Álgebra Abstrata: Relações e Operações

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
CAMPUS UNIVERSITÁRIO DO TOCANTINS
FACULDADE DE MATEMÁTICA
Álgebra Abstrata
Profa. Dra. Elany da Silva Maciel
Cametá
2020
Conteúdo
1 Relações e Operações Internas 4
1.1 Relações de equivalência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Classes de equivalência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Classes de congruência módulo n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Operações Internas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Propriedades das operações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4.1 Propriedade associativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4.2 Propriedade comutativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4.3 Elemento Neutro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.4 Elementos simetrizáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.5 Elementos regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.6 Propriedade distributiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Grupos 12
2.1 Definições e exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Propriedades elementares dos grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Potência de um grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4 Subgrupo - definição e caracterização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.5 Subgrupo gerado por um conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.6 Subgrupo Cíclico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3 Classes Laterais 18
3.1 Classes laterais - definição e propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2 Teorema de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3 Subgrupo Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.4 Grupo Quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2
4 Homomorfismo de Grupos 20
4.1 Definição e propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.2 Núcleo e Imagem do homomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.3 Grupos Isomorfos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.4 Teorema do Homomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.5 Automorfismo de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5 Anéis e Corpos 22
5.1 Definição - exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5.2 Propriedades básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.3 Domínio de Integridade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5.4 Corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.5 Subaneis e subcorpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5.6 Ideais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5.7 Homomorfismo de anéis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5.8 Núcleo e Imagem do homomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3
Capítulo 1
Relações e Operações Internas
1.1 Relações de equivalência
Definição 1.1 Uma relação R sobre um conjunto E não vazio é chamada relação de equiv-
alência sobre E se, e somente se, R é reflexiva, simétrica e transitiva. Ou seja, R deve
cumprir, respectivamente, as seguintes propriedades:
(i) se x ∈ E, xRx,
(ii) se x, y ∈ E e xRy então yRx
(iii) se x, y, z ∈ E e xRy e yRz, então xRz.
Exemplo 1.1 A relação R = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, c), (c, a)} sobre E = {a, b, c} é uma re-
lação de equivalência.
Observação 1.1 R = E × E é uma relação de equivalência sobre E.
Exemplo 1.2 (Relação de Igualdade) A relação de igualdade sobre R é uma relação de
equivalência.
”rRs⇐⇒ r = s”
Exemplo 1.3 (Relação de congruência módulo m)
”xRy ⇐⇒ x ≡ y(mod m)”
Exemplo 1.4 (Relação de paralelismo)
A relação de paralelismo definida para as retas de um plano α (euclidiano) é uma relação
de equivalência.
”rRs⇐⇒ r ‖ s”
4
Exemplo 1.5 Seja Z o conjunto dos números inteiros. Definimos uma relação em Z por
”xRy ⇐⇒ x− y ∈ Z”
Verifique se essa relação é uma relação de equivalência em Z.
1.2 Classes de equivalência
Definição 1.2 Seja R uma relação de equivalência sobre E. Dado a, com a ∈ E, chama-se
classe de equivalência (determinada por a), o subconjunto ā de E, constituído pelos elementos
x tais que xRa.
Em símbolos: ā = {x ∈ E;xRa}
Exemplo 1.6 Seja Z o conjunto dos números inteiros. Definimos uma relação em Z por
”xRy ⇐⇒ x− y é um número par ”. 2̄ representa o conjunto dos números pares.
1.2.1 Classes de congruência módulo n
Exemplo 1.7 Seja o conjunto Z e a seguinte relação de equivalência em Z
”xRy ⇐⇒ x− y = 2t, t ∈ Z”
Verifique que R é uma relação de equivalência e calcule algumas classes dessa relação.
Definição 1.3 De um modo mais geral, dado n ∈ Z fixo, podemos definir em Z a, seguinte
relação de equivalência
”xRy ⇐⇒ x− y = nt, t ∈ Z”
Essa relação de equivalência é chamada relação de congruência módulo n e será denotada do
seguinte modo: sempre que os inteiros x e y estiverem relacionados, escrevemos x ≡ y(mod n)
em vez de xRy As classes de equivalência da relação de congruência módulo n são chamadas
classes de congruência módulo n.
Exemplo 1.8 Consideremos a relação de congruência módulo 3 em Z, dada por
”x ≡ y( mod 3)⇔ x− y = 3t, t ∈ Z”
Calculando todas as classes de congruência, podemos observar que 0̄ ∪ 1̄ ∪ 2̄ = Z.
1.3 Operações Internas
Exemplo 1.9 Preliminares
5
1) f : N × N 7→ N tal que f(x, y) = x + y. A aplicação f é conhecida como operação de
adição sobre N.
2) g : R × R 7→ R tal que g(x, y) = x · y. A aplicação g é conhecida como operação de
multiplicação sobre R.
Definição 1.4 Chama-se operação interna em E ou apenas operação em E, toda apli-
cação f : E × E 7→ E do produto cartesiano E × E em E.
Portanto, uma operação f em E faz corresponder a todo par ordenado (x, y) de E × E um
único elemento f(x, y) = x ∗ y(lê-se "x estrela y"). Neste caso, diremos que E é um conjunto
munido da operação ∗.
O elemento x ∗ y é denominado de composto de x e y pela operação ∗; os elementos x e
y do composto x ∗ y são denominados de termos do composto x ∗ y; os termos x e y do
composto x ∗ y são chamados, respectivamente primeiro e segundo termos ou, então termo de
esquerda e termo de direita.
Diz-se que o conjunto E acha-se munido da operação ∗, o conjunto E×E chama-se domínio
da operação e denota-se (E, ∗).
Exemplo 1.10 .
1o) A divisão de racionais não nulos é uma operação interna no conjunto dos números
racionais não nulos.
2o) A diferença de números naturais não é uma operação interna em N.
3o) A adição em Mn(R) é uma operação interna.
1.4 Propriedades das operações
Seja ∗ uma lei de composição interna em E. Vejamos algumas propriedades que ∗ pode apre-
sentar
1.4.1 Propriedade associativa
Dizemos que ∗ goza da propriedade associativa se
x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z
quaisquer que sejam x, y, z ∈ E.
6
Exemplo 1.11 .
1o) As adições em N,Z,Q,R ou C são operações que gozam da propriedade associativa
x+ (y + z) = (x+ y) + z, ∀ x, y, z.
2o) As multiplicações em N,Z,Q,R ou C são operações associativas
x · (y · z) = (x · y) · z, ∀ x, y, z.
3o) A adição em Mm×n(R), conjunto das matrizes do tipo m × n com elementos reais, é
uma operação associativa
X + (Y + Z) = (X + Y ) + Z, ∀ X, Y, Z ∈Mm×n(R)
4o) A multiplicação em Mn(R) é uma operação associativa
X(Y Z) = (XY )Z, ∀ X, Y, Z ∈Mn(R)
5o) A composição de funções de R em R é uma operação associativa
(f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h)
Contra exemplos
Exemplo 1.12 .
1o) O conjunto N∗ munido da operação de potenciação∗, dada por a ∗ b = ab não é uma
operação associativa.
2o) A divisão em R∗ não é uma operação associativa.
Observação 1.2 O fato de uma operação ser associativa possibilita indicar o composto de
mais de dois elementos sem necessidade de usar o parênteses, uma vez que qualquer associação
entre os elementos presentes conduz ao mesmo resultado.
1.4.2 Propriedade comutativa
Dizemos que ∗ goza da propriedade comutativa se
x ∗ y = y ∗ x
quaisquer que sejam x, y ∈ E.
7
Exemplo 1.13 .
1o) As adições em N,Z,Q,R ou C são operações que gozam da propriedade comutativa
x+ y = y + x, ∀ x, y.
2o) As multiplicações em N,Z,Q,R ou C são operações comutativas
x · y = y · x, ∀ x, y.
3o) A adição em Mm×n(R) é uma operação comutativa
X + Y = Y +X, ∀ X, Y ∈Mm×n(R)
Contra exemplos
Exemplo 1.14 .
1o) O conjunto N∗ munido da operação de potenciação ∗, dada por a ∗ b = ab não é uma
operação comutativa.
2o) A divisão em R∗ não é uma operação comutativa.
3o) A subtração em Z não é comutativa.
4o) A multiplicação em M2(R) não é uma operação comutativa.
5o) A composição de funções de R em R não é uma operação comutativa.
1.4.3 Elemento Neutro
Se existe e ∈ E tal que e ∗ x = x para todo x ∈ E dizemos que e é um elemento neutro à
esquerda para ∗.
Se existe e ∈ E tal que x ∗ e = x para todo x ∈ E dizemos que e é um elemento neutro à
direita de E.
Se e é um elemento neutro à direita e à esquerda para a operação ∗, dizemos simplesmente
que e é o elemento neutro para essa operação.
Exemplo 1.15 .
1o) O elemento neutro das adições em N,Z,Q,R ou C é o número 0, pois
0 + x = x = x+ 0
para qualquer número x.
2o) O elemento neutro das multiplicações em N,Z,Q,R ou C é o número 1, pois
1 · x = x · 1 = x
8
para qualquer número x.
3o) O elemento neutro da adição em Mm×n(R) é 0 = 0m×n(matriz nula do tipo m×n), pois
0m×n +X = X + 0m×n = X
qualquer que seja X ∈ Mm×n(R).
4o) O elemento neutro da multiplicação em Mn(R) é In(função identidade do tipo n × n)
pois
InX = X = XIn
qualquer que seja X ∈ Mm×n(R).
5o) O elemento neutro da composição de R em R é a função iR(função idêntica em R), pois
iR ◦ f = f ◦ iR = f,
qualquer que seja f ∈ RR
Contra exemplo
Exemplo 1.16 .
1o) A subtração em Z admite 0 como elemento neutro a direita pois x − 0 = x para todo
x ∈ Z mas não admite elemento neutro à esquerda, pois não existe e(fixo) tal que e − x = x
para todo x ∈ Z.
2o) A divisão em R∗ admite 1 como elemento neutro à direita, pois x : 1 = x para todo
x ∈ R, mas não admite neutro à esquerda, pois não existe e(fixo) tal que e : x = x, ∀x ∈ R∗.
Proposição 1.1 Se a operação ∗ sobre E tem um elemento neutro, então ele é único.
1.4.4 Elementos simetrizáveis
Seja ∗ uma operação sobre E que tem elemento neutro e. Dizemos que x ∈ E é um elemento
simetrizável para essa operação se existir x′ ∈ E tal que
x ∗ x′ = e = x′ ∗ x
O elemento x′ é chamado simétrico de x para a operação ∗.
Quando a operação ∗ é uma adição, o simétrico de x também é chamado de oposto de x e
é indicado por −x.
Quando a operação ∗ é uma multiplicação, o simétrico de x também é chamado inverso de
x e é indicado por x−1.
9
Exemplo 1.17 .
1o) 3 é um elemento simetrizável para a adição em Z, e seu simétrico (ou oposto é −3), pois
(−3) + 3 = 0 = 3 + (−3).
2o) 3 é um elemento simetrizável para a multiplicação em Q, e seu simétrico (ou inverso é
1/3), pois 3 · 1/3 = 1.
0 não é simetrizável para a mesma operação, pois não há elemento x′ ∈ Q tal que x′ · 0 =
1 = 0 · x′ .
3o) Existem apenas dois elementos simetrizáveis para a multiplicação em Z: 1 e −1.
4o)
(
a b
c d
)
é simetrizável para a adição em M2(R), e seu simétrico é
(
−a −b
−c −d
)
.
5o)
(
1 2
3 6
)
não é simetrizável para a multiplicação em M2(R).
6o)
(
1 2
3 5
)
é simetrizável para a multiplicação em M2(R).
7o) A função de R em R dada pela lei f(x) = 3x−1 é bijetora e, consequentemente, inversível.
Sua inversa é f−1 =
y + 1
3
.
Proposição 1.2 Seja ∗ uma operação sobre E que é associativa e tem um elemento neutro e.
a) Se um elemento x ∈ E é simetrizável, então o simétrico de x é único.
b) Se x ∈ E é simetrizável, então seu simétrico x′ também é.
(x′)′ = x
.
c) Se x, y ∈ E são simetrizáveis, então
(x ∗ y)′ = y′ ∗ x′
.
1.4.5 Elementos regulares
Definição 1.5 Seja ∗ uma operação sobre E. Dizemos que um elemento a ∈ E é regular (ou
simplificável ou que cumpre a lei do cancelamento) à esquerda em relação à operação ∗ se, para
quaisquer x, y ∈ E tais que a ∗ x = a ∗ y, vale x = y.
Dizemos que um elemento a ∈ E é regular (ou simplificável) à direita relativamente à
operação ∗ se, para quaisquer x, y ∈ E tais que x ∗ a = y ∗ a, vale x = y.
10
Se a ∈ E é um elemento regular á esquerda e à direita para a operação ∗, dizemos simples-
mente que a é regular para essa operação.
Exemplo 1.18 .
1o) 3 é regular para a adição em N.
2o) 3 é regular para a multiplicação em Z.
3o)0 não é regular para a multiplicação em Z.
4o)
(
1 2
3 4
)
é regular para a adição em M2(R).
1.4.6 Propriedade distributiva
Definição 1.6 Sejam ∗ e ∆ duas operações sobre E. Dizemos que ∆ é distributiva à esquerda
relativamente a ∗ se:
x∆(y ∗ z) = (x∆y) ∗ (x∆z)
quaisquer que sejam x, y, z ∈ E.
Dizemos que ∆ é distributiva à direita relativamente a ∗ se:
(y ∗ z)∆x = (y∆x) ∗ (z∆x)
quaisquer que sejam x, y, z ∈ E.
Quando ∆ é distributiva à esquerda e a direita de ∗, dizemos simplesmente que ∆ é dis-
tributiva relativamente a ∗.
Exemplo 1.19 .
1o) A multiplicação em Z é distributiva em relação a adição em Z.
2o) A multiplicação em Mn(R) é distributiva em relação a adição em Mn(R).
3o) Em N∗, a potenciação é distributiva à direita em relação a multiplicação. Entretanto a
potenciação não é distributiva à esquerda em relação a multiplicação.
11
Capítulo 2
Grupos
2.1 Definições e exemplos
Definição 2.1 Um conjunto G com uma operação ∗ em G é um grupo se essa operação satisfaz
as seguintes condições:
(i) A operação é associativa, isto é
a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c, ∀a, b, c ∈ G
(ii) Existe um elemento neutro, isto é, ∃e ∈ G tal que
e ∗ a = a ∗ e = a, ∀a ∈ G.
(iii) Todo elemento possui um elemento simétrico, isto é, ∀a ∈ G,∃a′ ∈ G tal que
a ∗ a′ = b ∗ a′ = e.
O grupo é abeliano ou comutativo se:
a ∗ b = b ∗ a, ∀a, b ∈ G
Um grupo poderá ser indicado por (G, ∗).
Definição 2.2 (Grupo Finito) Um grupo G é chamado de grupo finito, quando G contiver
um número finito de elementos. Neste caso, a ordem de G, denotada por |G|, é o número de
elementos de G. Quando G não é um grupo finito, dizemos que G é um grupo de ordem infinita,
ou seja, isto ocorre quando o grupo G contém infinitos elementos.
Exemplo 2.1 .
1o) (Z,+) é um grupo abeliano de ordem infinita.
12
2o) (Q,+), (R,+), (C,+) são grupos (aditivos) abelianos.
3o) (Q∗, ·), (R∗, ·), (C∗, ·) são grupos (multiplicativos) abelianos.
4o) (Z∗, ·) não é um grupo.
5o) Grupo aditivo das matrizes m× n. (comutativo).
Indicaremos GLn(K) o conjunto das matrizes inversíveis, então (GLn(K), ·) é um grupo.
6o) Grupo aditivo de classes de restos(comutativo) módulo m.
2.2 Propriedades elementares dos grupos
Seja (G, ∗) um grupo.
• O elemento neutro é único.
• O elemento simétrico de cada elemento de G é único.
•(a′)′ = a, qualquer que seja a ∈ G.
• (a ∗ b)′ = b′ ∗ a′.
• No grupo G, a equação a ∗ x = b tem conjunto solução unitário constituído pelo elemento
x = a′ ∗ b
• Se a ∗ x = a ∗ y, então x = y.
• Grupos de permutações
Na teoria dos grupos é chamada de permutação uma bijeção de um conjunto nele mesmo.
Se E é um conjunto não vazio denotaremos por S(E) o conjunto de todas as permutações
(bijeções) de E. A composição de aplicações é considerada uma operação sobre S(E). Pois a
composição de duas bijeções também será uma bijeção, i.e. se f : E −→ E e g : E −→ E são
bijeções, então g ◦ f : E −→ E também é uma bijeção.
Temos que essa operação é associativa, pois ∀f, g, e h, h ◦ (g ◦ f) = (h ◦ g) ◦ f .
Observemos também que iE : E −→ E, a aplicação identidade, que obviamente é uma
bijeção,é elemento neutro, visto que (iE ◦ f)(x) = iE(f(x)) = f(x), para todo x ∈ E, que
garante a igualdade iE ◦ f = f . Analogamente f ◦ iE = f.
Por fim, se f é uma permutação de E então f−1 (aplicação inversa) também será, pois
a inversa de uma bijeção também é uma bijeção, e esta será o elemento inverso de f para a
composição de aplicações, visto que f ◦ f−1 = f−1 ◦ f = iE. Portanto (S(E), ◦) é um grupo, o
grupo das permutações sobre E.
Um caso particular importante de grupos de permutações, é aquele que E = {1, 2, ..., n},
e n ≥ 1. E nesse caso a notação S(E) é simplificada por Sn, para indicar o conjunto das
13
permutações sobre E. E o grupo (Sn, ◦) tem o nome especial: grupo simétrico de grau n. Uma
visualização simples com analise combinatória pode se mostrar que esse grupo tem ordem n!.
Exemplo 2.2 Os elementos do grupo S3 são representados matricialmente por:
f0 =
(
1 2 3
1 2 3
)
, f1 =
(
1 2 3
2 3 1
)
, f 21 =
(
1 2 3
3 1 2
)
,
g1f1 =
(
1 2 3
3 2 1
)
, g1f
2
1 =
(
1 2 3
2 1 3
)
, g1 =
(
1 2 3
1 3 2
)
S3 = {f0, f1, f 21 , g1, g1f1, g1f 21}
Tabela de composição em S3:
◦ f0 f1 f 21 g1 g1 ◦ f1 g1 ◦ f 21
f0 f0 f1 f
2
1 g1 g1 ◦ f1 g1 ◦ f 21
f1 f1 f
2
1 f0 g1 ◦ f 21 g1 g1 ◦ f1
f 21 f
2
1 f0 f1 g1 ◦ f1 g1 ◦ f 21 g1
g1 g1 g1 ◦ f1 g1 ◦ f 21 f0 f1 f 21
g1 ◦ f1 g1 ◦ f1 g1 ◦ f 21 g1 f 21 f0 f1
g1 ◦ f 21 g1 ◦ f 21 g1 g1 ◦ f1 f1 f 21 f0
Note também que este grupo possui 6 elementos, ou seja o(S3) = 3! = 6 , como foi dito
anteriormente
2.3 Potência de um grupo
Definição 2.3 Seja G um grupo multiplicativo. Se a ∈ G e m é um número inteiro a potência
m-ésima de a, ou potência de a de expoente m, é o elemento de G denotado por am e definido
da seguinte maneira:
• se m ≥ 0, por recorrência, da seguinte forma
a0 = e (elemento neutro de G)
am = am−1a, se m ≥ 1
• se m < 0
am = (a−m)−1
Interpretação
14
a0 = e, a1 = a1−1a = a0a = ea = a, a2 = a2−1a = a1a = aa, ...
Consequência da definição: em = e.
Exemplo 2.3 . No grupo multiplicativo GL2(R) das matrizes reais 2 × 2 inversíveis, seja
A =
(
1 1
2 3
)
. Então A0 =
(
1 0
0 1
)
, A1 = A =
(
1 1
2 3
)
, A2 =
(
3 4
8 11
)
, ...
A−1 = [1/det(A)] · adj(A) = 1
1
(
3 −1
−2 1
)
=
(
3 −1
−2 1
)
,
A−2 = (A2)−1 =
(
3 4
8 11
)−1
=
1
1
(
11 −4
−8 3
)
=
(
11 −4
−8 3
)
, ...
Exemplo 2.4 . No grupo multiplicativo Z∗5 das classes de restos módulo 5, seja a = 2. Então:
2
0
= 1, 2
1
= 2, 2
2
= 2 · 2 = 4, 23 = 4 · 2 = 3, ...
2
−1
= 3, 2
−2
= (2
2
)−1 = (4)−1 = 4, ...
Nessas condições vale que
Seja G um grupo multiplicativo. Se m e n são números inteiros e a ∈ G, então
(i) aman = am+n;
(ii) a−m = (am)−1;
(iii) (am)n = amn
2.4 Subgrupo - definição e caracterização
Consideremos o grupo (R,+). Observemos que Z, por exemplo, é um subconjunto de R para o
qual valem as seguintes propriedades:
(a) Z é fechado para a adição;
(b) (Z,+) pe um grupo.
Diz-se que Z é um subgrupo de R. Q também é um subgrupo de R
Definição 2.4 Seja (G, ∗) um grupo. Diz-se que um subconjunto não vazio H ⊂ G é um
subgrupo de G se:
• H é fechado para a operação ∗. (isto é, se a, b ∈ H então a ∗ b ∈ H)
• (H, ∗) também é um grupo. (aqui o símbolo ∗ indica a restrição sa operação de G aos
elementos de H)
15
Proposição 2.1 Seja (G, ∗) um grupo. Para que o subconjunto H ⊂ G seja um subgrupo de
G, é necessário e suficiente que a ∗ b′ ∈ H sempre que a e b pertencerem a H.
Observe que:
Se o grupo é aditivo, então a condição de subgrupo dada pela proposição anterior apresenta-
se assim:
• Se a, b ∈ H, então .a+ (−b) ∈ H
No caso do grupo multiplicativo:
• Se a, b ∈ H, então .a · b−1 ∈ H.
Exemplo 2.5 . Consideremos o grupo aditivo M2(R). Vamos mostrar, usando a proposição
anterior que
H =
{(
a b
c d
)
∈M2(R); a+ d = 0
}
é um subgrupo de M2(R).
Exemplo 2.6 . Considere os grupos multiplicativos G e L com elementos neutros 1. Então
indiquemos
{1} × L = {(x, y) ∈ G× L | x = 1}
G× {1} = {(x, y) ∈ G× L | y = 1}
são subgrupos do produto direto G× L.
2.5 Subgrupo gerado por um conjunto
Exemplo 2.7 . Seja G um grupo qualquer e a ∈ G. Seja [a] = {ai, i ∈ Z} o conjunto formado
por todas as potências do elemento a ∈ G. [a] é um subgrupo de G.
2.6 Subgrupo Cíclico
Definição 2.5 Dado um grupo G e a ∈ G, o subgrupo [a] ⊂ G é chamado subgrupo cíclico
gerado por a. No caso em que [a] = G, para algum G, dizemos que G é um grupo cíclico.
Neste caso a é chamado gerador de G.
Então, dizer que um grupo multiplicativo G é cíclico significa que
G = {am | m ∈ Z} para alguma ∈ G.
16
No caso aditivo significa, ajustando a notação, que G inclui um elemento a tal que
G = {ma | m ∈ Z} = {..., (−2)a,−a, e = 0 · a, a, 2 · a, ...}
Exemplo 2.8 . Seja o grupo Z∗5. Calculemos [2].
Exemplo 2.9 . Seja agora o grupo Z com a operação de adição. Calculemos [3]
17
Capítulo 3
Classes Laterais
3.1 Classes laterais - definição e propriedades
Sejam G um grupo, H um subconjunto de G e a um elemento de G. Usamos as seguintes
notações:
aH = {ah|h ∈ H}, Ha = {ha|h ∈ H}
Definição 3.1 Seja H um subgrupo do grupo G. O conjunto aH diz-se classe lateral a esquerda
de H em G, determinado por a. O conjunto Ha diz-se classe lateral à direita de H em G,
determinado por a.
O elemento a diz-se um representante da classe lateral aH (ou Ha).
Exemplo 3.1 Consideremos agora o grupo simétrico G = S3. Verifiquemos as classes laterais
à direita e a esquerda de H = {f0, f1, f 22}.
Exemplo 3.2 Seja G o grupo aditivo Z6. Considere o subgrupo H = {0̄, 3̄}. Verifiquemos as
classes laterais à direita e a esquerda de H.
Exemplo 3.3 No grupo multiplicativo G = {1,−1, i,−i} das raízes quárticas da unidade, con-
sideremos o subgrupo H = {1,−1}. Verifique todas as classes laterais.
Proposição 3.1 Seja G um grupo finito. H um subgrupo de G e a, b ∈ G
1. aH = bH ⇔ b−1a ∈ H
2. Se aH ∩ bH 6= ∅, então aH = bH, ou equivalentemente, se aH 6= bH, então aH ∩ bH = ∅.
3. Todas as classes laterais tem |H| elementos, isto é, o(aH) = o(H), ∀a ∈ G.
4. existem elementos a1, a2, ..., ak ∈ G, com a1 = eG, tal que
G = a1H ∪ a2H ∪ ... ∪ akH18
e a união é disjunta (a união de todas as classes laterais é igual a G).
Definição 3.2 (Conjunto das classes laterais) sejam G um grupo e H um subgrupo de G.
Denotamos por
G/H = {aH, a ∈ G}
o conjunto das classes laterais à esquerda com respeito a H.
3.2 Teorema de Lagrange
Sejam G um grupo finito e H um subconjunto de G. Então a ordem de H divide a ordem de G.
Definição 3.3 Sejam G um grupo e H um subgrupo de G. Definimos a seguinte operação no
conjunto das classes laterais G/H = {aH, a ∈ G}.
aH.bH = (ab)H , ∀aH, bH ∈ G/H
No entanto, precisamos saber se esta operação está bem definida, ou seja, se ela independe
da escolha dos representantes a e b das classes laterais aH, bH, respectivamente.
3.3 Subgrupo Normal
Definição 3.4 Um subgrupo N de um grupo G é chamado de um subgrupo normal de G se
gN = Ng, para todo g ∈ G.
Exemplo 3.4 Consideremos o grupo simétrico G = S3. O subgrupo H = {f0, f1, f 21} é normal,
pois gH = Hg, ∀g ∈ G
3.4 Grupo Quociente
Teorema 3.1 Sejam G um grupo e H um subgrupo normal de G tal que aH = Ha para todo
a ∈ G. Então G/H, munido da operação definida em G/H é um grupo. Chamamos esse grupo
de grupo quociente de G com respeito a H.
Exemplo 3.5 Retornando ao subgrupo H = {f0, f1, f 21} de S3, vimos que H é um subgrupo
normal de S3. O grupo quociente S3/H = {H, gH}.
19
Capítulo 4
Homomorfismo de Grupos
4.1 Definição e propriedades
Dá-se o nome de homomorfismo de um grupo (G, ∗) num grupo (H,�) a toda aplicação f :
G −→ H tal que, quaisquer que sejam x, y ∈ G
f(x ∗ y) = f(x)� f(y)
Se G = H e a operação é a mesma, então f é chamada de um homomorfismo de G.
Se um homomorfismo é uma aplicação injetora, então é chamado de homomorfismo inje-
tor. E se for uma aplicação sobrejetora, de homomorfismo sobrejetor. O caso em f é bijetora
corresponde ao conceito de isomorfismo.
Exemplo 4.1 .
1o) Sejam os grupos G = (R∗+, ·) e H = (R,+). Defina a aplicação f : G −→ H por
f(x)= log x. A aplicação f assim definida é um homomorfismo.
2o) Sejam os grupos G = (R,+) e H = (R+, ·). Defina a aplicação f : G −→ H por
f(x) = 2x. A aplicação f assim definida é um isomorfismo.
3o) Seja ψ : (Z6,+) −→ (Z6,+) dada por ψ(x) = 2x. A aplicação ψ assim definida é um
homomorfismo injetor.
4o) A aplicação φ : (R,+) −→ (R,+) definida por φ(x) = x3 não é um homomorfismo.
Considerando φ : (R, ·) −→ (R, ·) definida por φ(x) = x3 é um homomorfismo?
Lema 4.1 Sejam G e H grupos, e f : G→ H um homomorfismo. Então
1.f(eG) = eH ; onde eG ∈ G e eH ∈ H são os elementos neutros.
2. f(a′) = f(a)′ ∀a ∈ G
20
Lema 4.2 Se S é um subgrupo de G, então f(S) é um subgrupo de H.
Em outros termos, o lema anterior garante que um homomorfismo de grupos f : G → H
transforma subgrupos de G em subgrupos de J. Em particular Im(f) é um subgrupo de H.
4.2 Núcleo e Imagem do homomorfismo
Sejam G e H grupos, e f : G→ H um homomorfismo. Definimos o núcleo de f, denotado por
Ker(f), como segue
ker(f) = {x ∈ G | f(x) = eH}
Exemplo 4.2 Seja ψ : (Z,+) → (Z,+) definida por ψ(x) = 2x para todo x ∈ Z, claramente,
ψ é um homomorfismo e Ker(ψ) = {0}.
Lema 4.3 Seja f : G→ H um homomorfismo. Então
1. Ker(f) é um subgrupo de G.
2. f é injetora se, e somente se, ker(f) = eG.
4.3 Grupos Isomorfos
4.4 Teorema do Homomorfismo
4.5 Automorfismo de grupos
21
Capítulo 5
Anéis e Corpos
5.1 Definição - exemplos
Definição 5.1 Um conjunto não vazio A, juntamente com duas operações binárias + e ·, é
dito anel quando:
(i)(A,+) é um grupo abeliano, ou seja:
(a) a+ (b+ c) = (a+ b) + c, ∀a, b, c ∈ G;
(b) a+ b = b+ a, ∀a, b ∈ G;
(c) ∃ 0A, tal que a+ 0A = a, ∀a ∈ G.
(d) ∀a ∈ G,∃ − a ∈ G tal que a+ (−a) = 0A.
(ii) · é associativa, ou seja: a · (b · c) = (a · b) · c, ∀a, b, c ∈ G;
(iii) Valem as leis distribuitivas:
a · (b+ c) = a · b+ a · c,
(b+ c) · a = b · a+ c · a, ∀a, b, c ∈ G;
Notação: (A,+, ·) denotará um anel A com as operações + e ·.
Exemplo 5.1 .
1o)(Z,+, ·) é um anel.
0 é o elemento neutro da adição. A operação · é comutativa.
2o) (Q,+, ·), (R,+, ·) e (C,+, ·) são anéis.
3o) Para todo n ≥ 0, seja nZ = {na; a ∈ Z} com as operações induzidas pelas operações de
Z, temos que (nZ,+, ·) é um anel, onde a operação · é comutativa e não tem elemento neutro
para esta operação, se n 6= 1.
Exemplo 5.2 . Sejam A = Zn = {0, 1, 2, ..., n− 1}, n ≥ 0, +, · operações em Zn, definidas
22
por:
a+ b = a+ b
a · b = a · b
(Zn,+, ·) é um anel, onde a operação · é comutativa e tem elemento neutro 1. Este anel é
chamado o anel dos inteiros modulo n.
Lembrete:
Para todo a, b ∈ Zn, temos: a = b ⇔ a ≡ b mod n ⇔ n | (a − b) ⇔ a e b tem o mesmo resto
quando divididos por n.
Definição 5.2 Um anel (A,+, ·) onde a operação · é comutativa é dito ser um anel comu-
tativo.
Um anel (A,+, ·) onde · tem elemento neutro é dito ser um anel com elemento identidade.
Tal elemento será indicado por 1 ou 1A.
Exemplo 5.3 .
1o) Seja A = {f : R −→ R}. Para todo f, g ∈ A, definimos
(f + g)(x) = f(x) + g(x),
(f · g)(x) = f(x) · g(x),∀x ∈ R
(A,+, ·) é um anel comutativo com elemento identidade.
2o)(M2(Z),+, ·) é um anel com
1A =
(
1 0
0 1
)
que não é comutativo.
5.2 Propriedades básicas
Seja (A,+, ·) um anel.
(a) As propriedades aqui reunidas são consequências do fato de que a adição é uma operação
sobre A e de que (A,+) é um grupo aditivo abeliano.
• O elemento neutro 0A é único.
•O oposto −a de um elemento a do anel é único.
• Se a ∈ A, então −(−a) = a.
23
• Se a+ x = a+ y, então x=y (vale a lei do cancelamento).
• A equação a+ x = b tem uma única solução: o elemento b+ (−a).
(b) Se a ∈ A, então a · 0 = 0 · a = 0.
(c) Se a, b ∈ A, então a · (−b) = (−a)b = −(ab)
(c) Se a, b ∈ A, então (−a) · (−b) = ab.
Definição 5.3 (diferenças em um anel) Sejam a, b ∈ A. Chama-se diferença entre a e b e
indica-se por a− b o elemento a+ (−b) ∈ A. Portanto
a− b = a+ (−b)
(e) Se a, b ∈ A, então a(b− c) = ab− ac e (a− b)c = ac− bc
5.3 Domínio de Integridade
Consideremos o anel dos inteiros Z e o anel ZZ das funções de Z em Z. Embora ambos, como já
vimos, sejam anéis comutativos, com unidade, eles diferem num ponto importante. Isso porque,
enquanto no primeiro vale a lei do anulamento do produto, no segundo isso não acontece.
Lei do anulamento
"Se a, b ∈ Z e a · b = 0, então a = 0 ou b = 0"
Definição 5.4 Seja A um anel comutativo com unidade. Se para esse anel vale a lei do an-
ulamento do produto, ou seja, se uma igualdade do tipo a · b = 0A em que a, b ∈ A, só for
possível para a = 0A ou b = 0A, então se diz que A é um domínio de integridade ou anel de
integridade.
Forma Contrapositiva
"Se a 6= 0A e b 6= 0A então a · b 6= 0A"
Exemplo 5.4 .
1o) Todos os anéis numéricos Z,Q,R e C são anéis de integridade.
2o) Z6 não é um anel de integridade.
3o) Se m > 1 é um inteiro composto, então sempre há divisores de zero no anel Zm.
Proposição 5.1 Um anel de classes de restos Zm é um anel de integridade se, e somente se,
m é um número primo.
24
Proposição 5.2 Seja A um domínio de integridade e a, b, c ∈ A. Se a · b = a · c e a 6= 0, então
b = c.
5.4 Corpos
Definição 5.5 Sejam A um anel comutativo e com unidade e a ∈ A. Dizemos que a é um
elemento invertível, se existe b ∈ A tal que a · b = 1. Neste caso, dizemos que b é um
elemento inverso de a. Como o elemento inverso é único, podemos denota-lo po a−1. Daí,
a · a−1 = a−1 · a = 1
Exemplo 5.5 .
1o) Os únicos elementos invertíveis do anel Z são 1 e -1, pois (−1)(−1) = 1 e 1 · 1 = 1.
2o) Se A é um anel, 0 não é invertível pois 0 · a = 0,∀a ∈ A
3o) Em Q,R e C só 0 não é inversível.
Proposição 5.3 Um elemento ā do anel Zn, das classes residuais módulo n, é inversível, se e
somente se mdc(a, n) = 1.
Exemplo 5.6 .
1o) Em Z6 os elementos invertíveis são 1̄ e 5̄, Já em Z9 são 1̄, 2̄, 4̄, 5̄, 7̄, 8̄.
2o) Para todo p primo, os elementos inversos do anel Zp = {0̄, 1̄, 2̄, ..., p− 1}.
Definição 5.6 Um anel A comutativo com unidade é chamado de corpo, se todo elemento não
nulo de A é invertível.
Exemplo 5.7 .
1o) Q, R e C são corpos. Agora, o anel Z é um domínio de integridade, mas não é um corpo.
2o) Zp é um corpo para todo p primo.
Proposição 5.4 Todo corpo é um domínio de integridade.
25
5.5 Subaneis e subcorpos
Definição 5.7 (Subanel) Sejam (A,+, ·) um anel e L um subconjunto não vazio de A. Diz-se
que L é um subanel de A se:
(i)L é fechado para as operações que dotam o conjunto A da estrutura de anel;
(ii)(L,+, ·) também é um anel.
Naturalmente a adição e a multiplicação considerada são as mesmas de A, porém restritas
aos elementos de L.
Exemplo 5.8 . Z é um subanel de Q e R . Q é subanel de R;
Proposição 5.5 Sejam A um anel e L um subconjunto não vazio de A. Então L é um subanel
de A se, e somente se
S1. a− b ∈ L; e
S2. ab ∈ L, sempre que a, b ∈ L.
Exemplo 5.9 .
1o) 2Z = {2k, k ∈ Z} é um subanel de Z.
2o) L = {a+ b
√
2 | a, b ∈ Z} é um subanel de R.
Unidades diferentes!
A =
{(
a 0
0 b
)
, a, b ∈ R
}
com unidade IA =
(
1 0
0 1
)
.
Seja agora S =
{(
a 0
0 0
)
, a ∈ R
}
. S é subanel de A com unidade IS =
(
1 0
0 0
)
.
Definição 5.8 (Subcorpo) Seja (K,+, ·) um corpo. Um subconjunto não vazio L ⊂ K é
chamado de subcorpo de K se é fechado para a adição e multiplicação de K e se L também é
uma estrutura de corpo (claro que com as operações de K, restritas aos elementos de L).
Exemplo 5.10 . Q é um subcorpo de R.
5.6 Ideais
Seja A um anel comutativo. Um subconjunto não vazio I, I ⊂ A será chamado de um ideal de
A se satisfaz as seguintes propriedades
26
I1. Se a, b ∈ I, então a− b ∈ I; e
I2. Se a ∈ A e b ∈ I, então ab ∈ I.
Exemplo 5.11 .
1o) Se A é um anel, então {0} e A são ideais de A, chamados de ideais triviais.
2o) Seja A um anel. Dado a ∈ A, o subconjunto 〈a〉 = {ta | t ∈ A} é um ideal de A, chamado
ideal gerado por a.
Definição 5.9 . Seja M um ideal num anel comutativo A. Diz-se que M é um ideal maximal
se M 6= A e se os únicos ideais em A que contém M são M e A.
Exemplo 5.12 2Z é um ideal maximalem Z.
Resultado: "Seja I um ideal de A e a unidade de A pertence a I, então I=A"
5.7 Homomorfismo de anéis
Dá-se o nome de homomorfismo de um anel (A,+, ·) num anel (B,+, ·) a toda aplicação f :
A −→ B tal que, quaisquer que sejam x, y ∈ A
f(x+ y) = f(x) + f(y)
e
f(x · y) = f(x) · f(y)
Quando se tratar do mesmo anel, o que presupões A = B, a mesma adição e a mesma
multiplicação em A, tanto no domínio, como no contradomínio, então f é chamada de um
homomorfismo de A.
Se um homomorfismo é uma aplicação injetora, então é chamado de homomorfismo inje-
tor. E se for uma aplicação sobrejetora, de homomorfismo sobrejetor. O caso em f é bijetora
corresponde ao conceito de isomorfismo.
Convém observar que, se A e B são anéis, então (A,+) e (B,+) são grupos e, portanto um
homomorfismo de aneis f : A −→ B também é um homomorfismo do grupo aditivo A no grupo
aditivo B.
Exemplo 5.13 .
1o) (Homomorfismo identidade) Dado um anel A, o homomorfismo identidade é definido
pela função identidade em A, ou seja, id : A −→ A, id(a) = a. id é um isomorfismo.
27
2o) Quaisquer que sejam os aneis A e B, a aplicação f : A −→ B, f(x) = 0B (x ∈ A) é um
homomorfismo injetor de anéis.
3o) Seja n ∈ Z, n > 1. Considere a função f : Z −→ Zn definida por f(a) = ā, onde ā é a
classe residual modulo n do inteiro a. f é um homomorfismo sobrejetor de aneis.
4o) Seja g : Z −→ M2(Z), definido por g(a) =
(
a 0
0 a
)
, ∀a ∈ Z. g é um homomorfismo
injetor de aneis.
5.8 Núcleo e Imagem do homomorfismo
Seja f : A → B um homomorfismo de anéis. Definimos o núcleo de f, denotado por N(f),ao
seguinte subconjunto de A
N(f) = {x ∈ A | f(x) = 0B}
Exemplo 5.14 Vamos determinar o núcleo de cada um dos homomorfismo do exemplo 5.13
Proposição 5.6 Seja f : A→ B um homomorfismo de anéis. Então
(1) f(0A) = 0B;.
(2) f(−a) = −f(a)
(3) f(a− b) = f(a)− f(b)
Proposição 5.7 Seja Seja f : A → B um homomorfismo sobrejetor de anéis e suponhamos
que A possua a unidade. Então
(1) f(1A) = 1B;.
(2) Se a ∈ A é inversível, então f(a) também o é e [f(a)]−1 = f(a−1).
Proposição 5.8 Se Seja f : A→ B um homomorfismo de anéis e L um subanel de A, então
f(L) é um subanel de B.
Proposição 5.9 Se Seja f : A→ B um homomorfismo de anéis e N(f) o núcleo de f. Então
(1) f(a)= f(b) se, e somente se b− a ∈ N(f).
(2) f é injetora se, e somente se N(f) = 0.
(3) Se A é um corpo, então f é injetora.
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