Integral de linha - Exercício resolvido

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• , onde C é a metade direita do círculo .xy ds∫ 4 x + y = 162 2
Resolução:
Colocando x e y em equações paramétricas: x + y = 16 + = 12 2 →
x
4
2
( )2
y
4
2
( )2
comparando com;
cos t + sen t = 1, podemos concluir que :2( ) 2( )
= cos t = = cos t x = 4cos t
x
4
2
( )2
2( ) →
x
4
2
( )2
cos t2( ) →
x
4
( ) → ( )
= sen t = = sen t y = 4sen t
y
4
2
( )2
2( ) →
y
4
2
( )2
sen t2( ) →
y
4
( ) → ( )
 
Equação parametrica do círculo;
 
; - ⩽ t ⩽
x = 4cos t( ) 
y = 4sen t( ) 
𝜋
2
𝜋
2
derivando em relação a t; = - 4sen t ; = 4cos t
dx
dt
( )
dy
dt
( )
 
Sabemos que: f x, y ds = f x t , y t
C
∫ ( )
b
a
∫ ( ( ) ( )) +𝜕x
𝜕t
2
𝜕y
𝜕t
2
Substituindo;
f x, y ds = 4cos t ⋅ 4sen t dt
C
∫ ( ) ∫
𝜋
2
-
𝜋
2
( ) ( ( ))4 -4sen t + 4cos t( ( ))2 ( ( ))2
f x, y ds = 4cos t ⋅ 4 sen t dt
C
∫ ( ) ∫
𝜋
2
-
𝜋
2
( ) ( )4 4( ) 4 sen t + 4 cos t( )2 2( ) ( )2 2( )
f x, y ds = 4cos t ⋅ 4 sen t dt
C
∫ ( ) ∫
𝜋
2
-
𝜋
2
( ) ( )4 4( ) 4 sen t + cos t( )2 2( ) 2( )
 
 
-1
0
1
-
𝜋
2
𝜋
2
x
y
f x, y ds = 4 cos t ⋅ sen t dt
C
∫ ( ) ∫
𝜋
2
-
𝜋
2
( )6 ( ) 4( ) sen t + cos t2( ) 2( )
sen t + cos t = 12( ) 2( )
f x, y ds = 4 cos t ⋅ sen t dt
C
∫ ( ) ( )6∫
𝜋
2
-
𝜋
2
( ) 4( ) 1
f x, y ds = 4 cos t ⋅ sen t dt
C
∫ ( ) ( )6∫
𝜋
2
-
𝜋
2
( ) 4( )
Resolvendo a inegral em sua frorma indefinida;
cos t ⋅ sen t dt = sen t ⋅ cos t dt, fazendo : u = sen t∫ ( ) 4( ) ∫ 4( ) ( ) ( )
 du = cos t dt( )
Substituindo e resolvendo: u du = + c = + c∫ 4 u 
5
5 sen t 
5
5( )
Voltando para a integral definida;
4 cos t ⋅ sen t dt = 4 = 4 -( )6∫
𝜋
2
-
𝜋
2
( ) 4( ) ( )6
sen t 
5
5( )
-
𝜋
2
𝜋
2
( )6
sen 
5
5 𝜋
2
sen - 
5
5 𝜋
2
= 4 - = 4 +( )6
1 
5
-1 
5
( )
( )6
1 
5
1 
5
 f x, y ds = 4 cos t ⋅ sen t dt = 4 ⋅
C
∫ ( ) ( )6∫
𝜋
2
-
𝜋
2
( ) 4( ) ( )6
2
5
 
 
 
(Resposta)