Aula 5 (16-09-2021) Método das Forças

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Profª Lucia Helena G. Cardoso
Estrutura Hiperestática: Método das Forças
1) Grau de Hiperestaticidade (G)
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
Nº de barras totais 
da estrutura
Nº de reações Nº de ligações
Nº de 
limitações em 
rótulas 
Nº de barras em 
contato com a 
rótula
Assim se:
G = 0 → Estrutura Isostática
G < 0 → Estrutura Hipoestática
G > 0 → Estrutura Hiperestática
Estrutura Hiperestática: Método das Forças
1) Grau de Hiperestaticidade (G)
Ex. Calcule o grau de hiperestaticidade das estruturas a seguir:
G = 3B + R – 3N - K 
B = 1 R = 3 N = 2 K = 0
G = 3.(1) + 3 – 3.(2) – 0
G = 0 → Isostática
G = 3B + R – 3N - K 
B = 2 R = 5 N = 3 K = 2-1 = 1
G = 3.(2) + 5 – 3.(3) – 1
G = 1 → Hiperestática
P
ro
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L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
Estrutura Hiperestática: Método das Forças
1) Grau de Hiperestaticidade (G)
Ex. Calcule o grau de hiperestaticidade da estrutura a seguir:
G = 3B + R – 3N - K 
B = 5 R = 3 N = 4
K1 = 2-1 = 1 K2 = 3-1 = 2 K3 = 2-1 = 1 K4 = 3-1 = 2
G = 3.(5) + 3 – 3.(4) – 6
G = 0 → Isostática
P
ro
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L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
Estrutura Hiperestática: Método das Forças
2) Método das Forças
• Forças
• Momentos
Incógnitas
• Determinar reações e/ou esforços em 
estruturas hiperestáticas
Objetivo
• Compatibilidade de deslocamentos
• PTV
Equações
• Retirar os apoios excedentes
• Transformar a estrutura em isostática
Método
P
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 G
. C
a
rd
o
so
Estrutura Hiperestática: Método das Forças
2) Método das Forças
• Esse modelo isostático é chamado SISTEMA PRINCIPAL (SP)
• Uma única estrutura hiperestática, pode ter várias possibilidades de SP
• As forças ou os momentos associados aos apoios retirados são as 
incógnitas do problema e são denominados hiperestáticos.
Ex.
G = 3B + R – 3N - K 
B = 3 R = 5 N = 4 K = 0
G = 3.(3) + 5 – 3.(4) – 0
G = 2 → Viga com 2 hiperestáticos
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a
 G
. C
a
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o
so
Estrutura Hiperestática: Método das Forças
2) Método das Forças
• Possíveis sistemas principais:
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 G
. C
a
rd
o
so
Estrutura Hiperestática: Método das Forças
2) Método das Forças
Determinar o grau de hiperestaticidade
Escolher um SP retirando os apoios redundantes e estudar os casos;
Essas redundantes são as incógnitas a serem determinadas
Escrever as equações de compatibilidade de deslocamentos tomando
como positivo quando o sentido dos deslocamentos coincidirem com o
sentido das reações redundantes
Para muitas incógnitas, colocar a equação 3 na forma matricial
Resolver o sistema de equações de compatibilidade de deslocamento
para a obtenção das redundantes e dos esforços finais
1
2
3
4
5
P
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n
a
 G
. C
a
rd
o
so
Estrutura Hiperestática: Método das Forças
2) Método das Forças
Ex. Considere a estrutura hiperestática do exemplo anterior, submetida 
a um carregamento uniforme
Passo I: Vimos que esta estrutura tem 2 hiperestáticos (G = 2)
Passo II: SP escolhido nº 1
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 G
. C
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Estrutura Hiperestática: Método das Forças
2) Método das Forças
Para o sistema escolhido temos as seguintes superposições de casos:
Caso “0”: Efeito da carga aplicada no SP
ᵟ10 ᵟ20
ᵟ10
Hiperestático 1 Caso 0: apenas a carga
Deslocamento sofrido no ponto 
considerado, devido ao apoio retirado 1
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a
 G
. C
a
rd
o
so
Estrutura Hiperestática: Método das Forças
2) Método das Forças
Para o sistema escolhido temos as seguintes superposições de casos:
Caso “0”: Efeito da carga aplicada no SP
ᵟ10 ᵟ20
ᵟ20
Hiperestático 2 Caso 0: apenas a carga
Deslocamento sofrido no ponto 
considerado, devido ao apoio retirado 2
P
ro
fª
L
u
cia
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e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
Estrutura Hiperestática: Método das Forças
2) Método das Forças
Caso “1”: Efeito do hiperestático X1 atuando isoladamente no SP
ᵟ11
Hiperestático 1
Caso 1: 
apenas X1
ᵟ11 ᵟ21
X1
ᵟ21
Hiperestático 2
Caso 1: 
apenas X1
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n
a
 G
. C
a
rd
o
so
Estrutura Hiperestática: Método das Forças
2) Método das Forças
Caso “2”: Efeito do hiperestático X2 atuando isoladamente no SP
ᵟ12
Hiperestático 1
Caso 2: 
apenas X2
ᵟ12 ᵟ22
X2
ᵟ22
Hiperestático 2
Caso 2: 
apenas X2
P
ro
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n
a
 G
. C
a
rd
o
so
Estrutura Hiperestática: Método das Forças
2) Método das Forças
Passo III: Equações de compatibilidade de deslocamentos
ᵟ10 ᵟ20
ᵟ11 ᵟ21
X1
ᵟ12 ᵟ22
X2
Caso “0” 
Caso “1” 
Caso “2”
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 G
. C
a
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o
so
Estrutura Hiperestática: Método das Forças
2) Método das Forças
Passo III: Equações de compatibilidade de deslocamentos
Retirada do apoio 1: 𝜹𝟏𝟎 + 𝜹𝟏𝟏. 𝑿𝟏 + 𝜹𝟏𝟐. 𝑿𝟐 = 𝟎
Retirada do apoio 2: 𝜹𝟐𝟎 + 𝜹𝟐𝟏. 𝑿𝟏 + 𝜹𝟐𝟐. 𝑿𝟐 = 𝟎
Passo IV: Forma Matricial
MATRIZ →
𝜹𝟏𝟏. 𝑿𝟏 + 𝜹𝟏𝟐. 𝑿𝟐 =- 𝜹𝟏𝟎
𝜹𝟐𝟏. 𝑿𝟏 + 𝜹𝟐𝟐. 𝑿𝟐 =- 𝜹𝟐𝟎
𝜹𝟏𝟏 𝜹𝟏𝟐
𝜹𝟐𝟏 𝜹𝟐𝟐
.
𝑿𝟏
𝑿𝟐
= -
𝜹𝟏𝟎
𝜹𝟐𝟎
Matriz de 
Flexibilidade
Vetor Deslocamento 
devido ao carregamento
Vetor dos 
Hiperestáticos
(Incógnitas)
onde 
temos uma 
matriz 
simétrica 
[𝜹] tal que: 
𝜹ij = 𝜹 ji 
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 G
. C
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Estrutura Hiperestática: Método das Forças
2) Método das Forças
Passo V: Resolver as equações de compatibilidade de deslocamentos 
para obter os esforços finais.
Observações:
• Os coeficientes 𝜹 ij podem ser obtidos por vários métodos, porém 
usaremos PTV
• Nos casos ≠ 0, serão considerados iguais a 1, o valor das incógnitas 
X1 e X2, para simplificar o cálculo dos 𝜹 ij
• Os hiperestáticos X1 e X2 serão encontrados resolvendo as equações 
de compatibilidade de deslocamentos.
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 G
. C
a
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Estrutura Hiperestática: Método das Forças
2) Método das Forças
Ex. Calcule as reações da estrutura hiperestática a seguir usando o 
método das forças:
Passo I: Grau de hiperestaticidade
G = 3B + R – 3N - K 
B = 1 R = 4 N = 2 K = 0
G = 3.(1) + 4 – 3.(2) – 0
G = 1 → 1 hiperestático
Passo II: SP
P
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e
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n
a
 G
. C
a
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Estrutura Hiperestática: Método das Forças
2) Método das Forças
Ex. (continuação) Superposição de casos:
Caso”0”: 
𝜹 10
I II
Carregamento:
Fr = 2.2 = 4 kN em x = 1 m
Momento Fletor: Direita
Em II: M = 0
Em I: M = 4.1 = - 4 kN.m
P
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e
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n
a
 G
. C
a
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o
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Estrutura Hiperestática: Método das Forças
2) Método das Forças
Ex. (continuação) Superposição de casos:
Caso”1”: 
𝜹 11
I II
Momento Fletor: Direita
Em II: M = 0
Em I: M = 1.2 = + 2 kN.m
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
Estrutura Hiperestática: Método das Forças
2) Método das Forças
Ex. (continuação) Passo III: Equações de compatibilidade de deslocamentos
Caso”0” 
𝜹 11
I II
Caso”1” 
𝜹 10
I II
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a
 G
. C
a
rd
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so
Estrutura Hiperestática: Método das Forças
2) Método das Forças
Ex. (continuação) Passo III: Equação de compatibilidade de deslocamentos
Retirada do apoio 1: 𝜹𝟏𝟎 + 𝜹𝟏𝟏. 𝑿𝟏 = 𝟎 logo 𝑿𝟏 = −
𝜹𝟏𝟎
𝜹𝟏𝟏
Passo IV: Equação simples, logo não é necessário trabalhar em forma 
matricial 
Passo V: Resolução da equação de compatibilidade de deslocamentos
Cálculo dos 𝜹𝒊𝒋: PTV – Tabela de Kurt-Beyer
𝛅𝐢𝐣 = න
𝐌. ഥ𝐌
𝐄𝐈
𝐝𝐱
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. C
a
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so
Estrutura Hiperestática: Método das Forças
2) Método das Forças
Ex. (continuação) Cálculo dos 𝜹𝒊𝒋: PTV 𝛅𝐢𝐣 = න
𝐌. ഥ𝐌
𝐄𝐈
𝐝𝐱
ᵟij
Sistema virtual: 
hiperestático i (Xi)
Sistema real: caso “j”
𝛅𝟏𝟎: Sistema virtual X1 e sistema real caso “0” 
(Combinação de diagramas caso “1” com caso “0”)
δ10 =
1
EI
නM. ഥM dx =
1
EI
න
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a
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. C
a
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o
so
1 2 3 4 5 6 7
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Estrutura Hiperestática: Método das Forças
2) Método das Forças
Ex. (continuação)𝛅𝟏𝟎:
Sistema virtual X1 e sistema real caso “0” 
(Combinação de diagramas caso “1” com caso “0”)
δ10 =
1
EI
.
1
4
. 2. −4 . 2
s = 2
i = -4
k = 2 
δ10 =
1
EI
නM. ഥM dx =
1
EI
.
1
4
𝑠. 𝑖. 𝑘 δ10 =
−4
EI
𝛅𝟏𝟏:
Sistema virtual X1 e sistema real caso “1” 
(Combinação de diagramas caso “1” com caso “1”)
δ11 =
1
EI
නM. ഥM dx =
1
EI
න
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
1 2 3 4 5 6 7
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Estrutura Hiperestática: Método das Forças
2) Método das Forças
Ex. (continuação)
δ11 =
1
EI
.
1
3
. 2.2.2
s = 2
i = 2
k = 2 
δ11 =
1
EI
නM. ഥM dx =
1
EI
.
1
3
𝑠. 𝑖. 𝑘 δ11 =
8
3EI
𝛅𝟏𝟏:
Sistema virtual X1 e sistema real caso “1” 
(Combinação de diagramas caso “1” com caso “1”)
Cálculo dos 𝜹𝒊𝒋: eδ10 =
−4
EI
δ11 =
8
3EI
Cálculo de 𝑿𝟏: 𝑋1 = −
𝛿10
𝛿11
=
−
−4
𝐸𝐼
8
3𝐸𝐼
𝑿𝟏 =1,5 kN
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. C
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Estrutura Hiperestática: Método das Forças
2) Método das Forças
Ex. (continuação) Cálculo das Reações:
Carregamento:
FR = 2.2 = 4 kN
em x = 1 m
Condições de Equilíbrio:
FR =0: Em x → HA = 0
Em y → VA – 4 + 1,5 = 0
VA = 2,5 kN
MR =0:
+(1,5.2) – (4.1) + M = 0
M = 1 kN.m
P
ro
fª
L
u
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 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
Estrutura Hiperestática: Método das Forças
2) Método das Forças
Ex. (continuação) Reações da Estrutura Hiperestática:
Estrutura original
Estrutura calculada
P
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n
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 G
. C
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Profª Lucia Helena G. Cardoso
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e
le
n
a
 G
. C
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o
so
FIM