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Exercicíos Resolvidos - Parametrização

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1. Elimine o parâmetro para encontrar um equação cartesiana da curva
(a) x = 3t− 5 e y = 2t+ 1
3t = x+ 5 → t =
x+ 5
3
→ y = 2
(
x+ 5
3
)
+ 1
y =
2x+ 13
3
(b) x = t2 − 2 e y = 5− 2t, −3 ≤ t ≤ 4
y = 5− 2t → 2t = y − 5 → t =
y − 5
2
x =
(
y − 5
2
)2
−2 → x =
y2 − 10y + 25
4
−2 → x =
y2 − 10y + 25− 8
4
x =
y2 − 10y + 7
4
(c) x =
√
t e y = 1− t
t = x2 → y = 1− x2
2. Encontre uma equação da tangente á curva no ponto correspondente ao
valor do parâmetro dado:
(a) x = t2 + t, y = t2 − t, t = 0
dx
dt
=
d
dt
(
t2 + t
)
= 2t+ 1 → t = 0,
dx
dt
= 1
dy
dt
=
d
dt
(
t2 − t
)
= 2t− 1 → t = 0,
dy
dt
= −1
dy
dx
=
dy
dt
dx
dt
= −1
t = 0
x = 0, y = 0
y − 0 = −1(x− 0) → y = −x
(b) x = e
√
t, y = t− ln(t), t = 1
dx
dt
=
e
√
t
2
√
t
→ t = 1,
dx
dt
= e
dy
dt
= 1−
1
t
→ t = 1,
dy
dt
= 0
1
dy
dx
=
dy
dt
dx
dt
= 0
t = 1
x = e, y = 1
y − 1 = 0(x− e)
y = 1
(c) x = 1 + ln(t), y = t2 + 2, t = 1
dx
dt
=
1
t
→ t = 1,
dx
dt
= 1
dy
dt
= 2t,→ t = 1,
dy
dt
= 2
dy
dx
= 2
t = 1
x = 1, y = 3
y − 3 = 2(x− 1)
y = 2x+ 1
3. Encontre os pontos na curva onde a tangente é horizontal ou vertical.
(a) x = 10− t2, y = t3 − 12t
dx
dt
= −2t,
dy
dt
= 3t2 − 12
Tangente horizontal
dy
dt
= 0 → 3t2 − 12 = 0 → t2 = 4 → t = ±2
t = 2, x = 6, y = −16
t = −2, x = 6, y = 16
Tangente vertical
dx
dt
= 0 → −2t = 0 → t = 0
t = 0, x = 10, y = 0
2
(b) x = 2cos(t), y = sen(t)
dy
dt
= −2sen(t),
dx
dt
= cos(t)
Tangente horizontal
dy
dt
= 0 → −2sen(t) = 0
t = 0
x = 1, y = 0
ou
t = π
x = −1, y = 0
Tangente vertical
dx
dt
= 0 → cos(t) = 0
t =
π
2
x = 0, y = 1
ou
t =
3π
2
x = 0, y = −1
4. Use as equações paramétricas de uma elipse, x = acos(θ), y = bsen(θ), 0 ≤
θ ≤ 2π, para calcular a área limitada por essas curvas.
5. Calcule a área limitada pela curva x = t2 − 2t, y =
√
t e pelo eixo y.
y =
√
t, x = t2 − 2t → dx = (2t− 2)dt
t = y2
x = y4 − 2y2
x = 0
y4 − 2y2 = y2(y2 − 2) → y1,2 = 0 → y2 = 2 → y = ±
√
2
y = 0 → t = 0
y = ±
√
2 → t = 2
A =
∫
2
0
t
1
2 (2t− 2)dt =
∫
2
0
(
2t
3
2 − 2t
1
2
)
dt
A =
4
5
t
5
2 −
4
3
t
3
2
∣
∣
∣
∣
2
0
A =
4
5
4
√
2−
4
3
2
√
2 = 8
√
2
(
2
5
−
1
3
)
= 8
√
2
(
6− 5
15
)
=
8
15
√
2
3
6. Encontre a área limitada pelo eixo x e pela curva x = 1 + et, y = t, t = 1
7. Esboce a região no plano que consiste em pontos cujas as coordenadas
polares satisfazem a condição dada:
(a) 1 ≤ r ≤ 2
(b) r ≥ 0, π
3
≤ θ ≤ 2π
3
(c) r ≤ 1, π ≤ θ ≤ 2π
8. Encontre a equação coordenadas cartesiana
(a) rcos(θ) = 1
x = 1
(b) r = 2sen(θ) + 2cos(θ)
r2 = 2rsen(θ) + 2rcos(θ)
x2 + y2 = 2y + 2x
x2 − 2x+ y2 − 2y = 0
x2 − 2x+ 1− 1 + y2 − 2y + 1− 1 = 0
(x− 1)2 + (y − 1)2 = 2
(c) r = tg(θ)sec(θ)
9. Encontre a equação em coordenadas polares
(a) y = 2x− 1
(b) xy = 4
rcos(θ)rsen(θ) = 4
r2 = 4
1
cos(θ)
1
sen(θ)
r2 = 4sec(θ)cossec(θ)
10. Encontre a área dentro de um laço da curva
(a) r = sen(θ)
A =
1
2
∫ θ1
θ0
r2dθ
A =
1
2
∫ π
0
sen2(θ)dθ
A =
1
2
1
2
∫ π
0
(1− cos(2θ)) dθ
A =
1
4
[
θ −
1
2
sen(2θ)
]π
0
A =
π
4
4
(b) r = 3cos(5θ)
A =
1
2
∫ θ1
θ0
r2dθ
A =
1
2
∫ π
10
−
π
10
9cos2(5θ)dθ
A =
9
2
×
1
2
× 2
∫ π
10
0
(1 + cos(10θ)) dθ
A =
9
2
[
θ +
1
10
sen(10θ)
]
π
10
0
A =
9
2
×
π
10
A =
9π
20
(c) r = 1 + 2sen(θ)
11. Identifique o tipo de seção cônica cuja equação é dada e encontre vértices
e focos
(a) y2 − 8y = 6x− 16
y2 − 8y + 16− 16 = 6x− 16
(y − 4)2 = 6x− 16 + 16
(y − 4)2 = 6x
parábola
(b) 4x2 + 4x+ 4y2 = 0
4
(
x2 + x+
1
4
−
1
4
)
+ 4y2 = 0
4
[
(
x+
1
2
)2
−
1
4
]
+ 4y2 = 0
4
(
x+
1
2
)2
+ 4y2 = 1
(
x+ 1
2
)2
1
4
+
y2
1
4
= 1
Elipse
(c) x2 = y2 + 1
12. Coloque a equação na forma padrão e classifique a superf́ıcie
5
(a) 4x2 + y2 + 4z2 − 4y − 24z + 36 = 0
4x2 + y2 − 4y + 4z2 − 24z = −36
4x2 + y2 − 4y + 4− 4 + 4(z2 − 6z + 9− 9) = −36
4x2 + (y − 2)2 − 4 + 4[(z − 3)2 − 9] = −36
4x2 + (y − 2)2 + (z − 3)2 = 4
x2 +
(y − 2)2
4
+
(z − 3)2
4
= 1
Elipsoide
(b) x2 − y2 + z2 − 4x− 2y − 2z + 4 = 0
(c) z2 = 4x2 + 9y2 + 36
−4x2 − 9y2 + z2 = 36
−
x2
9
−
y2
4
+
z2
36
= 1
Hiperboloide de duas folhas.
13. Calcule a área de um laço r = cos(6θ)
A =
1
2
∫ θ1
θ0
r2dθ
Temos
x = cos(6θ)cos(θ), y = cos(6θ)sen(θ)
Quando θ = 0 temos
x = cos(0)cos(0) = 1× 1 = 1, y = cos(0)sen(0) = 1× 0 = 0
Na origem temos
x = y = 0
x = cos(6θ)cos(θ), y = cos(6θ)sen(θ)
a única solução é que o termo comum a x e y seja zero, portanto
cos(6θ) = 0
isso ocorre quando
6θ =
π
2
portanto
θ =
π
12
.
6
Quando fazemos a integral de 0 até π
12
, calculamos a área da metada de
um laço (ver figura). Assim temos que multiplicar a integral por dois
A =
1
2
× 2×
∫ π
2
0
cos2(6θ)dθ,
lembrando que
cos2(α) =
1
2
+
1
2
cos(2α).
Fazendo α = 6θ teremos
cos2(6θ) =
1
2
+
1
2
cos(12θ).
Assim
A =
∫ π
12
0
[
1
2
+
1
2
cos(12θ)
]
dθ
A =
1
2
∫ π
12
0
[1 + cos(12θ)] dθ
A =
1
2
{
θ +
1
12
sen(12θ)
}
∣
∣
∣
∣
π
12
0
A =
1
2
{
( π
12
− 0
)
−
1
12
[
sen
(
12
π
12
)
− sen(0)
]
}
A =
π
24
7