Cinemática, Céu e Filosofia

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Cinemática 
Professora Dra. Tathiana Moreira Cotta 
Conteúdo 
  Céu, Sobrevivência e Filosofia 
  Primeiro Físico: Galileu Galilei 
  Cinemática 
  Situações do Cotidiano 
  Movimento Circular 
  Outras Situações Interessantes 
  Bibliografia 
Céu, Sobrevivência e Filosofia 
Céu, Sobrevivência e Filosofia 
Newgrange: data de 3.200 a.C. feito pelos povos anteriores 
aos Celtas. Solstício de inverno. Irlanda. 
Céu, Sobrevivência e Filosofia 
Estonehenge: data de 3.100 a.C. até 1.100 a.C. passou por 
várias reformas. Solstícios de verão e de inverno. Inglaterra 
Céu, Sobrevivência e Filosofia 
Chankillo: data de 450 a.C. Feitos pelos Inca. Solstícios de 
verão e inverno além dos equinócios. Peru. 
Céu, Sobrevivência e Filosofia 
  Megálitos do Solstício: data imprecisa entre 10 d.C. 1000 
d.C. e não se tem certeza do povo com construiu. Solsticio 
de verão. Calçoene no Pará. Brasil. 
Céu, Sobrevivência e Filosofia 
  Astronomia é ciência natural mais antiga 
  Observação do céu era usada com mapa, calendário e 
relógio 
  Era um meio de prever as mudanças nas estações do 
ano; vitais para a sobrevivência humana 
  Astronomia era ligada a rituais sagrados para as crenças 
das populações locais 
  Surgimento da necessidade de entender a natureza de 
uma maneira racional 
Céu, Sobrevivência e Filosofia 
  Tales de Mileto (≈624 – 546 a.C.) trouxe para a Grécia conhecimentos 
de geometria e astronomia do Egito. 
  Pitágoras (≈572 – 497 a.C.) desenvolveu grandes contribuições na 
geometria. 
  Aristóteles (384 – ??? a.C.) discípulo de Platão (≈428 – 348 a.C.) que 
foi discípulo de Sócrates (≈469 – 399 a.C.) deram enormes 
contribuições para a filosofia, política, psicologia, ética e ciências. 
ü  Geocentrista. Estudou e explicou os eclipses do Sol e da Lua o que o 
levou a argumentar sobre a esfericidade da Terra. 
ü  Estudou objetos em repouso e em movimento, porém não entendia o 
conceito de inércia. 
ü  Não deu contribuições matemáticas apesar de ser o fundador da lógica. 
Primeiro Físico: Galileu Galilei 
Primeiro Físico: Galileu 
Galilei 
  Galileu Galilei (1564-1642) foi o primeiro a descrever 
os problemas físicos em termos matemáticos. 
  Movimento Uniforme: aquele que percorre espaços 
iguais em intervalos de tempos iguais em qualquer 
ponto da trajetória. 
  Movimento Naturalmente acelerado (Lei da queda dos 
corpos): no vácuo todos os corpos caem com a mesma 
aceleração constante. 
Primeiro Físico: Galileu 
Galilei 
  Experimentos com queda livre 
s(t) = ct2
Δt = t f − ti
Primeiro Físico: Galileu 
Galilei 
  Experimentos com queda livre 
vm =
distância percorrida
Δt
v(1) ≠ vm v(2) ≠ vm
Qual é a velocidade em um exato 
instante de tempo? 
Δt = t f − ti
vm →∞t f = ti ⇒
Primeiro Físico: Galileu 
Galilei 
  Experimentos com queda livre 
s(t) = ct2
s(t + h) = c(t + h)2
vm =
ct2 + 2cht + ch2 − ct2
h
vm =
2cht + ch2
h
vm = 2ct + ch
vm =
s(t + h)− s(t)
(t + h)− t
vm =
c(t + h)2 − ct2
h
v = 2cth→ 0
Primeiro Físico: Galileu 
Galilei 
  Experimentos com queda livre 
v(t) = 2ct am = v(t + h)− v(t)h
am =
2c(t + h)− 2ct
h
am =
2ct + 2ch− 2ct
h
am =
2ch
h
am = 2c
a = 2c
v(t + h) = 2c(t + h)
Primeiro Físico: Galileu 
Galilei 
  Experimentos com queda livre 
v = 2ct
a = 2c
s(t) = ct2
Primeiro Físico: Galileu 
Galilei 
  Experimentos com queda livre 
v = gt
a = g
s(t) = g
2
t2
Cinemática 
Cinemática 
  Posição, Deslocamento, Velocidade e Aceleração 
!vm ≡
!rf −
!ri
t f − ti
=
Δ
!r
Δt Velocidade média 
Cinemática 
  Posição, Deslocamento, Velocidade e Aceleração 
A 
B 
C !rAB
!rBC
!rAC =
!rAB +
!rBC
υ ≡
STotal
Δt
Velocidade escalar média 
SBC – caminho percorrido 
(escalar) SAB – caminho percorrido 
(escalar) 
Cinemática 
  Posição, Deslocamento, Velocidade e Aceleração 
⇒
!v = lim
Δt→0
Δ
!r
Δt
Velocidade instantânea 
!vm =
Δ
!r
Δt
!v = d
!r
dt
⇒
!a = lim
Δt→0
Δ
!v
Δt
Aceleração instantânea 
!am =
Δ
!v
Δt
!a = d
!v
dt
Cinemática 
  Movimento Retilíneo e Uniforme – MRU 
!v = d
!r
dt
⇒
!a = d
!v
dt
= 0
vdt = dx ⇒ vdt
t0
t
∫ = dxx0
x
∫
⇒ v(t − t0 ) = x − x0
x(t) = x0 + vt (t0 = 0)
!v = constante ⇒ !a = 0
v dt
t0
t
∫ = x x0
x
Cinemática 
  Movimento Retilíneo e Uniforme 
x
t
v
t
x(t) = x0 + vt!v = constante
!a = 0
Cinemática 
  Engenharia de Tráfego Terrestre 
80
340
Cinemática 
  Movimento Retilíneo Uniformemente Variado – MRUV 
!v = d
!r
dt
!a = d
!v
dt
adt = dv ⇒ adt
t0=0
t
∫ = dvx0
x
∫ ⇒ v(t) = v0 + at⇒ at = v− v0
!a = constante
dx
dt
= v0 + at ⇒ dx = (v0 + at)dt ⇒ dxx0
x
∫ = (v0 + at)dtt0=0
t
∫
x(t) = x0 + v0t + 12 at
2
x(t) = x0 + v0t + 12 at
2
Cinemática 
  Movimento Retilíneo Uniformemente Variado – MRUV 
v(t) = v0 + at
!a = constante
a > 0
a < 0
a > 0a < 0
Cinemática 
  Movimento Retilíneo Uniformemente Variado – MRUV 
Cinemática 
  Equação de Torricelli 
v(t) = v0 + atx(t) = x0 + v0t + 12 at
2 ⇒ t = v− v0
a
x(t) = x0 + v0
v− v0
a
"
#
$
%
&
'+ 12 a
v− v0
a
"
#
$
%
&
'
2
⇒Δx = + v0v− v
2
0
a
+
v2 − 2vv0 + v
2
0
2a
2aΔx = 2v0v− 2v
2
0 + v
2 − 2vv0 + v
2
0 ⇒ 2aΔx = v
2 − v20
v2 = v20 + 2aΔx
Situações do Cotidiano 
Situações do Cotidiano 
  Movimento de Projéteis 
θ0
!v0
vx = vcosθ vy = vsenθ
Situações do Cotidiano 
  Movimento de Projéteis 
Em x: Em y: !vx = constante
x = x0 + vxt
!a = !g = constante
y = y0 + v0 yt + 12 at
2
vy = v0 y + at
vy
2 = v0 y
2 + 2aΔy
Tempo é o mesmos!!! 
Situações do Cotidiano 
  Qual deve ser a altura máxima de uma bola chutada 
com uma velocidade inicial e um ângulo de ? 
Quanto tempo gasta para chegar a essa altura? 
v0 θ0
0 = v0 y
2 − 2gΔym
Δym =
v0 y
2
2g
Δym =
v0
2 sen2θ0
2g
vy
2 = v0 y
2 + 2aΔy vy = v0 y + at
0 = v0 senθ0 − gtm
tm =
v0 senθ0
g
Situações do Cotidiano 
  Qual deve ser o alcance de uma bola chutada com uma 
velocidade inicial e um ângulo de ? 
x = x0 + vxt
v0 θ0
R = Δx = v0ttotal cosθ0
ttotal = 2tm =
2v0 senθ0
g
R = 2v
2
0
g
senθ0 cosθ0 sen2α = 2senα cosα
R = v
2
0
g
sen2θ0
Situações do Cotidiano 
  Análise do movimento de projéteis 
R = v
2
0
g
sen2θ0
Δym =
v0
2 sen2θ0
2g
Situações do Cotidiano 
  Movimento Relativo 
xágua
xterra
!xbt
!xba
!xat
!xbt =
!xba +
!xat ⇒ d
!xbt
dt
=
d!xba
dt
+
!xat
dt
!vbt =
!vba +
!vat
Obs.: Velocidade do referencial móvel tem 
que ser constante para que as leis de 
Newton se apliquem!!! 
 
⇒
d!vbt
dt
=
d!vba
dt
+
d!vat
dt
!abt =
!aba
Situações do Cotidiano 
  Um barco atravessando um rio largo movimenta-se com 
velocidade de 10,0 km/h em relação à água, que por 
sua vez tem uma velocidade uniforme de 5,00 km/h na 
direção leste em ralação à terra. 
a.  Se o barco vai para o norte, determine sua velocidade 
em relação a um observador em pé em uma das 
margens. 
b.  Se o barco viaja com a mesma velocidade de 10,0 km/h 
em relação ao rio e deve viajar para o norte que direção 
deveria tomar? 
⇒θ = tan−1 5, 00
10,0
#
$
%
&
'
(
Situações do Cotidiano 
a.  Se o barco vai para o norte, determine sua velocidade 
em relação a um observador em pé em uma das 
margens. !vbt =
!vbr +
!vrt
vbr =10,0km/h
vrt = 5,00km/h
v2bt = v
2
br + v
2
rt =10,0
2 + 5,002
vbt =11,2km/h
tanθ = vrt
vbr
θ = 26,6°
⇒θ = tan−1 5, 00
8, 66
#
$
%
&
'
(
Situações do Cotidiano 
b.  Se o barco viaja com a mesma velocidade de 10,0 km/h 
em relação ao rio e deve viajar para o norte que direção 
deveria tomar? !vbt =
!vbr +
!vrt
vbr =10,0km/h
vrt = 5,00km/h
=10,02 − 5,002
vbt = 8,66km/h
tanθ = vrt
vbt
θ = 30,0°
v2bt = v
2
br − v
2
rt
Situações do Cotidiano 
  Experimentando 
Situações do Cotidiano 
  No Trânsito 
19,80m
3,85m
DESAFIO 
  Você deseja ultrapassar um ônibus triplo que passa com 
uma velocidade constante de 40 km/h e possui 19,80 
m de comprimento. No momento inicial você estava 
parado e o ônibus 5,0 m a sua frente. Se o seu carro 
possui 3,85 m de comprimento e uma aceleração de 
1,80 m/s2, quanto tempovocê vai levar para conseguir 
ultrapassar totalmente o ônibus? 
5,0m
Cuidado para não ser multado! 
A velocidade máxima da via é 
de 60 km! 
Movimento Circular 
!a
Movimento Circular 
  Trajetória Circular 
!v
!a
!v
!a
!v
!a
!v
!a
!v
!a
!v
!r
!r
!r = xî + yĵ
!r
Movimento Circular 
  Movimento Circular Uniforme 
!v
!a
!r
!r = xî + yĵ
x = Rcosθ
θ
y = Rsenθ
!r = (Rcosθ )î + (Rsenθ ) ĵ
d!r
dt
=
d
dt
(Rcosθ )î + d
dt
(Rsenθ ) ĵ
!vt = −Rsenθ
dθ
dt
î + Rcosθ dθ
dt
ĵ
!vt = −Rω senθ î + Rω cosθ ĵ
ω ≡
dθ
dt
Velocidade angular 
Movimento Circular 
  Movimento Circular Uniforme 
!v
!a
!r
θ
d!vt
dt
=
d
dt
(−Rω senθ )î + d
dt
(Rω cosθ ) ĵ
!ac = −Rω cosθ
dθ
dt
î − Rω senθ dθ
dt
ĵ
!ac = −Rω
2 cosθ î − Rω 2 senθ ĵ
!r = (Rcosθ )î + (Rsenθ ) ĵ
Aceleração e velocidade são perpendiculares!!! 
!vt = −Rω senθ î + Rω cosθ ĵ
Aceleração e posição têm sentidos contrários!!! 
Movimento Circular 
  Movimento Circular Uniforme 
!v
!v
!a
!r
!r = xî + yĵ
x = Rcosθ
θ
y = Rsenθ ωdt = dθ ⇒ ω dt
t 0
t
∫ = dθθ0
θ
∫
θ(t) =θ0 +ωt
Velocidade angular constante => movimento uniforme 
ω dt
t 0
t
∫ =θ −θ0 ⇒ω(t − t0 ) =θ −θ0
ω ≡
dθ
dt
Velocidade angular 
Movimento Circular 
  Movimento Circular Uniforme 
!v
!a
!r
θ
!ac = −Rω
2 cosθ î − Rω 2 senθ ĵ
!r = (Rcosθ )î + (Rsenθ ) ĵ
!vt = −Rω senθ î + Rω cosθ ĵ Módulo da velocidade tangencial 
!vt ⋅
!vt = (−Rω senθ î + Rω cosθ ĵ) ⋅
(−Rω senθ î + Rω cosθ ĵ)
vt = Rω
!ac ⋅
!ac = (−Rω 2 cosθ î − Rω 2 senθ ĵ) ⋅
(−Rω 2 cosθ î − Rω 2 senθ ĵ)
ac = Rω
2
Módulo aceleração centrípeta 
S =θR
Distância percorrida ao descrever um ângulo θ 
⇒
dS
dt
=
d(θR)
dt
⇒ vt = Rω
Movimento Circular 
  Um carro com rodas de aro 16 se move em linha reta 
com uma velocidade constante de 50 km/h. Ao olhar 
pela janela do carro, você vê 
a.  a roda girando com que velocidade tangencial? 
b.  a roda girando com que velocidade angular? 
c.  a roda girando com que aceleração centrípeta? 
d.  Qual deverá ser o deslocamento angular de cada uma 
das rodas durante um tempo de 30 s? 
!v
1,00 polegada = 2,54 cm 
Movimento Circular 
  Movimento Circular Variável 
!v
!a
!r
θ
Velocidade tangencial variável 
d
dt
v = d
dt
Rω ⇒ at = R
d
dt
ω
at = Rα
α ≡
dω
dt
Aceleração angular 
Relação entre a aceleração angular e linear ac = Rω
2
!ac = −Rω
2 cosθ î − Rω 2 senθ ĵ
!r = (Rcosθ )î + (Rsenθ ) ĵ
!vt = −Rω senθ î + Rω cosθ ĵ
vt = Rω
vt = Rω
Movimento Circular 
  Movimento Circular Variável 
!v
!a
!r
θ
αdt = dω ⇒ α dt
t0
t
∫ = dωω0
ω
∫
α(t − t0 ) =ω −ω0 ⇒ω(t) =ω0 +αt
ω =
dθ
dt
ac = Rω
2
θ =θ0 +ω0t + 12αt
2
(ω0 +αt)dtt0
t
∫ = dθθ0
θ
∫
Aceleração angular constante α =
dω
dt
⇒ (ω0 +αt)dt = dθ
!ac = −Rω
2 cosθ î − Rω 2 senθ ĵ
!r = (Rcosθ )î + (Rsenθ ) ĵ
!vt = −Rω senθ î + Rω cosθ ĵ
vt = Rω
at = Rα
(è velocidade variável) 
Movimento Circular 
  Resumindo 
Tipo de movimento Variáveis lineares Variáveis Angulares 
Velocidade constante 
Aceleração constante 
Relação entre variáveis lineares e angulares 
θ =θ0 +ω0t + 12αt
2
ω(t) =ω0 +αt
at = Rαv = Rω ac = Rω
2
θ(t) =θ0 +ωt
S =θR
x = x0 + v0t + 12 at
2
v(t) = v0 + at
x(t) = x0 + vt
Movimento Circular 
  Para fazer a leitura dos dados em um CD com eficiência o ponto 
de leitura deve estar sempre a mesma a velocidade tangencial de 1,3 
m/s. Assim a velocidade angular deve variar a medida que o ponto 
onde se faz a leitura se move radialmente na superfície do CD. 
a.  Encontre a velocidade angular do disco quando a leitura está sendo 
feita na faixa mais interna, r = 23 mm, e na faixa mais externas r = 58 
mm. 
b.  O tempo máximo que um CD de música toca é de 74 min e 33 s. 
Qual deve ser a aceleração angular do CD nesse intervalo de tempo? 
Outras Situações Interessantes 
Outras Situações Interessantes 
  Um artilheiro tenta fazer um gol a 20 m de distância. 
Ele chuta a bola para cima fazendo um ângulo de 60º 
com a horizontal e dando a bola uma velocidade de 16 
m/s. O artilheiro vai conseguir fazer o gol, ou a bola 
passa por cima? Dado: a altura do gol é de 2,44 m. 
Outras Situações Interessantes 
  Um alpinista mal educado, chuta uma pedra 
horizontalmente do alto de um rochedo íngreme com 
40,0 m de altura para dentro de uma lagoa. Se o 
alpinista ouve o barulho do impacto com a água 3,00 s 
após o chute, qual foi a velocidade escalar inicial dada à 
pedra? 
Obs.: Considere a velocidade do 
som no ar igual a 343 m/s. 
Outras Situações Interessantes 
  Um carro parte de um sinal vermelho e exibe 
aceleração constante de 0,300 m/s2 paralela à estrada. 
Ele passa em cima de uma elevação na estrada, que tem 
a parte superior em formato de círculo com raio de 500 
m. No momento em que o carro está em cima da 
elevação, seu vetor velocidade é horizontal e tem 
módulo 6,00 m/s. Quais são o módulo e a direção do 
vetor aceleração total para o carro neste instante? 
Outras Situações Interessantes 
  Um navio inimigo está na costa leste de uma ilha 
montanhosa, como mostra a figura. O navio inimigo 
manobrou até 2.500 m do pico da montanha com altura de 
1.800 m e só pode disparar projéteis com uma velocidade 
escalar inicial de 250 m/s. Se a linha de costa ocidental está 
horizontalmente a 300 m do pico, quais são as distâncias da 
costa ocidental nas quais um navio pode estar a salvo do 
bombardeio do navio inimigo?