Aula 6

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Profª Lucia Helena G. Cardoso
Estrutura Hiperestática: Método das Forças
Determinar o grau de hiperestaticidade
Escolher um SP retirando os apoios redundantes e estudar os casos;
Essas redundantes são as incógnitas a serem determinadas
Escrever as equações de compatibilidade de deslocamentos tomando
como positivo quando o sentido dos deslocamentos coincidirem com o
sentido das reações redundantes
Para muitas incógnitas, colocar a equação 3 na forma matricial
Resolver o sistema de equações de compatibilidade de deslocamento
para a obtenção das redundantes e dos esforços finais
1
2
3
4
5
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
Estrutura Hiperestática: Método das Forças
Exemplo
Calcule as reações da estrutura a seguir:
Passo I: Grau de hiperestaticidade
G = 3B + R – 3N - K 
B = 3 R = 5 N = 4 K = 0
G = 3.(3) + 5 – 3.(4) – 0 = 9 + 5 -12 = 14 -12
G = 2 → 2 hiperestáticos
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
Estrutura Hiperestática: Método das Forças
Passo II: Sistema Principal
Estrutura original
SP:
Sistema principal escolhido
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
Estrutura Hiperestática: Método das Forças
Para o sistema escolhido temos as seguintes superposições de casos:
Caso “0”: Efeito da carga aplicada no SP
)
ᵟ10
)
ᵟ20
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
Estrutura Hiperestática: Método das Forças
Caso “0”:
I II III IV
𝑞𝑙2
8
=
20.9
8
=22,5 kNm
𝑞𝑙2
8
=
15.16
8
= 30 kNm
𝑞𝑙2
8
=
10.25
8
= 31,3 kNm
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
Estrutura Hiperestática: Método das Forças
Caso “1”: Efeito do hiperestático X1 atuando isoladamente no SP
ᵟ11 ) ᵟ21
I II III IV
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
Estrutura Hiperestática: Método das Forças
Caso “2”: Efeito do hiperestático X2 atuando isoladamente no SP
ᵟ12( ᵟ22
I II III IV
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
Estrutura Hiperestática: Método das Forças
Passo III: Equações de compatibilidade de deslocamentos
Caso “0” 
Caso “1” 
Caso “2”
)
ᵟ10
)
ᵟ20
ᵟ11 ) ᵟ21
ᵟ12( ᵟ22
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
Estrutura Hiperestática: Método das Forças
Passo III: Equações de compatibilidade de deslocamentos
Rótula no apoio 1: 𝜹𝟏𝟎 + 𝜹𝟏𝟏. 𝑿𝟏 + 𝜹𝟏𝟐. 𝑿𝟐 = 𝟎
Rótula no apoio 2: 𝜹𝟐𝟎 + 𝜹𝟐𝟏. 𝑿𝟏 + 𝜹𝟐𝟐. 𝑿𝟐 = 𝟎
Passo IV: Forma Matricial
MATRIZ →
𝜹𝟏𝟏. 𝑿𝟏 + 𝜹𝟏𝟐. 𝑿𝟐 =- 𝜹𝟏𝟎
𝜹𝟐𝟏. 𝑿𝟏 + 𝜹𝟐𝟐. 𝑿𝟐 =- 𝜹𝟐𝟎
𝜹𝟏𝟏 𝜹𝟏𝟐
𝜹𝟐𝟏 𝜹𝟐𝟐
.
𝑿𝟏
𝑿𝟐
= -
𝜹𝟏𝟎
𝜹𝟐𝟎
Lembrando que: 
𝜹12 = 𝜹 21 
P
ro
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L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
Estrutura Hiperestática: Método das Forças
Passo V: Resolução do sistema e obtenção das reações
Cálculo dos 𝜹𝒊𝒋: PTV 𝛅𝐢𝐣 = න
𝐌. ഥ𝐌
𝐄𝐈
𝐝𝐱
ᵟij
Sistema virtual: 
hiperestático i (Xi)
Sistema real: caso “j”
𝛅𝟏𝟎:
Sistema virtual X1 e sistema real caso “0” 
(Combinação de diagramas caso “1” com caso “0”)
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
Estrutura Hiperestática: Método das Forças
I II III IV
Caso “0” 
Caso “1” 
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
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n
a
 G
. C
a
rd
o
so
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1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Estrutura Hiperestática: Método das Forças
𝛅𝟏𝟎:
Sistema virtual X1 e sistema real caso “0” 
(Combinação de diagramas caso “1” com caso “0”)
Cálculo dos 𝜹𝒊𝒋: 
- Entre I e II: Linha 5 + coluna 2
1
3
𝑠. 𝑖. 𝑘
s = 3
i = 22,5
k = -1 
- Entre II e III: Linha 5 + coluna 2
1
3
𝑠. 𝑖. 𝑘
s = 4
i = 30
k = -1 
- Entre III e IV: 0
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
Estrutura Hiperestática: Método das Forças
𝛅𝟏𝟎:
Sistema virtual X1 e sistema real caso “0” 
(Combinação de diagramas caso “1” com caso “0”)
Cálculo dos 𝜹𝒊𝒋: 
- Entre I e II: Linha 5 + coluna 2
1
3
𝑠. 𝑖. 𝑘 s = 3; i = 22,5; k = -1 
- Entre II e III: Linha 5 + coluna 2 1
3
𝑠. 𝑖. 𝑘 s = 4; i = 30; k = -1 
δ10 =
1
EI
නM. ഥM dx =
1
EI
.
1
3
3 . 22,5 . −1 +
1
3
4 . 30 . −1
δ10 =
−62,5
EI
𝑟𝑎𝑑
𝛅𝟐𝟎:
Sistema virtual X2 e sistema real caso “0” 
(Combinação de diagramas caso “2” com caso “0”)
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
Estrutura Hiperestática: Método das Forças
I II III IV
Caso “0” 
Caso “2” 
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
1 2 3 4 5 6 7
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Estrutura Hiperestática: Método das Forças
𝛅𝟐𝟎:
Sistema virtual X2 e sistema real caso “0” 
(Combinação de diagramas caso “2” com caso “0”)
Cálculo dos 𝜹𝒊𝒋: 
- Entre I e II: 0
1
3
𝑠. 𝑖. 𝑘
- Entre II e III: Linha 5 + coluna 2
1
3
𝑠. 𝑖. 𝑘
s = 5
i = 31,3
k = -1 
- Entre III e IV: Linha 5 + coluna 2
s = 4
i = 30
k = -1 
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
Estrutura Hiperestática: Método das Forças
𝛅𝟐𝟎:
Sistema virtual X2 e sistema real caso “0” 
(Combinação de diagramas caso “2” com caso “0”)
Cálculo dos 𝜹𝒊𝒋: 
- Entre II e III: Linha 5 + coluna 2
1
3
𝑠. 𝑖. 𝑘
- Entre III e IV: Linha 5 + coluna 2 1
3
𝑠. 𝑖. 𝑘 s = 5; i = 31,3; k = -1 
δ20 =
1
EI
නM. ഥM dx =
1
EI
.
1
3
4 . 30 . −1 +
1
3
5 . 31,3 . −1
δ20 =
−92,2
EI
𝑟𝑎𝑑
𝛅𝟏𝟏:
Sistema virtual X1 e sistema real caso “1” 
(Combinação de diagramas caso “1” com caso “1”)
s = 4; i = 30; k = -1 
P
ro
fª
L
u
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 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
Estrutura Hiperestática: Método das Forças
I II III IV
Caso “1” 
Caso “1” 
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
1 2 3 4 5 6 7
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2
3
4
5
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Estrutura Hiperestática: Método das Forças
𝛅𝟏𝟏:
Sistema virtual X1 e sistema real caso “1” 
(Combinação de diagramas caso “1” com caso “1”)
Cálculo dos 𝜹𝒊𝒋: 
- Entre I e II: Linha 2 + coluna 2
1
3
𝑠. 𝑖. 𝑘
- Entre II e III: Linha 2 + coluna 2
1
3
𝑠. 𝑖. 𝑘
s = 4
i = -1
k = -1 
- Entre III e IV: 0
s = 3
i = -1
k = -1 
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
Estrutura Hiperestática: Método das Forças
𝛅𝟏𝟏:
Sistema virtual X1 e sistema real caso “1” 
(Combinação de diagramas caso “1” com caso “1”)
Cálculo dos 𝜹𝒊𝒋: 
- Entre I e II: Linha 2 + coluna 2
1
3
𝑠. 𝑖. 𝑘
- Entre II e III: Linha 2 + coluna 2 1
3
𝑠. 𝑖. 𝑘 s = 4; i = -1; k = -1 
δ11 =
1
EI
නM. ഥM dx =
1
EI
.
1
3
3 . −1 . −1 +
1
3
4 . −1 . −1
δ11 =
2,33
EI
𝑟𝑎𝑑
𝛅𝟐𝟐:
Sistema virtual X2 e sistema real caso “2” 
(Combinação de diagramas caso “2” com caso “2”)
s = 3; i = -1; k = -1 
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
Estrutura Hiperestática: Método das Forças
I II III IV
Caso “2” 
Caso “2” 
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
1 2 3 4 5 6 7
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Estrutura Hiperestática: Método das Forças
𝛅𝟐𝟐:
Sistema virtual X2 e sistema real caso “2” 
(Combinação de diagramas caso “2” com caso “2”)
Cálculo dos 𝜹𝒊𝒋: 
- Entre I e II: 0
- Entre II e III: Linha 2 + coluna 2
1
3
𝑠. 𝑖. 𝑘
s = 4
i = -1
k = -1 
- Entre III e IV: Linha 2 + coluna 2
1
3
𝑠. 𝑖. 𝑘
s = 5
i = -1
k = -1 
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
Estrutura Hiperestática: Método das Forças
𝛅𝟐𝟐:
Sistema virtual X2 e sistema real caso “2” 
(Combinação de diagramas caso “2” com caso “2”)
Cálculo dos 𝜹𝒊𝒋: 
- Entre II e III: Linha 2 + coluna 2
1
3
𝑠. 𝑖. 𝑘
- Entre II e IV: Linha 2 + coluna 2 1
3
𝑠. 𝑖. 𝑘 s = 5; i = -1; k = -1 
δ22 =
1
EI
නM. ഥM dx =
1
EI
.
1
3
4 . −1 . −1 +
1
3
5 . −1 . −1
δ22 =
3
EI
𝑟𝑎𝑑
𝛅𝟏𝟐 = 𝛅𝟐𝟏: Sistema virtual X1 e sistema real caso “2” 
(Combinação de diagramas caso “1” com caso “2”)
s = 4; i = -1; k = -1 
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
Estrutura Hiperestática: Método das Forças
I II III IV
Caso “1” 
Caso “2” 
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
1 2 3 4 5 6 7
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Estrutura Hiperestática: Método das Forças
Cálculo dos 𝜹𝒊𝒋: 
- Entre I e II: 0
- Entre II e III: Linha 2 + coluna 2
1
6
𝑠.𝑖. 𝑘
s = 4
i = -1
k = -1 
- Entre III e IV: 0
𝛅𝟏𝟐 = 𝛅𝟐𝟏: Sistema virtual X1 e sistema real caso “2” 
(Combinação de diagramas caso “1” com caso “2”)
δ12 =
1
EI
.M׬ ഥM dx =
1
EI
.
1
6
4 . −1 . −1 = δ21 δ12 = δ21 =
0,67
EI
𝑟𝑎𝑑
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
Estrutura Hiperestática: Método das Forças
Resultado dos 𝜹𝒊𝒋: 
Equações: 
- Resolvendo o sistema:
δ10 =
−62,5
EI
𝑟𝑎𝑑 δ22 =
3
EI
𝑟𝑎𝑑 δ20 =
−92,2
EI
𝑟𝑎𝑑
δ11 =
2,33
EI
𝑟𝑎𝑑 δ12 = δ21 =
0,67
EI
𝑟𝑎𝑑
𝛿11. 𝑋1 + 𝛿12. 𝑋2 =- 𝛿10
𝛿21. 𝑋1 + 𝛿22. 𝑋2 =- 𝛿20
2,33
EI
. 𝑋1 +
0,67
EI
. 𝑋2 = −
−62,5
EI
0,67
EI
. 𝑋1 +
3
EI
. 𝑋2 = −
−92,2
EI
Substituindo, temos: 
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
Estrutura Hiperestática: Método das Forças
- Resolvendo o sistema:
2,33
EI
. 𝑋1 +
0,67
EI
. 𝑋2 = −
−62,5
EI
0,67
EI
. (𝟐𝟔, 𝟖𝟐 − 𝟎, 𝟐𝟗𝑿𝟐) +
3
EI
. 𝑋2 = −
−92,2
EI
Eq.(1)
Eq.(2)
De (1): 𝑋1 =
−
−62,5
EI −
0,67
EI . 𝑋2
2,33
EI
𝑋1 = 26,82 − 0,29𝑋2
Substituindo em (2):
0,67
EI
. 𝑋1 +
3
EI
. 𝑋2 = −
−92,2
EI
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
Estrutura Hiperestática: Método das Forças
- Resolvendo o sistema:
0,67
EI
. (𝟐𝟔, 𝟖𝟐 − 𝟎, 𝟐𝟗𝑿𝟐) +
3
EI
. 𝑋2 = −
−92,2
EI
17,97 – 0,19 𝑋2 + 3 𝑋2 = 92,2
2,81𝑋2 = 92,2-17,97
𝑋2 =
74,23
2,81
𝑋2 = 26,42 𝑘𝑁.𝑚
Em X1: 𝑋1 = 26,82 − 0,29𝑋2
𝑋1 = 26,82 – (0,29.26,42)
𝑋1 = 19,16 𝑘𝑁.𝑚
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
Estrutura Hiperestática: Método das Forças
Cálculo das Reações:
Carregamento:
FR = 20.3 = 60 kN
em x = 1,5 m
Condição de Equilíbrio:
MR =0: Em B → +(3.VA) – (60.1,5) +19,16 = 0 
Vamos seccionar a viga para o cálculo das reações
- Cálculo de VA:
A B C D
A B
VA = 23,6 kN
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
Estrutura Hiperestática: Método das Forças
Cálculo das Reações:
Carregamento: FR = 15.4 = 60 kN em x = 2 m
MR =0: Em C → +(23,6.7) – (60.5,5) +(4.VB) – (60.2) + 26,42 = 0 
- Cálculo de VB:
A B C D
A B
VB = 64,6 kN
C
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
Estrutura Hiperestática: Método das Forças
Cálculo das Reações:
Carregamento: FR = 10.5 = 50 kN em x = 2,5 m
MR =0: Em C → - (5.VD) + (50.2,5) - 26,42 = 0 
- Cálculo de VD:
A B C D
VD = 19,7 kN
DC
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
Estrutura Hiperestática: Método das Forças
Cálculo das Reações:
FR =0: 23,6 – 60 + 64,6 - 60 + VC – 50 + 19,7 = 0
- Cálculo de VC:
A B C D
VC = 62,1 kN
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
Estrutura Hiperestática: Método das Forças
Reações da Estrutura Hiperestática:
Estrutura original
Estrutura calculada
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
Profª Lucia Helena G. Cardoso
P
ro
fª
L
u
ci
a
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
FIM