 4/3
8
5
3
1/22 5 5
2 2
02
04 7 7 7
08
116
3 932
4 16
 x 
 
a a
a
 a 
x x 
x
b b
a
 
O somatório das alternativas CORRETAS é:
a) (x) 20
b) ( ) 28
c) ( ) 42
d) ( ) 58
3 O conhecimento de propriedades operatórias é fundamental no 
processo de resolução de um cálculo ou no desenvolvimento prático 
de um problema. Utilizá-las de modo errado pode acarretar no erro de 
uma questão como um todo. Sendo assim, utilizando as propriedades 
da potenciação, analise as sentenças a seguir: 
   
=   
   
+ + + =
− −  = 
 
=
22 4
3 5
2 2 2
4
5 25.
. 2 3 4 5 14
.
7 49
. 3 81
y y y x
x x
I 
x x
II 
a b a bIII 
IV
y
d d
4
MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS
a) ( ) Todas as alternativas estão corretas.
b) ( ) Somente a alternativa I está correta.
c) ( ) As alternativas III e IV estão corretas.
d) (x) Somente a alternativa IV está correta. 
4 O valor de [47.410.4]2 : (45)7 é:
a) ( ) 16 
b) ( ) 8
c) ( ) 6 
d) (x) 4 
e) ( ) 2
5 Escreva as seguintes expressões na forma mais simples:
a) (a . b)3 . b . (b . c)2
b) 
3 2 5 4
7
x .y .y .x.x
y
R.: a) a3b6c2
b) x8
6 Sendo a = 27.38.7 e b = 25.36, o quociente de a por b é:
a) (x) 252 
b) ( ) 36 
c) ( ) 126 
d) ( ) 48 
e) ( ) 42
7 Calcule o valor da expressão: 
− − −
     − + −     
     
2 1 22 1 1
3 2 4
R.: 65/4
8 Assinale a alternativa que traz a forma simplificada da expressão a 
seguir: 
5
MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS
 − + 
 
 − − 
 
2
2
1 13.
2 4
1 33.
3 2
a) (x) 
b) ( ) 
c) ( ) 
d) ( ) 
e) ( ) 
9 Quando = − = −1a e b 3
3
, qual o valor numérico da expressão 
− +2 2a ab b ?
R.: 
73
9
10 Calcule a raiz indicada:
−
−
−
6
7
7
6
6
7
7
6
5
7
a) 
24a =
b) 
2 636a b =
c) 
2 44 a b
9
=
d) 
2x
100
=
e) 
1016a
25
=
f) 24 100x =
g) 8 121 =
h) 
5 105 1024x y =
i) 
4
1
25
=
j) 
6
3
3
a
b
=
k) 
4
2 6
16x
y z
=
6
MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS
Resposta:
a) 2a d) x
10
g) 4 11 j) 2a
b
b) 6.a.b e) 54a
5
h) 24xy k) 2
3
4x
yz
c)
22 ab
3
⋅
f) 10x i) 1
5
11 Efetue as seguintes adições e subtrações que envolvem radicais:
3 3 3 3
33 3 3
3 3
4 4 4 4
a) 24 54 96 6
b) 5 8 2 50 6 98 3 32
c) 300 50 162 243
d) 2 16 54 128
e) 54 24 250 192
f ) 2 4 5 4 2
g) 2 80 3 405 3 3125 4 5
+ − +
+ − +
+ − −
+ + +
− − +
− +
+ − +
a) 2√6 d) 310 2 g)
b) -10√2 e) 3 32 2 2 3− +
c) 1√3 - 4√2 f) 33 4 2− +
Resposta:
432 5
7
MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS
12 Coloque os parênteses de forma que as expressões sejam verdadeiras.
a) 2 x 5 + 6 – 1 = 20 
b) 36 ÷ 12 + 3 x 2 = 2 
c) 12 ÷ 4 x 5 – 1 = 12 
d) 102 x 2 – 1 = 102 
e) 23 – 2 x 2 + 4 = 126 
f) 100 ÷ 4 x 6 + 1 = 4
Resposta:
a) 2 x (5 + 6 – 1) = 20 
b) 36 ÷ (12 + 3 x 2) = 2 
c) 12 ÷ 4 x (5 – 1) = 12 
d) 102 x (2 – 1) = 102 
e) (23 – 2) x (2 + 4) = 126 
f) 100 ÷ (4 x 6 + 1) = 4
13 Associe cada frase à expressão numérica adequada. Para isso, 
escreva a letra e o símbolo romano correspondentes. Depois, resolva 
cada expressão.
a) O dobro de 9, adicionado ao cubo de 5 e subtraída desse resultado 
a raiz quadrada de 64.
b) O quadrado de 9, adicionado ao triplo de 5 e subtraída desse resultado 
a metade de 64.
c) A raiz quadrada de 9, adicionada ao quadrado de 5 e subtraída desse 
resultado a raiz quadrada de 64.
R.: a) ; b) 92 + 3 x 5 – 64 ÷ 2; c) .
14 Resolva as expressões numéricas:
a) 50 – [ 37 – ( 15 – 8 ) ] = 
b) 28 + [50 – (24 – 2) -10 ] = 
c) 20 + [ 13 + (10 – 6) + 4] =
d) 52 – { 12 + [ 15 – ( 8 – 4)]} = 
e) 25 + { 12 + [ 2 – ( 8 – 6 ) + 2 ]} = 
f) { [ ( 18 – 3 ) + ( 7 + 5) – 2 ] + 5 } – 12 = 
g) 65 – { 30 – [ 20 – ( 10 – 1 + 6) + 1 ]} = 
h) 45 + { 15 – [ ( 10 – 8 ) + ( 7 – 4) – 3 ] – 4 } = 
i) 40 + { 50 – [35 – ( 25 +5) – 1 ]} + 7 = 
j) 38 – { 20 – [ 22 – ( 5 + 3) + ( 7 – 4 +1)]} = 
Respostas:
32 9 5 64x + − 29 5 64+ −
8
MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS
a) 20
b) 46
c) 41
d) 29
e) 39
f) 18
g) 41
h) 54
i) 93
j) 36
TÓPICO 2
1 Em uma fábrica, um terço dos empregados são estrangeiros e 72 
empregados são brasileiros. Quantos são os empregados da fábrica? 
R.: 108
2 Dois quintos do salário de Ana são reservados para o aluguel e a 
metade é gasta com alimentação, restando ainda R$ 45,00 para gastos 
diversos. Qual é o salário de Ana? 
R.: 450
3 Em uma indústria, o custo de fabricação de x unidades de um produto 
é dado por C(x) = x2 + 2x + R$ 400,00. Em um dia de trabalho, o número 
de unidades produzidas é x (t) = 12t unidade, em que t é o número de 
horas trabalhadas no dia. Determine o custo de fabricação quando 
são decorridas três horas de trabalho. 
R.: 1.768
4 Um posto de combustível vende 10.000 litros de álcool por dia a R$ 
1,50 cada litro. Seu proprietário percebeu que, para cada centavo de 
desconto que concedia por litro, eram vendidos 100 litros a mais por 
dia. Por exemplo, no dia em que o preço do álcool foi R$ 1,48, foram 
vendidos 10.200 litros. 
9
MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS
Considerando-se x o valor, em centavos, do desconto dado no preço de 
cada litro, e V o valor, em R$, arrecadado por dia com a venda do álcool, 
então a expressão que relaciona V e x é:
a) ( ) V = 10 000 + 50x – x2
b) ( ) V = 10 000 + 50x + x2
c) ( ) V = 15 000 – 50x – x2
d) (x) V = 15 000 + 50x – x2
e) ( ) V = 15 000 – 50x + x2
5 Na matemática, uma equação é uma igualdade envolvendo uma 
ou mais incógnitas. A incógnita de uma equação representa 
o valor desconhecido que se quer descobrir. Para determinar o 
valor desconhecido utilizamos operações inversas. Utilize esses 
conhecimentos para determinaro valor da incógnita y na equação a 
seguir:
3 2 1 2
5 3 4
+ − −
− =
y y y
Assinale a alternativa que apresenta o resultado CORRETO:
a) ( ) y = 0
b) ( ) y = 1
c) (x) y = 2
d) ( ) y = 3
6 Uma empresa de representações oferece aos seus vendedores quatro 
tipos diferentes de contrato de trabalho. Cada um deles possui um 
valor fixo (que independe de quanto o vendedor vendeu durante o 
mês) e uma comissão, em porcentagem, baseada na quantia vendida. 
Os quatro contratos oferecidos são:
A – Valor fixo de R$ 1.500,00 + 1% de comissão da quantia vendida no 
mês.
B – Valor fixo de R$ 1.200,00 + 5% de comissão da quantia vendida no 
mês.
C – Valor fixo de R$ 1.000,00 + 10% de comissão da quantia vendida 
no mês.
D – Valor fixo de R$ 800,00 + 15% de comissão da quantia vendida no mês.
Sabendo que, em média, o volume de vendas mensais de cada vendedor 
é de R$ 10.000,00, qual tipo de contrato gera o maior salário?
10
MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS
a) ( ) O contrato de trabalho que gera o maior salário para um volume médio 
de vendas mensais de R$ 10.000,00 é o A.
b) ( ) O contrato de trabalho que gera o maior salário para um volume médio 
de vendas mensais de R$ 10.000,00 é o B.
c) ( ) O contrato de trabalho que gera o maior salário para um volume médio 
de vendas mensais de R$ 10.000,00 é o C.
d) (x) O contrato de trabalho que gera o maior salário para um volume 
médio de vendas mensais de R$ 10.000,00 é o D.
TÓPICO 3
1 O valor de uma máquina decresce com o tempo, devido ao desgaste. 
O valor é uma função afim do tempo de uso da máquina. Se há dois 
anos ela valia R$ 20.000,00 e hoje ela vale R$ 15.000,00, quanto valerá 
daqui cinco anos?
R.: R$2500,00
2 João costuma abastecer seu carro sempre em um mesmo posto 
de gasolina. Nesse posto, o preço do litro de gasolina é R$ 2,48. 
Representando por y o total a ser pago e por x o número de litros de 
combustível. Baseado nessas informações:
a) Escreva a lei da função ou fórmula matemática.
R.: y = 2,48.x
b) Qual o preço pago por Marcela, que colocou 52,3 litros de combustível 
nesse mesmo posto?
R.: R$ 129,70
3 Resolva geometricamente os seguintes sistemas lineares:
x 2y 5 3x 4y 1
a) b) 
2x 3y 4 x 3y 9
+ = − =  
 
− = − + =  
11
MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS
a) 
b) 
4 Para se deslocar de casa até o seu trabalho, um trabalhador percorre 
550 km por mês. Para isso, em alguns dias, ele utiliza um automóvel e, 
em outros, uma motocicleta. Considerando que o custo do quilômetro 
rodado é de 21 centavos para o automóvel e de 7 centavos para a 
motocicleta, calcule quantos quilômetros o trabalhador deve andar 
em cada um dos veículos para que o custo total mensal seja de R$ 
70,00.
R.: 225 km de automóvel e 325km de moto
5 O vértice da parábola y = 2x2 - 4x + 5 é o ponto:
a) ( ) (2, 5) 
b) ( ) ( )1, 11− 
c) ( ) (-1, 11) 
d) ( ) ( )1, 3 
e) (x) (1, 3)
6 Determine, se existirem, os zeros das funções quadráticas abaixo:
12
MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS
a) f(x) = x² - 3x 
b) f(x) = x² +4x + 5 
c) f(x) = -x² +2x + 8
d) f(x) = –x² +3x – 5
R.:
a) x = 0 e x = 3
b) Não tem raízes reais
c) x = -1 e x = 5
d) Não tem raízes reais
7 A função real f, de variável real, dada por f(x) = -x² + 12x + 20, tem um 
valor:
a) ( ) mínimo, igual a -16, para x = 6 
b) ( ) mínimo, igual a 16, para x = -12
c) (x) máximo, igual a 56, para x = 6 
d) ( ) máximo, igual a 72, para x = 12
e) ( ) máximo, igual a 240, para x = 20
TÓPICO 1
1 Esboce o gráfico da função y = 2 – 3.(2)x.
UNIDADE 2
13
MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS
2 A produção de uma indústria vem diminuindo ano a ano. Num certo 
ano, ela produziu mil unidades de seu principal produto. A partir daí 
a produção anual passou a seguir a lei y = 1000. (0,9)x. O número de 
unidades produzidas no segundo ano desse período recessivo foi 
de:
a) ( ) 900
b) ( ) 1.000
c) ( ) 180
d) (x) 810
e) ( ) 90
3 Calcule o valor dos logaritmos:
a) 6log 36 = 
R.: 2
b) 1
4
log 2 2 = 
R.: -3/4
c) 32log 64 = 
R.: 2
d) 5log 0,000064 =
R.: -6
e) 349log 7 = 
R.: 1/6
f) 2log 0,25 =
R.: -2
4 Sendo log 2 = 0,3; log 3 = 0,4 e log 5 = 0,7, calcule:
14
MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS
a) log2 50
R.: 5,667
b) log3 45
R.: 3,75
c) log9 2 
R.: 0,375
d) log8 600
R.: 3
e) log5 3
 
R.: 0,57
f) log6 15
R.: 1,57
TÓPICO 2
UNI Autoatividade! Acadêmico, antes de prosseguir, determine a 
derivada das seguintes funções:
Respostas: 
( )
( )
( )
( )
2
2
2
3
1)
2) 3 6 10
3)
14) 14
2
−
= π
= + −
= +
= −
 f r r
 f x x x
 f w aw b
 f x x
( )
( )
( )
( ) 4
1) 2
2) ´ 6 6
3) ´ 2
34) ´
2
−
= π
= +
=
 f x r
 f x x
 f w aw
 f x x
15
MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS
( )
( )
( )
( ) 4
1) 2
2) ´ 6 6
3) ´ 2
34) ´
2
−
= π
= +
=
 f x r
 f x x
 f w aw
 f x x
TÓPICO 2
UNI Autoatividade! Na matemática, assim como em outras atividades, 
a prática leva à perfeição. Desta forma, lápis e papel em mãos e bons 
estudos!
Determine a derivada das seguintes funções:
Respostas:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
5 4
1
2 2
2
2
1) 2 1 3 6
2) 7 1 4
3) 3 1 2
24) 5 3 5 3
3
5) 1 1
6) 1 3 1 5 2
7) 7
8) 4 2
−
= + ⋅ +
= − ⋅ +
= − −
= − ⋅ +
= − ⋅ +
= − ⋅ − ⋅ +
= + +
= − ⋅ −
 f x x x
 f x x x
 f x x x
 f x x x
 f x x x
 f s s s s s
 f x ax bx c
 f u u a a u
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
8 4 3
2
4 3 2
2
1) ´ 18 6 12
2) ´ 14 27
3) ´ 27 30 4
204) ´
5 3
5) ´ 2
6) ´ 75 4 51 2 2
7) ´ 14 7
8) ´ 24 8 2
= + +
= +
= − + +
= −
−
=
= + − − +
= +
= − + +
 f x x x
 f x x
 f x x x x
 f x
x
 f x x
 f s s s s s
 f x ax b
 f u u ua a
16
MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS
TÓPICO 2
UNI Autoatividade! Calcule a derivada das seguintes funções:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
2
2
2
2
2
2 41)
3 1
12)
1
3 5 13)
1
24)
2
45)
5
5 76)
2 2
17) 3 6 Dica : Antes de derivar, realize a multiplicação.
2
8) Dica : t a t a t
+
=
−
−
=
+
+ −
=
−
−
=
−
−
=
−
+
=
−
+ = ⋅ + + 
−
= − = − ⋅
−
x f x
x
t f t
t
t t f t
t
t f t
t
x f x
x
x f x
x
x f x x x 
x
t a
 f t 
t b
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
4 5
4
6
102
32
55 3
102
2
7 42
6 3
4
a .
3 59)
1 210)
2
11) 3 7 3
112) Dica : observe que e são constantes.
113) 2 6
3
114) 3 6
15) 7 6 3 1
16) 5 2 3 1
117) 2 5
−
−
= +
= +
= + −
= +
= +
= + −
= + ⋅ −
= − ⋅ −
= − +
+
 f x
x x
 f x x
x
 f x x x
 f x bx ax 
a
 f x x x
 f x x x
x
 f t t t t
 f x x x
 f x x
x
a b
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
1
2
22 22 2 2 33 3
1
2 3
 Dica : x x .
1
18) 3 6 2 Dica : 3x 6x 2 3x 6x 2
19) 4 5 2
220)
3 1
−
− =
= + − + − = + −
= − +
=
−
x 
 f x x x 
 f t t t
x f x
x
17
MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS
Respostas:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
2
2
2
2
2
2
2
22
2
3 2
2
2 2
2
5 6
3
7
141) ´
3 1
22) ´
1
3 6 43) ´
1
4 24) ´
2
8 55) ´
5
246) ´
2 2
6 27 36 127) ´
2
2 28) ´
12 259) ´
1210) ´ 2
11) 600 700 3
= −
−
=
+
− −
=
−
− + −
=
−
− + −
=
−
= −
−
+ + +
=
+
− + −
=
−
= − −
= −
= +
 f x
x
 f t
t
t t f t
t
t tf t
t
x x f x
x
 f x
x
x x x f x
x
t bt ab a f t
t b
 f x
x x
 f x x
x
 f' x x ( )
( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
92
22
44 4 5 3
92
3
7 632 2
5 2
3
2
223
7 3
612) 3
513) 10 18 2 6
3
214) 60 60 3 6
15) 12 7 6 3 1 98 42 7 6
16) 5 2 3 1 135 48
1 117) 8 2 5
21
4 4
18)
3 6 2
19
− −
+ −
 = + + 
 
= − +
= + + +
= + − + + +
= − ⋅ − ⋅ −
= − − −
+
+
=
+ −
' x
' t
' x
x x
bx f' x bx ax
a
 f' x x x x x
 f x x x
x
 f t t t t t t
 f' x x x x
 f x
xx
x
 f' x
x x
( )
( )
( )
( )
423
3
8 5)
3 4 5 2
3 220)
3 1
− +
=
− +
−
=
−
t f' t
t t
x f' x
x
18
MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
()
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
2
2
2
2
2
2
2
22
2
3 2
2
2 2
2
5 6
3
7
141) ´
3 1
22) ´
1
3 6 43) ´
1
4 24) ´
2
8 55) ´
5
246) ´
2 2
6 27 36 127) ´
2
2 28) ´
12 259) ´
1210) ´ 2
11) 600 700 3
= −
−
=
+
− −
=
−
− + −
=
−
− + −
=
−
= −
−
+ + +
=
+
− + −
=
−
= − −
= −
= +
 f x
x
 f t
t
t t f t
t
t tf t
t
x x f x
x
 f x
x
x x x f x
x
t bt ab a f t
t b
 f x
x x
 f x x
x
 f' x x ( )
( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
92
22
44 4 5 3
92
3
7 632 2
5 2
3
2
223
7 3
612) 3
513) 10 18 2 6
3
214) 60 60 3 6
15) 12 7 6 3 1 98 42 7 6
16) 5 2 3 1 135 48
1 117) 8 2 5
21
4 4
18)
3 6 2
19
− −
+ −
 = + + 
 
= − +
= + + +
= + − + + +
= − ⋅ − ⋅ −
= − − −
+
+
=
+ −
' x
' t
' x
x x
bx f' x bx ax
a
 f' x x x x x
 f x x x
x
 f t t t t t t
 f' x x x x
 f x
xx
x
 f' x
x x
( )
( )
( )
( )
423
3
8 5)
3 4 5 2
3 220)
3 1
− +
=
− +
−
=
−
t f' t
t t
x f' x
x
TÓPICO 2
1 Sobre o cálculo de derivadas de uma função, observe as afirmativas:
( ) ( )
( ) ( )
2
2
3
3 2
) 5 2 5
2 1)
1)
3
= + → =
=
′
′
+
= →
′
=−
→ =
I f x x x f x x
II y y 
x x
III f t t f t
x
Assinale a alternativa CORRETA:
a) ( ) Apenas a sentença II é verdadeira.
b) ( ) As sentenças I e II são verdadeiras.
c) (x) As sentenças I e III são verdadeiras.
d) ( ) As sentenças II e III são verdadeiras.
2 Calcule a derivada da função f(x), no ponto xo. Dica: Para obter a 
derivada da função no ponto x0, basta calcular a derivada e depois 
substituir o valor de x0 no lugar de x.
a) f(x) x² 1= + , no ponto xo = 5.
b) f(x) 2x³= , no ponto xo = 2
c) f(x) x= , no ponto xo = 1
Assinale a sentença CORRETA:
a) (x) (a) f’(x) = 10; (b) f’(x) = 24; (c) f’(x) = 
b) ( ) (a) f’(x) = 10; (b) f’(x) = 24; (c) f’(x) = 1
c) ( ) (a) f’(x) = 25; (b) f’(x) = 24; (c) f’(x) = 1
d) ( ) (a) f’(x) = 10; (b) f’(x) = 16; (c) f’(x) = 
1
2
1
2
19
MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS
TÓPICO 3
UNI Autoatividade! Resolva as seguintes integrais:
a) x x dx − + = ∫ 26 4 8 b) x x dxx
 − + + = 
 ∫
2
3
2
1 5 
c) ay b y dy − = ∫ 5 7 d) x dxx
 + =  ∫
5
4
33 
e) ( )x x dx− + =∫ 32 9. 6 f) x dxx
−
=
−∫
3 1
1
Respostas: 
a) = 2x3 - 2x2 + 8x + c b) = x xx c
x
= + + + +
3 5 33. 1 2.5
5 3
 
c) = ay yb c− ⋅ +
6 2
7
6 2
 d) = x c
x
− +
6
3
1
2
 
e) = xx x c− + +
3 4
227.2 3
4
 f) = 
x x x c+ + +
3 2
3 2
TÓPICO 3
UNI Autoatividade! Nos exercícios a seguir, calcular as integrais 
indefinidas e, em seguida, derivar as respostas para conferir os 
resultados.
( )
( )
∫
∫ + +
 
∫ +  
 
∫ −
∫
 
∫ + 
 
 
∫ −  
 
∫
+
∫
+ −
∫
∫
+
+
∫
∫
∫
−
∫
−
dx 
x
ax bx c dx
x x dx
x
x dx
dx
sen x
t dt
t
y dy
y
dt
t
x xdx
x x dx
x
x dx
x
x dx
x
sen x dx
cos x
dx
x
dx
x x
3
4 3
22
2
2
3
2
3
5 2
4
2
2
2
2
2
2
4 2
1)
2) 3
13)
3
4) 2 3
5)
16) 9
17) 2
2
28)
3 3
9)
2 110)
11)
1
112)
13)
914)
1
415)
16
( )
( )
( )
−
− + − +
∫
 
∫ + + 
 
∫ θ ⋅ θ θ
∫ + + + +
∫
∫ +
∫ ≠
+
−
∫
+
t
x x x x dx
x
e t dx
t
cos tg d
t t t t t dt
x dx
x
sec x cos x dx
dx a
ax a
x dx
x
4 3 2
2
3 54
1
3
2 3
2 2
2
2
8 9 6 2 1)
117)
2
18)
19)
20)
21) 1
22) , 0
123)
1
20
MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS
( )
( )
∫
∫ + +
 
∫ +  
 
∫ −
∫
 
∫ + 
 
 
∫ −  
 
∫
+
∫
+ −
∫
∫
+
+
∫
∫
∫
−
∫
−
dx 
x
ax bx c dx
x x dx
x
x dx
dx
sen x
t dt
t
y dy
y
dt
t
x xdx
x x dx
x
x dx
x
x dx
x
sen x dx
cos x
dx
x
dx
x x
3
4 3
22
2
2
3
2
3
5 2
4
2
2
2
2
2
2
4 2
1)
2) 3
13)
3
4) 2 3
5)
16) 9
17) 2
2
28)
3 3
9)
2 110)
11)
1
112)
13)
914)
1
415)
16
( )
( )
( )
−
− + − +
∫
 
∫ + + 
 
∫ θ ⋅ θ θ
∫ + + + +
∫
∫ +
∫ ≠
+
−
∫
+
t
x x x x dx
x
e t dx
t
cos tg d
t t t t t dt
x dx
x
sec x cos x dx
dx a
ax a
x dx
x
4 3 2
2
3 54
1
3
2 3
2 2
2
2
8 9 6 2 1)
117)
2
18)
19)
20)
21) 1
22) , 0
123)
1
21
MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS
Respostas: 
− +
+ + +
+ +
− + +
− +
− +
− +
+
+
− + +
− +
− +
+
+
+
−
c
x
ax bx cx c
x xx c
x x x c
cotg x c
t c
t
y y c
arc tg t c
x x c
x c
x x
x arc tg x c
x c
x
x c
arc sen x c
 arc x c
x x
2
5 4
2
5
3
3
3
4
2
3
3 2
11)
2
2) 3
5 4
23)2
5
44) 4 9
5
5)
26)3
2 2 27)
3 2
28)
3
29)
9
2 110)
2 3
11)
112)
13)sec
14)3
15)2 sec
8 916)
3 2
+ − − +
+ + +
−
+ + + + +
−
+ +
+
− +
t
x x c
x
e t t t c
è
t t t t t t t t t c
x
sen x tg x c
arc tg x c
a
 x arc tg x c
2
3 54
3
2
16 2ln
217) ln
2 3
18) cos
2 3 4 519)
2 3 4 5 6
320)
21)
122)
23) 2
22
MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS
− +
+ + +
+ +
− + +
− +
− +
− +
+
+
− + +
− +
− +
+
+
+
−
c
x
ax bx cx c
x xx c
x x x c
cotg x c
t c
t
y y c
arc tg t c
x x c
x c
x x
x arc tg x c
x c
x
x c
arc sen x c
 arc x c
x x
2
5 4
2
5
3
3
3
4
2
3
3 2
11)
2
2) 3
5 4
23)2
5
44) 4 9
5
5)
26)3
2 2 27)
3 2
28)
3
29)
9
2 110)
2 3
11)
112)
13)sec
14)3
15)2 sec
8 916)
3 2
+ − − +
+ + +
−
+ + + + +
−
+ +
+
− +
t
x x c
x
e t t t c
è
t t t t t t t t t c
x
sen x tg x c
arc tg x c
a
 x arc tg x c
2
3 54
3
2
16 2ln
217) ln
2 3
18) cos
2 3 4 519)
2 3 4 5 6
320)
21)
122)
23) 2
TÓPICO 3
UNI Autoatividade! Calcule as integrais, fazendo as substituições 
apropriadas:
( )
( )
( )
( )
+
−
∫ +
∫
+
∫
∫ −
∫ +
∫
∫ −
∫
∫ +
∫
+
∫
∫
x
x
sex x
x x dx
x dx
x
e dx
x x dx
sen x x dx
dx
x x
x x dx
x e dx
x x dx
x dx
x
e x dx
sex x dx
x
3
232
2
3 7
9
32
2 2
2
32
1) 2 1
32)
4 5
3)
4) 2 1
5) 1 cos
6)
ln
7) 2
8)
9) 7 12
10)
4 1
11) cos
12)
23
MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS
Respostas: 
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
cos
+
−
+
+
+
+
+
+ +
+ +
+
+
+
−
− +
− +
+
+
− +
+
+
x
x
sen x
x
c
x c 
e c 
x x
c 
sen x
c 
x c 
x
c 
e c 
x
c 
c 
x
e c 
 x c
3
242
2
3 7
5 3
2 2
10
42
2
3
2 2
22
1
1)
24
3 4 52)
4
13)
3
2 1 2 1
4)
10 6
1
5)
10
6)ln ln
2
7)
8
18)
6
7 12
9)
21
110)
16 4
11)
112)
2
TÓPICO 3
1 Um método para calcular integrais é o método da Integração por 
substituição do tipo “u”, “du, também conhecido como método da 
troca de variáveis. Com base nesse método, determine a solução da 
integral a seguir:
( )∫ +x x dx522 10
24
MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS
Assinale a opção que apresenta a solução CORRETA da integral:
( )
( )
( )
( )
a
b
c
d
+
+
+
+
− +
+
− +
+
x
c
x
c
x
c
x
c
42
62
62
42
10
) ( ) 
4
10
) (x) 
6
10
) ( ) 
6
10
) ( ) 
4
2 No cálculo integral, os métodos ou técnicas de integração são 
procedimentos analíticos utilizados para encontrar antiderivadas de 
funções. Algumas das técnicas mais conhecidas são as integrais 
imediatas, a integração por substituição, a integração por partes e 
frações parciais. Das três sentenças a seguir, envolvendo integrais 
imediatas, podemos afirmar: 
( )
( ) ( )
( )
x x
I dx x C
x
II sen x e dx x e C
III
− ∫ = +
 − ∫ − =− − + 
− ∫ − = − + + x dx x x x C
22 5 3
5 5 ln
5 cos 5
5 3 5 10 9
a) ( ) Somente a I é verdadeira. 
b) ( ) Somente a III é verdadeira.
c) ( ) As sentenças II e III são verdadeiras.
d) (x) Todas as sentenças são verdadeiras.
3 Utilizando a tabela de integrais imediatas e as propriedades de 
integrais estudadas, calcule a integral de:
 
∫ −  
 
y dy
y
12
2
25
MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS
Assinale a alternativa CORRETA:
a
b
c
d
− +
− +
+ +
− +
y y C
y y C
y y C
y y C
3
3
3
3
(2 )) (x) 2
3
2 (2 )) ( ) 2
3
2) ( ) 2
3
2) ( ) 
3 2
4 Qual fórmula da tabela de integrais imediatas você utilizaria para 
resolver a integral a seguir?
xe dx+∫ 4 1(5 )
Assinale a alternativa CORRETA:
a) ( ) ∫uα dx = 
+
+
au
a
1
1+ C 
b) ( ) ∫eu dx = eu + C
c) (x) ∫au dx = 
ua
lna + C 
d) ( ) ∫
u
1 dx = ln|u| + C
26
MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS
UNIDADE 3
TÓPICO 1
1 Supondo-se quepara o custo de fabricação de x unidades de 
certo item a empresa Z tem o custo de fabricação dado por: 
( ) = + +C x x x300 8 0,01 ³
Sendo assim, determine o custo marginal quando x = 100 unidades. Em 
seguida, comprove com a teoria.
R.: R$ 308,00
2 Para a função receita dada por:
( )
3
450
6
= −
xR x x
Calcule a receita marginal para x = 30 unidades.
R.: Não haverá receita marginal para 30 unidades.
3 Uma certa quantidade P (em ton) produzida por período de um certo 
item será chamada de x. Por sua vez, o trabalho (medido em horas-
homem trabalhada) é dado pela relação:
( ) 300 150= ⋅ +P x x x
Determinar a produtividade marginal quando x = 25 unidades produzidas.
R.: R$ 180,00.
4 Estima-se que daqui a t anos a população de uma certa comunidade 
suburbana será de:
( ) 620 1= − +p t milhares de habitantest
27
MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS
Um estudo do meio ambiente indica que a taxa média do monóxido de 
carbono no ar é de:
( ) 20,5 58= ⋅ + +C p p p partes por milhão
quando a população é de p milhares. Qual será a taxa de variação, em relação 
ao tempo, da taxa de monóxido de carbono, daqui a 2 anos? 
R.: 0,31 partes por milhão por ano.
5 Uma indústria sabe que o custo marginal de produção de x unidades 
é de: R$ 9x2 - 4x + 300 por unidade. O custo para produzir as duas 
primeiras unidades foi R$ 800,00. Calcule o custo para produzir as 
cinco primeiras unidades. 
R.: R$ 2.009,00
6 Determine a função receita total se a função receita marginal é dada 
por: 
RMg(x) = 0,6x2-10x+50.
R.: R(x) = 0,2x3 – 5x2 + 50x
7 Em certa indústria, para um nível de produção de x unidades sabe-se 
que o custo marginal de produção de cada uma é CMg(x) = 3x2 - 12x 
+ 36 reais. Calcule a função custo total sabendo-se que o custo fixo 
é igual 50. 
R.: C(x) = x3 – 6x2 + 36x + 50 
8 Para determinado produto, a função receita marginal é RMg(x) = 40 
– 6x. Determine a função receita total.
R.: R(x) = 40x – 3x2 
9 A função custo marginal de determinado produto é dada por CMg(x) 
= 30 + 90x - 3x2. O custo fixo é 80. Determine a função custo total.
R.: C(x) = 30x + 45x2 – x3 + 80
28
MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS
TÓPICO 2
Nos problemas 1 a 5, calcule o valor da função nos pontos específi cos:
( )
21
32
2 3
2 2
1 ( , ) 1 2 ; (2, 1); (1, 2)
3 22 ( , ) ; (1, 2); ( 4, 6)
2 3
3 ( , ) ; (4, 5); ( 1, 2)
4 ( , ) 10 ; (16, 27); (4, 1331)
5 ( , ) ; (1, 2); (2, 3)
f x y x xy f f
x yf x y f f
x y
g x y y x g g
g u v u v g g
y xf x y f f
x y
= − + −
+
= −
+
= − −
= −
= + −
Nos problemas 6 a 11, represente grafi camente:
2 2
2 2
5 26 ( , )
4 3
7 ( , ) 36
8 ( , ) 2
3 59 ( , )
2 4
10 ( , ) ln( 4)
11 ( , )
2
xy
x yf x y
x y
g x y x y
f x y x y
x yf x y
x y
f x y x y
eg x y
x y
+
=
+
= − +
= + −
+
=
+ −
= + −
=
−
Respostas:
1) f(2, -1) = - 3 e f(1, 2) = 8.
2) f(1, 2) = 1 e f(- 4, 6) = 0.
3) g(4, 5) = 3 e g(- 1, 2) = √5.
4) g(16, 27) = 360 e g(4, - 1331) = 242.
5) f(1, 2) = 5/2 e f(2, - 3) = - 13/6.
6) ( ) 5x 2yf x,y
4x 3y
+
=
+
.
29
MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS
( ) 2 27) g x,y 36 x y= − +
8) f(x,y) x y 2= + −
30
MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS
( ) 2 2
3x 5y9) f x,y
x 2y 4
+
=
+ −
( ) ( )10) f x,y ln x y 4= + −
11) 
31
MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS
TÓPICO 3
Nos exercícios 1 a 6, calcule as derivadas parciais 
f
x
∂
∂
 e 
f
y
∂
∂
 das funções 
abaixo.
( )
( ) ( )( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
2
2
2
1
1 , 2 3 4
2 , 1 2
3 , 1
14 ,
5 ,
6 , ln 2
x y
f x y x y
f x y x y
f x y xy
f x y
x y
f x y e
f x y x y
+ +
= − −
= − +
= −
=
+
=
= +
Calcule as derivadas parciais de segunda ordem 
 
 das funções:
2 2 2 2
2 2, , 
f f f fe
x x y y x y
∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂2 2 2 2
2 2, , 
f f f fe
x x y y x y
∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
( )
( )
37 , sen
8 , 1
x
y
f x y e y
f x y xe y
=
= + +
Respostas:
2
f (x,y) 4x
x1) f(x,y) 2x 3y 4 f (w,y) 3
y
∂ =∂= − − ⇒ ∂ = −
∂
32
MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
2
2
2
2
2
2) f(x,y) x 1 y 2
x 1y 2f (x,y) x 1 y 2
x x x
x 1 0 2x y 2
2xy 4x
x 1y 2f (x,y) x 1 y 2
y y y
x 1 1 0 y 2
x 1
= − ⋅ +
∂ −∂ +∂
= − ⋅ + ⋅ +
∂ ∂ ∂
= − ⋅ + ⋅ +
= +
∂ −∂ +∂
= − ⋅ + ⋅ +
∂ ∂ ∂
= − ⋅ + ⋅ +
= −
23) f(x,y) (xy 1)
f (xy 1)(x,y) 2(xy 1)
x x
2 y (xy 1)
= −
∂ ∂ −
= − ⋅
∂ ∂
= ⋅ ⋅ −
f (xy 1)(x,y) 2(xy 1)
y y
2 x (xy 1)
∂ ∂ −
= − ⋅
∂ ∂
= ⋅ ⋅ −
( ) 1
1 1
2
2
14) f(x,y) x y
x y
f (x y)(x,y) 1(x y)
x x
(x y) 1
1
(x y)
−
− −
−
= = +
+
∂ ∂ +
= − + ⋅
∂ ∂
= − + ⋅
−
=
+
1 1
2
2
f (x y)(x,y) 1(x y)
y y
(x y) 1
1
(x y)
− −
−
∂ ∂ +
= − + ⋅
∂ ∂
= − + ⋅
−
=
+
x y 1
x y 1
x y 1
5) f(x,y) e
f (x y 1)(x,y) e
x x
e
+ +
+ +
+ +
=
∂ ∂ + +
= ⋅
∂ ∂
=
x y 1
x y 1
f (x y 1)(x,y) e
y y
e
+ +
+ +
∂ ∂ + +
= ⋅
∂ ∂
=
( )6) f(x,y) ln 2x y
f 1 2(x,y) 2
x 2x y 2x y
= +
∂
= ⋅ =
∂ + +
f 1 1(x,y) 1
y 2x y 2x y
∂
= ⋅ =
∂ + +
33
MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS
3x
3x
2
3x
2
2
3x
7) f(x,y) e seny
f (x,y) 3 e seny
x
f (x,y) 9 e seny
x
f (x,y) 3 e cos y
y x
=
∂
= ⋅ ⋅
∂
∂
= ⋅ ⋅
∂
∂
= ⋅ ⋅
∂ ∂
3x
2
3x
2
2
3x
f (x,y) e cos y
y
f (x,y) e seny
y
f (x,y) 3 e cos y
x y
∂
= ⋅
∂
∂
= − ⋅
∂
∂
= ⋅ ⋅
∂ ∂
y
y
2
2
2
y
8) f(x,y) xe y 1
f (x,y) e
x
f (x,y) 0
x
f (x,y) e
y x
= + +
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂ ∂
y
2
y
2
2
y
f (x,y) xe 1
y
f (x,y) xe
y
f (x,y) e
x y
∂
= +
∂
∂
=
∂
∂
=
∂ ∂
TÓPICO 4
1 Uma empresa possui sua função de produção modelada por: 
( ) 0,2 0,8, 5=P K L K L
O nível de investimento em capital é de R$ 15.000,00 (estrutura e 
maquinário) e R$ 20.000,00 em trabalho. Determine as produtividades 
marginais envolvidas no caso.
R.: 1,25 e 3,77
2 A indústria FAZBEM possui sua produtividade modelada por: 
( ) 0,3 0,7, 0,5=P K L K L
Atualmente, ela possui os seguintes investimentos: K = 10.000 e L 
= 20.000. Pretende-se aumentar em R$ 3.000,00 o investimento em 
trabalho. Determine o ganho produtivo do processo.
R.: 0,24 unidades para cada unidade investida em estrutura e 0,28 unidades 
para cada unidade invertida em força de trabalho.
34
MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS
3 Mostre através da definição de elasticidade que sendo a função de 
produção: ( ) 0,2 0,8, 5=P K L K L
Com os investimentos K = 25000, L = 10000, com K e L variando 1000 
unidades cada, que realmente os coeficientes a e 1 – a da equação de 
Cobb-Douglas são as elasticidades ϵK e ϵL , respectivamente.
0,2 0,8
0,2 0,8
250000,48 0,1998
5 25000 10000
100004,8 0,7999
5 25000 10000
= ⋅ ≈
⋅ ⋅
= ⋅ ≈
⋅ ⋅


K
L