7 Determinantes - Parte 2

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Álgebra Linear I
Determinantes - Parte II
Prof. Hugo Nunes
Matemática Licenciatura
Instituto Federal de Alagoas
Campus Maceió
2019
1/33
Sumário
1 Determinantes
Regra de Cramer
Discussão de um Sistema Linear
2 Aplicações
Área de um triângulo
Equação de uma reta
Volume de um tetraedro
Equação de um plano
2/33
Determinantes
3/33
Regra de Cramer
3/33
Teorema - Regra de Cramer
Seja um sistema linear com número de equações igual ao de incógnitas. Se
det(A) 6= 0 então o sistema é posśıvel e determinado e sua única solução é
dada por:
x1 =
det(A1)
det(A)
, x2 =
det(A2)
det(A)
, · · · , xn =
det(An)
det(A)
em que Aj é a matriz obtida substituindo as entradas da j -ésima coluna de A
pela coluna dos termos independentes do sistema.
3/33
Temos que:
det(A) o determinante da matriz dos coeficientes das incógnitas (chama-
remos de determinante principal);
det(Ai) o determinante da matriz modificada através da troca da j -ésima
coluna pela coluna dos termos independentes.
4/33
Temos que:
det(A) o determinante da matriz dos coeficientes das incógnitas (chama-
remos de determinante principal);
det(Ai) o determinante da matriz modificada através da troca da j -ésima
coluna pela coluna dos termos independentes.
4/33
Exemplo
Dado o sistema 
x + 2z = 6
−3x + 4y + 6z = 30
−x − 2y + 3z = 8
use a regra de Cramer para resolver.
Solução.
Primeiramente, vamos construir a matriz dos coeficientes e calcular seu
determinante:
A =
 1 0 2−3 4 6
−1 −2 3
 ⇒ det(A) = 44
5/33
Exemplo
Dado o sistema 
x + 2z = 6
−3x + 4y + 6z = 30
−x − 2y + 3z = 8
use a regra de Cramer para resolver.
Solução.
Primeiramente, vamos construir a matriz dos coeficientes e calcular seu
determinante:
A =
 1 0 2−3 4 6
−1 −2 3
 ⇒ det(A) = 44
5/33
Exemplo
Dado o sistema 
x + 2z = 6
−3x + 4y + 6z = 30
−x − 2y + 3z = 8
use a regra de Cramer para resolver.
Solução.
Primeiramente, vamos construir a matriz dos coeficientes e calcular seu
determinante:
A =
 1 0 2−3 4 6
−1 −2 3
 ⇒ det(A) = 44
5/33
Exemplo
Dado o sistema 
x + 2z = 6
−3x + 4y + 6z = 30
−x − 2y + 3z = 8
use a regra de Cramer para resolver.
Solução.
Primeiramente, vamos construir a matriz dos coeficientes e calcular seu
determinante:
A =
 1 0 2−3 4 6
−1 −2 3
 ⇒ det(A) = 44
5/33
continuação.
Agora, substituiremos a primeira coluna pela coluna dos termos independentes
(chamaremos de Ax ):
A =
 1 0 2−3 4 6
−1 −2 3
 substituindo...−−−−−−−−→ Ax =
 6 0 230 4 6
8 −2 3

O determinante de Ax é:
det(Ax ) = −40
6/33
continuação.
Agora, substituiremos a primeira coluna pela coluna dos termos independentes
(chamaremos de Ax ):
A =
 1 0 2−3 4 6
−1 −2 3

substituindo...−−−−−−−−→ Ax =
 6 0 230 4 6
8 −2 3

O determinante de Ax é:
det(Ax ) = −40
6/33
continuação.
Agora, substituiremos a primeira coluna pela coluna dos termos independentes
(chamaremos de Ax ):
A =
 1 0 2−3 4 6
−1 −2 3
 substituindo...−−−−−−−−→
Ax =
 6 0 230 4 6
8 −2 3

O determinante de Ax é:
det(Ax ) = −40
6/33
continuação.
Agora, substituiremos a primeira coluna pela coluna dos termos independentes
(chamaremos de Ax ):
A =
 1 0 2−3 4 6
−1 −2 3
 substituindo...−−−−−−−−→ Ax =
 6 0 230 4 6
8 −2 3

O determinante de Ax é:
det(Ax ) = −40
6/33
continuação.
Agora, substituiremos a primeira coluna pela coluna dos termos independentes
(chamaremos de Ax ):
A =
 1 0 2−3 4 6
−1 −2 3
 substituindo...−−−−−−−−→ Ax =
 6 0 230 4 6
8 −2 3

O determinante de Ax é:
det(Ax ) = −40
6/33
continuação.
Em seguida, substituiremos a segunda coluna pela coluna dos termos inde-
pendentes (chamaremos de Ay):
A =
 1 0 2−3 4 6
−1 −2 3
 substituindo...−−−−−−−−→ Ay =
 1 6 2−3 30 6
−1 8 3

O determinante de Ay é:
det(Ay) = 72
7/33
continuação.
Em seguida, substituiremos a segunda coluna pela coluna dos termos inde-
pendentes (chamaremos de Ay):
A =
 1 0 2−3 4 6
−1 −2 3

substituindo...−−−−−−−−→ Ay =
 1 6 2−3 30 6
−1 8 3

O determinante de Ay é:
det(Ay) = 72
7/33
continuação.
Em seguida, substituiremos a segunda coluna pela coluna dos termos inde-
pendentes (chamaremos de Ay):
A =
 1 0 2−3 4 6
−1 −2 3
 substituindo...−−−−−−−−→
Ay =
 1 6 2−3 30 6
−1 8 3

O determinante de Ay é:
det(Ay) = 72
7/33
continuação.
Em seguida, substituiremos a segunda coluna pela coluna dos termos inde-
pendentes (chamaremos de Ay):
A =
 1 0 2−3 4 6
−1 −2 3
 substituindo...−−−−−−−−→ Ay =
 1 6 2−3 30 6
−1 8 3

O determinante de Ay é:
det(Ay) = 72
7/33
continuação.
Em seguida, substituiremos a segunda coluna pela coluna dos termos inde-
pendentes (chamaremos de Ay):
A =
 1 0 2−3 4 6
−1 −2 3
 substituindo...−−−−−−−−→ Ay =
 1 6 2−3 30 6
−1 8 3

O determinante de Ay é:
det(Ay) = 72
7/33
continuação.
Finalmente, substituiremos a terceira coluna pela coluna dos termos indepen-
dentes (chamaremos de Az ):
A =
 1 0 2−3 4 6
−1 −2 3
 substituindo...−−−−−−−−→ Ay =
 1 0 6−3 4 30
−1 −2 8

O determinante de Az é:
det(Az ) = 152
8/33
continuação.
Finalmente, substituiremos a terceira coluna pela coluna dos termos indepen-
dentes (chamaremos de Az ):
A =
 1 0 2−3 4 6
−1 −2 3

substituindo...−−−−−−−−→ Ay =
 1 0 6−3 4 30
−1 −2 8

O determinante de Az é:
det(Az ) = 152
8/33
continuação.
Finalmente, substituiremos a terceira coluna pela coluna dos termos indepen-
dentes (chamaremos de Az ):
A =
 1 0 2−3 4 6
−1 −2 3
 substituindo...−−−−−−−−→
Ay =
 1 0 6−3 4 30
−1 −2 8

O determinante de Az é:
det(Az ) = 152
8/33
continuação.
Finalmente, substituiremos a terceira coluna pela coluna dos termos indepen-
dentes (chamaremos de Az ):
A =
 1 0 2−3 4 6
−1 −2 3
 substituindo...−−−−−−−−→ Ay =
 1 0 6−3 4 30
−1 −2 8

O determinante de Az é:
det(Az ) = 152
8/33
continuação.
Finalmente, substituiremos a terceira coluna pela coluna dos termos indepen-
dentes (chamaremos de Az ):
A =
 1 0 2−3 4 6
−1 −2 3
 substituindo...−−−−−−−−→ Ay =
 1 0 6−3 4 30
−1 −2 8

O determinante de Az é:
det(Az ) = 152
8/33
continuação.
Portanto, a solução do sistema é:
x =
det(Ax )
det(A)
x =
−40
44
x =
−10
11
y =
det(Ay)
det(A)
y =
72
44
y =
18
11
z =
det(Az )
det(A)
z =
152
44
z =
38
11
9/33
continuação.
Portanto, a solução do sistema é:
x =
det(Ax )
det(A)
x =
−40
44
x =
−10
11
y =
det(Ay)
det(A)
y =
72
44
y =
18
11
z =
det(Az )
det(A)
z =
152
44
z =
38
11
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continuação.
Portanto, a solução do sistema é:
x =
det(Ax )
det(A)
x =
−40
44
x =
−10
11
y =
det(Ay)
det(A)
y =
72
44
y =
18
11
z =
det(Az )
det(A)
z =
152
44
z =
38
11
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continuação.
Portanto, a solução do sistema é:
x =
det(Ax )
det(A)
x =
−40
44
x =
−10
11
y =
det(Ay)
det(A)
y =
72
44
y =
18
11
z =
det(Az )
det(A)
z =
152
44
z =
38
11
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continuação.
Portanto, a solução do sistema é:
x =
det(Ax )
det(A)
x =
−40
44
x =
−10
11
y =
det(Ay)
det(A)
y =
72
44
y =
18
11
z =
det(Az )
det(A)
z =
152
44
z =
38
11
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continuação.
Portanto, a solução do sistema é:
x =
det(Ax )
det(A)
x =
−40
44
x =
−10
11
y =
det(Ay)
det(A)
y =
72
44
y =
18
11
z =
det(Az )
det(A)
z =
152
44
z =
38
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continuação.
Portanto, a solução do sistema é:
x =
det(Ax )
det(A)
x =
−40
44
x =
−10
11
y =
det(Ay)
det(A)
y =
72
44
y =
18
11
z =
det(Az )
det(A)
z =
152
44
z =
38
11
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continuação.
Portanto, a solução do sistema é:
x =
det(Ax )
det(A)
x =
−40
44
x =
−10
11
y =
det(Ay)
det(A)
y =
72
44
y =
18
11
z =
det(Az )
det(A)
z =
152
44
z =
38
11
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continuação.
Portanto, a solução do sistema é:
x =
det(Ax )
det(A)
x =
−40
44
x =
−10
11
y =
det(Ay)
det(A)
y =
72
44
y =
18
11
z =
det(Az )
det(A)
z =
152
44
z =
38
11
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continuação.Portanto, a solução do sistema é:
x =
det(Ax )
det(A)
x =
−40
44
x =
−10
11
y =
det(Ay)
det(A)
y =
72
44
y =
18
11
z =
det(Az )
det(A)
z =
152
44
z =
38
11
9/33
Discussão de um Sistema Linear
10/33
Para discussão de um sistema 2× 2, considere o sistema de equações a seguir:{
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
Sistema posśıvel e determinado:
a1
a2
6= b1
b2
Sistema posśıvel e indeterminado:
a1
a2
=
b1
b2
=
c1
c2
Sistema imposśıvel:
a1
a2
=
b1
b2
6= c1
c2
10/33
Para discussão de um sistema 2× 2, considere o sistema de equações a seguir:{
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
Sistema posśıvel e determinado:
a1
a2
6= b1
b2
Sistema posśıvel e indeterminado:
a1
a2
=
b1
b2
=
c1
c2
Sistema imposśıvel:
a1
a2
=
b1
b2
6= c1
c2
10/33
Para discussão de um sistema 2× 2, considere o sistema de equações a seguir:{
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
Sistema posśıvel e determinado:
a1
a2
6= b1
b2
Sistema posśıvel e indeterminado:
a1
a2
=
b1
b2
=
c1
c2
Sistema imposśıvel:
a1
a2
=
b1
b2
6= c1
c2
10/33
Para discussão de um sistema 2× 2, considere o sistema de equações a seguir:{
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
Sistema posśıvel e determinado:
a1
a2
6= b1
b2
Sistema posśıvel e indeterminado:
a1
a2
=
b1
b2
=
c1
c2
Sistema imposśıvel:
a1
a2
=
b1
b2
6= c1
c2
10/33
Para discussão de um sistema 2× 2, considere o sistema de equações a seguir:{
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
Sistema posśıvel e determinado:
a1
a2
6= b1
b2
Sistema posśıvel e indeterminado:
a1
a2
=
b1
b2
=
c1
c2
Sistema imposśıvel:
a1
a2
=
b1
b2
6= c1
c2
10/33
Exemplo
conteúdo...
11/33
Discutir um sistema é analisar sob quais condições ele admite soluções e,
quando estas existem, quantas são.
Pela Regra de Cramer, só poderemos fazer a discussão de um sistema qua-
drado. Assim, dada a matriz A associada ao sistema será:
Posśıvel e determinado: se det(A) 6= 0
Posśıvel e indeterminado: se det(A) = 0 e todos os det(Ai) = 0
Imposśıvel: se det(A) = 0 e algum det(Ai) 6= 0
12/33
Discutir um sistema é analisar sob quais condições ele admite soluções e,
quando estas existem, quantas são.
Pela Regra de Cramer, só poderemos fazer a discussão de um sistema qua-
drado. Assim, dada a matriz A associada ao sistema será:
Posśıvel e determinado: se det(A) 6= 0
Posśıvel e indeterminado: se det(A) = 0 e todos os det(Ai) = 0
Imposśıvel: se det(A) = 0 e algum det(Ai) 6= 0
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Discutir um sistema é analisar sob quais condições ele admite soluções e,
quando estas existem, quantas são.
Pela Regra de Cramer, só poderemos fazer a discussão de um sistema qua-
drado. Assim, dada a matriz A associada ao sistema será:
Posśıvel e determinado: se det(A) 6= 0
Posśıvel e indeterminado: se det(A) = 0 e todos os det(Ai) = 0
Imposśıvel: se det(A) = 0 e algum det(Ai) 6= 0
12/33
Discutir um sistema é analisar sob quais condições ele admite soluções e,
quando estas existem, quantas são.
Pela Regra de Cramer, só poderemos fazer a discussão de um sistema qua-
drado. Assim, dada a matriz A associada ao sistema será:
Posśıvel e determinado: se det(A) 6= 0
Posśıvel e indeterminado: se det(A) = 0 e todos os det(Ai) = 0
Imposśıvel: se det(A) = 0 e algum det(Ai) 6= 0
12/33
Discutir um sistema é analisar sob quais condições ele admite soluções e,
quando estas existem, quantas são.
Pela Regra de Cramer, só poderemos fazer a discussão de um sistema qua-
drado. Assim, dada a matriz A associada ao sistema será:
Posśıvel e determinado: se det(A) 6= 0
Posśıvel e indeterminado: se det(A) = 0 e todos os det(Ai) = 0
Imposśıvel: se det(A) = 0 e algum det(Ai) 6= 0
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Agora, iremos analisar sistemas lineares segundo os valores assumidos por parâ-
metros presentes nas equações, assim como impor valores a esses parâmetros
para que uma desejada situação ocorra.
Exemplo
Determine todos os valores reais de a para os quais o seguinte sistema linear
é imposśıvel: 
x + ay + z = 2
−x − 2y + 3z = −1
3x + az = 5
13/33
Agora, iremos analisar sistemas lineares segundo os valores assumidos por parâ-
metros presentes nas equações, assim como impor valores a esses parâmetros
para que uma desejada situação ocorra.
Exemplo
Determine todos os valores reais de a para os quais o seguinte sistema linear
é imposśıvel: 
x + ay + z = 2
−x − 2y + 3z = −1
3x + az = 5
13/33
Solução.
Vamos pegar a matriz associada ao sistema e utilizar a Regra de Cramer:
A =
 1 a 1−1 −2 3
3 0 a

Para que o sistema seja imposśıvel, temos que det(A) = 0 e algum det(Ai) 6=
0, logo:
det(A) =
∣∣∣∣∣∣
1 a 1
−1 −2 3
3 0 a
∣∣∣∣∣∣ = a2 + 7a + 6 = 0 ⇒ a1 = −1 e a2 = −6
14/33
Solução.
Vamos pegar a matriz associada ao sistema e utilizar a Regra de Cramer:
A =
 1 a 1−1 −2 3
3 0 a

Para que o sistema seja imposśıvel, temos que det(A) = 0 e algum det(Ai) 6=
0, logo:
det(A) =
∣∣∣∣∣∣
1 a 1
−1 −2 3
3 0 a
∣∣∣∣∣∣ = a2 + 7a + 6 = 0 ⇒ a1 = −1 e a2 = −6
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Solução.
Vamos pegar a matriz associada ao sistema e utilizar a Regra de Cramer:
A =
 1 a 1−1 −2 3
3 0 a

Para que o sistema seja imposśıvel, temos que det(A) = 0 e algum det(Ai) 6=
0, logo:
det(A) =
∣∣∣∣∣∣
1 a 1
−1 −2 3
3 0 a
∣∣∣∣∣∣ = a2 + 7a + 6 = 0 ⇒ a1 = −1 e a2 = −6
14/33
Solução.
Vamos pegar a matriz associada ao sistema e utilizar a Regra de Cramer:
A =
 1 a 1−1 −2 3
3 0 a

Para que o sistema seja imposśıvel, temos que det(A) = 0 e algum det(Ai) 6=
0, logo:
det(A) =
∣∣∣∣∣∣
1 a 1
−1 −2 3
3 0 a
∣∣∣∣∣∣ = a2 + 7a + 6 = 0
⇒ a1 = −1 e a2 = −6
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Solução.
Vamos pegar a matriz associada ao sistema e utilizar a Regra de Cramer:
A =
 1 a 1−1 −2 3
3 0 a

Para que o sistema seja imposśıvel, temos que det(A) = 0 e algum det(Ai) 6=
0, logo:
det(A) =
∣∣∣∣∣∣
1 a 1
−1 −2 3
3 0 a
∣∣∣∣∣∣ = a2 + 7a + 6 = 0 ⇒ a1 = −1 e a2 = −6
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Solução.
Substituindo os valores da coluna x pelos termos independentes, temos:
Ax =
 2 a 1−1 −2 3
5 0 a

Calculando det(Ax ), temos:
det(Ax ) =
∣∣∣∣∣∣
2 a 1
−1 −2 3
5 0 a
∣∣∣∣∣∣ = a2 + 11a + 10 = 0 ⇒ a1 = −1 e a2 = −10
15/33
Solução.
Substituindo os valores da coluna x pelos termos independentes, temos:
Ax =
 2 a 1−1 −2 3
5 0 a

Calculando det(Ax ), temos:
det(Ax ) =
∣∣∣∣∣∣
2 a 1
−1 −2 3
5 0 a
∣∣∣∣∣∣ = a2 + 11a + 10 = 0 ⇒ a1 = −1 e a2 = −10
15/33
Solução.
Substituindo os valores da coluna x pelos termos independentes, temos:
Ax =
 2 a 1−1 −2 3
5 0 a

Calculando det(Ax ), temos:
det(Ax ) =
∣∣∣∣∣∣
2 a 1
−1 −2 3
5 0 a
∣∣∣∣∣∣ = a2 + 11a + 10 = 0 ⇒ a1 = −1 e a2 = −10
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Solução.
Substituindo os valores da coluna x pelos termos independentes, temos:
Ax =
 2 a 1−1 −2 3
5 0 a

Calculando det(Ax ), temos:
det(Ax ) =
∣∣∣∣∣∣
2 a 1
−1 −2 3
5 0 a
∣∣∣∣∣∣ = a2 + 11a + 10 = 0
⇒ a1 = −1 e a2 = −10
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Solução.
Substituindo os valores da coluna x pelos termos independentes, temos:
Ax =
 2 a 1−1 −2 3
5 0 a

Calculando det(Ax ), temos:
det(Ax ) =
∣∣∣∣∣∣
2 a 1
−1 −2 3
5 0 a
∣∣∣∣∣∣ = a2 + 11a + 10 = 0 ⇒ a1 = −1 e a2 = −10
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Exemplo
Calcule os valores de m para que o sistema{
(m + 2)x + (m + 5)y = 7
2x + (m + 3)y = 0
seja posśıvel e determinado.
Solução.
Utilizando a comparação das razões dos coeficientes, temos que o sistema é posśıvel e
determinado (solução única), se:
m + 2
2
6= m + 5
m + 3
⇒ m2 + 5m + 6 6= 2m + 10
Simplificando a equação, temos:
m2 + 3m − 4 6= 0 ⇒ (m + 4)(m − 1) 6= 0.
Logo basta que m 6= −4 e m 6= 1.
16/33
Exemplo
Calcule os valores de m para que o sistema{
(m + 2)x + (m + 5)y = 7
2x + (m + 3)y = 0
seja posśıvel e determinado.
Solução.
Utilizando a comparação das razões dos coeficientes, temos que o sistema é posśıvel e
determinado (solução única), se:
m + 2
2
6= m + 5
m + 3
⇒ m2 + 5m + 6 6= 2m + 10
Simplificando a equação, temos:
m2 + 3m − 4 6= 0 ⇒ (m + 4)(m − 1) 6= 0.
Logo basta que m 6= −4 e m 6= 1.
16/33
Exemplo
Calcule osvalores de m para que o sistema{
(m + 2)x + (m + 5)y = 7
2x + (m + 3)y = 0
seja posśıvel e determinado.
Solução.
Utilizando a comparação das razões dos coeficientes, temos que o sistema é posśıvel e
determinado (solução única), se:
m + 2
2
6= m + 5
m + 3
⇒ m2 + 5m + 6 6= 2m + 10
Simplificando a equação, temos:
m2 + 3m − 4 6= 0 ⇒ (m + 4)(m − 1) 6= 0.
Logo basta que m 6= −4 e m 6= 1.
16/33
Exemplo
Calcule os valores de m para que o sistema{
(m + 2)x + (m + 5)y = 7
2x + (m + 3)y = 0
seja posśıvel e determinado.
Solução.
Utilizando a comparação das razões dos coeficientes, temos que o sistema é posśıvel e
determinado (solução única), se:
m + 2
2
6= m + 5
m + 3
⇒ m2 + 5m + 6 6= 2m + 10
Simplificando a equação, temos:
m2 + 3m − 4 6= 0 ⇒ (m + 4)(m − 1) 6= 0.
Logo basta que m 6= −4 e m 6= 1.
16/33
Exemplo
Calcule os valores de m para que o sistema{
(m + 2)x + (m + 5)y = 7
2x + (m + 3)y = 0
seja posśıvel e determinado.
Solução.
Utilizando a comparação das razões dos coeficientes, temos que o sistema é posśıvel e
determinado (solução única), se:
m + 2
2
6= m + 5
m + 3
⇒ m2 + 5m + 6 6= 2m + 10
Simplificando a equação, temos:
m2 + 3m − 4 6= 0
⇒ (m + 4)(m − 1) 6= 0.
Logo basta que m 6= −4 e m 6= 1.
16/33
Exemplo
Calcule os valores de m para que o sistema{
(m + 2)x + (m + 5)y = 7
2x + (m + 3)y = 0
seja posśıvel e determinado.
Solução.
Utilizando a comparação das razões dos coeficientes, temos que o sistema é posśıvel e
determinado (solução única), se:
m + 2
2
6= m + 5
m + 3
⇒ m2 + 5m + 6 6= 2m + 10
Simplificando a equação, temos:
m2 + 3m − 4 6= 0 ⇒ (m + 4)(m − 1) 6= 0.
Logo basta que m 6= −4 e m 6= 1.
16/33
Exemplo
Calcule os valores de m para que o sistema{
(m + 2)x + (m + 5)y = 7
2x + (m + 3)y = 0
seja posśıvel e determinado.
Solução.
Utilizando a comparação das razões dos coeficientes, temos que o sistema é posśıvel e
determinado (solução única), se:
m + 2
2
6= m + 5
m + 3
⇒ m2 + 5m + 6 6= 2m + 10
Simplificando a equação, temos:
m2 + 3m − 4 6= 0 ⇒ (m + 4)(m − 1) 6= 0.
Logo basta que m 6= −4 e m 6= 1.
16/33
Exemplo
Vamos analisar o sistema
x + y + z = 0
x + 2y + kz = 2
kx + 2y + z = −2
segundo os valores do parâmetro k
Solução.
Colocando na matriz aumentada e usando o escalonamento, temos:
1 1 1
... 0
1 2 k
... 2
k 2 1
... −2
 L2→L2−L1−−−−−−−→

1 1 1
... 0
0 1 k − 1
... 2
k 2 1
... −2

17/33
Exemplo
Vamos analisar o sistema
x + y + z = 0
x + 2y + kz = 2
kx + 2y + z = −2
segundo os valores do parâmetro k
Solução.
Colocando na matriz aumentada e usando o escalonamento, temos:

1 1 1
... 0
1 2 k
... 2
k 2 1
... −2
 L2→L2−L1−−−−−−−→

1 1 1
... 0
0 1 k − 1
... 2
k 2 1
... −2

17/33
Exemplo
Vamos analisar o sistema
x + y + z = 0
x + 2y + kz = 2
kx + 2y + z = −2
segundo os valores do parâmetro k
Solução.
Colocando na matriz aumentada e usando o escalonamento, temos:
1 1 1
... 0
1 2 k
... 2
k 2 1
... −2

L2→L2−L1−−−−−−−→

1 1 1
... 0
0 1 k − 1
... 2
k 2 1
... −2

17/33
Exemplo
Vamos analisar o sistema
x + y + z = 0
x + 2y + kz = 2
kx + 2y + z = −2
segundo os valores do parâmetro k
Solução.
Colocando na matriz aumentada e usando o escalonamento, temos:
1 1 1
... 0
1 2 k
... 2
k 2 1
... −2
 L2→L2−L1−−−−−−−→

1 1 1
... 0
0 1 k − 1
... 2
k 2 1
... −2

17/33
Exemplo
Vamos analisar o sistema
x + y + z = 0
x + 2y + kz = 2
kx + 2y + z = −2
segundo os valores do parâmetro k
Solução.
Colocando na matriz aumentada e usando o escalonamento, temos:
1 1 1
... 0
1 2 k
... 2
k 2 1
... −2
 L2→L2−L1−−−−−−−→

1 1 1
... 0
0 1 k − 1
... 2
k 2 1
... −2

17/33
continuação.

1 1 1
... 0
0 1 k − 1
... 2
k 2 1
... −2

L3→L3−kL1−−−−−−−−→

1 1 1
... 0
0 1 k − 1
... 2
0 2− k 1− k
... −2

18/33
continuação.

1 1 1
... 0
0 1 k − 1
... 2
k 2 1
... −2
 L3→L3−kL1−−−−−−−−→

1 1 1
... 0
0 1 k − 1
... 2
0 2− k 1− k
... −2

18/33
continuação.

1 1 1
... 0
0 1 k − 1
... 2
k 2 1
... −2
 L3→L3−kL1−−−−−−−−→

1 1 1
... 0
0 1 k − 1
... 2
0 2− k 1− k
... −2

18/33
continuação. 
1 1 1
... 0
0 1 k − 1
... 2
0 2− k 1− k
... −2

L3→L3−(2−k)L2−−−−−−−−−−−→

1 1 1
... 0
0 1 k − 1
... 2
0 0 (1− k)− (k − 1)(2− k)
... −2− 2(2− k)

19/33
continuação. 
1 1 1
... 0
0 1 k − 1
... 2
0 2− k 1− k
... −2

L3→L3−(2−k)L2−−−−−−−−−−−→

1 1 1
... 0
0 1 k − 1
... 2
0 0 (1− k)− (k − 1)(2− k)
... −2− 2(2− k)

19/33
continuação. 
1 1 1
... 0
0 1 k − 1
... 2
0 2− k 1− k
... −2

L3→L3−(2−k)L2−−−−−−−−−−−→

1 1 1
... 0
0 1 k − 1
... 2
0 0 (1− k)− (k − 1)(2− k)
... −2− 2(2− k)

19/33
continuação.
Simplificando 
1 1 1
... 0
0 1 k − 1
... 2
0 0 (k − 1)(k − 3)
... 2(k − 3)

Dáı, temos: 
x + y + z = 0
y + (k − 1)z = 2
(k − 1)(k − 3)z = 2(k − 3)
Assim:
(k − 1)(k − 3) = 0 ⇒ k = 1 ou k = 3.
20/33
continuação.
Simplificando 
1 1 1
... 0
0 1 k − 1
... 2
0 0 (k − 1)(k − 3)
... 2(k − 3)

Dáı, temos: 
x + y + z = 0
y + (k − 1)z = 2
(k − 1)(k − 3)z = 2(k − 3)
Assim:
(k − 1)(k − 3) = 0 ⇒ k = 1 ou k = 3.
20/33
continuação.
Simplificando 
1 1 1
... 0
0 1 k − 1
... 2
0 0 (k − 1)(k − 3)
... 2(k − 3)

Dáı, temos: 
x + y + z = 0
y + (k − 1)z = 2
(k − 1)(k − 3)z = 2(k − 3)
Assim:
(k − 1)(k − 3) = 0 ⇒ k = 1 ou k = 3.
20/33
continuação.
Há, então, as seguintes possibilidades:
k = 1 ⇒

x + y + z = 0
y = 2
0 = −4 ⇒ sistema imposśıvel
k = 3 ⇒

x + y + z = 0
y + 2z = 2
0 = 0 ⇒ sistema posśıvel ind.
Se k 6= 1 e k 6= 3 o sistema é posśıvel e determinado
21/33
continuação.
Há, então, as seguintes possibilidades:
k = 1 ⇒

x + y + z = 0
y = 2
0 = −4 ⇒ sistema imposśıvel
k = 3 ⇒

x + y + z = 0
y + 2z = 2
0 = 0 ⇒ sistema posśıvel ind.
Se k 6= 1 e k 6= 3 o sistema é posśıvel e determinado
21/33
continuação.
Há, então, as seguintes possibilidades:
k = 1 ⇒

x + y + z = 0
y = 2
0 = −4 ⇒ sistema imposśıvel
k = 3 ⇒

x + y + z = 0
y + 2z = 2
0 = 0 ⇒ sistema posśıvel ind.
Se k 6= 1 e k 6= 3 o sistema é posśıvel e determinado
21/33
continuação.
Há, então, as seguintes possibilidades:
k = 1 ⇒

x + y + z = 0
y = 2
0 = −4 ⇒ sistema imposśıvel
k = 3 ⇒

x + y + z = 0
y + 2z = 2
0 = 0 ⇒ sistema posśıvel ind.
Se k 6= 1 e k 6= 3 o sistema é posśıvel e determinado
21/33
Aplicações
22/33
Área de um triângulo
22/33
Definição (Área de um triângulo)
A área de um triângulo cujos vértices são (x1, y1), (x2, y2) e (x31, y3) é dado
por:
A = ±1
2
∣∣∣∣∣∣
x1 y1 1
x2 y2 1
x3 y3 1
∣∣∣∣∣∣
onde o sinal (±) é escolhido para produzir uma área positiva.
22/33
Exemplo
Encontre a área do triângulo cujos vértices são (1, 0), (2, 2) e (4, 3).
Solução.
Temos que:
A = ±1
2
∣∣∣∣∣∣
1 0 1
2 2 1
4 3 1
∣∣∣∣∣∣ = −32
Logo, a área é
3
2
.
23/33
Exemplo
Encontre a área do triângulo cujos vértices são (1, 0), (2, 2) e (4, 3).
Solução.
Temos que:
A = ±1
2
∣∣∣∣∣∣
1 0 1
2 2 1
4 3 1
∣∣∣∣∣∣ = −32
Logo, a área é
3
2
.
23/33
Exemplo
Encontre a área do triângulo cujos vértices são (1, 0), (2, 2) e (4, 3).
Solução.
Temos que:
A = ±1
2
∣∣∣∣∣∣
1 0 1
2 2 1
4 3 1
∣∣∣∣∣∣ = −32
Logo, a área é
3
2
.
23/33
Equação de uma reta
24/33
Definição (Pontos colineares)
Três pontos são (x1, y1), (x2, y2) e (x31, y3) se, e somente se:
det
x1 y1 1x2 y2 1
x3 y3 1
 = 0
24/33
Definição (Equação de uma reta)
Uma equação da reta que passa por pontos distintos (x1, y1) e (x2, y2) é
dado por:
det
 x y 1x1 y1 1
x2 y2 1
 = 0
25/33
Exemplo
Encontre a equação da reta que passa pelos pontos (2, 4) e (−1, 3).
Solução.
Temos que:
det
 x y 12 4 1
−1 3 1
 = 0 ⇒ x − 3y + 10 = 0
Então,uma equação da reta é x − 3y + 10 = 0.
26/33
Exemplo
Encontre a equação da reta que passa pelos pontos (2, 4) e (−1, 3).
Solução.
Temos que:
det
 x y 12 4 1
−1 3 1
 = 0 ⇒ x − 3y + 10 = 0
Então, uma equação da reta é x − 3y + 10 = 0.
26/33
Exemplo
Encontre a equação da reta que passa pelos pontos (2, 4) e (−1, 3).
Solução.
Temos que:
det
 x y 12 4 1
−1 3 1
 = 0 ⇒ x − 3y + 10 = 0
Então, uma equação da reta é x − 3y + 10 = 0.
26/33
27/33
Volume de um tetraedro
28/33
Definição (Volume de um tetraedro)
O volume de um tetraedro cujos vértices são (x1, y1, z1), (x2, y2, z2),
(x3, y3, z3) e (x4, y4, z4) é dado por:
V = ±1
6
∣∣∣∣∣∣∣∣
x1 y1 z1 1
x2 y2 z2 1
x3 y3 z3 1
x4 y4 z4 1
∣∣∣∣∣∣∣∣
onde o sinal (±) é escolhido para produzir um volume positivo.
28/33
Exemplo
Encontre o volume do tetraedro cujos vértices são (0, 4, 1), (4, 0, 0), (3, 5, 2)
e (2, 2, 5).
Solução.
Usando o determinante da fórmula, temos:
V = ±1
6
∣∣∣∣∣∣∣∣
0 4 1 1
4 0 0 1
3 5 2 1
2 2 5 1
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
1
6
(−72) = −12
Portanto, o volume é 12.
29/33
Exemplo
Encontre o volume do tetraedro cujos vértices são (0, 4, 1), (4, 0, 0), (3, 5, 2)
e (2, 2, 5).
Solução.
Usando o determinante da fórmula, temos:
V = ±1
6
∣∣∣∣∣∣∣∣
0 4 1 1
4 0 0 1
3 5 2 1
2 2 5 1
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
1
6
(−72) = −12
Portanto, o volume é 12.
29/33
Exemplo
Encontre o volume do tetraedro cujos vértices são (0, 4, 1), (4, 0, 0), (3, 5, 2)
e (2, 2, 5).
Solução.
Usando o determinante da fórmula, temos:
V = ±1
6
∣∣∣∣∣∣∣∣
0 4 1 1
4 0 0 1
3 5 2 1
2 2 5 1
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
1
6
(−72) = −12
Portanto, o volume é 12.
29/33
30/33
Equação de um plano
31/33
Definição (Pontos coplanares)
Quatro pontos (x1, y1, z1), (x2, y2, z2), (x3, y3, z3) e (x4, y4, z4) são coplanares
se, e somente se:
det

x1 y1 z1 1
x2 y2 z2 1
x3 y3 z3 1
x4 y4 z4 1
 = 0
31/33
Definição (Equação de um plano)
Uma equação de um plano que passa por pontos distintos (x1, y1, z1),
(x2, y2, z2) e (x3, y3, z3) é dado por:
det

x y z 1
x1 y1 z1 1
x2 y2 z2 1
x3 y3 z3 1
 = 0
32/33
Exemplo
Encontre a equação do plano que passa pelos pontos (0, 1, 0), (−1, 3, 2) e
(−2, 0, 1).
Solução.
Temos que:
det

x y z 1
0 1 0 1
−1 3 2 1
−2 0 1 1
 = 0 ⇒ 4x − 3y + 5z = −3
33/33
Exemplo
Encontre a equação do plano que passa pelos pontos (0, 1, 0), (−1, 3, 2) e
(−2, 0, 1).
Solução.
Temos que:
det

x y z 1
0 1 0 1
−1 3 2 1
−2 0 1 1
 = 0 ⇒ 4x − 3y + 5z = −3
33/33
	Determinantes
	Regra de Cramer
	Discussão de um Sistema Linear
	Aplicações
	Área de um triângulo
	Equação de uma reta
	Volume de um tetraedro
	Equação de um plano