Função Exponencial

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FUNÇÃO EXPONENCIAL 
1. (Fcmmg) Em 1798, Thomas Malthus, no traba-
lho “An Essay on the Principle of Population”, for-
mulou um modelo para descrever a população pre-
sente em um ambiente em função do tempo. Esse 
modelo, utilizado para acompanhar o crescimento 
de populações ao longo do tempo t, fornece o ta-
manho N(t) da população pela lei kt0N(t) N e ,=  
onde 0N representa a população presente no ins-
tante inicial e k, uma constante que varia de acordo 
com a espécie de população. A população de certo 
tipo de bactéria está sendo estudada em um labo-
ratório, segundo o modelo de Thomas Malthus. Ini-
cialmente foram colocadas 2.000 bactérias em 
uma placa de Petri e, após 2 horas, a população 
inicial havia triplicado. 
A quantidade de bactérias presente na placa 6 ho-
ras após o início do experimento deverá aumentar: 
a) 6 vezes 
b) 8 vezes 
c) 18 vezes 
d) 27 vezes 
 
2. (Ufrgs) No estudo de uma população de bacté-
rias, identificou-se que o número N de bactérias, t 
horas após o início do estudo, é dado por 
1,5 t
N(t) 20 2 .=  
Nessas condições, em quanto tempo a população 
de bactérias duplicou? 
a) 15 min. 
b) 20 min. 
c) 30 min. 
d) 40 min. 
e) 45 min. 
 
3. (Enem 2ª aplicação) O governo de uma cidade 
está preocupado com a possível epidemia de uma 
doença infectocontagiosa causada por bactéria. 
Para decidir que medidas tomar, deve calcular a 
velocidade de reprodução da bactéria. Em experi-
ências laboratoriais de uma cultura bacteriana, ini-
cialmente com 40 mil unidades, obteve-se a fór-
mula para a população: 
3t
p(t) 40 2=  
em que t é o tempo, em hora, e p(t) é a população, 
em milhares de bactérias. 
Em relação à quantidade inicial de bactérias, após 
20 min a população será 
a) reduzida a um terço. 
b) reduzida à metade. 
c) reduzida a dois terços. 
d) duplicada. 
e) triplicada. 
 
4. (G1 - ifpe) Biólogos estimam que a população P 
de certa espécie de aves é dada em função do 
tempo t, em anos, de acordo com a relação 
t
5P 250 (1,2) ,=  
sendo 𝑡 = 0 o momento em que o estudo foi inici-
ado. 
Em quantos anos a população dessa espécie de 
aves irá triplicar? (dados: log 2 0,3= e log 3 0,48.)= 
a) 45 b) 25 c) 12 d) 18 e) 30 
 
5. (Enem 2ª aplicação) Admita que um tipo de eu-
calipto tenha expectativa de crescimento exponen-
cial, nos primeiros anos após seu plantio, modelado 
pela função t 1y(t) a ,−= na qual y representa a al-
tura da planta em metro, t é considerado em ano, 
e a é uma constante maior que 1. O gráfico repre-
senta a função y. 
 
Admita ainda que y(0) fornece a altura da muda 
quando plantada, e deseja-se cortar os eucaliptos 
quando as mudas crescerem 7,5 m após o plantio. 
O tempo entre a plantação e o corte, em ano, é 
igual a 
a) 3. 
b) 4. 
c) 6. 
d) 𝑙𝑜𝑔2   7. 
e) 𝑙𝑜𝑔2   15. 
 
 
6. (Ufpa) Uma substância ingerida pelo organismo 
é excluída pelo sistema excretor segundo uma fun-
ção exponencial. A vida média é o tempo que me-
tade de uma quantidade ingerida leva para decair 
à metade, que, para a substância em questão, é de 
12 horas. A quantidade da substância, em miligra-
mas, a ser ingerida de modo que, ao final de 36 
horas, a quantidade restante seja de 10 mg é de 
a) 30. b) 60. c) 80. d) 90. e) 
100. 
 
7. (Ufpr) A análise de uma aplicação financeira ao 
longo do tempo mostrou que a expressão 
0,0625 t
V(t) 1000 2

=  
fornece uma boa aproximação do valor V (em re-
ais) em função do tempo t (em anos), desde o iní-
cio da aplicação. Depois de quantos anos o valor 
inicialmente investido dobrará? 
a) 8. b) 12. c) 16. d) 24. e) 32. 
 
8. (G1 - ifpe) Agrônomos e Matemáticos do IFPE 
estão pesquisando o crescimento de uma cultura 
de bactérias e concluíram que a população de uma 
determinada cultura P(t), sob certas condições, em 
função do tempo t, em horas, evolui conforme a 
função 
t
3P(t) 5 2 .=  Para atingir uma população de 
160 bactérias, após o início do experimento, o 
tempo decorrido, em horas, corresponde a 
a) 5 b) 15 c) 160 d) 32 e) 10 
 
9. (Upe-ssa) Os técnicos de um laboratório obser-
varam que uma população de certo tipo de bacté-
rias cresce segundo a função 9 3tB 10(t) 4=  com “t” 
sendo medido em horas. Qual o tempo necessário 
para que ocorra uma reprodução de 106,4 10 bac-
térias? 
a) 1 h. 
b) 3 h. 
c) 4 h. 
d) 6 h. 
e) 16 h. 
 
10. (Imed) Em um experimento no laboratório de 
pesquisa, observou-se que o número de bactérias 
de uma determinada cultura, sob certas condições, 
evolui conforme a função t 1B(t) 10 3 ,−=  em que 
B(t) expressa a quantidade de bactérias e t repre-
senta o tempo em horas. Para atingir uma cultura 
de 810 bactérias, após o início do experimento, o 
tempo decorrido, em horas, corresponde a: 
a) 1. 
b) 2. 
c) 3. 
d) 4. 
e) 5. 
11. (Fatec) Leia a notícia. 
“O número de deslocamentos de pessoas entre ci-
dades paulistas dobrou em uma década, enquanto 
o crescimento populacional foi de 1% ao ano. A 
pesquisa obtida pelo Estado considera viagens fei-
tas por maiores de 15 anos na macrometrópole 
paulista – 173 municípios entre a Baixada Santista 
e o Vale do Paraíba, passando por São Paulo, 
Campinas e São José dos Campos.” 
(Tiago Dantas. Estado de São Paulo, 27.02.2013. Adaptado) 
A notícia revela um fenômeno social chamado mi-
gração pendular, que ocorre quando pessoas se 
deslocam entre diferentes cidades diariamente 
para trabalhar ou estudar. 
Suponha que, nos próximos anos, o número de 
deslocamentos de pessoas entre cidades paulistas 
continue dobrando a cada década e que o cresci-
mento populacional continue aumentando à taxa de 
1% ao ano. 
Com base nessas suposições, podemos afirmar 
corretamente que 
a) o crescimento dos deslocamentos será linear, 
enquanto que o crescimento populacional será 
exponencial. 
b) o crescimento dos deslocamentos será logarít-
mico, enquanto que o crescimento populacional 
será linear. 
c) o crescimento dos deslocamentos será exponen-
cial, enquanto que o crescimento populacional 
será linear. 
d) tanto o crescimento dos deslocamentos quanto 
o crescimento populacional serão exponenciais. 
e) tanto o crescimento dos deslocamentos quanto 
o crescimento populacional serão lineares. 
 
12. (Ufpr) Uma pizza a 185°C foi retirada de um 
forno quente. Entretanto, somente quando a tem-
peratura atingir 65°C será possível segurar um de 
seus pedaços com as mãos nuas, sem se queimar. 
Suponha que a temperatura T da pizza, em graus 
Celsius, possa ser descrita em função do tempo t, 
em minutos, pela expressão 0,8 tT 160 2 25.− =  + 
Qual o tempo necessário para que se possa segu-
rar um pedaço dessa pizza com as mãos nuas, sem 
se queimar? 
a) 0,25 minutos. d) 6,63 minutos. 
b) 0,68 minutos. e) 10,0 minutos. 
c) 2,5 minutos. 
 
13. (Enem PPL) Em um experimento, uma cultura 
de bactérias tem sua população reduzida pela me-
tade a cada hora, devido à ação de um agente bac-
tericida. 
Neste experimento, o número de bactérias em fun-
ção do tempo pode ser modelado por uma função 
do tipo 
a) afim. d) logarítmica crescente. 
b) seno. e) exponencial. 
c) cosseno. 
 
 
Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: [D] 
 
Após 2 horas, teremos: 
2t 2t
0 03 N N e e 3 =   = 
 
Após 6 horas, teremos: 
( ) ( )
3 36t 2t
0 0 0 0N(6) N e N e N 3 27 N=  =  =  =  
 
Portanto, a resposta correta será a alternativa [D], 
27 vezes. 
 
Resposta da questão 2: [D] 
 
Calculando o número inicial de bactérias, temos: 
1,5 0
N(0) 20 2 20

=  = 
 
Vamos determinar o valor de t em horas de modo 
que o número de bactérias seja 40. 
1,5t
1,5 t
40 20 2 .
2 2
1,5 t 1
1 2
t h
1,5 3
2 2 60 min
h 40 min
3 3


= 
=
 =
= =

= =
 
 
Resposta da questão 3: [D] 
 
Desde que 
1
20 min h,
3
= vem 
1
3
3
1
p 40 2 80.
3
 
=  = 
 
 
 
Portanto, após 20 min, a população será duplicada 
 
Resposta da questão 4: [E] 
 
Para 
0
5
t ? P(t) 3P(0)
P(0) 250 (1,2) P(0) 250
=  =
=   =
 
 
Logo, 
t t
5 5P(t) 3P(0) 250 (1,2) 3 250 (1,2) 3=   =   = 
 
Aplicando logaritmos, temos: 
( )
( )
( )
( )
t
5log(1,2) log 3
t 12
log log 3
5 10
t
log12 log10 log 3
5
t
2 log 2 log 3 log10 log 3
5
t
2 (0,3) 0,48 1 0,48
5
t
0,08 0,48 t 30 anos
5
 =
 
 = 
 
 − =
 + − =
  + − =
 =  =
 
 
Resposta da questão 5: [B] 
 
Sendo y(0) 0,5,= temos 
0 1
a 0,5 a 2.
−
=  = 
 
Assim, queremos calcular o valor de t para o qual 
se tem y(t) 0,5 7,5 8,= + = ou seja, 
t 1
2 8 t 4.
−
=  = 
 
Resposta da questão 6: 
 ANULADA 
 
Questão anulada no gabarito oficial. 
 
Preliminarmente, devemos lembrar que meia vida 
é o tempo necessário para que a quantidade de 
uma substância se reduza à metade. 
Seja kt0Q(t) Q e ,=  com Q(t) sendo a quantidade 
presente após t horas. Logo, temos 
 
k 12 k 0
0 0
12k
1 1
Q(12) Q(0) Q e Q e
2 2
1
e .
2
 
=    =  
 =
 
 
Queremos calcular 0Q , de tal modo que 
Q(36) 10 mg.= 
 
Portanto, segue que 
 
k 36 12k 3
0 0
3
0
0
10 Q e 10 Q (e )
1
10 Q
2
Q 80 mg.

=   = 
 
 =   
 
 =
 
 
Resposta da questão 7: [C] 
 
Para 0,0625 (0)t 0 V(0) 1000 2 1000=  =  = 
 
Logo, 
Para t ? V(t) 2000=  = 
 
 
0,0625 (t )
0,0625 (t )
2000 1000 2
2 2
0,0625 (t) 1
t 16


 = 
 =
  =
 =
 
 
Resposta da questão 8: [B] 
t t t
53 3 3
t
160 5 2 32 2 2 2 5 t 15
3
=   =  =  =  = 
Resposta 15 horas. 
 
Resposta da questão 9: [A] 
 
Considerando 10B(t) 6,4 10 ,=  temos a seguinte 
equação: 
10
10 9 3t 3t 3t 3t 3
9
6,4 10
6,4 10 10 4 4 4 64 4 4 3t 3 t 1h.
10

 =   =  =  =  =  = 
 
Resposta da questão 10: [E] 
 
Se B(t) 810,= então podemos escrever: 
t 1 t 1
B(t) 810 10 3 3 81
− −
= =  → = 
 
Por dedução, o expoente de 3 cujo resultado da po-
tência resultam em 81 é 4, pois 43 81.= 
Assim, tem-se que t 1 4,− = logo t 5 horas.= 
Resposta da questão 11: [D] 
 
O número de deslocamentos de pessoas, n(t), é 
dado por 
t
10
0n(t) n 2 ,=  com t em anos. Por outro 
lado, o crescimento populacional, p(t), após t 
anos, é igual a t0p(t) p (1,01) .=  Assim, tanto o cres-
cimento dos deslocamentos quanto o crescimento 
populacional serão exponenciais. 
 
Resposta da questão 12: [C] 
 
𝑇 = 160 ⋅ 2−0,8⋅𝑡 + 25 
65 = 160 ⋅ 2−0,8⋅𝑡 + 25 
40 = 160 ⋅ 2−0,8⋅𝑡 
2−0,8𝑡 =
1
4
 
2−0,8𝑡 = 2−2 
−0,8 ⋅ 𝑡 = −2 
𝑡 = 2,5 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 
Resposta da questão 13: [E] 
 
O número de bactérias N(t), em função do tempo t, 
em horas, pode ser modelado por uma função do 
tipo t0N(t) N 2 ,
−
=  com 0N sendo a população ini-
cial. A função N é exponencial. 
 
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