Lista de Exercicios 1 - resolvida

Prévia do material em texto

Engenharia Civil 
Cálculo Diferencial e Integral 
 
 
Prof. Marcelo Pereira 
profmarcelo7@hotmail.com 
 
Lista de exercícios nº 1 (RESOLVIDA) 
 
01) Seja , calcule: 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
 
 
02) Seja , calcule: 
 
a) 
 
b) 
 
b) 
 
 
c) 
 
 
 
03) Uma empresa reembolsa seus empregados em R$ 150,00 ao dia por despesas de 
hotel e alimentação, mais R$ 0,34 por quilômetro percorrido. 
 
a) Qual o valor do reembolso se ? 
 
Basta multiplicar por 550 e somar 150.. 
 
Assim, 
 
 
 
 
 
b) Um funcionário foi reembolsado em R$ 218,00. De quantos quilômetros foi 
sua viagem? 
 
Uma forma é subtrair os 150 reais fixos de 218 reais, obtendo 68 reais. 
Esses 68 reais correspondem aos quilômetros percorridos multiplicados 
por 0,34. Assim, podemos obter a quantidade de quilômetros dividindo 
68 por 0,34. 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Escreva uma equação linear para o reembolso R em termos de x, o número 
de quilômetros percorridos. 
 
Para calcular o reembolso multiplicamos a quantidade de quilômetros por 0,34 
e somamos 150 reais. 
Assim, podemos escrever 
 
 
04) Uma empresa comprou por R$ 12.000,00 uma máquina que tem uma vida útil de 
8 anos. O valor da máquina como sucata ao final dos 8 anos é de R$ 2.000,00. 
Escreva uma equação linear que descreva o valor depreciado da máquina a cada 
ano que passa. 
 
A desvalorização da máquina foi de 10.000 reais em um 
período de 8 anos, ou seja, de 1.250 reais por ano. 
 
Logo, o valor da máquina após certo tempo é de 12.000, menos 1.250 vezes a 
quantidade de anos que se passaram. 
 
Então, 
 
 
 
05) Um microempresário compra um computador por R$ 1.025,00. Depois de 5 
anos, o computador está ultrapassado e não tem mais valor comercial. Escreva 
uma equação linear para o valor V do computador em termos do tempo t em 
anos. 
 
A desvalorização do computador foi de 1.025 reais em um período de 5 
anos, ou seja, de 205 reais por ano. 
 
Logo, o valor do computador após certo tempo é de 1.025, menos 205 vezes 
a quantidade de anos que se passaram. 
 
Então, 
06) Uma universidade tem 2546 alunos em 1998 e 2702 alunos em 2000. Se o 
número de alunos matriculados variar de forma linear, quantos alunos terá a 
universidade em 2004? 
 
A diferença na quantidade de alunos de 1998 a 2000 foi de 156, ou seja, de 
78. Como foi suposto que o crescimento é linear, temos um aumento 
estimado de 78 alunos por ano. 
 
Assim, em 2004 teremos 
 
 
 
07) O gráfico mostra o peso de uma pessoa variando em função da idade. Descreva 
com suas palavras como o peso desta pessoa varia com o tempo. O que você 
acha que está acontecendo aos 30 anos? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Diversas possibilidades de resposta. 
 
 
08) Um homem apara seu gramado toda quarta-feira. Esboce o gráfico da altura da 
grama como uma função do tempo no decorrer do período de 4 semanas. 
 
Suponhamos que a grama aparada tenha certa altura (não importa 
quanto). Ao longo da semana a altura da grama vai aumentando e podemos 
inferir que o gráfico tenha a seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0 10 20 30 40 50 60 Idade(anos) 
100 
75 
50 
25 
altura 
tempo qua qua 
Na quarta-feira seguinte a grama volta a ter a altura inicial (grama 
aparada) e continua crescendo nas mesmas condições do período anterior. 
 
Logo, temos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
09) Dada a função determine o valor de para: 
a) 
 
 
b) 
 
 
c) 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10) Considerando a função dada por , responda: 
a) Para quanto vale ? 
 
 
b) Para quanto vale ? 
 
 
c) Para 
 
 
 quanto vale ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) Para que valor de se tem ? 
 
 
 
 
altura 
qua qua qua qua tempo 
11) Considerando a função dada por , responda: 
a) Para quanto vale ? 
 
 
b) Para quanto vale ? 
 
 
 
c) Existe tal que ? 
 
Substituindo y por 0, temos: 
 
 
 
 
 
 
, onde 
 
Os coeficientes a, b e c neste caso são 1, – 7 e 6, respectivamente. 
 
Assim, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) Para que valores de se tem ? 
 
Substituindo y por 6, temos: 
 
  
 
Os coeficientes a, b e c neste caso são 1, – 7 e 0, respectivamente. 
 
Assim, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs. Há outros métodos de resolução de equações do 2º grau. 
 
 
 
 
e) Para que valor real de se tem ? 
 
Substituindo y por –8 , temos: 
 
  
 
Os coeficientes a, b e c neste caso são 1, – 7 e 14, respectivamente. 
 
Assim, 
 
Como não existe um número real que seja a raiz quadrada de –7 (pois é 
negativo), a equação não tem solução real e, logo, não 
existe valor de x que satisfaça a condição dada. 
 
 
12) Duas variáveis, x e y, estão relacionadas pela fórmula 
a) Expresse em função de . 
 
Para expressar y em função de x devemos isolar a variável y. 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Expresse em função de . 
Para expressar x em função de y devemos isolar a variável x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13) Duas variáveis, x e y, estão relacionadas pela fórmula 
a) Expresse em função de . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Expresse em função de . 
 
 
 
 
14) Uma fábrica produz placas de aço na forma de retângulos. As medidas variam. 
No entanto, a medida do comprimento tem sempre 5cm a mais do que a medida 
da largura. 
a) Expresse a área do retângulo em função da medida da largura. 
 
Chamando a largura de l e sabendo que o comprimento tem 5cm a mais 
que a largura, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, a área do retângulo (comprimento vezes largura) será dada por 
 
 
 
 
b) Qual deve ser a medida da largura para que a área da peça retangular seja de 
104cm
2
? 
 
Para que a área seja 104 cm
2
 teremos, substituindo A(l) por 104: 
 
 
 
 
 
 
Os coeficientes a, b e c neste caso são 1, 5 e – 104, respectivamente. 
 
Assim, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Evidentemente a solução – 13 não faz sentido no contexto geométrico. 
Assim, o valor da largura é 8cm. 
 
Realmente, fazendo a largura valer 8cm o comprimento vale 13cm (5cm 
a mais) e a área vale 8.13=104cm
2
, conforme a condição dada no 
enunciado. 
 
 
l 
l+5 
15) Uma parede de tijolos será usada como um dos lados de um canil retangular com 
40m
2
 de área. Para cercar os outros três lados, uma tela de arame de 18m de 
comprimento será dividida em três pedaços, conforme o esquema abaixo. 
 
 
a) Chamando de a lateral do canil, qual 
será o comprimento em função de ? 
 
Como a largura é x temos que o 
comprimento é o que resta de 18 quando 
tiramos ambas as laterais (2x). Assim, o 
comprimento vale . 
 
b) Expresse a área em função de . 
 
A área é dada por comprimento vezes a largura. Logo 
 
c) Quanto deverá medir cada um dos três pedaços da tela? 
 
Como a área do canil deveser de 40m
2
 podemos escrever 
 
 
 
 
 
Os coeficientes a, b e c neste caso são 2, –18 e 40, respectivamente. 
 
Assim, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, a largura da cerca pode valer 4m ou 5m. 
 
Se a largura valer 4m, teremos um comprimento de 10m. Logo, as 
dimensões seriam 4, 4 e 10m. 
 
Se a largura valer 5m, teremos um comprimento de 8m. Logo, as 
dimensões seriam 5, 5 e 8m. 
 
Verifique que, em ambos os casos, o comprimento da cerca é de 18m e a 
área do canil é de 40m
2
. 
 
 
x