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1. Elimine o parâmetro para encontrar um equação cartesiana da curva (a) x = 3t− 5 e y = 2t+ 1 3t = x+ 5 → t = x+ 5 3 → y = 2 ( x+ 5 3 ) + 1 y = 2x+ 13 3 (b) x = t2 − 2 e y = 5− 2t, −3 ≤ t ≤ 4 y = 5− 2t → 2t = y − 5 → t = y − 5 2 x = ( y − 5 2 )2 −2 → x = y2 − 10y + 25 4 −2 → x = y2 − 10y + 25− 8 4 x = y2 − 10y + 7 4 (c) x = √ t e y = 1− t t = x2 → y = 1− x2 2. Encontre uma equação da tangente á curva no ponto correspondente ao valor do parâmetro dado: (a) x = t2 + t, y = t2 − t, t = 0 dx dt = d dt ( t2 + t ) = 2t+ 1 → t = 0, dx dt = 1 dy dt = d dt ( t2 − t ) = 2t− 1 → t = 0, dy dt = −1 dy dx = dy dt dx dt = −1 t = 0 x = 0, y = 0 y − 0 = −1(x− 0) → y = −x (b) x = e √ t, y = t− ln(t), t = 1 dx dt = e √ t 2 √ t → t = 1, dx dt = e dy dt = 1− 1 t → t = 1, dy dt = 0 1 dy dx = dy dt dx dt = 0 t = 1 x = e, y = 1 y − 1 = 0(x− e) y = 1 (c) x = 1 + ln(t), y = t2 + 2, t = 1 dx dt = 1 t → t = 1, dx dt = 1 dy dt = 2t,→ t = 1, dy dt = 2 dy dx = 2 t = 1 x = 1, y = 3 y − 3 = 2(x− 1) y = 2x+ 1 3. Encontre os pontos na curva onde a tangente é horizontal ou vertical. (a) x = 10− t2, y = t3 − 12t dx dt = −2t, dy dt = 3t2 − 12 Tangente horizontal dy dt = 0 → 3t2 − 12 = 0 → t2 = 4 → t = ±2 t = 2, x = 6, y = −16 t = −2, x = 6, y = 16 Tangente vertical dx dt = 0 → −2t = 0 → t = 0 t = 0, x = 10, y = 0 2 (b) x = 2cos(t), y = sen(t) dy dt = −2sen(t), dx dt = cos(t) Tangente horizontal dy dt = 0 → −2sen(t) = 0 t = 0 x = 1, y = 0 ou t = π x = −1, y = 0 Tangente vertical dx dt = 0 → cos(t) = 0 t = π 2 x = 0, y = 1 ou t = 3π 2 x = 0, y = −1 4. Use as equações paramétricas de uma elipse, x = acos(θ), y = bsen(θ), 0 ≤ θ ≤ 2π, para calcular a área limitada por essas curvas. 5. Calcule a área limitada pela curva x = t2 − 2t, y = √ t e pelo eixo y. y = √ t, x = t2 − 2t → dx = (2t− 2)dt t = y2 x = y4 − 2y2 x = 0 y4 − 2y2 = y2(y2 − 2) → y1,2 = 0 → y2 = 2 → y = ± √ 2 y = 0 → t = 0 y = ± √ 2 → t = 2 A = ∫ 2 0 t 1 2 (2t− 2)dt = ∫ 2 0 ( 2t 3 2 − 2t 1 2 ) dt A = 4 5 t 5 2 − 4 3 t 3 2 ∣ ∣ ∣ ∣ 2 0 A = 4 5 4 √ 2− 4 3 2 √ 2 = 8 √ 2 ( 2 5 − 1 3 ) = 8 √ 2 ( 6− 5 15 ) = 8 15 √ 2 3 6. Encontre a área limitada pelo eixo x e pela curva x = 1 + et, y = t, t = 1 7. Esboce a região no plano que consiste em pontos cujas as coordenadas polares satisfazem a condição dada: (a) 1 ≤ r ≤ 2 (b) r ≥ 0, π 3 ≤ θ ≤ 2π 3 (c) r ≤ 1, π ≤ θ ≤ 2π 8. Encontre a equação coordenadas cartesiana (a) rcos(θ) = 1 x = 1 (b) r = 2sen(θ) + 2cos(θ) r2 = 2rsen(θ) + 2rcos(θ) x2 + y2 = 2y + 2x x2 − 2x+ y2 − 2y = 0 x2 − 2x+ 1− 1 + y2 − 2y + 1− 1 = 0 (x− 1)2 + (y − 1)2 = 2 (c) r = tg(θ)sec(θ) 9. Encontre a equação em coordenadas polares (a) y = 2x− 1 (b) xy = 4 rcos(θ)rsen(θ) = 4 r2 = 4 1 cos(θ) 1 sen(θ) r2 = 4sec(θ)cossec(θ) 10. Encontre a área dentro de um laço da curva (a) r = sen(θ) A = 1 2 ∫ θ1 θ0 r2dθ A = 1 2 ∫ π 0 sen2(θ)dθ A = 1 2 1 2 ∫ π 0 (1− cos(2θ)) dθ A = 1 4 [ θ − 1 2 sen(2θ) ]π 0 A = π 4 4 (b) r = 3cos(5θ) A = 1 2 ∫ θ1 θ0 r2dθ A = 1 2 ∫ π 10 − π 10 9cos2(5θ)dθ A = 9 2 × 1 2 × 2 ∫ π 10 0 (1 + cos(10θ)) dθ A = 9 2 [ θ + 1 10 sen(10θ) ] π 10 0 A = 9 2 × π 10 A = 9π 20 (c) r = 1 + 2sen(θ) 11. Identifique o tipo de seção cônica cuja equação é dada e encontre vértices e focos (a) y2 − 8y = 6x− 16 y2 − 8y + 16− 16 = 6x− 16 (y − 4)2 = 6x− 16 + 16 (y − 4)2 = 6x parábola (b) 4x2 + 4x+ 4y2 = 0 4 ( x2 + x+ 1 4 − 1 4 ) + 4y2 = 0 4 [ ( x+ 1 2 )2 − 1 4 ] + 4y2 = 0 4 ( x+ 1 2 )2 + 4y2 = 1 ( x+ 1 2 )2 1 4 + y2 1 4 = 1 Elipse (c) x2 = y2 + 1 12. Coloque a equação na forma padrão e classifique a superf́ıcie 5 (a) 4x2 + y2 + 4z2 − 4y − 24z + 36 = 0 4x2 + y2 − 4y + 4z2 − 24z = −36 4x2 + y2 − 4y + 4− 4 + 4(z2 − 6z + 9− 9) = −36 4x2 + (y − 2)2 − 4 + 4[(z − 3)2 − 9] = −36 4x2 + (y − 2)2 + (z − 3)2 = 4 x2 + (y − 2)2 4 + (z − 3)2 4 = 1 Elipsoide (b) x2 − y2 + z2 − 4x− 2y − 2z + 4 = 0 (c) z2 = 4x2 + 9y2 + 36 −4x2 − 9y2 + z2 = 36 − x2 9 − y2 4 + z2 36 = 1 Hiperboloide de duas folhas. 13. Calcule a área de um laço r = cos(6θ) A = 1 2 ∫ θ1 θ0 r2dθ Temos x = cos(6θ)cos(θ), y = cos(6θ)sen(θ) Quando θ = 0 temos x = cos(0)cos(0) = 1× 1 = 1, y = cos(0)sen(0) = 1× 0 = 0 Na origem temos x = y = 0 x = cos(6θ)cos(θ), y = cos(6θ)sen(θ) a única solução é que o termo comum a x e y seja zero, portanto cos(6θ) = 0 isso ocorre quando 6θ = π 2 portanto θ = π 12 . 6 Quando fazemos a integral de 0 até π 12 , calculamos a área da metada de um laço (ver figura). Assim temos que multiplicar a integral por dois A = 1 2 × 2× ∫ π 2 0 cos2(6θ)dθ, lembrando que cos2(α) = 1 2 + 1 2 cos(2α). Fazendo α = 6θ teremos cos2(6θ) = 1 2 + 1 2 cos(12θ). Assim A = ∫ π 12 0 [ 1 2 + 1 2 cos(12θ) ] dθ A = 1 2 ∫ π 12 0 [1 + cos(12θ)] dθ A = 1 2 { θ + 1 12 sen(12θ) } ∣ ∣ ∣ ∣ π 12 0 A = 1 2 { ( π 12 − 0 ) − 1 12 [ sen ( 12 π 12 ) − sen(0) ] } A = π 24 7
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