Tema 01 - PPT LIMITES DE FUNÇÕES

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DISCIPLINA: CÁLCULO I
TEMA 01: LIMITES DE FUNÇÕES: INTRODUÇÃO &
LIMITES DE FUNÇÕES: LIMITES LATERAIS
Objetivo do Tema:
Conhecer e estudar o cálculo infinitesimal; realizar
o estudo de funções reais ampliando o estudo do valor
numérico de funções para suas proximidades; apresentar
a definição intuitiva de limites; realizar o estudo de
funções reais ampliando o estudo do valor numérico de
funções para suas proximidades; apresentar a definição
formal de limites, assim como suas propriedades; explorar
a definição de limite em suas diferentes formas.
Limite 
Tendência Aproximação Proximidade
Estudo de 
Funções
Limites 
Laterais
Limite pela 
Esquerda
Limite pela 
Direita
Exemplo:
Analisando o limite da função 𝑓 𝑥 = 𝑥2 quando x tende a 2:
x tende a 2 pela esquerda x tende a 2 pela direita
x f(x) x f(x)
1 1 3 9
1,1 1,21 2,9 8,41
1,5 2,25 2,5 6,25
1,9 3,61 2,1 4,41
1,99 3,9601 2,01 4,0401
1,999 3,996001 2,001 4,004001
1,9999 3,99960001 2,0001 4,00040001
1,99999 3,9999600001 2,00001 4,0000400001
Observe que, em ambas as situações, conforme x tende a 2, a função se 
aproxima de 4.
Desta forma: 
ൢ
Lim
𝑥→2−
𝑓 𝑥 = 4
Lim
𝑥→2+
𝑓 𝑥 = 4
⟹ Lim
𝑥→2
𝑓 𝑥 = 4
Exemplo:
Analisando o limite da função 𝑓 𝑥 = ቊ 𝑥
2 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 0
1 + 𝑥2 𝑠𝑒 𝑥 > 0
quando x tende a 0:
x tende a 0 pela esquerda x tende a 0 pela direita
x f(x) x f(x)
-1 1 1 2
-0,5 0,25 0,5 1,25
-0,1 0,01 0,1 1,01
-0,01 0,0001 0,01 1,0001
-0,001 0,000001 0,001 1,000001
-0,0001 0,00000001 0,0001 1,00000001
-0,00001 0,0000000001 0,00001 1,0000000001
-0,000001 0,0000000000 0,000001 1,000000000001
Observe que os limites laterais são diferentes.
Desta forma: 
ൢ
Lim
𝑥→0−
𝑓 𝑥 = 0
Lim
𝑥→0+
𝑓 𝑥 = 1
⟹ ∄Lim
𝑥→0
𝑓 𝑥
Propriedades Limites de Funções:
Sejam 𝑎, 𝑘, 𝐿,𝑀 ∈ ℝ, 𝑛 ∈ ℤ+ e 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥) funções tais que:
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 𝑒 lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝑀
lim
𝑥→𝑎
𝑥 = 𝑎
lim
𝑥→𝑎
𝑘 . 𝑓(𝑥) = 𝑘 . 𝐿
lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 + 𝑘 = 𝐿 + 𝑘
lim
𝑥→𝑎
𝑘 = 𝑘
lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 ± 𝑔(𝑥) = lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) ± lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝐿 ±𝑀
lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 ∙ 𝑔(𝑥) = lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) ∙ lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝐿 ∙ 𝑀
lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥
𝑔 𝑥
=
lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥
lim
𝑥→𝑎
𝑔 𝑥
=
𝐿
𝑀
, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑔 𝑥 ≠ 0
lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 𝑛 = lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥
𝑛
= 𝐿𝑛
lim
𝑥→𝑎
𝑛 𝑓(𝑥) = 𝑛 lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) =
𝑛
𝐿
Determine os limites abaixo:
lim
𝑥→−1
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→2
𝑓(𝑥) =
1) Determine os limites abaixo:
∃ lim
𝑥→−1
𝑓(𝑥) = 3 ∄ lim
𝑥→2
𝑓(𝑥)
lim
𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 3 e lim
𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 1
2) Usando as propriedades de limites, determine cada
limites abaixo:
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 5 lim
𝑥→𝑎
𝑔 𝑥 = −3 lim
𝑥→𝑎
ℎ 𝑥 = 2
lim
𝑥→𝑎
𝑔 𝑥 + 5. ℎ(𝑥) =
lim
𝑥→𝑎
6 ℎ 𝑥 + 𝑓 𝑥
2 2
=
lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 . ℎ 𝑥 − 2𝑔(𝑥) =
2) Usando as propriedades de limites, determine cada
limites abaixo:
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 5 lim
𝑥→𝑎
𝑔 𝑥 = −3 lim
𝑥→𝑎
ℎ 𝑥 = 2
lim
𝑥→𝑎
𝑔 𝑥 + 5. ℎ 𝑥 = lim
𝑥→𝑎
𝑔 𝑥 + 5lim
𝑥→𝑎
ℎ 𝑥 = −3 + 5.2 = 7
lim
𝑥→𝑎
6 𝑔 𝑥 + 𝑓 𝑥
2 2
= 6lim
𝑥→𝑎
𝑔 𝑥 + lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥
2 2
=
= 6. −3 + 5 2 2 = 72 = 49
lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 . ℎ 𝑥 − 2𝑔(𝑥) = lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 . lim
𝑥→𝑎
ℎ 𝑥 − 2lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) =
= 5 .2 − 2(−3) = 16 = 4
3) Verifique a existência do limite em cada situação:
a) lim
𝑥→5
𝑥2 − 4𝑥 =
b) lim
𝑥→64
log2 𝑥 − 𝑥 =
c) 𝑓 𝑥 = ቊ
𝑒𝑥
𝑥2 + 1
, 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 0
, 𝑠𝑒 𝑥 > 0
; lim
𝑥→0
𝑓 𝑥 =
d)𝑓 𝑥 = ቊ5
𝑥−2 + 𝑥
4𝑥 − 3
, 𝑠𝑒 𝑥 < 3
, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 3
; lim
𝑥→3
𝑓 𝑥 =
3) Verifique a existência do limite em cada situação:
a) lim
𝑥→5
𝑥2 − 4𝑥 = 52 − 4.5 = 5
b) lim
𝑥→64
log2 𝑥 − 𝑥 = log2 64 − 64 = 6 − 8 = −2
c) 𝑓 𝑥 = ቊ
𝑒𝑥
𝑥2 + 1
, 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 0
, 𝑠𝑒 𝑥 > 0
; lim
𝑥→0
𝑓 𝑥 =
lim
𝑥→0−
𝑒𝑥 = 𝑒0 = 1 𝑒 lim
𝑥→0+
𝑥2 + 1 = 02 + 1 = 1
∃ lim
𝑥→0
𝑓 𝑥 = 1
d)𝑓 𝑥 = ቊ5
𝑥−2 + 𝑥
4𝑥 − 3
, 𝑠𝑒 𝑥 < 3
, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 3
; lim
𝑥→3
𝑓 𝑥 =
lim
𝑥→3−
5𝑥−2 + 𝑥 = 53−2 + 3 = 8 𝑒 lim
𝑥→3+
4𝑥 − 3 = 4.3 − 3 =9
∄ lim
𝑥→3
𝑓 𝑥
4) Determine o valor de 𝑘, sabendo que existe limite da
função 𝑓 em todo 𝑥 pertencente aos reais:
𝑓 𝑥 = ቊ2𝑥
2 + 𝑘2
4𝑘 + 2𝑥
, 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 2
, 𝑠𝑒 𝑥 > 2
4) Determine o valor de 𝑘, sabendo que existe limite da
função 𝑓 em todo 𝑥 pertencente aos reais:
𝑓 𝑥 = ቊ2𝑥
2 + 𝑘2
4𝑘 + 2𝑥
, 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 2
, 𝑠𝑒 𝑥 > 2
lim
𝑥→2−
2𝑥2 + 𝑘2 = 2.22 + 𝑘2 = 8 + 𝑘2
lim
𝑥→2+
4𝑘 + 2𝑥 = 4𝑘 + 2.2 = 4𝑘 + 4
lim
𝑥→3−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→3+
𝑓(𝑥)
8 + 𝑘2 = 4𝑘 + 4
𝑘2 − 4𝑘 + 4 = 0
𝑘′ = 𝑘′′ = 2
PRÓXIMA AULA:
TEMA 02: LIMITES NO INFINITO E LIMITES INFINITOS